Содержание к диссертации
Введение
1 Мартингалы со смешанной нормой 30
1.1 Общие определения и факты 30
1.1.1 Смешанная норма мартингалов относительно произвольной возрастающей последовательности а -алгебр 30
1.1.2 Теорема сходимости мартингалов 37
1.1.3 Свойства аппроксимации в случае бесконечно больших показателей суммируемости 41
1.2 Случай специальной хааровской фильтрации 45
1.2.1 Свойства аппроксимации в случае бесконечно больших показателях суммируемости (продолжение) 45
1.2.2 Характеризация пространств Харди, ВМО и VMO 54
1.3 Случай диадической фильтрации 64
1.3.1 Оценки стохастических экспонент 64
1.3.2 Характеризация в терминах несимметричных пространств последовательностей 72
1.4 Случай потока цилиндрических а -алгебр 80
1.4.1 Пространства со смешанной нормой на декартовом произведении вероятностных пространств 80
1.4.2 Реализация диадической фильтрации в виде декартова произведения 86
1.5 Пространства Lp на бесконечномерном торе 89
1.5.1 Свойства сходимости. Неравенство Юнга. Критерий компактности 89
1.5.2 Оператор Фурье в пространствах Lp (Т) 93
1.5.3 Обобщенные функции (распределения) на бесконечномерном торе 96
1.5.4 Винеровский процесс на Т 100
1.5.5 Гармонические функции на областях в Т 102
1.5.6 Гармонические функции с мартингальной смешанной нормой 111
2 Базисы и операторы в пространствах Lp 118
2.1 Операторы условных матожиданий в пространст вах Lp 118
2.1.1 Связь между пространствами Lp{T) и операторами условного матожидания Е7 .118
2.1.2 Структурные результаты о подпространствах Lp{T) 124
2.2 Теорема Пелчинского для пространств Lp 130
2.2.1 Формулировка теоремы и вспомогательные результаты 130
2.2.2 Доказательство теоремы Пелчинского 134
2.3 Обобщение результатов, справедливых для обычных пространств Lp 138
2.3.1 Ортонормированные системы в пространствах Lp 138
2.3.2 Обобщенные системы Хаара в пространствах Lp со смешанной нормой 147
3 Lp-теория на бесконечномерном торе 153
3.1 Диффузионные процессы на группе Т, функции Литтлвуда-Пэли и операторы типа Рисса 153
3.1.1 Формы Дирихле и симметричные процессы Ханта 153
3.1.2 Неравенства Литтлвуда-Пэли и допустимые операторы 163
3.1.3 Применение к исследованию дифференциальных уравнений 171
3.1.4 Вторая формула Берлинга-Дени на Т .175
3.1.5 Винеровский процесс с отражением и гармонические функции с конечным интегралом энергии 178
3.2 Некоторые обобщения для пространств а,ц 185
3.2.1 Определение и простейшие факты 185
3.2.2 Вопрос двойственности 191
3.2.3 Пространства мартингалов, ограниченных в норме Ca,fj. 194
3.2.4 Пространства а)М(Г) 200
4 Пространства Харди и ВМО 207
4.1 Мультипликаторная теория пространств Харди сосмешанной нормой на бесконечномерном торе 207
4.1.1 Пространства Харди Нр. Двойственность 207
4.1.2 Обобщенные уравнения Коши-Римана 218
4.1.3 Пространства Харди гармонических функций224
4.1.4 Примеры мультипликаторов. Условие (S) 231
4.2 Пространства ВМО (Т). Характеризация интеграла Пуассона 239
4.2.1 Вероятностное пространство Харди Н 239
4.2.2 Пространство ВМО и различные его характеристики 243
4.2.3 Характеризация интеграла Пуассона в пространстве ВМ.О 246
4.2.4 Теорема двойственности и некоторые ее следствия 255
Библиография 285
- Смешанная норма мартингалов относительно произвольной возрастающей последовательности а -алгебр
- Случай потока цилиндрических а -алгебр
- Гармонические функции на областях в Т
- Доказательство теоремы Пелчинского
Введение к работе
В предисловии к избранным трудам конференции, прошедшей 17-23 мая 1970 года в Оберфольфахе (Lecture Notes in Math., 190, 1971), был поставлен вопрос: "Имеют ли право мартингалы, проявившие себя как мощное техническое средство, сами стать объектом исследования в теории вероятностей?". Дальнейшее развитие теории случайных процессов, несомненно, доказало правильность позитивного ответа, данного на этот вопрос всеми докладчиками упомянутой конференции, среди которых значились такие имена, как D. Burkholder, С. Doleans-Dade, R. Gundy, В. Knight, К. Krickeberg, P.A.Meyer, М. Rao, Н. Rost, М. Silverstein, D. Stroock, S.R.S. Waradhan и др. Все они получили значительные результаты в области теории мартингалов и предъявили многочисленные применения этой теории к дифференциальным уравнениям, функциональному анализу, гармоническому анализу, теории функций, теории потенциала, ортогональным рядам и т.д. Среди отечественных математиков, внесших выдающийся вклад в развитие теории мартингалов и стохастического анализа в целом, следует выделить А.Н. Ширяева и его учеников, многие из которых успешно применяют полученные результаты в фи-
нансовой и страховой математике, математической статистике, в теории стохастических дифференциальных уравнений и других областях математики.
