Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Анализ методов реализации вычислительных систем на основе нечеткой логики 16
1.1 Общая структура нечеткого вычислителя 16
1.2 Методы реализации нечётких вычислений 19
1.2.1 Методы программной реализации нечетких вычислений 21
1.2.2 Методы аппаратной реализации нечётких вычислений 23
1.2.3 Табличная реализация нечетких вычислений 25
1.3 Анализ методов повышения эффективности реализации алгоритмов нечётких вычислений во встраиваемых системах 27
1.4 Задачи исследований в процессе выполнения диссертационной работы 30
Выводы к главе 1 31
Глава II Исследование параметров модели нечетких вычислений 32
2.1. Математическое моделирование нечетких вычислений 32
2.2 Математические модели нечетких вычислений с линейными и нелинейными функциями принадлежности входных переменных 37
2.3 Общая функциональная схема классического алгоритма нечетких вычислений 41
2.4. Исследование влияния параметров нечёткого алгоритма на выходную характеристику 43
Выводы к главе 2 47
ГЛАВА III Анализ и разработка методов реализации алгоритмов нечётких вычислений 48
3.1 Разработка моделей оценки временной сложности нечетких алгоритмов в элементарных операциях 48
3.2 Методы сокращения временной сложности 52
3.3 Анализ моделей оценки временной сложности 58
3.4 Анализ ёмкостной сложности реализации нечётких вычислений 68
3.5 Разработка алгоритма нечетких вычислений для встраиваемых систем 77
3.6 Анализ точности вычислений нечеткого алгоритма 78
3.7 Исследование зависимости погрешности результата нечетких вычислений от числа точек дискретизации функций принадлежности
выходных переменных 82
Выводы к главе 3 87
ГЛАВА IV Разработка программного обеспечения нечетких встраиваемых вычислительных систем 89
4.1 Методика разработки программного обеспечения нечётких вычислительных систем 89
4.2 Имитационное моделирование нечетких вычислительных систем 93
4.3 Моделирование программной реализации модифицированного алгоритма нечётких вычислений 105
4.4 Разработка библиотеки макрофункций для построения нечетких вычислительных систем на основе программируемых логических интегральных схем 109
4.5 Разработка универсального нечёткого контроллера реконфигурируемой архитектуры 117
4.6 Программное обеспечение методики разработки нечётких встраиваемых вычислительных систем 127
Выводы к главе 4 127
Заключение 130
Список литературы
- Методы программной реализации нечетких вычислений
- Математические модели нечетких вычислений с линейными и нелинейными функциями принадлежности входных переменных
- Анализ моделей оценки временной сложности
- Моделирование программной реализации модифицированного алгоритма нечётких вычислений
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена решению научно-технической задачи, связанной с исследованием и разработкой методов повышения эффективности алгоритмов нечеткой логики для обработки данных во встраиваемых вычислительных системах, имеющей важное значение в области создания Г нечетких систем распознавания образов, принятия решений, автоматизации управления.
Актуальность
Одним из направлений развития вычислительных систем являются встраиваемые (embedded) системы, выполняющие чётко определённые задачи, связанные с обработкой данных в реальном масштабе времени.
Встраиваемые системы представляют собой ограниченные в габаритах и энергопотреблении модули, управляемые низкопроизводительным по сравнению с персональным компьютером вычислителем, в качестве которого используются микроконтроллеры, сигнальные процессоры и процессоры персональных компьютеров предыдущих поколений. Основными особенностями встраиваемых систем являются высокие требования надёжности, чётко определенная задача, ограниченность и невозможность расширения вычислительной мощности и объемов оперативной и постоянной памяти, ограничение размеров печатных плат и энергопотребления.
Решение задач в прикладных областях, где используются встраиваемые системы [81,82,87], требует обработки неполной, неточной и размытой информации и приводит к необходимости использования знаний человека-эксперта.
