Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Нелинейные пространственные колебания гибкой лопасти несущего винта вертолета 6
1.1. Постановка задачи. Основные соотношения 7
1.2. Уравнения пространственного движения гибкой вращающейся лопасти 13
1.3. Определение инерционных характеристик эквивалентных твердых тел для дискретной модели упругой лопасти 18
1.4. Уравнение нелинейных уравнений движения упругой лопасти для умеренных и малых углов поворота её поперечных сечений 21
1.5. Пример расчета нелинейных колебаний балок при кинематическом воздействии 24
ГЛАВА 2. Построение матриц жесткости отсеков лопасти 33
2.1. Балочная модель деформирования отсека анизотропной цилиндрической оболочки 34
2.1.1. Формулировка задачи. Основные соотношения 34
2.2. Изгиб-сдвиг в вертикальной плоскости и кручение отсека лопасти... 37
2.3. Матрица жесткости отсека лопасти при изгибе-сдвиге в вертикальной плоскости и кручении 39
2.3.1. Пример расчета . 44
2.4. Обыкновенные дифференциальные уравнения изгибно-крутильных колебаний лопасти с учетом поперечных сдвигов 46
2.5. Балочная теория изгиба, сдвига и растяжения отсека анизотропной лопасти в плоскости хорды 50
ГЛАВА 3. Влияние анизотропии на динамические характеристики вращающейся лопасти 57
3.1. Математическая модель для изгибно-крутильных колебаний лопасти несущего винта вертолёта с учетом вращения 57
3.2. Применение метода конечных элементов 58
3.3. Определение аэродинамических нагрузок, действующих на колеблющуюся лопасть 65
3.4. Пример расчета собственных колебаний 72
3.5. Определение границы устойчивости для лопасти в режиме висения 87
3.6. Расчет тяговых характеристик лопасти 91
Заключение 100
Литература 101
- Уравнения пространственного движения гибкой вращающейся лопасти
- Уравнение нелинейных уравнений движения упругой лопасти для умеренных и малых углов поворота её поперечных сечений
- Матрица жесткости отсека лопасти при изгибе-сдвиге в вертикальной плоскости и кручении
- Определение аэродинамических нагрузок, действующих на колеблющуюся лопасть
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Вертолет является сложной составной системой: фюзеляж с упругой хвостовой балкой; несущий винт с несколькими упругими лопастями соединенными на втулке; упругий вал; механизм управления поворотом лопастей; хвостовой винт; упругое шасси (для случая посадки).
Анализ динамики такой системы при быстрых переходных движениях представляет весьма трудную математическую и вычислительную проблему. Математическую модель динамики этой системы многих тел удобно составлять, разделив её на отдельные компоненты (части) перечисленные выше.
Лопасти несущих винтов являются весьма гибкими и при нестационарном нагружении через втулку несущего винта со стороны фюзеляжа могут испытывать большие упругие деформации и напряжения. Это в особенности относится к нештатным и аварийным состояниям (резкие манёвры; грубая посадка; взлет с подвижного основания, пр.). Для решения таких задач необходимо использовать нелинейные уравнения динамики вращающихся лопастей при заданных нестационарных перемещениях и больших углах поворота втулки несущего винта. Эта задача является весьма трудной и малоисследованной.
Вторая проблема, которая представляет большой практический интерес и также является малоисследованной - это динамика анизотропных лопастей со связанными деформациями изгиба и кручения.
Рассматриваемая диссертация посвящена решению этих двух задач как одной общей проблемы.
Цель работы.
Вывод уравнения нелинейных пространственных колебаний гибкой вращающейся лопасти при больших перемещениях и углах поворота при заданных линейных и угловых скоростях втулки несущего винта вертолёта.
Построения матриц жесткости тонкостенных отсеков лопасти с анизотропной обшивкой при использовании гипотеза плоского распределения в поперечных сечениях продольных деформаций, допускающая свободную депла-нацию этих сечений.
Исследование влияния анизотропии обшивки, связывающей деформации изгиба и кручения, на динамические характеристики лопасти и на её поведение.
