Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Напряженное состояние тонкого покрытия при действии периодической системы поверхностных сосредоточенных сил 14
1.1 Постановка задачи 16
1.2 Основные соотношения 18
1.3 Периодическое решение при силовых сосредоточенных воздействиях 25
1.4 Напряжения в слое 30
Глава 2. Устойчивость плоской формы напряженного пленочного покрытия при поверхностной диффузии 36
2.1 Постановка задачи 37
2.2 Уравнение движения точек поверхности деформируемого тела при поверхностной диффузии 41
2.3 Удельная энергия упругой деформации 43
2.4 Анализ устойчивости плоской формы поверхности пленки 50
Глава 3. Комбинированный эффект влияния объемной и поверхностной диффузии на развитие рельефа поверхности пленочного покрытия 55
3.1 Постановка задачи 56
3.2 Уравнение движения точек поверхности деформируемого тела при поверхностной и объемной диффузии 58
3.3 Влияние различных факторов на развитие рельефа пленочного покрытия 64
3.4 Концентрация напряжений на искривленной поверхности пленочного покрытия 74
Заключение 80
Литература 84
- Основные соотношения
- Периодическое решение при силовых сосредоточенных воздействиях
- Уравнение движения точек поверхности деформируемого тела при поверхностной диффузии
- Уравнение движения точек поверхности деформируемого тела при поверхностной и объемной диффузии
Введение к работе
Гетероэпитаксиальные структуры с полупроводниковыми пленочными покрытиями получили широкое применение в электронной и оптоэлектронной промышленности. К примеру, пьезоэлектрическая или пьезорезистивная тонкая пленка, выращенная на кремниевой мембране, может быть использована для электронного определения прогиба мембраны вследствие внешнего воздействия на ее поверхность [1]. Возможность продолжительной эксплуатации приборов микроэлектроники и оптоэлектроники в значительной мере зависит от стабильности их физических свойств и от стабильности образующих их тонкопленочных структур.
Вместе с тем, тонкие пленки из-за своих особых свойств, таких, как большое отношение поверхности к объему, высокая плотность структурных дефектов и возможные большие градиенты механических напряжений, представляют собой весьма неравновесные образования [2]. Существует ряд серьезных проблем технологического характера, связанных с неустойчивым состоянием формы поверхности пленки и ее морфологическим изменением с течением времени. Прежде всего, изменение формы поверхности может происходить на этапе выращивания и термической обработки пленочного покрытия, сопровождаемые процессами конденсации и испарения [3]. При этом вследствие рассогласования параметров кристаллических решеток пленки и основного материала, в пленке возникают достаточно большие сжимающие напряжения порядка 1-2,5 ГПа [4], а на межфазной границе скапливаются дислокации несоответствия [5]. Интенсивный нагрев [6, 7, 8] и большие напряжения [9] превращают первоначально гладкую поверхность пленки в шероховатую, что негативно отражается на ее электрических и оптических свойствах. Данный феномен подтвержден многочисленными теоретическими и экспериментальными исследованиями, в которых описаны различные конфигурации рельефа, включая островки [10, 11], слабую волнистость [12], острые выступы и впадины [13]. Но, несмотря на часто наблюдаемые морфологические изменения поверхности пленки, причина таких изменений остается до конца не выясненной и вызывает многочисленные дискуссии [14].
Отметим, что иногда процесс формообразования на поверхности пленочного покрытия можно использовать для улучшения свойств электроприборов. Хорошо известно, что при определенных условиях роста и отжиге очень тонкая гетероэпитаксиальная пленка распадается на островки наноразмера (состоящие из 10 — 10э атомов), называемые квантовыми точками [15]. Данные наноструктуры обладают необычными электрическими и оптическими свойствами, что позволяет разрабатывать на их основе совершенно новые микроэлектронные устройства, такие, как одноэлектронные транзисторы и квантовые полупроводниковые лазеры [16]. Все эти обстоятельства обуславливают большой интерес и стимулируют активность в области изучения формообразования на поверхности гетероэпитаксиальных пленочных покрытий.