Перспективным методом решения таких задач является применение аппарата нечеткой логики [4,5,6,13,15,16,17,18,19,26,27,28,29,30,31,110], что также определяется возможностью реализации произвольного нелинейного преобразования входных данных в сочетании с простотой его лингвистического описания [1, 4, 17, 40]. Проблемам данной области посвящены работы А.Н. Аверкина, М.А. Аджели, И.В. Аникина, А.В. Алексеева, И.З. Батырши-на, А.Ф. Блишуна, В.И. Гловы, А. Коффмана, В.Д. Соловьёва, М.Р. Шагиахметова и др. [1,2,3,7,8,9,10,11].
Несмотря на большое количество публикаций по нечетким системам обработки информации, практически отсутствуют исследования, посвященные анализу трудоемкости и точности алгоритмов нечеткой логики во встраиваемых системах, используемых для автоматизации управления, принятия решений и обработки изображений. Решение этих задач в условиях встраиваемых систем, отличающихся ограниченностью ресурсов, накладывает дополнительные требования к эффективности реализуемых алгоритмов и определяет необходимость создания методов, обеспечивающих снижение трудоемкости вычислений.
В диссертационной работе проводится исследование алгоритмов нечёткой логики, используемых во встраиваемых системах, методов оценки сложности их программно - аппаратной реализации и точности вычислений.
Целью диссертационной работы является исследование методов снижения временной и емкостной сложности алгоритмов нечеткой логики и разработка моделей оценки их характеристик, что позволит повысить эффективность реализации алгоритмов во встраиваемых системах.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
анализ трудоемкости и точности алгоритмов нечётких вычислений, реализуемых во встраиваемых системах, и возможностей повышения их эффективности;
исследование влияния параметров алгоритма нечеткой логики на результаты вычислений;
разработка методов, снижающих трудоёмкость алгоритмов нечеткой логики, используемых во встраиваемых системах;
- разработка программного обеспечения для встраиваемых систем с различными типами вычислителей, обеспечивающего сокращение времени раз работки прикладного программного обеспечения, реализующего алгоритмы нечёткой логики с заданными параметрами.
Решение поставленных задач позволяет повысить эффективность процессов нечеткой обработки данных во встраиваемых программно-аппаратных комплексах, а также сократить сроки их создания.
Методы исследования
При решении поставленных задач использовались методы теории нечетких множеств и нечёткой логики, теория интеллектуальных систем, теория алгоритмов, теория сложности, методы имитационного моделирования вычислительных систем.
Достоверность и обоснованность
Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций подтверждается известными положениями теории нечётких множеств и нечеткой логики, теории алгоритмов и теории сложности, согласуются с известным опытом разработки вычислительных систем, реализующих алгоритмы нечеткой логики в современных вычислительных системах, а также результатами имитационных экспериментов.
Научная новизна работы
В диссертации получены следующие научные результаты
1. Предложены математические модели для оценки временной, ёмкостной сложности и точности вычислений алгоритмов нечеткой логики во встраиваемых вычислительных системах, позволяющие проводить оценку используемых ресурсов системы на этапе проектирования и создавать нечеткие алгоритмы, реализуемые с минимальными программными и аппаратными затратами.
Предложены комбинации методов организации нечётких вычислений, отличающиеся тем, что позволяют снизить временную и ёмкостную сложности алгоритмов нечеткой логики, используемых во встраиваемых системах.
Предложены алгоритмы нечётких вычислений для встраиваемых систем, основанные на использовании комбинации методов снижения трудоем кости, таких как использование концепции активных правил, модифициро ванное табличное представление входных функций принадлежности, совмещение вычислений импликации и агрегирования и использование единичных выходных функций принадлежности.
4. Предложена методика разработки программного обеспечения для встраиваемых нечетких вычислительных систем, отличающаяся использованием методов сокращения трудоемкости на основе оценки временной, ёмко ф стной сложности и точности вычислений, проведением имитационного моде лирования, возможностью формирования требований к минимальной конфигурации вычислительной базы.
