Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Напряжения и деформации в кольцевых деталях при осесимметричной нагрузке 7
1 .Осесимметричная деформация кольцевых деталей 7
2. Внутренние силовые факторы в меридиональном сечении кольцевой детали . 12
3 .Потенциальная энергия деформации кольцевой детали 16
4. Определение внутренних силовых факторов в зависимости от внешних сил 19
5.Геометрические характеристики меридионального сечения 22
6.Напряжения и деформации в кольцевых деталях при осесимметричном нагружении 26
7. Расчет втулки 32
Глава II. Расчет тарельчатых пружин Бельвилля 41
1. Введение 41
2. Геометрия тарельчатой пружины 46
3. Внутренние силовые факторы и потенциальная энергия деформации 52
4.Сравнение расчетных формул с результатами экспериментов 72
5. Примеры расчета тарельчатых пружин, работающих упруго до полной мощности 86
6 Примеры расчета тарельчатых пружин 88
Заключение 92
Литература 94
- Внутренние силовые факторы в меридиональном сечении кольцевой детали
- Определение внутренних силовых факторов в зависимости от внешних сил
- Внутренние силовые факторы и потенциальная энергия деформации
- Примеры расчета тарельчатых пружин, работающих упруго до полной мощности
Введение к работе
Детали, имеющие форму колец, широко распространены в машиностроении. Особую трудность представляет расчет напряженно-деформированного состояния деталей, размер меридионального сечения которых соизмерим с их диаметром. Это различные втулки, фланцы, ободы дисков и т.п.
Впервые задача деформации кольцевой детали была поставлена Р.Граммелем [1], как задача изгиба обода колеса паровой турбины.
Значительная часть кольцевых деталей работает под нагрузками, действие которых можно заменить системой радиальных сил и моментов, равномерно распределенных вдоль ее кольцевой линии. Кольцевой линией детали называется окружность, соединяющая центры тяжести ее меридиональных сечений. Деформацию при таком нагружении можно представить как растяжение кольца и осесимметричный изгиб, сопровождающийся поворотом меридиональных сечений в их плоскости (кольцо растягивается и выворачивается). Отсюда и название осесимметричная деформация кольцевых деталей.
Как мы уже отметили, теория осесимметричной деформации кольцевых деталей впервые дана Р. Граммелем [1] в 1923 году. На русском языке перевод работы Р.Граммеля представлен в первом томе «Технической динамики» Бицено К.Б и Р.Граммелем [2] в 1950 году. В основе теории Р.Граммеля лежит предположение о повороте меридионального сечения кольцевой детали как жесткого целого относительно некоторой неподвижной точки. Точка, относительно которой осуществляется поворот меридионального сечения, определяется его геометрией посредствам специальных геометрических характеристик.
Доработанная и изложенная современным языком теория осесимметричной деформации кольцевых деталей представлена в учебном
4 пособии С.В.Бояршинова «Основа строительной механики машин» [3], вышедшем в 1973 году. Сразу отметим, что СВ. Бояршиновым авторство теории осесимметричнои деформации кольцевых деталей ошибочно приписано К.Б.Бицено , а не Р.Граммелю.
На обложку учебного пособия С.В.Бояршинова вынесен рисунок, взятый из главы, как раз и посвященной расчету «напряжений и деформаций в кольцевых деталях при осесимметричнои нагрузке, при плоском и пространственном изгибе».
N
і М
м у
рис. 1.
Этот рисунок, как и сам метод расчета Р.Граммеля, содержит
принципиальную ошибку, так как не учитывает все внутренние силовые
факторы, имеющие место в меридиональном сечении кольцевой детали при
осесимметричнои нагрузке. Из курса сопротивления материалов известно,
5 например, что при произвольном нагружении кольцевая система шесть раз статически неопределима внутренним образом. Осесимметричность нагружения делает кольцевую систему три раза статически неопределимой внутренним образом. То есть, вообще говоря, отличны от нуля два момента и кольцевое усилие, приложенные в меридиональном сечении.
На рис.1 мы воспроизводим рисунок из пособия [3], добавляя упущенный силовой фактор - момент Му.
Рис.2.
Условия равновесия половины кольцевой детали позволяют отыскать лишь два силовых фактора: кольцевое усилие N и момент Мх, действующий в плоскости кольцевой детали.