Научная новизна работы состоит в следующем:
Получены новые уравнения динамики пространственного движения вращающейся лопасти вертолёта на основе дискретной модели «многих тел», соединённых упругими конечными элементами, при больших перемещениях и углах поворота. Их вывод основан на дискретной модели: лопасть делится на конечные элементы (КЭ), масса которых приводится к эквивалентным твердым телам, расположенным в сечениях, разделяющих КЭ. Твердые тела совершают большие перемещения и повороты, а соединяющие их КЭ наряду с большими перемещениями и поворотами подвергаются малым упругим деформациям.
Впервые получены матрицы жесткости при изгибе-сдвиге в двух плоскостях, кручении и растяжении отсека лопасти как тонкостенной балки из анизотропного материала.
Впервые установлено влияние анизотропии отдельных или всех отсеков лопасти на связь изгиба и кручения и на динамические характеристики лопасти.
Методы исследований:
метод конечных элементов (метод отсеков);
метод сосредоточенных масс;
анализ динамической устойчивости упругих неконсервативных систем путем сведения к проблеме собственных значений;
Достоверность и обоснованность результатов основывается:
на корректности математических моделей;
на учете в определенных случаях нелинейностей системы и оценках их влияния на результаты;
на строгости математических решений и оценках их сходимости;
на сравнении результатов расчета, полученных разными методами.
Теоретическая и практическая значимость исследований:
Разработанный метод и алгоритм решения задачи, сведенной к обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка позволяет решать нестационарные пространственные задачи динамики лопасти при больших перемещениях и углах поворота. За счет анизотропии материала отдельных или
всех отсеков лопасти при изгибе можно уменьшать углы закручивания - и в результате уменьшать углы атаки и снижать аэродинамические нагрузки.
На защиту выносятся:
Метод получения нелинейных уравнений вращающихся упругих лопастей при изгибе-сдвиге в двух плоскостях, кручении и растяжении при больших перемещениях и углах поворота поперечных сечений при заданных нестационарных движениях втулки несущего винта.
Метод получения матриц жесткости при изгибе-сдвиге в двух плоскостях, кручении и растяжении отсеков лопасти как тонкостенных балок из анизотропного материала на основе гипотезы плоского распределения продольных деформаций.
Апробация работы. Результаты, полученные в работе, доложены на следующих научных мероприятиях:
- на XV, XVI, XVII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им А.Г. Горшкова (Москва-Ярополец, 2009, 2010, 2011 гг.).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 5 печатных работах, из них 2 статьи в журнале, рекомендованном ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации 108 с, включая 58 рисунка, 10 таблиц, 74 библиографических ссылки.
Уравнения пространственного движения гибкой вращающейся лопасти
Рассмотрим пространственное движение при больших упругих перемещениях и углах закручивания гибкой вращающейся лопасти как стержня, работающего на изгиб, поперечный сдвиг, кручение и растяжение. Стержень связан с подвижной системой координат Oxyz с началом в центре втулки несущего винта и в исходном недеформированном состоянии его произвольно выбранная продольная ось направлена вдоль осих, рис. 1.2.
Векторы линейной V(t) и угловой Q.(t) скоростей начала (точки О» ) подвижной системы координат 0 xyz считаются заданными в проекциях на её оси. Стержень поперечными сечениями Xfc = const разделим на п конечных элементов (КЭ); х0 - радиус втулки; 1к - длина к -го КЭ; к-1, 2,..., п.
Распределенные массовые характеристики стержня будем заменять сосредоточенными характеристиками эквивалентных твердых тел, жестко соединенных с расчетными сечениями к С к-ым твердым телом свяжем местную подвижную систему координат Okt,r\q, ось , которой в не-деформированном состоянии стержня составляет с осью х, а оси г), q параллельно осям у, z, соответственно. В деформированном состоянии стержня в момент времени t (рис. 1.3) начало этой системы Ок будет иметь координаты xk(t), у t), z it) и повернется относительно системы 0 xyz на углы tyk{t), і/д.(ґ), Qk(t), в качестве которых будем рассматривать самолетные углы (фЛ-крена; \\fk - рыскания; Qk - тангажа) с последовательностью вращений Ук &к Ф Р1]- Векторы скорости поступательного (в точке Ок) и вращательного движений системы Ок,г\с, относительно системы Oxyz обозначим через vk{t) и соА(ґ), рис. 1.3.
