Содержание к диссертации
Введение
1 Напряженно-деформированное состояние решетчатой пластины 17
1.1 Уравнения общей теории изгиба неоднородных трансверсально-изотропных круглых пластин 20
1.2 Оссесимметричные деформации круглых пластин 30
1.3 Неосесимметричные деформации решетчатой пластины 46
1.4 Большие прогибы решетчатой пластинки 53
1.5 Расчет напряженно-деформированного состояния решетчатой пластинки по уточненной итерационной теории 62
2 Устойчивость симметричных форм равновесия круглых пластин 71
2.1 Потеря устойчивости однородной изотропной пластины 72
2.2 Потеря устойчивости однородной пластины с отверстием в центре . 75
2.3 Потеря симметричной формы равновесия неоднородной изотропной пластины 77
3 Деформация решетчатой пластины глаза при изменении внутричерепного давления и дополнительные вопросы 81
3.1 Деформация сферической панели 81
3.2 Деформация неоднородной сферической панели 85
3.3 Собственные частоты колебований неоднородных круглых пластин . 89
3.3.1 Система уравнения колебаний неоднородной пластины 89
3.3.2 Собственные частоты колебаний однородной пластины 93
3.3.3 Определение поправок частот собственных колебаний 95
- Оссесимметричные деформации круглых пластин
- Расчет напряженно-деформированного состояния решетчатой пластинки по уточненной итерационной теории
- Потеря устойчивости однородной пластины с отверстием в центре
- Собственные частоты колебований неоднородных круглых пластин
Введение к работе
Актуальность темы. В последнее время все большую актуальность приобретают задачи математического моделирования поведения различных биологических систем. Сопоставление результатов исследований с данными, полученными медиками и биологами, позволяет лучше понять механизмы развития различных процессов, происходящих в таких биологических структурах животных и человека как сосуды, суставы и др.
В учебные программы ряда крупнейших высших учебных заведений страны введен курс биомеханики, а в 2002 г. в МГУ открылся первый в России факультет биоинженерии и биоинформатики.
Методы механики деформируемого твердого тела все чаще применяются для исследования состояния глаза. На XIII Международном конгрессе исследователей глаза была организована секция биомеханики глаза. На основе читаемого на Педиатрическом факультете Российского государственного медицинского университета курса и исследований, проводимых в институте, коллективом авторов издана монография "Акустическая биомеханика глаза и ее значение для клиники"[76], первый раздел которой посвящен основным определениям и понятиям механики деформируемого твердого тела.
Изучение биомеханики глаза важно для понимания механизма развития многих заболеваний, для разработки экспериментальных моделей, внедрения новых технологий. Новые знания в области биомеханики глаза позволяют улучшить диагностику различных заболеваний, развивать новые методы терапевтического и хирургического лечения глаза [50].
Глаз человека представляет собой сложную биологическую структуру (рис. 1). Оболочка глазного яблока многослойна. Можно выделить три основных слоя: наружную фиброзную капсулу, среднюю - сосудистую оболочку и внутреннюю оболочку -сетчатку (рис. 1). Эти оболочки, в свою очередь, можно рассматривать как многослойные.
Рис. 1: Строение глаза
5/6 всей фиброзной оболочки составляет склера - плотная соединительная ткань. Спереди она переходит в более выпуклую, плотную, но прозрачную роговицу, которая защищает внутренние структуры глаза, а также является линзой. Средняя оболочка глаза состоит из собственно сосудистой оболочки, ресничного тела и радужки. Сосудистая оболочка прилегает к склере, но прочно связана с ней на всей ее протяженности. Сетчатка - это внутренняя оболочка глаза. Она плотно соединена с сосудистой оболочкой в двух местах - у диска зрительного нерва и у зубчатой линии (где заканчивается плоская часть ресничного тела). Внутри глазного яблока находится стекловидное тело. Недалеко от заднего полюса через склеру из глаза выходит зрительный нерв (рис. 1). Сплошного дефекта склеры в этом месте нет, а имеются ее истончения и множество мелких отверстий, через которые проходят пучки зрительного нерва. Участок склеры, через который проходит зрительный нерв, называют решетчатой пластинкой (lamina cribrosa). По одну сторону от решетчатой пластинки в межоболочечном пространстве зрительного нерва находится цереброспинальная жидкость, по другую - стекловидное тело глаза.
Различные патологические состояния органа зрения, такие как глаукома, являются одной из причин слепоты и инвалидности. Проблемы этиопатогенеза (причины
и механизма возникновения) и лечения глаукомы и других заболеваний остаются в настоящее время одними из наиболее актульных и трудных [117].
Решетчатая пластинка играет важную роль в балансе внутриглазного и внутричерепного давлений (ВГД и ВЧД). В работе [69], отмечается, что склеральная пластинка в зоне диска зрительного нерва должна быть перфорированной и вместе с тем эластичной, чтобы не ущемлять нервные волокна при колебаниях ВГД. В норме уровни давления по одну и по другую сторону от решетчатой пластинки диска зрительного нерва различны, и со стороны глаза мембрана испытывает постоянно вдвое большее механическое воздействие [22]. Иными словами, решетчатая пластинка выступает в роли мембраны, сдерживающей сдвиги давления либо по одну (в глазу), либо по другую (в зрительном нерве и мозге) сторону [47].
С середины XIX века существует две точки зрения на процесс развитие глауко-матозной атрофии зрительного нерва. Е. Jaeger и его последователи предполагают ишемическую (сосудистую) природу заболевания. К сторонникам сосудистого генеза глаукомы относятся D.O.Harington [114], А.П.Нестеров [69], [70]. Практически одновременно (A. von Graefe, 1857) возникло предположение о механической природе развития атрофии зрительного нерва. За признание механического генезиса выступают J.Emery [110], R-Radius, A.Maumenee [130], D.Minckler [123], В.В.Волков [22]-[28].
