Содержание к диссертации
Введение
1. Основные уравнения теории консолидации квазидвухфазных грунтов 35
1.1. Квазидвухфазные грунты 35
1.1.1. Системы напряжений в квазидвухфазном грунте 37
1.1.2. Системы деформаций в квазидвухфазном грунте 38
1.1.3. Основные уравнения теории консолидации квазидвухфазных грунтов 40
1.2. Конечно-элементная постановка задачи 47
1.2.1. Получение основной системы разрешающих уравнений 47
1.2.2. Определение граничных и начальных условий 52
2. Описание основных расчётных алгоритмов задач 53
2.1. Алгоритм решения квазистатической задачи 53
2.2. Метод трапеций 54
2.2.1. Схема численного интегрирования основной системы разрешающих уравнений по времени 57
2.3. Используемые конечные элементы 59
2.3.1. Двумерные конечные элементы 59
2.3.2. Трёхмерный конечный элемент 69
2.4. Построение матрицы жёсткости 8-ми узлового трёхмерного элемента 70
2.5. Квазистатическое деформирование грунта под действием равномерно распределённой нагрузки без возможности бокового расширения 75
2.6. Деформирование плоской водонасыщеннои среды под действием сосредоточенной силы 77
2.7. Квазистатическое деформирование плоской водонасыщеннои среды под действием зависящей от времени распределённой нагрузки 80
3. Предельное состояние в грунте 82
3.1. Алгоритм расчёта предельного состояния в грунте 82
3.2. Упругопластический расчёт земляной насыпи 91
4. Решение практических задач 95
4.1. Расчёт поля перемещений и напряжённого состояния в коллекторе при проходке под ним тоннеля метрополитена 95
4.2. Расчёт напряжённо-деформированного состояния кольца обделки метрополитена при наличии зоны химического закрепления 112
4.2.1. Исследование влияния зоны химического закрепления на деформирование сплошного кольца обделки тоннеля метрополитена в однородном грунте 112
4.2.2. Исследование влияния зоны химического закрепления на деформирование сплошного кольца обделки тоннеля метрополитена в реальном грунте 133
4.2.3. Деформирование блочного кольца обделки тоннеля метрополитена с учётом контакта между блоками в реальном грунте при наличии зоны химического закрепления грунта 140
Заключение 149
- Конечно-элементная постановка задачи
- Построение матрицы жёсткости 8-ми узлового трёхмерного элемента
- Упругопластический расчёт земляной насыпи
- Расчёт напряжённо-деформированного состояния кольца обделки метрополитена при наличии зоны химического закрепления
Введение к работе
Взаимосвязанные процессы деформирования и фильтрации в насыщенных пористых средах составляют сущность многих явлений в природе и служат основой разнообразных технологических воздействий в химической промышленности, строительстве и добыче полезных ископаемых. Отсюда интерес к теории таких процессов. Важную роль в её развитии играет математическое моделирование, позволяющее прогнозировать и оптимизировать технологические воздействия, интерпретировать и обрабатывать опытные данные. Как правило, оно выполняется на основе модельных представлений теории фильтрационной консолидации, берущей начало с пионерской работы Терцаги К. [200] 1925 годэ. В ней он впервые ввёл понятие эффективных напряжений и решил одномерную задачу уплотнения водонасыщенного пористого грунта в виде слоя конечной толщины.
Эта теория получила дальнейшее развитие в трудах Герсеванова Н. М. [38, 39], Флорина В. А. [145, 146, 147], Цытовича Н. А. [149, 150], Зарецкого Ю. К. [55, 56, 57], Био М. А. [23, 24], Николаевского В. Н. [94, 95, 96, 97] и других. Общая математическая модель фильтрационной консолидации на базе вариационно-термодинамического подхода создана Био М. А. [23, 24]. Её глубокий анализ с позиций механики сплошной среды проведён Николаевским В. Н. [96, 97]. Костериным А. В. на основе вариационных формулировок задач фильтрационной консолидации исследована их корректность и предложены обоснованные численные методы их решения [49, 50]. В последние годы интерес к теории фильтрации усиливается, о чём свидетельствует быстрый рост числа публикаций по этой тематике [60, 81, 160, 166,178, 194, 196,206].
Математическая модель фильтрационной консолидации насыщенной пористой среды под действием внешних поверхностных сил включает в себя суммарное уравнение движения (квазиравновесия) фаз, условия неразрывности (баланса масс), закон фильтрации, реологическое соотношение для пористого скелета, граничные и начальные условия.
В простейшем варианте модели теории фильтрационной консолидации считается, что жидкость и материал зёрен несжимаемы, пористая матрица деформируется упруго, а жидкость фильтруется по закону Дарси. Реологические соотношения в этом случае имеют вид: <Ту=Л08ц+2(іЄу, (1) q = -kAp. (2)
Здесь X} - декартовы координаты, Си - эффективные напряжения в скелете, р - давление в жидкости, ц - тензор макродеформаций, в = Еп - объёмная деформация среды, Я - скорость фильтрации, к -коэффициент фильтрации, Л,/Л - коэффициенты Ламе упругой пористой матрицы.
Адекватное описание свойств реальной пористой среды предполагает усложнение определяющих соотношений (1), (2). Дня пористого скелета часто необходим учёт его вязких и пластических свойств. Задачи фильтрационной консолидации с учётом этого рассматривались в работах [56, 158]. Закон фильтрации также в ряде случаев может зависеть от деформаций среды [151]. Другой возможностью, особенно важной для описания консолидации глинизированных грунтов, является наличие предельного градиента [79, 80,90,190].
Ещё одним актуальным направлением в развитии теории фильтрационной консолидации является решение сложных неодномерных задач. Как правило, решения двумерных и трёхмерных задач фильтрационной консолидации получают на основе сеточных методов [2, 40, 71]. Поэтому каждое аналитическое решение этих задач представляет собой как самостоятельный интерес, так и косвенный, позволяющий использовать его для тестирования численных методов.
Продвижение в обоих указанных направлениях (усложнение и неодномерность) во многих случаях приводит к необходимости решения задач с заранее неизвестными границами.
Например, при усложнении реологических соотношений введением пластичности необходимо определять заранее неизвестную границу между областями упругих и пластических деформаций. При нелинейном законе фильтрации с предельным градиентом возникают зоны фильтрации и зоны «замороженных» напряжений. Границы между этими зонами также заранее неизвестны и должны определяться в ходе решения задачи.
Необходимость определения неизвестных границ может возникать также в рамках линейной теории. Это может быть связано, например, в контактных задачах как с причинами чисто геометрического характера (заранее неизвестная зона контакта), так и с нелинейностью граничных условий (неизвестные границы между областями проскальзывания и сцепления).
Вариационный подход применялся также к исследованию фильтрации в деформируемой пористой среде: изучался процесс консолидации (уплотнение насыщенной пористой средой под действием внешней нагрузки). Вариационная формулировка (принцип) служит при этом основой для построения приближённого решения задачи, например, методом конечных элементов. В работе [187] построен функционал, экстремум которого достигается на решении задачи консолидации елинейно деформируемой насыщенной пористой среды с учётом конечных деформаций. Этот весьма общий результат получен на основе использования плодотворной идеи - перехода от исходных уравнений и граничных условий задачи к их производным по времени («скоростям»). Относительно «скоростей» задача становится линейной, причём коэффициенты уравнений параметрически зависят от текущих значений самих параметров состояния. В [187] освещено также современное состояние вариационной теории консолидации (дан обзор соответствующих вариационных принципов).
Классической задачей консолидации является плоская задача об усадке полупространства под действием мгновенно приложенной прямоугольно-распределённой нагрузки [96]. В такого рода задачах из-за характера приложения нагрузки возникает проблема начального состояния, которое формируется в результате быстрых волновых процессов и потому не описывается безинерциональными уравнениями консолидации. Следовательно, эта проблема не может быть решена в рамках теории консолидации без привлечения дополнительных гипотез. Обычно предполагают, что в начальный момент времени вся нагрузка воспринимается давлением жидкости [96]. Для устранения проблемы начального состояния достаточно рассматривать непрерывно зависящую от времени нагрузку, изменяющуюся не слишком быстро, так, чтобы можно было пренебречь силами инерции в уравнениях движения жидкой и твёрдой фаз.
Контактным задачам теории упругости и вязкоупругости посвящена обширная литература [36, 44, 48]. Прогресс здесь связан, главным образом, с возможностью использования классического аппарата теории функций комплексного переменного для получения аналитического решения соответствующих задач.
Аналогичные по постановке задачи для насыщенных пористых сред, формулируемые в рамках схемы фильтрационной консолидации, менее изучены. Число аналитических решений краевых задач теории консолидации невелико. Основным задачам посвящены работы [61, 63, 162, 165, 169, 183]. В [62] получено приближённое решение контактной задачи о давлении штампа на полуплоскость, [41, 65] построено решение задачи о консолидации в тонком слое и в полосе.