В сложном движении к -го тела в двух подвижных системах координат линейную скорость v его элементарной массы dm в точке г = гк +ЛЛр можно представить в виде суммы: скорости переносного движения тела Ак(\ + 1(гк +Л[р)) вместе с системой координат 0 xyz и скорости относи тельного движения тела v +co p в связанной с ним системе координат Ок,цс,. Тогда \ = Ак(У + 1гк+ПАткр) + хк+(йкр. (L6)
С другой стороны, если скорость в той же точке к -го тела определить в виде суммы: скорости точки Ок, равной Ак(У + flrk), и скорости поступательно-вращательного движения тела относительно этой точки ук + (Ак1 + &к У р, то будем иметь
С учетом двух вращательных движений с угловыми скоростями О, и ак ускорение произвольной точки (массы dm) к-то тела (рис. 1.5) определяется как a = v + (AAft + ft)vv. (1.8) Используя выражение (1.7) для v, соотношения (1.5), а также (1.3) в виде гк = Ак \к, получим
Далее вместо радиуса - вектора гк в качестве неизвестной будем рассматривать вектор упругих перемещений точки Ок, отсчитываемых относительно исходного положения этой точки на оси недеформированной лопасти, которая совпадает с осью 0 х: где П- потенциальная энергия упругой деформации; ЪА - вариация работы внешних сил (гравитационных и аэродинамических); ЪАин- вариация работы инерционных сил. Для дискретной конечно-элементной модели упругой лопасти (с невесомыми КЭ и сосредоточенными в расчетных сечениях эквивалентными твердыми телами, с приведенными к ним нагрузкам) выражения П, ЪА , ЪАШ записываются в виде сумм по всем КЭ и телам:
Геометрические и жесткостные характеристики в пределах длины каждого {к-то) достаточно короткого балочного КЭ будем считать постоянными осредненными по его длине величинами. Этот к-ът КЭ считается консольно и абсолютно жестко соединенным с сечением к-\. Он совершает вместе со связанной с ним местной системой координат Ok_xfyr[q большие перемещения и повороты как недеформируемое тело и, кроме того, деформации изгиба-сдвига в плоскостях Ok_fyr[ и Ok_ q, кручения относительно оси Ок_ , растяжения вдоль оси Ок_х%, рис. 1.6. Перемещения и углы поворота правого (к-го) конца этого элемента малой длины 1к=хк- xQk_x, обусловленные его упругими деформациями, являются малыми; обозначим их векторами Аи и А9 , соответственно.
Уравнение нелинейных уравнений движения упругой лопасти для умеренных и малых углов поворота её поперечных сечений
Этими функциями, как и соответствующими им самоуравновешенными напряжениями, возникающими при стеснении депланаций и деформаций контура поперечных сечений, в "балочной" теории изгиба, поперечного сдвига и кручения удлиненных тонкостенных конструкций типа крыла большого удлинения и лопасти несущего винта пренебрегают.
Таком образом обобщенные перемещения \/, Уц и ср при изгибе, поперечном сдвиге и кручении лопасти представляют энергетически эквивалентные значения угла поворота относительно оси , поперечного перемещения в направлении оси г и угла закручивания относительно оси q.
В качестве обобщенных координат отсека будем рассматривать значения \\J,V ,ц на краях q = 0, q = /,, представленные векторами Чтобы записать её в обобщенных координатах (2.35) воспользуемся принципом Кастильяно. Для этого необходимо, чтобы удовлетворялись уравнения равновесия любой отсеченной части, например, lx-q, а также - отсека в целом. Они записываются согласно рис. 2.2, а, б:
В качестве примера рассмотрим четырехпоясный прямоугольный кессон, (рис. 2.3). Верхняя и нижняя панели кессона являются анизотропными с углом анизотропии 9, где 0 — угол между направлениями х и 1; 1, 2 — направления осей ортотропии. Боковые стенки являются изотропными с модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона \х. Модуль упругости поясов также равен Е.