Наиболее распространенной моделью волнообразования поверхности напряженного тела является модель потери устойчивости плоской формы поверхности в результате диффузионных процессов, происходящих в приповерхностном слое.
Заметим, что в классической механике деформируемых твердых тел закономерности процесса деформации изучались, как правило, без привлечения каких-либо конкретных представлений о существующей взаимосвязи механических и немеханических форм движения. Поэтому для количественного описания состояния деформируемой среды вводились механические параметры состояния - тензоры деформации и напряжений [17].
Современные тенденции развития механики деформируемых тел связаны с дальнейшим расширением свойств механических моделей путем учета различного рода немеханических видов и форм движения, существующих в реальных телах при их взаимодействии с окружающей средой. Таким образом, наряду с механическими, требуется введение некоторых дополнительных параметров состояния. Так, при рассмотрении процессов переноса массы в твердом теле на той или иной стадии приходится обращаться к представлениям о дискретном строении вещества. В частности, создание теоретических моделей кристаллических или поликристаллических тел затруднительно без учета структурных несовершенств типа вакансий, инородных частиц, примесей, а также несовершенств дислокационного характера, определяющих характер процесса диффузионного перемещения вещества [2].
Постановку вопроса о взаимосвязи процесса диффузии вещества и процесса деформации твердого тела связывают с работами [18, 19]. В дальнейшем этот вопрос рассматривался в исследованиях [20-25].
По-видимому, впервые теоретическое исследование морфологической неустойчивости твердого тела под действием напряжений было дано в работе [26], в которой рассматривалась устойчивость плоской поверхности, разделяющей напряженное твердое тело и жидкость, в геометрически линейной постановке. Было обнаружено, что плоская поверхность неустойчива по отношению к малым периодическим возмущениям, если длина волны возмущения больше некоторого критического значения, пропорционального отношению поверхностной энергии к упругой энергии деформации, вычисленной на поверхности. Этот факт был подтвержден затем в [27—29] для поверхности твердого тела, а также в [30, 31] при учете тонких пленочных покрытий. Необходимо отметить, что только в работах [32, 33] выявлена чувствительность процесса волнообразования поверхности тела к изменению знака действующих напряжений. При этом поверхностная диффузия изучалась в однородном упругом материале при отсутствии пленочного покрытия.
Геометрически линейный анализ, проведенный в работах [-26-33], лишь предсказывает экспоненциальный рост синусоидальной формы потери устойчивости в диапазоне длин волн, больших критического значения, и не позволяет проследить эволюцию рельефа поверхности. Напротив, в работе [34] рассмотрена аналитическая модель, которая охватывает некоторые особенности образования глубоких острых впадин. В данной модели, эволюция рельефа описывается семейством циклоид. Позднее, в работах [35-37] был предложен вариационный принцип, основанный на уравнениях неравновесной термодинамики, что позволило выявить более богатую динамику развития рельефа поверхности твердого тела.
В большинстве работ, аналогичных [26-33], анализ потери устойчивости поверхности основан на учете поверхностной диффузии, определяемой градиентом химического потенциала. Поверхностная диффузия является ведущим, но не единственным механизмом формирования рельефа поверхности [6, 8]. При высоких температурах благодаря капиллярному эффекту возникает движение атомов вглубь материала, т. е. в приповерхностном слое имеет место объемная диффузия, также влияющая на изменение формы поверхности тела. Эффект этого влияния зависит от уровня температуры и неоднородности распределения напряжений из-за искривления поверхности [38].
В работах [39, 40] представлено исследование влияния объемных и поверхностных диффузионных потоков на сглаживание рельефа твердого тела при отсутствии напряжений. Также следует отметить исследование [41], посвященное анализу эволюции синусоидального рельефа малой амплитуды под действием процесса диффузии, локализованного в приповерхностном слое напряженного твердого тела. В данной работе рассматривалось влияние как поверхностной, так и объемной диффузии, но при этом не учитывалась толщина пленочного покрытия.
