Энтропийные характеристики бесконечномерных гибридных вероятностных систем Кузнецова Анна Александровна

Содержание к диссертации

Введение

1 Основные понятия 19

2 Классическая пропускная способность 27

2.1 Определение измерительного канала 28

2.2 Классическая пропускная способность измерительного канала 34

2.3 Классически-квантовые системы и условная энтропия в гибридной системе 37

2.4 Классическая пропускная способность каналов с классическим входом и гибридным выходом 43

2.5 Классическая пропускная способность каналов с квантовым входом и гибридным выходом 52

3 Классическая пропускная способность измерительного канала с использованием сцепленности 57

3.1 Протокол передачи информации с использованием сцепленности 57

3.2 Классическая пропускная способность с использованием сцепленности для измерительного канала 60

3.3 Примеры пропускных способностей измерительных каналов 74

4 Передача квантовой информации 78

4.1 Когерентная информация и условная энтропия 78

4.2 Верхняя граница для квантовой пропускной способности 89

Список литературы

• Классическая пропускная способность измерительного канала
• Классическая пропускная способность каналов с классическим входом и гибридным выходом
• Классическая пропускная способность с использованием сцепленности для измерительного канала
• Верхняя граница для квантовой пропускной способности

Введение к работе

Актуальность темы

Одним из центральных результатов классической теории информации является теорема кодирования Шеннона, характеризующая пропускную способность классического канала связи, то есть предельную скорость асимптотически безошибочной передачи данных при длине сообщения, стремящейся к бесконечности. За последние десятилетия появилась и стала актуальной квантовая теория информации - научная дисциплина, изучающая общие закономерности передачи, хранения и преобразования информации в системах, подчиняющихся законам квантовой механики. Квантовая теория информации использует математические модели для исследования потенциальных возможностей таких систем, опираясь на методы некоммутативной теории вероятностей. Развитие математической теории квантовых каналов передачи информации является актуальной фундаментальной проблемой, связанной с новыми эффективными приложениями в области информационных технологий. Основополагающие результаты были получены в работах Шора, Холево, Шумахера, Винтера, Рускаи, Пар-тасарати и др. К настоящему времени существует обширный список литературы, из которого упомянем здесь лишь монографии, дающие систематическое изложение основ этой дисциплины^{1 2 3 4 5}.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию энтропийных характеристик бесконечномерных гибридных (классически-квантовых) вероятностных систем и пропускных способностей соответствующих гибридных каналов передачи информации. Такой канал характеризуется несколькими пропускными способностями, в зависимости от рода передаваемой информации (классической либо квантовой) и дополнительных используемых ресурсов. В диссертационной работе рассматриваются классическая пропускная способность, классическая пропускная способность

¹ Nielsen М.А., Chuang I.I. Quantum Computation and Quantum Information. — Cambridge University Press, 2000

²Hayashi M. Quantum information: an Introduction. — Berlin, Springer, 2006 ³Petz D. Quantum information theory and quantum statistics. — Berlin: Springer, 2008 ⁴Холево А.С.Квантовые системы, каналы, информация. — Москва: МЦНМО, 2010 ⁵ Wilde М. Quantum Information Theory. — Cambridge University Press, 2013

с использованием сцепленного состояния и квантовая пропускная способность для специальных классов гибридных каналов.

Постановка задачи.

Основной характеристикой канала является его классическая пропускная способность С(Ф), которая определяет предельную скорость асимптотически безошибочной передачи классической информации. Протокол передачи классической информации предполагает кодирование классического сигнала состояниями на входе канала и декодирование (квантовое измерение) на выходе, по которым производится оптимизация. Имеет место теорема^{6 7}, которая дает выражение для классической пропускной способности квантового канала Ф, действующего в конечномерных гильбертовых пространствах:

С(Ф) = lim -к(Ф«"), (1)

п—>-оо П

С_Х(Ф) = sup

H^WiSi)-^WiHiSi

H(S) — энтропия фон Неймана, а точная верхняя грань берется по всевозможным конечным входным ансамблям 7Г = {ж і, Si}, где {Si} — состояния, {тгі} — соответствующие вероятности. Доказательство прямого утверждения теоремы (неравенство > в формуле (1)) основано на теореме кодирования для классически-квантового (c-q) канала. Более подробно, c-q канал предполагает наличие классического параметра х, пробегающего входной (конечный или бесконечный) алфавит X и отображение х —> S_x в квантовые состояния на выходе канала. Классическая пропускная способность С такого канала Т дается величиной

С(Т) = supx(tt;

Х(тг) = Я I ^2 KxSx ) - ^2 7l_xH(S_x

\ X / X

⁶ Holevo A.S. The capacity of quantum communication channel with general signal states. // IEEE Trans, inform. Theory.- 1998. - Vol.44, P.269-272

⁷Schumacher В., Westmoreland M.D. Sending classical information via noisy quantum channel. // Phys. Rev. A.- 1997.- Vol. 56, P. 131-138

и 7Г = {7Г_Ж} — распределение вероятностей на X.