В настоящее время сохраняются обе эти точки зрения, однако "роль механического фактора"признается и сторонниками ишемической концепции [67], [72]. Отвечая на вопрос о причинах возникновения глаукомы в интервью "Независимой газете" А.П. Нестеров говорит, что "... выдвигаются две главные причины глаукомы. Первая - повышенное внутриглазное давление. Оно приводит к тому, что пучки нервных волокон зрительного нерва ущемляются в структурах, через которые они проходят, выходя из глаза. Они выходят из глаза через так называемую решетчатую пластинку склеры. Высокое внутриглазное давление приводит к деформации решетчатой пластинки, и в канальцах ее ущемляются пучки нервных волокон. Испытывая такое давление, зрительный нерв постепенно атрофируется. Вторая основная причина глаукомы связана с нарушением кровообращения в зрительном нерве. Отчасти
нарушение кровообращения обусловлено повышением давления в глазу, отчасти -поражением мелких кровеносных сосудов. Нарушается микроциркуляция крови в той части зрительного нерва, которая расположена внутри глаза. Это чрезвычайно опасно" [68].
На протяжении многих лет любое, по сравнению со средней нормой, повышение ВГД, если не находили для него непосредственных причин в глазу, называли первичной глаукомой. При этом такие наиболее важные проявления глаукомы, как специфическая дистрофия и атрофия диска зрительного нерва с образованием экскавации (прогиба), оставались без внимания. Однако, в настоящее время отмечается часто неопределенный характер симптомов в начальной стадии заболевания, существование доброкачественной офтальмогипертензии, с одной стороны, и глаукомы с нормальным давлением - с другой [72]. Доброкачественной офтальмогипертензией офтальмологи называют превышение нормативных показателей ВГД, не приводящее к нарушениям в структуре и функциях зрительного нерва. Как отмечено в [72], при гипертензиях, которые еще не приняли характер глаукоматозных, решетчатая пластинка хорошо противостоит гипербарической нагрузке изнутри.
Придерживаясь механического генезиса глаукомы, В.В. Волков [23]- [28] предложил концепцию происхождения глаукомы псевдонормалыюго давления (при ВГД, не выходящим за пределы статистической нормы). Он рассматривает оба глазных яблока, зрительные нервы и полость мозгового черепа как единую систему. Если отношение внутриглазного давления к внутричерепному давлению увеличивается по сравнению с нормальным для конкретного пациента значением [20], [22] (а это может происходить не только вследствие увеличения ВГД, но и за счет уменьшения ВЧД), то решетчатая пластинка прогибается. Вместе с нею начинает как бы "выдавливать-ся"из глазного яблока диск зрительного нерва (ДЗН). Появляется так называемая экскавация зрительного нерва. При повышении ВЧД или при глазной гипотонии (например, после травмы или операции [22]) образуется так называемый застойный ДЗН, решетчатая пластинка деформируется внутрь глазного яблока.
По определению В.В.Волкова [24], глаукома - это прежде всего специфическое
нарушение зрительных функций от сдавления нервных волоки, обусловленного выпячиванием решетчатой мембраны из полости глаза. "... Глаукоматозная атрофия отличается от всех других наличием вдавливания на диске за счет действительного выпучивания решетчатой пластинки из глаз (^экскавации диска зрительного нерва)'».
Многочисленные экспериментальные данные [22], [47], [69], [70] говорят о том, что при повышеннии ВГД такие явления, как отечность зрительно - нервных аксонов, их дезорганизация, остановка аксоплазматического тока и др., ведущие за собой атрофию (разрушение) зрительного нерва и приводящие к дефектам поля зрения, происходят именно в области решетчатой пластинки [22]. Кроме того, как отмечают офтальмологи [22], экскавация диска свидетельствует о переходе гипертензии в глаукому часто раньше, чем периметрические параметры, т.е. первые признаки гла-укоматозной экскавации диска зрительного нерва, как правило, появляются раньше дефектов в поле зрения. Прогрессирование экскавации - ее размеров, глубины, изменение конфигурации - также нередко предшествует увеличению выявленных ранее дефектов поля зрения. Таким образом, начальные изменения диска зрительного нерва имеют существенное значение для диагностики глаукомы, а их динамика важна для оценки эффективности проводимой терапии, а ранняя диагностика и адекватное лечение глаукомы остаются для врача и в настоящее время одной из самых трудных проблем [71]. В своих исследованиях H.Quigley, E.Addicks [125], [127] предположили, что предпосылкой к появлению экскавации служат не особенности строения сосудистой сети диска, а неоднородность решетчатой пластинки глаза на разных участках.
Все это делает важным изучение напряженно - деформированного состояния решетчатой пластинки глаза при изменении внутриглазного давления, изучение индивидуальных особенностей строения решетчатых пластин, которые могут увеличить предрасположенность к глаукоматозным повреждениям.
Изучению деформации решетчатой пластины на основе экспериментальных данных и клинических наблюдений посвящены работы [125]-[127], [130], [140], [141]. В [140] на основе экспериментальных данных изучалось влияние ВГД на деформацию
решетчатой пластины. По мнению авторов, именно возникающие в пластине деформации сдвига лежат в основе механизма повреждения волокон зрительного нерва.
Представляет также интерес построение математических моделей, адекватно описывающих поведение решетчатой пластинки при изменении ВГД.
В работе Н. Dongi и R. Zeqin "A biomathematical model for presuredependent lamina cribrosa behavior", опубликованной в журнале Journal of Biomechanics, 1999, решетчатая пластинка глаза моделировалась однородной и изотропной пластиной. Авторы предприняли попытку учесть влияние на поведение пластинки растягивающей силы, действующей со стороны склеральной оболочки глаза: на границе решетчатой пластинки приравняются напряжения, действующие в этой пластинке и склеральной оболочке глаза, в то время как следует приравнивать усилия, так как задача решается в двумерной постановке.
