Введение к работе
Актуальность задачи. В последние годы в математическом мо-ировании все больше внимания уделяется диссипативным динами-ким системам, которые описываются нелинейными системами обык-енных дифференциальных уравнений или дискретными отображени-t. Интерес к таким системам обусловлен тем, что они возникают і решении ряда практических задач в различных областях физики, іии, биологии, социологии. При решении подобных задач использу-;я результаты математического исследования динамических систем, ленные и аналитические методы. Важная для практических при-сений область — это изучение свойств хаотического движения на ове топологической структуры притягивающего множества. Одной из ключевых задач качественного анализа, математических слей, имеющих вид систем обыкновенных дифференциальных урав-ий (ОДУ), содержащих параметры, является изучение инвариантных іжеств, определяющих структуру фазового портрета — положений новесия, предельных циклов, сепаратрисных многообразий и др. Раз-[ные инвариантные множества имеет смысл изучать отдельно друг друга только при фиксированных значениях параметров. Если же аметры меняются, причем меняются плавно, непрерывно, то инва-нтные множества так же плавно изменяются, а при бифуркацион-с значениях параметров переходят друг в друга. Возникают связ-: семейства данных множеств. Трудности исследования нелинейных іамических систем определяются тем обстоятельством, что подле-цне анализу аттракторы (асимптотические устойчивые множества) іествуют вместе с другими пределыгыми множествами. Характер ження, который установится при этом в системе, будет зависеть
от того, к какому аттрактору при данных начальных условиях будет притягиваться траектория.
Не существует единой методики изучения нелинейных динамических систем. Визуализация же получаемых результатов позволяет значительно усилить эффективность вычислительного эксперимента, придавая естественную наглядность результатам расчетных процедур, а также выявить особенности динамики. Использование машинной графики содержит визуальные подсказки, которые могут послужить поводом для новых идей, относящихся к исследуемой проблемной области.
Целью работы является качественное изучение некоторых закономерностей и свойств присущих инвариантным множествам, которые не являются многообразиями. Для этого необходима разработка методов, позволяющих изучать данные множества, а именно:
разработка алгоритмов для изучения свойств хаотического поведения динамических систем, ориентируемых на информационно полное (визуальное) представление результатов;
разработка метода нахождения структурно-устойчивого механизма, приводящего к образованию инвариантных гиперболических множеств, и поиск структурно-устойчивого механизма в аттракторах, используя этот метод;
изучение ячеистой структуры аттракторов Лоренца, построение инвариантной меры.
Научная новизна. Впервые разработан комплекс процедур, позволяющий исследовать свойства хаотического поведения диссипативных динамических систем на основе визуального представления результатов.
Разработан новый метод нахождения структурно-устойчивого механизма образования инвариантных гиперболических множеств, не требующий вычисления устойчивых многообразий и построения пересечения секущей плоскости при отображении Пуанкаре и устойчивого многообразия особой точки 0.
Используя данный метод, были исследованы на наличие сепараторного механизма аттракторы Лоренца, Реслера, Рикитаке, простой аттрактор, определена канторова структура отображения простого аттрактора и аттрактора Лоренца.
Была исследована ячеистая структура аттракторов Лоренца, изуче-.1 ее свойства, построена инвариантная мера.
Практическая ценность. Данные результаты могут быть приме-ны при исследовании диссипативных квантовых систем1, обладающих отической динамикой в классическом пределе, при анализе пучков ускорителях, при построении моделей систем управления. Так как ализ нелинейных динамических систем в работе основан на изуче-[и данных численного решения, то результаты данной работы могут іть применены к системам, траектории движения которых могут быть лучены как последовательность отсчетов.
На защиту выносятся главные результаты диссертации:
-
Алгоритмы для изучения свойств хаотического поведения нели-йных динамических систем, используя визуальное представление ре-льтатов.
-
Метод нахождения структурно-устойчивого механизма образова-[я инвариантных гиперболических множеств.
-
Поиск структурно-устойчивого механизма в аттракторах, исполь-я разработанный метод.
-
Изучение ячеистой структуры аттракторов Лоренца.
Апробация работы. Положенные в основу диссертации результаты кладывались и нашли положительную оценку на научных семинарах 1>ВЭ и НИВЦ АН СССР, іа Всесоюзной конференции по проблемам ішинной графики (Протвино), Международном симпозиуме "Визуали-ция и интерфейс - 91" (Новосибирск), Межрегиональной конференции
иконическому интерфейсу (Орел), а также опубликованы в рабо-х [1],[2],[3],[4].
Структура диссертации. Текст диссертации состоит из введения, тырех разделов и заключения, списка литературы, включающего 79 бот. Общий объем диссертации 64 страницы, включая 34 рисунка и таблицу. В начале каждого раздела дается постановка задачи и крат-я характеристика рассматриваемых вопросов, в конце — обобщаются новіше положения раздела.