Обратные теоремы кодирования для классических пропускных способностей (соответствующие неравенствам < в формулах (1) и (2)) опираются на квантовую энтропийную границу, дающую оценку сверху для информации Шеннона величиной х(7г), т.е. оценку для количества классической информации, которую можно передать по квантовому каналу⁸.

Другим типом классической пропускной способности является пропускная способность с использованием сцепленного состояния (entanglement-assisted classical capacity). Впервые протокол передачи информации с использованием сцепленности был рассмотрен в работе Шора с соавторами⁹. Этот протокол предполагает, что системы А (передатчик) и В (приемник) имеют общее сцепленное состояние Sab в качестве дополнительного ресурса. По сравнению с обычной пропускной способностью, использование сцепленности может дать возможность многократного увеличения скорости передачи для квантовых каналов с шумом. В частности, имеет место подобный выигрыш для ряда так называемых измерительных каналов¹⁰, представляющих интерес для приложений (квантовая томография в конечномерном пространстве, оптическое гетеродинирование с ограничением на энергию входного сигнала и др.)

Опишем этот протокол более подробно. Пусть %а и %в — гильбертовы пространства, соответствующие квантовым системам А и В. Передатчик А и приемник В находятся в чистом сцепленном состоянии Sab- Участник А кодирует классический сигнал і, появляющийся с вероятностью 7Г^, в кодирующий канал Si, действующий в %а- Далее Si применяется к соответствующей части состояния Sab, ^и совместное состояние систем А и В можно описать как S_AB = (Si (g) Ids)Sab-

После передачи по каналу Ф составная система описывается операторами плотности

а_г = (Ф о Si ld_B)S_AB-

⁸ Холево А.С Некоторые оценки для количества информации, передаваемого квантовым каналом связи. // Пробл. передачи информ. — 1973. — Т.9, №3, С.3-11

⁹Bennett С.Н., Shor P.W., Smolin J. A., Thaplyal A.V. Entanglement-assisted capacity and the reverse Shannon theorem. // IEEE Trans. Inform. Theory - 2002. - Vol. 48, P. 2637-2655

¹⁰Холево А.С. Информационная емкость квантовой наблюдаемой. // Проблемы передачи информации - 2012. - Т. 48, вып. 1, С. 3-13

Предполагается, что участник В может производить измерения наблюдаемых в системе А'В_: извлекая, таким образом, информацию о сигнале х.

Возможно применение блочного кодирования, что означает применение описанного выше протокола к тензорной степени Ф¹² канала Ф.

Пропускная способность с использованием сцепленности определяется⁹ как классическая пропускная способность описанного выше протокола, в котором производится оптимизация по всевозможным сцепленным состояниям и кодирующим каналам.

Из теоремы о классической пропускной способности следует, что величина С_еа(Ф) дается формулой

Сеа(Ф) = ІІШ ІС(ФП п—>-оо п

с>(ф) =

H(J2 т<(Ф 'л » Ub)Sab) - J2 ^7Г'^Я«^Ф 'л Mb)Sab]

и точная верхняя грань берется по всевозможным конечным распределениям вероятностей {тгі} и соответствующим кодированиям {¹д} в пространстве На-

В конечномерном случае в работе⁹ было получено явное выражение для классической пропускной способности с использованием сцепленности через квантовую взаимную информацию I(S, Ф), а именно

С7_еа(Ф) = тах/(5',Ф),

I(S, Ф) = H(S) + #(Ф(50) - Я(Ф Ы_д(|^><^|)),

\Фз)(Фб\ — очищение СОСТОЯНИЯ S.

В последние годы возрастает интерес к бесконечномерным квантовым системах и каналам (к которым относятся и квантовые гауссовские каналы). Для бесконечномерных квантовых систем были сформулированы и доказаны теоремы о классических пропускных способностях с учетом

ограничений на входные ансамбли состояний . Переход к бесконечномерному случаю связан с рядом усложнений. Первой особенностью является то, что энтропийные характеристики, участвующие в выражениях для пропускных способностей, могут принимать бесконечные значения. Вследствие этого пропускные способности могут быть бесконечны, возможно и возникновение неопределенностей. Это приводит к необходимости введения ограничений на входные ансамбли состояний (например, ограничение на среднюю энергию в случае гауссовских каналов), которые исключают такие патологии. В бесконечномерном случае происходят и другие изменения свойств энтропийных характеристик. В частности, энтропия фон Неймана, непрерывная в конечномерных пространствах, в бесконечномерном случае является лишь полунепрерывной снизу.

