Ветвящиеся случайные блуждания в неоднородных и случайных средах Яровая, Елена Борисовна

Введение к работе

Актуальность работы. Диссертация посвящена ветвящимся случайным блужданиям — одной из интенсивно развивающихся областей теории вероятностей и случайных процессов. С помощью ветвящихся случайных блужданий изучается поведение систем, элементы которых могут размножаться, гибнуть и перемещаться по пространству в различных средах по правилам, учитывающим фактор случайности. Ветвящееся случайное блуждание (ВСБ) является стохастическим процессом, сочетающим в себе свойства ветвящегося процесса и случайного блуждания.

Ветвящиеся процессы описывают явления, связанные с размножением и исчезновением совокупностей объектов. Основные идеи теории ветвящихся процессов появились в исследованиях Ф. Гальтона и Д. Ватсона ещё во второй половине XIX века. Однако аксиоматические основы этой теории были заложены лишь в середине прошлого века в фундаментальных исследованиях А.Н. Колмогорова, Н.А. Дмитриева, Б.А. Севастьянова, Р. Беллмана и Т. Харриса и получили развитие в многочисленных публикациях современных авторов, в частности, в монографиях Н. Атрея и П. Нея¹, К. Мода², 3. Ли³, П. Ягерса⁴. Обзор по этой проблематике можно найти в работах В.А. Ватутина и A.M. Зубкова⁵'⁶.

Термин "случайное блуждание" был введен, по-видимому, К. Пирсоном⁷. С помощью случайных блужданий изучаются процессы перемещения частиц под действием некоторого случайного механизма. Широкий круг проблем теории случайных блужданий описан в классических монографиях Ф. Спицера⁸ и В. Феллера⁹. Различным подходам к их решению посвящены труды А.А. Боров-

¹ Athreya К. В., Ney P. Е. Branching processes. New York: Springer-Verlag, 1972. xi+287 p.

² Mode C. J. Multitype branching processes. Theory and applications. Modern Analytic and Computational Meth
ods in Science and Mathematics, No. 34. American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, 1971. P. xx+330
pp. (loose erratum).

³ Li Z. Measure-valued branching Markov processes. Probability and its Applications (New York). Heidelberg:
Springer, 2011. P. xii+350.

⁴ Jagers P. Branching processes with biological applications. London: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons],
1975. P. xiii+268.

Ватутин В. А., Зубков A. M. Ветвящиеся процессы. I // Итоги науки и техники. Теория вероятн. Матем. статистика. Теор. кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 23. С. 3-67.

⁶ Vatutin V. A., Zubkov А. М. Branching Processes. II // J. Sov. Math. 1993. Vol. 69, no. 6. P. 3407-3485.

⁷ Pearson K. The Problem of the Random Walk // Nature. 1905. Vol. 72, no. 294. P. 318-342.

⁸ Спицер Ф. Принципы случайного блуждания. М.: Мир, 1969. 472 с.

⁹ Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984. Т. 2. 752 с.

кова, К.А. Боровкова, Г. Кестена, М.В. Козлова, Я.Г. Синая и других авторов.

В последние годы актуальным стало исследование поведения более сложных стохастических систем с размножением, гибелью и перемещением элементов в пространстве в зависимости от структуры среды и пространственной динамики, которые не вписываются в рамки классических теорий. Подобные модели возникают в статистической физике¹⁰'¹¹, химической кинетике¹², теории гомополимеров¹³. Прикладные проблемы, а также логика развития теории случайных процессов привели к формулировке основных принципов ВСБ. Вероятностные модели ВСБ принято описывать в терминах размножения, гибели и блуждания частиц. Основополагающей в этом направлении признана статья Б.А. Севастьянова¹⁴ о ветвящихся процессах с диффузией частиц. Важные результаты для ветвящихся диффузионных процессов и ветвящихся блужданий связаны также с именами А.В. Скорохода, С. Асмуссена, Д. Биггинса, П. Реве-са. Однако работы этих и многих других математиков в основном посвящены либо одномерному случаю, либо исходят из предположения об однородности ветвящейся среды. В связи с этим на первый план выходит анализ ветвящихся процессов с диффузией частиц в пространственно неоднородных, "каталитических" средах. Например, в работах¹⁵'¹⁶ рассмотрены супердиффузионные процессы, возникающие как "диффузионный" предел ветвящихся случайных блужданий в больших системах частиц¹⁷'¹⁸.

