Содержание к диссертации
Введение
1 Осесимметричный удар тела по сферической незамкнутой оболочке . 18
1.1 Постановка задачи 18
1.2 Модели местного смятия 29
1.3 Алгоритм численного решения 45
1.4 Численный анализ решения 49
2 Неосесимметричный удар тела по сферической незамкнутой оболочке (безмоментные уравнения). 52
2.1 Постановка задачи 52
2.2 Асимптотическое построение решения 65
2.3 Численный анализ решения 68
3 Неосесимметричный удар тела по сферической незамкнутой оболочке (уравнения В.З.Власова). 74
3.1 Постановка задачи 74
3.2 Асимптотическое построение решения 80
3.3 Численный анализ решения 83
Заключение 86
Список литературы 88
Приложения 101
- Алгоритм численного решения
- Асимптотическое построение решения
- Численный анализ решения
- Постановка задачи
Введение к работе
Изучение ударных процессов относится к числу наиболее актуальных проблем прикладной механики, связанных с исследованием поведения различных конструкций под воздействием интенсивных импульсных нагрузок, возникающих при эксплуатации сооружений, машин, механизмов, приборов.
Задачи соударения упругопластических тел имеют большое практическое и теоретическое значение. Важность их решения определяется, с одной стороны, практическими потребностями современной техники, с другоіі — необходимостью теоретического объяснения наблюдаемых экспериментальных результатов.
Следует отметить, что экспериментальные исследования ударных процессов связаны с большими материальными затратами и длительным временем обработки экспериментальных данных, в то время как теоретические решения позволяют намного сократить их объем и обоснованно определить рациональную программу экспериментов.
Таким образом, разработка математических моделей удара и создание теоретических основ динамики контактного взаимодействия ударников различной формы с элементами конструкций представляют значительный научный и практический интерес.
Исследования ударных процессов проводят по следующим основным направлениям: изучаются внутренние закономерности процесса удара; исследуются физико-механические свойства материалов в условиях динамического нагружения; оценивается влияние импульсного нагружения на различные конструкции.
Задачи, связанные с указанными направлениями, решались различными исследователями как теоретически, так и экспериментально. Первые работы в этой области принадлежат основоположникам классической механики Леонардо да Винчи, Галилею, Гюйгенсу, Лейбницу. Ими процесс динамического взаимодействия двух тел рассматривался как мгновенный и оценивался лишь конечный результат удара — изменение скоростей тел; в связи с этой задачей Декартом было введено понятие количества движения. Ньютон сформулировал основные законы механики и при рассмотрении удара впервые использовал понятие коэффициента восстановления.
В дальнейшем изучение удара развивалось по двум направлениям: с одной стороны, получила развитие классическая теория на основе механики твердого тела, а с другой — делались попытки объединить классические решения с волновыми; последние же базируются на использовании законов механики сплошной среды.
В 1882 году Г.Герц предложил решение упругой контактной задачи, ставшее впоследствии основой классической теории удара упругих тел. Он полагал, что "комбинируя статическое сжатие в частях тел, лежащих непосредственно у места соприкасания, с общими уравнениями движения для остальных частей тел, мы, вероятно, могли бы получить закон для удара тел любой формы" [79]. Г.Герц впервые выполнил достаточно полный анализ напряжений, возникающих при контакте упругих тел, а также сформулировал условия, которым должны удовлетворять нормальные перемещения на поверхностях тел. Основные гипотезы, выдвинутые Герцем, актуальны и сегодня для решения контактных задач.
Классическая теория Герца удара упругих тел без трения вытекает непосредственно из его статической теории контакта. Следует отметить, что эта теория является квазистатической — волновыми движениями пренебрегают и считается, что для массивных тел деформации сосредоточены в окрестности зоны контакта, а каждое тело движется со скоростью его центра масс.
Однако многочисленные экспериментальные работы показали, что теория Герца справедлива только в случае малых скоростей соударения. А.Н.Динник [29] получил хорошее совпадение экспериментальных и теоретических данных для соударения стальных шаров, худшее — для цинковых и неудовлетворительное — для свинцовых. Основная причина расхождений связана с появлением пластических деформаций, которые совершенно не отражены в упругой модели Герца. Более того, часто пластические деформации значительно превосходят упругие и на активной стадии нагружсния последними можно пренебречь. Следует, однако, отметить, что наличие пластических деформаций не изменяет основных предпосылок теории Герца.