Этим и ограничивается теория Р.Граммеля. Второй, самоуравновешенный при рассмотрении полукольца момент Му, вектора которого перпендикулярны плоскости детали и направлены противоположено рис.2, может быть найден лишь после раскрытия статической неопределимости. Теория Р.Граммеля на основе своих искусственных построений (о повороте меридионального сечения вокруг некоторой точки) учесть этот момент не в состоянии.
Внутренние силовые факторы в меридиональном сечении кольцевой детали
В настоящей главе представлен, разработанный при участии автора, метод расчета кольцевых деталей при осесимметричном нагружении, использующий лишь посылки технической теории Бернулли-Эйлера и энергетические методы механики деформируемого твердого тела. Так же в работе установлено, что метод позволяет исключить ошибки при расчете напряжений в тарельчатых пружинах и дает более точные результаты отличающиеся от ранее полученных на 60-80 %.
Рассмотрим часть кольцевой детали, вырезаемую двумя меридиональными сечениями, смещение которых друг относительно друга будем характеризовать углом раствора (р (Рис.3).
Обозначим главные центральные оси меридионального сечения детали х0 Уо- Особо отметим, что мы не накладываем условий симметрии меридионального сечения кольцевой детали относительно какой-либо из его главных центральных осей. Обозначим в угол наклона главной центральной оси, (относительно которой осевой момент инерции минимален ,на рисунке это ось XQ) К плоскости кольцевой детали. Величину угла в принимаем положительной, если для совмещения оси Хо с плоскостью кольца нужно осуществить поворот против часовой стрелки. Для нахождения напряжений и деформаций в кольцевых деталях при осесимметричной нагрузке воспользуемся основной посылкой технической теории изгиба Бернулли-Эйлера - гипотезой плоских сечений.
Будем предполагать, что плоские до деформации меридиональные сечения остаются плоскими и после деформации и снова лежат в меридиональном сечении детали, то есть ортогональны кольцевой оси. Правомочность использования гипотезы плоских сечений при анализе работы кольцевых деталей не требует дополнительных пояснений. Сама же гипотеза плоских сечений давно апробирована не только в технической теории изгиба прямых, но и криволинейных брусьев.
Итак, основываясь на гипотезе плоских сечений, рассмотрим деформацию элемента кольцевой детали, возникающую под действием нормальной силы N и изгибающих моментов Мх,Му, действующих относительно главных центральных осей сечения. Представление деформации кольцевой детали как растяжение (сжатие) и изгиб в двух плоскостях, тем более обосновано, чем больше длина кольцевой линии детали по отношению к максимальному размеру меридионального сечения. Два предельных случая: максимальный размер меридионального сечения детали больше длины кольцевой линии и лежит в ее плоскости или перпендикулярен ей, приведут нас к рассмотрению пластинки или цилиндрического тела соответственно. Оба этих случая мы исключаем. Определим деформацию волокна «S элемента кольцевой детали, заключенного между двумя меридиональными сечениями рис.3. Вообще говоря, после деформации получат приращение длины не только любые волокна кольцевой детали Sxy (определяемые координатами х и у в главных центральных осях меридионального сечения Хо Уо), но и волокно S, проходящее через центры тяжести меридиональных сечений. Это обусловлено большой кривизной элемента кольцевой детали, так как радиус ее кольцевой линии соизмерим с размерами меридионального сечения. Начальные длины кольцевых волокон S и S можно выразить через радиус кольцевой линии детали - г до деформации и угол р, определяющий два смежных меридиональных сечения где X - абсцисса точки меридионального сечения в центральных осях Оху. Ось х получена пересечением меридиональной плоскости с плоскостью кольцевой детали, проходящей через кольцевую линию. Ось у - центральная ось в сечении, параллельная оси кольцевой детали. Тогда, согласно формулам поворота осей
Определение внутренних силовых факторов в зависимости от внешних сил
В расчете тарельчатых пружин использовалось несколько подходов. Первый - это замена конического кольца круглой пластинкой с отверстием, что оправдывалось малостью угла подъема конуса в. Пример такого расчета приведем в [3]. Решение задачи в такой постановке приемлемо лишь в том случае, когда высота подъема внутреннего конуса пружины Sj мала по сравнению с ее толщиной t, что обычно не имеет места.
Второй подход основан на использовании теории оболочек. И в этом случае решение, причем очень сложное, справедливо пока осадка пружины мала по сравнению с ее толщиной.