Настоящая диссертация посвящена одному из разделов теории мартингалов — пространствам мартингалов и их применению к некоторым проблемам функционального анализа, гармонического анализа и теории потенциала. Довольно полно теория пространств мартингалов с дискретным временем изложена в монографии Р. Лонга "Мартингальные пространства и неравенства" [71]. В ней подробно исследуются пространства Харди Нр, р > 0, различные модификации пространства ВМО, пространства Ор-лича Ьф. В данной диссертации вводятся и изучаются пространства Lp мартингалов со смешанной нормой, которые, с одной стороны, идейно близки к обычным Lp-пространствам, но, с другой стороны, так же, как и пространства Hi и ВМО, не являются симметричными пространствами, что усложняет работу с функциями распределения различных функционалов, связанных с мартингалами.
Понятие смешанной нормы функции от бесконечного числа переменных, впервые введенное в [45], было перенесено в статье [13] на случайные величины (св.), определенные на счетном декартовом произведении вероятностных пространств, и с этой точки зрения использовалось в последующих работах [7], [15], [41], [46], [56], [52]. Именно, если (fi*, Ль A)jb=i — счетный набор
вероятностных пространств,
оо оо оо
к=1 к=1 А=1
/ — интегрируемая св. на (О, Л, Р), а р = (рі,рг? ,Рп-> ) — бесконечномерный вектор (1 < рл < оо), то смешанная норма ||/||р определялась так: рассматривался мартингал /n = E[f \ Вп], где Вп — <7-алгебра цилиндрических множеств из (Q, Л) с основаниями в ( П Па» <8> Д* і » и полагалось: \fc=i A=i /
ll/||p = sup||/n||Pl,P2 р„
(см. формулу (1.52) в тексте диссертации). При этом, так как /п зависит только от п первых переменных, то ||/n||pi,p2,...,p» понималась как классическая смешанная норма (см., например, одну из первых статей по смешанной норме [58], либо фундаментальную монографию О.В. Бесова, В.П. Ильина и СМ. Никольского [17]), только с измененным порядком интегрирования: например, если п = 2 и pi,p2 < со, то
г-
\Ш\Рг,Рг = (/(/ 1/2 («ь«а) № М f*dP, (Wl)
Итак, формула (1.52) определяла смешанную норму мартингала (),/„, 0n,P) ,где ПиВ„ имели структуру декартова произведения. В докладе [81] (подробное изложение содержится в [38]) мы распространили понятие смешанной нормы на любой мартингал / = (fniFntP) } определенный на произвольном стохастическом базисе (Oj-Fn, Л,Р), ^о = {^}0}« Обобщенное определение
выглядит так: полагается
р := sup
I/P
где выражение вида ||<7І|Р)^г есть f-EjJfl'plT7]) , если р < со, и limt ІІРІІр,^, если р = оо.
Кратко изложим основные результаты первых двух глав настоящей диссертации, которые преимущественно посвящены пространствам мартингалов со смешанной нормой.
