Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Напряженно-деформированное состояние неоднородного по глубине основания при действии произвольной осесимметрической нагрузки 18
1.1 Постановка граничной задачи для непрерывно-неоднородного по глубине полупространства при заданных на его поверхности усилиях. 19
1.2 Построение фундаментального решения для неоднородного по глубине полупространства 23
1.3. Численный анализ фундаментального решения для некоторых характерных видов неоднородности 28
ГЛАВА 2. Решение осесимметричной задачи со смешанными граничными условиями для неоднородного по глубине полупространства 49
2.1 Постановка задачи о внедрении выпуклого штампа в неоднородное по глубине полупространство 51
2.2 Приближенное решение задачи о внедрении выпуклого штампа в непрерывно-неоднородное по глубине полупространство 53
2.2.1. Свойства парных интегральных уравнений задачи 53
2.2.2.Приближенное аналитическое решение парного интегрального уравнения задачи. 58
2.3. Численный анализ решения задачи о внедрении параболического штампа в неоднородное основание 61
2.3.1.Оценка точности приближенного аналитического решения. 62
2.3.2.Численный анализ напряженно-деформированного состояния неоднородного слоя при индентировании. 67
ГЛАВА 3. Оценка упругих характеристик неоднородных покрытий методом индентирования 96
3.1 Определение понятия жесткости неоднородного покрытия. Зависимость жесткости от параметров слоя и индентора 96
3.2 Учет условий реального эксперимента по индентированию 105
3.2.1 Учет деформируемости штампа 105
3.2.2 Определение условий проведения неразрушающих испытаний неоднородных покрытий 105
3.3 Определение механических характеристик неоднородного покрытия по результатам индентирования 108
Заключение 112
Литература
- Построение фундаментального решения для неоднородного по глубине полупространства
- Приближенное решение задачи о внедрении выпуклого штампа в непрерывно-неоднородное по глубине полупространство
- Численный анализ решения задачи о внедрении параболического штампа в неоднородное основание
- Учет условий реального эксперимента по индентированию
Введение к работе
В диссертации рассматривается осесимметричное упругое деформирование неоднородного основания, состоящего из покрытия, (представляющего из себя упругий, непрерывно-неоднородный по толщине слой), сцепленного с подложкой в виде упругого однородного изотропного полупространства. Упругие свойства покрытия изменяются как произвольные непрерывные функции по глубине. Далее будем называть неоднородное основание также неоднородным полупространством, полагая что упругие характеристики его непрерывно изменяются по глубине в приповерхностном слое, а затем стабилизируются. С поверхности основание загружено произвольной осесимметричной, распределенной внутри круга, нормальной нагрузкой, которая может быть задана или определяется как решение некоторой контактной задачи.
Изменение механических свойств по глубине в приповерхностном слое присуще многим материалам и конструкциям (основаниям, фундаментам, дорожным покрытиям и т.п.). Это вызвано как технологией их создания, так и условиями эксплуатации. В том случае, когда зона контакта сопоставима с толщиной неоднородного слоя, а различие упругих свойств подложки и покрытия достаточно велики, пренебрежение эффектом неоднородности может приводить к серьезным ошибкам в моделировании процесса деформирования основания и в определении упругих свойств неоднородного слоя.
В настоящее время большое развитие получили технологии создания тонких покрытий и пленок, состав которых, а значит, механические и физические характеристики, непрерывно изменяются по глубине, что позволяет увеличить срок эксплуатации изделий и придать им новые свойства. Подобные технологии применяются в машиностроении, энергетике, электронике, компьютерной и военно-космической технике, биотехнологии, обеспечивают прорыв в ведущих областях человеческой деятельности, и являются в Германии, США, Японии и других развитых странах, приоритетным направлением 2001-2010 г.г. с прогрессирующим увеличением государственного финансирования.
Несмотря на сверхмалые толщины тонких покрытий, законы их механического поведения хорошо описываются в рамках теории упругости. Основным методом контроля механических характеристик системы подложка-покрытие является индентирование (внедрение в поверхность испытываемого материала штампа и чрезвычайно точная фиксация связи между приложенной к нему силой и вызванным этой силой смещением). Приборы для проведения этих исследований для тонких покрытий довольно редки (в России только 1 ) и дороги (=100 000$). С этим связана высокая стоимость и длительность испытаний новых материалов и изделий непосредственно на стендах. Необходимость систематизации результатов испытаний поддерживает и сегодня интерес к решению задач контактного взаимодействия в случае, когда упругие свойства материала являются переменными. На сайтах компаний- производителей инденторов [, ] представлены постоянно обновляющиеся работы исследователей, посвященные последним достижениям в области определения свойств различных неоднородных по глубине материалов. В ведущих научных журналах публикуются сотни статей по технологии получения тонких покрытий с заданными свойствами и исследованию их механических характеристик (упругость, твердость, адгезия)[65-67,69-78,81-102].
Исследование напряженно-деформированного состояния тонкого неоднородного покрытия сцепленного с однородной подложкой и определение по результатам индентирования механических характеристик системы покрытие-подложка является одной из целей данной работы.