Третий способ анализа работы тарельчатой пружины был предложен американскими инженерами Алмьен и Лязло в 1938 г. [12]. Их решение основано на предположении, что меридиональное сечение пружины поворачивается как жесткое целое относительно некоторой неподвижной точки. Возникающая при этом деформация окружных волокон позволяет связать усилие, прикладываемое к пружине, с ее осадкой. А затем, вычислить распределение окружных напряжений по плоскости меридионального сечения. Аналогичный метод расчета развит Р.Граммелем для описания осесимметричной деформации кольцевых деталей [1, 2]. Результаты расчета Альмен и Лязло дали хорошее совпадение с экспериментом, поставленным самими авторами. Важным обстоятельством метода Альмен и Лязло являлась простота расчетных формул, а кроме того они учитывали нелинейность характеристики пружины и возможность ее прощелкивания.
В дальнейшем, в 1946 году В.И. Феодосьев в работе [6] рассмотрел пружину Белвилля как тонкостенную коническую оболочку в области больших перемещений. Это было сделано с целью «совместить учет нелинейности характеристики пружины по Альмен и Лязло с полной картиной напряженного состояния, даваемой теорией оболочек. Как считал Феодосьев,"...область применения теории Альмен и Лязло ограничена прежде всего основным допущением о недеформируемости меридионального сечения пружины. И достаточно лишь небольшой деформации сечения чтобы внести существенные изменения в закон распределения окружных напряжений, которые лишь и учитываются этой теорией. Степень же деформируемости сечения растет с увеличением отношения ширины сечения к его толщине, отношения внешнего диаметра к внутреннему, и наконец, с увеличением угла наклона". Результаты своего теоретического анализа В.Н. Феодосьев просчитывает на примере осадки тарельчатой пружины с большой жесткостью и линейной характеристикой, отмечая при этом, что приведенный пример «мало показателен в смысле учитываемой нами нелинейности». Его расчеты совпадают с результатами, полученными по формулам Альмен и Лязло. Придавая важное значение кривизне характеристики тарельчатых пружин, В.И. Феодосьев одновременно указывает, что «непосредственного отношения к ходовым размерам пружин Бельвилля (последние работают при сравнительно небольшой кривизне характеристики) это не имеет». Кривизна характеристики пружины по мнению В.И. Феодосьева важна для качественной оценки, а именно, появление на кривой характеристики, участка с отрицательным наклоном («неустойчивый режим»). Это позволяет говорить о возможности прощелкивания, то есть рассмотреть явление присущее пологим оболочкам: переход от состояния устойчивого равновесия к неустойчивому, и обратно. Существование критической силы для тарельчатой пружины по теории
Альмен и Лязло определяется достижением условия sJt 2. По результатам В.И.Феодосьева существование критических сил определяется "не только отношением S3 t, но и отношением Di/Df. Критерий прощелкивания Феодосьева близок критерию Альмен и Лязло, а практическое значение отношения s /t близко к /, 6. Таким образом, В.И. Феодосьев своим сложным теоретическим исследованием [6] подтвердил, как он считал, «апробированную опытом теорию Альмен и Лязло». Поэтому, в дальнейшем, он стал активным популяризатором этой теории, чему способствовали неоднократные издания книги [13]. Формулы, полученные на основе теории Альмен и Лязло, вошли в государственный стандарт. Утверждению результатов даваемых этой теорией способствовали также труды других сотрудников кафедры сопротивления материалов МВГУ им. Баумана [13-16 и 2].
Завышенные значения напряжений теории Альмен и Лязло по сравнению с прочностными характеристиками материала не дают возможности оценить ресурс работы пружины и приводят к тому (как отмечено в [17]), что «в инженерной практике обычно ограничиваются подбором тарельчатых пружин непосредственно по рабочей нагрузке Р, руководствуясь при этом заранее разработанными и экспериментально апробированными таблицами». Таким образом, получение реальной картины напряженно-деформированного состояния тарельчатых пружин из актуального в военные годы давно стало больным, а затем и вопросом престижа механики деформируемого твердого тела.
Внутренние силовые факторы и потенциальная энергия деформации
В подтверждение правильности развитой нами теории и полученных на ее основе формул, проведем сравнение расчетов осадки тарельчатых пружин по этим формулам с результатами экспериментов. Для этого имеются большие возможности. Исчерпывающий экспериментальный материал для пружин различных размеров, несущих нагрузки от 132Н до 710000Н предоставляет нам таблицы государственного стандарта «Параметров и размеров тарельчатых пружин» [8]. В таблицах с шагом 0,2s3 указаны значения сил вызвавшие заданную осадку в долях от ее полной величины Sj.