Между тем, контактные задачи фильтрационной консолидации содержательны как с математической, так и с механической точек зрения. С одной стороны, имеющаяся аналогия с абстрактным вязкоупругим материалом оказывается не столь прямой, чтобы можно было непосредственно пользоваться известным аппаратом: необходима разработка специальных методов решения контактных задач фильтрационной консолидации. С другой стороны, специфика объекта порождает новые эффекты, принципиально не возникающие в рамках теории вязкоупругости. К последним, например, можно отнести возможность появления двухфазных зон в изначально полностью насыщенном пористом материале [74].
Классическая теория фильтрации берёт начало с середины позапрошлого века, со времени установления французским инженером Дарси А. линейной зависимости между расходом и потерей напора. Эта зависимость была установлена в результате опытов просачивания воды через песчаный грунт. Многочисленные последователи Дарси А. подтвердили справедливость этого основного закона фильтрации [4, 54, 66, 84, 108].
Большой вклад в развитие этой теории внесла русская и советская школа фильтрации, основоположниками которой являются Жуковский Н. Е., Павловский Н. Н., Лейбензон Л. С. Дальнейшее развитие проблемы нашло место в работах Аравина В. И., Ведерникова В. В., Полубариновой-Кочиной П. Я., Нумерова С. Н. Разработанные ими аналитические и приближённые методы позволили решить большой класс задач фильтрации, в том числе задач безнапорной фильтрации через грунтовые плотины. Так, например, успешно применяются метод конформных отображений [29, 30], предложенный Павловским Н. Н., метод аналитической теории линейных дифференциальных уравнений [108] (Полубаринова-Кочина П. Я.), метод аналитических функций [4] (Нумеров С. Н.). Аналитические решения получены, в основном, для задач безнапорной установившейся фильтрации через пористые перемычки, из каналов, в скважины и напорной установившейся фильтрации под плотинами гидротехнических сооружений [29, 30, 99,108, 153].
Аналитические решения задач влагопереноса получены для весьма узкого класса задач [144, 185, 188, 192, 203]. В этих задачах рассматривается только зона аэрации и для простого вида зависимостей гидрофизических характеристик. Решение задач в более общей постановке стало возможным с развитием приближённых методов и появлением быстродействующих ЭВМ.
Одним из наиболее простых и эффективных численных методов является метод конечных разностей (МКР), который применяется при решении как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений с различными условиями на границе области [6, 117]. К достоинству его относится простой вид аппроксимации дифференциальных уравнений, который удобен для программирования. Но метод конечных разностей является эффективным для областей достаточно простой формы.
В последнее время при решении задач фильтрации широкое применение находит более универсальный метод - метод конечных элементов (МКЭ) [37, 46, 58, 87, 120, 133]. Его преимущество - высокая устойчивость в применении к областям сложной геометрии и неоднородной структуры. МКЭ основан на замене исследуемого объекта совокупностью конечного числа дискретных элементов, связанных между собою в узлах. Непосредственный переход к расчётной схеме из соображений механики даёт возможность естественно формулировать граничные условия, произвольно располагать узлы сетки, сгущая её в местах ожидаемого большого градиента искомых величин, применять метод для исследования областей, состоящих из фрагментов различной физической природы и т.д.
Развитие метода отражено в работах зарубежных исследователей Аргкриса Дж., Вилсона Э., Айронса М. Р., Клафа Р. У., Зенкевича О. К., Одена Дж. и др. Значительный вклад в теорию метода конечных элементов содержится в отечественных работах Постнова В. А., Хархурима И. Я., Сахарова А. С, Розина Л. А., Образцова И. Ф. и др.
Литература, посвященная теории и реализации метода конечных элементов, весьма обширна. Среди целого ряда монографий следует отметить работы [12, 37, 58, 98, 101, 103, 109, ПО, 116, 119, 130]. История метода, его современное состояние и его сравнение с другими широко используемыми численными методами отражено в обзорах [27, 102].
Разработанные в последнее время новые вычислительные схемы, реализующие МКЭ и МКР значительно расширили класс фильтрационных задач, решаемых численными методами. Исследованию задач классической фильтрации с применением численных методов посвящены работы [5,67, 78, 82, 104].
Использование механики грунтов в инженерной практике с каждым годом становится всё более широким. Так, на основе получения ряда конкретных решений задач механики грунтов, а также проверки результатов в натуре оказалось возможным разработать весьма прогрессивный, дающий значительную экономию средств метод проектирования фундаментов по предельным состояниям грунтовых оснований [45].
Развитие механики грунтов и, в частности, динамики оснований позволило учёным и инженерам разработать и с успехом применять виброметод забивки свай, шпунтов и буровых труб в сыпучие и пластичные связные грунты [10].
Как методы улучшения свойств слабых грунтов необходимо отметить: оригинальный метод искусственного обжатия глинистых грунтов понижением напора грунтовых вод в подстилающих песках (метод Кнорре М. Е.); методы химического и электрохимического закрепления грунтов, разработанные профессором Ржаницыным Б. А. [113], метод термического закрепления просадочных лёссовидных грунтов Литвинова И. М. [77] и др.
В [179] для расчёта грунтовых оснований и фундаментов используется метод конечных элементов, для которого записаны определяющие соотношения упруговязкопластического поведения грунта в связанной постановке, когда учитывается фильтрация жидкости в грунте (закон Дарси). Из принципа возможных приращений в скоростях записана соответствующая конечно-элементная формулировка задачи. Описана процедура пересчёта входных параметров задачи, определяемых при стандартных испытаниях поведения грунта под нагрузкой, в материальные константы и функции, присутствующие в используемых определяющих соотношениях.
В работе [170] исследуется проблема уплотнения насыщенных пористых сред. Особенностью предлагаемого подхода является более детальный учёт зависимости проницаемости породы от напряжений в скелете и давления флюида, который в общем случае может быть сжимаемым (например, газ). Проницаемость принимается нелинейно зависящей от перечисленных величин. Такой учёт является существенным на больших глубинах (в геодинамических задачах) или при значительных нагрузках на поверхности. Разработана конечно-элементная модель деформации насыщенной породы. Рассматриваемая нелинейная система уравнений использована в проблеме динамики грунта при нагружении на поверхности полупространства. Kovacic D., Szavits-Nossan А. в своей работе [177] оценивают эффективность применения алгоритма динамической релаксации к задачам консолидации двухфазовой среды, где поры деформируемого грунтового скелета приняты полностью насыщенными сжимаемой жидкостью. Алгоритм позволяет обойтись без построения глобальной матрицы жёсткости и решения системы уравнений, т.к. операции выполняются на уровне элементов и алгоритм хорошо приспособлен к нелинейным задачам. В качестве независимой переменной принято относительное перемещение поровой воды (вместо порового давления), что позволяет применять одну и ту же интерполяционную функцию для жидкой фазы и грунтового скелета.
В работе [156] Adachi Т., Hirata Т., Hashimoto Т., Oka F., Mimura М. закон состояния для нормально консолидированных глин базируется на упругопластической теории и модели Кем-Клей. Применение разработанной компьютерной программы к анализу глинистого основания в процессе сооружения дамб включает и расчёт консолидации. Для учёта объёмного размягчения грунта при нагружении исходное уравнение дополнено членом, зависящим от функции размягчения.
В [100] приведены результаты изучения деформирования грунтов трёхслойного водоносного пласта, связанного с длительной откачкой подземных вод одиночной скважиной из нижнего напорного горизонта, опирающегося на водонепроницаемые недеформируемые породы. При постановке задачи для описания движения подземных вод использованы теории гидродинамики и фильтрационной консолидации, а для деформирования грунтов - деформационная теория пластичности.
Орехов В. В. в работе [107] приводит описание комплекса вычислительных программ, предназначенного для решения задач взаимодействия фундаментов с грунтовыми основаниями при статических и динамических воздействиях на основе метода конечных элементов.
В работе [141] Фадеева А. Б., Матвеенко Г. А. решение трёхмерной задачи сведено к решению ряда осесимметричных задач разложением узловых нагрузок и перемещений по окружной координате в ряды Фурье. Грунт рассматривается как идеально упругопластическая среда с поверхностью текучести, описываемой критерием Боткина в октаэдрических напряжениях.
Миховой Л. [88] на основании пространственной теории Био М. А. консолидации грунта решена осесимметричная задача с применением метода конечных элементов. Грунт принят как двухфазная система, состоящая из твёрдой фазы (скелета) и жидкой фазы (жидкости в порах скелета). Принято, что скелет линейно деформируемый материал. Жидкость недеформируема при полной водонасыщенности грунта и деформируема при наличии газа.
