Содержание к диссертации
Введение
1. Анизотропия упругих свойств микронеоднородных материалов 7
1.1. Историческая справка 7
1.2. Современное описание упругих свойств 17
1.3. Упругие характеристики поликристаллов 22
1.4. Методы описания текстуры 27
1.5. Задачи диссертационного исследования, вытекающие из 37 сделанного обзора
2. Определение модулей кельвина-рыхлевского и собственных упругих состояний анизотропных материалов 38
2.1. Объемно-изотропные упругие тела 38
2.2. Собственные состояния и собственные значения оператора упругости для трансверсально-изотропных материалов, обладающих объемной изотропией 40
2.3. Собственные состояния и собственные значения оператора упругости для тетрагональных материалов 46
2.4. Собственные состояния и собственные значения оператора упругости для ортотропных объемно-изотропных материалов 52
Основные результаты главы 2 58
3. Определение эффективных значений модулей кельвина-рыхлевского и их вариационных границ 59
3.1. Вариационные границы для эффективных значений истинных модулей жесткости микронеоднородных сред 59
3.2. Вариационные границы для эффективных модулей жесткости однофазных текстурированных поликристаллов 63
3.3. Эффективные модули упругости для трансверсально-изотропных поликристаллов с кубической симметрией решетки 67
3.4. Эффективные модули упругости для тетрагональных поликристаллов с кубической симметрией решетки 71
3.5. Эффективные модули упругости для ортотропных поликристаллов с кубической симметрией решетки 74
Основные результаты главы 3 77
4. Область совместного изменения параметров деформационной анизотропии 78
4.1. Постановка вариационной задачи построения области совместного изменения параметров деформационной анизотропии 78
4.2. Применение инвариантного описания упругих свойств к построению области совместного изменения параметров деформационной анизотропии 81
4.3. Построение области совместного изменения параметров деформационной анизотропии в рамках модельных текстур 88
4.4. Описание области совместного изменения параметров деформационной анизотропии 91
4.5. Численный пример 111
Основные результаты главы 4 114
Заключение 115
Список литературы
- Современное описание упругих свойств
- Собственные состояния и собственные значения оператора упругости для трансверсально-изотропных материалов, обладающих объемной изотропией
- Вариационные границы для эффективных модулей жесткости однофазных текстурированных поликристаллов
- Применение инвариантного описания упругих свойств к построению области совместного изменения параметров деформационной анизотропии
Введение к работе
Проблема прогнозирования и регулирования анизотропии физико-механических свойств металлических материалов тесно связана с задачей определения эффективных характеристик поликристаллов, к которым относятся все металлы и сплавы. Как показали многочисленные исследования, существуют закономерные связи между эффективными характеристиками и структурными факторами.
Установлению зависимостей, в том числе и аналитических, между упругими константами структурных элементов и поликристаллического образца в целом, методом усреднения упругих свойств уделялось значительное внимание на протяжении последнего столетия.
В предположении, что ориентация зерен в поликристалле равновероятна, задача об определении эффективных упругих свойств была решена сначала Фойгтом [1] путем усреднения матрицы упругих модулей кристалла, а затем Ройсом [2] из усреднения матрицы коэффициентов податливости. Более детальное рассмотрение, выполнение Хиллом Р. [3,4], показало, что эти усреднения соответствуют предположениям об однородности деформаций в поликристалле в первом случае и однородности напряжений во втором, а получаемые значения объемного модуля и модуля сдвига поликристалла дают верхнюю и нижнюю границы для его эффективных свойств. Им же было предложено определить эффективные упругие характеристики как среднеарифметические значений, получаемых в приближениях Фойгта и Ройса. Для квазиизотропного поликристалла получаемый интервал возможных значений эффективных свойств может быть достаточно широким в случае большой анизотропии упругих свойств поликристалла. Дальнейшее исследование проходило по пути отыскания эффективных упругих характеристик квазиизотропных поликристаллов в рамках тех или иных упрощающих гипотез и попыток
5 найти для них более узкий интервал возможных значений. Эта задача решалась методом самосогосования Хершем A.M. [5] и Кренером Е. [6], а также Фокиным А.Г. и Шермергором Т.Д. [7] сначала в рамках сингулярного приближения, а затем обобщенного сингулярного приближения.