Единственное обстоятельство, которое необходимо учитывать при использовании гостовских таблиц, заключается в следующем. Физические свойства и размеры тарельчатых пружин таковы, что в них в процессе изготовления создается, а в процессе эксплуатации меняется поле остаточных напряжений. Это поле остаточных напряжений и приводит к тому, что диаграмма деформирования тарельчатых пружин отличается от линейной.
Последней операцией изготовления тарельчатых пружин является заневоливание-отжатие их до полного сплющивания, продолжительностью не менее 12 часов. В результате такой операции в тех пружинах, где напряжения достигают и превосходят пределы текучести, после разгрузки, создается поле остаточных напряжений. Величина остаточных напряжений и распределение их в теле тарельчатой пружины определяется размерами областей, где напряжение превосходит предел текучести, и степенью пластической деформации в них. Решение такой, самостоятельной, задачи о поле остаточных напряжений в теле пружины после заневоливания мы здесь не ставим. Однако, и без ее решения, очевидно, что поле остаточных напряжений искажает диаграмму деформирования пружины тем более, чем больше области и степень пластической деформации. Следовательно, отклонение от линейной диаграммы осадки должно нарастать при приближении осадки к своему максимальному значению. А это означает, что при проверке, полученных нами расчетных формул, по таблицам ГОСТ хорошего совпадения диаграмм можно ожидать лишь для тех пружин, поле остаточных напряжений в которых отсутствует или его влияние несущественно. А для пружин со значительными остаточными напряжениями сравнение необходимо проводить лишь на начальном участке диаграммы, совпадающем с этапом упругого деформирования пружины при ее заневоливании.
В качестве критерия оценки того, до какого этапа деформирования тарельчатая пружина работает упруго, без заметного влияния поля остаточных напряжений, может служить значение величины [а] — доли упругой осадки от полной осадки пружины 5j. Чем ближе значение [а] к единице, тем меньше величина остаточных напряжений и их влияние.
Необходимо подчеркнуть, что величина [а] может служить критерием сравнения пружины, отличающимся между собой каким либо одним из параметром, например габаритной высотой. Особо отметим, что величина [а] не может быть использована для сравнения произвольно выбранных пружин и заключения о том, в которой из них поле остаточных напряжений более существенно влияет на характер деформирования. И это очевидно, т.к. появление зон пластического течения определяется совокупностью трех безразмерных параметров A, mnq (2.50).
Согласно проведенным нами расчетам по формуле (2.45) (См. рис. 12-15) наибольшее (растягивающее) напряжение сг п реализуется во внутренней кромке II нижней поверхности (рис. 11) пружины. На основании формулы (2.45), в пружине, работающей упруго, напряжение С и равно Формула (2.54) определяет значение максимального (стягивающего) напряжения свободно опертой тарельчатой пружины, деформируемой упруго. Полагая, что значение напряжения Сц не превосходит предела текучести стт, получим величину [а] Равенство (2.55) позволяет определить ту долю осадки от полной осадки тарельчатой пружины, до которой осуществлялось бы ее упругое деформирование во всех точках тела пружины. Допускаемая доля осадки упругого деформирования пружины определяется тремя безразмерными параметрами геометрии пружины A, m и q и ее физическими свойствами модулем Юнга Е и пределом текучести crT. Так как в таблицах ГОСТ [8] даны величины усилия соответствующие доле осадки от полной, то и мы выразим из формулы (2.31) силу в зависимости от реализованной нагружением доли полной осадки Формула (2.56) позволяет рассчитать усилие сжатия тарельчатой пружины при ее свободном опираний и упругом деформировании в зависимости от доли а реализованной осадки от ее полной осадки S3. Для сравнения расчетных формул с экспериментом мы выбрали из таблицы ГОСТ пружины с номерами 123-130. Эти 8 пружин выбраны потому, что в таблице ГОСТ они составляют наибольшую партию пружин объединенных одним и тем же максимальным усилием (Рз=14-10 Н) при полной осадке. Сами пружины имеют существенно отличные размеры. Рассчитаем для этих пружин по формуле (2.56) усилия, соответствующие заданной осадке. Представим результаты расчета в таблице 1 и графически (рис. 18-25). В столбцах таблицы «Сила Р при деформации...» в числителе приведены величины усилий по таблице ГОСТ, в знаменателе усилия, рассчитанные по формуле (2.56). На рисунках 186-256 даны диаграммы деформирования рассматриваемых пружин и испытания, представленные в таблице ГОСТ. На этих рисунках по оси абсцисс отложена величина а - доля осадки по отношению к полной осадке S3, по оси ординат нагрузка, отнесенная к максимальной нагрузке Р$=14-10 i/этой партии пружин.