Изучение процесса взаимодействия твердых деформируемых тел является предметом механики контактного взаимодействия, основы которой были заложены более 100 лет назад Генрихом Герцем [37, 80]. На примере контакта 2 стеклянных линз он показал, что эллипсоидальное распределение контактных давлений вызывает во взаимодействующих телах упругие перемещения, согласующиеся с областью контакта. Свои выводы Герц сделал, полагая, что характерные размеры зоны контакта малы по сравнению с размерами тел и с радиусами кривизны их поверхностей. При этом он считал тела линейно упругими, изотропными, однородными, гладкими и, соответственно, пренебрегал влиянием трения скольжения в зоне контакта.
Дальнейшее развитие теории контактного взаимодействия шло в направлении отказа от налагаемых классической теорией Герца ограничений. В настоящей работе рассматривается случай контакта , при котором упругие свойства основания непрерывно изменяются в пределах приповерхностного слоя конечной глубины и размер зоны контакта соизмерим с толщиной неоднородного слоя.
Систематическое исследование проблемы определения напряженно-деформированного состояния неоднородных по глубине (многослойных) оснований началось в 60 - 70 годах прошлого века, что нашло свое отражение в библиографическом указателе Г.Б.Колчина, Э.А.Фавермана [39]. При этом большое внимание исследователей привлекала проблема контакта неоднородных упругих тел (в частности, задачи о вдавливании штампа в полосу или слой, тела со сложной геометрией). Общепризнанны успехи советской и российской школы механики в этом направлении.
Следует отметить, что несмотря на обилие публикаций по теории упругих неоднородных сред, число публикаций, посвященных контактным задачам и даже основным краевым задачам в общей постановке не так уж велико, в большинстве случаев рассматривались некоторые частные законы неоднородности. Большинство работ затрагивают различные аспекты смешанных задач теории упругости для многослойных оснований и составных сред.
Разумеется исследовать процесс деформирования неоднородного по глубине основания при воздействии произвольной осесимметричной вертикальной нагрузки можно и с помощью МКЭ. Но здесь остаются открытыми вопросы точности и скорость решения на ЭВМ на несколько порядков меньше, чем при применении методов рассмотренных в данной работе.
Исследованию смешанных задач также посвящено большое количество работ, предложен широкий ряд методов их решения.
Решение контактных задач для сред с произвольным законом неоднородности по глубине двухсторонним асимптотическим методом было построено в работах Айзиковича СМ. [5-10] и Айзиковича СМ. и Александрова В.М. [9-13,21]. Суть метода состоит в том, что трансформанта ядра интегрального уравнения, к которому сводится задача, и ее аппроксимация находятся численно. После того, как структура трансформанты ядра интегрального уравнения определена, она аппроксимируется выражением специального вида. Решение интегрального уравнения с аппроксимированным ядром строится аналитически. Это дает возможность получить решение в виде, удобном для аналитического исследования различных эффектов, связанных с неоднородностью. Кроме того, эта аппроксимация позволяет найти решение задачи для достаточно широкого класса законов неоднородности.
Динамические задачи для слоя с неоднородными по глубине свойствами рассматривались в работах И.В.Ананьева, В.А.Бабешко [26], И.В.Ананьева, В.В.Калинчука, И.Б.Поляковой [27]. В основе метода лежит численное построение интегрального уравнения динамической контактной задачи, для которой устанавливаются теоремы единственности и разрешимости. Методом факторизации это интегральное уравнение сводится к уравнению Фредгольма 2-го рода.
На основании сделанного обзора следует сделать следующие выводы.
К настоящему времени важные в теоретическом и практическом отношениях контактные задачи в общей постановке для непрерывно-неоднородных сред изучены недостаточно. Это связано с тем, что эти задачи для непрерывно-неоднородного слоя являются одними из наиболее сложных в математическом отношении краевыми задачами математической физики.
Указанные задачи даже в простейшей постановке являются ключевыми, так как методы их решения можно применить к исследованию более сложных контактных задач, а полученные результаты количественного и качественного характера способствуют выработке более полных представлений об особенностях деформирования упругих непрерывно-неоднородных сред.
С учетом вышесказанного целью настоящей диссертации является:
1. Корректная постановка и исследование процесса упругого деформирования неоднородного слоя лежащего на упругом основании (однородном полупространстве) при произвольном непрерывном законе изменения по глубине упругих свойств покрытия.
2. Изучение влияния различных видов неоднородности на характер распределения контактных давлений, определение связи между действующей силой и осадкой выпуклого штампа. Построение приближенного замкнутого аналитического решения и изучение его точности.
3. Исследование напряженно-деформированного состояния покрытия в зависимости от свойств подложки и анализ вида опасных зон.
4. Разработка математически обоснованной методики проведения эксперимента по определению механических свойств тонких упругих неоднородных по глубине покрытий на основе стандартных штамповых испытаний.
5. Исследование проблемы определения характера изменения упругих характеристик неоднородного слоя по глубине, при воздействии с поверхности. Определение функции жесткости или эффективного модуля Юнга неоднородного полупространства, зависящего от характерного размера зоны контакта и связанного с изменением свойств основания по глубине.
6. Разработка программного комплекса для исследования процесса индентирования штампами неоднородных покрытий, накопления результатов расчетов и графического их представления.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 102 наименований. Работа содержит 129 страниц, 58 рисунков, 3 приложения.
Первая глава посвящена решению граничной задачи Неймана для неоднородного по глубине полупространства. Подробно изложена постановка задачи и процесс построения фундаментального решения (функции Грина). Описана процедура расчета полей смещений, напряжений и деформации в приповерхностных слоях полупространства. Приведены примеры для различных случаев неоднородности.