В [54] решетчатая пластинка также моделировалась однородной изотропной пластиной. Предполагалось, что в пластине имеются отверстия круговой формы. Проведено сравнение результатов, полученных численными методами и с помощью эксперимента.
В работах [106], [137] авторы ставят своей задачей оценить влияние различных параметров (геометрических, механических, строения РП, свойств окружающих РП тканей) на напряженно-деформированное состояние РП. Для исследования используется метод конечных элементов, однако модели РП были различны: в [137] РП моделировалась изотропной пластиной с отверстиями, заполненными веществом с модулем упругости на 2-3 порядка меньшим, чем модуль упругости РП, в [106] свойства РП "размазывались"по ее поверхности - в разных точках поверхности, задавались различные значения модуля упругости, аппроксимируя неоднородность пластины.
Целью данной работы является исследование деформации решетчатой пластинки глаза при различных соотношениях внутриглазного и внутричерепного давлений, оценка влияния механических характериских, неоднородности пластины, центрального отверстия на характер деформации пластины. Оценка предрасположенности различных решетчатых пластин к глаукоматозным повреждениям.
Диссертация состоит из 3 глав.
Первая глава посвящена изучению напряженно-деформированного состояния решетчатой пластины глаза в рамках различных теорий анизотропных пластин. РП моделируется транверсалыю-изотропной, в общем, случае неоднородной круглой пластиной. Показано влияние степени неоднородности на величину и форму прогиба пластины. Рассмотрено влияние отверстия в центре пластины на ее деформацию. Представленные модели поддерживают механическую концепцию происхождения глаукоматозной атрофии зрительного нерва.
Во второй главе изучается устойчивость осесимметричных форм равновесия пластины. Рассмотрено влияние неоднородности пластины и наличие отверстия в центре пластины на критическую нагрузку. Учет неоднородности пластины (убывания модуля упругости пластины при движении от центра к краю пластины) существенно снижает критическую нагрузку до давлений, наблюдаемых в реальном глазу. Показано, что образование складок по краю пластины при глаукоме и появление при этом отеков может быть объяснено потерей осесимметричных форм равновесия.
В третьей главе рассмотрены дополнительные аспекты поведения РП при изменении давления по обе ее стороны. Учет начальной кривизны РП позволяет объяснить образование "застойного диска"при увеличении внутричерепного давления. Показано, как влияет неоднородность пластины на собственные частоты ее колебаний.
Методы решения. При решении поставленных задач применялись различные методы. Аналитические соотношения, характеризующие вличние малой неоднородности на прогиб и усилия решетчатых пластин, находящихся под действием нормального давления, получены методом возмущений, т.е. асимптотическими методами для регулярно возмущенных задач. Ряд результатов получен численными методами.
Задачи статики анизотропных неоднородных пластин. Решение задач о напряженно-деформированном состоянии тонкостенных конструкций в рамках трехмерной теории упругости сопряжено с большими трудностями, и поэтому, как известно, создаются приближенные теории, сводящие трехмерные уравнения теории
упругости анизотропного тела к двумерным уравнениям теории оболочек и пластин. Широкое применение в механике анизотропных пластин и оболочек получила классическая теория, разработанная сначала для изотропных однородных структур [2]-[3], [57], [58]. При такой постановке задачи отличие теории анизотропных пластин и оболочек от теории изотропных заключается только в соотношениях упругости. При этом для расчета пластин и оболочек применяются и аналитические методы, разработанные для однородных изотропных тонкостенных конструкций. Вопрос о погрешности этого подхода обсуждался в [4], [19]. Для ряда ортотропных объектов (прямоугольных и круглых пластин, цилиндрических и сферических оболочек), когда главные направления упругости материала совпадают с координатными, при определенных механических параметрах такой подход дает хорошие результаты [2], [19], [57]. Для пластин другой формы решение получить гораздо сложнее, так как необходимо удовлетворять граничным условиям на контурах, не совпадающих с координатными линиями. В [18] описан алгоритм построения приближенного решения для определения напряженно-деформированного состояния изотропных пластин произвольной формы. Дифференциальные уравнения в [18] представляются в полярной системе координат и удовлетворяются точно, а граничные условия - приближенно. Известны аналитические решения для жестко защемленных эллиптических однородных пластин.
Классическая теория была обобщена и на слоистые тонкостенные конструкции введением эффективных по толщине (приведенных) характеристик жесткости [3], [42]. В большинстве работ, посвященных исследованию напряженно-деформированного состояния слоистых структур, рассматриваются модели, в которых полагается, что контакт между смежными слоями является идеально жестким, и компоненты вектора перемещений остаются непрерывными по толщине. Однако в ряде случаев представляет интерес ослабленный контакт слоев. В работе [17] изучаются малые осесим-метричные деформации оболочек вращения из слоистого материала при наличии упругого проскальзывания по поверхности контакта между слоями. Расчет проведен для двуслойной цилиндрической оболочки. В монографии [44] рассмотрен ряд
задач о деформировании цилиндрических и сферических оболочек при идеальном проскальзывании слоев. В [107], [120] классический подход использован для решения задач об осесимметричном изгибе круглых изотропных пластин в случае, когда модуль упругости или толщина оболочки являются функциями радиальной координаты. Многочисленные результаты, полученные но классической теории анизотропных пластин, представлены в монографии С.Г. Лехницкого [57].
Однако дальнейшие исследования показали, что при рассмотрении некоторых прикладных задач классическая теория дает слишком грубые оценки и требует уточнения. К таким вопросам относятся, например, задачи о деформировании пластин средней толщины, особенно слоистых пластин, о концентрации напряжений около отверстий, о распространении упругих волн, о высокочастотных колебаниях. Классическая теория безраличная к соотношениям типа Ei/GiZ, ^/. и т.д. (г, к = х, у, Et, Ef., Giz — модули упругости и сдвига) и при сильной анизотропии Ej » Ek, Еі » Giz не дает корректные результаты.