В работах [34, 37] было показано, что морфологические изменения поверхности напряженной тонкой пленки зачастую приводят к образованию острых впадин на поверхности пленочного покрытия. Такой дефект поверхности порождает локальный рост напряжений на дне впадин [4, 34] и способствует развитию механических повреждений в результате хрупкого разрушения или пластической деформации. Как уже было отмечено, термическая и эпитаксиальная несогласованность являются причиной возникновения в пленке достаточно больших напряжений (порядка 1-2,5 ГПа). При таком высоком уровне напряжений незначительное увеличение последних, вследствие поверхностной неоднородности, может инициировать процесс зарождения дислокаций и трещин [4, 34].
Таким образом, технология производства устройств микро- и оптоэлектроники на основе тонкопленочных гетероэпитаксиальных покрытий требует, чтобы присутствие в них подобного рода дефектов было сведено к минимуму. Для создания методики минимизации плотности распределения дефектов необходимо понимание процессов, приводящих к их появлению.
Цель работы. Различие между параметрами кристаллических решеток материалов пленки и подложки обуславливает появление в пленке напряжений несоответствия. Предполагается, что возникшее поле напряжений активирует массоперенос вдоль поверхности покрытия, а при высоких температурах — и вглубь материала пленки. Считается, что под действием диффузионных процессов происходит образование периодического рельефа поверхности пленки. Такой дефект поверхности порождает локальный рост напряжений на дне впадин. Таким образом, необходимо исследовать влияние физических и геометрических параметров на механизм образования гофра на поверхности пленки, а также на напряженное состояние пленочного покрытия
Научную новизну результатов составляет построение фундаментального решения для композита полоса-полуплоскость при действии периодической системы поверхностных сосредоточенных сил; исследование влияния толщины пленки и жесткости подложки на механизм образования рельефа различной формы, а также на концентрацию напряжений на деформированной поверхности.
Основные результаты, выносимые на защиту:
• Для упругого композита полоса-полуплоскость построены функции Грина, отвечающие действию периодической системы сосредоточенных поверхностных сил. Функции найдены в виде комплексных рядов Фурье. Проведен анализ полученного решения и найдены границы изменения геометрических параметров задачи, в пределах которых функции Грина могут быть с заданной точностью представлены отрезком ряда Фурье. Построенные функции Грина позволяют определять напряженно-деформированное состояние композита при любой периодической нагрузке, действующей на границе.
• С использованием полученных функций Грина решена задача потери устойчивости плоской формы поверхности напряженного пленочного покрытия при поверхностной диффузии. Получена и проанализирована явная зависимость амплитуды развития синусоидального рельефа от времени, физических и геометрических параметров задачи. Исследовано влияние данных параметров на критическое значение длины волны.
• Решена задача потери устойчивости плоской формы поверхности напряженного пленочного покрытия при объемной и поверхностной диффузии, вызванной интенсивным нагревом. Получена и проанализирована явная зависимость амплитуды развития периодического рельефа от времени, физических и геометрических параметров задачи. Исследовано влияние формы потери устойчивости на критическое значение периода возмущения и критическое значение продольных усилий.
• Проведен анализ концентрации напряжений, вызванной слабым искривлением поверхности пленочного покрытия в результате действия диффузионных процессов. В первом приближении метода возмущений изучено влияние формы рельефа поверхности, толщины пленки и жесткости подложки на концентрацию напряжений.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 86 наименований. Работа изложена на 92 страницах, содержит 23 рисунка, 1 таблицу.
Во введении приведен краткий обзор литературы, касающейся рассматриваемых в работе проблем. Обосновывается актуальность темы диссертации, указывается цель и методы исследования. Перечислены основные результаты, выносимые на защиту. Также кратко описана структура работы и содержание последующих глав.
В первой главе рассмотрена двумерная модель твердого тела с тонким пленочным покрытием в виде упругого композита полоса-полуплоскость, находящегося под действием периодической системы поверхностных сосредоточенных сил и равномерно распределенных усилий.