Одно из современных направлений анализа ВСБ, возникшее в работах

¹⁰ Zel'dovich Y. В., Molchanov S. A., Ruzmalkin A. A., SokoloffD. D. Intermittency, diffusion and generation in
a nonstationary random medium // Mathematical physics reviews, Vol. 7. Chur: Harwood Academic Publ.,
1988. Vol. 7 of Soviet Sci. Rev. Sect. С Math. Phys. Rev. P. 3-110.

¹¹ Gartner J., Molchanov S. A. Parabolic problems for the Anderson model. II. Second-order asymptotics and
structure of high peaks // Probab. Theory Related Fields. 1998. Vol. Ill, no. 1. P. 17-55.

¹² Gartner J., Molchanov S. A. Parabolic problems for the Anderson model. I. Intermittency and related topics //
Comm. Math. Phys. 1990. Vol. 132, no. 3. P. 613-655.

¹³ Cranston M., Koralov L., Molchanov S., Vainberg B. Continuous model for homopolymers // J. Funct. Anal.
2009. Vol. 256, no. 8. P. 2656-2696.

Севастьянов Б. А. Ветвящиеся случайные процессы для частиц, диффундирующих в ограниченной области с поглощающими границами // Теория вероятн. и ее примен. 1958. Т. 3, № 2. С. 121-136.

¹⁵ Dawson D. A., Fleischmann К. A super-Brownian motion with a single point catalyst // Stochastic Process.
Appl. 1994. Vol. 49, no. 1. P. 3-40.

¹⁶ Fleischmann K., Le Gall J.-F. A New Approach to the Single Point Catalytic Super-Brownian Motion //
Probab. Theory and Relat. Fields. 1995. Vol. 102, no. 1. P. 63-82.

¹⁷ Dawson D. A., Fleischmann K., Le Gall J.-F. Super-Brownian motions in catalytic media // Branching processes
(Varna, 1993). New York: Springer, 1995. Vol. 99 of Lecture Notes in Statist. P. 122-134.

¹⁸ Vatutin V., Xiong J. Some limit theorems for a particle system of single point catalytic branching random
walks J) Acta Math. Sin. (Engl. Ser.). 2007. Vol. 23, no. 6. P. 997-1012.

С. Альбеверио, Л.В. Богачёва, С.А. Молчанова и автора диссертации¹⁹'²⁰'²¹, связано с исследованием процессов на целочисленных решетках с непрерывным временем для пространственно неоднородных или случайных ветвящихся сред, представляющих собой совокупность процессов размножения и гибели частиц в узлах решётки. При этом среды с конечным числом источников ветвления называют неоднородными. Весьма актуальным представляется анализ влияния среды на предельное пространственное распределение частиц. Эта проблема интересна также в связи с исследованием пространственных распределений в случайных средах, в которых интенсивности размножения и гибели частиц случайны. Для таких сред характерно возникновение структур с выраженной неоднородностью пространственного распределения, связанной с наличием так называемых сильных центров, в окрестности которых происходит основной рост процесса¹²'²². Такие модели используются в теории надежности [7], [15], при исследовании миграции и деления клеточных популяций [19] и других областях. Свойства ВСБ, связанные с неоднородностью, некомпактностью, а также размерностью пространства, служат для объяснения эффектов в более сложных неоднородных структурах¹⁸'²³.

Для понимания особенностей поведения ВСБ фундаментальное значение имеет модель симметричного ВСБ с одним источником ветвления и конечной дисперсией скачков¹⁹'²⁴. Эта "точно решаемая" модель позволяет изучить эффекты, обусловленные неоднородностью среды и неограниченностью пространства. В приложениях условие симметричности ВСБ является достаточно ограничительным, в связи с чем возникает необходимость распространения полученных результатов на ВСБ с нарушением симметрии блуждания в источнике [15].