Важное значение имеет изучение пропускных способностей измерительных (квантово-классичсских) каналов. Простейшим примером может служить канал Л4_: соответствующий измерению наблюдаемой М = {М_у,у Є У}₇ где У — дискретный выходной алфавит. В этом случае канал представляет собой аффинное отображение выпуклого множества квантовых состояний S в множество дискретных распределение вероятностей {TiSMy^y Є У}. Описанный выше канал можно "вложить" в квантовый, используя представление

M(S) = ^TrSM_y\ey){eyl (3)

где {е_у} — ортонормированный базис. В этом случае к нему применимы известные теоремы кодирования в случае конечного У, либо их бесконечномерное обобщение в случае счетного З^¹¹-

Однако подобный прием не работает в случае непрерывного алфавита Q и наблюдаемой М, которая задается произвольной вероятностной операторно-значной мерой M{duo), так как в этом случае не существует аналога формулы (З)¹⁰. В этом случае формулировка протокола передачи информации с использованием сцепленности, а также доказательство

¹¹ Холево А.С. Классические пропускные способности квантового канала с ограничением на входе. // Теория вероятностей и ее применения — 2003. — Т. 48, №2, С. 359-374

соответствующей теоремы кодирования, требуют рассмотрения так называемых гибридных (классически-квантовых) вероятностных систем^{12 13}.

В настоящей диссертационной работе исследованы бесконечномерные измерительные каналы с произвольным измеримым алфавитом Q. Для них доказаны теоремы кодирования, дающие энтропийные выражения для классической пропускной способности и классической пропускной способности с использованием сцепленности.

Принципиально другой характеристикой канала является его квантовая пропускная способность. Квантовое состояние само по себе является информационным ресурсом, и понятие квантовой пропускной способности связано с задачей асимптотически безошибочной передачи квантовых состояний по каналу с шумом. Соответствующий протокол предполагает использование кодирования на входе канала и декодирования на выходе. Имеет место теорема кодирования, дающая следующее выражение для квантовой пропускной способности конечномерного канала (^(Ф):

Q(<$>) = lim ітах/_с(5',Ф^0п), (4)

n-^oo fl S

I_C(S, Ф) = Я(Ф()) " #(Ф Мд(|^) Ш)) (5)

- когерентная информация. Неравенство <, соответствующее обратному утверждению теоремы кодирования, доказано в^{14 15}. Доказательство прямого утверждения было получено позднее в работе¹⁶.

Во всех работах, упомянутых выше, равенство (4) доказано в случае конечномерных пространств. В бесконечномерном случае до недавнего времени соответствующая гипотеза о квантовой пропускной способности не могла быть даже корректно сформулирована, поскольку не было подходящего

¹²Barchielli A., Lupieri G. Instruments and channels in quantum information theory. // Optics and Spectroscopy - 2005. - Vol. 99, P. 425-432

¹³Barchielli A., Lupieri G. Instruments and mutual entropies in quantum information. // Banach Center Publications - 2006. - Vol. 73, P. 65-80

^liBarnum H., Nielsen M., Schumacher B. Information transmission through a noisy quantum channel // Phys. Rev. A. -1998. - Vol. 57. P.1317-1329

¹⁵ Barnum H., Knill E., Nielsen M. On quantum fidelities and channel capacities // IEEE Trans. Inform. Theory. - 1998 - Vol. 46. P.4153-4175

¹⁶Devetak I. The private classical capacity and quantum capacity of a quantum channel // IEEE Trans. Inform. Theory - 2005. - Vol. 51, №1, P.44-55

определения когерентной информации 1_С для бесконечномерного квантового канала. Такое определение для состояний с конечной энтропией было предложено в работе¹⁷. Опираясь на это определение, в диссертационной работе получена оценка верхней границы, из которой вытекает обратное утверждение теоремы кодирования.

Цели работы. Целью работы является доказательство теорем кодирования о классической пропускной способности и классической пропускной способности с использованием сцепленности для гибридных каналов в бесконечномерном случае, а также получение верхней оценки для квантовой пропускной способности произвольного бесконечномерного квантового канала.