Практическая ценность работы заключается в том, что - разработаны алгоритмы нечетких вычислений, использование которых обеспечивает сокращение ресурсов вычислительных систем за счет снижения временной и ёмкостной сложности;
- реализована структура реконфигурируемого нечёткого контроллера с А использованием разработанной библиотеки макрофункций для ПЛИС, обладающего следующими характеристиками: расширяемой архитектурой, модульной организацией, минимальными затратами ресурсов, реконфигурируемостью в ходе вычислений и возможностью организации конвейерных вычислений;
- разработано программное обеспечение, реализующее предложенную методику создания эффективных программно-аппаратных встраиваемых нечетких вычислительных систем.
«г На защиту выносятся следующие результаты:
- математические модели для оценки временной, ёмкостной сложности и погрешности вычислений алгоритмов нечёткой логики во встраиваемых вычислительных системах;
алгоритмы нечётких вычислений для встраиваемых систем, основанные на комбинации методов сокращения трудоёмкости, полученных в результате анализа на основе моделей оценок временной и емкостной сложности;
методика разработки программного обеспечения для создания эффективных нечетких встраиваемых вычислительных систем с заданными характеристиками.
Реализация и внедрение результатов работы:
На основе созданной методики реализации нечетких алгоритмов разработана система автоматического регулирования давления газа в проекте «Регулятор давления газа потокового хроматографа» на предприятии ЗАО СКВ «Хроматэк» (г. Йошкар-Ола), что подтверждается актом о внедрении.
На основе разработанных нечетких алгоритмов реализована система автоматического управления настройками яркости и контрастности изображения в проекте «Сетевая видеокамера» ЗАО «СТРИМ Лабе» (г. Москва), что подтверждается актом о внедрении.
Результаты работы внедрены в учебный процесс Марийского государственного технического университета, что подтверждается актом о внедрении.
Апробация работы
Результаты исследований докладывались на: ежегодной научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава МарГТУ, Йошкар-Ола, 2002 г. и IV Всероссийской научно - технической конференции «Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике», ЧТУ, Чебоксары, 2002 г. (секция «Математическое моделирование и комплексы программ»).
Результаты работы были представлены на выставке проектов студентов и сотрудников Марийского государственного технического университета, Йошкар-Ола, 2003 г. и IX Международной выставке молодёжных научно-технических проектов «ЭКСПО-Наука 2003» (EST 2003), Москва, 2003 г.
Публикации
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 8 печатных работах, в том числе 4 статьях, 3 тезисах докладов на конференциях, в том числе международных, 1 зарегистрированной программе для ЭВМ.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав с выводами, заключения, списка литературы и 6 приложений. Основная часть работы изложена на 146 страницах машинописного текста и содержит 56 рисунков и 10 таблиц.
Краткое содержание диссертации
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены цели и задачи исследования, сформулированы основные научные положения диссертационной работы, научная новизна и практическая значимость результатов работы, приведена структура диссертации.
В первой главе приведена классификация существующих методов реализации нечётких вычислительных систем. Выделены основные методы снижения трудоёмкости и повышения точности реализации алгоритмов нечёткой логики. По результатам аналитического обзора сформулированы конкретные цели исследования.
Во второй главе проведено исследование параметров нечетких алгоритмов. Построены математические модели нечёткого преобразования с линейными и нелинейными входными функциями принадлежности. Построена математическая модель передачи данных классического нечёткого преобразования. Проведено моделирование зависимости результатов нечёткого преобразования от параметров алгоритма.
В третьей главе предложены модели оценки временной и ёмкостной сложности нечётких алгоритмов и предложены методы организации вычислений с сокращённой трудоемкостью реализации. Проведён анализ влияния параметров нечёткого алгоритма на временную и емкостную сложности реализации. Предложены модели оценки максимальной относительной погрешности нечетких вычислений, а также критерий выбора числа точек дискретизации в зависимости от временной сложности и максимальной погрешности вычислений при табличной реализации выходных функций принадлежности.
