Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Проблематика математического моделирования сложных систем в задачах диагностики 21
1.1. Проблема построения диагностических моделей исследуемых объектов по
экспериментальным данным 21
1.1.1. Идентификация сложных систем в задачах диагностики 21
1.1.2. Методы построения зависимостей. Основные подходы 26
1.2. Обзор методов моделирования некоторых объектов 29
1.2.1. Обзор математических моделей механических систем 29
1.2.2. Вопросы построения математических моделей функционирования горнодобывающих предприятий 36
1.3. Модели временных рядов, основные предпосылки их использования 42
1.4. Обзор математических моделей временных рядов 46
1.4.1. Математические модели структурно-детерминированных рядов 46
1.4.2. Математические модели стохастических временных рядов 48
1.4.3. Разностная схема как математическая модель временного ряда 50
1.5. Проблема устойчивости построения математических моделей в условиях
стохастической неоднородности 52
1.5.1. Проблематика определения стохастической неоднородности 53
1.5.2. Непараметрический подход к построению моделей 57
1.5.3. Робастные статистические процедуры. Обзор методов 58
1.6. Выводы по главе и постановка задачи 64
1.6.1. Результаты и выводы по главе 64
1.6.2. Постановка задачи 66
ГЛАВА 2. Робастная параметрическая идентификация на основе обобщенного метода наименьших модулей 67
2.1. Описание обобщенного метода наименьших модулей на примере робастно-го построения линейных регрессионных моделей 68
2.1.1. Формальное описание обобщенного метода наименьших модулей 68
2.1.2. Класс функций потерь, на котором задан ОМНМ 72
2.1.3. Минимаксные ОМНМ-оценки 75
2.1.4. Место ОМНМ-оценок среди других робастных оценок 76
2.2. Алгоритмы реализации ОМНМ 80
2.2.1. Точное вычисление оценок обобщенных наименьших модулей 81
2.2.2. Итерационный алгоритм реализации ОМНМ 82
2.2.3. Сравнительный анализ вычислительных затрат переборного и итерационного алгоритмов реализации ОМНМ 85
2.2.4. Нахождение оценок обобщенного метода наименьших модулей на основе идей линейного программирования 87
2.3. Исследование ОМНМ в условиях стохастической неоднородности 88
2.3.1. Основные нарушения предпосылок теоремы Гаусса-Маркова в условиях стохастической неоднородности 89
2.3.2. Функция чувствительности 91
2.3.3. Исследование свойств ОМНМ (на примере оценки параметра сдвига) 93
2.3.4. Моделирование ОМНМ-оценок регрессии методом Монте-Карло 99
2.4. Робастное построение моделей авторегрессии временных рядов 104
2.4.1. Вычисление коэффициентов авторегрессии на основе ОМНМ 104
2.4.2. Функционалы влияния ОМНМ-оценок параметров авторегрессии 105
2.4.3. Робастное вычисление коэффициентов авторегрессионных моделей с пропусками в данных 111
2.5. Использование ОМНМ для построения нелинейных моделей 113
2.6. Результаты и выводы по главе 115
ГЛАВА 3. Моделирование временных рядов на основе линейных дискретных моделей 117
3.1. Соответствие экстраполяционных и линейных дискретных моделей 117
3.1.1. Об одном линейном отображении 117
3.1.2. Статистическая эквивалентность РС и АРСС–моделей 120
3.1.3. Однозначность соответствия между экстраполяционными моделями и разностными схемами 121
3.2. Метод распознавания временных рядов на основе ЛДМ 125
3.2.1. Z-преобразование как дискретный аналог преобразования Лапласа 125
3.2.2. Методика построения ЛДМ временных рядов 126
3.2.3. Метод распознавания трендов 130
3.3. Построение ЛДМ временных рядов при наличии помех 135
3.3.1. Построение ЛДМ временных рядов при детерминированных помехах 135
3.3.2. Инвариантность ЛДМ к типу связи между детерминированной и случайной составляющими 138
3.3.3. Построение ЛДМ при наличии аддитивного белого шума 139
3.4. Обнаружение и распознавание характера тренда временного ряда 147
3.4.1. Современные методы моделирования нестационарных стохастических временных рядов 147
3.4.2. Взаимосвязь моделей временных рядов с детерминированным и стохастическим трендами 149
3.4.3. Обнаружение полиномиального тренда временного ряда 153
3.5. Результаты и выводы по главе 159
ГЛАВА 4. Методы идентификации механических систем на основе линейных дискретных моделей 161
4.1. Линейные дискретные модели колебаний механических систем 161
4.1.1. Построение линейных дискретных моделей колебаний механических систем при тестовых воздействиях 161
4.1.2. Построение линейных дискретных моделей колебаний механических систем при случайных воздействиях 163
4.2. Идентификация механических систем при тестовых и случайных воздей ствиях 164
4.2.1. Идентификация МС при гармоническом воздействии в установившемся режиме 164
4.2.2. Идентификация МС по нестационарным процессам при гармоническом воздействии 168
4.2.3. Идентификация стационарных колебаний МС в условиях аддитивного шума 172
4.3. Идентификация роторных механических систем в частотной области в режиме нормального функционирования 180
4.3.1. Дискретные модели спектров колебаний механических систем 180
4.3.2. Определение динамических характеристик без учета дискретных составляющих 182
4.3.3. Определение динамических характеристик при наличии дискретных составляющих 185
4.3.4. Идентификация дискретных спектральных составляющих 189
4.4. Результаты и выводы по главе 190
ГЛАВА 5. Методы идентификации сложных систем в экономике 192
5.1. Основные проблемы и подходы к математическому моделированию сложных систем 192
5.1.1. Специфика исследования сложных систем в экономике 192
5.1.2. Подход к диагностическому моделированию сложных систем 194
5.2. Распознавание зависимостей в экономике на основе линейных дискретных моделей 198
5.3. Обнаружение разладки временных рядов на основе ЛДМ 203
5.3.1. Классические рекуррентные алгоритмы построения ЛДМ 204
5.3.2. Робастный рекуррентный алгоритм оценивания коэффициентов авторегрессии на основе ОМНМ 208
5.4. Робастное сглаживание временных рядов 210
5.4.1. Проблематика робастного сглаживания временных рядов 211
5.4.2. Робастное сглаживание временных рядов на основе скользящих ОМНМ-оценок среднего 216
5.5. Результаты и выводы по главе 219
ГЛАВА 6. Прикладное значение результатов работы. апробация разработанных математических моделей, методов, алгоритмов и комплексов программ 221
6.1. Значение результатов работы для вибрационной диагностики механических систем 221
6.1.1. Комплекс алгоритмов и программ идентификации механических систем при тестовых воздействиях на основе ЛДМ 221
6.1.2. Алгоритмы, программы и устройства для оценки состояния турбомашин в эксплуатационных условиях 225
6.1.3. Комплекс алгоритмов и программ идентификации механических систем в частотной области 233
6.2. Значение результатов работы для угольной промышленности 236
6.2.1. Математическое моделирование травматизма на горнодобывающих предприятиях 236
6.2.2. Автоматизированная система анализа временных рядов в угледобывающей промышленности 245
6.2.3. Методика анализа показателей суточной выработки экскаваторов на угольных разрезах 248