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми. Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Доказана теорема, дающая выражение для классической пропускной способности канала с квантовым входом и с гибридным выходом в случае бесконечных размерностей.

2. Доказаны теоремы кодирования для бесконечномерного квантово-классического (измерительного) канала с произвольным измеримым алфавитом, дающие энтропийные выражения для классической пропускной способности с использованием и без использования сцепленности.

3. Получена верхняя оценка для квантовой пропускной способности, из которой вытекает обратная теорема кодирования для квантовой пропускной способности бесконечномерного квантового канала.

Методы исследования. В диссертации используются методы некоммутативной теории вероятностей, теории меры и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены в исследованиях по квантовой теории информации.

¹⁷Холево А.С, Широков М.Е. Взаимная и когерентная информация для бесконечномерных квантовых каналов. // Проблемы передачи информации — 2010. — Т. 46, вып. 3, С.3-21

Апробация работы. Результаты работы докладывались автором на следующих научных конференциях и семинарах:

4. Конференция «Ломоносов-2011», Москва, 11-15 апреля 2011 г. Тема доклада: Обратная теорема кодирования для бесконечномерных квантовых каналов.

5. Конференция «Ломоносов-2013», Москва, 8-12 апреля 2013 г. Тема доклада: Теорема о классической пропускной способности измерительного канала с использованием сцепленности.

6. Научный семинар «Квантовая вероятность, статистика, информация» Отдела теории вероятностей и математической статистики Математического института им. В.А. Стеклова РАН, несколько докладов в 2010 - 2013 гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. В первой главе вводятся основные понятия квантовой теории информации, используемые в работе. Вторая глава посвящена теоремам кодирования для классических пропускных способностей, третья глава -теоремам кодирования для классической пропускной способности с использованием сцепленности, четвертая глава — результатам, связанным с квантовой пропускной способностью. Объем диссертации 102 страницы. Список литературы содержит 49 наименований.

Благодарность. Автор выражает благодарность научному руководителю профессору А.С. Холсво за постановку задачи, обсуждение и помощь в работе.

Классическая пропускная способность измерительного канала

Квантовая система описывается сспарабсльным комплексным гильбертовым пространством Ті. Будем использовать обозначения Дирака: вектор (р будем обозначать \(р), а эрмитово сопряженный вектор (ф\. Заметим, что (ф\ является элементом сопряженного пространства непрерывных линейных функционалов на Ті. В этих обозначениях ((р\ф) — скалярное произведение векторов if и гф а ф)(ф\ — оператор ранга 1, действие которого на вектор ф Є Ті определяется соотношением

Будем обозначать 8фН) — алгебру всех ограниченных операторов в Ті. Для каждого положительного ограниченного оператора Т Є 8фН) однозначно определен след оо ТіТ = 2(Єг\Теф +00, г=1 где {ві} — некоторый ортонормированный базис, причем зачение Tr Т не зависит от выбора базиса.

Банахово пространство операторов со следом (ядерных операторов) будем обозначать Т( Н), а конус положительных операторов в Ті с конечным следом — %+(%). Оператором плотности, или состоянием, называется положительный оператор S с единичным следом: S OjTrS = 1. Множество операторов плотности будет обозначаться &{%); заметим, что оно является выпуклым подмножеством %+{%). Крайние точки множества чистых состояний, или чистые состояния, представляют собой одномерные проекторы

В работе под сходимостью квантовых состояний будет пониматься сходимость операторов плотности по следовой норме, что равносильно слабой операторной сходимости к предельному оператору плотности [34], [20].

Составная квантовая система описывается тензорным произведением соответствующих гильбертовых пространств %А T LB-, СМ- подробнее [2], [4]. Важным понятием, связанным с составными системами, является понятие частичного следа.

Определение 1. Пусть оператор SAB действует в тензорном произведении пространств НА& НВ- Частичным следом по второму пространству называется оператор SA = T BSAB, действующий в %А следующим образом: {ef} — некоторый ортонормированный базис в пространстве %в Аналогично определяется частичный след по первому пространству. Для состояний SAB составной системы мы будем называть SA, SB частичными состояниями. Будем называть состояние SAB составной системы АВ несцепленным, если оно принадлежит выпуклому замыканию множества всех состояний-произведений в &{%А T LB)- В противном случае состояние называется сцепленным. (Здесь и далее под log понимаем двоичный логарифм.) Очевидно, энтропию можно представить с использованием собственных значений следующим образом: H(S) = Хл7? ) Наряду с определением 2 будем использовать расширение определения энтропии фон Неймана на множество %+{%)1 а именно [43]