В четвертой главе разработана система проектирования программного обеспечения, реализующего нечёткие алгоритмы с сокращенной трудоёмкостью. Проведено сравнение реализаций предложенных нечётких алгоритмов с существующими. Выполнено имитационное моделирование нечетких систем автоматического регулирования для различных вариантов включения нечетких контроллеров по сравнению с традиционным ПИД-регулятором. Разработана библиотека макрофункций, реализующих предложенные нечеткие алгоритмы с сокращенной трудоёмкостью на основе ПЛИС, и структура универсального реконфигурируемого нечеткого контроллера на ПЛИС.
В заключении приводится анализ результатов полученных в диссертационном исследовании.
Методы программной реализации нечетких вычислений
Методы программной реализации нечётких вычислений На сегодняшний день создано достаточно много пакетов программного обеспечения, предназначенных для выполнения нечётких вычислений на базе персонального компьютера, например: - CubiCalc RTC [46] - коммерческая экспертная система на основе нечеткой логики, позволяющая создавать собственные прикладные экспертные системы; - CubiQuick [47] - версия пакета CubiCalc; - RuleMaker [98] - программа автоматического извлечения нечетких правил из входных данных; - FuziCalc - электронная таблица с нечеткими полями, позволяющая делать быстрые оценки при неточных данных без накопления погрешности; - OWL - пакет, содержащий исходные тексты всех известных видов ней ронных сетей, нечеткой ассоциативной памяти.
Для создания нечеткого программного обеспечения встраиваемых систем, а также для выполнения нечетких вычислений на базе персонального компьютера, используются следующие системы:
- fuzzyTECH (Inform Software Corporation) [67] - комплекс, предназначенный для создания программного обеспечения встраиваемых систем на базе микроконтроллеров семейств Intel MCS51, MCS96, MCS196 и др. Результатом проектирования являются файлы исходных текстов программ на языке Си или языке ассемблера выбранного микроконтроллера, реализующего нечеткие вычисления. Кроме того, в процессе проектирования проводится имитационное моделирование работы нечёткого алгоритма. Такой подход к реализации нечетких вычислительных систем позволяет сократить время разработки нечеткого программного обеспечения [67]. Другое преимущество данного пакета - создание исходных файлов на языке ассемблера, оптимизированного под определенную вычислительную платформу;
- математическое программное обеспечение MatLab [14] при помощи процедуры Realime Workshop [97] позволяет создавать на языке Си исходные тексты реализации нечётких алгоритмов, разработанных средствами Fuzzy Logic Toolbox [62]. Преимуществами этого подхода являются гибкость организации нечёткого контроллера (возможность реализации различных функций принадлежности и методов логического вывода), возможность проведения имитационного моделирования работы контроллера с разработанной моделью процесса в среде Simulink, использование машинно-независимого языка Си для исходных текстов. К недостаткам данной реализации можно отнести использование классического алгоритма нечётких вычислений (на основе алгоритмического представления функций принадлежности входных переменных, полного перебора всех правил при логическом выводе и ис-пользование табличного представления выходных функций принадлежности, п.2.3) и отсутствие оптимизации под различные аппаратные вычислительные платформы; кроме того, выходные ФП представлены в виде таблицы, число точек дискретизации которой не может быть более 101; - системы rFLASH (Fuzzy Logic Applications Software Helper) [58], PetraFuz51 (Petra Fuzzy Development System) [53], являющиеся аналогами системы fuzzyTECH. Главный недостаток этих систем разработки программного обеспечения нечетких вычислителей заключается в возможности реализации вычислений только на базе MCS51 и невозможность переноса разработанных алгоритмов на другую вычислительную платформу. FUDGE (Fuzzy Design Generator) [44] поддерживает только микроконтроллеры серий 68НС11, 6805 и 68000; программное обеспечение Fuzzy Inference Defuzzification предназначено для работы с сигнальными процессорами ADSP-21xx. В то же время данный подход позволяет оптимизировать разрабатываемый алгоритм под определённую вычислительную базу, что в конечном счете позволяет минимизировать временную сложность и ёмкостные затраты при нечётких вычислениях.