Достаточно простой метод определения эффективных упругих свойств поликристаллов, основанный на усреднении матриц модулей упругости на базе их высших инвариантов, был использован К. С. Александровым (1965) [8] и Г. И. Пересадой [9]. На примере анизотропных свойств второго ранга Александровым К.С. и Айзенбергом Л.А. [10] была отмечена связь этого способа усреднения с усреднением логарифмов собственных значений соответствующих матриц. Это обстоятельство имело в дальнейшем определяющее значение для развития теории.
Значительно более сложной, чем вычисление упругих свойств квазиизотропных поликристаллов, является задача их вычисления, когда имеется преимущественная ориентация зерен в пространстве - текстура, в силу чего поликристалл начинает вести себя как анизотропное тело. Развитие методов вычисления упругих характеристик текстурированных поликристаллов происходило по мере совершенствования экспериментальных методов исследования текстуры и ее количественного описания. Виглиным А.С. [11] предложен метод количественного описания текстуры при помощи функции распределения ориентации, которая характеризует распределение случайных углов Эйлера, задающих положение отдельных кристаллов в лабораторных осях. Бунге [12] и Роэ [13] независимо друг от друга предложили метод расчета трехмерных функций распределения зерен по ориентациям из двумерных экспериментально получаемых функций распределения, которые формально могут быть получены интегрированием трехмерной функции.
Современные методы количественного текстурного анализа для расчета эффективных упругих свойств поликристаллов в приближениях
6 Фойгта, Ройса и Хилла применялись различными авторами. Попытка обобщения метода расчета эффективных упругих характеристик Александрова-Пересады на текстурированных материалы была предпринята Моравиком [14] и Матхизом [15,16]. Моравик предложил алгоритм решения, основанный на свойствах логарифмической тензорной функции, и реализовал его только для квазиизотропного материала. Матхиз дал численную реализацию этого алгоритма на примере некоторых текстурированных поликристаллов, не допускающую, однако, аналитической формы записи окончательного решения.
В рамках диссертационной работы с привлечением нетрадиционного способа описания упругих свойств, предложенного Рыхлевским, ставится задача обобщения метода Александрова-Пересады и получения эффективных упругих характеристик текстурированных поликристаллов в аналитической форме.
Работа выполнялась на кафедре теоретической механики Уральского государственного технического университета, в рамках исследований по теме «Научные основы расчетов на прочность с учетом свойств, структуры материалов и различного характера внешних воздействий».
Современное описание упругих свойств
Описание упругих свойств анизотропных тел (в том числе с анизотропией самого общего вида) с помощью инвариантных констант имеет принципиальное значение, т.к. в различных базисах упругость одного и того же тела выражается различными наборами из 21 компоненты сщ (или % /) Сравнение и идентификация упругих свойств анизотропных тел возможны лишь при использовании инвариантного, т.е. не зависящего от выбора базиса, описания этих свойств. Более того, компоненты тензора модулей упругости в произвольном базисе не являются определенными физическими характеристиками тела.
Развернутая классификация упругих констант была предложена Рыхлевским [25], который переходит от традиционной к инвариантной форме записи закона Гука, основываясь на понятии собственного упругого состояния.
Концепция собственных тензоров впервые была предложена еще в середине XIX века Кельвином [26], определившим собственные тензоры для различных типов упругой симметрии. В то время этот подход не получил распространения, вероятно, из-за недостаточности математического аппарата.
К идее Кельвина уже в конце XX века обратились Мехрабади и Ковин [27]. Применяя современный математический аппарат, они рассмотрели тензорное и матричное представление упругих свойств, связь между ними, преобразование упругих констант при переходе от одного базиса к другому в различных представлениях. Осуществить переход от тензорной записи обобщенного закона Гука TtJ =CiJklEkl (Tt] и Ekl - тензоры второго ранга напряжений и деформаций, Ст - тензор упругости четвертого ранга) к матричной можно различными способами. Классический подход -использование обозначений Фойгта.