Примем следующие геометрические параметры отсека и характеристики материалов: а = 0.1м, с = 0.05 м, /1=0.8м, h = 0.002 м, hx =h2 =0.001 м , /,=/2 = 0.000025 м2; для боковых стенок — Е = 7 10 Па, р. = 0.3; для осей ортотропии панелей - Е\ =6.3-10 Па , 2 =1,5-10 Па , G12=0.47-1010na, ц12 =0.0714, ц21=0.3. Наряду с расчетами по «балочной теории» со свободной депланацией поперечных сечений для сравнения выполнены расчеты по МКЭ с достаточно мелкой сеткой при условии, что торцы отсека являются абсолютно жесткими (их депланация равна нулю). пУ
Ниже приведены элементы симметричных матриц Гі 10 , т.е. у = 107у(у при i,j= 1, 2, 3, для случая нерастяжимых в поперечном направлении панелей (ES - гх = 0) при некоторых углах анизотропии 0 (рядом в скобках для сравнения приведены значения у полученные по МКЭ):
Результаты расчета по «балочной теории» удовлетворительно согласуются с результатами расчета по МКЭ. Некоторые различия обусловлены, по-видимому, не только используемой гипотезой, но и тем, что в балочной модели все поперечные сечения могут свободно депланировать, а в принятой здесь КЭ-модели торцевые сечения могут только перемещаться и поворачиваться, оставаясь плоскими.
Обыкновенные дифференциальные уравнения изгибно-крутильных колебаний лопасти с учетом поперечных сдвигов
Рассмотрим малые изгибно-крутильные колебания лопасти во вращающейся системе координат O+xyz. При этом ось с, будет совпадать с осью будут параллельны осям х иу, соответственно. Лопасть будем рассматривать как систему с распределенными вдоль оси z параметрами.
Дифференциальные уравнения равновесия отсека лопасти при изгибе-сдвиге в плоскости j/z и кручении относительно оси z на основании рис. 2.4, а записываются в виде Вариация работ неизвестных реакций на краях полоски (элемента шириной dz) на перемещениях и углах поворота этих краев (рис. 2.4, б) с учетом уравнений равновесия (2.47) будет:
Используя принцип Кастильяно Ы1-6А = 0 с учетом (2.29) и (2.48), получим уравнения деформирования отсека лопасти:
Для вынужденных гармонических колебаний крыла с заданной частотой со, например, пропорциональных cos со t, распределенные положения нагрузки с учетом инерционных и центробежных сил записываются в виде тх = -№{Г - xrq ) + (o\\\f + тх, q =(02(\iV-[ixT(p) + q, (2.50) т2 = со (-ji хгГ + /гф) + т Z где тх, q, mt — заданные гармонические погонные нагрузки (функции координаты z, умноженные на cos со ґ); МІ2) ix(z) h(z) погонная масса и погонные массовые моменты инерции лопасти; xT(z) — координата центра тяжести в сечении z = const, № — центробежная сила;. Статическую задачу изгиба, поперечного сдвига и кручения можно рассматривать в качестве частного случая задачи колебаний, если положить со = 0.
Матрица жесткости отсека лопасти при изгибе-сдвиге в вертикальной плоскости и кручении
Так как зависимости v от z для вращающейся лопасти (3.22) и для неподвижной (3.23) лопасти аналогичны, то, сравнивая их, приходим к заключению, что погонные нагрузки в поперечном сечении вращающейся лопасти можно определить по формулам для неподвижной лопасти, если в них выполнить замены:
Первое из этих условий относится к скорости набегающего потока, а четыре других - кинематическим параметрам, фигурирующим в следующих формулах нестационарной теории плоского обтекания профиля [35] ширина хорды лопасти. с ,Cyz ,Су ,Cyz - коэффициенты аэродинамических производных подъёмной силы; m ,m z,т ,т : - коэффициенты аэродинамических производных аэродинамического момента [35]. Аэродинамические коэффициенты для колеблющегося профиля крыла Су , Cyz, ..., mf зависят от приведенной частоты колебаний a b/U. При использовании квазистационарной аэродинамической теории значения этих коэффициентов берутся при (ob/U -» 0.
