Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Случайные полиномы одной переменной 10
1.1. Среднее число вещественных корней 10
1.1.1. Плотность для множества плоских прямых 10
1.1.2. Плотность для множества полиномов 12
1.1.3. Примеры 18
1.2. Корреляционная функция вещественных корней 25
1.3. Распределение числа вещественных корней 33
1.4. Среднее число корней в комплексной области 40
1.5. Один необычный пример 44
1.5.1. Схема построения примера 45
1.5.2. Построение . 46
1.5.3. Построение с и окончание доказательства 48
Глава 2. Случайные полиномы нескольких переменных 52
2.1. Средняя площадь алгебраической гиперповерхности 52
2.2. Среднее число ыулей градиента случайного полинома 62
2.3. Среднее число решений системы уравнений 64
2.4. Общая формула 68
2.4.1. Постановка задачи 68
2.4.2. Вспомогательные леммы 70
2.4.3. Доказательство теоремы 79
Выводы
Заключение
- Плотность для множества плоских прямых
- Распределение числа вещественных корней
- Средняя площадь алгебраической гиперповерхности
- Среднее число решений системы уравнений
Введение к работе
0.1. Краткая история
Рассмотрим случайный вещественный полином одной переменной
Gn{t) = & + * + ... + ^i""1 + „*", (1)
где о , --, п. — некоторые случайные величины, которые в этом параграфе мы будем считать независимыми, одинаково распределенными и невырожденными. Обозначим через Мп С С1 множество всех корней полинома. Для произвольного множества Л обозначим через Xq(A) число элементов в А. Так, Хо(Мп П М1) означает число вещественных корней полинома, Х$(Мп П [а, Ь\) означает число вещественных корней в промежутке [а.Ь], а Хо(Мп П О)— число корней, лежащих в некотором подмножестве П комплексной плоскости
с1.
0.1.1. Вещественные корни Блох и Пойа [21] первыми по существу рассмотрели задачу о вещественных корнях случайных полиномов. Они получили оценку
ЕА0(МП П R1) = 0{л/п), rw оо
для случая, когда P{j = —1} = Р{^ = 0} = P{j = 1} = |. Их исследования продолжили Литтлвуд и Оффорд [27, 28, 29], которые для нормально распределенных, равномерно распределенных на [—1,1] и равномерно распределенных на { — 1,1} величин j доказали соотношение
Clogn
(log log п)'
^ ЕАо(Мп П Ш1) < 25(logn)2 + 12 log п, п Є Н.
Первый асимптотически точный результат был получен Кацем для нормальных [25] и равномерно распределенных [26] случайных величин:
ЕА0(МП П R1) = - logn(l + о(1)), n ^ со. (2)
Впоследствии И.А. Ибрагимов и Н.Б. Маслова [6, 7] обобщили данную формулу на класс случайных величин, распределение которых принадлежит области пррітяжения нормального закона: для распределений с нулевым средним выполнено соотношение
Е{А0(М„ П M})\Gnit) ф 0} = -logn(l + о(1)), п - оо,
для распределений с ненулевым средним половина корней "исчезает": Е{А0(М„ П M.l)\Gn(t) ф 0} - -logn(l + о(1)), п -> со.
Примерно в это же время Логаи и Шепп [30, 31] показали, что для случайных величин j с характеристической функцией распределения е~^"(0 < a = 2) справедливо асимптотическое равенство
ЕАоОКПМ1) = calogn(l + o(l)), 71^ со,
причем константа са была ими явно выписана. Эта оценка была распространена И.А. Ибрагимовым и Н.Б. Масловой [9] на класс распределений, принадлежащих области притяжения устойчивого закона.
Из личной беседы с И.А. Ибрагимовым автору стало известно, что среди специалистов в данной области существует гипотеза о том, что для любого невырожденного распределения коэффициентов существуют такие константы ci,c-2, что справедливо следующее неравенство:
сх log п < ЕА0(М„ П Ж1) < с2 log п, п N.
Пример, построенный в параграфе 1.5., опровергает данную гипотезу.