6.2.4. Математическая модель зависимости стоимости обслуживания на единицу результата относительно продуктивного времени работы 255
6.3. Значение результатов работы для информационно-измерительной техники 257
6.3.1. Метод фильтрации данных на основе поразрядного преобразования бинарных кодов 257
6.3.2. Применение скользящего сглаживания на основе ОМНМ 265
6.4. Значение результатов работы для учебного процесса 267
6.5. Результаты и выводы по главе 269
Основные результаты и выводы работы 272 Библиографический список
- Вопросы построения математических моделей функционирования горнодобывающих предприятий
- Класс функций потерь, на котором задан ОМНМ
- Однозначность соответствия между экстраполяционными моделями и разностными схемами
- Идентификация механических систем при тестовых и случайных воздей ствиях
Введение к работе
Актуальность темы. Роль математического моделирования в научных исследованиях неуклонно возрастает Его суть заключается в замене объекта его «образом» - математической моделью - и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах алгоритмов
Крупный вклад в развитие теории математического моделирования внесли Р Беллман, В Н Вапник, Н Винер, В М Глушков, С К Годунов, И И Еремин, Ю И Журавлев, Н Н, Калиткин, Р Калман, А Н Колмогоров, П С Краснощекое, Л Льюнг, А П Михайлов, Н Н Моисеев, В В Налимов, А А Петров, А А Самарский, Э Сейдж, Я 3 Цыпкин, К Шеннон, П Эйкхофф и другие ученые
Методология математического моделирования бурно развивается Одним из основных направлений развития является исследование сложных систем, к характерным признакам которых относят
некоторые факторы неизвестны или не могут быть измерены,
неизвестен характер взаимосвязи факторов,
стохастическая неоднородность данных
Вопросы математического моделирования сложных систем исследовались многими учеными, отметим работы В Б Бетелина, В Н Буркова, Дж Ван Гига, А Дж Вильсона, В А Виттиха, С Л Гольдштейна, С В Емельянова, Н Г Заго-руйко, Л Заде, Г Б Клейнера, А А Колесникова, М Месаровича, Ф И Перегу-дова, Ю С Попкова, И В Прангишвили, И Пригожина, Т Саати, С А Тимаше-ва, А И Уемова, Б С Флейшмана, Дж Форрестера, Р Шеннона и др
Математическая модель может давать здесь лишь частичное представление о сложной системе Актуальным направлением математического моделирования сложных систем является построение моделей диагностики Модель диагностики представляет собой некоторую функцию у - .Дх), которая отражает зависимость показателя у от некоторого процесса, протекающего на исследуемом объекте, характеризуемого множеством факторов х Основными требованиями к диагностической модели являются1 1) конечный результат должен быть максимально точным и надежным, 2) лаконичность и интерпретируемость способа получения конечного результата
Чем более экономно по форме и содержательно по смыслу преобразование j> ~J{x) при соблюдении заданной точности модели, тем более общие закономерности структуры экспериментальных данных вскрывает используемая модель и, значит, тем более устойчива и надежна количественная оценка диагностируемого показателя, получаемая с помощью преобразования Дх) Таким образом, от диагностической модели не требуется максимальной адекватности описания исследуемого объекта в целом Одновременно, в задачах диагностики существенно возрастает роль математической статистики при оценивании параметров моделей Укажем на такие особенности как
- возможное наличие в выборке резко выделяющихся наблюдений, не обяза
тельно обусловленных ошибками измерений,
Биргер И А Техническая диагностика -М Наука, 1978 -239с
зачастую не экспериментальный, не однородный характер данных,
использование различных группировок и округлений,
возможная зависимость результатов наблюдений,
не полное соответствие модели части наблюдений
Данные особенности при использовании классических процедур, ориентированных на выполнение основных предпосылок математической статистики могут привести к снижению достоверности и оперативности диагноза
Примером сложной социотехнической системы является горнодобывающее предприятие Здесь сочетаются высокопроизводительное горное оборудование, взаимосвязанность сложных организационных и технологических процессов, опасные условия работы персонала шахт, возрастание конкуренции на рынке Отметим основные проблемы Во-первых, необходимо обеспечить экономически целесообразный уровень работоспособности оборудования Например, затраты отечественных шахт на техническое обслуживание и ремонт достигают 25-40% в себестоимости добычи угля
Во-вторых, взаимосвязь организационных и технологических процессов приводит к усложнению управления предприятием Необходимо своевременно выявлять основные тенденции в условиях увеличивающегося потока разнородной информации
В-третьих, на российских горнодобывающих предприятиях актуальна проблема обеспечения безопасности труда Травматизм на порядок выше, чем в странах с развитой рыночной экономикой
Указанные проблемы во многом могут быть решены на основе построения адекватных математических моделей и разработки методов их достоверной и оперативной идентификации
Вопросы математического моделирования процессов и явлений, протекающих в горнодобывающих предприятиях, исследовались многими учеными Отметим работы Л И Андреевой, К Г Асатура, В А Галкина, Н О Калединой, П А Касьянова, С В Корнилкова, А А Кулешова, X Кумамото, Э С Лапина, О Г Латышева, С А Ляпцева, Ю И Леля, Э Дж Хенли, В Л Яковлева и др
Главным признаком сложности социотехнической системы является наличие человеческого фактора Однако определенные черты сложности присутствуют и в ряде технических объектов К ним в первую очередь можно отнести механические системы (МС), под которыми понимают различные машины, отдельные и взаимодействующие механизмы, конструкции, узлы, передачи и т д
По мере усложнения объектов исследования применение расчетных методов математического описания становится весьма трудоемко, недостаточно точно и не всегда возможно 2 С другой стороны, современные МС непрерывно развиваются в направлении увеличения мощности, быстроходности и точности При одновременном стремлении к снижению металлоемкости и габаритов это приводит к высокой динамической загруженности МС, делая необходимыми получение оперативной и достоверной информации об их текущем состоянии и
" Рагульскис К М Скучас И Ю Динамический синтез машин полунатурным моделированием - Вильнюс Мокслас I98S -162с
обнаружение дефектов на ранней стадии их возникновения Спецификой задач диагностики является то, что МС в состоянии зарождения дефекта зачастую становится существенно нелинейной, а анализируемый сигнал - нестационарным, неся в себе одновременно составляющую нормального функционирования и признак неисправности3 В особенности это касается таких высоконагруженных объектов, как турбомашины, в частности газотурбинные двигатели (ГТД)