Яровая Е. Б. Применение спектральных методов в изучении ветвящихся процессов с диффузией в некомпактном фазовом пространстве // Теоретическая и математическая физика. 1991. Т. 88, N^a 1. С. 25-30.

²⁰ Albeverio S., Bogachev L. V., Yarovaya E. В. Asymptotics of branching symmetric random walk on the lattice
with a single source // С R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1998. Vol. 326, no. 8. P. 975-980.

²¹ Albeverio S., Bogachev L. V., Molchanov S. A., Yarovaya E. B. Annealed moment Lyapunov exponents for a
branching random walk in a homogeneous random branching environment // Markov Process. Related Fields.
2000. Vol. 6, no. 4. P. 473-516.

²² Molchanov S. Lectures on random media // Lectures on probability theory (Saint-Flour, 1992). Berlin: Springer,
1994. Vol. 1581 of Lecture Notes in Math. P. 242-411.

²³ Greven A., den Hollander F. Branching Random Walk in Random Environment: Phase Transition for Local
and Global Growth Rates // Probab. Theory and Relat. Fields. 1992. Vol. 91, no. 2. P. 195-249.

Богачев Л. В., Яровая Е. Б. Моментный анализ ветвящегося случайного блуждания на решетке с одним источником // Доклады Академии наук. 1998. Т. 363, № 4. С. 439-442.

Исследование ВСБ требует развития уже существующих методов, а также создания новых подходов. Традиционный подход связан с представлением ВСБ как ветвящегося процесса с несколькими типами частиц. Он позволил получить²⁵'²⁶'²⁷'²⁸'²⁹ предельные теоремы для критических ВСБ. В диссертации развивается функционально-аналитический подход. Он основан на представлении эволюционных уравнений для моментов численностей частиц как уравнений в банаховых пространствах²⁰'³⁰ (см. также [1]) и исследовании спектра операторов, возникающих в правый частях этих уравнений. Такой подход предлагает единую точку зрения на модели ВСБ различных типов — как с нарушением, так и без нарушения симметрии блуждания в источниках [12]. Он позволяет использовать при изучении моделей математической физики, химической кинетики и др. методы функционального анализа, в равной степени пригодные для исследования как ВСБ с конечным числом источников, так и многих естественнонаучных моделей, не обязательно описываемых в теоретико-вероятностных терминах. В этом контексте предложенный подход можно применять для учёта главных членов "теории возмущений" в соответствии с иерархией каталитических центров.

Одним из принципиальных предположений в ранее проводимых исследованиях ВСБ было условие конечности дисперсии скачков случайного блуждания. В этом случае ВСБ оказывается возвратным на одно- и двумерных решетках, но теряет это свойство на решетках более высокой размерности [1]. В последние годы случайные блуждания (без ветвления) с бесконечной дисперсией скачков привлекали внимание многих авторов, см., например, книгу А.А. Боровкова и

Ватутин В., Топчий В. Предельная теорема для критических каталитических ветвящихся случайных блужданий // Теория вероятн. и ее примен. 2004. Vol. 49, по. 3. Р. 463-484.

Булинская Е. Вл. Предельные распределения численностей частиц в ветвящемся случайном блуждании // Математические заметки. 2011. Т. 90, № 6. С. 845-859.

Булинская Е. Вл. Предельные теоремы для локальных численностей частиц в ветвящемся случайном блуждании // Доклады Академии наук. 2012. Т. 444, № 6. С. 733-738.

Ватутин В. А., Топчий В. А., Ху Ю. Каталитическое ветвящееся случайное блуждание по решетке Z⁴ с ветвлением лишь в начале координат // Теория вероятн. и ее примен. 2011. Vol. 56, по. 2. Р. 224-227. Ватутин В., Топчий В. Каталитичекое ветвящееся случайное блуждание по Z^d с одним источником ветвления // Мат. труды. 2011. Vol. 14, по. 2. Р. 28-72. ³⁰ Albeverio S., Bogachev L. V. Branching random walk in a catalytic medium. I. Basic equations // Positivity. 2000. Vol. 4, no. 1. P. 41-100.