В работе [143] Фадеева А. Б., Репиной П. И., Глыбина Л. А. программа обеспечивает получение серии упругопластических решений для заданной последовательности нагружения гравитационными силами, пошагового приложения строительных нагрузок, постадийной выемки котлованов для подземных выработок, введения на любом этапе конструктивных элементов (фундаментов, обделки тоннелей и т.п.). Отличительной особенностью является возможность введения на любом этапе заданных перемещений узлам. Модель среды - билинейная, упругопластическая, с критерием текучести Кулона. Stematiu D., Paunescu D. [199] предлагают модель поведения грунта с неполным насыщением под действием внешней нагрузки. Модель учитывает взаимодействие между тремя составными фазами грунта: твёрдым скелетом, водой и воздухом. Система дифференциальных уравнений неразрывности и баланса решена численно методом конечных элементов. Murad М. A., Loula A. F. D. [184] обсуждают устойчивость и сходимость численных решений задачи фильтрационной консолидации насыщенных грунтов. Анализируется семейство затухающих функций, описывающих затухание осцилляции порового давления в грунте, находящемся в начальный период в неуплотнённом состоянии. Оцениваются ошибки вычислений за счёт неоптимального выбора шага дискретизации по времени.
В работе Oka F., Yashima A., Shibata Т., Kato М., Uzuoka R. [189] была рассмотрена полная система уравнений, описывающая процесс разжижения пористых водонасыщенных грунтов под действием переменных нагрузок. Численное решение задачи проведено комплексным методом конечных элементов и конечных разностей. Метод конечных разностей используется для пространственной дискретизации уравнения неразрывности, тогда как метод конечных элементов используется для пространственной дискретизации уравнения равновесия. Совместное использование этих численных методов позволяет уменьшить степень свободы дискретизируемых уравнений.
В работе [164] Chiou Y.-J., Chi S.-Y. в рамках модели Био М. А. проводится расчёт консолидации водонасыщенных слоистых грунтов. Для численного моделирования трёхмерной задачи используются пошаговый по времени метод, несвязный метод граничных элементов и метод последовательных жёсткостей. Исследуются осадка грунта, вызванная поверхностным нагружением и медленное оседание грунта вследствие откачки из нижележащего горизонта.
В статье Стояновича Г. М. [129] расчёты выполнялись по разработанной автором аналитически-экспериментальной методике учёта вибродинамического воздействия и упругопластического напряженно-деформированного состояния земляного полотна на основе метода конечных элементов и эмпирических зависимостей снижения прочностных свойств грунтов в условиях Кулона.
В [195] выполнено численное моделирование локализации неупругой деформации в насыщенных песчаных образцах в условиях динамического нагружения в отсутствии дренажа. Использован метод конечных элементов для совместного решения уравнения баланса масс и уравнения движения.
В работе Еремеева В. А. [53] в рамках нелинейной механики сплошных сред рассмотрена задача о квазистатическом деформировании пористого тела, насыщенного жидкостью, в случае больших деформаций. Известная модель Био М. А. для пористой среды в случае малых деформаций обобщена на случай конечных деформаций и влияния температуры. Сформулирована нелинейная краевая задача для системы уравнений в частных производных относительно вектора перемещений твёрдого скелета, порового давления и температуры. Получены краевые условия на границе раздела сухой и насыщенной частей пористого тела.
Скворцовым Е. В., Тороповой М. М. в [127] предложен алгоритм расчёта поля пластового давления и продуктивности скважин, учитывающий нелокальный эффект деформирования продуктивного пласта.
В [175] представлена пороупругая численная модель для оценки трёхмерной консолидации за счёт вытеснения грунтовой воды в ненасыщенную анизотропную пористую среду. Численная модель разработана на основе полной системы уравнений для потока грунтовой воды в деформируемой пористой среде с изменяющейся степенью насыщения и метода конечных элементов Галёркина.
Кибец А. И. [64] рассматривает трёхмерные задачи распространения волн напряжений в грунтовых средах. Деформирование грунта описывается моделью Григоряна С. С. Решение задачи основано на методе конечных элементов и явной конечно-разностной схеме интегрирования по времени типа «крест».
В работе [205] представлен конечно-элементный метод, способный предсказать термомеханическое поведение материалов со случайно распределёнными порами, заполненными жидкостью. Каждая пора считается нагруженной гидростатическим давлением. На основе принципа Геллингера-Рейсснера получены связи между напряжением и деформацией для полигонального элемента, содержащего пору. Ng А. К. L., Small J. С. [186] методом конечных элементов исследовали консолидационное поведение ненасыщенных грунтов.
В работе [172] алгоритм адаптивного улучшения сетки разработан для нелинейных расчётов в геомеханике и основан на сглаженном представлении диаграммы напряжений в методе конечных элементов.
Использована оценка ошибки в относящемся к приращениям инварианте деформаций сдвига для преобразования сетки в процессе нагружения. Алгоритм разработан в результате анализа задачи пассивного давления грунта с использованием идеальной упругопластической модели Кулона-Мора. Использован смешанный гидромеханический анализ поведения грунта в процессе дренирования. Во всех случаях преобразование сетки признается успешным в областях с высоким градиентом деформаций.
В работе [202] представлена трёхмерная численная модель, деформации которой описываются согласно нелинейной теории упругости. Математическая формулировка связанных задач представлена четырьмя уравнениями на основании принципа сохранения массы и энергии, а также уравнением равновесия. Для описания движения жидкости и воздуха в пористой среде используется закон Дарси. В модели используются трёхмерные изопараметрические двадцати узловые элементы. Метод позволяет моделировать естественно нелинейные параметры грунта.
Авторами [191] предложен численный алгоритм решения задач динамики насыщенных пористых сред. Рассматривается предельный случай несжимаемой жидкости и малой проницаемости среды. В основу алгоритма положен метод смешанных конечных элементов.
Власгок А. П., Мартинюк П. М. [33] исследовали численное решение двумерной задачи фильтрационной консолидации глинистых грунтов. Решение получено методом конечных элементов.
В работе [142] основным недостатком приёмов, рассматривающих условия предельного равновесия на некоторых кинематически возможных поверхностях скольжения - обычно круглоцилиндрических, является упрощённая картина напряжённого состояния. Обычно предполагается, что в грунте действуют только вертикальные напряжения, пропорциональные глубине рассматриваемого участка поверхности скольжения от дневной поверхности. Кроме того, для определения наиболее опасного сочетания сдвигающих и удерживающих сил необходимо проведение множества расчётов по многим возможным поверхностям скольжения; оползневые тела при этом подразбиваются на достаточно крупные блоки, что вносит в результаты расчётов дополнительные погрешности. Достаточно эффективным является сочетание методов конечных элементов и предельного равновесия. Разработанная программа CIRCLE реализует этот подход и обеспечивает автоматический поиск поверхности с минимальным коэффициентом запаса устойчивости.
В работе Бережного Д. В., Голованова А. И., Паймушина В. Н., Сидорова И. Н. [15] разрабатывается конечно-элементная методика расчёта водонасыщенной пористой среды, взаимодействующей с деформируемыми конструкциями.
В работе [7] для оценки сил сопротивления прониканию ударника в грунты анализируется применимость различных моделей поведения грунтовых сред, а также исследуется влияние прочности взаимодействующих сред на значение контактной силы. Обосновывается достоверность методики «обращенного» эксперимента для определения силы сопротивления прониканию ударника в грунт посредством регистрации деформаций мерного стержня. Математическая модель, принятая для описания деформирования сред, формулируется на основании соотношений механики сплошных сред и теории пластического течения. Постановка задачи соответствует обращенному эксперименту, когда контейнер с грунтом ударяет по неподвижному мерному стержню-ударнику.
В работе [11] рассмотрена нестационарная двумерная задача распространения нейтральной примеси в фильтрационном потоке при неполном насыщении грунта. Для решения задачи фильтрации используется неявная конечно-разностная схема и метод переменных направлений. Для интегрирования уравнения гидродинамической дисперсии выбран метод Кранка-Николсона.
Пшеничкиным А. П. [111] рассматривается деформирование во времени двухфазного грунта, который включает в себя два процесса, протекающих одновременно. Это - процесс формоизменения и объёмного изменения во времени скелета грунта, происходящий в результате деформирования вязких связей между частицами грунта. Принимается, что сначала происходит выдавливание из пор воды (первичная консолидация), а затем деформирование во времени идет за счёт ползучести скелета грунта (вторичная консолидация). По методу эквивалентного слоя грунта Цытовича Н. А. по теории фильтрационной консолидации, получено решение задачи уплотнения грунтов водонасыщенного основания.
В работе [25] Бойко И. П., Сахарова В. А. приведены результаты решения двумерных и трёхмерных линейных и нелинейных задач взаимодействия фундаментов соседних зданий с применением численных методов на базе системы «VESNA». Используется теория пластического течения, неассоциированный закон деформирования грунтов основания и модифицированный критерий Мизеса-Губера-Боткина, учитывается конструктивная нелинейность системы «основание-фундамент-конструкции». Дано сравнение результатов решения задач моделей с коэффициентом жёсткости основания и модели нелинейно-деформируемого слоистого грунтового массива.