В главе 1
введены и с применением теории идеальных пространств подробно изучены пространства Lp равномерно интегрируемых мартингалов со смешанной нормой; установлены связи с классической концепцией смешанной нормы (пункт 1.1.1);
изучены свойства сходимости в пространства Lp при различном асимптотическом поведении бесконечномерного вектора р показателей суммируемости; в частности, доказана теорема сходимости мартингалов в смешанной норме (см. пункты 1.1.2,1.1.3, ??);
для специальной хааровской фильтрации (см. определение 1.2.1) получены результаты типа "теоремы вложения" при близких к бесконечности показателях суммируемости, а также даны полные характеризации мартингальных пространств Харди, ВМО и VMO (см. пункты 1.2.1, 1.2.2);
»
*
для диадической фильтрации получен критерий конечности
смешанных норм экспоненциальных мартингалов в терми
нах норм несимметричных пространств последовательнос
тей (см. 1.3);
в случае цилиндрической фильтрации исследованы вопросы
» геометрии пространства Lp (как банахова пространства) и,
в частности, доказаны теоремы Рисса, Радона и теорема о равномерной выпуклости (см. 1.4);
для бесконечномерного тора изучены свойства гармоничес
ких продолжений функций из Ьр(Т)) а также доказана
теорема о характеризации интеграла Пуассона (см.1.5).
В главе 2
получены результаты об ограниченности оператора услов-
* ного математического ожидания в Lp; получены структур
ные теоремы о подпространствах Lp (см. 2.1);
доказано обобщение теоремы Пелчинского об отсутствии безусловного базиса в пространствах Lp с бесконечно близкими к единице показателями суммируемости (см. 2.2);
изучены некоторые свойства ортонормированных систем в Lp; получен критерий сходимости рядов в Lp при почти
» всех выборах знаков; получена оценка функции Пэли в сме-
шанной норме (см. пункт 2.3.1);
получена теорема базисности обобщенной системы Хаара в
пространстве Lp (см. пункт 2.3.2).
#
Вернемся теперь к пространствам Харди и В МО . Исследования этих пространств занимают в настоящее время важное место в теории случайных процессов и теории функций. Началом теории пространств Харди Нр считаются 1920-1930 гг., когда появились работы М. Рисса, Харди и Литтлвуда, А.Н. Колмогорова. В дальнейшем в развитии этой теории приняло участие довольно много авторов, причем применяемые методы были чисто аналитические (исторический обзор имеется в книге К.Е. Пе-терсена [87]). В конце 60-х - начале 70-х годов была открыта связь между пространством Н\ и пространством ВМО, впервые введенным Джоном и Ниренбергом. Именно, было показано, что двойственным к пространству Н\, состоящему из функций, определенных на Л71, является пространство ВМО (Фефферман, Стейн). В 1977 г. этот факт был обобщен Койфманом и Вейсом на произвольные однородные пространства, причем классы Харди Нр, р > 0, определялись с помощью введенного этими авторами понятия атома.
С другой стороны, в работах Буркхольдера, Дэвиса, Ганди, Гарсия, Херца, Мейера, а также работах ряда других зарубежных авторов были введены в рассмотрение мартингальные пространства Нр и ВМО, изучены их свойства и доказана теорема двойственности Hi и ВМО. После этого возник вопрос о применении вероятностных результатов, природа которых весьма обща, к изучению уже известных, а также новых аналитических пространств Нр и ВМО (Струк и Варадан, 1974; П.А. Мей-ер, 1977; К.Е. Петерсен, 1977). Этот вопрос сохранил свою ак-
туальность до настоящего времени. В таком направлении проводятся исследования в четвертой главе данной диссертации, однако, в отличие от вышеперечисленных работ, в ней рассматриваются пространства Харди и ВМО, состоящие из функций, зависящих от бесконечного числа переменных, а также соответствующие пространства мартингалов. Именно, в качестве фазового пространства выбирается компактная абелева группа Т — счетное произведение одномерных торов Т.
Основные результаты главы 4 настоящей работы таковы:
определены мультипликаторные пространства Харди со смешанной нормой и дано описание сопряженных к ним пространств в терминах функций "ВМО со смешанной нормой" , построенных с помощью сопряженных мультипликаторов (см. пункт 4.1.1);
с применением обобщенных уравнений Коши-Римана введены классы Харди гармонических функций бесконечного числа переменных; получены достаточные условия эквивалентности их норм (см. пункты 4.1.2 и 4.1.3);
для пространства ВМО, снабженного нормой Гарсия, доказан критерий сходимости интеграла Пуассона от функции из ВМО к самой этой функции, а также получены мар-тингальная и потенциальная характеризация пространства ВМО (см. пункты 4.2.1-4.2.3);
при некоторых условиях на мультипликаторы доказана теорема двойственности Н[ = ВМО, когда ВМО снабжено
нормой Гарсия (см. пункт 4.2.4).