В первом параграфе рассматривается постановка граничной задачи для непрерывно-неоднородного по глубине полупространства Q, при заданном на его поверхности вертикальном усилии p(r), приложенном в пределах круга радиуса а верхней границы Г. Неоднородное полупространство представляется в виде упругого неоднородного слоя, сцепленного с подстилающим однородным полупространством. Коэффициенты Ляме слоя с глубиной изменяются по закону A = A(z),M = M(z),-#sz:s0 где A(z),M(z) - произвольные, непрерывные всюду в области определения, отличные от нуля функции.
Уравнения равновесия в перемещениях (Ламе) в этом случае имеют вид. M(z)(V2w -4) + (M(z) + A(z))— + M'(z)(— + -) = 0 dr dz M(z)V2w + (M(z) + A(z))— + 2M'(z)— + A'(z)<9 = 0 M'(z) = M, A'(z) = ^, v* = iA(r A) + 4, dz dz г Эг dr 3z du и dw в = — + —+ — dr r dz
На поверхности слоя приложена произвольная распределенная внутри круга радиуса а нормальная нагрузка о. = -р(г) 0<г*а (2)
На границе слоя и полупространства выполняются условия совпадения напряжений и перемещений
Отличие от однородного случая состоит в появлении в уравнениях равновесия дополнительных членов , связанных с первой производной от упругих модулей и переменностью коэффициентов.
Во втором параграфе решение уравнений равновесия разыскивается в виде интегралов Ханкеля w{r,z) = fw(y,z)J0(y,r)ydy J0 (3) w(r,z) = -Jo U(y,z)Jx{y,r)ydy система уравнений в частных производных при этом преобразуется в систему дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, которую записывается в матричном виде. — = АЗс, -Н ^ z О dz .К
М + А (22М + А М О
2М + А 2М + А
2М + А
М + А -г
2М' + А' 2М + А V W W,
Решение системы ( 4) строится численно на основе известного решения Тередзавы для однородного полупространства, с помощью метода модулирующих функций. Этот метод был разработан Бабешко В.А., Глушковым Е.В., Глушковой Н.В.( 1978г.) при решении задач динамики для неоднородных стратифицированных сред. Суть его состоит в выделении экспоненциальных составляющих при построении матрицы Грина, так что проблема сводится к отысканию модулирующих функций ограниченной вариации.
Решение системы дифференциальных уравнений представляется в виде линейной комбинации фундаментальных решений x(Y,z) ш yd,(Y)at(Y,z)-еу: ( 5)
Для однородной среды векторы модулирующих функций аї(у,і) = (і,у,\,у) as2(y,z) = (yz,y + y2z,-k + yz,y -ky + y2z}
Здесь к = , a d^y) - некоторые коэффициенты не зависящие
Л + М от z и определяемые из решения системы линейных алгебраических уравнений, выписываемой из краевых условий.
Векторы модулирующих функций at(y,z) определяются из задач
Коши при фиксированных значениях у ^U.AS.-rS,, -HszxO (7) при начальных условиях ai = а/,/ = 1,2
Коэффициенты d,(y) определяются из граничных условий на поверхности неоднородного слоя, сцепленного с однородным полупространством.
2^(у)[-Л(0)у«;(у,0) + (2М(0) + Л(0))а;(у,0)] = Р(у),
, (8)
2^(Г)[М(0И2(Г,0) + М(0)^(Г,0)] = 0. P(Y)—f0P(r)Jo(r,P)PdP
В третьем параграфе рассматривается процесс построения полей напряжений и деформаций Введением обозначений h=eQfj(Y)xx(Y,zyx{Yr)dY,I2=eQfj{Y)x2{Y,zyx{Yr)dY, hm0o^P(rMr^Wrr)dy,I4'-eQ^P(y)x4(rtz)Jo(yr)dy, 7s "*ojTP(Y)*3(r,zWrr)rdrJb =%Р(УЫУ^У0(уг)ус1у.в 2М(0) + Л(0) 0 (М(0) + Л(0))2М(0) решение поставленной задачи может быть представлено в виде M-/„w--/3,er --/0 /„. -І4,єф = — /,, rz rz
1 (10) а. - (2М + Л)/4 - Л/6,а-г = (-Л + 2М)/6 + Л/4 - 2М—/„ аф - 2М-/, + Л(/4 + /Да,, = 2М(/2 + /,), rz
Интегрирование ведется численно, при этом для повышенной точности область интегрирования разбивается на отрезки знакопостоянства подынтегральной функции. Интегралы определяются в заданных точках приповерхностного слоя на некотором удалении от поверхности для обеспечения точности численных результатов.
Во второй главе рассматривается задача о внедрении в неоднородное упругое полупространство осесимметричного штампа. Предполагается, что штамп является телом вращения подошва которого имеет выпуклую параболическую форму. Покрытие предполагается непрерывно-неоднородным по глубине. Задача сводится к решению парного интегрального уравнения. Подробно изложен метод построения в аналитическом виде приближенного двухсторонне асимптотически точного решения этого уравнения.