В связи с этим появилось много уточненных теорий, построенных, как и классическая, методом гипотез о характере распределения перемещений, деформаций или напряжений по толщине оболочки, свободных однако от основной гипотезы классической теории - гипотезы недеформируемых нормалей. Все уточненные теории тем или иным способом учитывают деформацию сдвига. Широкое распространение в теории однослойных оболочек получила теория, основанная на гипотезе С.П.Тимошенко -гипотезе прямолинейного элемента [90], [79]. В монографии [79] последовательно изложены основы теории оболочек на базе этой гипотезы. Принято, что модуль сдвига для плоскостей нормальных к срединной поверхности независим от модуля Юнга в срединной поверхности, и, таким образом, фактически учтена трансверсальная изотропия материала оболочки. В ряде работ [42], [43] теорию, изложенную в [79], называют теорией трансверсально-изотропных оболочек.
Расчету многослойных пластин и оболочек посвящено большое число работ, которые можно подразделить на две группы. Отличительной чертой первой группы является принятие гипотез, характеризующих поведение всего пакета в целом. В этом
случае порядок системы уравнений не зависит от числа слоев. Для второй группы характерно то, что гипотезы формулируются для каждого слоя отдельно. Теории, основанные на гипотезе ломаной линии, применяемые для многослойных оболочек, представлены в работах Э.И. Григолюка [39]. В связи с тем, что линейное распределение перемещений по толщине не всегда согласуется с решением трехмерных задач, получили развитие и другие модели. Обзор работ по уточненным теориям пластин, основанным на задании распределения перемещений, содержится в работах [43], [113].
Развивались также модели теории оболочек и пластин, в которых задавались законы распределения касательных напряжений, согласованные с условиями нагру-жения лицевых поверхностей. Таким уточненным теориям анизотропных пластин и оболочек, посвящены монографии С.А. Амбарцумяна [2], [3]. Основная из теорий С.А. Амбарцумяна, названная общей уточненной теорией, основана на гипотезах Новожилова В.В. [73]: нормальное к срединной поверхности перемещение не изменяется по толщине, а касательные напряжения в плоскости, перпендикулярной поверхности пластины, изменяются по толщине пластины по квадратичному закону. Эта теория позволяет получить более точное значение нормальной к срединной поверхности составляющей вектора перемещений. В монографии [2] на основе общей уточненной теории представлены решения задач об изгибе прямоугольных ортотропных пластин и симметрично нагруженных круглых пластин при различных условиях опирання краев.
Новая уточненная итерационная теория анизотропных пластин, удобная для разработки алгоритмов численных решений краевых задач, представлена в монографии В.А. Родионовой, Б.Ф. Титаева, К.Ф. Черныха [85]. Предложенная теория позволяет построить модель деформации пластины, учитывающую поперечные сдвиги, поперечные нормальные напряжения, повороты волокон, а также изменение их длины.
В работе [43] представлен обзор исследований, посвященных физически и геометрически линейным анизотропным неоднородным оболочкам. Рассматриваются особенности, которыми обладают неоднородности, вызванные различными способами изготовления и температурными воздействиями. Проведено сравнение решений, по-
лученных на основе некоторых уточненных теорий и в пространственной постановке.
При решении задач о напряженно-деформированном состоянии конструкций, состоящих и из массивных частей и из тонкостенных элементов, также не всегда удобно везде применять трехмерные уравнения теории упругости. Работа [46] посвящена построению гетерогенной линейной математической модели теории упругости, то есть теории, в которой одновременно используются модели разной размерности. Общие уравнения теории упругости используются для более массивных составных частей конструкции, для тонкостенных областей используется теория оболочек типа Тимошенко.
Вопросам нелинейной теории оболочек посвящены труды И.И. Воровича, А.С. Вольмира, Э.И. Григолюка, К.З. Галимова, К.Ф. Черныха, С.А. Кабрица, и др.
В работах [53], [95] предложен вариант нелинейных уравнений К.Ф. Черныха, учитывающий "кинематическое"обжатие. Еще один вариант нелинейных уравнений, учитывающих поперечные сдвиги по модели Тимошенко, представлен в работе [52]. Анализ осесимметричного деформирования полусферы, находящейся под действием внешнего давления, проведен в работе [51] на основе моделей, предложенных в [95], [52]. Отмечается, что обе теории дают близкие результаты на начальном участке диаграммы деформирования и на участке зеркального выворачивания и дают существенно разные результаты в "критической"области.
Различные подходы к исследованию нелинейных задач о деформировании тонкостенных конструкций произвольного вида обсуждаются в монографии [40]. Кроме квадратичных вариантов нелинейных уравнений пластин и пологих оболочек, представлены варианты квадратичных уравнений непологих оболочек Э.И. Григолюка, в частности вариант теории непологих многослойных анизотропных оболочек произвольного вида. Методы решения геометрически нелинейных задач рассматривались в работах Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Мяченкова В.И., Григорьева И.В. [42] -[46].
Как уже отмечалось, значительное число задач о напряженно-деформированном состоянии анизотропных неоднородных оболочек было решено с использованием ги-
нотез о характере распределения напряжений, деформаций или перемещений по толщине. Теории, построенные методом гипотез, называют иногда [2], [43] полуобратным методом теории упругости. Они являются наглядными и часто позволяют получить простые разрешающие соотношения. Однако этот метод не обладает возможностью построения процесса для уточнения получаемых результатов и иногда возникают трудности при оценке погрешности принятых аппроксимаций.
Следует отметить, что метод гипотез - не единственный способ сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории оболочек и пластин.