В [29-31] ортогональные собственные состояния представлены в общем виде в зависимости от 15 произвольных параметров, которые вместе с шестью положительными собственными модулями (истинными модулями упругости Кельвина-Рыхлевского) полностью определяют пределы изменения (наитеснейшие границы) каждой константы упругости. На основе предложенного способа представления констант упругости получены необходимые и достаточные условия положительной определенности энергии деформации и показаны наитеснейшие границы для каждой постоянной упругости.
В шестимерном пространстве напряжений-деформаций существуют такие ортонормированные базисы со1, со11,..., 1, в которых упругая энергия приводится к сумме квадратов компонентов деформаций, коэффициентами при которых являются собственные значения тензорного (или матричного) набора модулей упругости. При этом каждый базисный элемент со (тензор второго ранга) задает собой деформированное и соответствующее ему напряженное состояние, пропорциональные друг другу. Элемент oJ1 соответствует собственному значению Як тензора модулей упругости С и является собственным элементом этого тензора, то есть Са к =Лко)к, К = 1,...,6.
Число различных между собой собственных значений определяется симметрией анизотропного тела и изменяется от шести в общем случае анизотропии или при наличии ортотропной симметрии до двух в случае изотропии.
Таким образом, из 21 независимой упругой константы шесть, согласно [25], являются истинными модулями жесткости материала, имеющими размерность. Три константы вообще не являются материальными константами и определяют пространственное расположение тела (например, углы Эйлера). Оставшиеся 12 представляют собой безразмерные материальные константы и определяют естественный базис из собственных упругих состояний. Эти 12 констант Рыхлевский называет дистрибуторами жесткости. Число дистрибуторов жесткости, как и число различных истинных модулей жесткости, определяется симметрией материала.
Такой подход позволяет применить аппарат тензорной алгебры, что и было сделано в [25]. Применение полученных результатов на практике встречает ряд трудностей. Это связано с тем, что преимущественно описание носит чисто математический характер и требует наполнения физическим содержанием. Известны примеры, когда строгие математические описания (Коши, Навье), не подкрепленные связью с действительностью, оставались лишь гипотетическими, в то время как описания, основанные на физическом содержании (Фойгт), способствовали развитию математического аппарата (тензорное исчисление).
В последние годы возросло число исследований, в которых применяются нетрадиционные для теории упругости разложения тензоров второго ранга напряжений и деформаций, а также тензоров четвертого ранга податливости и упругости [32 - 47]. Следует отметить широкую географию работ такого направления. Однако подробно рассматриваются лишь изотропные и трансверсально-изотропные среды. По поводу материалов более низких симметрии удается найти только соотношения общего характера. Построение базиса из собственных тензоров для трансверсально-изотропных сред производится при помощи угловых величин [25,34 - 39]. Применение инвариантного описания тензоров позволило ввести новые параметры для характеристики и сравнения анизотропии упругих свойств различных материалов [32,33].
Собственные состояния и собственные значения оператора упругости для трансверсально-изотропных материалов, обладающих объемной изотропией
Трансверсапьная изотропия характеризуется наличием оси упругой симметрии бесконечно высокого порядка, вследствие чего упругость материала определяется 5 независимыми константами. В лабораторной системе координат (ось х 3 направлена вдоль оси симметрии, оси х[,х г - перпендикулярно этой оси - в плоскости изотропии) матрица коэффициентов упругости имеет вид: (с сп Си 0 0 0 Ї дп 13 0 0 Сзз 0 0 дА4 0 и 0 0 ч с\\ С12) (2.2.1) Вследствие объемной изотропии (2.1.3) рассматриваемых материалов количество независимых упругих констант уменьшается до четырех: + 12 + 13 = 13 + 2 ?33 = зк (2.2.2) Покажем, что в рамках применяемого нами описания упругие свойства рассматриваемых материалов характеризуются четырьмя истинными модулями упругости Кельвина-Рыхлевского и соответствующими им собственными упругими состояниями.
Поставим задачу установить связь между новым и традиционным представлением упругих свойств для трансверсально-изотропного поликристаллического материала с кубической симметрией решетки.