В качестве диагностических признаков МС часто используют динамические характеристики (ДХ) Существующие методы определения ДХ МС зачастую требуют специально поставленных экспериментов, не всегда имеют достаточную точность и быстродействие Оценки параметров не обладают свойством устойчивости к вариации закона распределения присутствующего в измерительном тракте шума, наличию выбросов и к окраске его Спектра
Крупный вклад в развитие технической диагностики МС внесли И А Бир-гер, Ю Н Васильев, М Д Генкин, И В Егоров, В А Карасев, Р А Коллакот, В П Максимов, И Л Письменный, А Б Ройтман, М К Сидоренко, А Г Соколова, К В Фролов, К Цемпел, К Н Явленский и др
Таким образом, проведенный на примере механических систем и горнодобывающих предприятий, анализ современных направлений повышения эффективности функционирования сложных объектов, показывает актуальность проблематики совершенствования, как математических моделей в задачах диагностики, так и методов их построения Причем одними из наиболее актуальных направлений являются обеспечение устойчивости оценивания в условиях стохастической неоднородности и переход к дискретным моделям
Спецификой проблемы оценивания параметров моделей является некорректность задач по Ж Адамару В настоящее время разработан ряд методов обеспечения вычислительной устойчивости решений Наиболее крупный вклад в решение данной проблемы внесли А Н Тихонов, М М Лаврентьев, В К Иванов и их ученики Отметим, что для линейных операторов проблема в целом решена Здесь выделим методы сингулярных разложений, разработанные С К Годуновым, Дж Голубом и Ч Ван Лоуном, и экстремальный метод решения параметрической обратной задачи, предложенный А В Панюковым К числу нерешенных проблем следует отнести учет стохастической неопределенности
В настоящее время хорошо известны общематематическая и общесистемная мотивации приоритетного изучения дискретных систем и дискретных математических моделей Академик А Н Колмогоров отмечал, что «весьма вероятно, что в очень многих случаях разумно изучение реальных явлений вести, избегая промежуточный этап их стилизации в духе представлений математики бесконечного и непрерывного, переходя прямо к дискретным моделям Особенно это относится к изучению сложно организованных систем, способных перерабатывать информацию В наиболее развитых таких системах тяготение к дискретности работы вызвано достаточно разъясненными в настоящее время причинами»4
3 Генкин МД, Соколова А Г Виброакустическая диагностика машин й механизмов - М Машиностроение,
1987 -288 с
4 Колмогоров АН Комбинаторные основания теории информации // Успехи математических наук - 1983 - Т
38, №4 -С 27-36
Академик Н Н Моисеев приводит близкие соображения « любое детальное исследование неизбежно требует перехода к дискретному описанию Справедливость этого тезиса становится особенно очевидной, когда мы начинаем анализировать процессы с использованием ЭВМ Первый шаг такого анализа -это всегда переход к дискретному представлению изучаемых моделей Успехи именно в этой области определят качественный прорыв в будущее»5
Характерным примером исследования сложных систем с помощью дискретных моделей является анализ временных рядов Данную задачу решают, когда в силу многочисленности и сложности измерения факторов, не разработанности теоретических предположений относительно их взаимосвязей между собой, не представляется возможным обосновать и построить модель классического типа Крупный вклад в развитие теории математического моделирования временных рядов внесли С А Айвазян, Т Андерсон, В Н Афанасьев, Дж Бокс, Р Браун, К Гренджер, Д Дикки, М Кендалл, Ю П Лукашин, Ю Н Прохоров, В К Семенычев, В Фуллер, А Н Ширяев, Р Энгл и другие ученые
Построение конкретной математической модели диагностики по имеющимся наблюдениям реализуется с помощью статистических методов оценки ее параметров Многие задачи, связанные с обработкой статистических данных, решаются в предположении существования достаточной информации об изучаемых объектах, процессах, явлениях и о свойствах действующих на них возмущений Для широкого класса задач разработаны методы эффективного оценивания неизвестных параметров с использованием классических методов максимального правдоподобия В частности, в предположении, что случайные ошибки нормально распределены, методом максимального правдоподобия является метод наименьших квадратов (МНК) На основе МНК создана целостная система статистической обработки С учетом простоты реализации он является наиболее распространенным статистическим методом построения зависимостей Например, он используется в теории оптимального построения линейных моделей Р Калмана, при построении линейных регрессионных моделей, в методе восстановления зависимостей В Н Вапника и др
Стохастическая неоднородность в виде наличия отдельных выбросов и нестационарности случайных ошибок обуславливает необходимость обеспечить устойчивость получаемых оценок параметров моделей Использование МНК при этом может привести к значительным ошибкам Крупный вклад в развитие теории робастных и непараметрических методов внесли М В Болдин, В А Васильев, А П Вощинин, Е П Гильбо, Я Додж, В Я Катковник, А В Лапко, Р Мартин, Л Д Мешалкин, В И Мудров, А И Орлов, Б Т Поляк, С А Смоляк, Ф П Тарасенко, Б П Титаренко, Дж Тьюки, Ю Н Тюрин, Ф Хампель, Т Хеттман-спергер, П Хьюбер, И Б Челпанов, А М Шурыгин и другие ученые
Основное направление в теории робастного оценивания уделяется устойчивости оценок к отдельным выбросам, постулируя при этом однородность (стационарность) основной части случайных ошибок измерений Однако реальные данные часто трудно отнести к каким-либо параметрическим семействам, в рам-
5 Моисеев Н Н Человек Среда Общество -М Наука, 1982 -240 с
ках которых находится конкретное распределение ошибок Причем случайные ошибки во многих случаях не являются стационарными, в них могут присутствовать отдельные выбросы Наиболее актуальным является обеспечение устойчивости оценок параметров моделей временных рядов, поскольку они гораздо более чувствительны к стохастической неоднородности данных ввиду зависимости наблюдений
Целью работы является разработка единого подхода к решению проблемы робастной параметрической идентификации моделей диагностики, позволяющего на его основе получить комплекс математических моделей, а также методов, алгоритмов и программ их оценивания
Достижение данной цели предполагает решение следующих задач
Разработать и теоретически обосновать робастный метод параметрической идентификации математических моделей в условиях стохастической неоднородности Одновременно метод должен иметь достаточно простую реализацию, ориентированную на практическое применение
Исследовать существующие подходы к математическому моделированию временных рядов на предмет выявления их общих закономерностей, позволяющих повысить достоверность построения математических моделей диагностики
