Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка задач о колебаниях волноводов с неровным нижним основанием . 12
1.1 Общая постановка задачи 12
1.2 Задача I. Система упругий слой — жидкость 15
1.3 Задача II. Плоская деформация упругого слоя с неровной нижней границей в случае установившихся колебаний 16
1.4 Задача III. Задача об антиплоских колебаниях упругого слоя 17
2 Решение прямых задач о колебаниях волноводов с неровным основанием . 18
2.1 Построение фундаментальных решений для волноводов 19
2.1.1 Фундаментальное решение системы уравнений Ляме для неограниченной плоскости 19
2.1.2 Система упругий слой — жидкость 21
2.1.3 Дисперсионные свойства системы слой-жидкость 31
2.1.4 Построение фундаментального решения для упругого слоя в случае плоских колебаний 32
2.1.5 Построение фундаментального решения для упругого слоя в случае антиплоских колебаний 35
2.2 Вывод систем граничных интегральных уравнений 37
2.2.1 Задача 1 37
2.2.2 Задача II 43
2.2.3 Задача III 45
2.3 Решение задачи методом возмущений 45
2,3.1 Задача 1 45
2.3.2 Задача II 52
2.3.3 Задача III 55
2.4 Решение задач с использованием приближения Борна 57
2.4.1 Задача 1 58
2.4.2 Задача II 59
2.4.3 Задача III 59
3 Дискретизация и численное решение систем граничных инте гральных уравнений . 60
3.1 Задача 1 60
3.2 Задача II 66
3.3 Задача III 71
4 Обратные задачи о восстановлении формы неровности . 76
4.1 Постановка обратной задачи 76
4.2 Вывод уравнения для решения обратной задачи из линеаризации соотношений Сомильяны 76
4.2.1 Задача 1 77
4.2.2 Задача II 82
4.2.3 Задача III 87
Заключение 91
Список литературы 91
Приложение
- Задача II. Плоская деформация упругого слоя с неровной нижней границей в случае установившихся колебаний
- Дисперсионные свойства системы слой-жидкость
- Построение фундаментального решения для упругого слоя в случае антиплоских колебаний
- Вывод уравнения для решения обратной задачи из линеаризации соотношений Сомильяны
Введение к работе
Задачи о колебаниях слоистых структур с неровностями часто возникают в акустике, сейсмологии, технической диагностике и физике твердого тела.
Задача рассеяния волны неровной границей впервые начала исследоваться в работах Релея [119] и Раиса [120]. Для таких задач был предложен метод малого параметра, в литературе также известньтй как метод малых возмущений (small perturbation method), метод Релея-Фурье (Rayleigh-Fourier method), теория Релея-Райса (Rayleigh-Rice theory), метод последовательных приближений (iterative series solution), метод разложения поля (field expansion). В дальнейшем будем использовать термин «метод возмущений».
В работах американских ученых Дэвида П, Николса (David P. Nicholls) и Фернандо Райтиха (Fernando Reitich) приведен подробный обзор работ, посвященных использованию данного метода в различных задачах математической физики в том случае, когда неровность задается на всей границе некоторой периодической функцией, в общем случае удовлетворяющей условию Липшица,
Суть данного метода состоит в предположении малости амплитуды неровности по сравнению с длиной волны. Краевые условия на неровной границе приближенно заменяются краевыми условиями на прямой. Неизвестные функции разлагаются в ряд по малому параметру, характеризующему амплитуду неровности. Исходная краевая задача сводится к последовательности краевых задач для области с прямолинейной границей. В таком виде данный метод широко применялся в задачах о распространении электромагнитных воли ([120]) и задачах акустики ([61], [60], [86], [87], [95], [113], [127]). В работах [126], [82], [84], [91], [93], [98], [101], [122] при решении задачи учитываются члены высокого порядка малости, а также обсуждается вопрос о сходимости ряда, в виде которого строится решение, В работах Оскара П. Бруно и Ф. Райтиха [71], [68], [69], [70], [67], доказывается его сходимость в случае малой амплитуды неровности, а также показано, что отраженное поле является аналитической функцией малого параметра и отмечается, что эта функция может быть аналитически продолжена для сколь угодно большой амплитуды неровности. В том случае, когда ряд
расходится, для аналитического продолжения предлагается использовать аппроксимации Паде. Отмечается, что при понижении порядка гладкости кривой сходимость ряда ухудшается.