Дальнейшее развитие квазистатического удара продолжил Сире. Он впервые исследовал волновые явления при продольном соударении стержней с закругленными торцами, учитывая местное смятие с помощью теории Герца, и получил результаты, хорошо совпадающие с экспериментальными [80].
С.П.Тимошенко использовал подход Сирса при исследовании поперечного удара тела по балке [71]. Предложенное им решение учитывает вынужденные колебания балки иод действием ударяющего ее тела, смещение тела и балки относительно друг друга, определяемое местным смятием в точке контакта. Для нахождения местного смятия использовалась зависимость Герца. Полученное С.П.Тимошенко нелинейное интегральное уравнение относительно контактной силы P{t), описывающее соударение тела и балки, легко переносится на случаи соударений более сложных объектов и позволяет использовать различные модели местного смятия. В работе проведено численное решение данного интегрального уравнения, на основе которого сделан вывод о возможности многократного контакта соударяющихся тел, что позднее было подтверждено экспериментально.
Впоследствии многие исследователи обращали свое внимание на данную задачу, пытаясь получить аналитическое решение. При этом использовалось решение, полученное С.П.Тимошенко, на которое накладывались различные ограничения и допущения, позволявшие получить уравнения, разрешаемые в общем виде. Так В.Н.Вернигор исследовал удар тела о балку на основе элементарной теории [14], рассмотрел [15] механические модели, с достаточной точностью апрок-симирующие поперечные колебания балок. Полученные результаты хорошо согласуются с точным решением этой задачи, построенным С.П.Тимошенко.
Построению, исследованию и применению в задачах ударного вза имодействия функций влияния линейных деформируемых систем посвящены работы М.И.Гуссейн-Заде, С.А.Зегжды, А.И.Лурье, Н.А.Ни-колаенко, А.П.Филиппова и других.
Решение задачи удара по бесконечной пластине впервые было дано А.И.Лурье [57], построившим функции Грина для свободной пластины и пластины, лежащей на упругом основании Винклера.
В работе М.И.Гуссейн-Заде [24] рассмотрено действие точечного импульса на безграничную пластину, лежащую на упругом жидком полупространстве.
Опираясь на работы А.И.Лурье, А.П.Филиппов в [72] рассмотрел задачи удара массивного тела по шариирио опертой прямоугольной и свободной круглой пластинам, лежащим на винклеровском основании. Решение этих задач получено с помощью интегрального преобразования Лапласа и асимптотических представлений.
В [31] рассмотрена задача о соударении цилиндров. Используемая неявно приближенная функция влияния для цилиндров выражается через дельта-функцию. Предполагается, что любое усилие передается боковой поверхностью цилиндра через жесткую плоскую поверхность. При этом деформация цилиндра в процессе его движения пропорциональна прикладываемой силе.
В работе Н.А.Николаенко [G2] приведены решения задач о вертикальных колебаниях тонкой бесконечной плиты, лежащей на упру гом весомом и невесомом полупространстве. Удар рассматривается как движение упругой поверхности плиты с присоединенной массой.
Все теории удара, использующие решение упругой контактной задачи, имеют существенные ограничения по максимальной скорости соударения тел. Появление значительных пластических деформаций при больших скоростях приводит к тому, что результаты эксперимента не совпадают с результатами теории упругого квазистатического удара. Дальнейшее развитие механики контактных взаимодействий связано главным образом с отказом от некоторых налагаемых теорией Герца ограничений. Широкое распространение получили эмпирические и феноменологические упругопластические зависимости местного смятия Ос от контактной силы P(t).
В работе Х.Ф.Кангура и И.Р.Клейса [44] описан метод и приведены некоторые результаты по определению коэффициента восстановления в широком диапазоне скоростей удара, а также рассмотрены возможности его расчетного определения.
При негерцевском законе местного смятия Н.Н.Кравченко [53] исследовал механизм отскока шарика от плоской поверхности и определил связь между прочностными и упругими характеристиками среды при определении прочностных свойств по методу Шора.
А.И.Родионов [65] рассмотрел задачу об ударе твердого сферического тела но уиругопластическому полупространству. В работе использованы основные уравнения теории упругости в форме, отличной от постановок задач Г.Герца и Н.А.Кильчевского.
В работе Н.П.Островерхова [63] в упругопластической постановке методом переменного масштаба решена задача типа Герца. Рассмотрены частные случаи соударения остроугольных тел. Получены выражения для определения основных параметров удара.