0.1.2. Комплексные корни Первый результат в изучении поведения среднего числа корней в коылексной области получил Хаммерсли [23]. Он вывел точную формулу для ЕАо(МГ( П {\z\ < г}) в случае нормально распределенных коэффициентов (случай произвольного распределения, имеющего плотность рассмотрен в параграфе 1.4.).
Вскоре после этого Д.И. Шпаро и М.Г. Шур [19] доказали предельную теорему, формулируемую следующим образом. Пусть є > 0 и m Є Z+. Рассмотрим монотонно неубывающую функцию
-1 1+Є
log log log' t
n!og+lQg'h..-iog+t,
m+1
fc=l k
где log+ s = max(l.logs). Пусть выполнено иеравество
Е./(ЮІ)<оо
(которое заведомо верно, если Е|^-|п < со для некоторого а > 0). Тогда для любого 3 > 0 и любых а, /3, подчиненных неравенствам 0 ^ а < (3 < 2тг, выполнены соотношения
-Л,,(М„ П {1 - 8 < \z\ < 1 + 5}) -^-> 1, п - со,
-\[\{Мп Г\{а< argz < /3}) —> -——, п -» со,
т.е. при довольно слабых ограничениях на коэффициенты случайного полинома с ростом степени почти все его корни "равномерно концентрируются "около единичной окружности.
Шепп и Вандербей [32] показали, что в гауссовском случае для любого О < s < со выполнено соотношение
-ЕЛ0(А4 П {е~" ^ \z\ < Є»}) > Є-^ч - -, 77, -> со,
п 1-е ih S
которое И.А. Ибрагимов и Зейтуни [24] обобщили на класс распределений, принадлежащих области притяжения устойчивого закона с показателем а:
1 1 + e~as 2
-ЕЛ0(Л4 П {е-» < \z\ ^ е«}) —> —— , n ^ ос.
п 1 — e~as as
Построенный в параграфе 1.5. пример случайного полинома показывает, что помимо "концеі-ітрации"корней около единичной окружности комплексной плоскости в их поведении может наблюдаться совершенно иная картина.
0.2. Связь с интегральной геометрией
Асимптотическую формулу (2) в случае стандартных гауссовских коэффициентов Кац получил, доказав следующее равенство:
, і
2\ 2
(п+1)Г(1-2)
{i~t2)-ldt. (3)
ЕА0(М„П [(*,/?]) = І [ (1
1 - t2n+2
Предложенное им доказательство основано на следующем несложном факте. Пусть функция /() непрерывна на отрезке [а>,Р>]., непрерывно дифференцируема на интервале (а. (3) и имеет конечное число стационарных точек (где производная обращается в ноль). Тогда число нулей функции fit) на интервале (а. 0). которое мы обозначим за п(а, /?), определяется формулой:
п(а,Р) = ^ J d(J cos (Cf(t))\f'(t)\ dt.
При подсчете 7i(a-, /3) кратный нуль считается один раз, а нуль, совпадающий с а или (3, считается за "пол-нуля".
В 1995 году Э.Костлан и А.Эдельмап [22] нашли изящный геометрический вывод формулы (3), суть которого состоит в следующем. Так как при домно-жении коэффициентов и а положительную константу корни многочлена не меняются, то можно считать, что случайный вектор = (о> > и) равномерно распределен на единичной сфере Sn. Рассмотрим вектор v(t) ~ (l,t,... ,tn) и его нормированный вариант j{t) — v(t)/\\v(t)\\. Число t является корнем многочлена (1) тогда и только тогда, когда скаларное произведение (,7(0) обращается в ноль. Множество таких (при заданном t) есть единичная сфера размерности п— 1. которую мы будем называть экватором для полюса7(і) и обозначать через j(t)±. Если t варьировать от а до /3, то j(t) будет двигаться по кривой 7-, принадлежащей Зп, а соответствующий экватор 'y(t)± будет
"заметать"на Sn некоторую область ті, площадь которой с учетом наложений (некоторые точки сферы могут покрываться сразу несколькими экваторами тСО-L пРи разных t) мы обозначим через |7_l|- Нетрудно видеть, что с ростом t эта площадь растет пропорционально расстоянию, которое пробегает точка j(t). Для того, чтобы найти коэффициент пропорциональности, достаточно заметить; что если точка пробежит по некоторой единичной полуокружности (длины тг), то соответствующий ей экватор "заметет"всю сферу 8п (без наложений). Получаем:
ы = ы
|5'»| 7Г '
С другой стороны, легко заметить, что левая часть есть ни что иное, как среднее число вещественных корней случайного полинома на [a, 0\ - Поэтому
ЕА0(МяПо;)/3) = -|7І.
