Введение к работе
Актуальность темы.
В связи с увеличением сложности современных задач из различных областей теории динамических систем их чисто аналитическое исследование становится невозможным, как по техническим (громоздкость выкладок), так и по принципиальным соображениям (например, невозможность проинтегрировать в классе известных функций). Если с трудностями первого типа могут помочь справится современные системы аналитических вычислений (Maple, Matematica и др.), то вторая проблема разрешима только с помощью постановки численных экспериментов. Поэтому актуальным становится совмещение численного эксперимента с различными аналитическими методами исследования. Такой подход представляет возможность по новому взглянуть на уже известные результаты в теории динамических систем и получить более полное качественное представление о динамике систем. Отдельно подчеркнем, что применение компьютерных методов не должно ограничиваться простым моделированием, а должно базироваться на глубоком предварительном аналитическом изучении задачи с последующим применением новых компьютерных методов, связанных, в частности, с топологическим анализом, теорией бифуркаций и другими областями теории динамических систем. Таким образом, создание программного комплекса, реализующего современные методы исследования динамических систем, и тесно связанного с современными аналитическими методами, является одной из актуальных проблем в современной теории динамических систем.
Создание програмного комплекса как инструмента для исследования динамических систем неотделимо от самого процесса исследования во время которого проводится также тестирование и отладка входящих в комплекс методов исследования. В связи с этим в диссертацию вошел ряд результатов полученных с помощью активного совмещения аналитических и компьютерных методов реализованных в программном комплексе. Следует отметить, что все рассматриваемые в диссертации задачи входят в золотой фонд динамики. Всеми этими задачами занимались классики и они возникли из самых глубоких теоретических исследований достаточно очевидных практических задач механики и гидродинамики.
Вторая часть диссертации посвящена динамике твердого тела а также ряду задач о качении без проскальзывания твердых тел по различным поверхностям. Несмотря на непрекращающуюся полемику вокруг области применения данной модели качения, это направление ис-
следований остается актуальным как в теоретическом плане — изучение новых эффектов таких как реверс в динамике кельтского камня или бесконечный рост частоты колебаний диска Эйлера, так и в практическом плане — изучение конкретных периодических решений обладающих интересными динамическими свойствами и классификация возможных видов движения тел.
Третья часть диссертации посвящена классической небесной механике и небесной механике в пространствах постоянной кривизны. Данная область исследований традиционно является полигоном для апробации новых компьютерных методов. Ее актуальность как правило связывают со всевозможными задачами о движении спутников и их устойчивостью, проблемами глобальной навигации и пр. В данной диссертации применение современных методов редукции связанных с теорией групп и алгебр Ли позволило существенно продвинуться в понимании скрытых симметрии задачи N тел. Это, в частности, позволит получить ряд новых результатов для задачи N тел в искривленном пространстве применяя классическую теорию возмущения.
Последняя, четвертая часть диссертации посвящена задачам вихревой гидродинамики. Актуальность данного направления обусловлена в первую очередь решением задач связанных с проблемами прогноза погоды, исследования динамики крупных атмосферных образований, вопросами хаотической адвекции и турбулентности. Хорошо известно, что общие уравнения движения N точечных вихрей на плоскости могут быть записаны в гамильтоновой форме. Впервые на это указал Кирхгоф в своих лекциях по математической физике [7], там же он получил для них все возможные первые интегралы движения. Постановка задачи о движении аналогичных вихревых структур на искривленных поверхностях также восходит к девятнадцатому столетию. Результаты, аналогичные результатам Кирхгофа для сферы, впервые были получены Э.Цермело [20] в начале двадцатого века. Несмотря на то, что уравнения и интегралы движения для данных задач хорошо известны, многие задачи в этой области так и остались не решенными. Применение современных компьютерных методов в данной области позволило получить ряд новых интересных результатов.
Цель работы.
Целью диссертационной работы является создание программного комплекса, который позволяет всесторонне исследовать широкий класс динамических систем описываемых конечномерными системами дифференциальных уравнений. Для достижения указанной цели автором была выполнена апробация созданного комплекса на ряде современных и классических задач теоретической механики: 1. Качение шара и дру-
гих тел по плоскости и различным поверхностям второго порядка. 2. Задача N тел в классической небесной механике и небесной механике в пространствах постоянной кривизны. 3. Задача о движении точечных вихревых структур в тонком слое жидкости.
Методы исследования достоверность результатов.