Смешанная норма мартингалов относительно произвольной возрастающей последовательности а -алгебр
Пусть (Й,Д, Р) —вероятностное пространство, Т — сг-подалгебра а -алгебры Л, / — св. на (ft, Д, Р), 1 р со. Введем "условную" норму: 11/11 := Til/Ik? (II f\\p,F возрастает в силу неравенства Йенсена; предел вычисляется по любой последовательности рп f со). oo,a Хорошо известны неравенства, выписанные в следующем предложении (см. [76]): Предложение 1.1.1. Пусть f ,д — св. на (П,Л,Р), а числа р и q удовлетворяют соотношениям: 1 p,q оо, p l + q l = 1. Тогда справедливы: 1) неравенство Гелъдера: 2) неравенство Минковского: t Обозначим через р = (рі,рг Рп ) вектор с бесконечным числом координат, причем 1 Рк со (к = 1,2,...). Последнее условие кратко записывают так: 1 р со (здесь и далее соотношения между координатами векторов заменяются соответствующими соотношениями между самими векторами). Положим р71 := (pi,P2, ,Рп), Рп = (Рп+1,Рп+2, . ); таким образом, р = (р урп). Пусть также (. „ д - фиксированное возрастающее семейство о -подалгебр а-алгебры Л, Т = {fi,co}, F = Л. Определение 1.1.1. Множество св. д на (П,Л, Р), удовлетворяющих неравенству будем называть пространством с п-смешанной нормой и обозначать Lp . Определение 1.1.2. Множество мартингалов f — (/П» п»-Р) таких, что назовем пространством мартингалов со смешанной нормой на (ft TniAtPy L-Q и обозначим Мр. Подмножество Lp С Мр, состоящее из равномерно интегрируемых мартингалов вида fn = E /I n]» где f L\, будем называть пространством св. со смешанной нормой. Из предложения 1.1.1 и формулы (1.2) следует, что равенство (1.3) определяет норму. Нетрудно доказать, что Мр - банахово пространство, a Lp - его замнутое подпространство. Заметим, что под Lp, как обычно, понимается совокупность классов слу чайных величин, совпадающих почти наверное (п.н.). Кроме того, Loo С Lp С Ьд С L\, если р q. Ясно, что если inf рп 1, то п 1 Мр = Lp. Если "п = Т, то Lp = Lpn. Легко доказать следующее Предложение 1.1.2. Справедливо неравенство Следствие 1.1.2. Если р& = р (к = 1,2,...), то Lp = LP(Q,A,P). Предложение 1.1.3. Если f Є Lp, то и / Є Lp и выполняется равенство: Доказательство. Сначала докажем, что при любом п выполняется соотношение где f = (pi,P2,..-,Pn,М,..-)- Пусть fn+k = Е f Fn+k\ и рассмотрим св. Ясно, что gic t В I/1 L n при к — со. Отсюда следует, что . Так как, с другой стороны, lim f lls fcllo» = f, то равенство (1.5) доказано. Поскольку г р, то отсюда сразу вытекает неравенство /р / \\р. Обратное неравенство очевидно. Перечислим основные свойства введенной нами смешанной нормы и пространства Lp. 1) Пространство Lp является банаховым идеальным пространством (т.е. если f Є Lp и \g\ \f\, mo \\g\\p Ц/рЛ 2)
Для произвольных св. f и g справедливо неравенство Гелъдера: 3) Если последовательность св. fn такова, что 0 /n "f / п.н. и f Lp, то \\fn\\p t ІІ/ІІР (1 Р оо). 4) Если /п,/ Є Lp и fn — f no вероятности, то справедливо неравенство \\f\\p lirainf /np (1 p oo) . 5) Если fn О п.н. (n = 1,2,...), mo 6) Пусть p Є L\ (Q. x X), где X — пространство с а-конечной мерой \х. Тогда справедливо интегральное неравенство Минковского: 7) Пусть f — св. и I{\f\ N} — индикатор соответствую щего события {/ N}. Тогда справедливо неравенство Че быгиева: Доказательство этих свойств стандартное. Покажем, к примеру, что выполняется свойство 7). Очевидно, что для всякой с.в. д и для любого события А Є А выполняется неравенство: Беря д = /п = J5[/ \Щ, А Є Тп-\, получаем: ИЛИ В случае рп со нужно положить г = рп; в случае же р„ = со нужно перейти к пределу при г — со. В результате в обоих случаях получаем неравенство: из которого легко следует или Так как /п — / п.