Разработать комплекс математических моделей диагностики, а также методов, алгоритмов, программ и устройств их оценивания, апробировать разработанный комплекс для исследования процессов, протекающих при функционировании горнодобывающих предприятий и турбомашин
Научная новизна состоит в следующем
1 В области разработки новых математических методов моделирования
объектов и явлений
а) Разработан обобщенный метод наименьших модулей (ОМНМ) — новый метод робастного построения математических моделей
2 В области разработки, исследования и обоснования математических
объектов
а) Доказано, что множество экстраполяционных моделей однозначно отобража
ется во множество линейных разностных схем, теоретически обоснована мето
дика представления экстраполяционных моделей в виде разностных схем конеч
ного порядка,
б) Установлена статистическая эквивалентность разностных схем и моделей ав
торегрессии - скользящего среднего, что позволило объединить оба типа моде
лей в линейные дискретные модели (ЛДМ) временных рядов, которые учитыва
ют стохастическую неоднородность данных,
в) Разработан метод распознавания зависимостей по коэффициентам ЛДМ,
г) Доказано, что ОМНМ при некоторых ограничениях можно распространить и
на случай робастного вычисления параметров нелинейных моделей
3 В области развития качественных и приближенных аналитических ме
тодов исследования математических моделей для использования на предвари
тельном этапе математического моделирования
а) Установлена взаимосвязь нестационарных моделей временных рядов с детерминированным и стохастическим трендами,
б) Разработан алгоритм обнаружения полиномиальных трендов,
в) Разработан метод нелинейной фильтрации данных на основе поразрядного
мажоритарного преобразования бинарных кодов, позволяющий повысить быст
родействие робастного сглаживания процессов
4 В области разработки, обоснования и тестирования эффективных чис
ленных методов с применением ЭВМ
а) Установлено, что ОМНМ-оценки имеют более высокую устойчивость при одностороннем засорении и в случае гетероскедастичности ошибок по сравнению с МНМ-оценками
5 В области реализации эффективных численных методов и алгоритмов в
виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычис
лительного эксперимента
а) Разработаны численные алгоритмы и программы реализации ОМНМ,
б) Разработаны алгоритмы и программы построения ЛДМ в условиях детерми
нированных помех и аддитивного шума
6 В области комплексного исследования научных и технических, фундамен
тальных и прикладных проблем с применением современной технологии мате
матического моделирования и вычислительного эксперимента
а) Получен ряд ЛДМ колебаний МС при тестовых воздействиях и в режиме
нормального функционирования, на основе которых разработан комплекс алго
ритмов, программ и устройств определения ДХ МС,
б) Построены ЛДМ спектров колебаний МС, учитывающих возможную окраску
воздействия, а также частичное перекрытие резонансных зон На основе данных
ЛДМ разработан метод определения ДХ линейных МС, устойчивый к наличию в
резонансной зоне дискретных составляющих,
в) Построена математическая модель зависимости травматизма от компетентно
сти и информированности персонала на горнодобывающих предприятиях
7 В области разработки новых математических методов и алгоритмов
проверки адекватности математических моделей объектов на основе данных
натурного эксперимента
а) Установлено, что случайные колебания линейной механической системы раз
мерности L статистически эквивалентны модели авторегрессии AP(2L),
б) Разработан алгоритм определения несмещенных значений ДХ МС в режиме
нормального функционирования при наличии аддитивного шума на основе ЛДМ
отсчетов колебаний
8 В области разработки новых математических методов и алгоритмов
интерпретации натурного эксперимента на основе его математической моде
ли
а) Разработаны алгоритмы и устройства диагностирования неисправностей и не
расчетных режимов работы турбомашин,
б) Разработана методика анализа показателей суточной выработки экскаваторов
на угольных разрезах
На защиту выносятся следующие основные положения 1 Разработан обобщенный метод наименьших модулей - новый метод робастного построения математических моделей
Установлено, что ОМНМ-оценки имеют более высокую устойчивость по сравнению с МНМ-оценками в условиях стохастической неоднородности при построении линейных моделей
Разработан комплекс алгоритмов и программ для реализации обобщенного метода наименьших модулей
Доказано, что множество экстраполяционных моделей однозначно отображается во множество разностных схем
Установлена статистическая эквивалентность разностных схем и моделей авторегрессии - скользящего среднего, что позволило объединить оба типа моделей в линейные дискретные модели временных рядов в условиях стохастической неоднородности
Теоретически обоснована методика построения ЛДМ временных рядов, на основе которой разработан метод распознавания трендов временных рядов и регрессионных зависимостей
Установлена взаимосвязь между нестационарными моделями временных рядов с детерминированным и стохастическим трендами На ее основе разработан метод обнаружения полиномиальных трендов
Получен комплекс ЛДМ колебаний механических систем при тестовых воздействиях и в режиме нормального функционирования, на основе которого разработан ряд новых способов, алгоритмов и устройств параметрической идентификации и диагностики механических систем
9 Разработаны методы идентификации моделей диагностики горнодобы
вающих предприятий анализ показателей суточной выработки экскаваторов на
угольных разрезах, зависимость травматизма от компетентности и информиро
ванности персонала
10 Разработан новый метод нелинейной фильтрации данных на основе по
разрядного мажоритарного преобразования бинарных кодов
Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации Все результаты диссертационной работы, в том числе постановка проблем, развитие модельных представлений и обобщений, разработка, исследование и обоснование математических моделей и методов их исследования, разработка комплекса компьютерных моделей и экспериментальных методик, доказательство всех утверждений и проведение численных расчетов и моделирования, получены лично автором диссертации В К Семенычеву, в соавторстве с которым опубликовано 23 работы (1988-1992 гг), принадлежат идея и поддержка на начальном этапе проведения исследований, связанных с применением разностных схем для параметрической идентификации механических систем В остальных случаях соавторам принадлежит участие в постановке задач, разработка отдельных аппаратных или программных средств, приложение и конкретизация методов
Методы исследования. При решении поставленных задач использованы методы теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, многомерного статистического анализа, функционального анализа, матричного анализа, оптимизации, вычислительной математики и теории систем При составлении пакетов программ на Visual Basic for Applications исполь-