Методы аппаратной реализации нечетких вычислений Проведем анализ известных методов реализации нечётких алгоритмов с использованием специализированных микросхем и ПЛИС.
В работе [88] описан четырехвходовой нечёткий контроллер на ПЛИС с табличной реализацией этапа фаззификации, что позволяет сократить время вычислений на данном этапе. Недостатками этого метода являются негибкая архитектура и значительный объём используемой внешней памяти. Построенный на специализированной ИМС нечёткий контроллер [108] имеет аналогичный (табличный) блок фаззификации, но с использованием внутренней памяти. Ограниченная архитектура ИМС позволяет реализовать нечёткий контроллер с двумя входами и одним выходом. Нечёткий вычислитель в работе [72] представляет собой табличную реализацию нечёткого контроллера (п. 1.2.3).
Математические модели нечетких вычислений с линейными и нелинейными функциями принадлежности входных переменных
Математические модели нечетких вычислений с линейными и нелинейными функциями принадлежности входных переменных На основе представленного математического аппарата разработана математическая модель нечетких вычислений с линейно расположенными в области определения функциями принадлежности, пх входными переменными и дефаззификацией методом центра тяжести. Для линейных входных функций принадлежности должно выполняться условие: S + Sx 1 = 1, при х є (-оо,+оо) 5 то есть сумма значений соседних нечетких наборов должна быть равна единице. Этому условию отвечают размещённые соответствующим образом треугольные функции принадлежности (рис. 2.1).
Область определения пх входных переменных лежит в пределах интервала [-1/,1/], где i-l...nx . Число функций принадлежности входных нечетких наборов т[ = 2-К х+\; i = l..nx, где К х- число функций принадлежности в положительной области "Р", либо отрицательной "N", К х 1.
Для определения значения полуширины треугольных функций принадлежности вводится вспомогательная величина:
Нелинейные функции принадлежности входных переменных размещены в области определения таким образом, что не выполняется условие 8}х + 5Х = 1 для соседних нечетких множеств (j = 1 (т х -1), / = 1 пх). На рис. представлена общая схема нелинейного распределения трапецевидных функций принадлежности. В качестве нелинейных входных функций при 40 надлежности могут быть использованы любые применяемые в нечеткой логике функции. Выбор типа функции принадлелшости определяет метод вычислений степени принадлежности на участках ненулевых значений.
Для представленных нечетких наборов (рис.2.2) параметр фаззификации 0.т, включающий в себя значения, необходимые для расчета каждой функции принадлежности входных наборов, имеет вид:
С выходов блоков фаззификации нечеткие значения входных множеств поступают на девять блоков вычисления правил так, чтобы реализовать все сочетания посылок базы правил. Выходные функции принадлежности реализованы табличным методом, то есть каждая функция представляет собой набор из G элементов, где G - число точек дискретизации. Вектора (массивы) выходных ФП подаются на соответствующие блоки импликации, в которых происходит преобразование согласно результату вычисления правил. К блоку агрегирования подключено девять (по числу правил пг) шин разрядностью G, каждая из которых соответствует функции принадлежности заключения соответствующего правила. В блоке агрегирования поступающие функции принадлежности объединяются в одну - результирующую ФП, преобразуемую в численное значение при помощи какого-либо метода дефаззификации. В дальнейшем нечеткий контроллер с такой структурой будем называть классическим (классическая реализация).
Разработанная функциональная схема нечёткого контроллера представляет собой схему передачи данных. Данные, передаваемые последовательно или параллельно между блоками вычислители, являются нечёткими.