уравновешивающих эту систему. Решение задачи ищется при условии идеального сцепления на границе контакта и нулевых условиях на бесконечности.
В соответствии с принципом суперпозиции решение исходной задачи представляется в виде суммы решений двух задач:
1. Задачи для полуплоскости с упругими свойствами полосы, на границе которой действует требующая определения неизвестная нагрузка при нулевых условиях на бесконечности.
2. Задача для двух соединенных полуплоскостей со скачками усилий и перемещений на границе раздела при тех же нулевых условиях на бесконечности.
После чего, согласно [42], решение задачи о действии периодической системы поверхностных сосредоточенных сил сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода относительно неизвестной функции, через которую выражаются комплексные потенциалы вышеперечисленных задач. Решение интегрального уравнения, а, следовательно, и задачи в целом, находим в виде ряда Фурье.
Получены условия, при выполнении которых, решение может быть в зависимости от степени точности (1% либо 0,1%) выражено посредством одной или трех гармоник. В случае, когда погрешность аппроксимации решения одной первой гармоникой ряда Фурье не превышает 0,1%, исследовано напряженное состояние пленки в зависимости от геометрических и физических параметров задачи.
Результаты первой главы опубликованы в [43-45].
Во второй главе рассматривается задача устойчивости плоской формы поверхности напряженного пленочного покрытия. Морфология поверхности описывается косинусоидой с амплитудой, много меньшей длины периода. В качестве основного механизма волнообразования рассматривается поверхностная диффузия. Вместе с тем учитывается влияние поверхностного напряжения, отражающего взаимосвязь деформаций поверхности и объема.
С использованием термодинамического подхода Гиббса и геометрически линейных уравнений теории упругости задача сводится к нахождению зависимости амплитуды возмущения от времени при учете поверхностной диффузии и упругого деформирования тела с пленочным покрытием. При этом не учитываются температурные слагаемые, и в качестве свободной энергии системы рассматривается сумма поверхностной энергии и упругой энергии деформации поверхности. Процесс потери устойчивости плоской формы поверхностного слоя рассматривается в квазистатической постановке, в силу чего для определения напряженно-деформированного состояния композита строится решение статической задачи теории упругости при фиксированном значении времени. Используется метод разложения по малому параметру, где в качестве малого параметра выступает отношение амплитуды к длине периода возмущения.
Следуя методу возмущений, упругую энергию деформации криволинейной поверхности находим в первом приближении из решения задачи теории упругости для полосы, соединенной с полуплоскостью, при действии соответствующих усилий на прямолинейной границе. Для решения этой задачи используется метод суперпозиции, а также метод, примененный в первой главе при построении фундаментального периодического решение задачи для упругого композита полоса-полуплоскость при действии периодической системы поверхностных сосредоточенных сил. Интегрируя линеаризованное дифференциальное уравнение движения точек поверхности пленки в нормальном направлении, при составлении которого учтены потоки масс вдоль поверхности, приходим к явной зависимости амплитуды искривления от времени, физических и геометрических параметров задачи. Анализ этой зависимости показывает, что если длина волны возмущенной поверхности меньше критического значения, то амплитуда искривления уменьшается со временем, и, следовательно, плоская форма поверхности пленки является устойчивой.
Результаты второй главы опубликованы в работе [46].
Поскольку кроме поверхностной диффузии при высокотемпературном воздействии наблюдается движение атомов вглубь материала, то в третьей главе считается, что под действием интенсивного внешнего нагрева морфология пленочного покрытия формируется не только потоком диффундирующих атомов вдоль поверхности, но также и объемной диффузией.
Предполагается, что форма потери устойчивости захватывает лишь поверхностный слой пленки, толщиной которого мы пренебрегаем. Диффузионный процесс также локализован лишь в данном поверхностном слое. Морфологию поверхности описываем произвольной периодической кривой с амплитудой, зависящей от времени. Соответствующую периодическую функцию в процессе решения представляем в виде ряда Фурье. Предполагаем, что в любой момент времени амплитуда много меньше длины периода. Как и ранее, устойчивому состоянию плоской формы поверхности пленки будут отвечать те значения входящих в решение задачи параметров, при которых амплитуда со временем стремится к нулю, т. е. происходит сглаживание рельефа.