зовались подпрограммы, составленные диссертантом на основе известных алгоритмов вычислительной математики
Реализация результатов работы. Работа выполнялась в соответствии с планом НИР по темам № ГР 01880011951 (инв № отчета во ВНТИЦ 02890012516), № ГР 01900044624 (инв № отчета во ВНТИЦ 02900036222) Работа поддержана грантами Центра прикладных экономических исследований УрГУ (2003 г ), РГНФ 05-02-85203 а/У и РФФИ 07-01-96035 «Урал_а» Разработанные в диссертационной работе методы и алгоритмы реализованы в виде комплекса из 10 программ на ЭВМ, зарегистрированных в Отраслевом фонде алгоритмов и программ Министерства образования и науки РФ и включенных в Информационно-библиотечный фонд РФ (№№ госрегистрации - 50200300815, 50200401146, 50200401230, 50200501318, 50200501319, 50200501320, 50200501321, 50200501322, 50200501323, 50200601575), и внедрены в НТЦ-НИИОГР (г Челябинск) и в Управлении по технологическому и экологическому надзору РОСТЕХНАДЗОРА по Челябинской области, что подтверждается соответствующими справками Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе Южно-Уральского, Челябинского и Уральского государственных университетов
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 55 научных конференциях, в том числе на Всесоюзной научно-технической конференции «Проблемы повышения качества, надежности и долговечности машин» (Брянск, 1990), Всесоюзной научно-технической конференции «Конструкционная прочность двигателей» (Куйбышев, 1990), Всесоюзной научно-технической конференции «Радиоизмерения-91 (методы повышения точности)» (Севастополь, 1991, X научной конференции «Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях» (Москва, 1992), III Международной научно-практической конференции «Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики» (Новочеркасск, 2002), Международной научно-практической конференции «Хозяйствующий субъект новое экономическое состояние и развитие» (Ярославль, 2003), Воронежских весенних математических школах «Понтрягинские чтения - Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2003-2006), 1V-VI Международных научно-практических конференциях «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2004-2006), I—III Всероссийских научных конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004-2006), IV международной конференции «Современные сложные системы управления (HTCS' 2004)» (Тверь, 2004), IV Международной Московской конференции «Исследование операций» (Москва, 2004), VII-IX Всероссийских семинарах «Моделирование неравновесных систем» (Красноярск, 2004—2006), VI Международной конференции «Вероятностные методы в дискретной математике» (Петрозаводск, 2004), XI и XII Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам (Сочи, 2004, 2005), V-VII Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004, Санкт-Петербург, 2005, Кисловодск, 2006), Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (Новосибирск, 2005), V Международной на-
учно-практической конференции «Моделирование Теория, методы и средства» (Новочеркасск, 2005), XIII Байкальской международной школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (Северобайкальск, 2005), VIII Международной конференции «Забабахинские научные чтения» (Снежинск, 2005), XXVIII Международной научной школе-семинаре «Системное моделирование социально-экономических процессов» имени академика С С Шаталина (Нижний Новгород, 2005) и др
Результаты работы обсуждались на научных семинарах отдела управляемых систем (рук - член-корр РАН А Г Ченцов) Института математики и механики УрО РАН, (2004-2005), «Математика в приложениях» Института математики СО РАН (2005), кафедр теории управления и оптимизации (2003-2006) и математических методов в экономике (2004) Челябинского государственного университета, кафедры экономико-математических методов и статистики Южно-Уральского государственного университета (2006), кафедры вычислительной техники Уральского государственного технического университета (2006)
Публикации. Содержание работы отражено в 123 печатных работах, в том числе в 26 публикациях в журналах и изданиях, включенных в перечень ВАК для докторских диссертаций (из них - 15 статей), в 18 авторских свидетельствах на изобретения и в 10 программах, зарегистрированных в Отраслевом фонде алгоритмов и программ
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, библиографического списка из 373 наименований и приложений Основной текст изложен на 274 страницах, включая 81 рисунок и 44 таблицы
Вопросы построения математических моделей функционирования горнодобывающих предприятий
В диагностической модели должна в определенной форме выражаться связь измеряемого вектора признаков x с тестируемым свойством, которое в дальнейшем будет обозначаться как y [16]. Т.е. должен быть раскрыт механизм преобразования у = f(x). Первое требование, предъявляемое к модели – конечный результат должен быть максимально точным и надежным. Второе требование – лаконичность и интерпретируемость способа получения конечного результата. Указанные требования находятся в тесной взаимосвязи. Чем более экономно по форме и содержательно по смыслу преобразование у = f(x) при соблюдении заданной точности модели, тем более общие закономерности структуры экспериментальных данных вскрывает используемая модель и, значит, тем более устойчива и надежна количественная оценка диагностируемого показателя, получаемая с помощью преобразования f(x). Таким образом, от диагностической модели не требуется максимальной адекватности описания исследуемого объекта в целом. Она предназначена лишь для описания степени отклонения технического состояния объекта от нормы.
Следует отметить, что диагностические модели эффективно применяются не только при оценке технического состояния, но и при исследовании организационных систем. Так, диагностические модели, как показано в [349], помогают: 1) упорядочить данные об организации; 2) улучшить понимание организационных проблем; 3) систематически интерпретировать данные; 4) разрабатывать подходящие стратегии изменений.
Задача построения диагностической модели фактически включает в себя две. Во-первых, требуется определить вид функции f(x). Эту задачу называют по-разному, в зависимости от специфики, например, структурной идентификацией системы [41, 164, 321], качественной идентификацией [58], непараметрической идентификацией [81], спецификацией модели [2] восстановлением зависимости [24] и др. Если вид математической модели объекта известен (или найден), то решают задачу определения неизвестных параметров модели. Ее называют, оцениванием модели [2], параметрической идентификацией [117]. 1.1.2. Методы построения зависимостей. Основные подходы
Существует ряд подходов к построению математических моделей зависимостей по статистическим данным. Все они оценивают «качество» построенной зависимости по тем или иным априорно задаваемым критериям или принципам.
