Содержание к диссертации
Введение
1 Схема численного анализа данных метеорологических наблюдений 29
1.1 Введение 29
1.2 Метод интерполяции 30
1.2.1 Система координат 31
1.2.2 Обработка данных наблюдений 32
1.2.3 Основные уравнения, используемые при интерполяции . 33
1.2.4 Объединение близко расположенных данных в одно обобщенное наблюдение 37
1.2.5 Контроль данных наблюдений с помощью статистической интерполяции 38
1.2.6 Уравнение анализа по данным, оставшимся после контроля 39
1.2.7 Моделирование статистических характеристик ошибок прогноза 40
1.2.8 Корреляционная функция ошибок прогнозы высоты и относительной топографии 40
1.2.9 Корреляционная функция ошибок прогноза скорости ветра 41
1.2.10 Корреляции между ошибками прогноза полей высоты и скорости ветра 42
1.2.11 Статистические характеристики ошибок наблюдений . 42
1.3 Обработка данных наблюдений в схеме объективного анализа . 44
1.3.1 Предварительные замечания 44
1.3.2 Организация вычислений 45
1.3.3 Контроль данных в схеме объективного анализа, основанной на методе трехмерной многоэлементной статистической интерполяции 46
1.4 Общая блок-схема реализации задачи объективного анализа на основе метода трехмерной многоэлементной интерполяции полей ветра, геопотенциала и относительной топографии 50
1.4.1 Предварительные замечания 50
1.4.2 Подготовка данных наблюдений 50
1.4.3 Преданализ 51
1.4.4 Контроль данных с привлечением метода статистической интерполяции 53
1.4.5 Список исключенных данных 54
1.4.6 Анализ 54
1.4.7 Постанализ 56
1.5 Численные эксперименты 59
1.6 Основные результаты 62
2 Система усвоения данных метеорологических наблюдений 63
2.1 Введение 63
2.2 Численные эксперименты по усвоению данных с бароклинной квазигеострофической моделью атмосферы 64
2.2.1 Квазигеострофическая бароклинная полусферная модель 64
2.2.2 Численные эксперименты по усвоению моделируемых данных с квазигеострофической моделью атмосферы 69
2.2.3 Численные эксперименты по усвоению реальных данных (данных ПГЭП) с квазигеострофической моделью атмосферы 75
2.2.4 Нормальные моды и численные эксперименты по усвоению данных 89
2.3 Система усвоения метеорологических данных для Сибирского региона 92
2.3.1 Введение 92
2.3.2 Анализ данных наблюдений 93
2.3.3 Региональная модель краткосрочного прогноза погоды . 94
2.3.4 Нелинейная инициализация для региональной модели атмосферы 96
2.4 Численные эксперименты с системой усвоения 96
2.5 Основные результаты 100
3 Субоптимальные алгоритмы, основанные на фильтре Калмана 102
3.1 Введение 102
3.2 Фильтр Калмана 104
3.3 Задача оптимальной фильтрации и субоптимальные алгоритмы 107
3.4 Упрощенные модели для расчета матриц ковариаций ошибок прогноза 109
3.5 Численные эксперименты по сравнению свойств упрощенных моделей 115
3.6 Модель для расчета ковариаций ошибок прогноза в алгоритме фильтра Калмана, основаная на полных уравнениях 127
3.6.1 Методика расчета ковариаций, основанная на расщеплении по физическим процессам 127
3.6.2 Численные эксперименты 131
3.7 Модель для расчета ковариаций однородных изотропных случайных полей ошибок прогноза 140
3.7.1 Вывод уравнений для ковариаций ошибок прогноза 141
3.7.2 Расчет ковариаций ошибок прогноза в однородном изотропном случае 146
3.7.3 Численные эксперименты 148
3.8 Основные результаты 154
4 Асимптотическое поведение алгоритма фильтра Калмана 156
4.1 Введение 156
4.2 Задача оптимальной фильтрации (непрерывная постановка 157
4.3 Решение матричного дифференциального уравнения Риккати 159
4.4 Асимптотическое поведение фильтра Калмана 163
4.5 Субоптимальные алгоритмы 167
4.6 Связь оценок, полученных в субоптимальных алгоритмах, с оптимальной оценкой фильтра Калмана 169
4.7 Основные результаты 172
5 Численные эксперименты по усвоению метеорологических данных 173
5.1 Введение 173
5.2 Упрощенные модели, используемые в численных экспериментах. 175
5.3 Численные эксперименты по усвоению моделируемых метеорологических данных с региональной бароклинной моделью атмосферы 179
5.4 Адаптивный алгоритм усвоения, основанный на фильтре Калмана 188
5.4.1 Введение 188
5.4.2 Адаптивный алгоритм фильтра Калмана 190
5.4.3 Численные эксперименты 193
5.5 Применение методики усвоения данных в задачах моделирования циркуляции в океане и охраны окружающей среды 200
5.5.1 Введение 200
5.5.2 Численные эксперименты по усвоению данных о температуре поверхности океана в модели циркуляции Японского моря 200
5.5.3 Применение субоптимального алгоритма, основанного на фильтре Калмана, в задаче усвоения данных наблюдений о пассивной примеси 206
5.6 Основные результаты 211
Заключение 212
Список литературы 216
- Корреляционная функция ошибок прогнозы высоты и относительной топографии
- Численные эксперименты по усвоению реальных данных (данных ПГЭП) с квазигеострофической моделью атмосферы
- Методика расчета ковариаций, основанная на расщеплении по физическим процессам
- Связь оценок, полученных в субоптимальных алгоритмах, с оптимальной оценкой фильтра Калмана
Введение к работе
При изучении процессов, происходящих в атмосфере, важнейшей задачей является обработка данных фактических наблюдений за состоянием атмосферы.
В мире в настоящее время имеется обширная сеть наблюдательных станций. Наземные аэрологические станции и станции на кораблях передают данные радиозондирования. Эти данные передаются через каждые 6 часов в основные синоптические сроки: 00 час. СГВ, 06 час. СГВ, 12 час. СГВ, 18 час. СГВ (СГВ - среднегринвичское время). Данные радиозондирования содержат информацию на изобарических поверхностях, до 10 мбар включительно. Синоптические данные передают наземную информацию. Эта информация также поступает в основные синоптические сроки наблюдений. Большой объем информации поступает со спутников. Спутниковые данные поступают практически непрерывно и поэтому их называют асиноптическими. Кроме основной сети наблюдений метеорологические данные передают также самолеты, дрейфующие буи. Для всех типов данных наблюдений характерно их неравномерное распределение по пространству и наличие случайных ошибок измерений.
Задача численного моделирования атмосферных процессов требует как можно более точного задания начальных данных для решения системы уравнений гидротермодинамики. Одним из наиболее распространенных способов
Введение 8
численного решения системы прогностических уравнений является использование дискретной сетки в трехмерном пространстве и построение на этой сетке соответствующей конечно-разностной схемы. Кроме того, разрабатываются так называемые спектральные модели, в которых прогноз производится для коэффициентов разложения по некоторому базису.
Пусть вектор х7*, заданный на сетке в момент времени tn (либо состоящий из коэффициентов разложения по некоторому базису), имеет размерность N. Задача прогноза может быть символически записана в виде задачи Коши:
x}+l = А(х%
Здесь А - прогностический оператор. При этом считаем, что граничные условия учтены в операторе А. Пусть в момент времени tn имеются данные наблюдений у$ в М точках, вообще говоря, отличных от узлов сетки.
Определение 1.
Задачей численного (объективного) анализа будем называть задачу получения по данным наблюдений "наилучшего "в некотором смысле значения х) [Ц, 123, 113, 112].