Используя метод, описанный во второй главе и учитывая поток массы по нормали к поверхности, получаем явную зависимость амплитуды искривления от времени. Далее исследуем зависимость критической длины волны возмущения и критического значения продольных усилий от физических и геометрических параметров задачи в случае различных форм потери устойчивости.
Как уже отмечалось выше, образование гофра на поверхности пленочного покрытия порождает локальный рост напряжений на дне впадин, что при достаточно больших напряжениях несоответствия может активизировать процесс зарождения дислокаций и трещин. В связи с чем, в конце третьей главы при помощи метода возмущения проанализирована концентрация напряжений, вызванная слабым искривлением поверхности пленочного покрытия. На основе первого приближения изучено влияние формы рельефа поверхности, толщины пленки и жесткости подложки на концентрацию напряжений.
Результаты третьей главы опубликованы в работах [47-50].
В заключении формулируются основные результаты работы.
Основные соотношения
Деформация сплошной среды может быть связана с наличием в ней различного рода точечных источников возмущения. К ним относятся всевозможные сосредоточенные воздействия внешних силовых, температурных и электромагнитных полей [51, 52], а также дефекты структуры [53, 54].
Сосредоточенные воздействия являются полезной абстракцией, часто используемой в механике твердого деформируемого тела. Их введение упрощает решения многих задач. Полученные при этом решения дают хорошее приближение вдали от места приложения локальной нагрузки. Прием выделения сингулярной части облегчает нахождение остальной части решения. Роль сингулярного решения увеличивается в случаях, когда неизвестно истинное распределение локальной нагрузки, а достоверно известны лишь ее главные вектор и момент [55].
Действие сосредоточенной силы в двухкомпонентной упругой плоскости при идеальном сцеплении рассмотрено в работе [56]. Однако решение записано в вещественных переменных, в силу чего имеет довольно громоздкий вид. Применение комплексных потенциалов [52, 57] позволяет придать решению наиболее компактную форму. Это, в свою очередь позволяет достаточно просто и эффективно строить различные интегральные уравнения [58]. Впервые, по-видимому, комплексные потенциалы были использованы в работе [59] в частном случае для сосредоточенной силы в полуплоскости. Действие силы и момента сил в полуплоскости со свободной или жесткой границей рассмотрено в работе [60].
Подобного рода сингулярные решения задач об одиночных сосредоточенных воздействиях могут быть применены, в частности, и при рассмотрении периодических краевых задач [61, 62]. В то же время, более рациональный путь решения последних связан с непосредственным использованием периодических функций Грина. Знание аналитического вида функций Грина дает возможность найти решение любой краевой задачи путем построения и решения соответствующих граничных интегральных уравнений [63]. К этим функциям можно отнести решения, найденные для периодической системы сил [64, 65] и моментов [66] в полуплоскости. В общем случае, для двухкомпонентной упругой плоскости функции Грина, отвечающие периодической системе сил или краевых дислокаций, получены в [67].
В случае тела с пленочным покрытием оказалось, что функции Грина, отвечающие одиночной дислокации, удается представить только в интегральном виде [68, 69]. Вместе с тем в работе [70] показано, что для композита полоса-полуплоскость периодические функции Грина, отвечающие действию периодической системы сосредоточенных сил пли дислокаций в полуплоскости, могут быть с достаточной степенью точности выражены через конечное число элементарных функций.
Основной целью настоящей главы является построение и изучение функций Грина для упругого композита полоса-полуплоскость, отвечающих действию периодической системы сосредоточенных сил на поверхности композита полоса-полуплоскость.