Рассмотрению осесиммстричной задачи пластичности посвящены работы [30, 34, 75]. Предложен метод решения задачи о предельном равновесии произвольного выпуклого осесимметричного штампа в случае, когда известна форма свободной поверхности жесткопластическо-го полупространства вне зоны контакта. А.Ю.Ишлинским [34] также установлено, что изменение среднего давления под пологим штампом в процессе его внедрения незначительно.
Внедрение осесимметричного штампа в пластическое полупространство исследовано Л.Б.Царюком в [74]. Рассмотрено изменение формы свободной поверхности пластической среды в процессе внедрения и метод его определения в замкнутом виде в случае пологого штампа. Решение произвольной осесимметричной контактной задачи идеальной пластичности с учетом вытекания приведено в работе [37]. В [1] рассмотрена квазистатическая осесимметричная задача о контактном взаимодействии упругопластических тел, имеющих в точке контакта параболическую форму. Предложенная в ней модель, с помощью которой можно аналитически определить зависимость местного смятия (X от P(t), позволяет получить результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными и известными численными данными. В отличие от эмпирических и феноменологических зависимостей СУ(Р), рассматривавшихся ранее, данная модель применима для всех значений Р{р), учитывает вытекание іматериала из-под штампа в процессе внедрения. Результаты работы были использованы при исследовании удара массивного тела но сферическим [6, 7, 8, 9, 10, 40] и цилиндрическим [3G, 41, 42] оболочкам, а также при исследовании удара массивного тела по бесконечным [38] и конечным [39] упругим пластинам, лежащим на различных основаниях.
В работе [35] предложена феноменологическая модель для определения зависимости местного смятия (X от контактной силы Р{І) в случае взаимодействия упругопластических тел, одно из которых коническое. На основе ряда гипотез исходная задача о сжатии упругопластических тел сведена к комбинации упругой [77] и жесткопластиче-ской [74] задач. Полученная зависимость Ск(Р) учитывает изменение свободной поверхности тел вследствие вытекания материала и хорошо согласуется с экспериментальными данными [5]. На основе этой моде ли в работах [б, 7, 8] проведено исследование соударения массивного конического тела и сферической оболочки.
В последние десятилетия резко возросла актуальность проблем деформирования, устойчивости, прочности оболочек сферической и цилиндрической форм при кратковременных импульсных и ударных нагрузках. Это прежде всего связано с тем, что такие оболочки являются основными элементами конструкций, применяемых в авиационной и ракетной технике, в подводных аппаратах, в корпусах различных энергетических установок, в трубопроводах. Следствием является появление большого количества работ, в которых исследуются задачи об упругом и неуиругом ударе массивного тела по сферическим и цилиндрическим оболочкам.
В.С.Саркисян и В.В.Варданян [13] рассмотрели удар шара по цилиндрической панели, используя уравнения технической теории оболочек и упругопластическую модель местного смятия, предложенную Н.А.Кильчевским. Ф.М.Бородин [12] исследовал контакт специального типа соударяющихся тел и использовал в решении автомодельность задачи. Явных решений найти не удалось, но получены качественные выводы. В работе А.Г.Горшкова и Д.В.Тарлаковского [20] рассмотрен динамический контакт упругой бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки и упругого полупространства. В [21, 22] приведены методы построения точных решений при ударе абсолютно жест ким телом, ограниченным гладкой криволинейной поверхностью, но упругому полупространству. Проведено исследование только начальной стадии удара, когда граница контакта расширяется со сверхзвуковой скоростью. Получены квадратурные формулы для определения контактных напряжений в плоской задаче и проведены расчеты для различных частных случаев. В.А. Смелянский в [67] исследовал ударное взаимодействие массивного тела со сферическими и цилиндрическими оболочками. Получены основные характеристики и закономерности процесса соударения. В экспериментальных и теоретических работах А.В.Колодяжного и И.И.Скоблика [47, 48, 49] приведены результаты исследования напряженно-деформируемого состояния замкнутых упругих цилиндрических оболочек конечной длины при контакте с падающим телом на основе функционального уравнения С.П.Тимошенко. Сближение тела с оболочкой при сжатии в месте контакта определяется зависимостью Герца. Получены аналитические решения для нормальных смещений и кривизн замкнутой бесконечно длинной цилиндрической оболочки при локальном импульсном нагру-жении. Двумерная задача поведения шарнирпо опертой цилиндрической оболочки при действии несимметричной нагрузки рассмотрена П.З.Луговым и В.Ф.Мейшсм в работе [56]. Решение задачи получено с помощью асимптотического метода малого параметра.