Теперь для получения (3) достаточно вычислить длину кривой 7) что не составляет никакой сложности.
Описанный вывод формулы для среднего числа вещественных корней является в представлении автора весьма важным, тж. указывает на то, что задачи., связанные со случайными полиномами, можіто исследовать с помощью геометрических методов. Такому исследованию посвящена данная работа.
0.3. Краткое содержание работы
Первая часть работы имеет дело с полиномами от одной переменной.
Параграф 1.1. начинается с примера, взятого из книги Л. Сантало [13, стр. 3]. Б нем рассматривается множество плоских прямых, на котором задается некоторая плотность (дифференциальная форма). Путем интегрирования этой плотности на множестве прямых определяется мера, которая позволяет ввести понятие случайной прямой. После этого введенная плотность рассматривается в различных координатах, что позволяет вычислить сред-
нее число точек пересечения случайной прямой с некоторой фиксированной кривой.
Похожая конструкция используется в большинстве дальнейших рассуждений. Во второй части параграфа она применяется к случайным полиномам (по аналогии со случайными прямыми), в результате чего выводится формула для среднего числа вещественных корней случайного полинома, коэффициенты которого имеют произвольную совместную плотность распределения. В качестве следствия из формулы приводится равномерная оценка сверху для среднего числа вещественных корней, лежащих в множестве, отделимом от {—1,1}. Далее полученная формула приводится к другому виду с помощью аппарата характеристических функций, после чего из нее в качестве примера выводится формула для "средней шютности"вещественных корней для устойчивого закона с параметром S Є (0,2]. Случаи 5 = 1 (распределение Коїли) и 5 = 2 (нормальное распределение) рассматриваются отдельно.
В параграфе 1.2. вещественные корни случайного полинома рассматриваются как случайное точечное поле. Находится его корреляционная функция. В качестве следствия рассматривается случай нормального распределения, который был исследован П. Блехсром и К. Ди [20].
В параграфе 1.3. решается вопрос о нахождении распределения числа вещественных корней.
В параграфе 1.4. выводится формула среднего числа комплексных корней, лежащих в некоторой области комплексной плоскости.
В параграфе 1.5. построен пример случайного полинома степени п с независимыми одинаково распределенными коэффициентами, имеющего в среднем менее 9 вещественных корней при всех п. Что касается его комплексных корней, то в среднем | + О [~j из них них концентрируется около нуля и столько же уходит на бесконечность при п —* со.
Во второй части рассматриваются полиномы от нескольких переменных, а также системы полиномов.
В параграфе 2.1. вычисляется средняя площадь случайной алгебраической поверхности, порожденной нулями случайного полинома от d переменных, лежащих в произвольном ограниченном измеримом множестве. Отдельно рассматривается случай нормального распределения: выводится формула, ранее полученная И.А. Ибрагимовым и С.С. Подкорытовым [8].
Параграф 2.2. развивает идею предыдущего параграфа и по аналогии с нулевой поверхностью полинома рассматривается множество нулей его градиента: находится среднее число элементов в нем.
В параграфе 2.3. находится, сколько точек содержит в среднем случайное векторное поле, порожденное системой из d полиномов от d переменных.
Параграф 2.4. обобщает результаты второй части. В нем рассматривается система из к случайных функций от d переменных, где к ^ d. Находятся достаточные условия, при которых данная система будет невырожденной, и находится средний объем подмногообразия размерности d — :, порожденного этой системой (при этих условиях).