Принцип минимального расстояния. Выделим два случая - параметрическую и структурную идентификацию. В параметрическом случае предполагается, что модель имеют вид известной функции у =/(x, a) от векторной переменной x и вектора неизвестных параметров а. Задача здесь сводится к минимизации в некоторой метрике суммы ошибок (их квадратов, модулей и т.д.).
При структурной идентификации зависимости у = Дx) считаются известными некоторые свойства искомой функции, определяющие бесконечномерный класс функций F в метрическом пространстве, которому она принадлежит. Но ни эти свойства, ни результаты наблюдений не могут дать полную и точную информацию о зависимости между характеристиками объекта. Поэтому трудно ожидать, чтобы функция /, согласованная пусть даже со всей имеющейся информацией, оказалось единственной - таких «допустимых» функций будет достаточно много, и они образуют некоторое множество D, в котором исследователь должен указать определенный элемент g. Точность решения задачи может оцениваться, например, расстоянием p(g,D) = supyeL) p(g, f) между g и элементами D [87]. Разумно ввести «среднее расстояние» в функциональных пространствах не удается, т.к. там нет подходящей вероятностной меры, на которой можно было бы базировать вычисление подобных средних.
Отсюда вытекает постановка задачи оптимизации оценки, т.е. выбора такого решения g, которому отвечает минимальное расстояние p(g, D). Тем самым оптимальная оценка здесь базируется на принципе минимального расстояния [113]. Однако данный подход, связанный с использованием «традиционных математических» расстояний между зависимостями является параметрическим, поскольку результат идентификации зависит от вводимой метрики.
Принцип минимальных потерь. Здесь в основу получения оптимальной оценки зависимости может быть положен принцип минимизации потерь &(/, g) от применения g вместо/ Соответственно оптимальным решением будет функция g, минимизирующая эти максимальные потери. Данный принцип реализует известный в теории статистических решений подход гарантированного результата [69, 312]. Функция потерь здесь задается произвольно, и ее тот или иной выбор приводит к изменению оптимального решения, т.е. подход также нельзя назвать непараметрическим. Одним из известных методов, использующих данный принцип, является метод восстановления зависимостей, разработанный В.Н. Вапником [24]. Искомой функцией является та, которая удовлетворяет определенному компромиссу между сложностью и степенью приближения к совокупности эмпирических данных. Подход основан на минимизации среднего риска 1(a) = \Q[z,g(z,a)]P(z)dz, где P(z) - некоторая плотность вероятностей, определенная на Z; а - некоторый параметр, принадлежащий множеству Л.
Задача сводится к поиску среди класса возможных функций (g(z)}, z є Z, найти такую g\z\ которая доставляет минимум функционалу 1(a). Проблема состоит в минимизации функционала Да), если плотность P(z) неизвестна, но задана выборка эмпирических данных z\, ... , zn, полученная в результате случайных независимых испытаний согласно P(z). Найти нужную функцию в этом случае, значит установить нужное значение параметра а.
Данный подход практически реализован лишь для классического случая известного распределения (как правило, нормального [24, с. 184]). Устойчивое восстановление зависимостей, как отмечено автором, может быть получено для разных классов плотностей P(z) лишь при использовании выборок большого объема [24, с. 149], что на практике часто бывает невозможно реализовать.
Принцип минимума интегрального отклонения. Пусть истинные значения показателей у и x связаны зависимостью у =Дx), а по наблюденным значениям (yt, xt) построена зависимость у = g(x). Точность восстановления истинной зависимости в данном подходе характеризуется показателем локального отклонения - некоторой функцией щ=фи xt).
Класс функций потерь, на котором задан ОМНМ
В [283] показано, что функции потерь ОМНМ-оценок можно преобразовать к виду функций потерь M-оценок. Рассмотрим, например, функцию (2.8). Преобразуем ее к виду [283, 291]
На основе функции потерь (2.14) можно построить квазиоптимальные минимаксные оценки, сочетающие устойчивость по отношению к выбросам с низкой дисперсией при малых погрешностях. Это можно объяснить тем, что функция (2.16) для 8 = 1,431 при 0 x 1 с точностью до постоянного множителя c = 4/тг близка к параболе, соответствующей функции потерь МНК (рис. 2.4).
Множитель c = 4/тг взят, что обеспечить условие р(1) = 1. Значение 5 = 1,431 было найдено численно с точностью до кг4 путем решения задачи мини 1 мизации оценок на основе функции потерь (2.16) по сравнению с М-оценками [309, 366]: - решение носит прямой характер, а не итерационный; - простота реализации независимо от порядка модели.
Недостаток тот же, что и у всех М-оценок. Необходимо вначале оценить параметр масштаба, чтобы при необходимости ввести нормировку для стандартизации случайных ошибок основной части выборки.
Квазиоптимальность оценки на основе функции потерь (2.14) вызвана тем, что при х 1 функция является вогнутой при х w и выпуклой, если 0 X W w = [5/(5 + 2)]1/(26+2). Поэтому в общем случае функция (2.14) может иметь локальные минимумы в стационарных точках. Однако область выпуклости ограничена сверху (w 1). Аналогично (2.14), можно предложить минимаксные варианты для функций потерь (2.10)-(2.12), а именно:
Место ОМНМ-оценок среди других робастных оценок
Вид задачи (2.13) наводит на мысль о близости ОМНМ-оценок к МНМ-оценкам и знаковым оценкам. Для удобства вместо (2.1) будем рассматривать линейную регрессионную модель Модели (2.1) и (2.16) эквивалентны, поскольку, взяв в (2.16) \/іхп =1, получим (2.1). В [19] описан знаковый метод устойчивого вычисления оценок вектора a модели (2.16), если предположение о гауссовости случайных ошибок St не выполняется. Знаковые оценки определяют путем решения задачи
В [19] установлена асимптотическая эквивалентность знаковых и МНМ-оценок. Данное утверждение можно усилить [259]. Утверждение 2.4. Пусть имеется выборка наблюдений (xiU ..., хіт, у), і = I,..., п. Тогда оценки параметров модели (2.18), найденные методом наименьших модулей и знаковым методом, эквивалентны.
