Содержание к диссертации
Введение
1. Типовая структура комплекса конечноэлементного моделирования и место препроцессора в ней. Анализ современных методов и алго ритмов генерации конечноэлементных сеток 15
1.1 Особенности численного моделирования контактных систем 19
1.2 Основные требования, предъявляемые к сеткам исходя из особенностей методов численного моделирования 24
1.3 Обзор современных методов генерации КЭ сеток 28
1.3.1 Методы генерации регулярных сеток 28
1.3.2 Методы генерации нерегулярных сеток 30
1.3.3 Методы повышения качества сеток 36
1.4 Преимущества и недостатки рассмотренных методов 41
1.5 Обоснование целей и задач диссертации на основе анализа существующих методов генерации сеток и проблем моделирования контактных систем 47
2. Методы генерации оптимизируемых КЭ сеток с управляемым каче ством для моделирования систем контактирующих тел 53
2.1 Основные особенности предлагаемого подхода 54
2.2 Функция масштаба, как основное средство управления качеством сетки на этапе ее генерации 56
2.3 Формулировка условия согласованности контакта. Метод обеспечения сопряженности узлов в областях контакта 61
2.3.1 Задача о согласованном контакте кругового цилиндра и цилиндрического тела с круговым вырезом 62
2.3.2 Определение согласованного контакта. Метод построения сопряженных узлов в зонах согласованного контакта 64
2.4 Метод построения плоской сетки на произвольной поверхности. Учет функции масштаба и зон контакта 67
2.4.1 Декомпозиция исходной геометрической модели 67
2.4.2 Подцепление внутренних контуров 68
2.4.3 Метод построения плоской поверхностной сетки 69
2.4.4 Построение сеток для криволинейных поверхностей 72
2.5 Генерация КЭ сетки в объемах контактирующих тел 74
2.6 Оптимизация геометрической формы полученных конечных элементов. Построение целевой функции и выбор метода оптимизации 80
2.6.1 Управление качеством триангуляции на поверхности 81
2.6.2 Управление качеством пространственной сетки 82 2.7 Выводы 83
3. Этапы алгоритма автоматического построения КЭ сетки для произ вольного числа контактирующих тел 84
3.1 Иерархическая модель представления геометрических данных и ее оптимизация, исходя из особенностей конечноэлементного моделирования 84
3.2 Построение функции масштаба на основе геометрических особенностей тела и заданных критериев качества 87
3.3 Выделение зон контакта и построение сопряженных КЭ сеток в этих областях 88
3.4 Построение КЭ сетки для каждого из контактирующих тел 91
3.4.1 Алгоритм размещения узлов на ребрах, принадлежащих текущему геометрическому телу 93
3.4.2 Последовательное построение плоских КЭ сеток на поверхностях обрабатываемого тела. Алгоритм последовательного добавления узлов и элементов 94
3.4.3 Построение трехмерной сетки в объеме разбиваемого тела. Особенности алгоритма по сравнению с плоским случаем 102
3.5 Особенности алгоритма оптимизации формы элементов 113
3.6 Выводы I 17
4. Реализация предложенного метода в качестве подсистемы комплекса МАКС. Примеры построения КЭ сеток систем контактирующих тел ) 118
4.1 Структура препроцессора подготовки данных 119
4.2 Особенности реализации препроцессора в виде динамической библиотеки 121
4.3 Реализация препроцессора в виде отдельной программы 126
4.4 Примеры использования препроцессора 127
4.4.1 Построение геометрической КЭ модели системы контакти рующих деталей кривошипного горячештамповочного пресса. Оценка адекватности и качества модели 127
4.4.2 Примеры использования препроцессора для комплекса МАКС, интегрированного в среду автоматизированного проектирования Solidworks 134
4.3 Выводы 138
Заключение 139
Литература 141
Приложения
- Основные требования, предъявляемые к сеткам исходя из особенностей методов численного моделирования
- Функция масштаба, как основное средство управления качеством сетки на этапе ее генерации
- Построение функции масштаба на основе геометрических особенностей тела и заданных критериев качества
- Особенности реализации препроцессора в виде динамической библиотеки
Введение к работе
В настоящее время любая задача промышленного проектирования немыслима без развитых средств автоматизации с применением современных вычислительных аппаратных и программных средств. Во всех областях науки и техники численное моделирование процессов зачастую оказывается несравнимо дешевле по экономическим, а главное временным затратам по сравнению с проведением реального эксперимента.
Современный период развития механики, микроэлектроники, электротехники, квантовой физики, биофизики и других областей человеческой деятельности, наступил в результате стремительного перехода (с 1960-ых годов) на компьютерные технологии, позволившие строить и широко использовать дискретные модели и специальные, ориентированные на компьютеры, численные методы. Наиболее универсальным, развитым и эффективным среди них является метод конечных элементов (МКЭ), в теоретическую разработку которого решающий вклад внесли Дж.Аргирис [3,34], А.Ф. Смирнов [32,33], О.Зенкевич [25,26], Р.Галлагер [15], Г.Стренг, Дж.Фикс [35], К. Бате, Е. Вилсон [4], А.В. Александров [2], Н.Н. Шапошников [38] и др. В последние десятилетия как конкурентоспособный с МКЭ следует рассматривать метод граничных элементов (МГЭ). Авторами основополагающих работ по МГЭ являются К. Бреббиа [7], П. Бенерджи, Р. Баттерфилд [6], Ж. Теллес [8], С. Крауч [30] и др.