Метод асимптотического интегрирования, использующий малость относительной толщины оболочки, не только приводит к приближенным двумерным уравнениям, но и дает асимптотический порядок их погрешности. Для линейных конструкций этот метод успешно использовался во многих работах ([34]-[36] и др.), подробно данный метод представлен в монографии А.Л. Гольденвейзера [34]. Для нелинейных задач применение метода асимптотического интегрирования наталкивается на существенные трудности. В работе П.Е. Товстика [133] при частных предположениях дается вывод двумерных нелинейных уравнений теории оболочек асимптотическим методом. Материал оболочки предполагается нелинейно упругим и изотропным.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Исследовано напряженно-деформированное состояние неоднородной трансвер-сально-изотрошюй круглой пластины с центральным отверстием при различных законах изменения модуля упругости. В зависимости от неоднородности пластины по радиусу и углу получены асимппотические соотношения для прогиба пластины. Показано, что увеличение неоднородности решетчатой пластины по радиусу и углу увеличивает предрасположенность к развитию глаукоматозного прогиба, способствует изменению поля зрения характерному для больных глаукомой.
Для неоднородной изотропной пластины получено значение критической нагрузки, при которой возможна бифуркация в неосесимметричное состояние. Оценено влияние отверстия в центре пластины на величину критической нагрузки. Увеличение внутриглазного давления при глаукоме может привести к образованию отеков-складок по краю пластины, вызванных потерей устойчивости симметричных форм равновесия.
Показано влияние начальной кривизны решетчатой пластины на формирование т.н. "застойного диска"при увеличении внутричерепного давления.
4. Рассмотрено влияние неоднородности по радиусу транверсально-изотропной
пластины на ее собственные частоты. Показано, что неоднородность пластины ока
зывает существенное влияние на первые частоты колебания. При этом частота коле
баний неоднородной пластины ниже частоты колебаний "эквивалентной"однородной
пластины.
Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, включающего 141 наименование. Работа содержит 110 страниц, 31 рисунка и 14 таблиц. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9], [10], [31], [32], [93], [100].
Результаты работы представлялись на Всероссийской научной конференции по механике "Вторые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 2000), "Четвертые Поля-ховские чтения"(Санкт-Петербург, 2006), II-IV семинарах по биомеханике глаза в Московском НИИ глазных болезней им. Гельмгольца. (2001, 2002, 2004 г.), на 13 ой Европейской конференции по биомеханике (Вроцлав, 2002).
Оссесимметричные деформации круглых пластин
При принятых гипотезах деформирования (1.3) эти условия не могут быть удовлетворены точно, т.е. в каждой точке краевой поверхности. В связи с этим в уточненной теории анизотропных пластин удовлетворяют мсмягченным"граничным условиям, то есть предполагается, что условия (1.10) выполняются лишь для z = ± о, где 0 ZQ /г/2. Тогда, если мы рассматриваем круглую пластину радиуса R, то условия жесткой заделки для систем (1.7), (1.9) имеют вид при г = R Условие (1.11) с учетом (1.3) имеет вид
Край г = 5 можно положить свободным, т.к. ткань зрительного нерва, проходящего через центр пластинки, существенно мягче склеральной ткани. Тогда при г = S справедливы граничные условия:
Рассмотрим случай, когда отверстия, через которые проходят пучки волокон зрительного нерва, равномерно распределены по углу. Тогда можно считать, что модуль упругости пластины не зависит от угла 0, и пластина будет деформироваться симметрично. При этом v = 0, ф — О, уравнения относительно u(r), w(r), /?(г) имеют вид: где Еср - некоторое усредненное значение модуля упругости. При переходе в уравнениях (1.14) к этим величинам вид уравнений не изменится, только вместо размерных величин будут стоять величины безразмерные (с чертой). Граничные условия (1.15), если положить _ _ 2zo _ 2ZQ будут иметь вид dw (ph2 ( zV\ г-1. «-0, ».0, -- + 1- =0, г- „-0. + = - 2,, (1.17) аг г Е2 d2w и dw h2 fdcp tp\ 6 l/il + u) dr2 r dr 10G \dr r) bh E2 В дальнейшем будем рассматривать систему уравнений и граничные условия в безразмерном виде, опуская черту.
Если поры расположены равномерно по всей пластине, то пластину можно считать однородной, и модуль упругости постоянным (Е\(г) = Еср, G (r) = G cp). Тогда система (1.14) примет вид:
При малых 5 значения нормального прогиба, найденные для пластинок с отверстием в центре и без него, различаются незначительно. Так, при 8 = 0.05, К\ = 0.035 (Ecp/G cp = 5, h = 0.267, и = 0.4) разность ws — Wen не превышает 2.2%. При этом в окрестности г = 5 щ больше, а в окрестности края при г г (г = 0.594) меньше соответствующего прогиба wcn. С ростом 5 точка т = г смещается к центру пластинки, т.е. уменьшается область пластины, в которой прогиб пластины с отверстием больше прогиба сплошной пластины. Кроме того, с увеличением v точка г существенно сдвигается к краю г = 1. В таблице (1.2) представлены значения г при различных параметрах
Для большинства глаз характерно увеличение числа пор и их диаметра при движении от центра к краю решетчатой пластины [20], [22]-[25], [47], [71]. В этом случае можно предположить, что модуль упругости в плоскости изотропии убывает к краю пластины.
Расчет напряженно-деформированного состояния решетчатой пластинки по уточненной итерационной теории
В таблицах 1.5-1.7 приведены значения максимального прогиба пластинки, полученные по линейной теории и нелинейной теории для различных вариантов граничных условий. Предполагалось, что E\[r) = Eie qr R, q — 4, Ei(r)/G (r) = 5, и = 0.4.