В работе будет неоднократно использоваться следующая лемма о сходимости энтропии. Лемма 1. [43, лемма 4] Пусть {Рп} — неубывающая последовательность конечномерных проекторов, сходящаяся к единичному оператору 1-ц в сильной операторной, топологии, S — положительный, ядерный оператор. Тогда последовательности {H(PnSPn)} и {H(PnSPn\\PnTPn)} являются неубывающими, причем,

Определение 4. Линейное ограниченное отображение Ф из %{T-LA) В %{%в) называется вполне положительным, если для любых конечных наборов векторов {фі} С %Bi {Фі} С Ті А выполнено неравенство Для вполне положительного отображения справедливо представление Крауса [21]. Теорема, (представление Крауса) Отображение Ф вполне положительно тогда и только тогда, когда оно может быть представлено в виде где Vi — ограниченный оператор, действующий из%А в %в и ряд V Vi сходится в слабой операторной топологии к ограниченному оператору. Отображение Ф сохраняет след тогда и только тогда, когда Определение 5. Квантовым каналом называется линейное, ограниченное, вполне положительное, сохраняющее след отображениеФ : %{%А)

Имеет место фундаментальное свойство монотонности относительной энтропии, установленное в [43]: для произвольных операторов плотности S и Т в &{%) и произвольного канала Ф : &{%А) &(1ів) справедливо неравенство

Пусть заданы квантовые системы А,В,Е, описываемые гильбертовыми пространствами HAI H-BI H-E, соответственно, и линейный оператор V : %А — T LB T LE- Тогда соотношения описывают два вполне положительных отображения Ф : %{%А) ( Нв) и Ф : %{%А) - (УІЕ), которые называются взаимно комплементарными. Если V — изометрический оператор, то оба отображения сохраняют след, т.е. являются каналами, которые также называют комплементарными. (Очищение состояний, [4, теорема 3.1.3]) Пусть SA — состояние в Н.А, тогда найдутся гильбертово пространство H.R той же размерности, что и НА, и чистое состояние SAR = \Ф){Ф\ QH,AH,R, такие, что SA = TTRSAR Систему R называют очищающей, или эталонной, системой. Суть последнего названия в том, что при передаче состояния SAR через канал Ф S 1(1д, где Ф — канал &(Н.А) — (H.R)} Ыд — тождественное отображение в &{H.R), ВЫХОДНЫМ состоянием канала является и частичное состояние в системе R не изменяется. При этом в силу предложения 3 оно является «копией» состояния SA, ТО есть его ненулевые собственные значения совпадают с собственными значениями SA Нам также понадобятся некоторые понятия классической теории информации [19].

Классическая пропускная способность каналов с классическим входом и гибридным выходом

Заметим, что определение 14 есть аналог определения квантовой условной энтропии в случае конечномерных гильбертовых пространств (см. [27]).

Все определенные выше энтропии могут принимать значения в (—оо, +оо]

Далее мы рассматриваем различные квантовые системы А, В,..., которые описываются гильбертовыми пространствами ТІА В, Энтропию cq-состояния S Є & (1,1-(. А) будем кратко обозначать Hcq(QA) и т.п. очевидно выполняется для любой системы QA по определению энтропии гибридной системы. Для доказательства второго неравенства обозначим р(ш) = TTSA(U), SA(U) = P(UJ) 1SA(U)- В ЭТИХ обозначениях HC(Q) — классическая дифференциальная энтропия распределения вероятностей с плотностью р(ио) относительно меры fi(duj). Тогда, используя вогнутость энтропии фон Неймана, получаем Hcq(QA) = НС(П) + [ p{oj)Hq{SA{oj))ii{doj) НС(П) + Hq(SqA).

Из определения 14 и сильной субаддитивности энтропии для гибридных систем (2.21) вытекает следующий результат: Лемма 6. (Монотонность условной энтропии в гибридной системе) Рассмотрим гильбертовы пространства 7iA}7iB и состояния,

Обозначим р(ш) = TrS(uj)}px(uj) = TTSX(UJ) — плотности распределений вероятностей, S(UJ) = р(ш) 1S (ш), SX(UJ) = рх(ш) 1 SX(UJ) — нормированные состояния. Нс(р), Нс{рх)— дифференциальные энтропии распределений вероятностей с плотностями р(ио) и px(uS), соответственно. Заметим, что

Классическая пропускная способность каналов с классическим входом и гибридным выходом Основной результат данного раздела — теорема кодирования для классически-гибридного канала (теорема 2), которая будет использоваться для доказательства теоремы кодирования для канала с квантовым входом и гибридным выходом в разделе 2.5.