Кроме того, в [114], [115] предлагается модификация метода малого параметра, называемая методом разложения оператора (operator expantion) и использующая отображение неровной области на область с ровной границей. Принципиальное отличие данного метода от обычного метода малого параметра состоит в том, что в последовательности краевых задач уравнения становятся неоднородными. Однако такой метод значительно превосходит обычный метод возмущений в точности и он применим к более широкому классу задач.
К решению задач о распространении упругих волн метод малого параметра применялся в работах [б], [27], [28], [54], [55]. В работе [26] приводится детальный обзор исследований, в которых рассматривается влияние неровностей на амплитуды поверхностных волн в упругом полупространстве. Неровность обычно задается некоторой периодической функцией и анализируется влияние неровности на амплитуды бегущих волн и рассеяние волн на неровных поверхностях. При использовании метода малого параметра влияние неоднородности сводится к действию нагрузки, интенсивность которой прямо пропорциональна глубине выемки, на ровную границу.
В работе [20] представлены результаты натурных экспериментов по прохождению поверхностных волн Релея через «сильные» одиночные неровности, например выемки с глубиной порядка длины волны. Отмечается, что характер рассеяния волн существенно зависит от геометрии неровности и механических параметров среды, и метод малого параметра становится неприменим.
Следует отметить, что существует направление, в котором неровность моделируется при помощи случайной функции, и задача решается статистическими методами. Такой подход часто применяется в акустике, физике кристаллов [36], [34], [94], а также в задачах, связанных с моделированием ледяного покрова на поверхности воды [1], [40], [41], [42], [43].
Для решения задач о колебаниях слоистой полуограниченной среды широко
используется метод граничного элемента, который позволяет уменьшить размерность задачи и свести ее к решению системы линейных алгебраических уравнений с хорошо обусловленной матрицей. Этот метод широко используется в математической физике и основан на понятии фундаментального решения и теореме взаимности. Метод подробно описывается в работах [39], [7], [33], и многих других работах.
Раннее этот метод широко применялся при исследовании колебаний слоистых сред с различными дефектами, такими как трещины, полости, включения. К задачам для сред с неровными границами метод стал применятся сравнительно недавно.
В частности; в работе [44] рассмотрена задача об антиплоских колебаниях упругого двухслойного полупространства с полостью, расположенной в верхнем слое. Как частный случай рассматривается задача с полостью, выходящей на поверхность. Последнюю задачу можно рассматривать как задачу для упругой среды с неровностью, оказывающей сильное влияние на формирование амплитуд и фаз поверхностных волн. Также метод граничного элемента использовался в работах [31[, [121].
В работе [46] методом возмущений рассмотрена задача об антиплоских колебаниях слоя с неровной нижней поверхностью. Аналогичная задача рассмотрена в [77]. Следует отметить, что для задачи о колебаниях неровного слоя со значительной неровностью могут применятся и другие методы. В частности, в работе китайских ученых [97] используется метод конформных отображений для уравнения Гельмгольца.
Существует большое число работ, посвященным выводу граничного интегрального уравнения для задачи рассеяния в полупространстве с неровной границей. Неровность задается некоторой непрерывной ограниченной функцией, заданной на всей числовой оси. В работах С. Н. Чендлера-Уайлда и его учеников [62], [63], [72], [73] подробно исследуются граничные интегральные уравнения для задачи рассеяния в полуплоскости для уравнений Гельмгольца и Ляме. Формулируются и доказываются теоремы о существовании и единствен-
ности решения таких краевых задач. Кроме того, предлагаются приближенные методы их решения [103].
В работах Д. Натрошвили [108]-[112] аналогичным образом формулируются и исследуются интегральные уравнения для задачи о рассеянии на неровной границе между жидкостью и твердым телом.
В работах Р, Поттхаста [116], [117] исследуется задача Неймана для уравнения Гельмгольца. Выводится граничное интегральное уравнение и выражение для рассеянной волны. Интегральный оператор, входящий в выражение для рассеянной волны, рассматривается как нелинейный интегральный оператор относительно формы неровности, исследуются его свойства и доказывается его диффереицируемость по Фреше.
Всюду в данных работах для вывода интегральных уравнений используются фундаментальные решения для плоскости, в интегральные уравнения входят интегралы по всей неровной границе. В случае, когда неровной является только часть границы, вместо фундаментального решения для всей плоскости удобнее использовать функцию Грина, удовлетворяющую однородным краевым условиям на прямолинейной части границы.