Разница между прогибами, полученными по линейной и нелинейной теории при условии жесткой заделки края, для пластинки радиуса R = 0.75 мм и толщиной h = 0.2 мм и радиусе отверстия в центре 0.03Д не превосходит 1% при р = 20 мм рт.ст. pмм рт.ст. 5/R = 0.03 5/R = 0.1
Значения максимального прогиба пластины (R = 0.75 мм, h = 0.2 мм) и увеличивается до 20% при р = 90 мм рт.ст. (2.6% и 18% соответственно при 5/R = 0.1). Если R = 1мм, то значения прогиба, вычисленные по линейной теории, больше значений прогиба по нелинейной теории на 18% уже для давления р = 30 мм рт.ст.. Для тонкой пластинки h = 0.1мм прогиб имеет порядок толщины пластинки уже при нормальном давлении (10 — 20 мм рт.ст.). Линейная теория, в этом случае, дает существенно завышенные значения прогиба.
Зависимость "нагрузка-прогиб"для "толстой" (Я = 0.75 мм, h = 0.2 мм) пластинки (слева) и "тонкой"(Я = 0.1мм, h = 0.1мм) пластинки (справа) при 8/R = 0.03. h = 0.2 мм; на 2.5% для пластинки радиуса R = 1мм и толщиной h = 0.2 мм; - при р = 90мм рт.ст.: на 14% для пластинки радиуса R = 0.75 мм и толщиной h = 0.2 мм; на 34% для пластинки радиуса Я = 1мм и толщиной h = 0.2 мм; - для пластинки толщиной h = 0.1мм. результаты различаются на 35% уже при давлении 10 мм рт.ст.
Расчет напряженно-деформированного состояния решетчатой пластинки по уточненной итерационной теории Рассмотрим задачу о напряженно-деформированном состоянии решетчатой пластинки в рамках уточненной итеррационной теории деформаций анизотропных пластин, предложенной в работе В.А.Родионовой, Б.Ф.Титаева, К.Ф.Черныха [85] и основанной на следующих гипотезах: поперечные касательные и нормальное напряоїсеиие распределены по толщине оболочки по закону квадратной и кубической параболы соответственно. тангенциальные и нормальная составляющие вектора перемещения распределены по толщине оболочки по закону полинома соответственно третьей и второй степени.
Уточненная итерационная теория позволяет учесть повороты волокон, их искривление и геодезическое кручение, а также изменение длины в процессе деформации.
Очевидно, что u(r), и (г) - компоненты вектора перемещений срединной поверхности пластины, 7з(г), Лг) характеризуют длины нормали к срединной поверхности. 7i(г) - Угол поверота нормали в плоскости (г, z), а функции #i(r) и y?i(r) характеризуют нормальные кривизны в плоскости (г, z) волокна, которое до деформации было перпендикулярно к срединной поверхности пластины.
Уравнения и соотношения для определения напряженно-деформированного состояния пластины значительно упрощаются, если не учитывать изменение длины нормали к срединной поверхности, т.е. полагать 7з = 0» з- В этом случае получаем теорию, основанную на сдвиговой модели СП. Тимошенко. Если при этом в качестве искомых функций использовать перемещения и, v, и и функции р, -ф с точностью до множителя совпадающие с перезывающими силами, то получаем теорию С.А. Амбарцумяна.
В таблицах 1.8, 1.9 представлены максимальные значения прогиба пластинки, полученные по линейной (столбец 1) и нелинейной теориям С.А. Амбарцумяна в случае жесткой заделки края (столбец 2а), в случае, когда край пластины может свободно перемещаться в радиальном направлении (столбец 2Ь), и по уточненной итерационной теории (столбец 3) [85] для пластинок R = 0.75 мм, h = 0.2 мм, 8/R = 0.03, Ех(г) = Еге-9Г/Я, q = А, Ёх = 8.86 ЕЕХ/С = 5, и = 0.4) и Я = 1мм, h = 0.2 мм, J/Л = 0.03 соответственно.
Графики "нагрузка-прогиб"для этих же пластинок представлены на рисунках 1.19, 1.20 При малых значениях ВГД нелинейная теория С.А. Амбарцумяна дает результаты выше, чем линейная уточненная теория. Для пластинки R = 0.75 мм, h — 0.2 мм при ВГД 10 мм рт.ст. нелинейная теория завышает значения прогиба по сравнению с уточненной теорией на 10% как для жесткой заделки края, так и при условии свободного перемещения. Для пластинки R = 1мм, h = 0.2 мм это различие не превышает 1%. При ВГД 100 мм рт.ст. данные столбца 2Ь превышают данные столбца 3 на 5% (таблица 1.8).
При давлении равном 60 мм рт.ст. значения столбца 2а меньше, значений, полученных по уточненной теории на 0.5% (таблица 1.8), и на 13% при ВГД 100 мм рт.ст. 0.05 0Л 0.15 W Для пластины R = 1мм, h = 0.2 мм разность результатов, представленных в столбцах 2а и 3, составляет 45%.
На напряженно-деформированное состояние анизотропной пластины значительное влияние оказывает отношение Е\(г)/С(т), и с ростом Е\[С это влияние растет.
В таблице 1.10 и на рисунке 1.21 представлены значения прогиба при р = 20 мм рт.ст. в центре пластинки, полученные по уточненной линейной теории [85] при разных i(r)/G (r) (Я = 0.75мм, h = 0.2MM8/R = 0.1мм, и = 0.4).