Пусть f(x) — неотрицательная функция на множестве А" = {ж}, которое будем называть алфавитом. В этом разделе мы не предполагаем конечности множества X. Обозначим V\ класс конечных распределений вероятностей 7Г на X, удовлетворяющих условию

Классически-гибридным (c-cq) каналом с входным алфавитом X назовем отображение S : х — SX: Sx — фиксированные состояния из &{p,,Ti). Если на выходе такого канала производится измерение наблюдаемой М = {Му}, то условная вероятность получить на выходе у, если на входе ж, дается формулой

Пусть теперь дано дискретное распределение вероятностей 7Г = {7ГЖ}, рассмотрим соответствующие состояния Sx Є (5( ,). Обозначим S = 2XTTXSX — среднее состояние. Предположим, что Hcq(S) оо и введем величину Доказательство. Обозначим Xcq величину в правой части формулы 2.31). Сначала докажем неравенство C(S) xcqJ т.е. Рассмотрим блочный c-cq канал а — Sa, где а = х п — слова длины п, и наблюдаемую М п со значениями в выходном алфавите У п (в смысле определения 15). Тогда, используя монотонность относительной энтропии, для фиксированного разложения единицы получаем следующую оценку информации Шеннона через относительную энтропию:

Заметим, что величина Хщ = 811Ртг(п)єР„ Xcq{ ) аддитивна. Действительно, неравенство Хщ nXcq очевидно. Для доказательства обратного неравенства заметим, что для любого распределения 7РП) Є Vn и марги-нальных распределении 7РJ выполняется неравенство в силу того, что Xcqi71 ) вогнутая функция 7Г. Если Т1 П Є "Рп, ТО 7Г Є Vl, так как неравенство (2.28) равносильно

Пусть слова а кода (W, М) выбираются с равными вероятностями 1/7V. Рассмотрим случайную величину, описывающую выходные значения канала при использовании наблюдаемой М п . Слова удовлетворяют ограничению (2.27), а значит распределение вероятностей удовлетворяет (2.26). Пусть N = 2 , тогда из неравенства Фано (1.11) и (2.33) следует, что nR{l - ре{п, 2nR)) sup sup 4(тг(п), M(n)) + 1 riXcq + 1.

Последняя вероятность стремится к нулю по закону больших чисел (для последовательности независимых, одинаково распределенных случайных величин — logAj((x ), математическое ожидание которых равно Hcq{S)). Введем понятие условно типичного проектора. Рассмотрим слово вход ного алфавита ). Тогда блочное состояние Sa = SXl S - S SXn задается семейством операторов SXI(UJI) S S SXn(ujn). Обозначим

Для всех u)(n = (бо і,... ujn) и для каждого кодового слова а можно определить спектральный проектор Ра{ш п ) оператора Sa(uj ): отвечающий собственным значениям в интервале (2 n[H- (s(-v+s]; 2 n H7T s 6 )7 который назовем условно типичным. Имеют место следующие свойства: 1. Для любого слова а и всех ш п выполняется неравенство

Последняя вероятность также стремится к нулю по закону больших чисел (для последовательности независимых, одинаково распределенных случайных величин — log Aj((x ) с конечным математическим ожиданием H S .))).П

Перейдем к доказательству неравенства C{S) Хщі то есть покажем, что минимальная средняя вероятность ошибкире(п, 2nR) стремится к нулю при п — оо, если R х .

Рассмотрим среднее состояние Sn и для всех u/n) типичный проектор P(uj(n ) = Pn,5(uj(n ) оператора S {ш п ). Для данного набора кодовых слов {«і,... ап} возможно построить условно типичные проекторы Ра.{ш п ) = P: (a/n)). По аналогии с доказательством в [4, гл. 5] введем субоптималь ную наблюдаемую {Mj(uj n )} следующим образо

Классическая пропускная способность с использованием сцепленности для измерительного канала

Пусть Ф — квантовый канал, действующий из &{%А) В &{%А )- Дадим определение пропускной способности с использованием сцепленности между входом и выходом канала Ф, при аддитивном ограничении на входе.

