Границы Пуассона и Мартина для двумерных случайных блужданий Куркова, Ирина Анатольевна

Введение к работе

Актуальность темы. Одной из важнейших задач в исследовании транзитных цепей Маркова является нахождение границ Пуассона и Мартіша. Ее гшение позволяет, с одной стороны, описать финальное поведение процесса и ізличать предельные точки траекторий. С другой стороны, оно дает интеграль-эе представление всех ограниченных гармонических функций в случае грашщы уассона, и, более того, всех неотрицательных гармонических функций в случае эаницы Мартіша.

Интегральное представление послужило мотивом для создания теории границ [артина в 1941 году. Мартин в [1] исследовал множество положительных реше-т. уравнения Лапласа в области евклидова пространства. Компактификация [артина была введена Дубом [2] и Хантом [3]. Это пополнение X* пространства )стояшгіі X транзиентной цепи в метрике, зависящей от асимптотики функции рина. Тогда граница Мартіша есть ЭХ = Х'\Х. Эта теория получила дальней-ее развитие в работах Дынкина, например, в [4]. Интегральное представление ірмонических функций вдоль ЭХ не единственно. Чтобы добиться единственно-пі, надо исключить из дХ некоторые точки. Полученное множество называется эостранством выходов или минимальной границей Мартина. Для определения эаницы Пуассона к настоящему моменту накоплено много подходов; они рас-іатриваются, например, в [5].

Перечислим важные работы, в которых изучаются границы Пуассона и Марана для случайных блуждашш на группах и графах. В [5] и [6] для блужданий і группах грашща Пуассона связывается с энтропией. В [7] найдена минималь-ая грашща Мартина для случайных блуждашш в Z: она состоит не более, чем з двух точек. Ней и Сшщер в [8] и Сшщер в [9] нашли грашщу Мартіша для

1. R.S. Martin. Minimal positive harmonic functions // Trans. Amer. Math, oc. 49, 137-172 (1941).

2. J. Doob. Diskrete potential theory and boundaries // J. Math. Mech. 8 (7), 53-458 (1959).

3. G.A. Hunt. Markov chains and Martin boundaries // Illinois J. Math. 4 (7), L3-340 (1960).

4. Е.Б. Дынкин. Граничная теория марковских процессов (дискретный слу-ій) // Успехи Мат. Наук 24 (7), 3-43 (1969).

5. V. Kaimanovich. Measure-theoretic boundaries of Markov chains, 0-2 laws and ltropy /I В сборнике: Harmonic analysis and discrete potential theory, M.A. Pi-irdello (ed.), Plenum, New York, (7), 145-180 (1992).

6. V. Kaimanovich and A.M. Vershik. Random walks on discrete groups: bound-y and entropy // Ann. Probab. 11, 457-490 (1983).

7. J.L. Doob, J.L. Snell and R.F. Williamson. Application of boundary theory
і sums of independent random variables // В сборнике: Contributions to probability
id statistics. Stanford University Press, Stanford, CA, (7),- 182-197 (1960).

8. P. Ney and F. Spitzer. The Martin boundary for random walk // Trans. Amer.
rath. Soc. 121, 116-132 (1966).

9. Ф. Сшщер. Принципы Случайного Блуждания j/ Мир, Москва (1969).

пространственно однородных случайных блужданий в Z , d > 2, если экспоненциальный момент скачка за один шаг конечен. Она гомеоморфна сфере в случае ненулевого среднего скачка за один шаг и состоит из одной точки в противном случае. В обоих случаях граница Пуассона тривиальна. Гармонические функции для блужданий на нильпотентных группах проанализированы в [10]. Граница Мартина для случайных блужданий на группах с конечным числом образующих исследовалась в [11] и позже в [12]. В ряде работ компактификация Мартина сравнивается с другими возможными компактификациями пространства состояний цепи. Например, в [13] для случайных блужданий на деревьях доказывается совпадение компактификации Мартина с "компактификацией концов". В [14] для блужданий на гиперболических графах доказывается совпадение компактификации Мартина с так называемой "гиперболической компактификацией". В работе [15] компактификация Мартина сравнивается с другими для блужданий на симметрических пространствах.