н. при п - со, то легко видеть, что при є 0 Поэтому, применяя свойство 5), имеем: % лг}р liminf/{/u _e}p \-i liminf /{/„ }р Hminf \f\n\\p(N - s)"A = N Устремляя є к нулю, получаем требуемое. Предложение 1.1.4. Пусть f Є Мр. Тогда существуют неотрицательные мартингалы g,h Є Мр такие, что Vn О in = 9п ""П Доказательство. Так как из условия предложения следует, что sup/i оо, то можно применить разложение Крикебер п га (см. [76, с. 64]). Именно, полагаем gn = lim t E[ft I « n]» к—юо Применяя свойства смешанной нормы, получаем: то есть д Є Мр. Предложение 1.1.5. Lpn = Ь(р»,рп,р„,...), где пространство слева понимается в смысле определения 1.1.1, а пространство справа — в смысле определения 1.1.2. Доказательство. Обозначим р = (р Рт Рп»" ) Из леммы 1.1.1 легко вытекает, что 1/Рп Fn-\ lip» jfe р = «іря[/ Ян- ] = sup Е\Е[\/\ \гп+к]Рп
Случай потока цилиндрических а -алгебр
В данном параграфе мы все время предполагаем, что исходное вероятностное пространство (1), AtP) имеет структуру де картова произведения. Перед тем, как дать точные определения, сформулируем следующую очевидную лемму. Лемма 1.4.1. Пусть Q = Qixfi2 , Л = ЛіДг , Р — Р\Рг , Т = Лі 8 { 2 0}, 1 V ) ш1 Є Пі, ш2 Є Пг Тогда oVur Pi -п.в. а і Є Пі, где Определение 1.4.1. Будем говорить, что стохастический базис (0,( ,) .0, Л, Р) имеет структуру декартова произведения, если где (ftkiAkiPkj kLi —счетный набор вероятностных пространств, а Тп .— Вп — а -алгебра цилиндрических множеств из (П, Л) с основаниями в ( П Hjt, 8 Лк) \k=i k=i J Предложение 1.4.1. Если стохастический базис (0,( ) -0, , Р) имеет структуру счетного декартова произведения, то смешанная норма относительно этого базиса совпадает со смешанной нормой, определенной по формуле: Замечание 1.4.1. Так как /п зависит только от п первых переменных, то Ц/пЦрьрг,...,?» понимается как классическая смешанная норма (см., например, [17]), но с измененным порядком интегрирования. Докажем теперь предложение 1.4.1. Доказательство. Доказательство получается п -кратным применением леммы 1.4.1 к определению 1.1.2 и правой части формулы (1.52). Введем еще несколько обозначений, которые будем систематически использовать: Если wjt fijt, то u; := (wm+i,... ,u;n) Є ft ; при этом полагаем Предложение 1.4.2. 1) Если liminfpjt 1, то любой мар fc-»oo тингал f Є Мр равномерно интегрируем. 2) Если liminfpjfc — 1, а все вероятностные пространства ($lk)Ak,Pk) непрерывны, то в Мр существуют неравномерно интегрируемые мартингалы. Доказательство. 1) В силу предложения 1.1.4 рассуждения достаточно провести для неотрицательного / Є Мр. Из условия данного предложения следует существование номера т и числа є О таких, что рк 1 + є при к п. Нетрудно видеть, что Qm-u.H. по шт Є fim случайная последовательность (9f,6n, «)Г=т+1, где gf = /„(о/"»,.) и 0„ = {А х Q- А Є Л } есть мартингал. Имеем: K Отсюда следует, что supn m де L конечен Qm-n.H. no u m Є Om, а так как все координаты вектора рт больше 1 + є, то мартингал {д Г iGn Qm)n-m+i равномерно интегрируем. Поэтому, обозначив / = lim /п, получим фт-п.н. по ит Є Пта: Интегрируя это равенство по Qm, имеем: -Ё7[/п] = E[f] Отсюда следует (см. [51, с.205]), что / — равномерно интегрируемый мартингал. fc=i 2) Не нарушая общности, можно считать, что (1 — 1/рк) Поэтому (fn)Bn,P) не является равномерно интегрируемым. Следствие 1.4.1. Если liminf рк 1, то Lp = М . к-нх Приведем несколько теорем, непосредственно обобщающих классические результаты работы [58].