Поскольку данные наблюдений известны неточно и содержат информацию не во всех точках рассматриваемой области, то для решения задачи анализа требуется привлечение дополнительной информации о восстанавливаемых полях. В качестве такой информации обычно используют:
климатические данные;
"persistence"(анализ за предыдущий момент времени);
прогноз по данным анализа за предыдущий момент времени.
Такую априорную информацию принято называть первым приближением.
Введение 9
Существующие к настоящему времени методы численного анализа можно условно разбить на 4 группы:
эмпирические методы;
спектральные методы (приближение искомого значения в виде ряда по некоторому множеству функций);
вариационный анализ (3DVAR - 3-Dimensional Variational);
статистическая (оптимальная) интерполяция (ОИ).
Первые методы анализа данных были эмпирическими. В работах [88, 95] был предложен метод последовательных коррекций для проведения объективного анализа метеоданных. Математическая постановка задачи анализа была предложена в работе Л.С.Гандина [113] и в работе Сасаки [142]. Л.С.Гандиным был предложен метод оптимальной интерполяции, состоящий в минимизации средней по множеству реализаций ошибки анализа, при этом учитываются статистические характеристики ошибок наблюдений и некоторого поля, называемого "первым приближением". Сасаки был предложен вариационный подход к решению задачи анализа. В [124] было показано, что все известные методы численного (объективного) анализа метеорологических данных эквивалентны между собой. Что касается эмпирического метода последовательных коррекций, то в [92] показана сходимость итераций метода последовательных коррекций к методу оптимальной интерполяции при соответствующем выборе весовых функций.
С конца 70-х годов прошлого века во всех мировых прогностических цетрах мира лидирующее место занял предложенный Л.С.Гандиным метод оптимальной интерполяции [13, 15]. Лучшим по качеству был признан бокс-вариант метода трехмерной многоэлементной оптимальной интерполяции, разработанный в Европейском Центре Среднесрочных Прогнозов Погоды
Введение 10
(ECMWF, Reading) А.Лоренком [123]. В Национальном Метеорологическом Центре США (NMC, в настоящее время NCEP - Национальный Центр Прогнозов Окружающей Среды) был разработан спектральный метод статистической интерполяции [129]. Оперативной схемой анализа в Гидрометцентре России до настоящего времени является схема, основанная на трехмерной многоэлементной оптимальной интерполяции [4, б, 7]. В настоящее время в NCEP, ECMWF, Meteo-France (Франция) и метеослужбе UK (Великобритания) разработан и применяется оперативно вариационный метод анализа с привлечением статистической информации об ошибках данных наблюдений и первого приближения [104].
В работе [124] была предложена обобщенная формулировка задачи численного анализа данных и получено уравнение анализа в общем виде. Анализом в этой работе называется оценка состояния атмосферы либо с помощью метода максимального правдоподобия, либо "наименьших квадратов". Автор анализирует полученные им обобщенные формулы и показывает, что все известные методы численного анализа могут быть сведены к этим формулам. В этой работе сформулированы условия, при которых ОИ и 3DVAR эквивалентны.
Задача анализа данных позволяет восстанавливать метеорологические поля по данным наблюдений за один момент времени. С 70-х годов 20 века появились наблюдательные средства, делающие замеры непрерывно (асиноп-тические данные наблюдений, например, спутниковые). Кроме того, данных наблюдений за конкретный срок может быть недостаточно для получения адекватной картины распределения метеополей. В связи со всем вышесказанным в настоящее время принято проводить пространственно-временную обработку данных с привлечением прогностических моделей для описания
Введение 11
распределения метеополей в пространстве и во времени [112, 113].
Определение 2.
Задачу совместного учета данных наблюдений и прогностической модели для наиболее точного описания пространственно-временного распределения метеополей принято называть задачей усвоения данных (в зарубежной литературе "data assimilation").
В настоящее время обработка данных метеонаблюдений в большинстве прогностических центров мира осуществляется на основе систем усвоения данных [140]. Существуют два основных типа систем усвоения: непрерывные и дискретные. В непрерывных системах усвоение данных наблюдений (шаг анализа) проводится в момент времени, соответствующий моменту на-' блюдения, а в дискретных системах - в моменты времени, соответствующие основным синоптическим срокам наблюдений.
В мировых прогностических центрах, таких как Европейский Центр Среднесрочных Прогнозов Погоды (ECMWF, Рэдинг) и Национальный Центр Прогнозов Окружающей Среды (NCEP, США) с 80-х годов 20 века стали действовать системы усвоения данных, которые представляли из себя 6-часовой цикл прогноз-анализ-инициализация [127, 129]. В этом цикле шаг "анализ"осуществляется в основные синоптические сроки каждые 6 часов по данным наблюдений из "окна"± 3 часа от основного синоптического срока наблюдения, для подавления ложного роста инерционно- гравитационных мод производится инициализация проанализированных данных [128], а затем прогноз на 6 часов. На этапе "анализ"при этом чаще всего используется метод трехмерной многоэлементной оптимальной интерполяции.
В последнее время такие системы усвоения, основанные на цикле прогноз-анализ-инициализация, усовершенствуются с привлечением общей вариаци-
Введение 12
онной постановки задачи и использованием сопряженной модели для минимизации соответствующего функционала, основываясь на известных результатах теории оптимального управления [62, 101, 114, 123]. В то же время в ряде работ рассматривается постановка задачи усвоения данных в терминах теории оценивания с привлечением алгоритма фильтра Калмана [107, 114]. Следует заметить, что задачи оптимального управления и оптимальной фильтрации связывает принцип двойственности и, кроме того, существуют алгоритмы совместного оценивания и управления процессом [10, 113, 107].
Вариационная постановка в задаче усвоения в настоящее время очень популярна в мире. Следует подчеркнуть, что впервые такая постановка задачи усвоения была предложена в 1976 г. в работе В.В.Пененко, Н.Н.Образцова [65]. Популярный в настоящее время алгоритм фильтра Калмана также исследовался в 70-х годах прошлого века нашими отечественными авторами (Д.М.Сонечкин, [77]). В работе Д.М. Сонечкина [78] показана эквивалентность постановок задачи оптимальной фильтрации и вариационного усвоения при ряде условий (в частности, при нормальном распределении ошибок наблюдений и прогноза). В работах В.В.Пененко [63, 135] показано, что алгоритм вариационного усвоения алгебраически эквивалентен процедуре обобщенного фильтра Калмана. В настоящее время теоретическое исследование проблем усвоения (в вариационной постановке) рассматривается в работах [145, 146].
Из зарубежных авторов особого внимания заслуживает А.Лоренк (A.Lorenc, Англия), посвятивший целый ряд работ теоретическим проблемам задачи усвоения данных. Так, в работе [125] обобщенный метод анализа был распространен автором на пространственно-временной случай. Полученные им формулы при определенных предположениях (некоррелируемость ошибок
Введение 13
наблюдений по времени, гауссовские функции распределения для ошибок наблюдений и прогноза) могут быть сведены к вариационной постановке задачи усвоения, а также к динамико-стохастической. Поскольку алгоритм фильтра Калмана требует обращения матриц очень высокого порядка, авторы предложили свой подход к решению задачи - итерационный метод минимизации функционала, обобщающий метод последовательных коррекций [126].
Таким образом, в настоящее время существуют два подхода к задаче усвоения данных: вариационный (4DVAR - 4-Dimensional Variational) и дина-мико-стохастический (фильтр Калмана). Современные системы усвоения, основанные на вариационном подходе (4DVAR) более легко реализуемы на ЭВМ, но они
1). не учитывают изменчивость со временем ковариаций ошибок прогноза;
2). производят оценку начального состояния по данным наблюдений за ограниченный интервал времени, в то время как фильтр Калмана состоит в последовательном оценивании состояния атмосферы по вновь поступающим данным.
