Введение к работе
Актуальность темы. Задача описания формы границы раздела фаз в моделях статистической физики приобрела особую популярность в последние годы. С математической точки зрения она сводится к проблеме изучения асимптотического поведения последовательности вероятностноых мер, описывающих статистические свойства фазовой границы.
В качестве первого Шага на этом пути возникает вопрос об иссле
довании средней формы капли при термодинамическом предельном
переходе. Как предсказывает широко известная физическая теория
Вулфа [1], восходящая к началу века (см. также [2, 143]), ответ
нужно искать в виде решения некоторой вариационной задачи для
функционала поверхностного натяжения, однако применимость этой
теории к каждой конкретной модели требует отдельного обоснова
ния. На следующем этапе возникает задача об описании флуктуации
фазовых границ вокруг среднего значения, получаемого из конструк
ции Вулфа. - -
Простейшей моделью, используемой в физической литературе для изучения статистических свойств фазовых границ, является так называемая одномерная SOS-модель, имеющая естественную -вероятностную интерпретацию. А.именно, рассмотрим однородное случайное блуждание длины п, .порожденное последовательностью целочисленных случайных величин ^,-. Предположим, что распределение отдельного шага & невырождено- и имеет конечные экспоненциальные моменты в некоторой окрестности нуля (эти условия выполнены во всех физически интересных ситуациях; см., напр., [3]). Пусть So = О, S\ = i, ..., Sn = i + ..-.+ &»— последовательность частичных сумм, a Qn — площадь под графиком случайной кусочно постоянной функции на интервале [0,п], равной 5,- на[i,i + 1)- По значениям Si построим кусочно линейный непрерывный процесс n(t), t Є [0,1],
n{t) = S[nt] + {nt}([nt]+l,
[1] WulffG. Zur Frage der, Geschwindigkeit des Wachstums und der AuSosung der KrystaUBachen // Z.Kryst.. 1901. 34. P. 449-530. [2] Ландау Л. Д., Лифшиц E. М. Статистическая физика. М., 1964. [3] DeConinckJ., Ruiz J. Fluctuations of interfaces and anisotropy. // J.Phys.A: Math. GenX1988. 21. P. L147-153.
где [nt] — целая часть вещественного числа nt, a {nt} = пі — [nt] — его дробная часть, и рассмотрим условное распределение/хп процесса n(t) при условии 5„ = [nb], Q„ = [n2q] (с некоторыми постоянными 6, q) в пространстве С[0,1] непрерывных функций на [0,1].
Из известной теоремы А. А. Могульского [4] следует закон больших чисел для последовательности мер Цп- Таким образом, конструкция Вулфа для SOS-модели является простым следствием известных результатов о больших уклонениях в пространствах траекторий (см. также [5]). Отметим, что близкие вопросы обсуждались в [6] для некоторого класса SOS-моделей, хотя не все утверждения авторов были математически строго обоснованы.
Вопрос о флуктуациях границы фаз в одномерных SOS-моделях также обсуждался в физической литературе ([7, 3]).). При этом, однако, рассматривались лишь плоские наклонные участки участки фазовой границы без ограничений на площадь. Так, в работе [7] на основании термодинамических рассуждений для некоторой конкретной SOS-модели была получена предельная формула, выражающая дисперсию флуктуации границ фаз указанного вида в одной,точке через жесткость. В [3] эта формула была доказана для более широкого класса SOS-моделей.
Полное исследование флуктуации границы раздела фаз в рамках описанной выше модели-содержит первая глава-диссертации, где доказана функциональная центральная предельная теорема для последовательности мер (Лп.
Аналогичная задача об описании формы границы раздела фаз в модели Изинга является более интересной, хотя и более сложной из-за присутствующих зависимостей и возможности фазовых переходов, что, в свою очередь, вынуждает применять громоздкую технику
[4] Могульский А. А. Большие уклонения для траекторий конечномерных случайных блужданий // Теор. вероятн. и прим.. 1976. 21. С.309-323.
[5] Dembo A., Zeitouni О. Large Deviations Techniques and Applications. Boston, London, 1992.
[6] DeConinckJ., DunlopF., and Rivasseau V. On the .microscopic validity of the Wuiff construction and of the generalized Young equation // Comm. Math. Phys.. 1989. 121. P. 401-419.
[7] Akutsu Y., Akutsu N. Relationship between the anisotropic interface tension, the scaled interface width and the equilibrium shape in two dimensions /I J.Phys.A: Math. Gen.. 1986. 19. P. 2813-2820.
кластерных разложений для изучения соответствующих гиббсовских мер. Первые глубокие результаты на этом пути были получены в [8, 9]. В недавней книге [10] была доказана применимость теории Вулфа к двумерной ферромагнитной модели Изинга при всех достаточно низких температурах. Наконец, в [11, 12]. этот результат был продолжен для всех субкритических температур.