В первом параграфе формулируется постановка задачи о внедрении жесткого выпуклого индентора в поверхность Г, неоднородного упругого полупространства Д вертикальной силой Р. . Полагаем контакт гладким. Поверхность индентора описывается выражением z = f(r), где/(г) квадратичная функция. Радиус зоны контакта а , вне контактной зоны полупространство не нагружено. Под действием нормальной силы Р индентор смещается на расстояние х вдоль оси z. Для описания упругих характеристик среды наряду с параметрами Ламе будем использовать так называемые «технические» упругие характеристики: модуль сдвига G = М = и
2(1 + v) коэффициент Пуассона v . тт 2(Л + М)
Коэффициент Пуассона v считаем константой, а модуль сдвига в пределах слоя толщины Н непрерывной функцией G(z) ограниченной вариации от глубины z G(z) = Gc(z), -Н <;г«;0 G(z) = Gc(-#)= G„ -<.z<.-H (11) G(0) = G0
Граничные условия на поверхности имеют вид т:г=тгд=0, а_=0, г > a,z = 0 w = ХІТ) - /О) - Х> r При z = -И, выполняются условия неразрывности по смещениям и напряжениям , при (r,-z) -* оо напряжения и деформации исчезают. Требуется найти распределение контактных давлений в пределах контактной зоны, а также смещения, деформации и напряжения в приповерхностном неоднородном слое. На основании результатов первой главы используя преобразования Ханкеля ( 3) и метода моделирующих функций ( 5) задача сводится к решению парного интегрального уравнения CP(a)L(Aa)J0(ar)da —f(r), О <; г <; 1 о * ~v fP(a)J0(ar)ada =0, r>\ Р(а) =fp(r)J0(ar)rdr,f(r) = ^1-д ,ЦЛа) = V dX^a)aj3](Aa,0) Здесь Jo функция Бесселя нулевого порядка, 6=х/а>> h=H/a характерный геометрический параметр задачи, Ь(Ла) трансформанта ядра интегрального уравнения, построенная численно методом моделирующих функций. Во втором параграфе исследуется вид трансформанты ядра парного интегрального уравнения ( 13) и обосновывается построение приближенного замкнутого решения поставленной задачи. Аппроксимируем трансформанту ядра выражением ЦЛа) = Ь„(Ла) + ]}м (Лаг), LN{ka) = П(а2 + А]к-г\аг + В2Л~2у\ ( 14) 4(Л-«) = УСкаЛ~\а2 + D'A"2)'1. Заменяя Ь(Ла) в ( 13) на LN(Aa) мы можем получить замкнутое решение парного интегрального уравнения. Полученное решение имеет вид qir)- л 1-v <{jrl2)tgp^-arch{r'x) + N I / . V Ср, f(sinh(^)<#) Nr2 -, ,а, = Ajk 14 Коэффициенты Cj находятся из решения линейной системы. Л a, sinh at + bk cosh a, Gx (лг/2)[і-6,]-0, Смещение штампа б определяется из условия q(r) = 0. -fi^ + ^lWytgfl + VC.coshia,) = 0 С/, Ц ftf Численная оценка ошибки, допускаемой при замене, строится при подстановке построенного приближенного решения в исходное уравнение. В третьем параграфе строятся и анализируются поля напряжений и деформаций внутри неоднородного полупространства в случае смешанных условий на границе. Численные решения даются для серии законов неоднородности Третья глава посвящена оценке параметров неоднородности тонких неоднородных покрытий методом индентирования. В первом параграфе дается определение понятия функции жесткости неоднородного покрытия и исследуется зависимость этой функции от параметров неоднородности слоя и вида нагружения. Функция жесткости определяется как эффективный модуль Юнга, то есть полученный из обработки данных о связи приложенной к штампу силы и его смещении, в зависимости от размера контактной зоны. Второй параграф посвящен учету условий реального эксперимента по индентированию. В нем рассмотрен вопрос о применении численно-аналитического метода к исследованию свойств тонких пленок, разработаны требования к разрешающей способности измерительной аппаратуры (наноиндентора) и к методике самого эксперимента. Кроме того рассмотрен вопрос о том, как применяя набор штампов разного диаметра можно в эксперименте обнаружить неоднородность исследуемого материала. В третьем параграфе рассматривается вопрос о реальном экспериментальном определении механических характеристик неоднородного по глубине упругого полупространства (толщина неоднородного слоя, значение модуля Юнга на поверхности и в глубине). Анализируются данные, полученные при индентировании слоя DLC (diamond-like-carbon - алмазоподобный углерод) толщиной 250 nm и модулем Юнга 250 Гпа на подложке из плавленного кварца (fused quartz) с модулем Юнга 69.6, по результатам эксперимента, поставленного во Фраунгоферовском институте (Брауншвейг, Германия). Там же обоснован вывод о том, что результаты индентирования могут использоваться для определения параметров неоднородности основания при известном характере неоднородности и толщине. Применение серии штампов с различными радиусами кривизны позволит увеличить диапазон изменения / и дает возможность повысить точность определения характерных параметров неоднородности. Заключение. Основные результаты работы докладывались и обсуждались: на семинарах отчета рабочих групп по проекту INTAS-93-3513 и INTAS-93-3513-Ext (Факультет материаловедения Левенского католического университета, Бельгия, 1996-1998); на заседаниях Института повышения квалификации НАТО, "Наноструктурные материалы: наука и технологии", 10-20 августа, 1997, Санкт-Петербург, Россия, "Химическая физика процесса осаждения тонких пленок для микро и нанотехнологий", 3-14 сентября, 2001, Каунас, Литва; на 3-ей конференции по механике твердого тела (ЕВРОМЕХ), Королевский технологический институт, 18-22 августа, 1997, Стокгольм, Швеция; на 4-ой Международной конференции по наноструктурным материалам, 14-19 июня 1998, Стокгольм, Швеция; на 7-ой Европейской конференции по неразрушающим испытаниям, 26-29 мая 1998, Копенгаген, Дания; на Семинаре повышения квалификации НАТО по наноструктурным пленкам и покрытиям, 28-30 июня, 1999, Санторин, Греция; на 434 коллоквиуме ЕВРОМЕХ, 21-24 мая, 2002, Москва. на IV,VI и VII Международной конференции "Современные проблемы механики контактных взаимодействий" (Ростов-на-Дону, 1996, 1998, 2000 и 2001г.); в полном объеме работа представлена на семинаре кафедры теории упругости РГУ (2001-2002 г.). По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ. В основу данной диссертации положены работы [14-17],[56-64]. В работе [14] Айзиковичу СМ. принадлежит постановка задачи, Креневым Л.