Глаговский В. Б., Нуллер Б. М. [41] рассматривают плоскую смешанную краевую задачу линейной теории безынерционной двухфазной консолидации. Полоса, лежащая на гладком, недеформируемом, непроницаемом для жидкости основании, находится под давлением полубесконечного проницаемого штампа. Материал твёрдой фазы и жидкость сжимаемы. При помощи преобразований Лапласа по времени и пространственной координате задача сводится к уравнению Винера-Хопфа. Исследуются общие закономерности распределения корней характеристических уравнений, соответствующих различным однородным условиям на гранях полосы. На основе полученных результатов строится эффективное решение в кратных интегралах, имеющих экспоненциальную сходимость по всем переменным. Исследуются временные процессы осадки штампа и выдавливания жидкости.
В работе [152] получено точное решение пространственной задачи теории фильтрационной консолидации при осевой симметрии, которое отличается от известных приближённых решений учётом в расчётных формулах коэффициента Пуассона грунтового скелета. Это позволяет более достоверно прогнозировать развитие во времени деформаций и напряжений водонасыщенных оснований. Shemsu К., Aoyama S. [197] обсуждают методы расчётов скорости фильтрационной консолидации земляных плотин, сооружаемых из частично насыщенных грунтов. Использовано обобщение теории фильтрационной консолидации Био М. А. для сред с упругопластическим поведением. Результаты расчётов сопоставлены с данными натурных исследований. Показано, что амплитуда осадки плотин в случае частичного насыщения грунта значительно больше, чем в случае полной насыщенности.
Флориной О. И. [148] в вероятностной постановке рассмотрена плоская задача консолидации слоя грунта конечной толщины, нижнее основание которого водопроницаемо. Использован известный метод решения соответствующей детерминистической задачи. Приведён пример вычисления вероятности того, что величина осадки не превысит допустимого значения для случая равномерно распределённой нагрузки. Считается, что случайный параметр распределён по нормальному закону.
В работе [13] Безволева С. Г. проведены компрессионно-фильтрационные испытания глинистого грунта ненарушенной структуры, включающие процедуру анизотропной реконсолидации образцов. Разработана методика определения коэффициента фильтрации грунта по графикам; изменения во времени осадки образца и избыточного порового давления. Методика даёт результаты очень близкие к данным обычных фильтрационных испытаний (гораздо более продолжительных и трудоёмких).
Кятов Н. X. [76] рассмотрел задачу об определении характера влияния промежуточной подготовки на распределение порового давления в водонасыщенных грунтах основания под подошвой ленточного фундамента.
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Прогресс в развитии фундаментостроения и подземного строительства в значительной мере определяется достигнутыми к настоящему времени результатами в области математического моделирования различных процессов или физических явлений, в частности, процессов деформирования и разрушения элементов конструкций и сооружений. Существует определённый разрыв между потребностями практики и существующими СниПами, регламентирующими деятельность проектировщиков и строительную практику, и возможностями уточнённых расчетов элементов конструкций и сооружений исходя из современных возможностей более точной постановки практических задач и их реализации на ЭВМ на основе использования численных методов.
Основным направлением задач, стоящих перед механикой грунтов, является теоретический прогноз поведения грунтовых толщ (их деформируемости, прочности, устойчивости и пр.) под влиянием внешних и внутренних воздействий: разнообразных нагрузок от сооружений, изменений (под действием природных факторов и деятельности человека) условий равновесия, например, при размывах, колебаниях уровня грунтовых вод, разгрузке глубоких слоев грунта при копке строительных котлованов и др.
Задача исследования напряжённо-деформированного состояния грунтов под действием внешних сил и собственного веса грунта является главнейшей в механике грунтов, и разрешение её для различных случаев загружения имеет непосредственное приложение в практике строительства. Для практики строительства весьма важно знать, как распределяются напряжения в грунте при загрузке части его поверхности, как напряжённое состояние меняется с течением времени, при каких условиях наступает предельное напряжённое состояние, после чего возникают недопустимые деформации и нарушения сплошности грунтового массива и т.п. Особо существенное значение имеют вопросы определения деформаций грунтов, а именно: общей величины деформаций и отдельных её видов (упругих, остаточных), протекания деформаций во времени и разности деформаций (осадок) под отдельными частями сооружений. Взаимосвязанные процессы деформирования и фильтрации в насыщенных пористых средах составляют сущность многих явлений в природе и служат основой разнообразных технологических воздействий в химической промышленности, строительстве и добыче полезных ископаемых. Важную роль в её развитии играет математическое моделирование, позволяющее прогнозировать и оптимизировать технологические воздействия, интерпретировать и обрабатывать опытные данные. Развитие этой теории отражено в работах ряда исследователей: Бойко И. П., Био М. А., Герсеванова Н. М., Зарецкого Ю. К.,
Костерина А. В., Маслова Н. К, Николаевского В. Н., Фадеева А. Б., Флорина В. А., Цытовича Н. А. и др.
ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ. Создать методики расчёта напряжённо-деформированного и предельного состояний сухих и водонасыщенных грунтовых массивов, взаимодействующих с деформируемыми конструкциями, на основе метода конечных элементов. Исследовать статическое взаимодействие подземных промышленных сооружений с грунтом.
СТРУКТУРА И ОБЪЁМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка использованной литературы. Изложена на 175 страницах машинописного текста, содержит 36 таблиц, 54 рисунка. Список литературы насчитывает 205 наименований.
ВО ВВЕДЕНИИ приводится обзор работ по теме диссертации, обоснована актуальность темы, сформулированы цель и положения, выносимые на защиту. Даётся краткий анализ структуры и содержания диссертации.
В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ рассматриваются основные уравнения теории консолидации квазидвухфазных грунтов. Система вариационных разрешающих уравнений консолидации квазидвухфазных грунтовых сред получена на основе Эйлерова подхода к описанию движения в предположении справедливости принципа эффективных напряжений Терцаги. Закон фильтрации записывается по отношению к разности приведённых скоростей жидкости и скелета грунта в форме Дарси-Герсеванова. Рассмотрен случай квазистатического движения грунтовой среды, когда ускорениями частиц фильтрующей жидкости и скелета грунта можно пренебречь. Описывается семейство на основе изопараметрических квадратичных конечных элементов сплошной среды, в качестве узловых неизвестных которых выбраны декартовы проекции вектора перемещений скелета грунта и поровое давление фильтрующейся жидкости.
ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена основным расчётным алгоритмам. Реализованы расчётные схемы, позволяющие определять напряжённо-деформированное состояние грунта в случае гидростатического распределения порового давления (случай установившегося течения грунтовых вод) и в случае квазистатического движения грунта (случай неустановившегося движения). Для решения задачи консолидации используется конечно-разностная схема по времени типа Кранка-Николсона. В двумерном случае основными расчётными элементами являются 4-х и 8-ми узловые конечные элементы. В трёхмерном — 8-ми узловой конечный элемент. Рассматриваются тестовые задачи, позволяющие судить о точности и эффективности предложенной методики. В качестве одного из тестов решена задача определения эффективных давлений в скелете глинистого грунта, залегающего на несжимаемой породе подверженного действию сплошной равномерно распределённой нагрузки. В рамках модели Био М. А. рассматривается плоская задача о действии сосредоточенной силы на упругое полупространство с порами, заполненными жидкостью. Далее решена задача деформирования плоской водонасыщенной среды под действием изменяющейся во времени нагрузки.
В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ строится методика расчёта предельного состояния в грунте. Реализована методика определения напряжённого и предельного состояния грунта, учитывающая условие прочности Мизеса-Боткина. Задача решается на основе метода конечных элементов, причём реализуется итерационная процедура, известная как «метод начальных напряжений». В соответствии с ней на каждом шаге итерации формулируется линейная задача и найденные напряжения оцениваются по соотношениям предельного состояния. Если материал не достиг его, то считается, что напряжённое состояние найдено. Если материал вышел в предельное состояние, то определяются «истинные» напряжения и «дополнительные», которые в совокупности равны найденным, из решения линейной задачи. Далее считается, что «дополнительные» напряжения являются неуравновешенными внутренними усилиями, и на следующем шаге итерации они принимаются как внешние силы. Рассматривается модельная задача - расчёт насыпи под действием собственного веса и нагрузки, равномерно распределённой по верхней грани. Рассмотрен случай плоского деформирования. Считается, что грунт - однородная среда.