Вместе с развитием аналитических методов решения задач соуда рения в настоящее время используются и специальные численные методы: метод конечных разностей [64], конечных элементов [11], граничных интегральных уравнений [73] и другие численные схемы. Благодаря стремительному развитию компьютерной техники, это позволило решить многие задачи проникания [3, 23, 45, 54, 55, 70], внедрения [50, 51, 60] и пробивания [19, 61, 66, 69, 76]. Активно исследуется высокоскоростной удар [58, 59], для изучения которого широко применяются гидродинамические модельные представления [32, 33].
Как видим из приведенного краткого обзора, анализ упругого и уиругопластического соударения тел различной формы является важной задачей современной механики.
В настоящей работе рассмотрены некоторые вопросы динамического контактного взаимодействия массивного тела со сферической оболочкой. Содержание работы изложено в трех главах.
В первой главе рассмотрено осесимметричное упругопластическое соударение параболического и конического инденторов со сферическим куполом, шарпирио опертым но контуру. Решение для оболочки получено на основе уравнений безмоментной теории с использованием прямого и обратного преобразований Лапласа. Проведено численное сравнение результатов, полученных с помощью различных моделей местного смятия.
Во второй главе рассмотрена задача о неосесимметричном контакте ударника со сферической оболочкой. В качестве основных уравнений для оболочки взяты безмомептные уравнения движения сферической оболочки с учетом несимметричных членов. Использовано интегральное преобразование Лапласа. Решение для оболочки получено с помощью асимптотического метода разложения по малому параметру. При определении контактной силы использованы упругопластические модели для конического и параболического ударников. Выявлено стремление полученных результатов к предельным случаям — случаю осе-симметричиого удара и случаю удара по полупространству.
Третья глава посвящена рассмотрению неосесимметричного удара в случае, когда за основу берутся уравнения В.З.Власова для сферической оболочки. Полученное с помощью преобразования Лапласа и асимптотического метода решение сравнивается с результатами второй главы. Отмечается их хорошое совпадение (отклонение не превышает 1-2%). Также наблюдается стремление к предельным случаям. Исследование проведено на основе упругопластических моделей для конического и параболического инденторов.
Алгоритм численного решения
В.С.Саркисян и В.В.Варданян [13] рассмотрели удар шара по цилиндрической панели, используя уравнения технической теории оболочек и упругопластическую модель местного смятия, предложенную Н.А.Кильчевским. Ф.М.Бородин [12] исследовал контакт специального типа соударяющихся тел и использовал в решении автомодельность задачи. Явных решений найти не удалось, но получены качественные выводы. В работе А.Г.Горшкова и Д.В.Тарлаковского [20] рассмотрен динамический контакт упругой бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки и упругого полупространства. В [21, 22] приведены методы построения точных решений при ударе абсолютно жест ким телом, ограниченным гладкой криволинейной поверхностью, но упругому полупространству. Проведено исследование только начальной стадии удара, когда граница контакта расширяется со сверхзвуковой скоростью. Получены квадратурные формулы для определения контактных напряжений в плоской задаче и проведены расчеты для различных частных случаев. В.А. Смелянский в [67] исследовал ударное взаимодействие массивного тела со сферическими и цилиндрическими оболочками. Получены основные характеристики и закономерности процесса соударения. В экспериментальных и теоретических работах А.В.Колодяжного и И.И.Скоблика [47, 48, 49] приведены результаты исследования напряженно-деформируемого состояния замкнутых упругих цилиндрических оболочек конечной длины при контакте с падающим телом на основе функционального уравнения С.П.Тимошенко. Сближение тела с оболочкой при сжатии в месте контакта определяется зависимостью Герца. Получены аналитические решения для нормальных смещений и кривизн замкнутой бесконечно длинной цилиндрической оболочки при локальном импульсном нагру-жении. Двумерная задача поведения шарнирпо опертой цилиндрической оболочки при действии несимметричной нагрузки рассмотрена П.З.Луговым и В.Ф.Мейшсм в работе [56]. Решение задачи получено с помощью асимптотического метода малого параметра.