Помимо прямых задач о расчете влияния неровности на волновое поле большой интерес представляют обратные задачи об определении характера и формы неровности по информации о поле упругих перемещений на поверхности.
Подобные задачи раннее были подробно исследованы для уравнения Гельмгольца в трехмерном случае ([78], [90], [129]). В работах [29], [30] рассматриваются прямая и обратная задачи о рассеянии волн на малых компактных неод-нородностях в морском волноводе. Амплитуда неровности считается малой по сравнению с длиной волны, а сама неровность считается заданной на компактном множестве. Для решения прямой задачи используется приближение Борна [23]. Падающее и отраженное поля представляются в виде линейных комбинаций нормальных мод, и выводятся формулы, выражающие коэффициенты линейных комбинаций для отраженного поля через коэффициенты для падающего поля и функцию, характеризующую форму неровности. Полученные форму-
лы используются для решения обратной задачи. Для решения обратной задачи получено линейное операторное уравнение первого рода. Форма неоднородности аппроксимируется линейной комбинацией некоторого набора функций, и решение операторного уравнения сводится к определению коэффициентов линейной комбинации. Для этого используется метод псевдообращения [59].
Обратные задачи для упругих сред раннее были решены в работах [14], [15], [18] в предположении небольшой амплитуды неровности. Метод малого параметра позволяет свести решение задачи об определении формы неровности к решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода с гладким ядром.
В настоящей работе исследуются три задачи.
Плоская задача о вынужденных установившихся колебаниях идеальной сжимаемой жидкости, ограниченной сверху упругим слоем с неровной нижней поверхностью. На верхней поверхности слоя действует нагрузка, на нижней — выполняется условие непротекания жидкости, касательное напряжение отсутствуют, а нормальное равно давлению жидкости.
Плоская задача о вынужденных установившихся колебаниях упругого слоя с неровной нижней поверхностью. На верхней поверхности слоя действует нагрузка, нижняя — свободна от напряжений.
Антиплоская задача о вынужденных установившихся колебаниях упругого слоя с неровной нижней поверхностью, причем на верхней поверхности действует касательная нагрузка.
В первой главе излагается постановка задач. Во всех трех задачах рассматриваемая область содержит бесконечно удаленную точку, поэтому постановку задачи замыкают условия излучения, при формулировке которых используется принцип предельного поглощения [22]. Также предполагается, что нижняя граница упругого слоя прямолинейная всюду, за исключением ограниченного отрезка.
Вторая глава посвящена решению прямых задач о колебаниях волноводов с неровной нижней поверхностью. Сперва строятся фундаментальные решения
для жидкости, ограниченной сверху упругим слоем; для упругого слоя в случае плоских колебаний, для упругого слоя в случае антиплоских колебаний. Эти решения необходимы для построения граничных интегральных уравнений. Затем на основе теоремы взаимности [47] строятся формулы, аналогичные формулам Сомильяны и выводятся интегральные уравнения для всех трех задач. Использование фундаментального решения для волновода позволяет построить уравнения, в которых присутствуют интегралы только по неровному участку нижней поверхности. Полученные уравнения могут быть решены только численно на основе метода граничного элемента [7], [33].
Кроме того, для решения прямых задач в случае малой амплитуды неровности используется метод возмущений. При его использовании исходная краевая задача сводится к последовательности краевых задач для ровного слоя. Метод возмущений позволяет построить приближенное решение задачи в форме интегрального оператора от функций, описывающих нагрузку и форму неровности. Также следует отметить, что неровность в случае малой амплитуды может быть рассмотрена как слабый рассеиватель [23], и для решения прямой задачи может быть использовано приближение Борна, широко использующееся в акустике и известное также, как приближение однократного рассеяния. Использование метода возмущений и приближения Борна позволяет решить задачу за гораздо меньшее время по сравнению с методом граничного элемента.
В третьей главе описано численное решение прямых задач. Приводятся результаты приближенного решения граничных интегральных уравнений. Кроме того, сравниваются все три метода решения прямых задач, Также анализируется влияние, которое оказывает неровность на поле деформаций на поверхности, в частности, на амплитуды бегущих волн.