В ЧЕТВЁРТОЙ ГЛАВЕ решаются новые практические задачи. В первой задаче основной целью расчёта является определение положения и уровня напряжённо-деформированного состояния фекального коллектора, находящегося в непосредственной близости от прокладываемого тоннеля метрополитена, во время проходки и после окончания строительных работ. Для этого проводится трёхмерный расчёт грунтового массива зоны максимального сближения коллектора и обделки тоннеля метрополитена с учётом уровня грунтовых вод и расположенного выше подземного перехода. Проведено два типа расчётов. Первый - без учёта влияния грунтовых вод, второй тип расчётов с учётом гидростатической нагрузки. Основной целью второй задачи является определение наилучшей формы области химического закрепления грунта в зоне пересечения тоннелями метрополитена грунтового массива с целью снижения уровня напряжённо-деформированного состояния в обделке тоннеля. Вторая задача состоит из трёх этапов; первый - исследование влияния зоны химического закрепления на деформирование сплошного кольца обделки тоннеля метрополитена в однородном грунте. Первоначально решается модельная задача, когда сечение тоннеля представляется в виде сплошного кольца, а окружающий обделку тоннеля грунт является однородным. На этой модели путём проведения вычислительного эксперимента определяются: оптимальная форма зоны химического закрепления грунта вокруг тоннеля для различных соотношений механических характеристик основного массива грунта и закреплённого грунта, а также влияние расположенного рядом второго тоннеля. Задача решается в двумерной постановке на основе квадратичных конечных элементов Сирендипова семейства, у которых в качестве узловых степеней свободы выбираются значения декартовых проекций вектора перемещений. Далее для различной формы зон химического закрепления грунта определяются окружные напряжения в кольце обделки. На втором этапе решения задачи определяются оптимальные формы зоны химического закрепления для реального в случае представления грунта тоннелей сплошными бетонными кольцами. Третий этап - деформирование блочного кольца обделки тоннеля метрополитена с учётом контакта между блоками в реальном грунте при наличии зоны химического закрепления грунта. Решается нелинейная задача упругого деформирования бетонного кольца обделки тоннеля метрополитена, расположенного в толще грунтового массива.
В ЗАКЛЮЧЕНИИ говорится об основных результатах диссертационной работы и их практическом использовании.
НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ:
Двумерная и трёхмерная постановка задачи статического деформирования сухих и водонасыщенных грунтов, разработанный и апробированный пакет программ, реализующий предложенную методику определения напряжённо-деформированного состояния на основе метода конечных элементов;
Методика определения предельного состояния для сухих грунтов;
3. Решение новых практических задач взаимодействия деформируемых конструкций с грунтовыми массивами.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА РЕЗУЛЬТАТОВ:
Дальнейшее развитие метода конечных элементов для трёхмерного взаимодействия деформируемых конструкций с сухими и водонасыщенными грунтами;
Результаты расчёта трёхмерных конструкций, в том числе железобетонных, взаимодействующих с грунтами с учётом фильтрации.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ:
Приведённые алгоритмы и разработанные на их основе программы расчёта отличаются универсальностью и позволяют проводить численные исследования напряжённо-деформированного и предельного состояний деформируемых конструкций, взаимодействующих с сухими и водонасыщенными грунтами. Результаты использовались при выполнении научно-исследовательской работы в рамках научного сопровождения проектирования и строительства метрополитена г. Казани;
Совершенствование методики статического расчёта обделки тоннеля метрополитена на базе создания трёхмерной конечно-элементной модели и соответствующего программного обеспечения;
Исследование влияния химического закрепления грунта в зоне расположения перегонных тоннелей при строительстве метрополитена г. Казани.
ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных результатов обеспечивается математическим обоснованием предлагаемых методик расчёта, сравнением полученных решений для тестовых задач с известными из литературы аналитическими результатами, анализом результатов расчёта реальных конструкций на сетках, состоящих из разного числа и типа конечных элементов.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положения и результаты диссертационной работы по мере их получения докладывались и обсуждались на итоговой студенческой конференции (Казань, КГУ, 2002 г.); на международной молодёжной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, КГУ, 2002-2003 г.г.); на конференции «Наука и практика. Диалоги нового века» (Набережные Челны, 17-19 марта, 2003 г.); на городской научно-практической конференции «Студенты Зеленодольску» (Зеленодольск, 12 апреля, 2003 г.); на XV Всероссийской межвузовской научно-технической конференции (Казань, 20-22 мая, 2003 г.); на Тринадцатой Межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 29-31 мая, 2003 г.); на Двенадцатой Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 30 июня-5 июля, 2003 г.); на XX Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 24-26 сентября, 2003 г.); на итоговой научной конференции 2003 г. Казанского научного центра РАН (Казань, 2004 г.); на Пятой конференции пользователей программного обеспечения CAD-FEM GmbH (Москва, 21-22 апреля, 2005 г.); на городском научно-методическом семинаре кафедр теоретической механики (Казань, 31 мая, 2005 г.); на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1-3 июня, 2005 г.); на ежегодных итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (Казань, КГУ, 2003-2005 г.г.). на семинаре кафедры теоретической механики КГУ и лаборатории механики оболочек НИИММ им. Чеботарёва Н. Г. (Казань, КГУ, 2005 г.).
В целом диссертация докладывалась и получила одобрение на расширенном семинаре кафедры теоретической механики и лаборатории механики оболочек НИИММ им. Чеботарёва Н. Г. Казанского государственного университета.
Основное содержание диссертации опубликовано в работах [17-21], [121-126]. Работы [17-21, 124, 125] выполнены совместно с Коноплёвым Ю. Г., [17-21, 123-125] - совместно с Бережным Д. В., [20] -совместно с Саченковым А. А. и Хакимзяновым Р. Р. Вклад соавторов в эти работы заключается в следующем:
Коноплёв Ю. Г. - участие в постановке задач, обсуждение алгоритмов решения и результатов расчета.
Бережной Д. В. - участие в постановке задач, частичной реализации алгоритмов решения и расчётных схем, в обсуждении результатов расчёта. Кроме того, при получении результатов использовались конечно-элементные пакеты программ, разработанные Бережным Д. В.
Саченков А. А. - участвовал в постановке задачи и обсуждении результатов.
Хакимзянов Р. Р. - участвовал в реализации алгоритма решения задачи.
Работа выполнена на кафедре теоретической механики Казанского государственного университета.
Работа поддержана грантом Министерства Образования (2004 г.), грантом Академии Наук Республики Татарстан (2005 г.) и грантом для аспирантов КГУ III года обучения (2005 г.).
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, заслуженному деятелю науки РФ и РТ, академику РАЕН, МАН ВШ, АНТ Юрию Геннадьевичу Коноплеву, научному консультанту кандидату физико-математических наук, доценту Дмитрию Валерьевичу Бережному за постоянное внимание и помощь при выполнении работы, а также сотрудникам кафедры теоретической механики Казанского государственного университета и лаборатории механики оболочек НИИММ им. Чеботарёва Н. Г. за внимание к работе и обсуждение полученных результатов.
Конечно-элементная постановка задачи
Взаимосвязанные процессы деформирования и фильтрации в насыщенных пористых средах составляют сущность многих явлений в природе и служат основой разнообразных технологических воздействий в химической промышленности, строительстве и добыче полезных ископаемых. Отсюда интерес к теории таких процессов. Важную роль в её развитии играет математическое моделирование, позволяющее прогнозировать и оптимизировать технологические воздействия, интерпретировать и обрабатывать опытные данные. Как правило, оно выполняется на основе модельных представлений теории фильтрационной консолидации, берущей начало с пионерской работы Терцаги К. [200] 1925 годэ. В ней он впервые ввёл понятие эффективных напряжений и решил одномерную задачу уплотнения водонасыщенного пористого грунта в виде слоя конечной толщины. Эта теория получила дальнейшее развитие в трудах Герсеванова Н. М. [38, 39], Флорина В. А. [145, 146, 147], Цытовича Н. А. [149, 150], Зарецкого Ю. К. [55, 56, 57], Био М. А. [23, 24], Николаевского В. Н. [94, 95, 96, 97] и других. Общая математическая модель фильтрационной консолидации на базе вариационно-термодинамического подхода создана Био М. А. [23, 24]. Её глубокий анализ с позиций механики сплошной среды проведён Николаевским В. Н. [96, 97]. Костериным А. В. на основе вариационных формулировок задач фильтрационной консолидации исследована их корректность и предложены обоснованные численные методы их решения [49, 50]. В последние годы интерес к теории фильтрации усиливается, о чём свидетельствует быстрый рост числа публикаций по этой тематике [60, 81, 160, 166,178, 194, 196,206]. Математическая модель фильтрационной консолидации насыщенной пористой среды под действием внешних поверхностных сил включает в себя суммарное уравнение движения (квазиравновесия) фаз, условия неразрывности (баланса масс), закон фильтрации, реологическое соотношение для пористого скелета, граничные и начальные условия. В простейшем варианте модели теории фильтрационной консолидации считается, что жидкость и материал зёрен несжимаемы, пористая матрица деформируется упруго, а жидкость фильтруется по закону Дарси. Реологические соотношения в этом случае имеют вид: Здесь X} - декартовы координаты, Си - эффективные напряжения в скелете, р - давление в жидкости, ц - тензор макродеформаций, в = Еп - объёмная деформация среды, Я - скорость фильтрации, к -коэффициент фильтрации, Л,/Л - коэффициенты Ламе упругой пористой матрицы.