Вместе с развитием аналитических методов решения задач соуда рения в настоящее время используются и специальные численные методы: метод конечных разностей [64], конечных элементов [11], граничных интегральных уравнений [73] и другие численные схемы. Благодаря стремительному развитию компьютерной техники, это позволило решить многие задачи проникания [3, 23, 45, 54, 55, 70], внедрения [50, 51, 60] и пробивания [19, 61, 66, 69, 76]. Активно исследуется высокоскоростной удар [58, 59], для изучения которого широко применяются гидродинамические модельные представления [32, 33].
Как видим из приведенного краткого обзора, анализ упругого и уиругопластического соударения тел различной формы является важной задачей современной механики. В настоящей работе рассмотрены некоторые вопросы динамического контактного взаимодействия массивного тела со сферической оболочкой. Содержание работы изложено в трех главах.
В первой главе рассмотрено осесимметричное упругопластическое соударение параболического и конического инденторов со сферическим куполом, шарпирио опертым но контуру. Решение для оболочки получено на основе уравнений безмоментной теории с использованием прямого и обратного преобразований Лапласа. Проведено численное сравнение результатов, полученных с помощью различных моделей местного смятия.
Во второй главе рассмотрена задача о неосесимметричном контакте ударника со сферической оболочкой. В качестве основных уравнений для оболочки взяты безмомептные уравнения движения сферической оболочки с учетом несимметричных членов. Использовано интегральное преобразование Лапласа. Решение для оболочки получено с помощью асимптотического метода разложения по малому параметру. При определении контактной силы использованы упругопластические модели для конического и параболического ударников. Выявлено стремление полученных результатов к предельным случаям — случаю осе-симметричиого удара и случаю удара по полупространству.
Третья глава посвящена рассмотрению неосесимметричного удара в случае, когда за основу берутся уравнения В.З.Власова для сферической оболочки. Полученное с помощью преобразования Лапласа и асимптотического метода решение сравнивается с результатами второй главы. Отмечается их хорошое совпадение (отклонение не превышает 1-2%). Также наблюдается стремление к предельным случаям. Исследование проведено на основе упругопластических моделей для конического и параболического инденторов.
Основные результаты диссертации изложены в работах [6, 7, 8, 9, 10]. Работы [8, 9, 10] написаны в соавторстве с И.Г.Кадомцевым, которому принадлежат постановки задач. Анализ полученных аналитических и численных результатов в равной степени принадлежит обоим соавторам.
Асимптотическое построение решения
Результаты компьютерной реализации итерационной схемы (1.3.2) представлены в Приложении 1 в виде графиков зависимостей P(t) для различных значений параметров задачи.Рассматривался следующий численный пример: R\ = 100 см, h = 1 см, (fo = 90, 771 = 250 г, для параболического ударника . — 2 см, для конического ударника угол раствора конуса 27 — от 135 до 179, материал — сталь.
На первом рисунке представлен общий вид зависимостей P{t), полученных с помощью различных моделей местного смятия. Третий и пятый рисунки показывают характер изменения этих зависимостей при увеличении начальной скорости ударника. На четвертом и шестом рисунках отражено характерное сближение графиков зависимостей P\t) для конического ударника при использовании упругопла-стической модели (1.2.26) и упругой модели (1.2.47). Седьмой, восьмой и девятый рисунки отражают изменение зависимостей P(t) для конического ударника с различными углами раствора при значительной начальной скорости ударника, а также сближение графиков, полученных с помощью упругопластической (1.2.43) и жесткопластической моделей (1.2.45) для параболического ударника. И, наконец, характерное сближение графиков зависимостей P(t), полученных с использованием упругих (1.2.44), (1.2.47) и упругопластических (1.2.26), (1.2.43) моделей местного смятия для конического и параболического ударников при малой начальной скорости ударника и близком к 7Г/2 угле раствора конуса, показано па втором рисунке.
Проведем анализ полученных результатов. Модель Герца (1.2.44) является точной до появления пластических деформаций, момент появления которых определяется равенством Ттах = к. Сила PQ, при которой появляются пластические деформации Отношение Pi/PQ, не зависящее ОТ геометрических и механических параметров задачи, намного больше единицы
Ясно, что, начиная с PQ, истинное распределение давления и зависимость &(Р) отличаются от полученных Герцем. Однако результаты экспериментов [4] и численного решения [78] показывают, что формулы Герца справедливы (с малой погрешностью) при Р, значительно превышающих PQ. При больших скоростях сближения истинное распределение давлений стремится к распределению в жесткопластиче-ской задаче (модель (1.2.45)) [34, 75].