Основной идеей большинства современных численных методов, и МКЭ в частности, является дискретизация моделируемых объектов в виде множества элементарных примитивов, таких как треугольники и четырехугольники в двухмерном пространстве или тетраэдры и гексаэдры в трехмерном пространстве, - конечных элементов (КЭ) [55,43]. Множество таких элементов, описывающих конкретное геометрическое тело или систему тел, называется конечноэлементной сеткой. Алгоритм такой дискретизации для двухмерных и в особенности трехмерных объектов является отдельной специальной задачей, в большинстве случаев не уступающей, а зачастую пре-
6 восходящей по сложности сам процесс КЭ моделирования. Эволюция методов генерации сеток конечных элементов идет параллельно с развитием самого МКЭ, и в настоящее время прошла путь от ручных и частично автоматизированных методов [99,109] до полностью автоматических методов [103,105,45,48,64,65], таких как метод распространяющегося фронта [60,83] и подходов, основанных на триангуляции Делоне [60,88,100], обеспечивающих генерацию КЭ сеток для тел произвольной конфигурации.
Таким образом, в настоящее время задачу построения КЭ сеток для отдельных геометрических тел можно считать достаточно изученной и в определенной степени решенной, но все существующие методы обладают теми или иными недостатками, не позволяющими применять их в специальных случаях. Кроме того, не во всех областях, где применяется МКЭ, таких методов достаточно. В частности в механике при решении контактных задач встает проблема построения специального вида КЭ сеток - контактных сеток, требующих обеспечения дополнительного условия сопряженности узлов в зонах контакта. Необходимость построения такого рода сеток появилась достаточно недавно. Она связана с последними достижениями в области численного моделирования контактных систем [18] и в связи с этим в настоящее время не существует полностью детерминированного автоматического метода генерации контактных сеток, так что эту проблему можно считать открытой.
В данной работе предлагается универсальный подход для решения задач построения КЭ сеток для произвольных геометрических тел вообще и контактных сеток в частности.
Актуальность темы данной диссертации определяется реальными практическими потребностями разработки и реализации методов подготовки данных для задач КЭ моделирования, как отдельных тел, так и контактных систем. В данном исследовании на фоне общей методологии применения метода конечных элементов (МКЭ) [25] обсуждается проблема, первая по необходимости ее неотложного решения, а именно - создания теоретической ос-
7 новы, структуры и управляемых возможностей построения и эксплуатации так называемых препроцессоров подготовки данных.
Преодоление сформулированной Р. Беллманом известной проблемы «проклятия размерности» [5] остается фундаментально важной и чрезвычайно актуальной задачей, поскольку многомерность дискретных моделей МКЭ стремительно возрастает и характеризуется миллионами неизвестных. Подготовка данных для таких массивов информации непосредственно связана с наличием препроцессоров необходимой мощности и имеет свою научную историю. Анализ достижений в этой области, начиная с пионерской системы ASK А [40] вплоть до новейших разработок CAD/CAE/CAM [24], обязывает считать эту проблему механики и информатики открытой.
В настоящее время бурный прогресс в области развития вычислительной техники позволил на порядки увеличить размерность моделей, используемых в задачах промышленного проектирования, но как показывает практика, даже современных вычислительных ресурсов не хватает для моделирования реальных физических моделей в целом. Очевидно, что эта проблема не может быть решена только за счет увеличения вычислительной мощности компьютеров и наращивания объемов памяти. Таким образом, для уменьшения размерности дискретных моделей уже на этапе подготовки данных требуется разработка новых высоких интеллектуальных технологий, в первую очередь, мощного и гибкого программного инструментария — препроцессора, проблемно-ориентированного на подготовку данных и решение современных больших задач МКЭ. Генеральным направлением продвижения к решению проблемы, в том числе, учета алгоритмической специфики и выбора основ построения препроцессора на базе принятой далее триангуляции, является теоретически базирующийся на методе контактных сил и переносных перемещений [18] комплекс МАКС (Моделирование и Анализ Контактных Систем) [21,17].
Для минимизации размерности дискретных моделей на этапе подготовки данных наиболее эффективным является метод варьирования линейных
8 размеров элементов на основе априорных данных о зонах концентрации напряжений, а также геометрических параметров исходной твердотельной модели. Основной недостаток известных технологий построения сеток МКЭ заключается в их чрезмерной априорной жесткости схем, неуправляемости, недостаточной чувствительности к виртуальной вариативности. Уменьшение линейных размеров элементов всей модели приводит к неоправданным вычислительным затратам в областях, где высокая точность моделирования не требуется, при этом процент объема таких областей от общего объема модели в некоторых случаях может приближаться к 100 процентам. В то же время глобальное укрупнение размеров элементов приводит к значительным потерям точности в зонах концентрации напряжений, вплоть до некорректности решения, а также ухудшению качества элементов, в областях, обладающих геометрическими особенностями с размерами значительно меньшими выбранного размера элемента, что также может стать причиной не точного или не корректного решения [79].
Таким образом, наличие метода автоматической подготовки данных, реализующего варьирование размеров элементов в зависимости от требуемой точности и наличия геометрических особенностей и осуществляющего контроль за качеством генерируемых элементов обеспечивает необходимый компромисс между требованиями к точности и корректности решения и допустимыми вычислительными затратами [89,95].