Как отмечается в [113, 125, 137], все задачи усвоения в принципе можно свести к задаче статистического оценивания. В этих работах задачу усвоения связывают с минимизацией квадратичного функционала. При этом, если ищется начальное значение, прогноз по которому доставляет минимум функционалу, имеем вариационное усвоение. Если осуществляется последовательное оценивание по времени за необходимый период, имеем фильтр Калмана. В случае линейной точной (без ошибок) модели оба алгоритма приведут к одному и тому же результату в конце периода усвоения. Если модель линейная, но имеет ошибки, тогда также можно установить соответствие между двумя
Введение 14
подходами, если уравнение модели ввести в функционал в качестве слабого условия. Однако в этом случае 4DVAR будет так же сложно реализуем, как и фильтр Калмана.
В настоящее время задача усвоения данных исследуется отечественными авторами в основном в вариационной постановке [64, 132]. Следует отметить монографию [76], в которой рассматривается применимость алгоритма фильтра Калмана для проведения усвоения в океане. В Гидрометцентре России разработана коллективом автором система усвоения, основанная на цикле прогноз-анализ-инициализация [82, 106] и исследуются вопросы, связанные с ее развитием в виде применения обобщенной постановки задачи усвоения [149, 150].
В ECMWF метод 4DVAR используется в настоящее время оперативно [152], кроме того, рассматривается упрощенный вариант фильтра Калмана RRKF (Reduced Rank Kalman Filter), состоящий в аппроксимации ковари-аций ошибок прогноза в 4DVAR с помощью сингулярных векторов [104]. В NCEP оперативно работает система усвоения типа 3DVAR со статистическим методом анализа PSAS (Physical-Space Statistical Analysis System) [151].
Отметим, что общие постановки задач анализа в обоих ведущих центрах близкие, различия систем усвоения состоят в их практической реализации. Поскольку задача усвоения в полной постановке нереализуема на современных ЭВМ, особенности технологии систем усвоения связаны с различными вводимыми упрощениями.
Система усвоения метеорологической службы Франции (Meteo-France) представляет собой реализацию глобального многоэлементного 4-мерного вариационного анализа (4DVAR), аналогичную системе усвоения ECMWF. В метеорологической службе Германии (NMC Offenbach) схема усвоения пред-
Введение 15
ставляет собой 3-часовой цикл прогноз-анализ-инициализация со схемой анализа, основанной на методе 3-мерной многоэлементной оптимальной интерполяции. В метеорологической службе Канады в настоящее время работает глобальная система усвоения, представляющая собой б-часовой цикл прогноз-анализ-инициализация с методом анализа 3DVAR. При этом в Канаде действует система прогнозирования ансамблей (16 member Ensemble Prediction System - EPS). В этой системе планируется заменить метод анализа, основанный па оптимальной интерполяции, на ансамблевый фильтр Калмана.
Данная работа посвящена во многом исследованию применимости алгоритма фильтра Калмана к задаче усвоения данных метеорологических наблюдений. Алгоритм фильтра Калмана был предложен Р.Е.Калманом в 1960 г. для дискретного случая и Р.Е.Калманом и Р.С.Бьюси в 1961 г. для непрерывного по времени случая для линейной динамической системы со случайным шумом. Разработаны также обобщения фильтра Калмана на нелинейный случай [107].
Алгоритм фильтра Калмана позволяет по ряду данных наблюдений и прогностической модели получить оптимальную в смысле минимума дисперсии ошибки оценку состояния атмосферы к заданному моменту времени [107]. Алгоритм фильтра Калмана является последовательным (рекурсивным), т.е., на каждом временном шаге используются данные за этот момент времени. Поскольку прогностические модели являются нелинейными, обычно алгоритм фильтра Калмана заменяется на вариант обобщенного фильтра Калмана, предложенный в [107].
Алгоритм усвоения, основанный на фильтре Калмана, естественным образом обобщает системы усвоения, представляющие собой цикл прогноз -анализ [114]. По-существу к этому циклу добавляется процедура расчета ко-
Введение 16
вариаций ошибок оцениваемых полей. В то же время, этот алгоритм требует больших машинных ресурсов и в своей полной постановке не может быть реализован в настоящее время даже на супер - ЭВМ, так как для современных глобальных моделей порядок ковариационных матриц составляет сотни тысяч. Кроме того, при определенных условиях фильтр Калмана может расходиться со временем. Тем не менее, применимость теории фильтра Калмана к задаче усвоения данных в настоящее время исследуется многими авторами.
Применение алгоритма фильтра Калмана в задаче усвоения данных интенсивно исследуется в течение последних 10 лет в основном за рубежом, однако первые работы по динамико-стохастическому подходу к задаче усвоения данных были опубликованы в нашей стране еще в семидесятые годы [11, 139]. В этих работах предложен ряд алгоритмов усвоения данных на основе обобщенного фильтра Калмана, в [11] приведены результаты численных экспериментов с баротропной прогностической моделью по динамико-стохастическому усвоению модельных данных.
Большой обзор по применимости алгоритма фильтра Калмана в задачах усвоения данных метеорологических и океанических наблюдений приведен в работах [112, 113].
При применении алгоритма фильтра Калмана к задаче усвоения метеорологических данных основными проблемами являются:
высокий порядок матрицы ковариаций ошибок прогноза;
обращение на этапе анализа ковариационной матрицы высокого порядка (размерность матрицы определяется размерностью вектора данных наблюдений) ;
нелинейность системы уравнений, описывающих метеорологические процессы.
Введение 17
В настоящее время существует несколько подходов к преодолению проблемы большой размерности ковариационной матрицы ошибок прогноза. Один из них состоит в аналитическом описании ковариаций. Так, в работе [94] рассматриваются способы получения дифференциальных уравнений для локальных ковариаций ошибок прогноза. Второй подход состоит в использовании для расчета ковариаций упрощенной модели (меньшей размерности). Такой алгоритм предложен в [99] и называется субоптимальным алгоритмом, основанным на фильтре Калмана. Варианты субоптимальных алгоритмов рассмотрены в [99, 148]. Третий подход, приобретающий все большую популярность, состоит в применении метода Монте-Карло для расчета поведения ковариаций ошибок прогноза со временем. Это так называемый ансамблевый алгоритм фильтра Калмана. Такой подход предложен в [111]. Ансамблевый подход позволяет рассчитывать ковариаций ошибки прогноза для нелинейных моделей. Однако он тоже содержит ряд сложностей. В частности, размерность ансамбля прогнозов для получения хорошо обусловленной ковариационной матрицы должна быть порядка размерности этой матрицы. Отметим здесь работу [132], в которой по существу также предлагается вариант ансамблевого фильтра Калмана. В работе [121] рассматривается комбинированный алгоритм, в котором используется метод ансамблей и при этом рассматривается оператор меньшей размерности (разложение по естественно-ортогональному базису).
Современные схемы, основанные на вариационном подходе (4DVAR), в настоящее время модифицируются, при этом в качестве весовых матриц используются ковариаций ошибок прогноза, меняющиеся со временем. Для вычисления ковариационных матриц в этих схемах используется либо ансамблевый подход [117], либо разложение по естественно - ортогональному базису
Введение 18
(сингулярные векторы) [104].
Для успешной реализации алгоритма фильтра Калмана требуется задание матрицы ковариаций "шумов"прогностической модели. Точное значение элементов этой матрицы неизвестно. Если считать ее нулевой, элементы матрицы ковариаций ошибок прогноза в алгоритме фильтра Калмана убывают со временем, что приводит к эффекту, называемому "расходимос-тью"фильтра Калмана [107, 10]. В этом случае данные наблюдений входят в процедуру анализа со все меньшими весовыми коэффициентами и фактически перестают "усваиваться". Матрица "шумов"прогностической модели может быть оценена с помощью адаптивного алгоритма по данным наблюдений. Все предлагаемые к настоящему времени адаптивные алгоритмы основаны на идее, предложенной в [108]. Алгоритм основан на использовании свойств вектора "невязок"(разности между наблюденным значением и прогнозом).