Затем в четвертой главе рассматриваются обратные задачи об определении формы неровного участка упругого волновода. При этом считается известным поле перемещений на свободной поверхности слоя, которое служит исходной информацией для решения обратной задачи. В предположении малой амплитуды неровности строятся интегральные уравнения для отыскания неизвестной фор-
мы неровности. Первый способ основан на непосредственной линеаризации соотношений Сомильяны в предположении малости амплитуды неровности. Также показано, что уравнение для решения обратной задачи может быть получено из решения прямой задачи, полученного методом возмущений. Показано, что уравнения, полученные двумя разными способами совпадают друг с другом и после элементарных преобразований сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода с гладким ядром относительно формы неровности.
Как известно, решение уравнения Фредгольма первого рода -- задача некорректная и требует использования специальных численных методов. В настоящей работе используется метод регуляризации Тихонова [49], [50], сводящий уравнение первого рода к уравнению второго рода, которое затем сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.
Матрица полученной СЛАУ является симметричной и плотно заполненной. Для решения систем используются метод квадратного корня, а также метод Воеводина. Метод квадратного корня основан на представлении матрицы в виде произведения двух треугольных и последовательном решении двух СЛАУ с треугольной матрицей. Метод Воеводина основан на сведении системы к системе с трехдиагональной матрицей, что достигается с помощью ортогональных преобразований матрицы. Трехдиатональная система решается методом прогонки.
Использование метода Воеводина целесообразно в случае, когда требуется решить систему при каком-то фиксированном значении параметра регуляризации. Метод Воеводина используется в случае, когда требуется много раз решать систему при разных значениях параметра регуляризации для автоматического подбора его оптимального значения.
Численные результаты показывают хорошую эффективность такого подхода.
Основные результаты диссертации изложены в работах [16]. [17], [18], [19], [51], [52], [53]. А.О. Ватульяну принадлежит постановка задач и основные идеи методов их решения, диссертанту принадлежит вывод интегральных уравнений для прямой и обратной задачи, а также реализация численных методов их
решения.
Задача II. Плоская деформация упругого слоя с неровной нижней границей в случае установившихся колебаний
Как частный случай задачи I рассмотрена задача II о плоских колебаниях упругого слоя. Задача II может быть получена из задачи I, если устремить к нулю плотность жидкости р . Для слоя по прежнему выполняются уравнения Ляме (1.2.1): (1.3.1) Кроме того, решение задачи удовлетворяет условиям излучения, которые формулируются на основе принципа предельного поглощения. qs{xux2,x3;t) = 9(2:1)6 , то слой находится в состоянии антиплоской деформации и из компонент вектора перемещения остается отличной от нуля лишь компонента щ(хі,Х2) — u(xi)X2)e i Aji. Система уравнений (1.1.1) сводится к уравнению Гельмгольца: Здесь К2 = CJA — у Gr Краевые условия принимают вид: на верхней поверхности задана нагрузка: Так как жидкость — идеальная, нижняя поверхность свободна от касательных напряжений: В настоящей главе предлагаются три метода решения прямой задачи о колебаниях слоистой среды с неровной границей раздела.
Первый из них основан на методе граничного элемента и сводит исходную задачу к системе интегральных уравнений по неровному участку поверхности раздела. Исходные задачи сводятся к системе граничных интегральных уравнений при помощи стандартной процедуры, основанной на теореме взаимности и использующей фундаментальные решения уравнений Ляме и Гельмголь-ца. Отметим, что при использовании известного фундаментального решения для неограниченной упругой плоскости, которое выражается через функции Гаикеля [24], граничное уравнение будет содержать интегралы от неизвестных функций по бесконечным границам слоя, решение которого представляет собой сложности при процедуре дискретизации. Поэтому гораздо более эффективно использовать фундаментальное решение или функцию Грина для ровного волновода, зараннєє удовлетворяющее некоторым граничным условиям. При построении фундаментальных решений для волноводов для того, чтобы построить частное решение неоднородного уравнения Гельмгольца или Ляме, используется фундаментальное решение для неограниченной плоскости. При построении граничных интегральных уравнений получены соотношение Соми-льяны для волноводов, позволяющие построить поле перемещений по известной информации о перемещениях на неровном участке нижней границы. Второй способ — метод возмущений, при его использовании предполагается малость амплитуды волны, Граничные условия на неровном участке приближенно заменяются граничными условиями на ровной границе. Неизвестные функции разлагаются в ряд по малому параметру и исходная задача сводится к последовательности краевых задач для волновода с ровной границей. Выражения для компонент поля перемещений могут быть найдены из решения этих краевых задач. Кроме того, приближенное решение можно построить, подставив построенные краевые условия и разложения в ряд неизвестных функций в соотношения Сомильяны. Можно показать что выражения, полученные двумя разными способами, совпадают. Кроме того, при малой амплитуде неровности для решения задачи может быть использовано приближение Борна.