Адекватное описание свойств реальной пористой среды предполагает усложнение определяющих соотношений (1), (2). Дня пористого скелета часто необходим учёт его вязких и пластических свойств. Задачи фильтрационной консолидации с учётом этого рассматривались в работах [56, 158]. Закон фильтрации также в ряде случаев может зависеть от деформаций среды [151]. Другой возможностью, особенно важной для описания консолидации глинизированных грунтов, является наличие предельного градиента [79, 80,90,190]. Ещё одним актуальным направлением в развитии теории фильтрационной консолидации является решение сложных неодномерных задач. Как правило, решения двумерных и трёхмерных задач фильтрационной консолидации получают на основе сеточных методов [2, 40, 71]. Поэтому каждое аналитическое решение этих задач представляет собой как самостоятельный интерес, так и косвенный, позволяющий использовать его для тестирования численных методов. Продвижение в обоих указанных направлениях (усложнение и неодномерность) во многих случаях приводит к необходимости решения задач с заранее неизвестными границами. Например, при усложнении реологических соотношений введением пластичности необходимо определять заранее неизвестную границу между областями упругих и пластических деформаций. При нелинейном законе фильтрации с предельным градиентом возникают зоны фильтрации и зоны «замороженных» напряжений. Границы между этими зонами также заранее неизвестны и должны определяться в ходе решения задачи. Необходимость определения неизвестных границ может возникать также в рамках линейной теории. Это может быть связано, например, в контактных задачах как с причинами чисто геометрического характера (заранее неизвестная зона контакта), так и с нелинейностью граничных условий (неизвестные границы между областями проскальзывания и сцепления). Вариационный подход применялся также к исследованию фильтрации в деформируемой пористой среде: изучался процесс консолидации (уплотнение насыщенной пористой средой под действием внешней нагрузки). Вариационная формулировка (принцип) служит при этом основой для построения приближённого решения задачи, например, методом конечных элементов. В работе [187] построен функционал, экстремум которого достигается на решении задачи консолидации нелинейно деформируемой насыщенной пористой среды с учётом конечных деформаций. Этот весьма общий результат получен на основе использования плодотворной идеи - перехода от исходных уравнений и граничных условий задачи к их производным по времени («скоростям»). Относительно «скоростей» задача становится линейной, причём коэффициенты уравнений параметрически зависят от текущих значений самих параметров состояния. В [187] освещено также современное состояние вариационной теории консолидации (дан обзор соответствующих вариационных принципов). Классической задачей консолидации является плоская задача об усадке полупространства под действием мгновенно приложенной прямоугольно-распределённой нагрузки [96].
В такого рода задачах из-за характера приложения нагрузки возникает проблема начального состояния, которое формируется в результате быстрых волновых процессов и потому не описывается безинерциональными уравнениями консолидации. Следовательно, эта проблема не может быть решена в рамках теории консолидации без привлечения дополнительных гипотез. Обычно предполагают, что в начальный момент времени вся нагрузка воспринимается давлением жидкости [96]. Для устранения проблемы начального состояния достаточно рассматривать непрерывно зависящую от времени нагрузку, изменяющуюся не слишком быстро, так, чтобы можно было пренебречь силами инерции в уравнениях движения жидкой и твёрдой фаз. Контактным задачам теории упругости и вязкоупругости посвящена обширная литература [36, 44, 48]. Прогресс здесь связан, главным образом, с возможностью использования классического аппарата теории функций комплексного переменного для получения аналитического решения соответствующих задач. Аналогичные по постановке задачи для насыщенных пористых сред, формулируемые в рамках схемы фильтрационной консолидации, менее изучены. Число аналитических решений краевых задач теории консолидации невелико. Основным задачам посвящены работы [61, 63, 162, 165, 169, 183]. В [62] получено приближённое решение контактной задачи о давлении штампа на полуплоскость, [41, 65] построено решение задачи о консолидации в тонком слое и в полосе. Между тем, контактные задачи фильтрационной консолидации содержательны как с математической, так и с механической точек зрения. С одной стороны, имеющаяся аналогия с абстрактным вязкоупругим материалом оказывается не столь прямой, чтобы можно было непосредственно пользоваться известным аппаратом: необходима разработка специальных методов решения контактных задач фильтрационной консолидации. С другой стороны, специфика объекта порождает новые эффекты, принципиально не возникающие в рамках теории вязкоупругости. К последним, например, можно отнести возможность появления двухфазных зон в изначально полностью насыщенном пористом материале [74]. Классическая теория фильтрации берёт начало с середины позапрошлого века, со времени установления французским инженером Дарси А. линейной зависимости между расходом и потерей напора. Эта зависимость была установлена в результате опытов просачивания воды через песчаный грунт. Многочисленные последователи Дарси А. подтвердили справедливость этого основного закона фильтрации [4, 54, 66, 84, 108].
Построение матрицы жёсткости 8-ми узлового трёхмерного элемента
Аналитические решения задач влагопереноса получены для весьма узкого класса задач [144, 185, 188, 192, 203]. В этих задачах рассматривается только зона аэрации и для простого вида зависимостей гидрофизических характеристик. Решение задач в более общей постановке стало возможным с развитием приближённых методов и появлением быстродействующих ЭВМ. Одним из наиболее простых и эффективных численных методов является метод конечных разностей (МКР), который применяется при решении как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений с различными условиями на границе области [6, 117]. К достоинству его относится простой вид аппроксимации дифференциальных уравнений, который удобен для программирования. Но метод конечных разностей является эффективным для областей достаточно простой формы. В последнее время при решении задач фильтрации широкое применение находит более универсальный метод - метод конечных элементов (МКЭ) [37, 46, 58, 87, 120, 133]. Его преимущество - высокая устойчивость в применении к областям сложной геометрии и неоднородной структуры. МКЭ основан на замене исследуемого объекта совокупностью конечного числа дискретных элементов, связанных между собою в узлах. Непосредственный переход к расчётной схеме из соображений механики даёт возможность естественно формулировать граничные условия, произвольно располагать узлы сетки, сгущая её в местах ожидаемого большого градиента искомых величин, применять метод для исследования областей, состоящих из фрагментов различной физической природы и т.д. Развитие метода отражено в работах зарубежных исследователей Аргкриса Дж., Вилсона Э., Айронса М. Р., Клафа Р. У., Зенкевича О. К., Одена Дж. и др. Значительный вклад в теорию метода конечных элементов содержится в отечественных работах Постнова В. А., Хархурима И. Я., Сахарова А. С, Розина Л. А., Образцова И. Ф. и др. Литература, посвященная теории и реализации метода конечных элементов, весьма обширна. Среди целого ряда монографий следует отметить работы [12, 37, 58, 98, 101, 103, 109, ПО, 116, 119, 130]. История метода, его современное состояние и его сравнение с другими широко используемыми численными методами отражено в обзорах [27, 102]. Разработанные в последнее время новые вычислительные схемы, реализующие МКЭ и МКР значительно расширили класс фильтрационных задач, решаемых численными методами.
Исследованию задач классической фильтрации с применением численных методов посвящены работы [5,67, 78, 82, 104]. Использование механики грунтов в инженерной практике с каждым годом становится всё более широким. Так, на основе получения ряда конкретных решений задач механики грунтов, а также проверки результатов в натуре оказалось возможным разработать весьма прогрессивный, дающий значительную экономию средств метод проектирования фундаментов по предельным состояниям грунтовых оснований [45]. Развитие механики грунтов и, в частности, динамики оснований позволило учёным и инженерам разработать и с успехом применять виброметод забивки свай, шпунтов и буровых труб в сыпучие и пластичные связные грунты [10]. Как методы улучшения свойств слабых грунтов необходимо отметить: оригинальный метод искусственного обжатия глинистых грунтов понижением напора грунтовых вод в подстилающих песках (метод Кнорре М. Е.); методы химического и электрохимического закрепления грунтов, разработанные профессором Ржаницыным Б. А. [113], метод термического закрепления просадочных лёссовидных грунтов Литвинова И. М. [77] и др. В [179] для расчёта грунтовых оснований и фундаментов используется метод конечных элементов, для которого записаны определяющие соотношения упруговязкопластического поведения грунта в связанной постановке, когда учитывается фильтрация жидкости в грунте (закон Дарси). Из принципа возможных приращений в скоростях записана соответствующая конечно-элементная формулировка задачи. Описана процедура пересчёта входных параметров задачи, определяемых при стандартных испытаниях поведения грунта под нагрузкой, в материальные константы и функции, присутствующие в используемых определяющих соотношениях. В работе [170] исследуется проблема уплотнения насыщенных пористых сред. Особенностью предлагаемого подхода является более детальный учёт зависимости проницаемости породы от напряжений в скелете и давления флюида, который в общем случае может быть сжимаемым (например, газ). Проницаемость принимается нелинейно зависящей от перечисленных величин. Такой учёт является существенным на больших глубинах (в геодинамических задачах) или при значительных нагрузках на поверхности. Разработана конечно-элементная модель деформации насыщенной породы. Рассматриваемая нелинейная система уравнений использована в проблеме динамики грунта при нагружении на поверхности полупространства. Kovacic D., Szavits-Nossan А. в своей работе [177] оценивают эффективность применения алгоритма динамической релаксации к задачам консолидации двухфазовой среды, где поры деформируемого грунтового скелета приняты полностью насыщенными сжимаемой жидкостью. Алгоритм позволяет обойтись без построения глобальной матрицы жёсткости и решения системы уравнений, т.к. операции выполняются на уровне элементов и алгоритм хорошо приспособлен к нелинейным задачам. В качестве независимой переменной принято относительное перемещение поровой воды (вместо порового давления), что позволяет применять одну и ту же интерполяционную функцию для жидкой фазы и грунтового скелета. В работе [156] Adachi Т., Hirata Т., Hashimoto Т., Oka F., Mimura М. закон состояния для нормально консолидированных глин базируется на упругопластической теории и модели Кем-Клей.