Адаптивные алгоритмы усвоения, основанные на использовании вектора "невязок"и его статистических свойств предлагаются во многих работах [90, 100, 130]. В [77] предлагается полуэмпирический алгортм усвоения, также основанный на использовании векторов "невязок". Следует отметить работу [149], посвященную проблеме оценки ошибок модели и исследованию природы этих ошибок.
В [100] был предложен алгоритм адаптивного фильтра Калмана для усвоения метеорологических данных, в котором для "шумов модели "и ошибок наблюдений рассматривается дополнительный алгоритм оценивания. В работе [130] предложен адаптивный алгоритм, основанный на ансамблевом подходе. В [90] рассмотрен ряд адаптивных алгоритмов и исследована их применимость для задачи усвоения в океане.
Цель диссертационной работы состоит в развитии методов матема-
Введение 19
тического моделирования для актуальной в научном и практическом плане задачи усвоения данных наблюдений с помощью прогностической модели атмосферы на основе теории фильтра Калмана, построение и апробация новых алгоритмов усвоения на основе фильтра Калмана. В частности, сюда входят:
разработка схемы численного анализа метеорологических данных на основе бокс-варианта метода трехмерной многоэлементной оптимальной интерполяции для Сибирского региона; апробация свойств схемы на реальных данных;
исследование методов усвоения данных наблюдений с помощью численных экспериментов с имитируемыми и реальными данными наблюдений с фильтрованной (квазигеострофической) моделью атмосферы; исследование методики совместного учета данных о геопотенциале и ветре с помощью нормальных мод;
разработка системы усвоения метеорологических данных для Сибирского региона на основе цикла прогноз-анализ-инициализация, исследование,-ее свойств на реальных данных (данные ОА ГМЦ России); создание технологической линии, реализующей эту систему;
обобщение системы усвоения, представляющей собой цикл прогноз-анализ, на основе динамико-стохастического подхода (фильтр Калмана); разработка субоптимальных алгоритмов усвоения на основе фильтра Калмана, использующих упрощенные модели для описания поведения матриц ковари-аций ошибок прогноза по времени;
аналитическое исследование асимптотического поведения алгоритма фильтра Калмана со временем;
разработка адаптивного алгоритма фильтра Калмана, позволяющего получать оценку шумов модели по данным наблюдений; проведение числен-
Введение 20
ных экспериментов с моделируемыми данными по оценке свойств предложенного адаптивного алгоритма.
Научная новизна результатов диссертационной работы.
1). Предложен новый алгоритм усвоения метеорологических данных, основанный на теории фильтра Калмана. Алгоритм является обобщением традиционной схемы усвоения данных наблюдений, представляющей собой цикл прогноз-анализ. В предлагаемом алгоритме рассматриваются упрощенные модели для расчета ковариаций ошибок прогноза; вводимые упрощения основаны на методе расщепления по физическим процессам, свойствах вертикальных нормальных мод модели и квазигеострофическом приближении.
2). Впервые по аналогии с теорией турбулентности выведены уравнения, для ковариаций ошибок прогностической модели в однородном изотропном случае при условии соленоидальности вектора скорости ветра. На основе этих уравнений показано, что в однородном изотропном случае для описания поведения ошибок модели (на малом временном интервале) может быть использована упрощенная модель переноса по траекториям частиц.
3). Впервые проведено аналитическое исследование асимптотического поведения алгоритма усвоения метеорологических данных, основанного на фильтре Калмана, со временем (для непрерывной постановки задачи оптимальной фильтрации). Дана оценка асимптотического поведения алгоритма фильтра Калмана в зависимости от свойств динамической системы, ошибок наблюдений и шумов модели.
4). Предложен новый адаптивный алгоритма фильтра Калмана, состоящий в оценке дисперсий ошибок прогноза по данным наблюдений и прогностической модели с привлечением вектора "невязок"(отклонение данных наблюдений от прогноза), показано с помощью численных экспериментов с
Введение 21
моделируемыми данными, что этот алгоритм позволяет предотвращать "расходимость "фильтра Калмана со временем.
Научная и практическая значимость.
Задача улучшения качества анализа метеорологических данных имеет большое практическое значение. Использование более качественных схем анализа и систем усвоения позволит получать более точное описание пространственно-временного распределения метеополей.
Разработанная система усвоения метеорологических данных для Сибирского региона является базовой технологической линией "прогноз-анализ-инициал изация" для исследования новых методов усвоения в квазиоперативном режиме и расчетов на ее основе фоновых полей для задач охраны окружающей среды.
Разработанная методика усвоения данных наблюдений на основе обобщенного фильтра Калмана не ограничивается рамками задач краткосрочного прогноза погоды. Она может быть применена в задачах усвоения данных наблюдений в океане и для задач охраны окружающей среды (усвоение данных об аэрозолях).
Предлагаемый динамико-стохастический подход позволяет использовать полученные результаты в климатических исследованиях.
Разработанные модели для расчета ковариационных матриц ошибок прогноза имеют самостоятельное значение и могут быть использованы в изучении проблем предсказуемости и оценки областей, в которых требуется производить дополнительные наблюдения. Работающие в настоящее время оперативно схемы схемы усвоения, основанные на вариационном подходе (4DVAR), в настоящее время модифицируются, при этом в качестве весовых матриц используются ковариации ошибок прогноза, меняющиеся со временем. В свя-
Введение 22
зи с этим разработанные упрощенные модели могут быть использованы для расчета поведения ковариаций ошибок прогноза со временем в схемах, основанных на 4DVAR.
Материалы, вошедшие в диссертационную работу, обсуждались на семинарах ИВТ СО РАН, ИВМиМГ СО РАН, Гидрометцентра России, Главной Геофизической обсерватории. Они докладывались на Междуведомственном семинаре по научным результатам ПГЭП (Москва, 1983), Всесоюзной конференции "Статистическая интерпретация гидродинамических прогнозов с целью прогноза элементов и явлений погоды" (Одесса, 1991), Всесоюзном совещании по природным и антропогенным катастрофам (Томск, 1991), Международной конференции АМСА-95 (Новосибирск, 1995), Втором Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-96 (Новосибирск, 1996), Международной конференции "Математические модели и методы их использования"(Красноярск. 1997), Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-98 (Новосибирск, 1998), Первой Международной конференции по Рсанализу (Silver Spring, Maryland, USA, 1997), Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-98 (Новосибирск, 1998), Третьем международном симпозиуме по усвоению данных наблюдений в метеорологии и океанологии (Quebec City, Canada, 1999), Четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000), Международной конференции "Моделирование, базы данных и информационные системы для атмосферных HayKnMODAS (Иркутск, 2001), VIII Международном Симпозиуме "Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы" (Иркутск, 2001), Рабочем совещании NATO "Air pollution processes in regional scale"(Kallithea, Halkidiki, Greece, 2003), Международной конфе-
Введение 23
ренции по измерениям, моделированию и информационным системам для изучения окружающей среды ENVIROMIS-2002 (Томск, 2002), Международной конференции "Вычислительно-информационные технологии для наук об окружающей среде"Cites-2003 (Томск, 2003), Международной конференции "Математические методы в геофизике"(Новосибирск, 2003), Международной конференции по измерениям, моделированию и информационным системам для изучения окружающей среды ENVIROMIS -2004 (Томск, 2004).
Основные результаты опубликованы в 24 статьях: 13 статьях в ведущих отечественных журналах [21] - [26], [28], [29, 31, 34, 35, 39, 40], 4 докладах в трудах международного симпозиума и международного рабочего совещания [27, 45, 119, 120], 7 статьях в трудах институтов Академии Наук и Госкомгид-ромета [32] - [33], [36] - [38], [71, 72].