Доказательство. Поскольку во всех точках, где у функции 0(a) существует производная, она линейна, то, следовательно, ее локальные экстремумы могут быть только в особых точках. Оценки взвешенного метода наименьших модулей (ВМНМ) получают как {al,...,a m) = mgmmYJni=lPiyi-Yum=iajxij (2-21) a1,K,am где pi – некоторые весовые коэффициенты. ВМНМ применяют в следующих случаях. Во-первых, когда дисперсия ошибок функционально зависит от одной или нескольких объясняющих переменных [118]. Процедура поиска этой функции неоднозначна и обычно приводит к множеству решений. В результате не ясно, какое взвешивание использовать.
Второе известное использование ВМНМ состоит в нахождении МНМ-оценок при накладывании на них ограничений типа неравенств [134]. В результате задача сводится к итерационному нахождению ВМНМ-оценок. С учетом утверждения 2.4 задачу (2.21) запишем как систему уравнений
Поскольку на любом конечном множестве минимум достигается, и решение задачи (2.23) принадлежит множеству узловых (особых) точек, то задача (2.23) сводится к решению системы т уравнений получим, что ОМНМ представляет собой ВМНМ, в котором весовые коэффициенты функционально зависят от модуля ошибки. А из вогнутости функции потерь р следует, что эта зависимость имеет вид монотонно убывающей функции от модуля ошибки. Таким образом, доказано следующее утверждение.
Утверждение 2.5. ОМНМ-оценки являются взвешенными оценками наименьших модулей, причем взвешивающие коэффициенты р (бг) являются некоторыми положительными убывающими функциями от модуля ошибки.
Замечание 2.2. Утверждение 2.5 имеет неконструктивный характер, т.к. зависит не только от вида функции потерь, но и от ошибки єг, а значит и всех значений переменных г-го наблюдения. Поэтому непосредственно решить задачу (2.23) как задачу ВМНМ нельзя.
Одним из достоинств МНК и МНМ является то, что получаемые оценки не зависят от масштаба измерений. Рассмотрим ОМНМ-оценки.
Лемма 2.1. ОМНМ-оценки параметров линейных регрессионных моделей на основе функций потерь, удовлетворяющих условиям утверждения 2.3, не зависят от масштаба измерений.
Доказательство. Рассмотрим задачу (2.23). Пусть переменные хь ... , хт заданы с произвольными параметрами масштаба С\, ... , ст. Тогда вместо (2.23) имеем Обозначив V/ b,=a,c,, получим задачу !І=\Р\УІ T7=\bjxij ) т п не зависящую от параметров масштаба. Таким образом, ОМНМ-оценки обладают свойством не зависимости от масштаба измерений, что существенно упрощает их практическое применение.
Однозначность соответствия между экстраполяционными моделями и разностными схемами
Рассмотрим другой подход, основанный на сведении решения задачи (2.23) к итерационному решению задач линейного программирования (ЗЛП). Известно [134], что задачу (2.21) можно свести к ЗЛП которая имеет n + m переменных и Ъп ограничений неравенств, включая условия неотрицательности переменных щ. Одним из возможных алгоритмов решения задачи (2.23) является следующий алгоритме:
Вход: число измерений п; число коэффициентов в уравнении регрессии т; погрешность приближения 8, значения зависимой переменной уh ... ,уп, соответствующие значения объясняющих переменных Хц, xi2, ... , хіт, і = 1, 2, ... ,п; функция p. Выход: оценка коэффициентов уравнения регрессии а 1} ... , ат. Шаг 1. Для всех і = 1, 2, ... ,т положить pt = 1; положить к = 0; положить (а,..., ат) = argmin "=1 pt yt - ХГ=і ajxij
Итерационный процесс представляет собой направленное движение по узловым точкам к решению задачи (2.23). Обоснование результативности алгоритма А дает следующее утверждение.
Утверждение 2.6. Если функция потерь р является вогнутой монотонно возрастающей непрерывно-дифференцируемой на положительной полуоси функцией, такой что р(0) = 0, р (0)=М оо, то последовательность следует из непрерывности и монотонности функции р. П
При больших n и m решение ЗЛП (2.31) также представляет собой определенную проблему из-за накопления вычислительных погрешностей. Для ее устранения нужно использовать технику безошибочного выполнения основных арифметических операций над полем рациональных чисел [151].
Данный алгоритм внешне похож на алгоритм вариационно-взвешенных квадратических приближений. Его по аналогии можно назвать алгоритмом вариационно-взвешенных модульных приближений. Алгоритм значительно выигрывает по сравнению с переборной процедурой. Однако пока не доказаны достаточные условия для его сходимости к точному решению задачи (2.23).
Исследование ОМНМ в условиях стохастической неоднородности В данном параграфе исследуем случай построения линейной множественной регрессии в условиях стохастической неоднородности. 2.3.1. Основные нарушения предпосылок теоремы Гаусса-Маркова в условиях стохастической неоднородности
Часто возникают ситуации, когда предпосылки теоремы Гаусса-Маркова могут не выполняться. Так гетероскедастичность случайных ошибок и наличие засорений в виде выбросов приводит к нарушениям предпосылок 2 и 3. Гетероскедастичность приводит к тому, что МНК-оценки перестают быть эффективными в своем классе, их дисперсия возрастает, приводя к неустойчивости процедуры построения модели [2]. Появление выбросов еще более ухудшает ситуацию, делая МНК-оценки несостоятельными [19, 168].
Основной причиной непостоянства дисперсии ошибок модели (2.1) является ее зависимость от масштаба рассматриваемых явлений [338]. Формально это означает мультипликативный характер случайной компоненты. К гетероскеда-стичности также приводят нелинейные преобразования данных, которые используют для линеаризации исходной нелинейной регрессионной модели [87]. Докажем две леммы [253, 256].
В случае гетероскедастичности остатков принято использовать обобщенный МНК [2]. Однако здесь возникают проблемы из-за недостаточного обоснования его применения. Во-первых, вначале находят обычные МНК-оценки, на основе которых производят тестирование модели на гетероскедастичность остатков. Присутствие засоряющих выбросов в данных приведет к несостоятельным оценкам параметров модели. Во-вторых, часто возникают неопределенные Рис. 2.8. Исходные случайные остатки i. ситуации, когда несколько тестов обнаруживают гетероскедастичность, и непонятно какую взвешивающую функцию выбрать.