Применение разработанной компьютерной программы к анализу глинистого основания в процессе сооружения дамб включает и расчёт консолидации. Для учёта объёмного размягчения грунта при нагружении исходное уравнение дополнено членом, зависящим от функции размягчения. В [100] приведены результаты изучения деформирования грунтов трёхслойного водоносного пласта, связанного с длительной откачкой подземных вод одиночной скважиной из нижнего напорного горизонта, опирающегося на водонепроницаемые недеформируемые породы. При постановке задачи для описания движения подземных вод использованы теории гидродинамики и фильтрационной консолидации, а для деформирования грунтов - деформационная теория пластичности. Орехов В. В. в работе [107] приводит описание комплекса вычислительных программ, предназначенного для решения задач взаимодействия фундаментов с грунтовыми основаниями при статических и динамических воздействиях на основе метода конечных элементов. В работе [141] Фадеева А. Б., Матвеенко Г. А. решение трёхмерной задачи сведено к решению ряда осесимметричных задач разложением узловых нагрузок и перемещений по окружной координате в ряды Фурье. Грунт рассматривается как идеально упругопластическая среда с поверхностью текучести, описываемой критерием Боткина в октаэдрических напряжениях. Миховой Л. [88] на основании пространственной теории Био М. А. консолидации грунта решена осесимметричная задача с применением метода конечных элементов. Грунт принят как двухфазная система, состоящая из твёрдой фазы (скелета) и жидкой фазы (жидкости в порах скелета). Принято, что скелет линейно деформируемый материал. Жидкость недеформируема при полной водонасыщенности грунта и деформируема при наличии газа. В работе [143] Фадеева А. Б., Репиной П. И., Глыбина Л. А. программа обеспечивает получение серии упругопластических решений для заданной последовательности нагружения гравитационными силами, пошагового приложения строительных нагрузок, постадийной выемки котлованов для подземных выработок, введения на любом этапе конструктивных элементов (фундаментов, обделки тоннелей и т.п.). Отличительной особенностью является возможность введения на любом этапе заданных перемещений узлам. Модель среды - билинейная, упругопластическая, с критерием текучести Кулона. Stematiu D., Paunescu D. [199] предлагают модель поведения грунта с неполным насыщением под действием внешней нагрузки. Модель учитывает взаимодействие между тремя составными фазами грунта: твёрдым скелетом, водой и воздухом.
Упругопластический расчёт земляной насыпи
В статье Стояновича Г. М. [129] расчёты выполнялись по разработанной автором аналитически-экспериментальной методике учёта вибродинамического воздействия и упругопластического напряженно-деформированного состояния земляного полотна на основе метода конечных элементов и эмпирических зависимостей снижения прочностных свойств грунтов в условиях Кулона. В [195] выполнено численное моделирование локализации неупругой деформации в насыщенных песчаных образцах в условиях динамического нагружения в отсутствии дренажа. Использован метод конечных элементов для совместного решения уравнения баланса масс и уравнения движения. В работе Еремеева В. А. [53] в рамках нелинейной механики сплошных сред рассмотрена задача о квазистатическом деформировании пористого тела, насыщенного жидкостью, в случае больших деформаций. Известная модель Био М. А. для пористой среды в случае малых деформаций обобщена на случай конечных деформаций и влияния температуры. Сформулирована нелинейная краевая задача для системы уравнений в частных производных относительно вектора перемещений твёрдого скелета, порового давления и температуры. Получены краевые условия на границе раздела сухой и насыщенной частей пористого тела. Скворцовым Е. В., Тороповой М. М. в [127] предложен алгоритм расчёта поля пластового давления и продуктивности скважин, учитывающий нелокальный эффект деформирования продуктивного пласта. В [175] представлена пороупругая численная модель для оценки трёхмерной консолидации за счёт вытеснения грунтовой воды в ненасыщенную анизотропную пористую среду. Численная модель разработана на основе полной системы уравнений для потока грунтовой воды в деформируемой пористой среде с изменяющейся степенью насыщения и метода конечных элементов Галёркина. Кибец А. И. [64] рассматривает трёхмерные задачи распространения волн напряжений в грунтовых средах. Деформирование грунта описывается моделью Григоряна С. С. Решение задачи основано на методе конечных элементов и явной конечно-разностной схеме интегрирования по времени типа «крест». В работе [205] представлен конечно-элементный метод, способный предсказать термомеханическое поведение материалов со случайно распределёнными порами, заполненными жидкостью. Каждая пора считается нагруженной гидростатическим давлением. На основе принципа Геллингера-Рейсснера получены связи между напряжением и деформацией для полигонального элемента, содержащего пору. Ng А. К. L., Small J. С. [186] методом конечных элементов исследовали консолидационное поведение ненасыщенных грунтов. В работе [172] алгоритм адаптивного улучшения сетки разработан для нелинейных расчётов в геомеханике и основан на сглаженном представлении диаграммы напряжений в методе конечных элементов. Использована оценка ошибки в относящемся к приращениям инварианте деформаций сдвига для преобразования сетки в процессе нагружения.
Алгоритм разработан в результате анализа задачи пассивного давления грунта с использованием идеальной упругопластической модели Кулона-Мора. Использован смешанный гидромеханический анализ поведения грунта в процессе дренирования. Во всех случаях преобразование сетки признается успешным в областях с высоким градиентом деформаций. В работе [202] представлена трёхмерная численная модель, деформации которой описываются согласно нелинейной теории упругости. Математическая формулировка связанных задач представлена четырьмя уравнениями на основании принципа сохранения массы и энергии, а также уравнением равновесия. Для описания движения жидкости и воздуха в пористой среде используется закон Дарси. В модели используются трёхмерные изопараметрические двадцати узловые элементы. Метод позволяет моделировать естественно нелинейные параметры грунта. Авторами [191] предложен численный алгоритм решения задач динамики насыщенных пористых сред. Рассматривается предельный случай несжимаемой жидкости и малой проницаемости среды. В основу алгоритма положен метод смешанных конечных элементов. Власгок А. П., Мартинюк П. М. [33] исследовали численное решение двумерной задачи фильтрационной консолидации глинистых грунтов. Решение получено методом конечных элементов. В работе [142] основным недостатком приёмов, рассматривающих условия предельного равновесия на некоторых кинематически возможных поверхностях скольжения - обычно круглоцилиндрических, является упрощённая картина напряжённого состояния. Обычно предполагается, что в грунте действуют только вертикальные напряжения, пропорциональные глубине рассматриваемого участка поверхности скольжения от дневной поверхности. Кроме того, для определения наиболее опасного сочетания сдвигающих и удерживающих сил необходимо проведение множества расчётов по многим возможным поверхностям скольжения; оползневые тела при этом подразбиваются на достаточно крупные блоки, что вносит в результаты расчётов дополнительные погрешности. Достаточно эффективным является сочетание методов конечных элементов и предельного равновесия. Разработанная программа CIRCLE реализует этот подход и обеспечивает автоматический поиск поверхности с минимальным коэффициентом запаса устойчивости. В работе Бережного Д. В., Голованова А. И., Паймушина В. Н., Сидорова И. Н. [15] разрабатывается конечно-элементная методика расчёта водонасыщенной пористой среды, взаимодействующей с деформируемыми конструкциями. В работе [7] для оценки сил сопротивления прониканию ударника в грунты анализируется применимость различных моделей поведения грунтовых сред, а также исследуется влияние прочности взаимодействующих сред на значение контактной силы. Обосновывается достоверность методики «обращенного» эксперимента для определения силы сопротивления прониканию ударника в грунт посредством регистрации деформаций мерного стержня.