Видно, что зависимость "сдвиговая жесткость-прогиб "почти линейная. Проведенные расчеты показывают, что наиболее существенными являются деформации сдвига веритикального элемента. С возрастанием внутриглазного давления нервные волокна подвергаются сдавливанию и сдвигу, причем деформации сдвига на два порядка больше, чем деформации сдавливания. В центре пластины деформации незначительны, они на два-три порядка меньше, чем на краю. Наибольшие деформации
Известно [47], [70], [72], что атрофия аксонов зрительного нерва происходит вначале только в узкой зоне по наружному краю РП и часто связана с образованием складок и появлением в этой области отека диска зрительного нерва. Нестеров А.П. отмечает [72], что "диск зрительного нерва у больных глаукомой может характеризоваться возникновением мелких линейных кровоизлияний, чаще расположенных по перифи-рии или по краю диска". Причиной этих явлений может быть локальная потеря устойчивости решетчатой пластины.
При исследовании больших прогибов круговых пластин и пологих оболочек приходится сталкиваться с образованием складок, вызванных потерей устойчивости осе-симметричной формы равновесия [63], [78], [105]. На рисунке 2.2 представлены в безразмерном виде графики окружных и радиальных усилий однородной трансверсально-изотропной пластинки, находящейся под действием нормального давления, найденные в главе 1, п. 1.4. Видно, что усилие Те в окрестности края является сжимающим и может приводить к потере устойчивости.
Потеря устойчивости однородной пластины с отверстием в центре
Таким образом, исследуя полученные зависимости перемещения центра пластинки от давления, получаем, что при малых давлениях пластинка имеет только симметричные формы равновесия. Затем при безразмерных давлении и прогибе в центре пластины, соответственно равным происходит бифуркация в неосесимметричное состояние с образованием 8 волн на краю пластины.
Безразмерные величины связаны с размерные формулами (2.5). Для пластинки радиуса R = 1мм, толщиной h = 0.1мм и модулем упругости Е = 1.43 106 мм рт.ст. безразмерное критическое давление соответствует 110,3 КПа или 827,62 мм рт.ст.. Это не реальные значения для внугриглазного давления, однако решетчатая пластина глаза часто имеет отверстие в центре и является неоднородной пластиной, что может привести к снижению критической нагрузки.
В работах [22], [70] отмечается, что, в центре решетчатой пластины имеется отверстие. Рассмотрим влияние этого отверстия на величину критической нагрузки. Внутренний край пластины предполагается свободным. Безразмерные уравнения деформации имеют тот же вид (2.6), а к граничным условия (2.7) добавляется условие на краю г = 8:
Аналогично случаю пластины без отверстия, получим систему 2-х уравнений для определения А, В, подобную (2.10).
В таблице 2.1 приведены безразмерные значения критической нагрузки р, прогиба в центре пластины f, числа волн п, образующихся по краю пластины при переходе в неосесимметричное состояние, для замкнутой пластины (5 = 0) и при различных значениях радиуса центрального отверстия S.
При малых радиусах отверстия в центре критическая нагрузка Р%р, соответствующая переходу в неосесимметричное состояние, меньше нагрузки, полученной для сплошной пластины Р%L. При этом при изменении радиуса отверстия от 0 до 5 = 0. нагрузка Р%р убывает, при дальнейшем увеличении отверстия в центре - возрастает, и для 5 = 0.2 / Рр.
В реальных решетчатых пластинах радиус отверстия в центре лежит в пределах 0.1Я-0.15Я ([137]). Для таких пластин переход в неосесимметричное состояние происходит при нагрузке меньшей, чем для сплошной пластины.
Известно, что при движение от центра к краю, модуль упругости решетчатой пластинки уменьшается [20], [22]-[25], [47], [71]. Степень неоднородности решетчатых пластинок в различных глазах различна. В связи с этим представляет интерес оценить влияние неоднородности на величину критической нагрузки, соответствующей прощелкиванию в неосесимметричное состояние.
Безразмерные значения критической нагрузки р, прогиба в центре пластины , числа волн п, при которых происходит бифуркация в пеосесимметричное состояние, в случае, когда модуль упругости пластины меняется по линейному закону /(г) = 1 — єг, приведены в таблице 2.2,
Видно, что, чем быстрее убывает модуль упругости пластины, тем ниже становится величина критической нагрузки (рис. 2.2). Учитывая связь размерных и безразмерных величин (2.5), находим, что безразмерное критическое давление 4.46 для пластинки радиуса R = 1 мм, толщиной h = 0.1 мм соответствует 5612 Па или 42.1 мм рт.ст.
Таким образом, видно, что одной из возможных причин образования складок по краю решетчатой пластины глаза может быть потеря устойчивости осесимметричной формы равновесия.
В монографии Волкова В.В. [28] автор отмечает, что "... как проминацию ДЗН в полость глаза, так и прогибание его поверхности в обратном направление, т.е. из глаза, ... можно рассматривать в виде функции градиента давления на уровне опорной структуры ДЗН, его решетчатой мембраны". Решетчатая пластина, будучи продолжением склеральной оболочки глаза, не является абсолютно плоской. В связи с этим представляет интерес изучение влияния начальной кривизны решетчатой пластины на ее деформацию и устойчивость.
Рассмотрим сначала задачу об осесимметричной деформации пологой изотропной однородной сферической панели постоянной толщины h, радиуса Rcj и радиуса основания R, нагруженной равномерно распределенным внешним давлением.
Система уравнений осесимметричной деформации относительно функции нормального прогиба w(r) и функции усилий F(r) имеет вид [29]:
Уравнения (3.10) позволяют построить график "нагрузка - стрела прогиба"для панелей, имеющих различную начальную кривизну.
Видно (рис. 3.1), что для весьма пологих панелей (H/h 1.5), где Н - начальная стрела подъема панели, график "нагрузка-стрела прогиба", монотонно возрастает. Для панелей большей кривизны появляется предельная точка и становится возможным потеря устойчивости: "прощелкивание"оболочки в новое осесимметричпое состояние.
Решетчатая пластина является весьма пологой (отношение Я/h 1). При уменьшении градиента давлений на уровне решетчатой пластины (увеличении внутричерепного давления) она постепенно прогибается внутрь, что характеризует начальную стадию развития застойного диска, и далее принимает вогнутую форму - "продавливается "внутрь глаза, описывая резко выраженный застойный диск (рисунок 3.2).
