Содержание к диссертации
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА 5
ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ 6
СПИСОК МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 8
ВВЕДЕНИЕ 14
1. ОБЗОР ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И ОБНАРУЖЕНИЯ РАЗЛАДКИ И СБОЯ ВРЕМЕННОГО РЯДА 21
1.1. Основные прикладные области временного ряда 21
1.2. Описание методов, используемых для прогноза на несколько шагов вперед 26 1.3- Методы обнаружения разладки и сбоя 39
1.4. Виды практических задач, решаемых с помош,ью методов обнаружения разладки и сбоя 46
L5, Нерешенные проблемы и постановка задачи исследований 49
2- СОСТОЯТЕЛБНБІЕ ОЦЕНКИ ПОРОГОВ ОБНАРУЖЕНИЯ РАЗЛАДКИ И СБОЯ В СРЕДНЕМ ГАУССОВСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛБНОСТИ НЕЗАВИСИМБІХ СЛУЧАЙНБІХ ВЕЛИЧИН 52
2.1. Постановки задач нахождения порогов обнаружения разладки и сбоя в среднем для АКС ПИ 53
2.1 Л.Постановка задачи нахождения порога обнаружения разладки 53
2Л.2.Постановка задачи обнаружения моментов сбоя 54
2.2. Моделирование ПНГСВ, допускаюш,их разладку и сбой в среднем 56
2.2 Л.Моделирование ПНГСВ, допускаюш,ей разладку 56
2,2.2.Моделирование ПНГСВ, допускаюш,ей сбой 58
2.3. Описание АКС ПИ для обнаружения разладки и сбоя в среднем 60
2.ЗЛ,Описание АКС ПИ для обнаружения разладки 60
2.3.2,Описание АКС ПИ для обнаружения сбоя 63
2-4. Рекуррентный расчет порогов обнаружения разладки и сбоя в среднем ПНГСВ 64
2.5. Статистическое моделирование процедуры обнаружения разладки и сбоя ППГСВ 65
2-5,1 .Статистическое моделирование процедуры обнаружения разладки 66
2,5.2,Статистическое моделирование процедуры обнаружения сбоя 70
2.6. Выводы по обнаружению разладки и сбоя с использованием АКС ПИ 75
2.7. Верхние оценки порога обнаружения разладки в среднем ППГСВ для АКС ПИ 77
2.8. Основные результаты и выводы по второй главе 19
3. СОСТОЯТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПОРОГОВ ОБНАРУЖЕНИЯ РАЗЛАДКИ И СБОЯ В СРЕДНЕМ ГАУССОВСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 80
3.1. Особенности методов обнаружения разладки и сбоя в зависимых последовательностях 81
3.2. Модели разладки и сбоя при использовании АКС ПИ для ПЗГСВ применительно к задаче анализа эффективности прогноза 82
3.2.1,Модели разладки 82
3.2.2.Модификация модели разладки на случай сбоя 85
3.3. Моделирование ПЗГСВ, допускающих разладку и сбой в среднем 86
33.1 .Моделирование ПЗГСВ, допускающей разладку 86
3.3,2.Моделирование ПЗГСВ, допускающей сбой 89
3.4. Решающие функции для обнаружения разладки и сбоя
в зависимой последовательности в случае АКС ПИ 90
3.4.1.Решающие функции для обнаружения разладки 91
3.4.2,Решающие функции для обнаружения сбоя 93
3.5. Рекуррентный расчет порогов обнаружения разладки и сбоя в среднем ПЗГСВ при условии независимости приращений решающей фуїжции 95
3.6. Статистическое моделирование процедуры обнаружения разладки и сбоя ПЗГСВ 98
З.бЛ.Статистическое моделирование процедуры обнаружения разладки 98
3,6.2.Статистическое моделирование процедуры обнаружения сбоя 102
3.7. Выводы по обнаружению разладки и сбоя с использованием АКС ПИ 111
3.8. Верхние оценки порога обнаружения разладки в среднем ПЗГСВ для АКС ПИ 111
3.9. Основные результаты и выводы по третьей главе 115
4, КОМПЛЕКС ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ И ПРИМЕНЯЕМЫЕ В НЕМ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА 116
4.1. Краткое описание КПЭП 116
4.2. Численные методы анализа 127
4.2.1,Критерии проверки "наличия-отсутствия тренда" 128
4.2.2.Преобразования временного ряда 130
4.2.3.Разнообразные элементы статистики 131
4.2.4.Метод оценивания параметров модели 133
4.2.5.Методы дисперсионного анализа 135
4.2.6.МетодСО 138
4.3. Алгоритм осуществления прогноза с упреждением / и анализа его эффективности 139
4.4. Пример реализации АПАЭ 142
4.4.1 .Пример корректировки прогноза с упреждением / путем обнаружения разладки 143
4.4.2. Пример обнаружения интервала сбоя 163
4,5- Сравнительный анализ методов обнаружения разладки и сбоя 168
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 170
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 172
Введение к работе
Актуальность темы. Известен ряд областей, связанных с обработкой временных рядов (в,р.), широко применяемых в настояш,ее время. К данным областям, в частности, относятся анализ в.р,, прогнозирование, текуш,ий анализ прогноза и автоматизация обработки данных. Для решения задач анализа данных при наличии случайных воздействий предназначен мош,ный аппарат прикладной статистики, составной частью которого являются статистические методы прогнозирования. При определении моментов неэффективности сделанных прогнозов предлагается использовать последовательные методы обнаружения изменений свойств в.р.: алгоритм кумулятивных сумм при полной информации о векторе параметров (АКС ПИ), алгоритм кумулятивных сумм при неполной информации о векторе параметров (АКС ПИ), метод, основанный на модуле ошибки (МОПМС), метод, основанный на вероятностных пределах прогноза (МОВПП).