Математическая модель, принятая для описания деформирования сред, формулируется на основании соотношений механики сплошных сред и теории пластического течения. Постановка задачи соответствует обращенному эксперименту, когда контейнер с грунтом ударяет по неподвижному мерному стержню-ударнику. В работе [11] рассмотрена нестационарная двумерная задача распространения нейтральной примеси в фильтрационном потоке при неполном насыщении грунта. Для решения задачи фильтрации используется неявная конечно-разностная схема и метод переменных направлений. Для интегрирования уравнения гидродинамической дисперсии выбран метод Кранка-Николсона. Пшеничкиным А. П. [111] рассматривается деформирование во времени двухфазного грунта, который включает в себя два процесса, протекающих одновременно. Это - процесс формоизменения и объёмного изменения во времени скелета грунта, происходящий в результате деформирования вязких связей между частицами грунта. Принимается, что сначала происходит выдавливание из пор воды (первичная консолидация), а затем деформирование во времени идет за счёт ползучести скелета грунта (вторичная консолидация). По методу эквивалентного слоя грунта Цытовича Н. А. по теории фильтрационной консолидации, получено решение задачи уплотнения грунтов водонасыщенного основания. В работе [25] Бойко И. П., Сахарова В. А. приведены результаты решения двумерных и трёхмерных линейных и нелинейных задач взаимодействия фундаментов соседних зданий с применением численных методов на базе системы «VESNA». Используется теория пластического течения, неассоциированный закон деформирования грунтов основания и модифицированный критерий Мизеса-Губера-Боткина, учитывается конструктивная нелинейность системы «основание-фундамент-конструкции». Дано сравнение результатов решения задач моделей с коэффициентом жёсткости основания и модели нелинейно-деформируемого слоистого грунтового массива. Глаговский В. Б., Нуллер Б. М. [41] рассматривают плоскую смешанную краевую задачу линейной теории безынерционной двухфазной консолидации. Полоса, лежащая на гладком, недеформируемом, непроницаемом для жидкости основании, находится под давлением полубесконечного проницаемого штампа. Материал твёрдой фазы и жидкость сжимаемы.
Расчёт напряжённо-деформированного состояния кольца обделки метрополитена при наличии зоны химического закрепления
При прокладке линии метро в некоторых случаях в блоках обделки тоннелей метрополитена возникают напряжения, близкие к предельно допустимым. Это подтверждается расчётами и проводимыми экспериментами. Чтобы обезопасить проходку линий метрополитена в опасных сечениях грунтов, предлагается проводить операцию химического закрепления грунтов вокруг тоннелей. Основной целью является определение наилучшей формы области химического закрепления грунта в зоне пересечения тоннелями метрополитена грунтового массива с целью снижения уровня напряжённо-деформированного состояния в обделке тоннеля. Наиболее достоверная модель, описывающая поведение обделки тоннеля метрополитена, состоящей из соединённых болтами железобетонных блоков, должна быть трёхмерной с учётом контактного взаимодействия между блоками. Однако для получения приемлемой . точности при использовании подобной расчётной схемы общие затраты ресурсов ЭВМ будут настолько велики, что исключат возможность проведения вычислительного эксперимента по определению оптимальной формы области химического закрепления грунта. Поэтому была выбрана методика решения поставленной задачи в двумерной постановке. Чтобы снизить время расчёта и затраты ресурсов ЭВМ на этапе исследования взаимодействия обделки тоннеля метрополитена с окружающим её грунтовым массивом при наличии зоны химического закрепления грунта, представляется целесообразным моделировать обделку тоннеля в виде сплошного неразрезного кольца. Следующим этапом определить на основе подобной модели все особенности изменения напряжённо-деформированного состояния обделки метрополитена в зависимости от формы области химического закрепления грунта, соотношения между механическими характеристиками зоны химического закрепления и окружающим грунтом, наличия не одного, а двух рядом расположенных тоннелей. После этого, провести оптимизацию формы области химического закрепления для реального опасного сечения грунтов, причём все исследования провести не для одного, а сразу для двух тоннелей. И на заключительном этапе можно было бы учесть наличие резиновых вкладышей между блоками и реализовать модель контактного взаимодействия между ними.
Проводится расчёт плоского поперечного сечения обделки метрополитена при его взаимодействии с окружающими его грунтовыми массивами. Сечение находится в условиях плоской деформации. Боковые и нижняя граница области задаются прямыми линиями, и на них задаются условия отсутствия смещения точек в направлении, перпендикулярном прямолинейным границам. Расстояния от обделки до границ области выбираются из условия малости влияния обделки на поле перемещений и напряжённо-деформированное состояние грунта и определяются в ходе вычислительного эксперимента. Вся расчётная область находится под действием собственного веса. Кроме того, считая фильтрующуюся в водонасыщенных грунтах жидкость (воду) находящейся в состоянии гидростатического равновесия, учитывается влияние уровня грунтовых вод по методике ( ) (пункт 4.1). Первоначально решается модельная задача, когда сечение тоннеля представляется в виде сплошного неразрезного кольца, а окружающий обделку тоннеля грунт является однородным. На этой модели путём проведения вычислительного эксперимента определяются: оптимальная форма зоны химического закрепления грунта вокруг тоннеля для различных соотношений механических характеристик основного массива грунта и закреплённого грунта, а также влияние расположенного рядом второго тоннеля. Задача решается в двумерной постановке на основе квадратичных конечных элементов Сирендипова семейства, у которых в качестве узловых степеней свободы выбираются значения декартовых проекций вектора перемещений. Расчётная область исследуемой модельной задачи с одним тоннелем приведена на рисунке 4.2.1. Граница зоны химического закрепления грунта может быть замкнутой линией и охватывать кольцо обделки (линия 1, рисунок 4.2.1), а может и пересекаться обделкой (линия 2, рисунок 4.2.1). Кинематические граничные условия, силовое нагружение и параметрические размеры подобластей также схематично приведены на рисунке 4.2.1. Далее, для различной формы зон химического закрепления грунта определяются окружные напряжения в кольце обделки. Основными формами являются: эллипс, прямоугольник и ромб. Примеры взаимного расположения зоны химического закрепления грунта и обделки метрополитена на рисунках 4.2.2-4.2.13, сравнение результатов с базовыми приведено в таблицах 4.2.2-4.2.13. Варианты расположения зоны химического закрепления при наличии двух тоннелей приведены на рисунках 4.2.14-4.2.15, а соответствующие результаты даны в таблицах 4.2.14-4.2.15. Далее, для формы зоны закрепления грунта с рисунков 4.2.16-4.2.17 исследовалось влияние на окружные напряжения модуля Юнга и коэффициента Пуассона закреплённого грунта. Результаты исследования приведены в таблицах 4.2.16-4.2.17. Считается, что конструкция работает в условиях плоской деформации, происходящей под действием весовой нагрузки, а влияние арматуры не учитывается. Расчётная схема предусматривает возможность смыкания бетонных блоков обделки в процессе деформирования.
Механические характеристики бетона и окружающих обделку грунтов приведены ранее (пункт 4.2.2). Механические характеристики резиновой вставки между блоками согласно диаграмме принимаются следующими: модуль Юнга принимается равным 2 Мпа, коэффициент Пуассона - 0.48. Решение задачи упругого деформирования кольца обделки метрополитена представляется в виде последовательности ряда линейных задач. Перед началом решения проводится дискретизация конструкции двумерными квадратичными конечными элементами, причём зазор между блоками (фрагмент 5, рисунок 4.2.26) моделируется конечными элементами бетона (эти элементы в дальнейшем будут называться элементами зазора). Внешней силовой нагрузкой является нагрузка от собственного веса. Принимается, что перед началом деформирования бетонные сегменты непосредственно друг с другом не соприкасаются (связь осуществляется только через резиновую вставку). Это осуществляется умножением матриц жёсткости вышеупомянутых элементов зазора на маленькое число (при расчёте нормирующий множитель выбирался равным 0.000001). На каждом шаге решения (всего их было 100) поэтапно прикладывается внешняя силовая нагрузка, увеличиваясь от шага к шагу на 1% от максимальной. На каждом шаге по нагрузке решается линейная задача, после чего вычисляется невязка между достигнутым уровнем силовой нагрузки и энергетически эквивалентными соответствующему уровню напряжений массовыми силами. Если эта невязка «силы» (отнесённая к достигнутому уровню силовой нагрузки) не превосходит 1%, то считается, что решение на этом шаге нагружения сошлось и можно переходить к следующему шагу. В противном случае решение уточняется путём догружения конструкции невязкой «силы», и этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнен упомянутый выше силовой критерий сходимости. Если после пятидесяти уточнений решение не сошлось, то считается, что предложенная численная схема расходится. При переходе к следующему шагу по нагрузке корректируется геометрия конструкции (к координатам узлов добавляются достигнутые на предыдущем шаге перемещения), и вся процедура решения повторяется заново. Если в процессе решения задачи произошло касание бетонных сегментов, что определяется вырождением конечного элемента зазора, то процесс возвращается на шаг назад, вырожденный конечный элемент зазора «восстанавливается» (его матрица жёсткости умножается на 1000000.0) и решение на шаге нагружения ищется заново. Т.о., принимаем, что после касания бетонных сегментов они слипаются в окрестности точки касания. Если же в процессе решения в «восстановленном» элементе зазора возникают растягивающие окружные напряжения (относительно кольца обделки), то матрица жёсткости этого конечного элемента снова нормируется множителем 0.000001. Можно отметить, что процесс деформирования кольца обделки контролируется на каждом этапе решения визуально.