Таким образом, в большинстве работ речь идет об исследовании границ для однородных блужданий на группах, деревьях, симметрических пространствах. В диссертации рассмотрены неоднородные блуждания в конусах решетки. Найдены границы Пуассона и Мартина для транзиентных случайных блужданий в плоскости Z² с измененными скачками в конечном числе точек, в полуплоскости Z х Z+ и в четверти плоскости (Z+)². Блуждания однородны во внутренних частях перечисленных областей, за исключением конечного числа точек, и имеют негладкие особенности на границе. Эти модели возникают во многих прикладных задачах, в частности, в теории массового обслуживания. Им посвящен ряд работ, в которых используются, главным образом, вероятностные методы. Например, в [16 получена их классификация, в [17] решается задача больших уклонений.

Для блуждания в плоскости Z², когда скачки одинаковы во всех точках пространства, граница Мартина найдена Неем и Спицером в [8] в 1966 году. И> метод — также вероятностный. Он основан на замене меры, в точности такой же, как при решении задачи больших уклонений. Однако если мы изменим скачкк

10. Г.А. Маргулис. Положительные гармонические функции на нильпотентных группах // Дока. АН СССР 166 (5), 1054-1057 (1966).

11. Е.Б. Дынкин и М.В. Малютов. Случайное блуждание на группах с конечным числом образующих // Докл. АН СССР 137 (5), 1041-1045 (1961).

12. Y. Derriennic. Marche aleatoire sur le groupe libre et la frontiere de Martir
И Wahrscheinlichkeitsh. verw. Geb. 32 (7), 261-276 (1961).

13. M.A. Picardello and W. Woess. Martin boundaries of random walks: ends о trees and groups // Trans. Amer. Math. Soc. 302 (7), 185-205 (1987).

14. A. Ancona. Positive harmonic functions and hyperbolicity // Potential theory surveys and problems. Lecture Notes in Math. 1344, J. Krai et al. (ed.), Springer Berlin, 1-23 (1988).

15. Y. Guivarch, L. Ji and J. Taylor. Compactifications of Symmetric Spaces // Springer (1997).

16. G. Fayolle, V.A. Malyshev and M.V. Menshikov. Topics in Constructs
Theory of Countable Markov Chains // Cambridge University Press (1995).

17. И.А. Игнаткж, В.А. Малышев и В.В. Щербаков. Влияние границ в зада
чах о больших уклонениях // Успехи Мат. Наук 49 (2), 43-102 (1994).

:отя бы в одной точке пространства, этот метод уже не работает. Тем более, он іеприменим для блужданий в полуплоскости и в четверти плоскости с линейными іеоднородностями. В диссертации предложен другой подход — аналитический. Эн позволяет вычислить границу Мартина в Z², когда скачки в конечном числе точек изменены, а также решить эту задачу в Z х Z+ и в (Z+) . Этот подход со-:тоит в комплексном анализе эллиптической кривой, определяемой производящей рункцией скачков во внутренней части.

Цель работы. Целью настоящей работы является вычислите границ Пуас-:она и Мартина для случайных блужданий в плоскости Z с измененными скач-сами в конечном чисте точек, в полуплоскости Z х Z+ и в четверти плоско-:ти (Z+)² с линейными неоднородностями.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные из пи состоят в следующем.

1. Найдена граница Пуассона для случайных блужданий в Z² с измененными жачками в конечном числе точек, для блужданий в Z х Z+ и в (Z+) во всех :лучаях, а также в некоторых случаях для блужданий в (Z+) х Z^m и в (Z+)".

2. Найдена граница Мартіша для случайных блужданий в Z² с измененными гкачками в конечном числе точек, для блужданий в Z х Z+ ив (Z+) во всех случаях.

3. Установлена связь границы Мартина с вещественными циклами на рпма-ювой поверхности, которая определяется производящей функцией скачков.

Методы исследования. Для нахождения границы Пуассона используются слассические вероятностные методы и мартингальная техника. Для нахождения -раницы Мартіша применяются методы комплексного анализа, факты из теорші шмановых поверхностей и алгебраической геометрии.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации носят георетическігіі характер и могут быть полезны специалистам по марковским процессам, прежде всего по граничной теории, а также специалистам по ком-ілексному анализу.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на научном :еминаре ИППИ РАН, семинаре лаборатории больших случайных систем МГУ, :еминаре по теории вероятностей и статистической физике кафедры теории ве-эоятностей МГУ.

Публикации. Основное содержание диссертащш изложено в 3 работах, список соторых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертащш состоит из введения, трех мав и списка литературы, содержащего 51 наименование. Общий объем диссертащш 97 страниц.

Похожие диссертации на Границы Пуассона и Мартина для двумерных случайных блужданий

Об усреднении решений уравнения Пуассона в перфорированных областях с различными краевыми условиями на границе разных полостей Воробьев Антон Юрьевич