Известны основополагаюш,ие работы ученых по анализу в.р. и последовательным методам обнаружения изменения их свойств. Среди них -Айвазян С.А., Бокс Дж., Бэстенс Д.-Э., Вальд А., Ван Ден Берг В.-М., Воробейчиков С.Э., Вуд Д., Гиршик М., Горбань А.П., Дженкинс Г., Кемп К., Клейнен Дж., Колмогоров А.П., Пейлор Т., Никифоров И.В., Николаев М.Л., Пейдж Е.С., Петере Э., Прохоров Ю,В., Рубин Г., Россиев ДА., Ширяев А.Н., Элдер А,.
Несмотря на большое количество работ по указанным направлениям, задача анализа эффективности прогноза в.р. с упреждением / (1 2), далее просто /, путем анализа ошибок прогнозирования изучена недостаточно. Скорейшее обнаружение неэффективности (разладки) прогноза дает возможность сократить потери при изменении динамики развития в.р-Особый интерес представляет настройка методов обнаружения в случае AKf ПИ через моделирование оценок порогов обнаружения разладки. Такой подход обладает определенными достоинствами: учитывается фактор ложных тревог и влияние белого шума на значения последовательности, тем самым, делая полученную оценку порога более достоверной. Использование других методов для обнаружения изменений закономерности позволяет провести сравнительный анализ их работоспособности и на его основе вывести обобш,енную аддитивную функцию подачи сигнала об изменении свойств. Для приложений большое значение имеет задача о временной неэффективности (сбое) прогноза. Эта задача может быть решена модифицированными методами обнаружения разладки. В связи с отмеченным выше актуальна задача анализа эффективности прогноза на несколько шагов вперед в.р. последовательными методами обнаружения разладки/сбоя. Решению данной задачи посвяш,ена настояш,ая диссертация.
Цель и задачи исследований. Объектом исследований является прогноз в.р. на несколько шагов вперед. Прогноз осуш,ествляется предиктором из класса моделей ARIMA. Выбор предиктора производится методами корреляционного анализа, оценивания параметров, множественного сравнения и ранжирования.
Предмет исследования — методы, способные обнаруживать момент разладки/интервал сбоя эффективности прогноза. Целью работы является разработка процедуры скорейшего обнаружения момента разладки или интервала сбоя прогноза в.р..
Для достижения поставленной цели необходимо решить следуюш,ие научные задачи:
1) методами описательной статистики, критериями проверки "наличия-отсутствия" тренда, корреляционным анализом статистически исследовать в.р.;
2) идентифицировать и оценить параметры рассматриваемых для прогноза в.р. моделей из класса ARIMA;
3) методами сравнительного анализа и ранжирования выбрать наилучший из имеюш,егося набора предиктор (ПП) и сделать прогноз с упреждением /;
4) статистически исследовать ряд ошибок, построить (если это необходимо) корреляционные и ковариационные матрицы ошибок прогноза на момент t с упреждениями w и от + у,где т = \J,j-0, 1,2,...,m-i;
5) смоделировать случайную последовательность с параметрами ряда ошибок, допускаюпіую разладку/сбой в среднем, и определить оценки порогов нахождения разладки/интервала сбоя в случае применения для обнаружения изменения закономерностей АКС ПИ;
6) получить оценки параметров настройки для АКС НИ, MGHMO, МОВПП;
7) провести последовательный анализ эффективности прогноза с упреждением / и, по необходимости, осуш,ествить коррекцию прогнозного значения, применяемой модели, и/или момента начала прогноза;
8) провести сравнительный анализ используемых в данной работе методов обнаружения разладки/сбоя.
Методы исследований. Для решения поставленных задач использованы методы теории вероятностей и математической статистики, имитационного моделирования, стохастической и финансовой математики, последовательного обнаружения изменения свойств в.р..
Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следуюш,ие новые научные результаты:
1) впервые рассмотрена задача сбоя эффективности прогноза, сделанного в момент времени t с упреждением /, при использовании модели из класса ARIMA;
2) предложена новая процедура получения состоятельных оценок для оптимальных порогов обнаружения момента разладки/моментов сбоя в случае АКС НИ;
3) разработана новая методика обнаружения момента разладки/моментов сбоя эффективности прогноза для независимой случайной последовательности в случае АКС НИ - "скользяш,ее окно" (СО);
4) предложена и модифицирована на случай сбоя новая модель обнаружения разладки для зависимой последовательности ошибок прогноза моделей ARIMA;
5) выведены верхние оценки порога обнаружения разладки в АКС ПИ для определения изменений закономерности на величину, превышающую искомую;
6) впервые сделан сравнительный анализ применяемых в работе методов обнаружения с позиции эффективности прогноза на несколько шагов вперед, на основе которого предложена обобшенная аддитивная функция подачи сигнала о разладке/сбое;
7) на языках VB .NET, С# разработан комплекс программ "Эффективное прогнозирование" (КПЭП), позволяющий исследовать в,р., прогнозировать динамику его развития и анализировать эффективность сделанного прогноза различными методами.
Достоверность полученных результатов определяется корректностью математического изложения и методов исследования. Кроме того, они подтверждаются математическим моделированием с использованием современных компьютерных технологий.
Практическая значимость. Практическая значимость работы определяется тем, что полученные результаты могут быть использованы в различных прикладных областях, где существует возможность получить достаточную статистику по некоторому показателю и на ее основе сделать прогноз его динамики развития. Наиболее ярким примером области приложения результатов может служить финансовый рынок, для которого свойственна сильная волатильность его финансовых инструментов. Поэтому в подобных случаях говорить о долгосрочной эффективности прогноза не приходиться. Следовательно, имеет смысл применять методы обнаружения неэффективности при прогнозе на несколько шагов вперед.
Реализация результатов работы. Диссертационные исследования были использованы для обработки реальных в.р На защиту выносятся следующие результаты, полученные лично:
1) состоятельные оценки порогов обнаружения разладки/сбоя в среднем независимой и зависимой последовательностей ощибок прогнозирования моделями типа ARIMA;
2) модели обнаружения разладки и сбоя в АКС ПИ, учитывающие особенности последовательности ощибок прогнозирования на несколько щагов вперед методами ARIMA;
3) верхние оценки порогов обнаружения разладки в АКС ПИ, используемые при определении изменения закономерности на величину, превыщающую искомую;
4) алгоритм анализа эффективности прогноза с упреждением 1 метод СО, упрощающий данный алгоритм;
5) комплекс прикладных программ для реализации алгоритма прогноза с упреждением / и последующего его анализа;
6) обобщенная аддитивная функция подачи сигнала о разладке/сбое. Апробация работы. Результаты работы обсуждались на Всероссийской междисциплинарной конференции "Седьмые Вавилонские чтения" (Йощкар-Ола 2003г.); V-OM Всероссийском симпозиуме по прикладной и промыщленной математике (весенняя сессия, Кисловодск, 2004г.); Международной щколе-семинаре по геометрии памяти П.В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2004); V-OM Всероссийском симпозиуме по прикладной и промыщленной математике (осенняя сессия, Сочи, 2004г.); П-ой Международной конференции "Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство" (Татранска Ломница, 2004г.); Международной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2004г.); научных семинарах кафедры математического анализа и теории функций Марийского государственного университета (Йощкар-Ола, 2004г,).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, включая 5 статей и 3 тезиса.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Она изложена на 179 страницах, содержит 24 рисунка и 54 таблицы. Библиографический список включает 83 наименования..
Содержание диссертации. В первой главе "Обзор основных методов прогнозирования и обнаружения разладки и сбоя временного ряда" изложены основные теоретические аспекты, связанные с теорией прогнозирования и обнаружения моментов разладки/моментов сбоя.
Во второй главе "Состоятельные оценки порогов обнаружения разладки и сбоя в среднем гауссовской последовательности независимых случайных величин" рассмотрены параметры настройки методов обнаружения в случае последовательности независимых гауссовских случайных величин (ППГСВ). Кроме того, произведено моделирование ППГСВ с разладкой/сбоем в среднем, приведены статистические результаты состоятельных оценок порогов для АКС ПИ, на основе эмпирического анализа сделаны основные выводы по настройке АКС ПИ. Выведены верхние оценки порогов обнаружения разладки для независимой случайной последовательности,
В третьей главе "Состоятельные оценки порогов обнаружения разладки и сбоя в среднем гауссовской последовательности зависимых случайных величин" исследованы различные модели обнаружения разладки в среднем последовательности зависимых гауссовских случайных величин (ПЗГСВ). Па их основе предложена и модифицирована на случай сбоя новая модель обнаружения разладки ПЗГСВ, смоделированы два вида ПЗГСВ с применением к ним трех способов построения АКС ПИ, приведены статистические результаты состоятельных оценок порогов для каждого из способов и сделаны основные выводы. Получены соотношения для верхних оценок порогов обнаружения разладки в случае зависимых последовательностей.
В четвертой главе "Комплекс прикладных программ и применяемые в нем численные методы" описана структура разработанного комплекса программ, приведен алгоритм прогнозирования и анализа эффективности прогноза в.р. с последующей при необходимости коррекцией. На примере конкретного в.р. показана реализация приведенного алгоритма, осуществлен сравнительный анализ методов обнаружения, на основе которого предложена обобщающая аддитивная функция подачи сигнала о разладке/сбое.
В заключении изложены результаты, полученные в диссертационном исследовании.