Теорема 1.4.1. Если suppk со и infрк 1, то про к к странство Lp равномерно выпукло. Если хотя бы одно из этих неравенств не выполняется, а все вероятностные пространства (fijfe, Ak,Pk) непрерывны, то Lp не является равномерно выпуклым. Доказательство. Пусть supp со и infpk 1. Анализ fc к леммы 1 из [58, 8] показывает, что существует такое г, 1 г 2, не зависящее от п, что справедливо неравенство: где /,р Є Lpn , 1/r + 1/r = 1. С помощью предельного перехода легко получаем, что неравенство (1.53) справедливо для любых /, 7 Є Lp. Отсюда следует, что для двух последовательностей {fk} и {дк} из Lp таких, что \\/к\\р - 1, \\дк\\р - 1 и II/fc + Рік lip - 2, выполняется Д - дк\\р - 0. Но это и означает, что Lp равномерно выпукло. Докажем второе утверждение. Не нарушая общности, можно считать, что либо lim рк = со, либо lim рк = 1. Если выпол к— оо к—юо няется первое равенство, то Lp не может быть равномерно выпуклым, так как из равномерной выпуклости следует порядковая непрерывность нормы Lp, из которой (см. приложение В) вытекает выполнение выполнение свойства 10) из замечания 1.1.1, что неверно (см. начало пункта 1.1.3). Пусть lim рк = 1 и Ак Є Лк таковы, что Рк(Ак) = 1/2. fe-юо Обозначим fk(uJk) = 21Ак{шк), 9k{uk) = 2/дДо; ). Имеем: что противоречит равномерной выпуклости. Доказательства последующих теорем этого пункта мы не приводим, так как они близки к доказательствам соответствующих фактов из [58]. Теорема 1.4.2. Пусть supp со. Если fn,f Є Lp таковы, k что при п - оо \\fkWp - Ц/Ир и /п - / п.н., то / - fn\\p - 0. Теорема 1.4.3. Пусть &щ рк оо и infpk 1. Если fn,f Е k Lp таковы, что при п — оо Лр -» /р и fn — f слабо, то Обозначим через Sq замыкание L x в Lq. Теорема 1.4.4. Пусть 1 р оо и последовательность {fn} С Lp такова, что для любой св. g Є Sq, (1/р+ 1/q = 1) lim E(fng) существует и конечен. Тогда З/ Є Lp : Уд Є Sq Теорема 1.4.5. Пусть 1 р со и последовательность {/„} С Lp такова, что для любой св. g Є Lq, (1/р+ 1/q = 1) lim E(fng) существует и конечен. Тогда З/ Є Lp : Vc/ Є Lq выполняется (1.54). Заметим, что из теоремы 1.4.4 теорема 1.4.5, вообще говоря, не следует (см. [58, 5]). В 1.2 мы рассмотрели пространства со смешанной нормой относительно хааровской фильтрации, которая, очевидно, не может быть реализована как цилиндрический поток сг-алгебр на декартовом произведении вероятностных пространств. Что же касается диадическои фильтрации, с которой мы столкнулись в 1.3, то такая реализация возможна и хорошо известна. В настоящем пункте мы кратко очертим ее, так как будем постоянно нуждаться в такого рода идентификации. Пусть структура вероятностных пространств (fi , Ak, Pk) такова:
Гармонические функции на областях в Т
Перейдем теперь к изложению необходимых фактов, связанных с понятием гармоничности. Пусть U — открытое подмножество Т , а / — универсально измеримая функция на U. Определение 1.5.2. (см. [20, с. 524]j Локально ограниченная (сверху, снизу) функция f называется (суб-, супер-) гармонической на U, если для любого открытого множества V, такого, что V С U, и для любого х Є V справедливо равенство: где Y — винеровский процесс на Т, т = ту — момент первого выхода его траектории Yt из V. В следующем замечании мы перечислим ряд фактов, которые понадобятся нам в дальнейшем (см. [1, 20, 59]). Замечание 1.5.2. 