Примеры расчета тарельчатых пружин, работающих упруго до полной мощности
Используя апробированную гипотезу плоских сечений технической теории Бернулли-Эйлера, создана модель упругой деформации кольцевой детали произвольного сечения под действием осесимметричных радиальной и осевой нагрузок.
Для расчета окружных напряжений были найдены три внутренних силовых фактора, возникающие в сечении свободно опертой детали при ее деформировании (в отличии от существующих методов), два из которых находятся с помощью раскрытия статической неопределимости , а третий -изгибающий момент Му — из принципа Кастильяно для линейных систем.
Получена формула для нахождения нормальных напряжений в сечении кольцевых деталей в зависимости от параметров внешних силовых факторов. Разработан новый усовершенствованный метод расчета напряженно-деформированного состояния кольцевой детали при осесимметричной нагрузке при малой деформации (деформация считается малой, если угол поворота сечения в мал). В работе, в качестве эксперимента, просчитан пример расчета напряжений кольцевой детали, приведенный в учебном пособии Бояршинова СВ., который доказывает правильность полученных расчетных формул метода. По результатам этого эксперимента можно сделать вывод, что величины напряжений в сечении детали мало отличаются от напряжений, которые получаются если использовать современную методику расчета в тех случаях, когда геометрия сечения и наличие радиальной нагрузки делают влияние изгибающего момента Му незначительным. Поэтому большая часть работы посвящена применению метода расчета напряженно деформированного состояния тарельчатых пружин. Выведены формулы усовершенствованного метода, адаптированного к расчету пружин Бельвилля. Получена линейная зависимость (2.50) между величиной осадки тарельчатой пружины и величиной внешней нагрузки. Проведен численный эксперимент, в котором сравниваются расчетные значения напряжений с полученными экспериментально величинами таблицы ГОСТ. Исходя из результатов эксперимента, видны несовпадения расчетных данных и данных ГОСТа, а именно нелинейность в зависимости нагрузки от величины осадки пружин, представленных в таблице ГОСТ. Это объясняется наличием поля остаточных напряжений, которое возникает при изготовлении пружин (в процессе заневоливания). Ресурс пружины, в которой существуют зоны пластических изменений, трудно предсказуем как при циклическом, так и при статическом нагружении. Можно сделать вывод, что лучшими эксплуатационными свойствами будут обладать пружины, в которых не существует поле остаточных напряжений.
Расчитанные новым методом величины напряжений в сечении свободно опертой тарельчатой пружины меньше на 60%-80% значений получаемых по формулам Альмена и Лязло, что подтверждает искаженность существующих методик расчета нормальных напряжений в пружинах Бельвилля.
Полученные формулы можно напрямую использовать в процессе проектирования пружин Бельвилля., что может существенно сэкономить время и средства при изготовлении, а главное ресурс этих пружин будет предсказуем, и напряжения на поверхности детали, возникающие в процессе эксплуатации, не будут превышать пределы текучести и прочности используемых материалов. В ближайшей перспективе планируется вывод формул полученного метода для комплектов пружин (рис. 9). Такие конструкции используются для получения нужного осевого перемещения, а так же для восприятия больших усилий и используются, главным образом, как мощные буферные пружины во всякого рода амортизаторах. Для большего гашения энергии ударов, воспринимаемых пружинами, между тарелками, можно устанавливать шайбы (рис. 9а). В этом случае жесткость конструкции возрастает еще за счет сил трения, возникающих на внешних кромках тарелок при их скольжении по шайбам. При наличии особо больших нагрузок пружины можно устанавливать пакетами, вкладывая конус в конус так, чтобы верхняя тарелка своей внутренней поверхностью ложилась на наружную поверхность нижней тарелки. При этом рабочая нагрузка может быть увеличена примерно пропорционально числу пружин в пакете.