Периодическое решение при силовых сосредоточенных воздействиях
Современные тенденции развития механики деформируемых тел связаны с дальнейшим расширением свойств механических моделей путем учета различного рода немеханических видов и форм движения, существующих в реальных телах при их взаимодействии с окружающей средой. Таким образом, наряду с механическими, требуется введение некоторых дополнительных параметров состояния. Так, при рассмотрении процессов переноса массы в твердом теле на той или иной стадии приходится обращаться к представлениям о дискретном строении вещества. В частности, создание теоретических моделей кристаллических или поликристаллических тел затруднительно без учета структурных несовершенств типа вакансий, инородных частиц, примесей, а также несовершенств дислокационного характера, определяющих характер процесса диффузионного перемещения вещества [2].
Постановку вопроса о взаимосвязи процесса диффузии вещества и процесса деформации твердого тела связывают с работами [18, 19]. В дальнейшем этот вопрос рассматривался в исследованиях [20-25].
По-видимому, впервые теоретическое исследование морфологической неустойчивости твердого тела под действием напряжений было дано в работе [26], в которой рассматривалась устойчивость плоской поверхности, разделяющей напряженное твердое тело и жидкость, в геометрически линейной постановке. Было обнаружено, что плоская поверхность неустойчива по отношению к малым периодическим возмущениям, если длина волны возмущения больше некоторого критического значения, пропорционального отношению поверхностной энергии к упругой энергии деформации, вычисленной на поверхности. Этот факт был подтвержден затем в [27—29] для поверхности твердого тела, а также в [30, 31] при учете тонких пленочных покрытий. Необходимо отметить, что только в работах [32, 33] выявлена чувствительность процесса волнообразования поверхности тела к изменению знака действующих напряжений. При этом поверхностная диффузия изучалась в однородном упругом материале при отсутствии пленочного покрытия.
Геометрически линейный анализ, проведенный в работах [-26-33], лишь предсказывает экспоненциальный рост синусоидальной формы потери устойчивости в диапазоне длин волн, больших критического значения, и не позволяет проследить эволюцию рельефа поверхности. Напротив, в работе [34] рассмотрена аналитическая модель, которая охватывает некоторые особенности образования глубоких острых впадин. В данной модели, эволюция рельефа описывается семейством циклоид. Позднее, в работах [35-37] был предложен вариационный принцип, основанный на уравнениях неравновесной термодинамики, что позволило выявить более богатую динамику развития рельефа поверхности твердого тела.
В большинстве работ, аналогичных [26-33], анализ потери устойчивости поверхности основан на учете поверхностной диффузии, определяемой градиентом химического потенциала. Поверхностная диффузия является ведущим, но не единственным механизмом формирования рельефа поверхности [6, 8]. При высоких температурах благодаря капиллярному эффекту возникает движение атомов вглубь материала, т. е. в приповерхностном слое имеет место объемная диффузия, также влияющая на изменение формы поверхности тела. Эффект этого влияния зависит от уровня температуры и неоднородности распределения напряжений из-за искривления поверхности [38]. В работах [39, 40] представлено исследование влияния объемных и поверхностных диффузионных потоков на сглаживание рельефа твердого тела при отсутствии напряжений. Также следует отметить исследование [41], посвященное анализу эволюции синусоидального рельефа малой амплитуды под действием процесса диффузии, локализованного в приповерхностном слое напряженного твердого тела. В данной работе рассматривалось влияние как поверхностной, так и объемной диффузии, но при этом не учитывалась толщина пленочного покрытия.
Уравнение движения точек поверхности деформируемого тела при поверхностной диффузии
Вывод дифференциального уравнения движения точек поверхности, основанный на термодинамическом подходе Гиббса [75, 76], использовался в работах [7, 26-33, 76]. Согласно этому подходу химический потенциал приповерхностных атомов имеет вид JU = (U-K/)Q (2.9) где U — плотность упругой энергии (удельная энергия деформации), вычисляемая в точках поверхности, у — плотность поверхностной энергии (поверхностное натяжение), К — кривизна поверхности, Q. — атомный объем. Величина у имеет смысл минимальной работы, необходимой для образования единицы поверхности.