При анализе проблемы построения препроцессора в возможно более полной постановке особенно серьезные трудности проявляются при моделировании многотельных контактных систем деформируемых деталей. В дополнение к уже отмеченным первичным факторам многомерности пространственных моделей МКЭ необходимый итерационный поиск дискретных внутренних граничных условий контактирования на порядок увеличивает размерность [29,56,50,67] и, более того, по сути дела осложняет поиск пути решения подобных задач. При использовании подобного подхода, учитывая современные вычислительные мощности, порядок возможных задач числен-
9 ного моделирования ограничивается сотнями или тысячами неизвестных, тогда как средняя размерность моделей реальных промышленных объектов, обеспечивающая приемлемую точность решения, составляет сотни тысяч неизвестных, а в некоторых случаях достигает миллионов или десятков миллионов неизвестных. Именно в этом коренится имеющая объективную природу причина перехода контактных задач в класс труднорешаемых.
В новейшей дискретной механике контактных взаимодействий [18,23,28] доминирует концепция сопряженности узлов конечных элементов смежных тел. Узлы в предположительно контактных зонах называются сопряженными, если они располагаются (назначаются, выбираются) так, что в результате приложения заданных нагрузок узловые координаты становятся попарно совпадающими, а сами узлы контактирующими в соответствующих точках.
В парах сопряженных узлов вводятся основные неизвестные - контактные силы взаимодействий. От точности априорного задания положений сопряженных точек-узлов, строго говоря, зависит корректность, достоверность и точность получаемых результатов моделирования. Построение сеток элементов в рамках твердотельного геометрического моделирования уже является задачей нетривиальной. Учет деформируемости вносит еще большие принципиальные осложнения.
Концепция сопряженности в классе деформируемых систем оказывается несовместимой с достижимостью ее строгого обеспечения в общем случае конфигураций и нагружений контактирующих упругих тел. Только в простейших вариантах симметрии форм тел и конкретных внешних нагрузок положения сопряженных узлов выглядят очевидными. В общем же случае, как показано в [23], для решения проблемы сопряженности становится необходимой, но не гарантировано разрешимой, постановка специальной задачи об условиях взаимного непроиикновения контактирующих тел.
Сложность решения такого типа задач имеет уровень трудностей самой исходной проблемы, поскольку положение узлов после деформации мо-
10 жет быть определено только в результате численного моделирования. Таким образом, исходные данные, представленные конечноэлементной моделью тела, уже должны содержать в себе часть решения конечной задачи - величины перемещения узлов при деформации, что делает бесперспективными попытки разрыва на этом пути замкнутой цепи проблемных вопросов.
В настоящей работе ключом выхода из, казалось бы, теоретически тупикового положения служит предложенная К. Джонсоном [23] идентификация контактных систем на два основных класса взаимодействий, а именно — согласованных и несогласованных по форме тел.
Контакт называется согласованным, если контактирующие поверхности смежных тел в недеформируемом состоянии геометрически точно «подогнаны» друг к другу или имеют весьма близкие конфигурации. В этом случае порядок величин, характеризующих перемещение узлов при деформации, может быть найден с достаточно высокой степенью достоверности. Оценка порядка величин таких перемещений позволяет сформировать сетку таким образом, чтобы линейные размеры элементов на порядки превышали эти перемещения, что является необходимым условием сопряженности узлов в зонах контакта. Не оценивая порядка соответствующих параметров малости, ограничимся определением всего класса немалых отличий как несогласованных контактов.
Эвристическая ценность предложенного разделения заключается в следующем. В системах с несогласованными контактами имеют место гер-цевские взаимодействия в локальных зонах, где возникают чрезвычайно высокие концентрации контактных напряжений при практически полной неопределенности положений сопряженных узлов и соответствующих значений начальных зазоров, В системах с согласованными контактами значительные по протяженности зоны силового взаимодействия соизмеримы с габаритами тел и, что самое важное, принципиально, хотя и не абсолютно, повышается уровень определенности положений сопряженных узлов и величин начальных зазоров.
и Процедура построения сопряженных узлов в зонах согласованных контактов в настоящее время выполняется полуавтоматическими методами, что не может считаться эффективным. Она состоит из нескольких этапов. Первый из них заключается в ручном эвристическом определении границ согласованных областей контактов. Далее выполняется автоматическая или полуавтоматическая процедура дискретизации каждого из контактирующих тел. После этого поверхностные сетки, принадлежащие идентифицированным областям согласованного контакта, заново дискретизируются путем полной перестройки сетки или частичной, заключающейся в локальном изменении топологии связей элементов и положений узлов. Новые сетки формируются таким образом, чтобы обеспечить условие сопряженности узлов, которое в общем случае также формируется эвристически.
Вследствие большого количества ручных операций процедура подготовки данных является наиболее трудоемким этапом во всем процессе численного моделирования контактных систем в комплексе МАКС на основе метода контактных сил и переносных перемещений [16]. В случае промышленного внедрения комплекса требуются большие затраты на подготовку и обучение специалистов, ориентированных на подготовку данных, что является во многих случаях сдерживающим фактором несмотря на существенный выигрыш в вычислительных ресурсах на этапе численного моделирования. Реализация автоматического метода подготовки данных снимает этот недостаток. Для этого в таком методе должны быть формализованные все этапы построения сопряженных сеток, включая выделение согласованных контактных зон и обеспечения условия сопряженности узлов.