Остановимся на решении уравнения третьего порядка в (2.2.7). Преобразуем определитель из правой части этого уравнения: прибавим к элементам первой строки соответствующие элементы второй и третьей строк, затем, учитывая (2.4.2), вычтем элементы первого столбца из элементов второго и третьего столбцов. В результате проделанных преобразований величина определителя не изменится. Полученный определитель разложим по элементам первой строки.
Как известно, напряженные и деформированные состояния представляются при помощи симметричных тензоров второго ранга над трехмерным векторным пространством, которые, в свою очередь, образуют шестимерное векторное пространство.
Используя связь матричных и тензорных обозначений (1.2.1.) и нормируя векторы (2.2.13), получим собственные упругие состояния для трансверсально-изотропного материала, обладающего свойством объемной изотропии.
Таким образом, в нашем описании независимыми упругими характеристиками для материала рассматриваемой симметрии являются четыре истинных модуля упругости Кельвина-Рыхлевского. Элементы матриц, задающих собственные состояния трансверсально-изотропного материала, обладающего объемной изотропией, являются константами, не зависящими от упругих свойств материала. Для данной симметрии отсутствуют безразмерные дистрибуторы жесткости, которые в общем случае определяют вид собственных состояний упругого тела. 2.3. Собственные состояния и собственные значения оператора упругости для тетрагональных материалов
Тетрагональная симметрия характеризуется наличием оси симметрии четвертого порядка. В связи с этим в качестве лабораторной системы координат выберем систему, в которой ось х 3 направлена вдоль осисимметрии, х[,х 2 - перпендикулярно этой оси.
Обратимся к решению (2.3.3). Произведем элементарные преобразования определителя, стоящего в правой части: вычтем из элементов первого столбца элементы второго, а затем прибавим к элементам второй строки элементы первой. При этом величина определителя не изменится. В отличие от (2.2.14) собственные упругие состояния d и й ", а также обобщенный закон Гука (2.3.16) определяются одним безразмерным параметром к, который уместно определить для данного случая как дистрибутор жесткости. Таким образом, общее число независимых упругих характеристик тетрагонального материала в новом представлении, как и в традиционном, равно шести, а в случае объемной изотропии сокращается до пяти.
Как отмечено в [25], дистрибутор жесткости, определяющий собственные упругие состояния, может быть определен различными способами. Там же был предложен один из вариантов такого представления через тригонометрические функции, позволяющий избежать радикалов, но не отражающий связи с традиционными упругими константами. Выражение дистрибутора жесткости (2.3.9) естественным образом получается при решении поставленной задачи об отыскании собственных состояний и собственных значений и лишено указанного недостатка.
Вариационные границы для эффективных модулей жесткости однофазных текстурированных поликристаллов
Если упругое микронеоднородное анизотропное тело представляет собой однофазный текстурированный поликристалл, то его упругие свойства, в том числе верхняя и нижняя вариационные границы (3.1.9) и (3.1.13), определяются упругими свойствами монокристалла и ориентацией зерен. Чтобы установить эту зависимость, воспользуемся основной структурной формулой (1.2.6) для произвольного зерна в координатной форме относительно системы х1 ,х2,хг, связанной с этим зерном: а затем осуществим переход к лабораторной системе координат х[ ,х 2 ,х 3 , связанной с макросимметрией материала: ,„„ = «„,«„,-«, «,/сеи (3 -2.2) где aif- направляющие косинусы (1.4.7). В рамках модели Фойгта (однородность напряжений) находим модули упругости как средние значения модулей (3.2.2): Сmnrs \Cmnrs) \amianjarkasl}Cijkl (3.2.3) = ЩК(аті%агка,і) + - + htf Vu{amianjarkasl). Структурная формула для тензора модулей упругости cvmnn в координатах х[ ,х 2 ,х г имеет вид: cLs =VKA +... + АдаС, (3.2.4) где 5Л- собственные упругие состояния поликристалла как макрооднородного материала. Приравняем левые части (3.2.3) и (3.2.4): K LK +... + S"„S" = Wa(a« a arkaa) +--- + ( 4 ) (3.2.5) Согласно [25] тензоры Рк = тк шк таковы, что Рк PL=8KL. Опираясь на это свойство, будем равенство (3.2.5) последовательно скалярным образом умножать на Рк = ок ткГ1 К є (1,2,3,4,5,6}. При этом в левой части остается только один истинный модуль AVK, соответствующий собственному упругому состоянию йА : 4 = Km\piAK (ami%( rk-asi) + -.. + A6a J « 5 (ami%arkasl) (3.2.6)