Если используется гипотеза стационарности, то в выражениях (3.25) следует положить Cyz = Су — т2 — т = 0, а остальные коэффициенты брать при условии cab/U = 0.
Произведем в формулах (3.25) замены в соответствии с (3.24) и после этого пренебрежем членами, содержащими V и ср как малыми инерционными силами присоединенных масс воздуха. Получим:
При вычислении аэродинамических коэффициентов необходимо также заменить число Маха и приведенную частоту здесь «ад - скорость звука в невозмущенном потоке. Вариация работы аэродинамической нагрузки (рис 3.5), действующей на А:-ый КЭ, ЪАак = [AYbV + AM 8(p]dz (3.27) Для упрощения вычислений аэродинамических сил в пределах малой длины КЭ вместо (3.6), можно использовать линейную аппроксимацию перемещений (3.8). вектор обобщенных аэродинамических сил, действующих на к-ът отсек. Матрицы аэродинамической жесткости Ък и аэродинамического демпфирования Dj. имеют следующий вид: где при линейной аппроксимации by = bji = b4j = bj4 = 0,у = 1, ..., 6;
Вариация работы аэродинамических сил действующих на вращающуюся лопасть, получается путем суммирования по всем отсекам: - вектор обобщенных аэродинамических сил. Матрицы В и D составляются из матриц Вд. и D , соответственно. Уравнения аэроупругих колебаний вращающейся лопасти вертолёта, полученные по методу конечных элементов (
Для примера рассмотрим лопасть с постоянными характеристиками по длине, профиль поперечного сечения которой изображен на рис. 3.6.
Примем следующие значения параметров: а = 0.1 м, Ъ = 0.015м, хт= -0.015м, h = 0.005м, Л, = 0.004м, для боковой стенки - Е = 7 1010 Па, ц. = 0.3; для осей ортотропии панелей - Е] = 6.3 1010 Па, Е2 = 1,5 1010 Па, Gu = 0.47 1010 Па, ц12 = 0.0714, ц21 = 0.3; контур считается нерастяжимым, є = 0.
В табл. 3.1 и 3.2 приведены результаты для квадратов собственных частот при различном числе конечных элементов при частоте вращения Q = 0 с-1 и Q = 10 с-1, соответственно. Матрицы инерции и геометрической жесткости, вычислялись при квазистатической аппроксимации. В скобках приведены уг лы анизотропии материала, при которых вычислялись матрицы жесткости КЭ.
Задача об определении собственных частот также решалась путем численного интегрирования дифференциальных уравнений колебаний лопасти в целом (2.47), (2.49). В табл. 3.3 и 3.4 приведены результаты сравнения квадратов собственных частот колебаний лопасти длиной 8 м, полученных по МКЭ (при N = 20) и путем численного решения дифференциальных уравнений колебаний лопасти при различных углах анизотропии 9. Результаты получены при допущении Е_у = 0 (нерастяжимый контур) и при Ns=0.
В табл. 3.6 и 3.7 приведены результаты для квадратов собственных частот при различных вариантах вычисления матриц инерции КЭ для лопасти длиной 8 м при Q = 0 углах и анизотропии 9 = 0 и 9 = 20, соответственно. В 3.8 и 3.9 приведены результаты для частоты вращения Q = 10c_1 при углах анизотропии 9 = 0 и 9 = 20.