И. выполнен выбор метода построения решения по глубине, вывод основных соотношений и численные расчеты. Анализ результатов счета проводился обоими авторами в равной степени. В работах [16,57,63,64] Айзиковичу СМ. принадлежит постановка задач, выбор методов решения, доказательство теорем, основные идеи по определению упругих свойств неоднородного основания, Креневым Л.И. выполнен вывод ряда основных соотношений, оценка точности полученных решений, методика определения упругих характеристик неоднородного основания и численные расчеты. Трубчик И.С выполнен вывод некоторых соотношений, и сопоставление предельных случаев с известными результатами имеющимися в научных публикациях. Анализ результатов счета проводился авторами в равной степени. В работах [15,56,58,59] Айзиковичу СМ. принадлежит постановка задач, выбор методов решения и основные идеи по определению свойств покрытий, Креневым Л.И. выполнен вывод ряда основных соотношений,, методика определения упругих характеристик неоднородного основания и основные численные расчеты. Серовой Н.А. выполнен ряд численных расчетов. Анализ результатов счета проводился авторами в равной степени. В работах [17,61] Айзиковичу СМ. принадлежит постановка задач и выбор методов решения, Креневым Л.И. выполнен вывод ряда основных соотношений и методика определения упругих характеристик покрытия, описание численных примеров. Все экспериментальные данные получены Staedler'oM. В работе [60] Айзиковичу СМ. принадлежит постановка задач и выбор методов решения, Креневым Л.И. выполнен вывод основных соотношений и численные расчеты. Серовой Н.А. выполнен ряд численных расчетов. Celis'oM сформулированы требования к численному и натурному эксперименту. Анализ результатов счета проводился авторами в равной степени. В работе [62] Александрову В.М. принадлежит постановка задач, Айзиковичу СМ. - основные идеи по построению решений в аналитической форме и доказательство теорем, Трубчик И.С выполнен вывод основных соотношений и ряд численных расчетов, Креневым Л.И. выполнен вывод некоторых соотношений и численные расчеты. Kalker J J. сформулировал требования к численному и натурному эксперименту. Анализ результатов счета проводился авторами в равной степени. Значения компонент полей смещений, деформаций и напряжений строятся с помощью численного интегрирования в заданных точках (r,z) неоднородного по глубине полупространства. Построение Lt(y,z) при значениях у 100,z -0.02 при численном решении задачи Коши (1.22) не отличается большой достоверностью, поэтому методом наименьших квадратов строится аппроксимация. Результат ее применения приведен в Приложении А. Бесконечная область интегрирования по у разбивается на отрезки знакопостоянства подынтегральной функции (функции Ц могут менять знак в ограниченной области изменения (y,z) и далее монотонно стремятся к 0, так что корни подынтегральной функции совпадают с корнями функций Бесселя, которые легко определяются. Расчет ведется до тех пор, пока модуль приращения функции превосходит заданную (достаточно малую) величину. Таким образом можно интегрировать отступая от границы полупространства на некоторое расстояние. Численные примеры рассмотрим для некоторых характерных видов неоднородности основания. Эти примеры взяты из отчета по проекту INTAS-93-3513 и описывают поведение покрытий и подложки из Ni, Си при различных комбинациях. Коэффициент Пуассона будем полагать постоянным v = l/3 , а модуль Юнга в неоднородном покрытии изменяющимся по глубине в соответствии со следующими отношениями 0бозначения расчетных образцов законов изменения модуля Юнга в неоднородном слое, сцепленном с полупространством приведены схематичные изображения законов неоднородности, в дальнейшем они будут приводиться в качестве меток соответствующих законов неоднородности. Также будем использовать словесное описание законов изменения модуля Юнга по глубине. В расчетах законы изменения механических свойств аппроксимировались кусочно-линейной непрерывной функцией ОТ Z. В случае 1 и 2 мы полагаем, что с однородным полупространством сцеплен пакет, состоящий из однородного слоя, модуль Юнга которого больше или меньше модуля Юнга подстилающего основания (покрытие более жесткое или более мягкое чем подложка), и промежуточного слоя, модуль Юнга которого плавно меняется от значений в покрытии до значения модуля в полупространстве. В случае 5 и 6 мы рассматриваем немонотонное изменение модуля Юнга в неоднородном покрытии. Для образца 5. характерно возрастание значения модуля Юнга до середины слоя, а затем убывание. Для образца 6. соответственно значение модуля сначала убывает, а потом возрастает. При этом мы считаем, что покрытие представлено пакетом слоев, модуль Юнга которых линейно меняется по глубине в пределах каждого слоя, и совпадает на границах слоев, в том