К.А. Боровкова³¹ и библиографию в ней. Подобного рода проблемы актуальны и для ВСБ с "тяжёлыми хвостами", которые ранее, по-видимому, не рассматривались.

При изучении поведения сложных случайных систем возникает необходимость анализа ситуаций, когда система частиц испытывает большие уклонения. Иными словами, ведет себя нетипично. Начало современной теории больших уклонений было положено в 1938 году в работе Г. Крамера³². В ней исследовались большие уклонения для сумм независимых, одинаково распределённых случайных величин. Изучение больших уклонений траекторий случайных процессов связано с именами А.А. Боровкова, К.А. Боровкова, СР. Вара-дана, А.Д. Вентцеля, Д.А. Коршунова, А.А. Могульского, А.А. Пухальского, М.И. Фрейдлина и других авторов. Задачи такого типа актуальны и для ВСБ на многомерных решетках. К сожалению, для ВСБ техника, предложенная в цитируемых выше работах, или неприменима или по меньшей мере очень сложна. В недавней статье М. Кренстона, Л. Коралова, С. Молчанова и Б. Вайнберга¹³, посвященной непрерывной модели гомополимера, где рассматривалось M.^d вместо II^і и броуновское движение вместо случайного блуждания, был предложен подход к таким задачам, основанный на резольвентном анализе эволюционного оператора. В рамках этого подхода для исследования спектра эволюционного оператора средних численностей частиц используется информация о переходных вероятностях и функции Грина эволюционного оператора. Анализ резольвенты оператора при больших уклонениях случайного блуждания позволяет существенно расширить результаты предыдущих исследований для ВСБ. К исследованию функции Грина обращался ряд авторов, среди которых отметим П. Кучмента³³, К. Ушияму³⁴, а также С.А. Молчанова и автора диссертации [9, 10].

³¹ Borovkov A., Borovkov К. Asymptotic Analysis of Random Walks. Heavy-Tailed Distributions. Cambridge:
Cambridge University Press, 2008. 200 p.

³² Cramer H. Sur un nouveau theoreme-limite de la theorie des probabilites // Actualites Scientifiques et Indus-
trielles. 1938. Vol. 736. P. 5-23.

³³ Kuchment P., Raich P. A. Green's function asymptotics near the internal edges of spectra of periodic elliptic
operators. Spectral edge case // e-Print archive. 2011.—October. arXiv:1110.0225.

³⁴ Uchiyama K. Green's functions for random walks on Z // Proc. London Math. Soc. (3). 1998. Vol. 77, no. 1.
P. 215-240.

Аналогичные вопросы возникают в теории случайных сред, в которых интенсивности деления и гибели частиц являются случайными полями, однородными по пространству или по пространству-времени. Такие модели важны не только с точки зрения популяционной динамики, но и, например, как модели реальных физических явлений. Принципиально новым эффектом, типичным для теории случайных сред, оказывается так называемая перемежаемость, т.е. высокая степень локальной иррегулярности поля частиц (или магнитного поля в физике): наличие редких высоких пиков, слоистых структур и т.п. Первые математические работы в этой области принадлежат группе Я.Б. Зельдовича (С.А. Молчанов, А.А. Рузмайкин, Д.Д. Соколов)¹⁰'³⁵; см. также цикл работ Ю. Гертнера, С.А. Молчанова, Р. Кармоны³⁶'³⁷'³⁸. Основным объектом анализа в этих работах было не само поле частиц, а его первая корреляционная функция (плотность), удовлетворяющая параболическому уравнению Андерсона со случайным потенциалом. Математическим проявлением перемежаемости является прогрессивный рост старших моментов поля в сравнении с младшими моментами. Технически это связано с весьма трудной задачей решения системы уравнений для соответствующих корреляционных функций. Анализ явления перемежаемости и связанных с ним особенностей предельного поведения ВСБ в случайных средах до сих пор остаётся одной из актуальных проблем.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании пространственной структуры ветвящихся случайных блужданий с непрерывным временем и лежащих в их основе случайных блужданий по многомерной решётке с различной пространственной динамикой в неоднородных и случайных средах как при фиксированных пространственных переменных, так и при совместном росте пространственных координат и времени.