Следуя [32], опишем протокол передачи информации с использованием сцепленного состояния. Предполагается, что передатчик А и приемник В находятся в сцепленном состоянии, описываемом оператором плотности (представление Шмидта), {\ЄІ) S ej)} — ортонормированный базис в пространстве %А 8 T LB-Предположим, что энтропии частичных следов состояния SAB = 1 )( 1 конечны, т.е. Участник А кодирует классический сигнал ж, появляющийся с вероятно стью 7ГЖ, в кодирующий канал Х: действующий в НА- Далее х применяется к соответствующей части состояния SAB j после чего совместное состояние А и В можно описать как

Предполагается, что участник В может производить измерения наблюдаемых в системе А В: извлекая, таким образом, информацию о сигнале х. Возможно применение блочного кодирования, тогда кодированные состояния, передаваемые через канал Фп S 1сГп, имеют вид S W = ( "»0ld")[S W], (3.1) где S B — чистое сцепленное состояние для п экземпляров системы АВ, удовлетворяющее условию H(Sjj ) оо, а — классическое сообщение, а —а — кодирования для п экземпляров системы А. На входные состояния »5ЛП) канала Ф181"- налагается ограничение (2.7), т.е. TTS F пЕ: которое эквивалентно аналогичному ограничению для канала Фп S Ы п с операторами F n (g) Ifa. Обозначим ф в совокупность пар (7Pn\ S ), где 7г(п) = {тГа } — конечное распределение вероятностей, а Т, — множество состояний вида (3.1), удовлетворяющих ограничению

Для канала Ф с ограничением (2.5), т.е. TYSF Е7 рассмотрим величину С (Ф»,Д(» )= gup х({7Гі»)};{(Ф»І(іГ)5Іп)}), (3.2) (тг("),5]())єф в где xiWxj jiSx}) = HqQ2x7rxSx) - 2x xHq(Sx) — квантовый аналог информации Шеннона, (см. также (1)). Классическую пропускную способность с использованием сцепленности канала Ф с ограничением (2.7) зададим соотношением

Отметим, что к такому выражению приводит операциональное определение в терминах достижимых скоростей передачи [32].

Протокол передачи информации с использованием сцепленности применим и для измерительного канала Л4, однако при этом в распоряжении участника В оказывается гибридная система А В , где А = Q — классическая система на выходе измерительного канала. Таким образом, после измерения наблюдаемой М состояние в гибридной системе описывается следующим образом:

Из теоремы 3 следует, что классическая пропускная способность с использованием сцепленного состояния для квантово-классического канала Л4 при ограничении (2.5) дается соотношением Сеа(М}АЕ) = Нгп -С (Мст}А ). 3.2 Классическая пропускная способность с использованием сцепленности для измерительного канала

Пусть измерительный канал Л4 определяется вероятностной операторно-значной мерой M(duj)} которая задает квантовую наблюдаемую со значениями в Q (см. определение 6). Тогда канал Л4 отображает множество состояний &{%А) В множество распределений вероятностей

Для краткости будем иногда писать Ps(duj) = TrSM(duj). Применив лемму 4, найдем семейство борелевских функций ш — (ik{uo). Фиксируем ортонормированный базис {е/г} 1 в Ті. В силу условия (2.2) и спектрального разложения S = Хл=і 1 )( 1 соотношение для Р -почти всех UJ задает оператор плотности в Ті, который будем называть апостериорным состоянием, Смысл этого названия в том, что S(UJ) описывает состояние квантовой системы после измерения наблюдаемой М, которое завершилось исходом ш [44].

Определение 19. Рассмотрим оператор плотности S, удовлетворяющий условию Hq(S) оо и наблюдаемую М. Редукция энтропии определяется соотношением ER(S, М) = Hq(S) - [ p(u)Hq(S(u))fi(du), (3.6) Редукция энтропии корректно определена при Hq(S) оо и является полунепрывной снизу функцией состояния S [45]. Отметим следующее свойство аппроксимации [45, теорема 2]. Лемма 8. Рассмотрим последовательность состояний Sn Є &{%). Тогда если

Пусть теперь / — произвольное состояние. Предположим сначала, что TvSAF Е Е для некоторого положительного Е . Пусть / имеет спектральное разложение / = Хл 1 )( 1- Рассмотрим возрастающую последовательность проекторов Рп = УІ=І\(РІ){(РІ\, сходящующея к единичному оператору 1А: и последовательность состояний SAB(n) = Рп IBSxABPn 1в + \Ф){Ф\ 8 (SB - SxB(n))} где SB(n) = ТТА(РП IBSABPU 8 їв), \Ф) фиксированный единичный вектор из подпространства lin{(/?j}, принадлежащий области определения оператора \/F. Частичными состояниями SAB(n) являются

Верхняя граница для квантовой пропускной способности

Другой характеристикой является точность воспроизведения сцеплен-ности состояния S Є &(7іА), задаваемая выражением где \ФАН) — очищение состояния S в пространстве HA &IIRI гДе %д — НА — эталонное пространство. Возможно более удобное выражение для Fe(S, Ф), использующее разложение Крауса для канала Ф, а именно, если канал Ф имеет представление Крауса Ф(5 ) = ViSV . Теперь рассмотрим процесс передачи информации через квантовый канал Ф : &{ПА) - &{UB) И составной канал Фст : e{Hfn) - &{4%п).