На рис. 3.7, 3.8 приведены графики изменения четырех низших (v = 1, 2, 3, 4) собственных частот колебаний лопасти длиной 8 м в пустоте в зависимости от частоты её вращения для трех вариантов Сплошными линиями показано решение для лопасти из ортотропного материала, т.е. 0 = 0; штрих-пунктирными линиями обозначены результата для лопасти, у которой все КЭ имеют одинаковый угол анизотропии 0 = 10; пунктирными линиями обозначены результата для лопасти, у которой угол анизотропии 0 = 10 имеют только КЭ на длине 3.2 м от втулки, а остальная часть лопасти изготовлена из ортотропного материала. Рис. 3.7
О 5 10 15 О На рис. 3.9, 3.10 приведены графики изменения четырех низших (v = 1, 2, 3, 4) собственных частот колебаний лопасти длиной 6 м в пустоте в зависимости от частоты её вращения для трех вариантов. Сплошными линиями показано решение для лопасти из ортотропного материала, т.е. 0 = 0; штрих-пунктирными линиями обозначены результата для лопасти, у которой все КЭ имеют одинаковый угол анизотропии 0 = 10; пунктирными линиями обозначены результата для лопасти, у которой угол анизотропии 0 = 10 имеют только КЭ на длине 2.4 м от втулки, а остальная часть лопасти изготовлена из ортотропного материала.
На рис. 3.11, 3.12, 3.13 приведены собственные формы колебаний для лопасти длиной 8 м, соответствующие первой собственной частоте юх при Q = 5 с х. Сплошными линиями обозначены собственные формы лопасти из ортотропного материала, т.е. 6 = 0 (ю, =6.268), штрих-пунктирными - лопасть, у которой все КЭ имеют одинаковый угол анизотропии 6 = 10 (о»! =6.163), пунктирными линиями — обозначены результаты для лопасти, у которой угол анизотропии 0 = 10 имеют только КЭ на длине 3.2 м от втулки (ш, =6.167).
Определение аэродинамических нагрузок, действующих на колеблющуюся лопасть
На рис. 3.7, 3.8 приведены графики изменения четырех низших (v = 1, 2, 3, 4) собственных частот колебаний лопасти длиной 8 м в пустоте в зависимости от частоты её вращения для трех вариантов Сплошными линиями показано решение для лопасти из ортотропного материала, т.е. 0 = 0; штрих-пунктирными линиями обозначены результата для лопасти, у которой все КЭ имеют одинаковый угол анизотропии 0 = 10; пунктирными линиями обозначены результата для лопасти, у которой угол анизотропии 0 = 10 имеют только КЭ на длине 3.2 м от втулки, а остальная часть лопасти изготовлена из ортотропного материала. Рис. 3.7
На рис. 3.9, 3.10 приведены графики изменения четырех низших (v = 1, 2, 3, 4) собственных частот колебаний лопасти длиной 6 м в пустоте в зависимости от частоты её вращения для трех вариантов. Сплошными линиями показано решение для лопасти из ортотропного материала, т.е. 0 = 0; штрих-пунктирными линиями обозначены результата для лопасти, у которой все КЭ имеют одинаковый угол анизотропии 0 = 10; пунктирными линиями обозначены результата для лопасти, у которой угол анизотропии 0 = 10 имеют только КЭ на длине 2.4 м от втулки, а остальная часть лопасти изготовлена из ортотропного материала.
На рис. 3.7-3.10 частотам со19 ш2, со3 соответствуют преимущественно изгибные формы колебаний, ш4 преимущественно крутильная форма.
На рис. 3.11, 3.12, 3.13 приведены собственные формы колебаний для лопасти длиной 8 м, соответствующие первой собственной частоте юх при Q = 5 с х. Сплошными линиями обозначены собственные формы лопасти из ортотропного материала, т.е. 6 = 0 (ю, =6.268), штрих-пунктирными - лопасть, у которой все КЭ имеют одинаковый угол анизотропии 6 = 10 (о»! =6.163), пунктирными линиями — обозначены результаты для лопасти, у которой угол анизотропии 0 = 10 имеют только КЭ на длине 3.2 м от втулки (ш, =6.167).