В подавляющем большинстве механических моделей промышленных объектов области контактов достаточно хорошо согласованны. Таким образом, разработка препроцессора подготовки данных, обеспечивающего автоматическое построение контактных сеток для систем только с согласованными контактами даст значительный прирост производительности не только на этапе подготовки данных, но и, в конечном счете, всего процесса конечно-
12 элементного моделирования. Для задач с несогласованными контактами процесс автоматизации подготовки данных вряд ли возможен в общем случае, в силу приведенных выше причин, обуславливающих неопределенность положения узлов в зонах контактов после деформации.
Целью диссертации является разработка методов, алгоритмов и программных средств автоматической подготовки данных для комплексов ко-нечноэлементного моделирования бесконтактных систем и систем с согласованными контактами.
Указанная цель предусматривает решение следующих задач:
Произвести анализ существующих методов и алгоритмов генерации сеток конечных элементов, используемых в препроцессорах подготовки данных современных конечноэлементных комплексов;
Сформулировать основные требования к разрабатываемому препроцессору, исходя из особенностей моделирования контактных систем;
Разработать методы анализа твердотельных геометрических моделей контактных систем и дискретного геометрического моделирования отдельных тел;
Разработать программно-алгоритмическое обеспечение, позволяющее в автоматическом режиме проводить выделение согласованных контактных зон, построение сопряженных пар контактирующих узлов и генерацию конечноэлементных сеток в объемах моделируемых тел;
Реализовать препроцессор и произвести его интеграцию в комплекс моделирования и анализа контактных систем (МАКС) в качестве модуля подготовки данных.
Методы исследования. В работе использованы методы аналитической и вычислительной геометрии, многопараметрической оптимизации, линейной алгебры, функционального и объектно-ориентированного программирования.
Научная новизна диссертации. Результатами работы, отличающимися научной новизной, являются:
метод анализа твердотельных геометрических моделей контактных систем, отличающийся возможностью учета как полностью, так и частично согласованных контактов, обеспечивающий получение всей необходимой информации для построения сопряженных дискретных моделей контактных зон;
метод дискретного геометрического моделирования тел произвольной конфигурации на основе треугольных и тетраэдральных элементов, отличающийся автоматически генерируемой функцией масштаба элементов, обеспечивающий управление параметрами строящейся сетки с учетом геометрических особенностей контактирующих тел;
иерархическая модель представления геометрических данных на основе неоднородных рациональных би-сплайнов, обеспечивающая инвариантность процесса проектирования, реализации и сопровождения препроцессора по отношению к конкретному комплексу конечноэлементного моделирования и отличающаяся унифицированным представлением поверхностей и кривых;
программно-алгоритмическое обеспечение препроцессора подготовки данных, обеспечивающее автоматизацию пользовательских операций по обработке данных в комплексах конечноэлементного моделирования контактных систем и отличающееся возможностью адаптивного управления точностью конечноэлементной модели на основе заданных критериев качества;
препроцессор подготовки данных, интегрированный в виде отдельного модуля в комплекс МАКС, обеспечивающий автоматическое построение пространственной КЭ сетки произвольной системы контактирующих тел с конечным числом областей согласованного контакта, отличающийся возможностью генерации сопряженных конечноэлементных ансамблей.
Практическая значимость работы заключается в разработке и внедрении в практику промышленного применения препроцессора подготовки данных, реализованного в качестве программного модуля комплекса конеч-
14 ноэлементного моделирования МАКС, используемого для решения задач промышленного проектирования контактных систем.
Внедрение результатов диссертации осуществлено в учебном процессе Воронежского государственного технического университета и отделе САПР Головного конструкторского бюро Воронежского закрытого акционерного общества по выпуску тяжелых механических прессов «Тяжмех-пресс» на стадии исследований эффективности и работоспособности конструктивных вариантов фрикционных соединений тяжелонагруженных деталей кривошипных прессов. Эффект от внедрения заключается в существенном сокращении временных затрат на подготовку данных при моделировании контактных систем и обеспечении возможности моделирования таких систем, подготовка данных для которых ранее была не возможна.
Апробация работы проведена: на научных конференциях Воронежского государственного технического университета в 2000-2003 годах; на V международной электронной научной конференции «Современные проблемы информатизации в технике и технологиях», (Воронеж, 2000); на И всероссийской научно-технической конференции «Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении» (Воронеж, 2001); на III международной конференции «Авиакосмические технологии» (Воронеж, 2002); на международной конференции «Современные сложные системы управления» (Воронеж 2003); на международной научно-технической конференции «Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных и электронных технологий» (Сочи, 2003).
Публикации: основные результаты исследований по диссертации отражены в 8 опубликованных работах, в том числе 3 без соавторов.
Структура и объем диссертации: введение, 4 раздела, заключение, список литературы (ПО наименований) и 2 приложения; материалы диссертации (без приложений) включают 140 страниц текста, 30 рисунков, 1 таблицу.
Основные требования, предъявляемые к сеткам исходя из особенностей методов численного моделирования
Цель всех методов численного моделирования - представить сложный геометрический домен в виде множества более простых геометрических объектов [43]. Такими объектами могут быть треугольники и четырехугольники в двухмерном пространстве или тетраэдры и гексаэдры в трехмерном пространстве. Методы численного моделирования, используются для моделирования различных пространственных физических систем, таких как, например, встречный воздушный поток самолета или концентрация напряжений в дамбе [55]. Эти методы работают с конечным в пространстве и времени числом точек, используемых для вычислений значений переменных. Соседние точки используются для вычисления производных. Отсюда вытекает концепция сетки - основного объекта, с помощью которого производятся вычисления.