Заметим, что в выражении (2.9), следуя [26], мы пренебрегаем температурными слагаемыми и в качестве полной энергии системы рассматриваем сумму упругой энергии деформации и поверхностной энергии. Изменение химического потенциала вдоль искривленной поверхности стимулирует поток массы в касательном направлении к рассматриваемой поверхности [77, 78].
Удельная энергия деформации, следующей закону Гука, в произвольной точке тела определяется по формуле [79] U = - rafieap (2.13) где по повторяющимся индексам производится суммирование. В случае плоской задачи а, р = 1,2. Чтобы найти величину U, необходимо решить соответствующую краевую задачу. Для формулировки и последующего решения этой задачи заметим, что в точках поверхности тела действует поверхностное напряжение JS, которое связано с поверхностной энергией / известным соотношением Херринга [76, 78] ду vs=r + S - (2.14) OS где S — площадь поверхности тела.
Имея в виду, что вектор нормали к поверхности в точке М равен n = (cos в, sin О), а соответствующий вектор касательной равен t = (-sin#.,COS#), из (2.15) находим нормальное тш и касательное тш усилия на поверхности в этой точке as В силу малых изменений поверхности и медленного протекания процесса диффузии, обычно считают, что у практически не меняется при растяжении поверхности [78]. Тогда, из равенства (2.14) следует, что О"? « у = const. В этом случае условия (2.16) упрощаются. Учитывая, что dh/dxx S 1, из (2.6) и (2.16) получим граничные условия на криволинейной границе Г . ат = -k2A(t)crs cos fa,, ant = 0, z є Г, (2.17) Таким образом, приходим к решению задачи определения напряженно -деформированного состояния тела с поверхностным слоем переменной толщины, поверхность которого Ть описывается функцией (2.6), при условиях контакта (2.1), граничных условиях (2.17) и условиях на бесконечности (2.5), (2.8).
Так как усилия (2.17) имеют порядок Є — АІХ, то в нулевом приближении напряженно-деформированное состояние в каждой точке тела определяется формулами (2.2)-(2.4). Напряжения следующего приближения СТ.. находятся из решения задачи для двухкомпонентной среды Q, KJ О. с прямолинейной границей (см. рис. 1) при граничных условиях, вытекающих из (2.17) Из (2.28) и (2,31) следует, что амплитуда волнообразования зависит от длины волны Л. При этом существует критическое значение Ли такое, что для всех Л Лсг выполняется неравенство Ра0 -ук 0 (2.32) и амплитуда со временем уменьшается. В этом диапазоне длин волн плоская форма поверхности является устойчивой. Значение Л Лсг отвечает критическому состоянию, при котором происходит потеря устойчивости плоской формы. При Л Лсг амплитуда волнообразования поверхности возрастает со временем. Другими словами, если Л Ла., химический потенциал больше у вершины волны, нежели у впадины, и процесс поверхностной диффузии приводит к сглаживанию волнистости посредством массопереноса от вершин к впадинам. Если А Аа., химический потенциал, наоборот, меньше у вершины волны нежели у впадины, и атомы перемещаются со впадин на вершины, что приводит к потери устойчивости плоской формы поверхности и образованию гофра [4].
Точка пересечения кривых с осью абсцисс соответствует критическому значению длины волны Ясг. Значение длины волны Л/! соответствует наибольшей скорости роста волнистости. Заметим, что именно это значение длины волны сравнивалось в работе [7] с экспериментальными данными. Из (2.32) и (2.25) вытекает, что при учете поверхностного напряжения as изменение знака усилия т0 приводит к изменению величины Яс; . На рис. 2.4 приведены зависимости относительной разности значений критических длин волн / = (Яс — Ясг )/Яс/ от приведенной ширины пленки Н = hQlO ll{yE2) при Vj = v2 = 0.3 и Js=y. Значения Я вычислены при ст0=±10 Е2. Кривым 1-5 соответствуют следующие значения относительной жесткости основного материала и пленки / 2 =0,1; 0,3; 1; 3; 10.