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержит 29 рисунков и 13 таблиц. Каждая глава разбита на разделы.
В I главе описывается разработанная совместно с Г.С.Ривиным базовая схема численного анализа для Сибирского региона. При разработке схемы анализа использован опыт ЕЦСПП [102, 123], Гидрометцентра СССР [7] и ЗапСибНИГМИ [70]. Схема основана на бокс-варианте метода трехмерной многоэлементной оптимальной интерполяции. На момент разработки такая схема была признанной лучшей в мире. В разделе 1.2 подробно описывается сам метод анализа, а также моделирование статистических характеристик ошибок наблюдений и первого приближения (прогноза). В разделе 1.3 описывается вся технологическая цепочка обработки данных наблюдений в схеме объективного анализа. Общая блок-схема реализации задачи объективного анализа описывается в п. 1.4. Результаты численных экспериментов по ана-
Введение 24
лизу реальных данных приводятся в п. 1.5.
Во II главе описываются численные эксперименты по усвоению данных наблюдений с фильтрованной моделью атмосферы, а также система усвоения, основанная на цикле прогноз-анализ-инициализация. Раздел 2.2 посвящен исследованию методов усвоения метеорологических данных с помощью численных экспериментов с бароклинной квазигеострофической моделью. В квазигеострофической модели всего одна неизвестная функция - высота изобарической поверхности. Благодаря этому нет необходимости учитывать ра-согласованность различных полей при усвоении метеорологической информации. Кроме того, прогноз по квазигеострофической модели не требует больших машинных ресурсов. Все это явилось причиной того, что квазигеостро-фическая модель была выбрана для проведения методических экспериментов по усвоению данных.
В разделе 2.3 описывается система усвоения метеорологических данных для Сибирского региона. В ИВТ СО РАН коллективом автором проводилась работа по созданию комплексной системы математического моделирования атмосферных процессов в Сибирском регионе для ЭВМ типа PC AT и рабочих станций [12, 37, 39] и оценке ее свойств при усвоении метеоинформации. При разработке системы моделирования учитывалась возможность ее обобщения с учетом современных методов усвоения данных, в частности, основанных на теории оценивания. Описываемая система усвоения является частью этой системы.
В III главе описывается методика усвоения данных, основанная на обобщенном фильтре Калмана. Алгоритм фильтра Калмана позволяет по ряду данных наблюдений за различные моменты времени и прогностической модели, которая рассматривается как динамико-стохастическая система, полу-
Введение 25
чить оптимальную оценку состояния атмосферы в смысле минимума средне-квадратической ошибки оценивания [107]. Алгоритм усвоения, основанный на фильтре Калмана, естественным образом обобщает системы усвоения, представляющие собой цикл прогноз - анализ [112, 113].
Серьезной проблемой при применении алгоритма фильтра Калмана к реальным прогностическим моделям является высокий порядок используемых в этом алгоритме матриц ковариаций ошибок прогноза. В этой главе рассматривается подход, основанный на применении упрощенных моделей для расчета ковариационных матриц. Такой алгоритм называют субоптимальным.
В разделе 3.2 описывается алгоритма фильтра Калмана, в пп.3.3-3.5 описываются упрощенные модели для расчета матриц ковариаций ошибок прогноза, основанные на геострофическом приближении. В п.3.6 рассматривается модель для расчета ковариаций ошибок прогноза, основанная на расщеплении по физическим процессам. Свойства упрощенных моделей исследуются с помощью численных экспериментов.
Применение теории фильтрации Калмана к задаче усвоения метеорологических данных для современных прогностических моделей - задача очень сложная и трудно реализуемая из-за высокого порядка возникающих при этом ковариационных матриц. Однако у такой задачи есть преимущество: динамика атмосферы описывается конкретными прогностическими уравнениями, свойства которых хорошо изучены. Кроме того, в теории турбулентности на основе уравнений Навье-Стокса и притока тепла получены известные аналитические уравнения для структурных функций полей температуры и ветра. В п.3.7 получена модель для расчета ковариаций однородных изотропных случайных полей ошибок прогноза при условии соленоидальности вектора скорости ветра. Приводится вывод уравнений модели по аналогии
Введение 26
с теорией турбулентности, а также результаты численных экспериментов по расчету ковариаций ошибок прогноза в однородном изотропном случае.
Исследованию поведения алгоритма фильтра Калмана со временем посвящено много работ, в основном состоящих в проведении численных экспериментов с упрощенными моделями. В то же время в ряде работ проводились аналитические исследования поведения алгоритма фильтра Калмана со временем. Так, в [112] рассматривается вопрос асимптотического поведения дискретного алгоритма фильтра Калмана аналитически для максимально упрощенной модели; в [97] получена асимптотическая оценка дискретного алгоритма фильтра Калмана на примере одномерной модели переноса и диффузии.
В IV главе рассматривается вопрос асимптотического поведения алгоритма фильтра Калмана в непрерывной по времени постановке. В этом случае матрица ковариаций ошибок оценивания удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению Риккати. Непрерывная постановка задачи оптимальной фильтрации приводится в п.4.2. Из теории оценивания известно [10], что решение этого уравнения сходится при ряде условий к некоторому предельному значению, при этом начальное значение не влияет на величину стационарного решения. В работе приводится конкретный вид стационарного решения матричного дифференциального уравнения Риккати, полученный для ряда частных случаев (п.4.3).
Сходимость алгоритма фильтра Калмана очевидным образом зависит от устойчивости основного решения динамической системы [8]. В [114] показано экспериментально, что алгоритм фильтра Калмана позволяет произвести адекватную оценку состояния атмосферы и в случае наличия бароклинной неустойчивости. В настоящей работе вопрос сходимости алгоритма фильтра
Введение 27
Калмана в случае неустойчивости основного решения динамической системы исследуется аналитически (п.4.4). На основе аналитического решения матричного дифференциального уравнения Риккати в работе рассмотрен также вопрос разработки субоптимальных алгоритмов на основе фильтра Калмана (п.4.5).
V глава посвящена численным экспериментам по усвоению данных наблюдений с бароклинной адиабатической моделью атмосферы для региона. Усвоение производится с помощью субоптимального алгоритма, основанного на фильтре Калмана. В п.5.2 описаны упрощенные модели, используемые в численных экспериментах по усвоению, результаты экспериментов приведены в п.5.3.
Для реализации алгоритма фильтра Калмана необходимо задание ковариационной матрицы "шумов модели", которая заранее неизвестна. Оценить ее можно, используя какие-либо дополнительные предположения. Известно, что в случае, если матрица ковариаций шумов модели задается нулевой', происходит быстрое убывание теоретической ошибки оценивания алгоритма фильтра Калмана и, как следствие, данные наблюдений на этапе анализа входят со все меньшими коэффициентами. Этот эффект называют в литературе расходимостью алгоритма фильтра Калмана [107]. В классической работе [108] предлагается алгоритм оценки шумов модели по данным наблюдений с использованием вектора "невязок"(разности между наблюденными и спрогнозированными значениями) в процессе оценивания в процедуре фильтра Калмана. Такая процедура названа адаптивным фильтром Калмана.
В данной главе в п.5.4 предлагается адаптивный субоптимальный алгоритм, основанный на фильтре Калмана, приводятся результаты численных экспериментов по усвоению моделируемых данных с бароклинной адиабати-
Введение 28
ческой моделью атмосферы.
В п.5.5 описываются работы по применению методики усвоения данных в задачах, связанных с моделированием циркуляции в океане и задаче охраны окружающей среды (перенос и диффузия пассивной примеси). Вышеперечисленные области обширны и сами по себе представляют отдельные самостоятельные направления. Представлены предварительные результаты работ по применению методики усвоения в области моделирования динамики океана и для задач охраны окружающей среды. В описываемых экспериментах используются исследованные автором методики усвоения, связанные с субоптимальными алгоритмами на основе фильтра Калмана.