1) Если (р — ограниченная функция, заданная на dU, то функция /(ж) := Ex[f (Y )], х Є /, гармонична на U. 2) Пусть функция /(ж) гармонична на U\ тогда при любом у Є Т функция /(ж+у) гармонична на С/+у, а функция /(—ж) гармонична на —U. 3) Пусть функция /(ж) гармонична на U и ц — мера, носитель которой есть supp(/z); тогда функция гармонична на внутренности множества П (U + у) . В част yesuppoo ности, если U = UQ х Т-п э где С70 С Тп, то / i/n также гармонична на U, причем зависит только от п первых координат. 4) Пусть У(п) — проекция процесса У на Тп, UQ — открытое подмножество Тп и /о —гармоническая функция относительно процесса у(п) на Щ. Тогда функция /(ж) = /о (га ж) гармонична относительно процесса У на множестве UQ Х Т п и зависит от первых п координат. Наоборот, пусть /(ж) гармонична относительно процесса У на множестве UQ X Т п и зависит от первых п координат; тогда эту функцию можно рассматривать как гармоническую функцию на UQ относительно процесса У(п). 5) Наряду с У и его проекцией у(п) рассмотрим винеровский процесс УМ в Яп с квадратичной формой a F — отображение Яп в Т" вида F(T;) = (е"71,... ,еІ7?я), где 77 = (т7і,...,77п) Є Я". Тогда (см. [20, гл. 10, 6], а также [1]) У(п = .F(y(n)). Поэтому если / — гармоническая функция относительно процесса УМ на U(C Тп), то функция f(rj) = f (F(rj)) гармонична относительно процесса Y на множестве U = F l(U) С Я. Итак, всякая гармоническая функция / относительно процесса У(п) может быть рассмотрена как периодическая гармоническая функция относительно процесса У . Обратное утверждение также справедливо. Заметим, что факты, аналогичные перечисленным в пунктах 2)-5), имеют место и для (суб-,супер-) гармонических функций (в пункте 3) следует считать, что /І — неотрицательная мера).
Мы часто будем пользоваться следующим условием (А): переходная функция (// ) процесса У абсолютно непрерывна относительно меры Хаара, т.е. / (dx) = pt(x)dv(x), и плотность Pt(x) непрерывна на Т! := Г х (0,со). Это условие выполняется, например, если lim ап/п = со (см. И). Отметим, что из условия (А) вытекает непрерывность всех гармонических и полунепрерывность (сверху, снизу) всех (суб-, супер-) гармонических функций (см. [1]). Определение 1.5.3. Обобщенная функция Л называется (суб-,супер-) гармонической в области U С Т , если для любой неотрицательной функции р Є С такой, что supp(y)) С U, выполняется А(А р) = 0 ( 0, 0). В частности, если Л = Л/ — регулярная обобщенная функция, порожденная функцией f, то будем говорить, что f (суб-,супер-) гармонична на V в обобщенном смысле. Следующие несколько результатов относятся к перенесению классической леммы Вейля на случай бесконечномерного тора. Предложение 1.5.5. Пусть f — цилиндрическая функция. Из того, что f гармонична в U вытекает, что она гармонична в обобщенном смысле в U. Наоборот, если f гармонична в обобщенном смысле в U, то она и-п.в. совпадает с гармонической функцией. Доказательство. Функцию / можно рассматривать как периодическую функцию в соответствующем конечномерном про странстве. Поэтому справедливость предложения вытекает из классической леммы Вейля (см. [18, с. 17]). Предложение 1.5.6. Если f гармонична в области U С Т, то она является гармонической в обобщенном смысле. Доказательство. Положим /n = f ип. Цилиндрическая функция fn определена и гармонична в открытом подмножестве Un(C U), причем Un С Un+i и \jUn = U. Кроме того, так как последовательность мер ип слабо сходятся к мере Дирака в нейтральном элементе, то последовательность функций (/п) слабо сходится к /. Поэтому, если р Є С и supp(y?) С С/, то (/, Аїр) = Urn (/п,Ду ). Применяя предложение 1.5.5, получим, что (/п, А(р) = 0 при п по, следовательно, (/, Д р) = 0.