Зельдович Я. Б., Молчанов С. А., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д. Перемежаемость в случайной среде // Успехи физ. наук. 1987. Т. 152, № 1. С. 3-32.

³⁶ Gartner J., W. К., Molchanov S. A. Geometric characterization of intermittency in the parabolic Anderson
model If Ann. Probab. 2007. Vol. 35, no. 2. P. 439-499.

³⁷ Carmona R., Koralov L., Molchanov S. Asymptotics for the almost sure Lyapunov exponent for the solution of
the parabolic Anderson problem // Random Oper. Stochastic Equations. 2001. Vol. 9, no. 1. P. 77-86.

³⁸ Molchanov S. A. Reaction-Diffusion Equations in the Random Media: Localization and Intermittency // Non
linear Stochastic PDEs. Hydrodynamic Limit and Burgers' Turbulence / Ed. by T. Funaki, et al. Berlin:
Springer, 1996. Vol. 77 of IMA, Math. Appl. P. 81-109.

Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Перечислим основные из них.

1. Проведена классификация асимптотического поведения моментов и вероятностей продолжения процесса для численностей частиц в ВСБ в зависимости от интенсивности источника, свойств блуждания и размерности пространства, как для симметричного блуждания, так и для блуждания с нарушением симметрии в источнике.

2. Выявлен новый эффект возникновения критических и докритических ВСБ в низких размерностях даже при отсутствии гибели частиц, связанный с отказом от конечности дисперсии скачков случайного блуждания, лежащего в основе ВСБ.

3. Введена общая модель ВСБ с конечным числом источников различных типов как с нарушением, так и без нарушения симметрии блуждания в источниках. Для таких ветвящихся случайных блужданий выявлены фазовые переходы в надкритическом случае, что существенно отличает их от ВСБ с одним источником.

4. Получены явные формулы, описывающие асимптотическое поведение переходных вероятностей простого симметричного случайного блуждания при совместном росте пространственных координат и времени.

5. Доказаны предельные теоремы для функции Грина переходных вероятностей при произвольном положительном значении параметра, что позволяет исследовать фронт популяции и найти предельные распределения для полного числа частиц в популяции или числа частиц вблизи границы фронта.

6. Для моделей однородного и неоднородного симметричного ВСБ в случайной среде получены условия, при которых асимптотическое поведение усреднённых по среде моментов совпадает для обеих моделей. Показано, что таким условиям удовлетворяют ВСБ со случайным потенциалом, для которого логарифм распределения "правого хвоста" асимптотически эквивалентен логарифму распределения Гумбеля и Вейбулла.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории вероятностей и случайных процессов, методы теории дифференциальных уравнений и неравенств в банаховых пространствах, методы спектральной теории, методы анализа тригонометрических рядов со знакопостоянными коэффициентами, а также методы асимптотического анализа рядов и интегралов, в частности, тауберовы теоремы, метод перевала и метод интегралов Лапласа.

Автором разработан оригинальный метод оценки скорости роста преобразования Фурье переходных интенспвностей случайного блуждания с "тяжёлыми хвостами", метод анализа резольвенты разностного лапласиана при больших уклонениях для простого случайного блуждания при произвольных значениях параметра, а также предложена общая схема исследования функций Грина переходных вероятностей при больших уклонениях для симметричного случайного блуждания.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты и разработанные автором методы, изложенные в диссертации, могут быть использованы специалистами в области теории вероятностей, случайных процессов, статистической физики, химической кинетики и уже применяются авторами, работающими в Московском государственном университете (МГУ) имени М.В. Ломоносова, в Математическом институте имени В.А. Стеклова РАН и других научных центрах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались

на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова в 2005-2012 гг. (руководитель — академик РАН А.Н. Ширяев);

на Ломоносовских чтениях в МГУ имени М.В. Ломоносова в 2010, 2011 гг.;

на семинаре отдела дискретной математики Математического института имени В.А. Стеклова РАН (руководители — член-корреспондент РАН Б.А. Севастьянов, профессора, доктора физ.-мат. наук A.M. Зубков, В.П. Чистяков, В.А. Ватутин) в 2003 г.