Таким образом, сеткой называет комбинация множества узлов и связывающих их ребер. Различают два типа моделей сеток: регулярные и нерегулярные [78]. Регулярные сетки состоят из множества точек и фиксированных связей между ними. Таким образом, эти связи могут быть представлены в виде матрицы. В качестве примера такой сетки может служить сетка из прямоугольников. Регулярные сетки имеют фиксированные вид связей между узлами - это означает, что почти все точки имеют одинаковое число соседей [47,69,77,109].
Нерегулярные сетки имеют произвольный вид связей, то есть каждая точка может иметь произвольное число соседей. Такие сетки не могут быть представлены описанным выше способом. Для полного описания нерегулярных сеток нужна дополнительная информация. Так как структура сетки произвольна, мы должны хранить информацию о каждой из связей. Нерегулярные сетки не содержат глобальной информации обо всей сетке, поэтому они гораздо лучше подходят для описания объектов имеющих сложную геометрическую форму [86].
Для простых тел, выбор между регулярными и нерегулярными сетками определяется в основном выбором метода моделирования. Для тел, имеющих сложную геометрическую форму, нерегулярные сетки более предпочтительны, поскольку они дают широкие возможности по адаптивному управлению размерами элементов и методы их построения могут быть полностью автоматизированы, тогда как регулярных сеток требует предварительного разбиения тела на элементарные блоки, для которых затем сетка строится автоматически.
Основными методами численного моделирования являются: метод конечных разностей, метод конечных объемов и метод конечных элементов [34]. Хотя все эти методы схожи между собой и имеют в своей основе похо 26 жие системы линейных уравнений, они предъявляют различные требования к сеткам.
Метод конечных разностей [37,81] - один из подходов, используемых для получения приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих поведение физической системы. Метод предполагает использование регулярных сеток и основывается на аппроксимации производной неизвестной и в узлах сетки как отношение разности значения и в соседних точках к расстоянию между этими узлами. Хотя метод допускает использование нерегулярных сеток, реально используются только регулярные сетки, так как это значительно упрощает схему решения. Одним из недостатков этого метода является то, что он имеет некоторые проблемы в случае координатных сингулярностей, например, при использовании сферических полярных координат.
В методе конечных объемов [37] физическое пространство разбивается на элементы небольшого объема. Соответствующие дифференциальные уравнения в частных производных решаются путем интегрирования по каждому из этих объемов. Затем переменные аппроксимируются их усредненными значениями в каждом объеме, а значения на поверхности каждого объема аппроксимируются как функция переменных в соседних объемах. Метод конечных объемов может использовать как регулярные, так и нерегулярные сетки, так как значения на поверхностях объемов хорошо определяются при использовании нерегулярных сеток.
Метод конечных элементов [37,25,15,4] является наиболее универсальным и распространенным, он активно используется в большинстве задач численного моделирования и, в том числе, предполагает использование параллельных вычислений. Этот метод также разбивает пространство на небольшие конечные объемы. Каждый из таких объемов называется элементом. В отличие от метода конечных разностей в МКЭ каждый узел сетки распределяет информацию со всеми узлами элемента, которому он принадлежит. Этот метод в основном использует нерегулярные сетки, так как регулярные сетки здесь не дают никаких преимуществ.
В данной работе при анализе требований к препроцессору принимается, что методом численного моделирования является МКЭ, который обладает определенными требованиями к сеткам [25].
Во-первых, сетка должна быть адекватной, то есть не должна содержать «дыр», элементов, имеющих два или более общих ребра (для двухмерных сеток) или грани (для трехмерных сеток), и т.д. Во-вторых, сетка должна быть согласована с границей области, то есть не должно быть элементов содержащих ребер и граней, пересекающих эту границу. В-третьих, сетка должна быть управляемой, для того, чтобы обеспечить эффективное соотношение между точностью и временем решения. Для обеспечения оптимальных параметров по точности и скорости решения задач КЭ моделирования к сеткам предъявляется ряд специальных требований [31], основанных на следующих закономерностях: 1) точность решения зависит от точности аппроксимации исходной геометрической модели полученным множеством конечных элементов, то есть возрастает при уменьшении линейных размеров элементов, и, как следствие, увеличении общего их количества; 2) время КЭ моделирования полиномиально зависит от числа элементов в сетке. Наконец, форма элементов в сетке должна быть как можно более близкой к правильной. То есть наилучшей формой элементов может быть, например, равносторонний треугольник или правильный тетраэдр [31]. Элементы деформированной формы, такие как остроугольные треугольники или тетраэдры, могут приводить к проблемам при окончательном КЭ моделировании и, в конечном счете, не гарантируют сходимости решения. Треугольники и тетраэдры могут использоваться в качестве базовых элементов для построения КЭ сеток для тел практически любой геометрической формы. Благодаря этому обстоятельству существует большое число полностью автоматических методов для построения таких сеток [55,43]. С другой стороны сетки на основе четырехугольников и гексаэдров лучше подходят для КЭ моделирования, но генерация подобных сеток вызывает гораздо больше проблем и трудно поддается автоматизации.