0.4. Предварительные сведения и обозначения
Везде в работе будут использоваться обозначения и правила внешнего исчисления дифференциальных форм. Ознакомиться с ними можно, например, в книге А.Картана [10].
Через A/,;(j4) мы обозначаем меру лебега множества А при к ^ 1 и количество его элементов при к = 0.
Символом Е/; мы будем обозначать единичную матрица размера к х к, а Ok — матрицу, состоящую из одних нулей, размера/;; х к.
q; обозначает мультииндекс, у которого на к-м месте стоит единица, а на остальных — нули.
Через х{А) мы будем обозначать индикатор множества А
Если М является матрицей, то результат ее транспонирования будет обо-
9 значаться через АҐ1.
0.5. Благодарности
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю И.А. Ибрагимову за постановку задач, а также за многочисленные обсуждения и советы, касающиеся практически всех сторон диссертации. Также автор благодарен людям, чьи советы помогли ему в процессе написания работы: М.И. Гордину (параграф 1.2.), А.Ю. Зайцеву (параграф 1.5.), А.И. Назарову (формула 1.6). Автор очень признателен А.В. Булинскому, В.А. Егорову и М.А. Лифшицу за то, что они любезно согласились прочесть данную диссертацию.
Плотность для множества плоских прямых
В 1995 году Э.Костлан и А.Эдельмап [22] нашли изящный геометрический вывод формулы (3), суть которого состоит в следующем. Так как при домно-жении коэффициентов и а положительную константу корни многочлена не меняются, то можно считать, что случайный вектор равномерно распределен на единичной сфере Sn. Рассмотрим вектор v(t) (l,t,... ,tn) и его нормированный вариант j{t) — v(t)/\\v(t)\\. Число t является корнем многочлена (1) тогда и только тогда, когда скаларное произведение (,7(0) обращается в ноль. Множество таких (при заданном t) есть единичная сфера размерности п— 1. которую мы будем называть экватором для полюса7(і) и обозначать через j(t)±. Если t варьировать от а до /3, то j(t) будет двигаться по кривой 7-, принадлежащей Зп, а соответствующий экватор y(t)± будет "заметать"на Sn некоторую область ті, площадь которой с учетом наложений (некоторые точки сферы могут покрываться сразу несколькими экваторами тСО-L ПРИ разных t) мы обозначим через 7_L- Нетрудно видеть, что с ростом t эта площадь растет пропорционально расстоянию, которое пробегает точка j(t). Для того, чтобы найти коэффициент пропорциональности, достаточно заметить; что если точка пробежит по некоторой единичной полуокружности (длины тг), то соответствующий ей экватор "заметет"всю сферу 8п (без наложений). Получаем:
С другой стороны, легко заметить, что левая часть есть ни что иное, как среднее число вещественных корней случайного полинома на [a, 0\ - ПоэтомуТеперь для получения (3) достаточно вычислить длину кривой 7) что не составляет никакой сложности. Описанный вывод формулы для среднего числа вещественных корней является в представлении автора весьма важным, тж. указывает на то, что задачи., связанные со случайными полиномами, можіто исследовать с помощью геометрических методов. Такому исследованию посвящена данная работа. Первая часть работы имеет дело с полиномами от одной переменной. Параграф 1.1. начинается с примера, взятого из книги Л. Сантало [13, стр. 3]. Б нем рассматривается множество плоских прямых, на котором задается некоторая плотность (дифференциальная форма). Путем интегрирования этой плотности на множестве прямых определяется мера, которая позволяет ввести понятие случайной прямой. После этого введенная плотность рассматривается в различных координатах, что позволяет вычислить среднее число точек пересечения случайной прямой с некоторой фиксированной кривой. Похожая конструкция используется в большинстве дальнейших рассуждений. Во второй части параграфа она применяется к случайным полиномам (по аналогии со случайными прямыми), в результате чего выводится формула для среднего числа вещественных корней случайного полинома, коэффициенты которого имеют произвольную совместную плотность распределения. В качестве следствия из формулы приводится равномерная оценка сверху для среднего числа