Вопрос о флуктуациях фазовой границы для двумерной ферромагнитной модели Изинга также обсуждался в литературе. На физическом уровне [13, 7] делались попытки обосновать упомянутую выше формулу, описывающую связь дисперсии одномерного колебания с жесткостью, исходя из физических аналогий.
В единственной известной автору математической работе на эту тему [14] изучались флуктуации горизонтального участка границы раздела фаз (т.е., с единственным условием вида Sn = 0) и была доказана слабая сходимость соответствующих мер к распределению броуновского моста.
Полное решение задачи об описании флуктуации куска границы раздела фаз для двумерной ферромагнитной модели Изинга в рамках рассматриваемой ситуации (т.е., с фиксированной площадью и
[8] Минлос Р. А., Синай Я. Г. Явление "разделения фаз" при низких температурах в некоторых решетчатых моделях газа. I // Матем. сборник. 1967. 73. С. 375-448.
[9]"Минлос Р. А., Синай Я. Г. Явление' "разделения фаз" при низких температурах в некоторых решетчатых моделях газа. II // Труды Московск. матем. общ.. 1968. 19. С. 113-178.
[10] Dobrushin R., Kotecky R., and ShlosmanS. Wulff Construction: a Global Shape from Local Interaction. Providence, R.I.,-1992. [11] loffe D. Large Deviations for the 2D Ising Model: A Lower Bound without Cluster Expansions // J. Stat. Phys.. 1994. 74. P. 411-432. [12] loffe D. Exact iarge deviation bounds up to Tc for the Ising model in two dimensions. // Prob. Theo. Rel. Fields. .
[13] Fisher M. P. A., Fisher D. S., and Weeks J. D. Agreement of Capillary-Wave Theory with Exact Results for the Interface Profile of the Two-Dimensional Ising Model // Phys. Rev. Lett.. 1982. 48, No 5. P. 368.
[14] Higuchi Y. On some Limit Theorems Related to the Phase Separation Line in the Two-dimensional Ising Model // Z. Wahrscheinlichkeitsthebrie verw. Gebiete. 1979>5.p. P. 287-315.
правым концом) содержится во второй главе диссертации, где установлена функциональная центральная предельная теорема для мер. описывающих статистические свойства таких фазовых границ.
Цель работы. Целью настоящей работы является исследование флуктуации куска границы фаз относительно соответствующей части кривой Вулфа для SOS-модели и модели Изинга.
Методы исследования. В диссертации используются асимптотические методы теории вероятностей, методы выпуклого анализа и техника кластерных разложений.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. В
диссертации решены следующие новые задачи:
і. Исследовано асимптотическое поведение флуктуации для однородных случайных блужданий с фиксированными значениями интеграла от траектории и значением в конечной точке. Для указанных блужданий доказана следующая теорема: если условия (т.е., значение интеграла от траектории и значение в конечной точке) находятся в области больших уклонений, то меры, описывающие флуктуации рассматриваемых траекторий, слабо сходятся' в пространстве непрерывных функций к некоторой гауссовской мере. При этом предельная мера совпадает с условным распределением гауссовского процесса, полученного путем интегрального преобразования белого шума:
-
Изучено предельное поведение флуктуации для участка границы раздела фаз в двумерной ферромагнитной модели Изинга относительно кривой Вулфа. Для мер, описывающих эти флуктуации, доказана функциональная центральная предельная теорема. Параметры предельного распределения определены в терминах свободной энергии для высоты участка фазовой границы.
-
Исследованы границы-применимости полученных результатов. Выяснен геометрический смысл условия допустимости и предложена его интерпретация в терминах логарифмической производящей функции одного шага.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертацир имеет теоретический характер. Ее результаты могут, быть полезны специалистам, .работающим-в различных областях теории вероятностей и ее приложений, прежде всего в теории больших уклонений, теории гиббеовских полей и статистической физике.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры теории вероятностей, на семинаре по многокомпонентным случайным системам ИППИ РАН, на трех международных конференциях: "Модель Изинга и теория Пирогова-Синая" (Прага, июнь 1994 г.), "Математическая физика и динамические системы" (Москва, июль 1994 г.), "Модель Изинга и близкие вопросы" (Вена, октябрь 1994 г.), а также на научных семинарах ИППММ НАН Украины и Львовского госуниверситета.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 3 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и дополнения, разбитых на 13 параграфов, и списка литературы из 28 наименовании. Общий объем диссертации - 98 страниц. Нумерация утверждений, замечаний и формул отдельная для каждой главы и отражает их расположение относительно параграфов; при этом ссылка па формулу (2.45) из главы 1 имеет вид (2.45) внутри этой главы и (1.2.45) вне ее. Исключение составляют теоремы и формулы из введения, для которых принята однозначная нумерация.