Для исследования рассматриваемых в диссертации задач используются следующие аналитические и компьютерные методы теории динамических систем.
-
Эффективная редукция по симметриям, приводящая к явному понижению порядка в случае, когда система допускает геометрические или скрытые симметрии. Используются как классические методы понижения порядка восходящие к классическим работам Лагранжа, Якоби, Пуанкаре, и др., так и новые методы редукции, использующие идеи пуассоновой геометрии и теории групп и алгебр Ли.
-
Численный анализ фазового потока системы с помощью глобального сечения Пуанкаре. Современные топологические методы анализа строения изоэнергетических многообразий позволяют решить проблему выбора сечения Пуанкаре, которое пресекают почти все (с точностью до меры нуль) траектории рассматриваемой системы. Выбор глобального сечения существенно увеличивает роль численных исследований и, в частности, позволяет дать компьютерное доказательство некоторых гипотез.
-
Исследование периодических решений и инвариантных многообразий, которые, как правило, определяют структуру фазового потока системы. В данном случае используются методы гамильтоновой редукции на инвариантные многообразия (в случае, когда решение может быть найдено аналитически), а также современные методы построения и продолжения (по параметру) периодических решений, инвариантных торов и сепаратрис.
-
Анализ перестроек сепаратрис, как с помощью метода малого параметра (анализ интеграла Пуанкаре-Мельникова), так и с помощью численных методов.
-
Топологический анализ инвариантных многообразий интегрируемых и неинтегрируемых систем. Используемые при этом аналитические методы основываются на анализе бифуркационных множеств и восходят к Смейлу и уже продемонстрировали свою эффективность в небесной механике и динамике твердого тела.
6) Кроме того, при решении поставленных в диссертации задач используются КАМ-теория, вариационные методы (применительно к поиску периодических решений), теория устойчивости, и другие методы качественного анализа.
Полученные в диссертации результаты основываются на строго доказанных теоремах и утверждениях, имеют ясную физическую трактовку и не противоречат известным результатам, обобщают результаты, полученные ранее другими авторами. Достоверность результатов полученных при работе с разработанным комплексом программ подтверждается согласованностью с аналитическими результатами в рассматриваемых задачах.
Основные результаты. Научная новизна.
Основные результаты вошедшие в диссертацию являются новыми и получены автором самостоятельно
1) Разработан комплекс программ позволяющий исследовать широкий класс динамических систем, описываемых конечномерными системами дифференциальных уравнений. Данный комплекс реализует такие методы исследования динамических систем как
а) построение простых точечных отображений,
б) построение фазового потока системы с одной степенью свобо
ды,
в) построение двумерного отображения Пуанкаре для систем с
полутора и двумя степенями свободы,
г) построение трехмерного отображения Пуанкаре для динами
ческих систем, сводимым к пяти дифференциальным уравне
ниям,
д) построения областей возможного движения для заданного
отображения,
е) поиск периодического решения динамической системы,
ж) продолжение периодического решения по параметру и полный анализ его бифуркаций,
з) построение неустойчивых инвариантных многообразий (сепаратрисе) для отображения,
и) Фурье-анализ произвольных функций при интегрировании вдоль заданной фазовой траектории,
к) вычисление максимального показателя Ляпунова фазовой траектории,
л) построение дерева бифуркаций удвоения периода.
м) отображение мультипликаторов периодического решения и других параметров при продолжении ее по параметру.
н) построение графика зависимости произвольной величины от времени при интегрировании вдоль фазовой траектории.
о) построение бифуркационных диаграмм.
п) визуализация движения исследуемых объектов.
2) В ходе разработки и апробации комплекса был получен ряд новых научных результатов.
а) Указан новый интеграл и случаи интегрируемости в задаче
о качении шара без проскальзывания по поверхности второго
порядка.
б) Решена задача Рауса об устойчивости вращающегося шара на
вершине параболоида в полной нелинейной постановке.
в) Найдены новые эффекты в динамике кельтских камней, в
частности, указаны движения являющиеся суперпозицией ре
верса (смена на противоположное направление вращения) и
переворота (смена на противоположную оси вращения)
г) Полностью расклассифицированы траектории движения од
нородного круглого диска при его качении без проскальзыва
ния по горизонтальной плоскости.
д) Найден ряд периодических в абсолютном пространстве реше
ний в классической задаче о движении тяжелого твердого те
ла с неподвиж-ной точкой. А также указана их связь с уже
известными решениями.