Очевидно, что исходя из желания обеспечения максимальной точности решения и одновременной минимизации вычислительных задач на этапе КЭ моделирования, требования по минимизации линейных размеров элементов и одновременно уменьшения их количества выглядят противоречивыми. Такое противоречие достаточно эффективно снимается путем уменьшения линейных размеров элементов не глобально для всей геометрической модели, а только в тех областях, где результаты последующего моделирования представляют наибольший интерес [89]. Последнее из требований не противоречит первым двум и может быть обеспечено независимо от них.
Функция масштаба, как основное средство управления качеством сетки на этапе ее генерации
Построение метода генерации сеток для контактных систем, планируемого в данной работе, должно соответствовать основным свойствам сеток конечных элементов. Из множества возможных вариантов, соответствующих идентифицированному классу систем с согласованными поверхностями контактов, есть основания считать предпочтительными сетки, удовлетворяющие следующим качественным требованиям.
Структуры и конфигурации сеток должны обеспечивать в целом их: -регулярность, т.е. плавность изменения геометрических параметров элементарных ячеек; - достаточно высокий уровень универсальности возможностей, отражающих априорные представления о характере ожидаемых напряженно-деформированных состояний в конкретных исследуемых областях; - алгоритмическую простоту построения и управляемость качеством генерируемых сеток. Для реализации указанных требований в предлагаемом методе в качестве базисных конечных элементов, включаемых в предельно ограниченную библиотеку, используются только двумерные и трехмерные симплекс-элементы (треугольной и тетраэдральной форм), образующие соответствующие сетки триангуляции. Элементы этого типа, для которых имеются средства автоматического управления их размерами, взаиморасположением, степенью сгущения и разрежения и, в конечном счете, качественной структурой ансамблей - обладают необходимой чувствительностью к учету всех факторов, связанных со спецификой нагружения, конфигураций и граничных условий моделируемых областей и их фрагментов. 2.1 Основные особенности предлагаемого подхода Как уже отмечалось выше, задача построения метода автоматической генерации сеток для контактных систем разбивается на несколько подзадач, которые имеют различный приоритет и частично проистекают одна из другой.
Логически первой, по необходимости решения, является задача выделения контактных зон и определения степени их удовлетворения условию согласованности. В соответствии с тем, как уже было указано ранее, выполнение условия согласованности зон контактов должно основываться исходя из информации о линейных размерах элементов в этих областях. Таким образом, операция по выделению областей контакта должна идти после построения сеток в этих областях. С другой стороны эта операция должна предшествовать этапу построения сеток, для обеспечения условия сопряженности контактных узлов. Для снятия этого противоречия, на этапе выделения контактных зон используется информация о линейных размерах элементов не на основе уже построенной функции, а на основе некого закона, задающего этот размер. Так как введение этого закона никак не влияет на точное месторасположение узлов, а только задает расстояние между ними, то оно никак не влияет и на сопряженность контактных узлов.
Таким образом, задачей, предшествующей построению метода выделения контактных зон, является получение закона, описывающего распределение линейных размеров элементов в пространстве. Этот закон является базовым понятием для всей дальнейшей методики генерации сеток и называется функцией масштаба элементов. Использование этой функции на этапе выделения контактных зон является только одним из ее приложений. Основное применение функция масштаба элементов получает на этапе построения поверхностных и пространственных сеток и служит для учета геометрических особенностей моделируемых тел и является главным средством управления параметрами строящихся сеток. После получения метода построения функции масштаба и метода выделения контактных зон, представляется необходимым решение задачи обеспечения сопряженности узлов в областях контакта. В общем случае эта задача принципиально не разрешима, но для случая согласованного контакта с достаточно высокой степенью определенности можно построить такой вариант дискретизации контактирующих поверхностей, при котором после деформации и смещения контактирующих тел, сопряженные узлы окажутся смещенными друг относительно друга на расстояние не превышающие некую заданную величину.
После построения всех пар сопряженных узлов следует основной этап, который заключается в генерации конечноэлементных сеток в объемах каждого из контактирующих тел. Реализация этого этапа требует разработки метода генерации сеток, удовлетворяющего перечисленным в предыдущем пункте требованиям, а также предусматривающего возможность учета построенных контактных пар.
Предложенная и реализованная в данной работе процедура триангуляции основывается на последовательном добавлении элементов в строящуюся конечноэлементную сетку, геометрические параметры которой - для каждого элемента — определяются с помощью функции масштаба. Главным инструментом, на базе которого конкретизируется порядок добавления элементов, и вторым (после функции масштаба) базисным понятием алгоритма является фронт (граница) генерируемой сетки.
Основой триангуляции на произвольной поверхности рассматриваемого тела служит фронт, образованный в процессе кусочно-линейной аппроксимации ограничивающего контура дискретизируемой подобласти. Фронт в классе объемных задач триангуляции представляет собой пространственную конструкцию из плоских кусочно-линейных элементов оболочки - многогранника, ограничивающего моделируемое тело. В качестве главных требований, которым должны удовлетворять дискретные модели, принимаются: для фронта - замкнутость, а для ограниченной им области - односвязность. По мере добавления новых элементов область, охватываемая фронтом, уменьшается до тех пор, пока не сожмется до одного треугольного или соответственно тетраэдрального элемента.
Построение функции масштаба на основе геометрических особенностей тела и заданных критериев качества
Алгоритмизация предложенного метода автоматического построения сеток для контактных систем производится в соответствии с этапами, описанными в предыдущей главе. При этом для обеспечения оптимального быстродействия некоторые формально описанные методики и этапы требуют специального рассмотрения. Кроме того, при построении сеток для реальных физических объектов могут возникать трудности, связанные с существованием в исходных моделях геометрических сингулярностей, которые требуют введения специальных алгоритмов их обнаружения и по возможности исправления.