В Заключении приводятся основные результаты диссертационной работы.
Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность д.ф.-м.н. Г.С.Ривину за полезные консультации, постоянное обсуждение проблем, связанных с задачей анализа и усвоения данных, поддержку и внимание к работе.
Автор благодарит чл.-корр. Г.П.Курбаткина и д.ф.-м.н. В.Н.Крунчатни-кова за привлечение к работе по созданию схемы анализа, основанной на бокс- варианте метода трехмерной многоэлементной оптимальной интерполяции. Автор выражает благодарность своим коллегам М.Д.Цырульникову (Гидрометцентр России), С.Б.Медведеву (ИВТ СО РАН) за полезные дискуссии. Проведенные исследования были поддержаны Российским Фондом Фундаментальных Исследований (гранты 95-05-15581, 98-05-65302, грант ведущих научных школ России 00-015-98543, грант 04-05-64481).
Корреляционная функция ошибок прогнозы высоты и относительной топографии
Материалы, вошедшие в диссертационную работу, обсуждались на семинарах ИВТ СО РАН, ИВМиМГ СО РАН, Гидрометцентра России, Главной Геофизической обсерватории. Они докладывались на Междуведомственном семинаре по научным результатам ПГЭП (Москва, 1983), Всесоюзной конференции "Статистическая интерпретация гидродинамических прогнозов с целью прогноза элементов и явлений погоды" (Одесса, 1991), Всесоюзном совещании по природным и антропогенным катастрофам (Томск, 1991), Международной конференции АМСА-95 (Новосибирск, 1995), Втором Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-96 (Новосибирск, 1996), Международной конференции "Математические модели и методы их использования"(Красноярск. 1997), Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-98 (Новосибирск, 1998), Первой Международной конференции по Рсанализу (Silver Spring, Maryland, USA, 1997), Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-98 (Новосибирск, 1998), Третьем международном симпозиуме по усвоению данных наблюдений в метеорологии и океанологии (Quebec City, Canada, 1999), Четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000), Международной конференции "Моделирование, базы данных и информационные системы для атмосферных HayKnMODAS (Иркутск, 2001), VIII Международном Симпозиуме "Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы" (Иркутск, 2001), Рабочем совещании NATO "Air pollution processes in regional scale"(Kallithea, Halkidiki, Greece, 2003), Международной конференции по измерениям, моделированию и информационным системам для изучения окружающей среды ENVIROMIS-2002 (Томск, 2002), Международной конференции "Вычислительно-информационные технологии для наук об окружающей среде"Cites-2003 (Томск, 2003), Международной конференции "Математические методы в геофизике"(Новосибирск, 2003), Международной конференции по измерениям, моделированию и информационным системам для изучения окружающей среды ENVIROMIS -2004 (Томск, 2004).
Основные результаты опубликованы в 24 статьях: 13 статьях в ведущих отечественных журналах [21] - [26], [28], [29, 31, 34, 35, 39, 40], 4 докладах в трудах международного симпозиума и международного рабочего совещания [27, 45, 119, 120], 7 статьях в трудах институтов Академии Наук и Госкомгид-ромета [32] - [33], [36] - [38], [71, 72].
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержит 29 рисунков и 13 таблиц. Каждая глава разбита на разделы. В I главе описывается разработанная совместно с Г.С.Ривиным базовая схема численного анализа для Сибирского региона. При разработке схемы анализа использован опыт ЕЦСПП [102, 123], Гидрометцентра СССР [7] и ЗапСибНИГМИ [70]. Схема основана на бокс-варианте метода трехмерной многоэлементной оптимальной интерполяции. На момент разработки такая схема была признанной лучшей в мире. В разделе 1.2 подробно описывается сам метод анализа, а также моделирование статистических характеристик ошибок наблюдений и первого приближения (прогноза). В разделе 1.3 описывается вся технологическая цепочка обработки данных наблюдений в схеме объективного анализа. Общая блок-схема реализации задачи объективного анализа описывается в п. 1.4. Результаты численных экспериментов по анализу реальных данных приводятся в п. 1.5.
Во II главе описываются численные эксперименты по усвоению данных наблюдений с фильтрованной моделью атмосферы, а также система усвоения, основанная на цикле прогноз-анализ-инициализация. Раздел 2.2 посвящен исследованию методов усвоения метеорологических данных с помощью численных экспериментов с бароклинной квазигеострофической моделью. В квазигеострофической модели всего одна неизвестная функция - высота изобарической поверхности. Благодаря этому нет необходимости учитывать ра-согласованность различных полей при усвоении метеорологической информации. Кроме того, прогноз по квазигеострофической модели не требует больших машинных ресурсов. Все это явилось причиной того, что квазигеостро-фическая модель была выбрана для проведения методических экспериментов по усвоению данных.
В разделе 2.3 описывается система усвоения метеорологических данных для Сибирского региона. В ИВТ СО РАН коллективом автором проводилась работа по созданию комплексной системы математического моделирования атмосферных процессов в Сибирском регионе для ЭВМ типа PC AT и рабочих станций [12, 37, 39] и оценке ее свойств при усвоении метеоинформации. При разработке системы моделирования учитывалась возможность ее обобщения с учетом современных методов усвоения данных, в частности, основанных на теории оценивания. Описываемая система усвоения является частью этой системы.
В III главе описывается методика усвоения данных, основанная на обобщенном фильтре Калмана. Алгоритм фильтра Калмана позволяет по ряду данных наблюдений за различные моменты времени и прогностической модели, которая рассматривается как динамико-стохастическая система, получить оптимальную оценку состояния атмосферы в смысле минимума средне-квадратической ошибки оценивания [107]. Алгоритм усвоения, основанный на фильтре Калмана, естественным образом обобщает системы усвоения, представляющие собой цикл прогноз - анализ [112, 113].
Серьезной проблемой при применении алгоритма фильтра Калмана к реальным прогностическим моделям является высокий порядок используемых в этом алгоритме матриц ковариаций ошибок прогноза. В этой главе рассматривается подход, основанный на применении упрощенных моделей для расчета ковариационных матриц. Такой алгоритм называют субоптимальным.
В разделе 3.2 описывается алгоритма фильтра Калмана, в пп.3.3-3.5 описываются упрощенные модели для расчета матриц ковариаций ошибок прогноза, основанные на геострофическом приближении. В п.3.6 рассматривается модель для расчета ковариаций ошибок прогноза, основанная на расщеплении по физическим процессам. Свойства упрощенных моделей исследуются с помощью численных экспериментов.