Модель Штаермана (1.2.47), учитывающая только упругую часть местного смятия, удовлетворительна при 7» близком к 7г/2. Модель Кильчевского (1.2.46) дает заметную погрешность вычислений по всем параметрам удара. В ее основу положено предположение , что OL = (Хр + СУе, т. е. полное местное смятие равно сумме упругой и пластической составляющих, причем упругая составляющая есть герцевское решение, а пластическая — решение жесткопласти-ческой задачи без учета вытекания материала из-под ударника. Очевидно, что при развитых пластических деформациях распределение нормальных напряжений под ударником стремится к распределению напряжений в жесткопластической задаче, и упругая часть местного смятия будет определяться этими напряжениями, а не герцевским распределением напряжений. Свободные от этих недостатков упруго-пластические модели (1.2.26) и (1.2.43) хорошо согласуются с экспериментальными данными [4, 5]. Пластические деформации появляются уже при Vo = 3 см/с, но влиять на параметры удара они начинают при Vo Ю см/с. Отметим, что все предложенные ранее модели не учитывают вытекания материала, что ведет к значительным погрешностям [43]. Рассмотрим неосесимметричный нормальный упругопластический контакт ударника и кругового сектора сферической оболочки, шар-нирно опертой по контуру.
Как и в осесимметричном случае считаем общие перемещения оболочки упругими, а местные — упругопластическими. В начальный момент времени оболочка находится в покое, а тело обладает скоростью Vo, на величину которой накладываем те же ограничения, что и в пункте Направим координатные линии по меридиану (р и параллели в. Удар происходит в точке ( і, 0) телом массы т с упругими постоянными Е 2? пластической постоянной &2- Как и ранее, угол раствора купола оболочки — сро, радиус оболочки — R\, толщина — h, плотность материала — /?, упругие постоянные — Е\, V\, пластическая постоянная — к\. Требуется найти силу взаимодействия P(t).
Численный анализ решения
Численные результаты решения рассмотренной неосесимметричной задачи и их сравнение с ранее полученными результатами приведены в Приложении 3. Параметры задачи те же, что и в предыдущей части. Рассмотрены упругопластические модели для параболического (рисунки 1 — 3) и конического (рисунки 4 — 6) ударников, при этом радиус кривизны параболического ударника R i = 0.02 м, а конический ударник имеет угол раствора 27 — 135.
Из полученного решения (3.2.8) имеем, что зависимость радиального смещения оболочки w от угла удара if\ снова определяется функциями Лежандра P2n+i(cos l l)? и поведение оболочки и изменение величины контактной силы взаимодействия оболочки и ударника при изменении угла удара (f\ будут описываться свойствами функций Лежандра. То есть и в этом случае максимальное значение радиального перемещения оболочки W будет достигаться при (fi = 0, минимальное значение — при ср\ = (ро, и при if\ — (ро значение контактной силы Р возрастает и стремится к значению для удара по полупространству.
Однако, нас больше интересует, как изменились зависимости P(t) при изменении основных уравнений для нахождения радиального смещения W. Анализируя полученные графики, видим, что разница между результатами для иеосесимметричного удара при использовании уравнений безмомептпой теории и уравнений В.З.Власова не превышает 1%. В обоих случаях наблюдается стремление значения силы взаимодействия P\t) к значению для осесимметричного случая при стремлении угла удара (f\ к нулю, и к значению для удара по полупространству при стремлении (/?i к (fQ. Исследовано решение задачи осесимметричного упругопластическо-го соударения параболического и конического инденторов и шарнир-но закрепленного сферического купола на основе безмоментной теории оболочек. Проведен анализ результатов, полученных с помощью нескольких моделей местного смятия, и сравнение с имеющимися экспериментальными данными. Показано, что часто используемые модели Герца, Кильчевского и Штаермана имеют достаточно узкий диапазон применимости но скорости соударения, поэтому при расчетах предпочтение следует отдавать упругопластическим моделям.
Впервые решена задача неосесимметричного соударения конического и параболического ударников со сферической оболочкой. Исследовано поведение силы контактного взаимодействия при движении точки удара по меридиану оболочки. Показано, что основные параметры неосесимметричного удара, рассчитанные с помощью безмоментных уравнений движения сферической оболочки и уравнений В.З.Власова, практически совпадают. Приоритетным считается использование безмоментной теории ввиду простого вида основных уравнений.