е) Указаны новые эффекты связанные с хаотизации фазового
портрета в ограниченной задаче о вращении тяжелого твер
дого тела с закрепленной точкой.
ж) Указаны новые интегралы и соответствующие алгебры интегралов в ряде задач небесной механики.
з) Проведена редукция и доказана неинтегрируемость задачи двух тел на сфере.
и) Разработан новый метод конструктивного понижения порядка для систем точечных вихрей на плоскости и сфере.
к) Исследован процесс хаотизации фазового потока в задаче о движении четырех вихрей на плоскости.
л) Указаны новые периодические решения в задаче о движении трех и четырех точечных вихрей на плоскости.
м) Предложена новая модель точечного вихря на сфере — анти-подального вихря, представляющего собой систему вихрь + антипод, имеющих равные по величине, но противоположные по знаку интен-сивности.
н) Проведен полный бифуркационный анализ задачи о движении трех антиподальных вихрей.
Теоретическая и практическая ценность.
Разработанный программный комплекс является универсальным исследовательским средством для изучения конечномерных динамических систем. Применение данного комплекса в научно-исследовательских коллективах позволяет существенно упростить и убыстрить анализ исследуемых динамических систем. Разработанный программный комплекс успешно внедрен в учебный процесс УдГУ. Он используется при написании курсовых и дипломных работ, а также при чтении курсов по теоретической механике на физико-энергетическом и математическом факультетах УдГУ. Также данный комплекс активно используется в научно-исследовательской работе сотрудников ИКИ УдГУ, Института машиноведения им. А. А. Благонравова РАН, Института Математики и Механики УрО РАН.
Спектр задач исследуемых с помощью комплекса варьируется от сугубо теоретических до прикладных. Он может быть использован в различных конструкторских бюро для проектирования и исследования различных систем динамики твердого тела, неголономных систем связанных с автомобильной и спортивной динамикой. Также комплекс полезен при исследовании задач небесной механики связанных с движением спутников земли и проблемами их устойчивости. Кроме того, он может оказать существенную помощь в прикладных исследованиях в области метеорологии и океанологии. И в частности, при исследовании задач вихревой динамики связанных с проблемами прогноза погоды, исследования крупных атмосферных образований циклонов, смерчей, ураганов.
Полученные в ходе апробации комплекса научные результаты носят теоретический характер и могут быть использованы в дальнейших исследованиях. Результаты второй части диссертации могут быть использованы при изучении систем с неголономными связями, в частности, различных задач о качении тел без проскальзывания, связанных с автомобильной и спортивной динамикой. Результаты третьей части могут быть использованы как при исследовании задач небесной меха-
ники (в том числе в искривленном пространстве), так и в общей теории интегрируемых систем. Результаты четвертой части диссертации могут найти применение при исследовании различных задач вихревой гидродинамики, в частности, связанных с проблемами прогноза погоды.
Апробация результатов.
Основные результаты работы неоднократно обсуждались на семинарах Института компьютерных исследований УдГУ, Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Института машиноведения им. А. А. Благонравова РАН, Института Математики и Механики УрО РАН, а также докладывались на российских и международных конференциях:
-
IX Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твёрдого тела", Донецк, Украина, 5-10 сентября 2005 г.
-
International workshop Dynamical System Methods in Fluid Mechanics. Oberwolfach, Germany, 31 июля - 6 августа 2005 г.
-
IUTAM 2006, IUTAM Simposium on Hamiltonian Dynamics, Vortex Structures, Turbulence, Moscow, Russia, August 25-30 2006 r.
-
Конференция "Классические задачи динамики твердого тела", посвященная 300-летию Эйлера (ИПММ НАНУ), Донецк, Украина, 9-13 июня 2007
-
VI международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, Россия, 1-6 августа 2007 года
-
"Научная сессия МИФИ -2008", Москва, МИФИ, 21-27 января 2008г.
-
Конференция "Геометрия, динамика, интегрируемые системы", Математический Институт науки и искусства, Белград, Сербия, 2-7 августа 2008 г.
-
Симпозиум Международного союза теоретической и прикладной механики (ШТАМ), 150 лет вихревой динамике, Датский Технический Университет, Копенгаген, 12-16 октября 2008 г.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах, перечисленных в конце автореферата.
Публикации.
Результаты диссертации опубликованы в 24 работах, из них 20 статей в научных журналах списка ВАК. Все результаты совместных статей, включенные в диссертацию, получены лично автором.
Структура и объем работы.