При его использовании «эталонное» решение для ровного слоя с той же нагрузкой на верхней поверхности, что и в исходных задачах I, II, III, подставляется в формулы Сомильяны, что позволяет получить формулы для расчета волновых полей в слое. Обозначим через Vi (ж, ) фундаментальное решение для упругой плоскости — компоненты вектора перемещений в точке х, возникающее от действия сосредоточенной, приложенной в точке и направленной в направлении оси хт Фундаментальное решение удовлетворяет неоднородным уравнениям Ляме вида: и условиям излучения [22]. В настоящей работе при построении фундаментального решения для плоскости использовано двукратное преобразование Фурье, подобно тому, как сделано в [47]. При этом в (2,1.1) следует заменить к2 на к ь = к2 + ге, е О Введем в рассмотрение двойное преобразование Фурье:
Дисперсионные свойства системы слой-жидкость
При r\ — 0 они становятся вещественными и имеют вид: семейству частот толщинного резонанса для упругого слоя в случае отсутствия жидкости. При 1] — со мы получаем: n = 1,2,3..., что соответствует частотам толщинного резонанса для слоя, покоящегося без трения на жестком основании. Здесь и всюду в дальнейшем считаем, что частота колебаний не совпадает ни с одной из частот толщинного резонанса. Отметим, что Д имеет счетное множество нулей, симметричных относительно обеих осей (то есть, если а — C,k — полюс, то a = —(k-, a = (к, а = Ск также полюсы). Среди нулей присутствует один вещественный и конечной число нулей с малой мнимой частью, Их наличие обусловлено наличием жидкости, так как при т/ — 0 и при г) — ею они становятся вещественными. Существует также счетное множество полюсов с большой мнимой частью. Для них справедлива асимптотика: Кроме того, особыми точками интегралов в (2.1.26), (2.1.27), (2.1.41), (2.1.42) являются ±Kj, которые являются точками ветвления. Контур а совпадает с Вещественной ОСЬЮ ВСЮДУ, За ИСКЛЮЧеНИеМ ОКреСТНОСТеЙ ТОЧек ветВЛеПИЯ fvQ, fvi, / и вещественного полюса о Фундаментальное решение для упругого слоя удовлетворяет уравнению (2.1. при однородных краевых условиях: Фундаментальное решение для слоя можно представить в виде: где V — по прежнему фундаментальное решение уравнений
Ляме для неограниченной плоскости, а Ж — решение краевой задачи для системы однород ных уравнений Лямс при следующих граничных условиях; При Х2 = 0,1: присоединенной к матрице системы (2.1.49) по форму пям лам Подставляя эти выражения в краевые условия, получаем систему линейных алгебраических уравнений вида: Д-- — элементы матрицы, присоединенной к матрице системы (2.1.51). Складывая согласно (2.1.45), (2,1.47) полученные выражения, после обратного преобразования Фурье получаем фундаментальное решение для упругого слоя. Выражение для Щ приобретает вид: Здесь о- — контур, обходящий особенности подынтегральной функции в соответствии с принципом предельного поглощения. Следует отметить, что фундаментальное решение (2.1.52) может быть получено из фундаментального решения (2.1.26) для системы слой-жидкость в случае, когда источник возмущений находится в упругом слое, если устремить параметр г/ к нулю. Рассмотрим уравнение с однородными краевыми условиями. Будем строить решение в виде суммы двух слагаемых: где V - фундаментальное решение уравнения Гельмгольца (2.1.56) для неограниченной плоскости., a W - решение однородного уравнения Гельмгольца при неоднородных краевых условиях. Рассмотрим неоднородное уравнение Гельмгольца: Его решение имеет вид: Подставляя (2.1.55) в уравнение (2.1,53) и краевые условия (2.1.54), для определения функции W получаем задачу: Для решения задачи (2.1,58) используем преобразование Фурье. Найдем трансформанты Фурье для функций, стоящих в правой части краевых условий. Трансформанта фундаментального решения V имеет вид: x2-& 4-7Г Обозначим область, занятую слоем через 5+, верхнюю поверхность слоя через Ь+, нижнюю — через _, неровный участок — Г/.