Выражения (3.2.6) являются верхними вариационными границами для эффективных значений истинных модулей упругости Кельвина-Рыхлевского, соответствующими приближению Фойгта. Теперь запишем основную структурную формулу в виде (1.2.7) в координатах х1,х2,х3: V = T V +...+т-« (3.2.7) и перейдем к лабораторным осям х[ ,х 2 ,х 3 : s mm = ami%arkasism (3.2.8) Осредняя (3.2.8) по объему, получаем значения коэффициентов податливости, соответствующие модели Ройса (однородность деформаций): Smnrs \Smnrs / = \amianjarkasl /Sijkl = 1 / / / \ 1 vi vi і \ (3.2.9) Аналогично (3.2.4), коэффициенты податливости могут быть представлены в виде: СО СО +... + СО СО «д тп rs .д тп rs А, /, «Ls =TFffii-Si +- + 1TS-S» (3-2.10) Из (3.2.9) и (3.2.10) следует равенство: —г- со„„со„ ч-... ч—г- С0т„(О„ = \ 6 х (3.2.11) В (3.2.16) использованы соотношения (1.2.8), а также условие нормировки для wK. Из (3.2.16) следует, что //",...,// в (3.2.6) и (3.2.12) являются весовыми коэффициентами, а вариационные границы Фойгта и Ройса -средними арифметическими монокристальных истинных модулей упругости и податливости. Таким образом, установлены не только верхние и нижние вариационные границы для эффективных значений истинных модулей упругости Кельвина-Рыхлевского (истинные модули, вычисленные в приближениях Фойгта и Ройса). Получены их выражения для случая однофазных поликристаллов через монокристальные модули и ориентационные факторы, которые представляют собой усредненные комбинации произведений направляющих косинусов (-mianJarkasi)
Количество независимых комбинаций такого типа определяется микросимметрией и макросимметрией материала. Следует подчеркнуть, что (3.2.6) и (3.2.12) являются линейными формами относительно истинных модулей упругости монокристалла. Переход в соотношениях (3.2.6) и (3.2.12) к среднегеометрическим величинам обобщает метод Александрова - Пересады на текстурированные материалы и с формальной точки зрения исчерпывающим образом решает задачу об усреднении упругих характеристик текстурированных материалов: Хк=% -К -...-$ . (3.6.17) В (3.2.16) использованы соотношения (1.2.8), а также условие нормировки для wK. Из (3.2.16) следует, что //",...,// в (3.2.6) и (3.2.12) являются весовыми коэффициентами, а вариационные границы Фойгта и Ройса -средними арифметическими монокристальных истинных модулей упругости и податливости.
Таким образом, установлены не только верхние и нижние вариационные границы для эффективных значений истинных модулей упругости Кельвина-Рыхлевского (истинные модули, вычисленные в приближениях Фойгта и Ройса). Получены их выражения для случая однофазных поликристаллов через монокристальные модули и ориентационные факторы, которые представляют собой усредненные комбинации произведений направляющих косинусов (-mianJarkasi).
Количество независимых комбинаций такого типа определяется микросимметрией и макросимметрией материала. Следует подчеркнуть, что (3.2.6) и (3.2.12) являются линейными формами относительно истинных модулей упругости монокристалла. Переход в соотношениях (3.2.6) и (3.2.12) к среднегеометрическим величинам обобщает метод Александрова - Пересады на текстурированные материалы и с формальной точки зрения исчерпывающим образом решает задачу об усреднении упругих характеристик текстурированных материалов: Хк=% -К -...-$ . (3.6.17) 3.3. Эффективные модули упругости для трансверсально-изотропных поликристаллов с кубической симметрией решетки Трансверсальная изотропия формируется, например, при осесимметричной деформации металлических материалов. Собственные состояния сок и истинные модули упругости трансверсально-изотропных материалов были определены во второй главе ((2.2.8), (2.2.10) и (2.2.14)). Там же, как частный случай, получены собственные состояния coL и истинные модули упругости материалов кубической симметрии ((2.4.17), (2.4.18)). Поставим задачу установить связь между упругими свойствами материала в целом, с одной стороны, и упругими свойствами монокристалла и параметрами деформационной анизотропии, с другой.