вещественных корней, лежащих в множестве, отделимом от {—1,1}. Далее полученная формула приводится к другому виду с помощью аппарата характеристических функций, после чего из нее в качестве примера выводится формула для "средней шютности"вещественных корней для устойчивого закона с параметром S Є (0,2]. Случаи 5 = 1 (распределение Коїли) и 5 = 2 (нормальное распределение) рассматриваются отдельно. В параграфе 1.2. вещественные корни случайного полинома рассматриваются как случайное точечное поле. Находится его корреляционная функция. В качестве следствия рассматривается случай нормального распределения, который был исследован П. Блехсром и К. Ди [20]. В параграфе 1.3. решается вопрос о нахождении распределения числа вещественных корней. В параграфе 1.4. выводится формула среднего числа комплексных корней, лежащих в некоторой области комплексной плоскости. В параграфе 1.5. построен пример случайного полинома степени п с независимыми одинаково распределенными коэффициентами, имеющего в среднем менее 9 вещественных корней при всех п. Что касается его комплексных корней, то в среднем + О [ j из них них концентрируется около нуля и столько же уходит на бесконечность при п — со. Во второй части рассматриваются полиномы от нескольких переменных, а также системы полиномов. В параграфе 2.1. вычисляется средняя площадь случайной алгебраической поверхности, порожденной нулями случайного полинома от d переменных, лежащих в произвольном ограниченном измеримом множестве. Отдельно рассматривается случай нормального распределения: выводится формула, ранее полученная И.А. Ибрагимовым и С.С. Подкорытовым [8]. Параграф 2.2. развивает идею предыдущего параграфа и по аналогии с нулевой поверхностью полинома рассматривается множество нулей его градиента: находится среднее число элементов в нем. В параграфе 2.3. находится, сколько точек содержит в среднем случайное векторное поле, порожденное системой из d полиномов от d переменных. Параграф 2.4. обобщает результаты второй части. В нем рассматривается система из к случайных функций от d переменных, где к d. Находятся достаточные условия, при которых данная система будет невырожденной, и находится средний объем подмногообразия размерности d — :, порожденного этой системой (при этих условиях).
Распределение числа вещественных корней
Для произвольного фиксированного у є Рї(У{х.у)) рассмотрим сечение Vy = У(:і,у) П Р2-1(у). Применяя предыдущую лемму, мы получаем, что (d — &)-мерную дифференциальную форму на Му(1) ҐІ Vy, индуцированную dx\... dxm, можно представить в следующем виде: Чтобы получить левую часть (2.12), нам надо проинтегрировать дифференциальную форму ги = hdy\... dyrdXy по М($ї). Используя (2.13)., мы можем на M(Q) П У[х.у) представить w в следующем виде:
Однако в этом виде нам ее проинтегрировать не удастся, поэтому мы сделаем частичную замену переменных (а именно, Ї/І,..., заменим на жі,..., хі,). Для этого возьмем от системы уравнений (2.11) полный дифференциал, после чего часть слагаемых перенесем в правую часть:
Перемножим эти к равенств между собой по правилу внешнего произведения дифференциальных форм. Слева, мы получим Поэтому верно следующее равенство: Подставим полученное выражение для dy\... dyi- в выражение (2.14) для w и раскроем скобки. Заметим, что при этом все слагаемые ]Cy=fc+i ЖГ УІ обратятся в ноль, перемножившись с dyiv+i... dyr, а слагаемые Xw=i Tht Xj при перемножении дадут Данное равенство выполняется на M(Cl) в некоторой окрестности V - y) точки (х, у) Є M(Q). в которой матрицы G\ и Gs невырождены. А так как это верно почти для всех точек M{Vl). то мы можем проинтегрировать (2.15) по всему M(Q), в результате получим требуемое (2.12). Пусть теперь к = d. Рассмотрим дифференциальную форму hdy\ ... dyr-Как и при к d. сделаем замену 7/1,.,., на х\, ...,. Аналогично получаем, что па М(П) почти везде выполнено соотношение Проинтегрируем данное равенство по М(Г2). Заметим, что при этом для каж дого у форма hdyi... dyr слева будет считаться столько раз, сколько точек лежит в M(Q). Поэтому мы получим требуемое нам равенство. Лемма 3. Пусть дай вещественный полином степени т от d переменных: G(x) = 2саха: а где х — (х\,..., X(i) — точка в W1. a = (cti,..., ay) — мультииндекс. Суммирование ведется по всем а, для которых выполнено 0 atj = m, j = 1,...,(1 Если т 0, т.