Как следует из приведённой схемы (рис.2.3), возможно распараллеливание нечетких вычислений и организация конвейерной обработки данных. Распараллеливание вычислений объясняется наличием на всех этапах параллельных ветвей алгоритма. Особенностью алгоритмов нечеткой обработки данных является линейность, что дает основу для организации конвейерных вычислений Таким образом, можно организовать обработку данных так, чтобы в каждый момент времени проводились вычисления в блоках различных этапов для разных значений входных переменных.
Анализ моделей оценки временной сложности
Математические модели оценки временной сложности 0№с (п.3.2), позволяют определить влияние параметров нечетких алгоритмов на общую временную сложность нечетких вычислений, так как значения временных параметров а, Ь, с, d, е, h зависят от конкретной вычислительной системы, на базе которой реализуется алгоритм.
Выберем за основу моделирующей системы распространенное семейство восьмибитных микроконтроллеров Intel MCS8051. Данный микроконтроллер не имеет математического сопроцессора; аппаратно реализованы арифметические действия над восьмибитными операндами: сложение, умножение, деление. Пусть тактовый сигнал, подаваемый на вход синхронизации, имеет частоту Fosc = 12МГц. Для разработки программы использован язык С и компилятор icc8051 v4.02E. Математические операции выполнены на основе библиотеки математических функций v 3.0.
В результате проведения статистического эксперимента (объём выборки п=1000; доверительная вероятность а=0,95), установлены средние значения Ч временной сложности выполнения операций сложения, умножения, деления, степенной и экспоненциальной функций над числами с плавающей запятой (тип float): - сложение: а 0,25 мс (случайная погрешность Aa = tm -Ss =0,02мс, где /„, - коэффициент Стьюдента для заданной доверительной вероятности и объёма выборки, Ss - средняя квадратичная погрешность); - умножение: Ъ 0,3 мс (Д/3 =0,025мс); Щ - деление: с 1,1 мс (Ас =0,038мс); « - степенная функция над аргументами, не превышающими 10: d 18 мс (Ас/ = 1,45мс); - экспоненциальная функция над аргументами не превышающими 10: е 9мс(Де=0,74мс); - выборка из памяти: h 0,06 мс (А/г =0,005 мс) (3.11). Полученные значения были использованы для анализа временной сложности рассматриваемых методов реализации алгоритмов нечеткой логики. к Зависимость временной сложности этапа фаззификации от типа входной функции принадлежности
Для реализации сложных программно-реализуемых математических функций, таких как экспоненциальная и степенная, на вычислительной базе восьмибитного микроконтроллера используют ряды Тейлора, требующие значительных временных затрат на их вычисление. Это подтверждается и вышеприведенными результатами моделирования (3.11).
Так как экспоненциальная и степенная функции используются соответственно для реализации гауссовской и колоколообразной функций принадлежности (см. 3.2, 3.3), временная сложность этапа фаззификации будет отличаться от временной сложности при реализации фаззификации на основе треугольных ФП.
На рис.3.4 представлена диаграмма зависимости временной сложности вычислений на этапе фаззификации от типа входных функций принадлежности для моделей (3.4) при пх -2 и Pf-2.
Из диаграммы следует, что временная сложность расчёта треугольной функции принадлежности для рассматриваемой системы (3.11) меньше чем для гауссовской и колоколообразной функций принадлежности в 14 и 26,6 раз соответственно.
Временная сложность различных этапов вычислений
Рассмотрим распределение временной сложности по этапам вычислений для моделей (3.6), (3.8)-(3.10). Пусть число входных переменных пх = 2 , число нечётких наборов для входных переменных тх =тх = 7, коэффициент перекрытия Р) =Pf =2, коэффициент заполнения Pv =0,25, число точек дискретизации G = 101, треугольные входные функции принадлежности. Диаграммы распределения временной сложности по этапам представлены на рис. 3.5 - 3.8 для различных моделей вычислений и методов логического вывода (min-max, prod-sum).