Доказательство теоремы Пелчинского
Сначала рассмотрим случай supp = г со. Предположим к противное: пусть линейный ограниченный оператор F : Lp — У осуществляет изоморфизм между Lp и подпространством F(Lp) банахова пространства У с безусловным базисом (yn)i Базисную константу базиса (уп)і будем обозначать Ьс(уп) (см. [91, с. 39]). С помощью (2/n)i мы по индукции построим безусловную базисную последовательность (а?в)о С Lp, удовлетворяющую условиям леммы 2.2.1, и, таким образом, получим противоречие. В дальнейшем мы обозначаем д3 := F(xs), s = 0,1,2,... Пусть F-1 : F(Lp) -» L р — оператор, обратный к F, с нормой -F-1. Обозначим єй := щ ф щ п- Положим ж0 = 1 и найдем такое MQ , что Предположим, что ограниченные св. а?о,.. .,ж8_1 вектора wo,...,ws-i и числа MQ Mi ... Me_i уже найдены, и покажем, как получаются xs,u8 и Мв. Сначала при достаточно больших / обеспечиваем выполнение неравенства Є Действительно, так как у „о F — ограниченный функционал на Lp, то он реализуется случайной величиной (рп Є Lq, где 1/р + \/q — 1, и из [26, с. 18, теор. 5] получаем при фиксированном п: при I —У со. Выберем I = k3 /гв_і такое, чтобы вместе с (2.4) выполнялось eОбозначаем ха :— Xjfk, Находим Me Me_i такое, что Полагаем us := (Уп» «)Уп Тогда по неравенству тре-угольника из (2.4) и (2.6) следует: 2.2.1. Покажем, что (а )о — безусловная базисная последовательность в Lp. Так как (w3)o является блочной базисной последовательностью безусловного базиса (yn)i то (ue)o является безусловной базисной последовательностью (см. [91, с. 64, предл. 11]). Рассмотрим сопряженную ей систему u . Из [91, с. 40, след. 7] вытекает, что e=0 s=0 По теореме об устойчивости базисных последовательностей (см. [91, с. 43, предл. 15,а)]), ( 7з)о также является безусловной базисной последовательностью. Следовательно, (жв)о есть базисная последовательность, удовлетворяющая условиям леммы 2.2.1. Полученное противоречие, доказывает нашу теорему при условии suppfc оо. к 2) Пусть теперь suppjfc = оо. Сначала рассмотрим случай, к когда liminf pk = оо. Тогда существует последовательность рПк t к- оо оо такая, что 1/Рпк оо. Обозначим А = АП1АП2...АПт. k=i Имеем: С другой стороны, Это означает, что в данном Lp не выполняется условие порядковой непрерывности нормы (см.[23, стр. 142]), следовательно, оно несепарабельно (см.[23, стр. 142, теор. 3]) и, очевидно, не может быть изоморфно вложено в сепарабельное банахово пространство. 3) Случай slippy = оо, liminf pk со легко сводится либо к k As-»oo условию пункта 1) доказательства данной теоремы, либо к отсутствию порядковой непрерывности нормы. Рассмотрим пространство Lp со смешанной нормой на декартовом произведении вероятностных пространств (см. 1.4). Следствие 2.2.1.
Пусть в каждом вероятностном пространстве (Qk,Ak- Pk) существует событие Ак Є Ак, такое, что Р(Ак) = 1/2. Если liminfp = 1, то пространство Lp не к-юо вкладывается изоморфно ни в одно банахово пространство с безусловным базисом. В этом пункте мы будем использовать обозначения монографии [26]. В частности, словосочетание "ортонормированная система" будем записывать в виде О.Н.С. Предположим также, что l/p+l/q=l. Предложение 2.3.1. Пусть infpk V и swppk оо. Для k к того, чтобы система се. Ф = { а} С Lp была полна в Lp, необходимо и достаточно, чтобы она была тотальна в Lp. Доказательство. По теореме 1.1.2 Lp = Lq, Lq = Lp. Пусть Ф полна в Lp и f Є Lq такова, что (/, у?«) =0, Va. Очевидно, что тогда (/,д) = 0, Уд Є Lp. Следовательно, / = 0 п.н. Пусть теперь Ф тотальна в Lp и пусть X — замыкание линейной оболочки Ф в Lp. Если X -ф- Lp, то по теореме Хана-Банаха существует / Є Lq, \\f\\q 0, такая, что (g,f) = 0, Чд Є X, откуда { paif) = 0, Va, что противоречит тотальности Ф. Предложение 2.3.2. Пусть supрк оо. Всякая О.Н.С. к {Vn}Li С LpC\Lq минимальна в Lp и является своей сопряженной системой. Доказательство. Так как { Рп, Рт) = 1 , если га = п 0 , если т-ф-п то {ірп} является своей сопряженной. Отсюда следует, что она минимальна в Lp (см. [26, с. 15, теор. 2]). Предложение 2.3.3. Пусть inf ри 1 и sup рк со. Если к к система {(pn} =i — базис в Lp, то сопряженная к ней система bPn} Li является базисом в Lq. Доказательство. Достаточно показать, что {VvJ Li полна в Lq (см. [26, с. 20, теор. 7]). Если это не так, то по предложению 2.3.1 она не является тотальной, то есть существует