Собственные частоты колебований неоднородных круглых пластин
На протяжении многих лет любое, по сравнению со средней нормой, повышение ВГД, если не находили для него непосредственных причин в глазу, называли первичной глаукомой. При этом такие наиболее важные проявления глаукомы, как специфическая дистрофия и атрофия диска зрительного нерва с образованием экскавации (прогиба), оставались без внимания. Однако, в настоящее время отмечается часто неопределенный характер симптомов в начальной стадии заболевания, существование доброкачественной офтальмогипертензии, с одной стороны, и глаукомы с нормальным давлением - с другой [72]. Доброкачественной офтальмогипертензией офтальмологи называют превышение нормативных показателей ВГД, не приводящее к нарушениям в структуре и функциях зрительного нерва. Как отмечено в [72], при гипертензиях, которые еще не приняли характер глаукоматозных, решетчатая пластинка хорошо противостоит гипербарической нагрузке изнутри.
Придерживаясь механического генезиса глаукомы, В.В. Волков [23]- [28] предложил концепцию происхождения глаукомы псевдонормалыюго давления (при ВГД, не выходящим за пределы статистической нормы). Он рассматривает оба глазных яблока, зрительные нервы и полость мозгового черепа как единую систему. Если отношение внутриглазного давления к внутричерепному давлению увеличивается по сравнению с нормальным для конкретного пациента значением [20], [22] (а это может происходить не только вследствие увеличения ВГД, но и за счет уменьшения ВЧД), то решетчатая пластинка прогибается. Вместе с нею начинает как бы "выдавливать-ся"из глазного яблока диск зрительного нерва (ДЗН). Появляется так называемая экскавация зрительного нерва. При повышении ВЧД или при глазной гипотонии (например, после травмы или операции [22]) образуется так называемый застойный ДЗН, решетчатая пластинка деформируется внутрь глазного яблока.
По определению В.В.Волкова [24], глаукома - это прежде всего специфическое нарушение зрительных функций от сдавления нервных волоки, обусловленного выпячиванием решетчатой мембраны из полости глаза. "... Глаукоматозная атрофия отличается от всех других наличием вдавливания на диске за счет действительного выпучивания решетчатой пластинки из глаз ( экскавации диска зрительного нерва) ».
Многочисленные экспериментальные данные [22], [47], [69], [70] говорят о том, что при повышеннии ВГД такие явления, как отечность зрительно - нервных аксонов, их дезорганизация, остановка аксоплазматического тока и др., ведущие за собой атрофию (разрушение) зрительного нерва и приводящие к дефектам поля зрения, происходят именно в области решетчатой пластинки [22]. Кроме того, как отмечают офтальмологи [22], экскавация диска свидетельствует о переходе гипертензии в глаукому часто раньше, чем периметрические параметры, т.е. первые признаки гла-укоматозной экскавации диска зрительного нерва, как правило, появляются раньше дефектов в поле зрения. Прогрессирование экскавации - ее размеров, глубины, изменение конфигурации - также нередко предшествует увеличению выявленных ранее дефектов поля зрения. Таким образом, начальные изменения диска зрительного нерва имеют существенное значение для диагностики глаукомы, а их динамика важна для оценки эффективности проводимой терапии, а ранняя диагностика и адекватное лечение глаукомы остаются для врача и в настоящее время одной из самых трудных проблем [71]. В своих исследованиях H.Quigley, E.Addicks [125], [127] предположили, что предпосылкой к появлению экскавации служат не особенности строения сосудистой сети диска, а неоднородность решетчатой пластинки глаза на разных участках.
Все это делает важным изучение напряженно - деформированного состояния решетчатой пластинки глаза при изменении внутриглазного давления, изучение индивидуальных особенностей строения решетчатых пластин, которые могут увеличить предрасположенность к глаукоматозным повреждениям.
Изучению деформации решетчатой пластины на основе экспериментальных данных и клинических наблюдений посвящены работы [125]-[127], [130], [140], [141]. В [140] на основе экспериментальных данных изучалось влияние ВГД на деформацию решетчатой пластины. По мнению авторов, именно возникающие в пластине деформации сдвига лежат в основе механизма повреждения волокон зрительного нерва.
Представляет также интерес построение математических моделей, адекватно описывающих поведение решетчатой пластинки при изменении ВГД. В работе Н. Dongi и R. Zeqin "A biomathematical model for presuredependent lamina cribrosa behavior", опубликованной в журнале Journal of Biomechanics, 1999, решетчатая пластинка глаза моделировалась однородной и изотропной пластиной. Авторы предприняли попытку учесть влияние на поведение пластинки растягивающей силы, действующей со стороны склеральной оболочки глаза: на границе решетчатой пластинки приравняются напряжения, действующие в этой пластинке и склеральной оболочке глаза, в то время как следует приравнивать усилия, так как задача решается в двумерной постановке.
В [54] решетчатая пластинка также моделировалась однородной изотропной пластиной. Предполагалось, что в пластине имеются отверстия круговой формы. Проведено сравнение результатов, полученных численными методами и с помощью эксперимента.
В работах [106], [137] авторы ставят своей задачей оценить влияние различных параметров (геометрических, механических, строения РП, свойств окружающих РП тканей) на напряженно-деформированное состояние РП. Для исследования используется метод конечных элементов, однако модели РП были различны: в [137] РП моделировалась изотропной пластиной с отверстиями, заполненными веществом с модулем упругости на 2-3 порядка меньшим, чем модуль упругости РП, в [106] свойства РП "размазывались"по ее поверхности - в разных точках поверхности, задавались различные значения модуля упругости, аппроксимируя неоднородность пластины.