Определение 25. Величина R 0 называется достижимой скоростью передачи квантовой информации, если существует последовательность пространств nSn такая, что Определение 26. Квантовой пропускной способностью 5(Ф) канала Ф называется точная верхняя грань множества допустимых скоростей.

В конечномерном случае справедливо следующее соотношение, связывающее квантовую пропускную способность и когерентную информацию (см. [29],[30], [35]): 2(Ф) = lim -тах/с(5 ,Ф0п), (4.20) где i S , Ф) — когерентная информация квантового канала Ф на состоянии S, а максимум берется по всем состояниям S во входном пространстве %п канала Фп.

Проблемой является доказательство теоремы кодирования в бесконечномерном случае, когда кодирующие п : &(w-n ) — &(7ід ) и декодирующие P(n) : &(Wg ) — (Н ) каналы таковы, что dinfH = dn оо, а dim?- = diniHg = оо.

Когерентная информация в бесконечномерных пространства корректно определена только на состояниях с конечной энтропией. Далее доказывается неравенство, соответствующее обратой теореме кодирования для каналов с ограничением на входные состояния вида H(S) оо.

Обозначим правую часть формулы (4.21) через 5(Ф). Введем обозначения: — кодирование, Л = Т оф. В рассматриваемой ситуации справедлива следующая лемма ([4], лемма 9.3.2).

Лемма 12. Пусть S — состояние в гильбертовом пространстве T-L, dinfH оо7 — кодирующий канал &%) — {% ), (СИТОНА оо), Л — канал &{% ) — &{%). Тогда существует изометрическое отобраоюение V : T-L —Т-С такое, что Fe(S, Л о Adl/) Fe(S, Ло)2, где kc\V{S) = VSV . Доказательство. Рассмотрим разложения Крауса для каналов А и : A(S) = J2 A SAh s(s) = Z) EJSEJ і З Используя определение (4.18), имеем Fe(S,Ло) = 2(TrAiEjS)2 = Y \xij? Матрица X является матрицей Гильберта-Шмидта и поэтому допускает разложение X = WDU , где D — диагональная матрица, a W, U — унитарные [2]. Из такого разложения матрицы X следует, что возможно преобразовать разложения Крауса для каналов А и так, чтобы матрица X стала диагональной и

Теперь приступим к доказательству неравенства Q( &) Q(&)- Заметим, что требование (4.19) к достижимым скоростям можно заменить на Urn Fe(5 , V{n) о Фп о S{n)) = 1, (4.22) П—т 00 где 5 (п) — хаотическое состояние во входном пространстве Tv-n размерности dimH n = dn. Для доказательства равносильности воспользуемся следующими леммами. Лемма 13. [41] Для произвольного состояния S справедлива оценка 1 - Fe(S, Ф) 4у/1- (8ирр5 ,Ф) Лемма 14. [30] Пусть Ті — гильбертово пространство размерности 2d, Ф — канал в Ті. Тогда найдется подпространство Ті размерности d такое, что 1-FsCH V о Ф) 2(1-Fe(S )), для некоторого пространства H W размерности dirnH = dn/2 и некоторого декодирования Т п . Обе леммы можно использовать, так как они применяются к каналу Т п о фп о п\ который является каналом с конечномерными входом и выходом.

Поэтому рассмотрим входное пространство w-n\ diinH = 2 + )), и кодирующее и декодирующее отображения Е п и Т п\ удовлетворяющие условию следует из того факта, что состояние Id- (n) (g) п {\QSn )(QSn \) является чистым в силу изометричности кодирования " , более того, является очищением s n .

Когерентную информацию Ic{S n\ V n офп) можно определять соотношением (4.4) как в конечномерном случае, поскольку для всех кодирований Е п оба состояния SB R1 И SB1 — это состояния в конечномерных пространствах и имеют конечные энтропии.

Заметим, что следовая норма монотонна по отношению ко взятию частичного следа, то есть для любого оператора ТАВ Є {Т ІА T LB) справедливо неравенство (см. [4, глава 9]): Воспользуемся оценкой для модуля непрерывности энтропии, то есть следующей леммой.