Численные эксперименты по усвоению реальных данных (данных ПГЭП) с квазигеострофической моделью атмосферы
Процедура контроля данных в схеме объективного анализа должна удовлетворять следующим условиям: - процедура должна оставлять максимум полезной информации, возможно даже за счет оставления части ошибочных данных; - особое внимание в процедуре должно быть уделено контролю и восстановлению ошибочных данных в плохо освещенных районах. Контроль информации производится в схеме объективного анализа на трех различных этапах ее работы: - на этапе предварительной обработки данных (первый этап контроля); - на этапе преданализа (подготовки данных к проведению анализа) (второй этап контроля); - третий этап контроля - контроль данных с помощью трехмерной многоэлементной статистической интерполяции. Каждому наблюдению ставится в соответствие его индикатор качества, равный нулю для верного значения, единице для вероятно верного, двум -вероятно неверного, трем - для неверного. В процессе каждого очередного этапа контроля этот индикатор меняется. Если он больше единицы, то такое наблюдение не используется для контроля остальных данных, но должно быть подвергнуто последующей процедуре контроля. Данные уровня lib, прошедшие в центрах обработки данных предварительный контроль, содержат наблюдения с соответствующим индикатором качества. Если обрабатывается оперативная информация, то перед проведением первого этапа контроля для всех данных наблюдений их индикатор качества полагается равным нулю. Данные, имеющие индикатор качества 0 или 1, называют "основными", остальные — дополнительными. Первый этап контроля производится в процессе предварительной обработки данных и включает в себя: — контроль места расположения станции (сопоставление координат с индексом станции); — объединение повторных сообщений; — поиск "кораблей на суше", отбрасывание данных или исправление неверного местоположения кораблей; — контроль неверных дрейфующих буев (контроль осуществляется проверкой поведения данных по времени и может проводиться только для данных lib); — отбрасывание данных микроволнового зондирования: а) над сушей, б) над океанами при большой облачности, в) в тропиках, то есть между 20 N и 20 S; — исправление ошибок в приземном давлении ±100 мбар с помощью данных о первом приближении (такие ошибки отмечаются как для данных с кораблей, так и в данных, передаваемых наземными станциями); — исправление данных о высоте облачности (SATOB): а) в соответствии с данными о первом приближении поля температуры (если температура содержится в сообщении), б) по высоте тропопаузы ( если сообщается только геопотенциал); — климатический контроль; этот контроль также может быть осущест влен на этапе предварительной обработки данных, он состоит в сравнении наблюденного значения с климатическим и позволяет отбросить заведомо неверные сообщения. Отметим, что на этом этапе контроля может быть полезным привлечение также следующих процедур контроля метеоинформации: — процедуры статистического контроля, позволяющей исправить неверную информацию, что особенно важно в районах с редкой сетью наблюдений; — процедур восполнения "коротких"зондов, применяемых в схеме объективного анализа А.Н.Багрова [5]; — процедуры вертикального статистического контроля спутниковых данных [125]. Второй этап контроля производится на этапе преданализа. Он осуществляет: — сравнение данных наблюдений с полями первого приближения; если абсолютное значение отклонения наблюденного значения от значения первого приближения в точке наблюдения превышает некоторую допустимую величину, то это отклонение полагается равным максимально допустимому и-производится увеличение индикатора качества на единицу; — поиск близко расположенных друг к другу наблюдений (менее 150 км); контроль состоит в сравнении таких данных друг с другом; если эти данные хорошо согласуются между собой, то производится их объединение в одно " обобщенное" наблюдение.
При использовании в качестве первого приближения прогностических полей, полученных по модели, достаточно точно описывающей поведение атмосферы, контроль, состоящий в сравнении наблюденного значения с первым приближение позволяет фактически отбрасывать всю неверную информацию. В то же время необходим выбор таких допустимых отклонений от первого приближения, которые позволили бы удержать максимум полезной информации даже за счет оставления части неверных данных.
Третий этап контроля осуществляется непосредственно перед проведением анализа и основан на применении локальной статистической интерполяции по данным наблюдений в контролируемую точку. Такой контроль является обобщением метода горизонтального контроля, однако он обладает рядом принципиальных отличий. Первым важным отличием является то, что интерполяция, привлекаемая для контроля данных, является трехмерной и многоэлементной. Еще одной существенной особенностью описываемого здесь способа контроля является то, что при интерполяции в контролируемую точку используется максимум доступной информации.
Контроль с помощью статистической интерполяции производится так же, как анализ, последовательно для областей 6 х 6. Каждое наблюденное значение сравнивается с результатом интерполяции в контролируемую точку по всем данным, кроме тех, которые уже проконтролированы и являются вероятно неверными. В случае, когда таких значений больше одного, процедура контроля повторяется еще раз без учета опыта работ схем горизонтального, вертикального, комплексного контролей [1, 2].
Как отмечается в [123], преимущество вышеописанной схемы контроля состоящее в том, что она использует максимум доступной информации, компенсируется тем, что эта схема контроля требует особенно тщательного описания ковариационных функций ошибок.
Методика расчета ковариаций, основанная на расщеплении по физическим процессам
Описанные в этом пункте эксперименты посвящены исследованию влияния усвоения аэрологической и спутниковой информации за сроки, предшествующие моменту анализа, на уточнение прогноза, получаемого с помощью гидротермодинамической модели атмосферы.
В численных экспериментах использованы данные уровня II (данные наблюдений и косвенного зондирования) и уровня III (данные в узлах регулярной сетки) за 3-6 февраля 1976 г. из архива DST-6, подготовленного в Национальном метеорологическом центре США для ПИГАП. Для работы с этим архивом на ЭВМ серии ЕС применялось математическое обеспечение, предложенное в [74, 75]. Распределение данных уровня II неравномерно как по пространству, так и по времени. Так, для Северного полушария за 00 ч СГВ 5 февраля 1976 г. в DST-6 содержатся 813, за 06 ч - 216, за 12ч - 894 и за 18 ч - 340 аэрологических сообщений, причем из них информацию о геопотенциале содержат только 584, 39, 581 и 124 сообщения, соответственно. Как известно, сеть аэрологических данных на акваториях океанов редкая, поэтому очень ценной является дополнительная спутниковая информация, которая позволяет восполнить недостаток данных в малоосвещенных районах. По количеству спутниковых данных существенно больше, чем аэрологических. Так, за промежутки времени ±3 ч от основных сроков аэрологических наблюдений 5 февраля 1976 г. имеется соответственно 778, 1072, 1094 и 1025 спутниковых сообщений. В качестве уровня отсчета для спутниковых данных использовались прогностические значения высоты поверхности 1000 гПа. Данные уровня III, являющиеся результатом численного анализа, использовались как в качестве начальных полей для модели атмосферы, так и полей для оценки точности найденного прогностического поля.