е. полином не равен тождественному 0, то множество его нулей G l({0}) имеет нулевую меру Лебега в W1, Доказательство. Доказательство будем проводить по индукции. Для d — 1 утверждение очевидно. Пусть оно выполнено для многочлена от d — 1 переменной. Докажем его для d переменых. Представим полином G в следующем виде: По условию существует мульт и индекс (осі, - - - 7 oid-i,i), Для которого c(a a,i-ii) Обозначим через M множество нулей полинома от одной переменной ХХОС(ЙІ....,ad-i,i)il- Так как он не равен нулю тождественно, то Xi(M) = 0. Зафиксируем t и рассмотрим полином от d — 1 переменной Gjtfx i,... .x,/-i) = G(x\,... ,x(i i,t). Если і ф М, то по предположению индукции множество нулей Gt имеет меру ноль: А(-і(С?Г1({0}))=0. (2.16) Обозначим черех х(Л) индикатор множества Л. Применяя теорему Фу-бини, имеем: Первый интеграл равен нулю в силу выполнения (2.16) при t . М, а второй по причине Ai(M) — П. Лемма 4. Пусть дан линейный оператор Л, действующий из Ш.п в M.d. Обозначим через М множество точек являются линейно зависимыми. Тогда либо М = R "fc, либо М имеет меру ноль в Жпк. Доказательство. Пусть матрица, соответствующая оператору А, имеет вид: При к d лемма тривиальна; так как в этом случае М = Жкп. Пусть к d. Условие линейной зависимости векторов (2.17) эквивалентно тому, что матрица размера d х к вырождена. В случае к d это означает, что всевозможные квадратные матрицы, составленные изг произвольных к строк матрицы С, имеют, нулевой детерминант. Пусть S означает множество всех подмножеств мощности к множества чисел от 1 до d. Пусть а Е. Рассмотрим матрицу Cff, составленную из к строк матрицы С с номерами из а. Обозначим через Ма множество тех х Мп/\ для которых определитель Са равен 0.
Средняя площадь алгебраической гиперповерхности
Предложенное им доказательство основано на следующем несложном факте. Пусть функция /() непрерывна на отрезке [а ,Р ]., непрерывно дифференцируема на интервале (а. (3) и имеет конечное число стационарных точек (где производная обращается в ноль). Тогда число нулей функции fit) на интервале (а. 0). которое мы обозначим за п(а, /?), определяется формулой: При подсчете 7i(a-, /3) кратный нуль считается один раз, а нуль, совпадающий с а или (3, считается за "пол-нуля".
В 1995 году Э.Костлан и А.Эдельмап [22] нашли изящный геометрический вывод формулы (3), суть которого состоит в следующем. Так как при домно-жении коэффициентов и а положительную константу корни многочлена не меняются, то можно считать, что случайный вектор = ( и) равномерно распределен на единичной сфере Sn. Рассмотрим вектор v(t) (l,t,... ,tn) и его нормированный вариант j{t) — v(t)/\\v(t)\\. Число t является корнем многочлена (1) тогда и только тогда, когда скаларное произведение (,7(0) обращается в ноль. Множество таких (при заданном t) есть единичная сфера размерности п— 1. которую мы будем называть экватором для полюса7(і) и обозначать через j(t)±. Если t варьировать от а до /3, то j(t) будет двигаться по кривой 7-, принадлежащей Зп, а соответствующий экватор y(t)± будет "заметать"на Sn некоторую область ті, площадь которой с учетом наложений (некоторые точки сферы могут покрываться сразу несколькими экваторами тСО-L ПРИ разных t) мы обозначим через 7_L- Нетрудно видеть, что с ростом t эта площадь растет пропорционально расстоянию, которое пробегает точка j(t). Для того, чтобы найти коэффициент пропорциональности, достаточно заметить; что если точка пробежит по некоторой единичной полуокружности (длины тг), то соответствующий ей экватор "заметет"всю сферу 8п (без наложений). Получаем:
С другой стороны, легко заметить, что левая часть есть ни что иное, как среднее число вещественных корней случайного полинома на [a, 0\ - ПоэтомуТеперь для получения (3) достаточно вычислить длину кривой 7) что не составляет никакой сложности.