По теме диссертации автором сделаны доклады на следующих конференциях:

Международная конференция "Колмогоров и современная математика", Москва, 2003;

Международная конференция "Ветвящиеся процессы в случайной среде" Франкфурт-на-Майне, Германия, 2004;

25-й и 26-й Международные семинары по проблемам устойчивости стохастических моделей, Салерно, Италия, 2005 и Нахария, Израиль, 2007;

7-я Международная петрозаводская конференция "Вероятностные методы в дискретной математике", Петрозаводск, Россия, 2008;

Международный симпозиум по прикладной вероятности (IWAP 2008), Компьен, Франция;

Международная барселонская конференция по асимптотической статистике, Белатерра, Испания, 2008;

3-й Международный симпозиум "Марковские и полумарковские модели. Теория и приложения", Кальяри, Италия, 2009;

Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ имени М.В. Ломоносова академика В.А. Садовничего, Москва, Россия, 2009;

6-й Санкт-Петербургский симпозиум по моделированию, 2009;

6-я Международная конференция "Математические методы в теории надежности" (MMR 2009), Москва, Россия;

Российско-японский симпозиум "Стохастический анализ современных статистических моделей" Москва, Россия, 2009;

Международная конференция "Стохастические методы моделирования и анализ данных" (SMTDA 2010), Ханья, Греция, 2010;

10-я Вильнюсская международная конференция по теории вероятностей и математической статистике, Вильнюс, Литва, 2010;

5-й Международный симпозиум по прикладной вероятности, Кольменаре-хо, Испания, 2010;

Международный симпозиум "Стохастика и её видение", Москва, Россия, 2010;

Международные конференции "Прикладные стохастические модели и ана-

лиз данных" (ASMDA 2007), Ханья, Греция, (ASMDA-2009), Вильнюс, Литва и (ASMDA 2011), Рим, Италия;

Международный симпозиум "Ветвящиеся и относящиеся к ним процессы" Люмини, Франция, 2011;

Франкфуртский семинар и рабочее совещание по случайным дискретным структурам, Франкфурт-на-Майне, Германия, 2011;

Международная конференция "Марковские, полумарковские процессы и относящиеся к ним области" (MSMPRF 2011), Порто Каррас, Греция;

Международный симпозиум по ветвящимся процессам и их приложениям, Бадахос, Испания, 2012;

12-я и 15-я Международные летние конференции по вероятности и статистике (ISCPS, 2006), Созополь, Болгария и (ISCPS, 2012) Поморье, Болгария;

Международная конференция "Теория вероятностей и её приложения", посвященная 100-летию со дня рождения Б.В. Гнеденко. Москва, Россия, 2012;

8-ой Международный конгресс по вероятности и статистике, Турция, Стамбул, 2012.

Тезисы всех докладов опубликованы в сборниках тезисов соответствующих конференций.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 28-и печатных работах, список которых приведен в конце автореферата. Из них одна монография, 11 статей входят в официальный перечень ВАК, 16 статей опубликованы в рецензируемых отечественных и зарубежных изданиях, 7 из которых включены в международные системы цитирования.

Личный вклад автора. Все представленные в диссертации результаты и основные положения, выносимые на защиту, получены лично автором. Из 28-и работ, опубликованных по теме диссертации, 21 выполнена без соавторов.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 5-й глав и библиографии. Общий объём диссертации 296 страниц, включая 6 рисунков и 2 таблицы. Библиография содержит 112 наименований.