числе и на границе с подстилающим однородным полупространством. На поверхности покрытия модуль Юнга совпадает со значением в подложке. Для сравнения результатов счета с однородным случаем мы используем слой, свойства которого слабо отличаются от значений в полупространстве. Результаты численного построения Ц(у,г),1 = 1,2,3,4 для упомянутых выше законов неоднородности приведены в таблицах 1-7 Приложения 1. В начале каждой таблицы дается описание закона неоднородности, используемое при численном решении, значения модуля в промежуточных точках определяются из линейной интерполяции. В седьмой таблице представлены результаты расчета для однородного полупространства, полученные по той же расчетной схеме, что и для неоднородного случая. Анализ приведенных таблиц показывает, что значения Lx {у,z) Одля у \00, и процесс численного интегрирования Ц(у,г) при 100 должен продолжаться до необходимого уровня точности. Более того, выражения для Ц и L2 изменяют знак при изменении (у, z). Известно, что функция Бесселя убывает как (у) 112 при у - - », поэтому для малых z, г и больших X точное вычисление интегралов содержащихся в L, и L2 затруднительно. Для проведения численных расчетов и визуализации их результатов разработан программный комплекс, расчетная часть которого реализована на Fortrane Powerstation 4.0, результаты расчетов сохраняются в базе данных, которая создана и поддерживается в среде VisualFoxpro 7.0, а для визуализации используются пакеты Axum, Surfer, Gnuplot, MS Excel. Для визуализации компонент смещений, деформаций и напряжений на одном рисунке строится в аксонометрической проекции трехмерное изображение поверхности в декартовых координатах (r,z), а в нижней части рисунка показаны линии равных значений. В подписи к рисунку описывается вид нагрузки, вид расчетных значений, вид покрытия, относительная зона контакта, характер изменения градиента упругих характеристик в слое. На рисунках 3-9 показаны поля вертикальных деформаций є. в приповерхностном слое при действии равномерной нагрузки как однородного так и неоднородного полупространства для законов неоднородности описанных выше для X = 1.0. Следует отметить, что только в случае 4 (для линейно возрастающего изменения свойств материала) происходит монотонное изменение вертикальных деформаций. Рисунки 10-16 показывают распределение полей вертикальных напряжений для однородного полупространства и неоднородного полупространства для законов неоднородности описанных выше при Х,=1.0. Картина изменения вертикальных напряжений однообразна для всех рассмотренных случаев изменения свойств материала покрытия. На рисунке 17 представлена картина распределения радиальных смещений при действии равномерной нагрузки в пределах круга для 6 характерных примеров изменения упругих свойств в слое в сравнении с однородным основанием. Можно заметить, что поля радиальных смещении в образцах с линейным изменением свойств похожи на поля в однородном основании Рассматривается задача о внедрении в неоднородное ( слоистое или функционально-градиентное ) упругое полупространство осесимметричного штампа. Предполагается, что штамп является телом вращения подошва которого имеет выпуклую форму. Задача сводится к решению парного интегрального уравнения. Подробно изложен метод построения в аналитической форме приближенного двухсторонне асимптотически точного решения этого уравнения. На примерах изучается влияние различных законов изменения по глубине модуля сдвига в полупространстве на распределение контактных напряжений под сферическим индентором и размер зоны контакта индентора с основанием в зависимости от значений характерного геометрического параметра задачи и величины вдавливающей силы. Анализируется изменение распределения контактных давлений для различных законов неоднородности и зон контакта. Строятся поля напряжений возникающих в неоднородном по глубине полупространстве при внедрении в него сферического штампа и на их основе определяются зоны предразрушения в неоднородном полупространстве. Осесимметричный индентор вдавливается в поверхность Г неоднородного упругого полупространства Q силой Р (Рис. 18). С полупространством связана цилиндрическая система координат (г, ф,г). Предполагается, что все деформации упруги. Силы трения между индентором и поверхностью полупространства отсутствуют. При расчете мы будем пренебрегать пластическими эффектами, так как исследование свойств неоднородного покрытия на некотором удалении от контактной зоны основано на использовании упругих свойств материала. Для организации неразрушающих испытаний материала лучше всего подходит сферический штамп большого радиуса кривизны по сравнению с зоной контакта, в этом случае его можно аппроксимировать параболической поверхностью. В третьей главе вопрос обеспечения неразрушающего характера индентирования будет рассмотрен подробнее. Считаем, что поверхность описывается квадратичной функцией z- (r)-/?r2 (2.1) в окрестности начальной точки контакта. Вне индентора поверхность полупространства не загружена. Под действием силы Р индентор перемещается на расстояние х вдоль оси z. Рассмотрим задачу, когда индентор не деформируем. Считаем, что модуль сдвига G(z) и коэффициент Пуассона v(z) неоднородного слоя являются произвольными функциями координаты z. l.G = G0(z),v=v0(z),fszsO 2.G = G{-H),v = v0(-#), - оо s z 5 -Я При вышеуказанных предположениях, граничные условия имеют вид: Здесь w - смещение вдоль оси z, т.