Во многих случаях в исходных геометрических моделях существуют детали, напрямую не влияющие на точность конечноэлементного моделирования, но приводящие к неоправданному увеличению вычислительной сложности. С этой проблемой сталкиваются все существующие методы генерации сеток, учитывающие геометрические особенности модели, при этом решается она в каждом случае по-разному. В большинстве случаев такие детали, представляющие собой небольшие выступы, фаски, скруглення, галтели и т.д., учитываются и в конечноэлементной модели. Как уже отмечалось, такой подход приводит в большинстве случаев к значительному увеличению объема исходных данных на этапе расчета, что приводит к нерациональным вычислительным затратам. При отсутствии автоматического метода оптимизации исходной геометрической модели единственным выходом уменьшения вычислительных затрат является ручное пересоздание геометрии пользователем, заключающееся в удаление или уменьшении количества несуществен 85 ных деталей. Такой подход приводит к дополнительным затратам труда пользователя и не может считаться оптимальным.
Для увеличения процента автоматизации процесса построение сеток применяются специальные методы автоматической оптимизации исходной геометрической модели, заключающиеся в преобразовании, удалении или слиянии отдельных ребер или поверхностей. В данной работе для предварительной оптимизации геометрической модели используется следующий алгоритм. 1) Определяется минимально допустимая длина ребра в модели. Она может задаваться либо абсолютным значением, либо относительно длины максимального ребра. 2) Выполняется цикл по всем граням тела. 3) Выполняется цикл по всем контурам выбранной грани. 4) Для каждого контура проверяются все входящие в него ребра и при обнаружении ребра с длиной меньшей или равной минимально допустимой, такое ребро удаляется. 5) После того, как все такие ребра будут удалены, для всех оставшихся пар ребер контура выполняется следующая процедура: - определяется участок, принадлежащий обоим ребрам пары такой, что расхождение между ребрами на этом участке не превышает минимально допустимую длину ребра; - если длина найденного участка превышает в два раза минимально допустимую длину ребра, то этот участок удаляется из каждого ребра пары, путем их разрезания, а куски ребер, принадлежащие выбранному участку, объединяются в один; - если в результате разрезания ребер исходная грань разбивается на две независимых, то вторая из них добавляется в общий список граней тела. 6) После окончания процедуры разрезания и удаления ребер проверяются все оставшиеся контура. Если обнаруживается контур, содержащий только одно не замкнутое ребро, то такой контур удаляется. 7) Если в результате удаления контуров образуются грани не содержащие ни одного контура, то такие грани удаляются.
Такой алгоритм позволяет в автоматическом режиме удалить большинство лишней геометрии в исходной модели и исправить геометрические сингулярности, например, не замкнутые контура, если они существуют. 3.2 Построение функции масштаба на основе геометрических особенностей тела и заданных критериев качества
Базовым элементом всей процедуры построения контактных сеток является функция масштаба. Как видно из (2.10), в конечном счете, ее вид полностью определяется множеством масштабирующих точек. Процедура получения такого множества является первым этапом алгоритма построения сетки. Масштабирующие точки строятся на основе геометрических параметров контактирующих тел и, возможно, предварительно заданных параметров, определяющих вид функции масштаба в локальных областях пространства.
Алгоритм построения множества масштабирующих точек состоит из следующих шагов: 1) Если существуют масштабирующие точки, предварительно заданные пользователем, то они добавляются в строящееся множество без изменений. 2) Для каждого контактирующего тела выполняется следующая процедура: 3) Максимальное значение, которое может принимать функция масштаба, предварительно задается в абсолютной форме или определяется как 1/10 длины максимального ребра. 4) Все ребра тела сортируются в порядке возрастания их длины. 5) На тех ребрах, для которых задан фиксированный закон разбиения, строятся узлы в соответствии с этим законом. Если для какого-либо из построенных узлов средняя длина отрезков, исходящих из него, в два раза меньше значения функции масштаба в этой точке, то этот узел добавляется как масштабирующая точка с весом равным средней длине исходящих ребер. 6) Последовательно перебираются все ребра, в порядке возрастания их длин. 7) Если длина текущего ребра меньше среднего значения функции масштаба на его концах, то к множеству масштабирующих точек добавляют 88 ся две новые, с координатами концов ребра и весом, равным длине ребра. Больше масштабирующих точек для этого ребра не строится. 8) По всей длине ребра, с шагом равным текущему значению функции масштаба, определяется значение радиуса кривизны поверхностей, включающих данное ребро, а также расстояние до ближайших ребер этих поверхностей. В тех точках, где минимальное расстояние до ребер или минимальный (из двух возможных) радиус кривизны поверхности имеет величину, меньшую значения функции масштаба, добавляется масштабирующая точка, с соответствующими координатами и весом равным минимальному из всех полученных значений. 9) После прохода по очередному ребру в случае, если для него были добавлены новые масштабирующие точки, шаги 7 и 8 повторяются для всех пройденных ребер с учетом изменившегося вида функции масштаба. 10) Алгоритм завершается после того, как будут пройдены все ребра. Описанная процедура обеспечивает построения такого множества масштабирующих точек, которое определяет вид функции масштаба, гарантирующий учет как геометрических особенностей всех тел, таких как длины ребер, радиусы кривизны и расстояния между ребрами, так и предварительно заданных характеристик сетки, определяемых пользовательскими масштабирующими точками и законами разбиения отдельных ребер.