Описанный вывод формулы для среднего числа вещественных корней является в представлении автора весьма важным, тж. указывает на то, что задачи., связанные со случайными полиномами, можіто исследовать с помощью геометрических методов. Такому исследованию посвящена данная работа.
Параграф 1.1. начинается с примера, взятого из книги Л. Сантало [13, стр. 3]. Б нем рассматривается множество плоских прямых, на котором задается некоторая плотность (дифференциальная форма). Путем интегрирования этой плотности на множестве прямых определяется мера, которая позволяет ввести понятие случайной прямой. После этого введенная плотность рассматривается в различных координатах, что позволяет вычислить среднее число точек пересечения случайной прямой с некоторой фиксированной кривой.
Похожая конструкция используется в большинстве дальнейших рассуждений. Во второй части параграфа она применяется к случайным полиномам (по аналогии со случайными прямыми), в результате чего выводится формула для среднего числа вещественных корней случайного полинома, коэффициенты которого имеют произвольную совместную плотность распределения. В качестве следствия из формулы приводится равномерная оценка сверху для среднего числа вещественных корней, лежащих в множестве, отделимом от {—1,1}. Далее полученная формула приводится к другому виду с помощью аппарата характеристических функций, после чего из нее в качестве примера выводится формула для "средней шютности"вещественных корней для устойчивого закона с параметром S Є (0,2]. Случаи 5 = 1 (распределение Коїли) и 5 = 2 (нормальное распределение) рассматриваются отдельно.
В параграфе 1.2. вещественные корни случайного полинома рассматриваются как случайное точечное поле. Находится его корреляционная функция. В качестве следствия рассматривается случай нормального распределения, который был исследован П. Блехсром и К. Ди [20]. В параграфе 1.3. решается вопрос о нахождении распределения числа вещественных корней. В параграфе 1.4. выводится формула среднего числа комплексных корней, лежащих в некоторой области комплексной плоскости. В параграфе 1.5. построен пример случайного полинома степени п с независимыми одинаково распределенными коэффициентами, имеющего в среднем менее 9 вещественных корней при всех п. Что касается его комплексных корней, то в среднем + О [ j из них них концентрируется около нуля и столько же уходит на бесконечность при п — со. Во второй части рассматриваются полиномы от нескольких переменных, а также системы полиномов. В параграфе 2.1. вычисляется средняя площадь случайной алгебраической поверхности, порожденной нулями случайного полинома от d переменных, лежащих в произвольном ограниченном измеримом множестве. Отдельно рассматривается случай нормального распределения: выводится формула, ранее полученная И.А. Ибрагимовым и С.С. Подкорытовым [8]. Параграф 2.2. развивает идею предыдущего параграфа и по аналогии с нулевой поверхностью полинома рассматривается множество нулей его градиента: находится среднее число элементов в нем. В параграфе 2.3. находится, сколько точек содержит в среднем случайное векторное поле, порожденное системой из d полиномов от d переменных. Параграф 2.4. обобщает результаты второй части. В нем рассматривается система из к случайных функций от d переменных, где к d. Находятся достаточные условия, при которых данная система будет невырожденной, и находится средний объем подмногообразия размерности d — :, порожденного этой системой (при этих условиях).
Среднее число решений системы уравнений
Данное равенство выполняется на M(Cl) в некоторой окрестности V - y) точки (х, у) Є M(Q). в которой матрицы G\ и Gs невырождены. А так как это верно почти для всех точек M{Vl). то мы можем проинтегрировать (2.15) по всему M(Q), в результате получим требуемое (2.12).