г,т:ф,С7:- радиальные, тангенциальные и нормальные напряжения. При z = -Н должно выполняться условие сопряжения по напряжениям и перемещениям. Напряжения и деформации стремятся к нулю при (r,-z) - оо. Требуется определить распределение нормальных контактных напряжений под штампом a_(r,0) = -p(r), 0 rsa размер зоны контакта а , связь между вдавливающей силой Р и осадкой штампа х а также напряженно-деформированное состояние приповерхностного слоя неоднородного по глубине полупространства. Так как индентор не плоский в плане, то его края не врезаются в поверхность полупространства и должно выполняться соотношение /?(о?) = 0, которое используется для определения полуширины зоны контакта и накладывает некоторые ограничения на функцию p(r). Заметим, также что в связи с отсутствием сцепления индентора с поверхностью полупространства, для корректной постановки задачи должно быть выполнено соотношение р(г) 0 для всех г а . Для решения поставленной задачи приведем ее к эквивалентному парному интегральному уравнению относительно р(г), для этого воспользуемся результатами первой главы. Запишем граничное условие на поверхности слоя в пределах контактной зоны, при этом обозначим L3(«,0) через L(u) При численном анализе построенного приближенного решения задачи о внедрении выпуклого параболического штампа в неоднородное основание мы уделим основное внимание двум вопросам: 1) Оценке точности приближенного решения для разных видов неоднородности. 2) Иллюстрации различий в поведении различных видов покрытий при внедрении штампа. При этом приводится вид полей смещений, деформаций, напряжений и т.п. О том, как построенное приближенное решение зависит от параметров аппроксимации можно судить по рис 20, на котором показано изменение контактных напряжений для 6 закона неоднородности слоя (немонотонный мягкий) в зависимости от количества членов аппроксимации N. На рис. 19 видно, что ошибка аппроксимации для 6 образца неоднородности достигает 35% для малого количества компонент, а затем плавно убывает до 10%. Для монотонных законов ошибка аппроксимации порядка 5-2 % При построении приближенного решения поставленной задачи мы заменили ядро уравнения (2.5) ЦАа) его аппроксимацией вида LN (Яа) = П (а2 + А]К 2 \(а2 + В2 К 2 \ (2.30) Функция f(r), стоящая в правой части (2.5), соответствует значениям осадки поверхности неоднородного полупространства под параболоидом вращения и, таким образом, физически значение невязки соответствует абсолютной погрешности в задании формы штампа. Здесь JQ - функция Бесселя нулевого порядка, R— радиус сферы, внедряемой в полупространство, к = Н 1а - характерный геометрический параметр задачи. На Рис. 21 приведены графики смещений поверхности WN(0yr) под штампом параболической формы полученные численным интегрированием приближенного уравнения для всех 6 образцов неоднородности слоя и графики формы штампа Wf . На Рис. 22 приведены те же графики смещений поверхности WN(0,r) под штампом параболической формы для 3 образцов неоднородности слоя и графики формы штампа Wf . Анализ графиков показывает хорошее совпадение приближенного решения и формы штампа во всех случаях, за исключением немонотонных законов неоднородности слоя. После определения распределения контактных давлений р (р) под п штампом можно найти интегральную характеристику для ошибки Ая(г,A) -Рі/(р)р(Щл)- Ln(Aa))(y)50(ap)J0(ar)dadp (2.32) Подынтефальное выражение в (2.32) отлично от нуля в ограниченной области, поэтому можем легко найти А (г, Я) с помощью п квадратурных формул, например, Гаусса. Относительное значение А (г, Я) пофешности определяется по формуле є(г,Л) = 100х — , где w(r) — w(r) перемещение поверхности полупространства под штампом. При анализе напряженно-деформированного состояния неоднородного слоя, сцепленного с однородным полупространством, в который внедряется параболический штамп мы будем постоянно проводить сравнение с однородным случаем. На Рис. 25 приведены поверхности выражений q(r,X)lq (r,A),A. = Н/а, которые характеризуют относительное отличие в распределении нормальных контактных давлений q (г, Я) под недеформируемым параболоидом вращения для законов неоднородности вида E c{z){i = 1,...,6) в сравнении с однородным случаем. Значение q.(r,X) были найдены по формуле (2.28) при оптимальном выборе параметров аппроксимации. Для монотонных законов неоднородности свойств слоя при фиксированных больших значениях Я, и соответственно малых зонах контакта, наблюдается подобие в распределении контактных давлений по радиусу зоны контакта г в однородном и неоднородном случае. При росте зоны контакта в распределении контактных давлений наблюдается своеобразный концевой эффект. Для немонотонного случая эти эффекты выражено еще больше. Интересная иллюстрация сжимаемости основания при внедрении параболического штампа предложена А.