Из полученных диаграмм видно, что для моделей МНК (модель 3.6), ММНК1 (модель 3.8), ММНК2 (модель 3.9) большая часть вычислений приходится на агрегирование и дефаззификацию. Это объясняется тем, что операндами для данных действий являются массивы данных. Влияние метода логического вывода (min-max, prod-sum) на временную сложность является существенным только на этапах вычисления значений правил и импликации.
На рис. 3.9 приведена диаграмма распределения временной сложности для модифицированных методов реализации нечётких вычислений (ММНК1, ММНК2, ММНКЗ).
Моделирование программной реализации модифицированного алгоритма нечётких вычислений
При вычислении значений правил погрешность результата зависит от способа объединения посылок в правиле. В случае если посылки объединяются при помощи логического «И» и используется метод логического вывода prod-sum, относительная погрешность результата будет равна сумме относительных погрешностей посылок. Если же связка - логическое «ИЛИ» реализованная при помощи функции максимума, то максимальная относительная погрешность результата будет равна максимальной относительной погрешности операндов. В этом случае максимальная относительная погрешность результатов вычисления значений правил у(у,) у(ф ,где / = 1,2,..и„ к = [\,тх],кеМ.
Для метода логического вывода min-max значение рассматриваемого параметра на этапе вычисления значений правил с посылками, объединенными логическим «И» и «ИЛИ» будет равно максимальной относительной погрешности минимального и максимального значения в посылках правил соответственно, то есть у (у/,) max y(Sk), к = [1, тх],кеМ .
Поскольку принято, что константы, используемые в вычислениях, не имеют погрешностей, на этапе импликации в результат не вносится никакой дополнительной погрешности. Результатом данного этапа являются массивы значений, имеющие максимальные относительные погрешности, не превы шающие y(Sx ), к = [1, тх ],кеМ.
При выполнении агрегирования происходит объединение массивов в единственный выходной массив в большинстве случаев при помощи либо суммирования, либо функции максимума. Поскольку данные операции не вносят дополнительной погрешности, максимальная относительная погреш ность агрегирования не превышает максимальной относительной погрешности результатов импликации.
На этапе дефаззификации методом центра тяжести происходит деление двух значений с максимальными относительными погрешностями равными
2 ) к = [\, тх]укєМ. Тогда максимальная относительная погрешность результата вычислений нечеткого алгоритма с методом логического вывода prod-sum для каждой выходной переменной не превышает значения удвоенной суммы максимальных относительных погрешностей фаззификации для каждой входной переменной. уяс 2-г( ), где / = 1,2,- пг, = [і, тХі],кєМ. (3.13) j і т
Для нечетких вычислений с методом логического вывода mm-max значение погрешности yFLC 2 maxy(Sk), где к = [1, тх],кеМ
При табличной фаззификации и треугольных ФП у(8 ) /( ,), поэтому Гггс 2-к ,) (prod-sum), J 1 у „с 2-таху(х.) (min-max). J 1 я, U В случае если область определения двух входных переменных [0..1], а для их представления используется однобайтовый тип данных со значениями [О .100], то при реализации треугольных ФП и методе prod-sum максимальная относительная погрешность результата нечётких вычислений по (3.13) YFLC 0 04
Таким образом, максимальная относительная погрешность нечётких вычислений определяется: - погрешностью округления входных данных; - погрешностью округления на этапе фаззификации (пример - деление при реализации колоколообразной функции принадлежности входной пере менной); - погрешностью усечения в случае, если входные функции принадлеж-Ф ности - гауссовские (реализация экспоненциальной функции); - типом логической связки посылок в правилах.
Снижение максимальной относительной погрешности результатов не четких вычислений можно получить, если принять максимально возможную разрядность входных, выходных переменных и промежуточных результатов вычислений (уменьшить значение погрешности округления), использовать табличные методы фаззификации или треугольные ФП (или любые другие, м невносящие дополнительную относительную погрешность) и метод логиче ского вывода min-max.