При расчете неосесимметричного контакта получено хорошее совпадение с предельными случаями — ударом по полупространству и осесимметричным ударом, что говорит о верно выбранном пути исследования. При этом максимальное значение контактной силы, полученное с помощью упругопластических моделей местного смятия, в случае удара по полупространству с точностью до 3% совпадает с известными экспериментальными данными [5].
Постановка задачи
В.С.Саркисян и В.В.Варданян [13] рассмотрели удар шара по цилиндрической панели, используя уравнения технической теории оболочек и упругопластическую модель местного смятия, предложенную Н.А.Кильчевским. Ф.М.Бородин [12] исследовал контакт специального типа соударяющихся тел и использовал в решении автомодельность задачи. Явных решений найти не удалось, но получены качественные выводы. В работе А.Г.Горшкова и Д.В.Тарлаковского [20] рассмотрен динамический контакт упругой бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки и упругого полупространства. В [21, 22] приведены методы построения точных решений при ударе абсолютно жестким телом, ограниченным гладкой криволинейной поверхностью, но упругому полупространству. Проведено исследование только начальной стадии удара, когда граница контакта расширяется со сверхзвуковой скоростью. Получены квадратурные формулы для определения контактных напряжений в плоской задаче и проведены расчеты для различных частных случаев. В.А. Смелянский в [67] исследовал ударное взаимодействие массивного тела со сферическими и цилиндрическими оболочками. Получены основные характеристики и закономерности процесса соударения. В экспериментальных и теоретических работах А.В.Колодяжного и И.И.Скоблика [47, 48, 49] приведены результаты исследования напряженно-деформируемого состояния замкнутых упругих цилиндрических оболочек конечной длины при контакте с падающим телом на основе функционального уравнения С.П.Тимошенко. Сближение тела с оболочкой при сжатии в месте контакта определяется зависимостью Герца. Получены аналитические решения для нормальных смещений и кривизн замкнутой бесконечно длинной цилиндрической оболочки при локальном импульсном нагру-жении. Двумерная задача поведения шарнирпо опертой цилиндрической оболочки при действии несимметричной нагрузки рассмотрена П.З.Луговым и В.Ф.Мейшсм в работе [56]. Решение задачи получено с помощью асимптотического метода малого параметра.
Вместе с развитием аналитических методов решения задач соуда рения в настоящее время используются и специальные численные методы: метод конечных разностей [64], конечных элементов [11], граничных интегральных уравнений [73] и другие численные схемы. Благодаря стремительному развитию компьютерной техники, это позволило решить многие задачи проникания [3, 23, 45, 54, 55, 70], внедрения [50, 51, 60] и пробивания [19, 61, 66, 69, 76]. Активно исследуется высокоскоростной удар [58, 59], для изучения которого широко применяются гидродинамические модельные представления [32, 33].
Как видим из приведенного краткого обзора, анализ упругого и уиругопластического соударения тел различной формы является важной задачей современной механики. В настоящей работе рассмотрены некоторые вопросы динамического контактного взаимодействия массивного тела со сферической оболочкой. Содержание работы изложено в трех главах.
В первой главе рассмотрено осесимметричное упругопластическое соударение параболического и конического инденторов со сферическим куполом, шарпирио опертым но контуру. Решение для оболочки получено на основе уравнений безмоментной теории с использованием прямого и обратного преобразований Лапласа. Проведено численное сравнение результатов, полученных с помощью различных моделей местного смятия.
Во второй главе рассмотрена задача о неосесимметричном контакте ударника со сферической оболочкой. В качестве основных уравнений для оболочки взяты безмомептные уравнения движения сферической оболочки с учетом несимметричных членов. Использовано интегральное преобразование Лапласа. Решение для оболочки получено с помощью асимптотического метода разложения по малому параметру. При определении контактной силы использованы упругопластические модели для конического и параболического ударников. Выявлено стремление полученных результатов к предельным случаям — случаю осе-симметричиого удара и случаю удара по полупространству.
Третья глава посвящена рассмотрению неосесимметричного удара в случае, когда за основу берутся уравнения В.З.Власова для сферической оболочки. Полученное с помощью преобразования Лапласа и асимптотического метода решение сравнивается с результатами второй главы. Отмечается их хорошое совпадение (отклонение не превышает 1-2%). Также наблюдается стремление к предельным случаям. Исследование проведено на основе упругопластических моделей для конического и параболического инденторов.