Н. Динником, развивая задачу Герца, он проанализировал распределение упругих деформаций вдоль оси вдавливания, просуммировал элементарные деформации вглубь от поверхности образца и нашел дискретные значения этих сумм для фиксированных толщин Н поверхностного слоя, нормированных на радиус площади контакта а. Отношение такой суммарной деформации wH к экспериментально регистрируемому значению w, суммирующему деформацию по всей глубине полупространства, указано ниже: Из этих данных видно, что на глубине z - а реализуется 50% общего смещения , а на глубине z = 20а - 97%. На Рис. 26 приведены графики величин (w(0,0)-w(r,0))/w(0,0) для законов неоднородности. Сверху рисунка приведены схематичные изображения законов неоднородности. Цифра возле кривой обозначает соответствующий закон неоднородности /. , для / = 0,1,2,3,4,5,6. Кривая, обозначенная через 0 соответствуют данным Динника. Для резиноподобных материалов с покрытием миллиметровой толщины существует способ испытаний на основе растяжения-сжатия, связанный с изготовлением из материала стандартных образцов — "спутников". Он трудоемок и не позволяет исследовать свойства материала в реальной конструкции. Для более твердых и тонких покрытий исследование упругих свойств можно проводить только при воздействии с поверхности. Обычно эти способы определения модуля упругости опираются на методики определения твердости поверхности. При этом, в поверхность материала некоторым усилием вдавливают жесткий индентор (шарик, конус, или пирамиду) и измеряют его осадку. Модуль упругости рассчитывают по размеру полученного отпечатка, величины приложенной силы и геометрическим размерам индентора по соответствующим теоретическим или эмпирическим формулам. Также с помощью эмпирических формул пытаются учитывать влияние покрытия и подложки. Методы обработки результатов испытаний по вдавливанию в материал индентора, не учитывающие неоднородность материала, дают низкую точность при исследовании упругости глубинного слоя, а свойства приповерхностного слоя при этом не определяются вообще. На основе разработанного математического аппарата появляется возможность достоверно интерпретировать данные штамповых испытаний неоднородного материала, определить необходимый для этого набор экспериментальных данных, повысить точность определения модуля упругости глубинных слоев материала, так и характера изменения модуля упругости поверхностного слоя. Для материалов с покрытием, используя метод индентирования можно определить модуль упругости актуальный для некоторой зоны контакта, и в силу этого являющийся некоторой средней величиной между модулем упругости поверхностного и глубинных слоев материала. Эту характеристику, которую будем называть эффективным модулем или функцией жесткости неоднородного основания, можно найти из решения контактной задачи о внедрении осесимметричного штампа в неоднородное покрытие. В результате ее решения определена связь между вдавливающей силой и осадкой индентора. Однако для исследования эффекта неоднородности материала покрытия по глубине более информативной является производная от них величина функции жесткости В случае внедрения штампа с плоской подошвой функция жесткости имеет вид Е -±EL (3.1) w jtDdd V для однородного основания она является постоянной и не зависит от размеров штампа. Здесь D — диаметр штампа, Р — величина вдавливающей силы, 3 — перемещение штампа под действием силы Р. Е связана с модулем упругости Е соотношением Е = , где v — W 2(1-v2) коэффициент Пуассона. При внедрении параболического штампа вид функции жесткости следующий: Ew{a) = S{a) = - — (3.2) 4 ад _ у2 где а- радиуса зоны контакта, 8— перемещение индентора. Для неоднородного материала функция жесткости или эффективный модуль является функцией безразмерного геометрического параметра a IН. Штамп каждого фиксированного диаметра "измеряет" некоторые средние характеристики слоя, толщина которого пропорциональна диаметру штампа. Поэтому в результате измерений при помощи штампов разных диаметров содержится информация, на основе которой, при помощи разработанного метода расчета, можно определить модуль упругости как глубинных, так и поверхностных слоев . Нужно отметить, что отношение жесткости поверхностного слоя Е (по отношению к глубинным слоям), при постоянстве коэффициента Пуассона в материале, не зависит от абсолютного значения коэффициента Пуассона. Таким образом, взяв набор штампов с плоской подошвой различного диаметра или несколько штампов с параболическим наконечником, можно оценить степень неоднородности упругих свойств поверхностного слоя и установить упругие свойства материала. Эта задача определения упругих свойств неоднородного материала является некорректной обратной задачей математической физики. Наиболее распространенный метод решения подобных задач — метод подбора. В нашем случае интерпретация этого метода состоит в том, что сначала решаем прямую задачу об определении жесткости основания для некоторого набора функций изменения модуля упругости в поверхностном слое, а затем подбираем ту функцию, которая лучше всего согласуется с экспериментальными данными по значениями , полученным для инденторов различных диаметров. На Рис. 51 показаны графики функции жесткости для 6 образцов неоднородности свойств покрытия в сравнении с однородным случаем. Ниже приводится графики изменения трансформант ядер интегрального уравнения. Все графики даны в логарифмической шкале. Интересно отметить вид трансформанты в немонотонном случае, расположение кривых 5 и 6 обратно расположению аналогичных кривых на Рис. 51. На Рис. 53 построены графики функции жесткости для выпуклого параболического штампа (3.2) (сплошная линия, большие номера образцов неоднородности) и для штампа с плоской подошвой (3.1).Построение фундаментального решения для неоднородного по глубине полупространства
Приближенное решение задачи о внедрении выпуклого штампа в непрерывно-неоднородное по глубине полупространство
Численный анализ решения задачи о внедрении параболического штампа в неоднородное основание
Учет условий реального эксперимента по индентированию
Похожие диссертации на Деформирование полупространства с неоднородным упругим покрытием