В качестве гидротермодинамической модели атмосферы в описываемых в данном пункте экспериментах взята бароклинная полусферная квазигео-строфическая модель. Подробное описание использованной модели атмосферы и метода нахождения ее решения дано в п.2.2. (см. также [31, 32]). Численные эксперименты осуществлены со следующим вариантом модели: а) шесть счетных уровней (1000,850,700,500,300 и 200) мбар; б) широтно-долготная сетка с шагами 5 по меридиану и 10 по парал лели; в) шаг по времени равен 1 ч; г) в начальном поле геопотенциала с помощью быстрого преобразования Фурье проводится фильтрация коротких волн начиная с двенадцатой гармо ники. Методика усвоения. Процедура динамического усвоения метеорологических данных условно может быть разбита на три этапа: первый этап - прогноз с момента времени г- до момента времени tj (здесь t{,tj - два последовательных момента усвоения); второй этап - контроль достоверности и локальная интерполяция отклонений данных наблюдений от прогностических значений в узлы регулярной сетки; третий этап - согласование полученного на втором этапе отклонения с динамикой модели атмосферы и прибавление согласованного отклонения к прогностическому полю (усвоение данных). Согласование должно производиться так, чтобы с помощью прогноза по уточненному полю было получено наилучшее первое приближение. Полученное после третьего этапа поле берется в качестве начального для проведения первого этапа и т. д. Остановимся подробнее на втором и третьем этапах процедуры усвоения. В описываемых экспериментах контроль проводился следующим образом: измеренное значение считалось достоверным, если его отклонение от прогностического по абсолютной величине было не более некоторой величины, зависящей от уровня по вертикали. Допустимые отклонения были выбраны на основе поведения значений абсолютной ошибки прогноза на сутки по использованной модели атмосферы и брались равными 45,45,45, 50,70 и 80 м для поверхностей 1000,850,700,500,300 и 200 мбар, соответственно. Эксперименты показали, что такой контроль позволяет исключить неверные значения и в некотором смысле согласовать усваиваемую информацию с прогностическим полем, сохраняя основную часть (более 80%) данных уровня II из архива DST-6. Локальная интерполяция отклонений данных наблюдений от первого приближения в узлы регулярной сетки производилась двумя способами. Первый способ - метод подстановки состоит в том, что в первом приближении производится замена (подстановка) его значений в узлах, ближайших к точкам наблюдений, на измеренные. В качестве второго (основного) способа был выбран метод экспоненциальной интерполяции Г.И.Марчука [48]. Нахождение собственных векторов и собственных значений трехдиаго-нальной матрицы, соответствующей разностному аналогу вертикального оператора из уравнения Булеева - Марчука, производилось с помощью метода, предложенного в [67]. Радиус влияния, как и в [4], был взят равным 1800 км. Формула (2.9) получена в [48] на основе поведения функции влияния уравнения Булеева - Марчука и, следовательно, учитывает свойства данной модели. Отметим, что ее можно получить также с помощью вариационных принципов, используя соответствующий оператор сглаживания [66]. Применимость метода экспоненциальной интерполяции для численного анализа геопотенциала исследована в [16]. Как отмечалось выше, на третьем этапе процедуры динамического усвоения необходимо провести согласование усваиваемой информации с динамикой модели атмосферы. Так как квазигеострофическая модель атмосферы описывает поведение крупномасштабной части атмосферных процессов, то согласование усваиваемой информации проводится с помощью фильтрации мелкомасштабной части вносимых при усвоении возмущений 5Н с помощью В этом случае при усвоении не учитывается мелкомасштабная часть дополнительной информации. Аналогичная фильтрация может быть осуществлена по вертикали с помощью разложения (2.10). Так как использованные в (2.8) собственные векторы ot.j(pm) являются вертикальными нормальными модами данной модели атмосферы, то такая фильтрация имеет прозрачный физический смысл. В настоящее время наиболее применяемым методом интерполяции при усвоении и анализе является метод оптимальной интерполяции. Этот метод использует статистические свойства первого приближения, в то время как метод экспоненциальной интерполяции, во-первых, не требует знания этих свойств и, во-вторых, что важно, согласован с используемой моделью атмосферы. По этой причине для проведения исследования качественного влияния усвоения аэрологических и спутниковых данных на точность прогноза был выбран метод экспоненциальной интерполяции.
Связь оценок, полученных в субоптимальных алгоритмах, с оптимальной оценкой фильтра Калмана
Отметим, что в обеих упрощенных моделях перенос осуществлялся в лагранжевых переменных. Сравнение качества анализа, полученного в алгоритме усвоения с вычислением ковариации с помощью переноса в лагранжевых переменных [24, 25] и с помощью конечно-разностной схемы, взятой из исходной модели [73], показало, что в первом случае получаются более близкие к "истине"значения анализа. Кроме того, при расчете по исходной схеме наблюдается неоправданный рост tr(P[) (следа матрицы) со временем.
Были рассмотрены следующие варианты расчета прогноза на 48 часов с усвоением каждые 12 часов, начиная с 0 часов данных о поле геопотенциала. Во всех экспериментах ошибки поля ветра на каждом временном шаге определялись с помощью геострофических соотношений. На шаге анализа полученные поля "уточнений"первого приближения (прогноза) подвергались процедуре вариационного согласования (5.9). Матрица "шумов модели"Q считалась нулевой. Вариант 0. В процедуре усвоения по фильтру Калмана опущен шаг расчета Р[ (рассматривается инерционный прогноз для ковариации). Вариант 1. Для расчета Р/ используется модель-1. Вариант 2. Для расчета Р используется модель-4 (для п 5 используется квазигеострофическое уравнение вихря). Вариант 3. Расчет Р[ по модели-4, при этом перенос осуществляется с "обобщенным"ветром (5.8). Вариант 4. Расчет Р по модели-4 с применением к матрице Р% процедуры вариационного согласования (5.9). Результаты этих экспериментов приведены на рис.1. На рис. 1а приводится поведение Р(Р{) - первого собственного числа матрицы ковариаций ошибок прогноза первой вертикальной моды Р\. Отметим, что /3(Pi) есть по определению норма матрицы Рі. На этом рисунке через 61 обозначено значение /3(Рі), полученное в варианте 1, 62,63,64 - соответственно (3 для Pi, полученные в 2, 3 и 4 вариантах. Как видно из рисунка, норма матрицы понижается со временем. При этом значения /3(Pi), полученные в варианте 1, практически совпадают со значениями, полученными в варианте 2 и близки к значениям, полученным в варианте 3. Значение нормы Pi, полученной в варианте 4, существенно ниже всех остальных, т.е., процедура согласования, применяемая к матрице Pi, значительно понижает ее норму. Как следует из формул для шага анализа процедуры усвоения, от значений элементов матрицы ковариаций ошибок прогноза зависят весовые коэффициенты для данных наблюдений. На рис.16 приведена зависимость весовых коэффициентов u i от номера узла сетки і. Считается, что данные задаются в центральной точке области (в сеточном узле). Тогда весовые коэффициенты при усвоении одного наблюдения будут вычисляться по формуле где г о - номер центрального узла, го - среднеквадратическая ошибка наблюдений, Р - матрица ковариаций ошибок прогноза (в экспериментах рассматривается матрица для первой вертикальной моды). На рисунке изображена зависимость wi от номера узла для ближайших к го узлов сетки по х - координате. На этом рисунке через WQ,WIW2,WS,W4 обозначены весовые коэффициенты, полученные для вариантов 0, 1, 2, 3 и 4, соответственно (расчет Рк производился на 12 часов). Центральный узел на рисунке имеет номер "(рассматриваются весовые коэффициенты для 6 ближайших узлов - это соответствует расстоянию 1800 км). Как видно из этого рисунка, в варианте 0 значение wiQ (в центральном узле) остается близким к 1, т.к. Р не менялась, в остальных вариантах все значения W{ близки между собой и существенно меньше W{ в варианте 0. Такие значения весовых коэффициентов не соответствует реальному соотношению ошибок наблюдений и ошибок прогноза. Причина этого эффекта в том, что в весовых коэффициентах рассматривается "теоретическая"ошибка прогноза, которая уменьшается со временем значительно быстрее, чем реальная ошибка. Как видно из формул алгоритма фильтра Калмана, элементы матрицы ошибок оценивания на этапе анализа уменьшаются в соответствии с теоретической оценкой, являющейся оптимальной в вероятностном смысле. Фактическая же ошибка анализа отличается от теоретической по целому ряду причин [107]. Оптимальная оценка достигается при точном задании всех требуемых статистических характеристик и для среднего по множеству реализаций значения рассчитываемых метео-полей. В рассматриваемых экспериментах матрица "шумов модели"Qk считалась нулевой. Избежать неоправданного уменьшения ковариаций ошибок прогноза можно за счет задания матрицы Qk- Это само по себе является сложной задачей, связанной с разработкой так называемых адаптивных алгоритмов усвоения [90, 100, 130]. Таким образом, основное внимание наряду с разработкой моделей для расчета ковариаций ошибок прогноза следует направить на уточнение рассчитываемой матрицы на основе данных наблюдений. Вторая серия экспериментов проводилась с ковариационной матрицей Ро; заданной в виде рп _ 2 т где / - единичная матрица, сп - среднеквадратичекая ошибка прогноза п-й вертикальной моды. Усвоение данных производилось каждые 12 часов (в О часов усвоение не проводилось), при этом применялся субоптимальный алгоритм, основанный на фильтре Калмана. Для расчета матриц ковариаций ошибок прогноза использовалась упрощенная модель-4. Ковариаций ошибок поля ветра и совместные ковариаций ошибок ветра и геопотенциала задавались с помощью геострофических соотношений. Матрица "шумов моделиnQk считалась нулевой. Результаты этих экспериментов приведены на рис. 2 и рис. 3.