Уравнение движения точек поверхности деформируемого тела при поверхностной и объемной диффузии
Следуя работам [38, 41], будем считать, что эволюция напряженной криволинейной поверхности пленки происходит под воздействием поверхностной диффузии, определяемой производной химического потенциала вдоль поверхности, и объемной диффузией, связанной с изменением напряжений вдоль криволинейной поверхности и капиллярным эффектом. При этом рельеф поверхности со временем не изменяет своей формы, а лишь экспоненциально возрастает. Как уже было сказано выше, диффузионный процесс локализован вблизи искривленной поверхности, поэтому для вычисления скорости движения точек поверхности помимо потока массы вдоль искривленной поверхности Js будем использовать поюк массы по нормали к поверхности Jv, как показано нарис. 3.1 [41].
Как и ранее в главе 2, процесс потери устойчивости плоской формы поверхности напряженного твердого тела рассматривается в квазистатической постановке. В силу чего для определения напряженно-деформированного состояния композита строится решение статической задачи теории упругости при фиксированном значении времени. Используется метод разложения по малому параметру, описанный в п. 2.3, где в качестве малого параметра выступает отношение амплитуды к длине периода возмущения.
Следуя методу возмущений [80], упругую энергию деформации криволинейной поверхности U, а также разность гидростатических напряжений на искривленной и плоской поверхности АР находим, аналогично главе 2, в первом приближении из решения задачи теории упругости для полосы, соединенной с полуплоскостью, при действии соответствующих усилий на прямолинейной границе Ть.
Прежде чем приступить к анализу устойчивости, мы в начале данного раздела представим краткий обзор области значения исследуемых параметров. Усилия на бесконечности JQ, возникающие вследствие разницы степени расширения или сжатия материала пленки и подложки, к примеру, в результате распространения тепловой энергии, могут колебаться в широких пределах. При исследовании покрытий, создающих термический барьер, эти усилия рассматриваются равными десяткам МПа при высоких температурах [82, 83]. В других экспериментах, посвященных изучению устойчивости тонких пленок, усилия на бесконечности имеют порядок ГПа [4, 74, 84].
Коэффициент D, зависящий от ориентации кристалла, температуры, чистоты поверхности, может меняться в пределах нескольких порядков. Согласно экспериментальным данным ряда исследователей для систем тепловой защиты (thermal barrier systems) с никелевым пленочным покрытием значение коэффициента D отмечается равным 1,5x10"" " при температуре 1273/у, и 1,8x10" т при \413K [85]; в других же работах считается, что данный коэффициент меняется в диапозоне от 255xlO W до Ю 24т2 при 1273А:, от 1,3хЮ-24/;?2 до 3,7xlO 2W при \473K [40]. Поверхностная энергия пленки у обычно рассматривается равной порядка U/m . Температура отжига в экспериментах устойвости рассматривается в пределах от 1373АГ до 1473.ЛТ [86]. Заметим, что эффект температурного воздействия в наших результатах учтен посредством коэффициента D.
Как видно из рис. 3.2 при различных фиксированных значениях параметра у0 мы получаем кривые, которые довольно хорошо описывают рельеф поверхности в различные моменты времени t, полученный в [37]. Далее исследуем устойчивость форм рельефа, описываемых функцией (3.15) Таким образом, будем предполагать, что в начальный период времени форма поверхности пленочного покрытия описывается (3.1), (3.15) при фиксированном значении у0.
Используя разложение функции (3.15) в ряд Фурье и ограничиваясь конечным числом членов разложения, в качестве критерия точности аппроксимации функции f, как и в главе 1, примем интегральный критерий (1.43) Так при у0 = 6 форма рельефа с точностью Є = 0.01 будет описываться одной гармоникой ряда (3.11). В этом случае исследуем выражение (3.13) при различных значениях физических и геометрических параметров задачи, имея в виду, что период функции (3.15) является в то же время и длиной волны.