Особенности реализации препроцессора в виде динамической библиотеки
Процедура построения КЭ сетки в общем случае является только одним из этапов процесса конечноэлементного моделирования. Поэтому программное средство, выполняющее данную процедуру, реализуется в виде одной из составляющих более сложного программного комплекса. Разработанный метод построения контактных КЭ сеток реализован в препроцессоре подготовки данных программного комплекса МАКС [21,20]. Основной особенностью указанного комплекса является возможность моделирования контактных систем на основе метода контактных сил и переносных перемещений [16]. Этот метод позволяет существенно сократить вычислительные расходы на этапе конечноэлементного моделирования, но требует выполнения условия сопряженности узлов в зонах контакта. Генерация сеток, обеспечивающих удовлетворение данного условия, как раз и является основной особенностью предлагаемого в данной работе метода построения сеток для контактных систем.
Препроцессор реализован в двух вариантах: в виде динамической библиотеки; в виде независимой отдельной программы. Такое разделение дает в каждом случае определенные преимущества. Динамическая библиотека может быть подключена в интегрируемую оболочку комплекса МАКС (или любого другого комплекса), обеспечивающую поставку геометрических данных и последующую визуализацию полученных результатов, Это позволяет значительно упростить для пользователя процесс построения сетки за счет минимизации действий по подготовке и конвертации данных, а также удобства анализа результатов. В случае реализации препроцессора в виде отдельной программы основным преимуществом является его независимость от остальных компонентов комплекса. При этом дополнительным преимуществом являются широ 119 кие возможности по автоматизации процесса построения сеток для большого количества тел или контактирующих систем. Как видно из схемы, геометрические данные попадают в препроцессор и преобразуются во внутренний формат в модуле импорта данных. В зависимости от способа реализации препроцессора этот модуль функционирует по-разному. После импорта данных и преобразования их во внутреннее представление производится дополнительная обработка данных. Она состоит из двух последовательных этапов: оптимизации геометрической модели и построения функции масштаба. Эти этапы реализуются в соответствии с алгоритмами, описанными в пунктах 3.1 и 3.2.
Модуль обработки контактных систем выполняется только в том случае, если на вход препроцессора была передана система контактирующих тел. В том случае, если в качестве входных данных выступает только одно независимое геометрическое тело, процедуры по обеспечению контактности сетки не выполняются. Обработка контактных систем заключается в выделении согласованных контактных зон и дальнейшем построении сопряженных узлов в этих областях. Алгоритмы этих этапов описаны в пункте 3.3.
После подготовки данных и, в случае необходимости, выполнения процедур по анализу и обработке контактных систем управление передается модулю, отвечающему за построение сеток. Согласно пункту 3.4 построение сетки происходит поэтапно, путем повышения размерности строящейся сетки; сначала строятся узлы на ребрах, затем поверхностные сетки и окончательной процедурой является построение пространственной сетки. В том случае, если необходимо построить только оболочечную сеточную модель, последний этап - построение пространственной сетки - не выполняется. После завершения каждого этапа построения сетки, производится процедура повышения качества сетки. Для этого управление временно передается специальному модулю.
Когда процедура построения сетки завершается, результирующие данные - множество узлов и элементов - передаются другим компонентам ком 121 плекса. За эту передачу отвечает модуль экспорта. Экспорт данных производится по-разному, в зависимости от способа реализации препроцессора.
Модульное построение препроцессора обеспечивает его универсальность. Для построения КЭ сеток отдельных тел, контактных сеток, пространственных и оболочечных моделей используется один и тот же программный код. Большинство модулей являются универсальными и участвуют в процессе построения сетки в любом случае, в не зависимости от входных данных и типа выходной модели.
Выделение всех процедур по работе с аналитическим представлением геометрической модели в отдельный модуль (геометрическое ядро) обеспечивает гибкость импорта геометрии и универсализацию методов интеграции препроцессора с ее поставщиком.
Реализация препроцессора в виде динамической библиотеки дает широкие возможности по его интеграции с произвольными системами промышленного моделирования. Интеграция производится путем реализации соответствующего расширения к выбранной системе, которое должно обеспечивать согласование интерфейсов препроцессора и системы моделирования. Благодаря простоте и компактности интерфейсов препроцессора реализация такого расширения не требует значительных затрат.
Последним компонентом интерфейса препроцессора является набор методов для доступа к геометрическому ядру внешней программы. Эти методы используются в том случае, когда по каким-то причинам выгоднее использовать внешние вычислительные процедуры для определения геометрических параметров модели. К таким причинам относятся: более высокая точность вычислений в случае использования внешних процедур, невозмож 125 ность трансляции некоторых объектов во внутренне представление препроцессора. Главным недостатком использования этого интерфейса является резкое падение производительности, объясняющееся высокими накладными расходами на согласование процедур препроцессора и внешней программы. В некоторых случаях такие расходы могут значительно превышать время непосредственно необходимое для выполнения вызываемой внешней процедуры. В тех случаях, когда такие потери производительности становятся критичными, возможно отключение данных интерфейсных методов, путем установки соответствующих настроек препроцессора. Кроме того, по умолчанию, эти интерфейсные методы считаются отключенными, но они могут быть включены как все сразу, так и по отдельности.