Пусть R 0. Рассмотрим теперь область. 5д — S+ П {[а;і й}. Для этой области используем теорему взаимности [47] для двух состояний: где через dSft обозначена граница области S . В качестве первого состояния возьмем истинное поле перемещений и напряжений; вызванное нагрузкой Qj(xi): и\ = щ, Pi — оцп F} = 0. В качестве второго состояния возьмем фундаментальное решение для системы слой-жидкость с источником, находящемся в слое: Подставляя эти компоненты двух состояний в (2.2.1), получаем: / Рассмотрим теперь область S , ограниченную сверху кривой L_, а снизу — полуокружностью радиуса R с центром в начале координат. Умножим уравнение (1.2.2) на функцию ф(т\ уравнение (2.1.29) — на функцию ip, вычтем их друг из друга и проинтегрируем по области S%. слоя и і Это означает, что при 2 2 функции Ф2 , Ф2 неограниченно возрастают и доказать сходимость интеграла в выражении (2.1.27) не представляется возможным. Таким образом, получено соотношение, позволяющее при известных функциях ип, ит, о пп получить поле перемещений в слое в любой точке , для которой выполняется условие 2 єтах/(жі). Однако в силу свойств функции ф(т)(ж,) такое соотношение не может быть использовано для построения системы граничных интегральных уравнений. Рассмотрим полуплоскость 3 0. По формулам Грина для уравнения Гель-мгольца для нее получено соотношение вида: Умножим теперь выражение (2.2.12) на р и вычтем его из (2.2.4). Учитывая краевые условия на границе раздела, получаем: Обозначение «v.p.» означает главное значение интеграла по Коши. Выражение для Су имеет В последнем выражении Г/ является не принадлежащей к упругому слою частью круга радиуса е с центром в точке у. Для того, чтобы получить выражения для коэффициентов Cij(y) достаточно в (2.2.15) подставить выражения Рис. 2.3: (2.1.5)-(2.1.6) (Функции Wlm\x,y) непрерывны и не дают вклада в с -, кроме случая 1/2 = 0). В общем случае выражения для коэффициентов могут быть найдены анали Рассмотрим область {а Х\ Ь, 0 Х2 є!{%{)} Применяя к ней формулу Грина для уравнения Гельмгольца и устремляя точку — у є Г/ , получаем: Если f(yi) О, выражение для с имеет вид [7]:
Таким образом, получена система из пяти интегральных уравнений относительно пяти неизвестных функций. Рассмотрим аналогичную задачу в случае отсутствия жидкости. Для слоя по прежнему выполняются уравнения Ляме (1.2.1). Краевые условия на верхней поверхности имеют вид (1.2.4). Условия на нижней поверхности приобретают вид: По прежнему обозначаем область, занятую слоем через S+, верхнюю поверхность слоя через L+, нижнюю — через L_, неровный участок — Г/, Пусть R 0. Рассмотрим теперь область, , — 5+П{а;і Щ. Для этой области используем теорему взаимности [47] для двух состояний в виде (2.2.1). В качестве первого состояния возьмем истинное поле перемещений и напряжений, вызванное нагрузкой qj{x\): В качестве второго состояния возьмем фундаментальное решение для упругого слоя; Подставляя эти два состояния в (2.2.1), получаем: Устремим точку к / Є Г/. Система граничных уравнений приобретает вид: 2.2.3 Задача III. Пусть U - фундаментальное решение (2.1.64) для упругого слоя в антиплоской задаче. Используя соотношения взаимности [47]. получаем Устремим точку к у Є Г/. Используя свойства аналога потенциала двойного слоя для уравнения Гельмгольца [39], получаем: Для гладкой границы с(у) — -.