На рис. 3.14, 3.15, 3.16 приведены собственные формы крутильных колебаний для лопасти длиной 8 м, соответствующие четвертой собственной частоте со 4 Сплошными линиями обозначены собственные формы для лопасти из ортотропного материала (со4 = 69.145), штрих-пунктирными - лопасть, у которой все КЭ имеют угол анизотропии 6 = 10 (со4 =79.125), пунктирными линиями — обозначены результаты для лопасти, у которой угол анизотропии 0 = 10 имею только КЭ на длине 3.2 м (со4 = 75.536).
Как видно, результаты МКЭ при увеличении N сходятся к результатам, полученным путем решения дифференциальных уравнений (2.47), (2.49) с учетом (2.50). Также они показывают, что по МКЭ получаются результаты с достаточно большой точностью при небольшом числе КЭ. Следовательно уже при JV= 10 МКЭ дает вполне приемлемую точность для нескольких низших частот колебаний, которая повышается при увеличении N.
Определение границы устойчивости для лопасти в режиме висения. Для исследования устойчивости вращающейся упругой анизотропной лопасти в режиме висения используется уравнение (3.32) при q = ZeXt
Из условия равенства нулю определителя этой однородной линейной системы алгебраических уравнений определяются собственные значения Хп = ап + тп и собственные вектора Ъп — Хп + iYn, п = 1,2, ... . Если среди этих корней имеется, по крайней мере, один с положительной вещественной частью av, то система является неустойчивой. При av 0 и cov Ф 0 система динамически неустойчива (флаттер) по формам Xv и Yv, которые колеблются одновременно с частотой cov и со сдвигом фазы между ними, равным 7с/2. При av 0 и cov=0 система статически неустойчива (дивергенция) по форме Xv. При этом параметр av характеризует нарастание амплитуды колебаний (отклонения) по закону eavt.
Случай a = 0 является границей устойчивости: на границе флаттера a = 0 и X = ±/со; на границе дивергенции a = 0 и X = 0.
Ниже приведены результаты исследования аэроупругой устойчивости вращающейся анизотропной бесшарнирной лопасти.
На рис. 3.17 и 3.18 приведены зависимости действительных и мнимых частей собственного значения Х4 = ос4 + /со4 собственной формы Z4, по которой наступает флаттер, в зависимости от частоты вращения лопасти Q. Графики приведены для различных вариантов углов анизотропии всех отсеков лопасти длиной 6 м. На рис. 3.19 и 3.20 приведенные те же результаты, только для лопасти длиной 8 м.
На рис. 3.21 и 3.22 приведены зависимости действительных и мнимых частей собственного значения X1=al+ /coj собственной формы Zl, в зависимости от частоты вращения лопасти Q. Графики приведены для различных вариантов анизотропии всех отсеков лопасти длиной 6 м. На рис. 3.23 и 3.24 - для лопасти длиной 8 м. = -20l
Рассмотрим два варианта расчета при стендовых испытаниях: определение тяговых характеристик лопасти и имитация работы автомата перекоса..
В определении тяговых характеристик будем считать, что установочный угол атаки а0 в корневой части лопасти постоянный и не меняется со временем. Тогда надо решить статическую задачу, описываемую уравнением:
Для расчета тяговых характеристик примем а0 = 5, а параметры лопасти примем такие же как и в предыдущих разделах. Длина лопасти 6 м, частота вращения Q = 5c-1. На рис. 3.25 и 3.26 приведены графики изменения перерезывающей силы и изгибающего момента в корневой (z = 0) части лопасти, соответственно, в зависимости от углов анизотропии материала. Сплошными линиями показана зависимость для лопасти, у которой все КЭ имеют одинаковый угол анизотропии материала. Штрихпунктирные линии обозначают результат для лопасти, у которой КЭ только на длине 2.4 м от корневого сечения лопасти изготовлены из анизотропного материала, а пунктирными линиями обозначен результат для случая, когда КЭ только на длине 1.2. м из анизотропного материала. На графиках также показано решения для абсолютно жесткой лопасти — это горизонтальные линии (пунктир с мелкими штрихами).