Основным достоинством робастных методов оценивания является их пониженная чувствительность к возможным вариациям статистических характеристик исходных данных. В связи с этим возникает необходимость в построении специального математического аппарата, позволяющего анализировать чувствительность изучаемых оценок к аномальным измерениям, ошибкам округления и т.п. Наличие та-91 кого аппарата позволяет решать и обратную задачу - исходя из условия требуемой чувствительности, синтезировать оценки с заданными статистическими свойствами. Приведем ниже принцип построения и свойства указанного математического аппарата, получившего название функции чувствительности и влияния [340]. Для простоты рассмотрим случай оценивания параметра сдвига.
Видно, что функция чувствительности для выборочного среднего неограниченна, поэтому одно выпадающее наблюдение может привести к сколь угодно большой ошибке; а для медианы функция чувствительности ограниченна.
Для выборочной дисперсии s2 n+l (X, JC) - s2n+l (X) = (х2 - s2n )/(« +1), так что для Ы sn оценка слегка занижается, а при Ы — оо ошибка стремительно возрастает по квадратичному закону.
Чувствительностью статистики Тп на выборке X бесконечна для среднего и выборочной дисперсии и ограничена для медианы и цензурированного средне го для фиксированного п. Разность фи(Х,х) - (?п(Х,у) позволяет сравнивать эффекты, возникающие при добавлении новых наблюдений хиу.
Исследование свойств ОМНМ (на примере оценки параметра сдвига) Ввиду сложности интерпретации результатов обычно исследование роба-стных оценок проводят на примере оценки параметра сдвига 0: 2"=1 Р( -Є) = min . Пусть (JC15 ...,хп) - случайная выборка наблюдений с теоретическим распределением F(x - 0), где F(x) - известное непрерывное симметричное одновершинное распределение с плотностью Дх). В [309] показано, что при очень общих условиях на производную функции потерь v/(z) = p (z) асимптотические математическое ожидание ii[v/,F] и дисперсия D[\\f, F] оценок параметра сдвига определяются по формулам
Идентификация механических систем при тестовых и случайных воздей ствиях
Обобщим полученные выше результаты. Во-первых, непосредственное использование стохастических моделей для описания нестационарных (относительно текущего среднего) процессов ограничено узким классом процессов, описываемых неоднородным стохастическим линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами где g{t) - некоторое воздействие на линейную систему. Если g{t) - детерминированный процесс, то дискретный аналог уравнения (3.58) называют РС, а если - стохастический процесс, то - стохастической моделью (АР, СС, АРСС). Из утверждения 3.6 следует, что структура нестационарного процесса полностью определяется корнями полинома Q(z) в знаменателе (3.15). Корни могут быть: - действительными, причем если корень равен 1, то это тренд, если равен -1, то это знакопеременный тренд, если положительная константа - то экспонента, если отрицательная константа - то знакопеременная экспонента; - комплексно сопряженными, что соответствует экспоненте, умноженной на синусоиду.
Отсюда и из теоремы Гренджера-Морриса об агрегировании АРСС-моделей [115, 337] можно заключить, что АРСС-процесс может быть представлен в виде совокупности процессов АР(1), АР(2) и скользящего среднего / т APCC(p,q) = YJAPJ(\) + APj(2) + CC(s), p = l + 2m, s q. Каждый процесс АР(2) yk = axyk_x + a2yk + гк является [5, 18, 80]: - узкополосным стационарным случайным процессом при 0 ах , -1 а2 0; - DSP-процессом при ах = ±2, а2 = +1; 158 - нестационарным процессом, возрастающим по экспоненциальному закону в противном случае. Каждый процесс АР(1) ук = ахук_х + гк является [18, 115, 144]: - стационарным случайным процессом при -\ ах 1; - DSP-процессом при ах = ±1; - нестационарным процессом, возрастающим по экспоненциальному закону в противном случае.
Таким образом, стохастические модели позволяют моделировать только узкий класс нестационарных процессов, описываемых полиномиальной или экспоненциальной зависимостью. Например, никакая АРСС(р,д)-модель ограниченных порядков не позволяет описать такие простые нестационарные процессы как: ук = (Ак)а + гк, a g Z ; ук = Ы(Ак + В) + гк и т.д.
Установлена взаимосвязь между тремя основными классами моделей временных рядов, которая позволяет: - объединить их в линейные дискретные модели; - более эффективно использовать данные модели при решении конкретных задач, связанных с анализом временных рядов, протекающих в сложных системах; это становится возможным, прежде всего, за счет возможности совместного использования этих моделей. 2. Использование ЛДМ при математическом моделировании временных рядов обладает следующими преимуществами: - процесс также как и при структурно-детерминированном моделировании характеризуется с точки зрения зависимости от времени его условного математического ожидания; - структурные свойства процесса учитываются на основе разностных соотношений, определяемых формой функциональной зависимости; 159 - построение ЛДМ происходит на основе известных методов построения стохастических моделей, что позволяет учесть в явном виде, наряду с детерминированной, и стохастическую составляющую временного ряда; - в модели учитывается стохастическая неоднородность данных. 3. Теоретически обоснована методика построения линейных дискретных моделей временных рядов. 4. Разработан эвристический метод распознавания трендовых временных рядов. Установлена возможность выбора наилучшей трендовой зависимости для наблюдаемых данных среди любого множества типовых моделей. 4. Разработан метод построения ЛДМ временных рядов в условиях детерминированной помехи известной формы, основанный на концепции «формирующего фильтра». При этом форма модели полезной составляющей сохраняется без изменений. 5. Показана инвариантность ЛДМ к типу связи между детерминированной и случайной составляющими временного ряда. 6. Разработан метод построения ЛДМ в условиях аддитивной случайной помехи. Рассмотрены два случая – когда форма полезной составляющей временного ряда известна или нет. Метод позволяет устранить смещенность оценок коэффициентов ЛДМ. 7. Обобщены определения нестационарных моделей временных рядов с детерминированным и стохастическим трендами, показана их взаимосвязь. 8. Разработан метод идентификации трендов полиномиального характера. Особенностью метода является то, что он учитывает взаимосвязь всех коэффициентов ЛДМ. Это приводит к простоте реализации и устойчивости относительно случая неправильно выбранного порядка модели. 9. Показано, что стохастические модели временных рядов позволяют моделировать только узкий класс нестационарных процессов, описываемых полиномиальной или экспоненциальной зависимостью.