Применение инвариантного описания упругих свойств к построению области совместного изменения параметров деформационной анизотропии
В рамках предлагаемого в настоящей работе описания упругие свойства ортотропного поликристаллического материала с кубической симметрией структуры определяются истинными модулями и упругости Кельвина-Рыхлевского и собственными упругими состояниями. При этом истинные модули поликристалла представляют собой средние геометрические монокристальных модулей с весовыми коэффициентами.
Полученная область ограничена тремя плоскостями и конической поверхностью (рис 4.1). Каждая точка области задает текстурированный поликристалл с определенными упругими свойствами. Однако часть точек области не соответствует реальным ортотропным поликристаллам в силу внутренних ограничений. Внутренняя структура - кубическая симметрия решетки - накладывает дополнительные условия. Если в образце все кристаллиты ориентированы направлением у 1V вдоль лабораторной оси х 3, то соответствующий параметр деформационной анизотропии Аг=-. При этом кристаллографические плоскости {111} всех кристаллитов (зерен) параллельны лабораторной плоскости Ох[х 2: Вычислим для этого случая параметры деформационной анизотропии Aj и А2. Рассмотрим кристаллографическую систему координат, связанную с произвольным зерном {хрХ,,- };, лабораторную систему fo , } и промежуточную систему {xj",; ,- :"} (рис.4.2). Оси х ъ и х" совпадают с направлением yl 1/. Взаимное расположение осей х[ и х" в плоскости {111} определяется углом (р.
Область, определяемая совокупностью неравенств (4.2.2) и (4.2.5), изображена на рис.4.1. Вопрос о физическом смысле дополнительных ограничений требует дальнейшего исследования. 4.3. Построение области совместного изменения параметров деформационной анизотропии в рамках модельных текстур
Параметры деформационной анизотропии устанавливают связь между кристаллографической текстурой и анизотропией физико-механических свойств.
В [98] дано определение эквивалентных текстур, характеризующиеся одним и тем же набором параметров деформационной анизотропии (текстурных параметров), и как следствие, обладающими одинаковыми эффективными свойствами. Наряду с понятием эквивалентных текстур вводится понятие модельной базовой текстуры, которая представляет собой многокомпонентную текстуру с минимальным количеством текстурных компонент, необходимым для описания соответствующей группы свойств. Предложена четырехкомпонентная базовая модель для металлов с кубической симметрией структуры, текстура которых определяется тремя параметрами (табл.4.1).
Относительные объемные содержания каждой ориентировки ft могут меняться произвольным образом, но при условии ./)=1. Параметры деформационной анизотропии четырехкомпонентной текстуры связаны с объемными содержаниями текстурных компонент соотношением (1.4.9), откуда следует Ai=/i-0 + /2- + /3- + /4- А, =/, -0 + Л - + / - + / - (4.3.1) Д,=/і-о+Л-+/з- + /4- Уравнения (4.3.1) устанавливают взаимно однозначное соответствие между тремя параметрами деформационной анизотропии и объемными содержаниями текстурных компонент в базовой модели /2, /3, /4.
Выделим восемь точек, которые назовем особыми точками нашей области. Координаты точек, а также эффективные значения модулей Кельвина-Рыхлевского соответствующих тел приведены в таблице 4.4. Семь особых точек принадлежат границе рассматриваемого сечения, пять из них - угловые. Одна особая точка- внутренняя. Таблица 4.4. Особые точки области совместного изменения параметров деформационной анизотропии Особая точка Параметрыдеформационнойанизотропии Модули Кельвина-Рыхлевского(эффективные значения) Внешняя симметрия №1(угловаяточка) A,=A2 = A3=0 /tj = ЗА , Л — А — Aj,Я4 = Я, = Я6 = Я4 Кубическая (соответствует симметрии кубического монокристалла, кристаллографические оси которого совпадают с осями внешней симметрии).