Построение фундаментального решения для упругого слоя в случае антиплоских колебаний
В качестве первого состояния возьмем истинное поле перемещений и напряжений; вызванное нагрузкой Qj(xi): и\ = щ, Pi — оцп F} = 0. В качестве второго состояния возьмем фундаментальное решение для системы слой-жидкость с источником, находящемся в слое: Подставляя эти компоненты двух состояний в (2.2.1), получаем: / Рассмотрим теперь область S , ограниченную сверху кривой L_, а снизу — полуокружностью радиуса R с центром в начале координат. Умножим уравнение (1.2.2) на функцию ф(т\ уравнение (2.1.29) — на функцию ip, вычтем их друг из друга и проинтегрируем по области S%. слоя и і Это означает, что при 2 2 функции Ф2 , Ф2 неограниченно возрастают и доказать сходимость интеграла в выражении (2.1.27) не представляется возможным. Таким образом, получено соотношение, позволяющее при известных функциях ип, ит, о пп получить поле перемещений в слое в любой точке , для которой выполняется условие 2 єтах/(жі). Однако в силу свойств функции ф(т)(ж,) такое соотношение не может быть использовано для построения системы граничных интегральных уравнений. Рассмотрим полуплоскость 3 0. По формулам Грина для уравнения Гель-мгольца для нее получено соотношение вида: Умножим теперь выражение (2.2.12) на р и вычтем его из (2.2.4). Учитывая краевые условия на границе раздела, получаем: Обозначение «v.p.» означает главное значение интеграла по Коши.
Выражение для Су имеет В последнем выражении Г/ является не принадлежащей к упругому слою частью круга радиуса е с центром в точке у. Для того, чтобы получить выражения для коэффициентов Cij(y) достаточно в (2.2.15) подставить выражения (2.1.5)-(2.1.6) (Функции Wlm\x,y) непрерывны и не дают вклада в с -, кроме случая 1/2 = 0). В общем случае выражения для коэффициентов могут быть найдены анали Рассмотрим область {а Х\ Ь, 0 Х2 є!{%{)} Применяя к ней формулу Грина для уравнения Гельмгольца и устремляя точку — у є Г/ , получаем: Если f(yi) О, выражение для с имеет вид [7]: Таким образом, получена система из пяти интегральных уравнений относительно пяти неизвестных функций. Рассмотрим аналогичную задачу в случае отсутствия жидкости. Для слоя по прежнему выполняются уравнения Ляме (1.2.1). Краевые условия на верхней поверхности имеют вид (1.2.4). Условия на нижней поверхности приобретают вид: По прежнему обозначаем область, занятую слоем через S+, верхнюю поверхность слоя через L+, нижнюю — через L_, неровный участок — Г/, Пусть R 0. Рассмотрим теперь область, , — 5+П{а;і Щ. Для этой области используем теорему взаимности [47] для двух состояний в виде (2.2.1). В качестве первого состояния возьмем истинное поле перемещений и напряжений, вызванное нагрузкой qj{x\): В качестве второго состояния возьмем фундаментальное решение для упругого слоя; Подставляя эти два состояния в (2.2.1), получаем: Устремим точку к / Є Г/. Система граничных уравнений приобретает вид: Пусть U - фундаментальное решение (2.1.64) для упругого слоя в антиплоской задаче. Используя соотношения взаимности [47]. получаем Устремим точку к у Є Г/. Используя свойства аналога потенциала двойного слоя для уравнения Гельмгольца [39], получаем: Для гладкой границы с(у)
Используя малость амплитуды неровности, можно построить приближенные выражения для ип. ит. (тпт и aW- Пусть 9 - угол между касательным вектором к кривой Х2 = sf{xi) и осью х\. Тогда Заменяя sinO и cosO приближенными выражениями, получим: Разложим граничные значения функций й{%\%х і) и (жъ э) при хч = ef(xi) в ряд Тейлора по %ч в окрестности точки 2 — 0 Подставляя разложения (2.3,3) с учетом (2.3.1)-(2.3.2) в краевые условия (1.2.5) и отбрасывая малые величины высоких порядков, получаем при Xi — О следующие краевые условия: Будем искать решение краевой задачи в виде ряда по степеням є: Подставляя эти выражения (2.3,5) в исходные уравнения (1.2.1)-(1,2,2) и краевые условия (1.2.4), (2.3.4), и приравнивая коэффициенты при разных степенях є, получаем для определения «, xpQ (нулевого приближения) краевую задачу вида:
Вывод уравнения для решения обратной задачи из линеаризации соотношений Сомильяны
В настоящем разделе рассматриваются соотношения Сомильяны (2.2.8), (2.2.22), (2.2.24) в предположении малости амплитуды неровности. Из них получены ин тегральные уравнения, относящиеся к классу уравнений Фредгольма первого рода с гладким ядром. Рассмотрим соотношения (2.2.8). В предположении малости глубины выемки в слое найдем приближенные выражения для компонент фундаментального дп решения (4.2.1) Аналогично Разложим граничные значения функций й{х\. х2) и (#1, х2) при х2 — є/(х{) В ряд ТеЙЛОра ПО Х2 В ОКреСТНОСТИ ТОЧКИ Х2 — О В предположении малости амплитуды неровности подставим в (2.2.8) соотношения (4.2.1)-(4.2.3). Окончательно получаем: Преобразуем правую часть последнего уравнения по частям, В предположении, что f(x\) — достаточно гладкая функция, обращающаяся на концах отрезка [а, 6] в ноль, получаем; Функция ф(т удовлетворяет однородному уравнению
Гельмгольца (2.1.9), следовательно: = -р,4 рЧ Используя второе и третье из краевых условий (2.3.9), получаем для следующих двух слагаемых (4.2.7): д Следующее слагаемое с помощью закона Гука преобразуется к виду: И наконец, последнее из слагаемых с учетом краевых условий (2.3.9) принимает вид: Рассмотрим соотношение (2.3.32). Отметим, что оно совпадает с соотношением (4.2.4), если в нем заменить функции uj и ip на / т и фН} а [/т ф(т) на и. fQ. Очевидно, что уравнение (2.3.32) также может быть истолковано как уравнение Фредгольма первого рода и после преобразований приведено к виду (4.2.9). Далее представлены результаты численных экспериментов по восстановлению формы неровности. Численные эксперименты производились следующим образом: сначала при известной форме неровности для отыскания неизвестных перемещений на неровном участке границы решалась система интегральных уравнений (2.2.8)-(2.2.19), затем для найденных перемещений с помощью соотношений Сомильяны (2.2.8) находились тюля перемещений на [с, d] участке верхней поверхности полосы. Найденные перемещения использованы в качестве исходной информации для решения обратной задачи (в линеаризованной постановке — для решения интегрального уравнения (4.2.10)). Всюду в дальнейшем в качестве правой части (4.2.10) используется вещественная часть щ. Здесь и всюду в дальнейшем нагрузка имеет следующий вид: Число элементов N при решении системы граничных интегральных уравнений составило 20. При решении обратной задачи количество отрезков на [а, Ь] и на [с, d\ всюду равнялось двадцати. На рисунке 4.1 представлен результат расчета при «2 = 1; /(%) = sin(irxi), [а,Ь] — [c,d] = [0,1], є = 0,01, параметр регуляризации подобран вручную и равен а = 10 6.
Здесь и всюду в дальнейшем сплошной линией изображается исходная форма неровности, точками — восстановленная. На рисунке 4.2 представлен результат расчета при / = 2, f{x\) — 0.0093 х х {sin{-R%i) + 0,5sm(37rxi)), [а, Ь] = [с, rf] = [0,1], є = 0,01, параметр регуляризации подобран автоматически и равен а = 0.5 10"11. число итераций - 2, начальное значение параметра регуляризации «о = 10 9, обобщенная невязка р = 8,82 КГп. На рисунке 4.3 показан результат расчета при / = 2, f{x{) — sin(irxi), точками показан результат расчета, произведенного по данным о вещественной части вертикального перемещения на отрезке [c,d] [0,1], крестами — результат, полученный при [c,d\ — [2,4]. Параметр регуляризации в обоих случаях подобран автоматически. На рисунке 4.4-- результат расчета при / = 2, f{x\) — згп(ттх\), неровности восстанавливалась по вещественной части горизонтального перемещения на отрезке [с, d] [5,7], параметр регуляризации а подобран вручную и равен Ю-5. На рисунке 4,5 — результат расчета при К2 — 5, f(x{) sintirxi), [a,b] [с, d] = [0,1], є = 0,01, параметр регуляризации а подобран вручную и составляет 10 и. Как показывают результаты расчетов, наилучшее восстановление формы неровности достигнуто при ге2 = 2 (рис. 4,2-4.4), форма неровности хорошо восстанавливается при амплитуде неровности г, не превышающей одной двадцатой толщины слоя, отрезок [с, d\ находится близко к отрезку [а, Ь] и длины двух отрезков соизмеримы. При увеличении глубины неровности и удалении отрезка [с, d] от [а, 6] восстановление формы ухудшается и становится невозможным автоматический подбор параметра регуляризации (рис. 4.4). При повышении и при понижении частоты восстановление также ухудшается.