Пусть теперь к = d. Рассмотрим дифференциальную форму hdy\ ... dyr-Как и при к d. сделаем замену 7/1,.,., на х\, ...,. Аналогично получаем, что па М(П) почти везде выполнено соотношение Проинтегрируем данное равенство по М(Г2). Заметим, что при этом для каж дого у форма hdyi... dyr слева будет считаться столько раз, сколько точек лежит в M(Q). Поэтому мы получим требуемое нам равенство. Лемма 3. Пусть дай вещественный полином степени т от d переменных: где х — (х\,..., X(i) — точка в W1. a = (cti,..., ay) — мультииндекс. Суммирование ведется по всем а, для которых выполнено 0 atj = m, j = 1,...,(1 Если т 0, т.е. полином не равен тождественному 0, то множество его нулей G l({0}) имеет нулевую меру Лебега в W1, Доказательство. Доказательство будем проводить по индукции. Для d — 1 утверждение очевидно. Пусть оно выполнено для многочлена от d — 1 переменной. Докажем его для d переменых. Представим полином G в следующем виде: По условию существует мульт и индекс (осі, - - - 7 oid-i,i), Для которого c(a a,i-ii) Обозначим через M множество нулей полинома от одной переменной ХХОС(ЙІ....,ad-i,i)il- Так как он не равен нулю тождественно, то Xi(M) = 0. Зафиксируем t и рассмотрим полином от d — 1 переменной Gjtfx i,... .x,/-i) = G(x\,... ,x(i i,t). Если і ф М, то по предположению индукции множество нулей Gt имеет меру ноль: А(-і(С?Г1({0}))=0. (2.16) Обозначим черех х(Л) индикатор множества Л. Применяя теорему Фу-бини, имеем: Первый интеграл равен нулю в силу выполнения (2.16) при t . М, а второй по причине Ai(M) — П. Лемма 4. Пусть дан линейный оператор Л, действующий из Ш.п в M.d. Обозначим через М множество точек являются линейно зависимыми. Тогда либо М = R "fc, либо М имеет меру ноль в Жпк. Доказательство. Пусть матрица, соответствующая оператору А, имеет вид: При к d лемма тривиальна; так как в этом случае М = Жкп. Пусть к d. Условие линейной зависимости векторов (2.17) эквивалентно тому, что матрица размера d х к вырождена. В случае к d это означает, что всевозможные квадратные матрицы, составленные изг произвольных к строк матрицы С, имеют, нулевой детерминант. Пусть S означает множество всех подмножеств мощности к множества чисел от 1 до d. Пусть а Е. Рассмотрим матрицу Cff, составленную из к строк матрицы С с номерами из а. Обозначим через Ма множество тех х Мп/\ для которых определитель Са равен 0. Тогда получим, что Теперь достаточно доказать утверджение леммы не для множества М, а для каждого Ма. Докажем, например, для а — {1,..., к}. В этом случае матрица С0- имеет вид с = Ее определитель — это многочлен от переменных .тц,..., хпк. Если он тожде ственно равен 0, то тогда М = Шп}\ Если же нет, то применим предыдущую лемму, из которой будет следовать, что М имеет меру ноль в Шак. П 2.4.3. Доказательство теоремы Доказательство. Докажем, что теорема вытекает из леммы 2. В качестве переменных, фигурирующих в условии леммы, мы возьмем следующие: г = (п + 1)&, ді{х.іУ) = yi + E"=i% -fc+i/j(a;), ..Чтобы применить лемму 2, надо убедиться в том, что выполняются ее условия ( ) и ( ). ( ) непосредственно следует из (II). Проверим выполнение ( ). Что касается матрицы D т "" L то в нашем случае она является единичной матри-цей, следовательно невырождена. Пусть Е — множество тех точек из М(П), в которых матрица D \ -п -,0к I вырождена. Докажем, что Е имеет нулевую меру. Используя лемму 1, можно дифференциальную форму dAjv/ иа М(П) представить в следующем виде:
