Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Способы моделирования динамических процессов механообработки 11
1.1.Основные понятия и способы моделирования 11
1.1.1. Абстрактная модель системы произвольной природы 11
1.1.2. Фазовое пространство моделируемой системы 14
1.1.3. Общие свойства сложных систем 16
1.2. Математическое моделирование 17
1.2.1. Обобщенный алгоритм построения математической модели 18
1.2.2. Способы построения математической модели 20
1.3. Построение математических моделей механообработки способом микроподхода 23
1.3.1. Моделирование автоколебаний обрабатывающего инструмента 23
1.3.2. Общая структура математической модели динамической системы механообработки 27
1.3.3. Определение общего вида и параметров уравнений, входящих в модель 28
1.3.4. Формирование системы ограничений 31
1.3.5. Анализ результатов моделирования 35
1.4. Выводы 37
Глава 2. Разработка методики моделирования процессов механообработки по временным рядам 39
2.1. Базовые понятия и определения нелинейной динамики 41
2.1.1. Классификация динамических систем 43
2.1.2. Аттракторы динамических систем 47
2.1.3. Количественные характеристики динамических систем и их взаимосвязь 49
2.2. Описание стенда для проведения экспериментальных исследований 53
2.2.1. Экспериментальная установка по снятию и оцифровке сигналов 53
2.2.2. Предварительная обработка сигналов 58
2.3. Реконструкция аттрактора динамической системы методом задержек 60
2.4. Моделирование динамической системы путем построения эволюционных уравнений движения 65
2.5. Выводы 68
Глава 3. Программная реализация разработанной методики моделирования и сопутствующих алгоритмов 69
3.1. Реализация разработанной методики в виде программного комплекса 69
3.1.1. Поиск коэффициентов уравнений методом наименьших квадратов 70
3.1.2. Особенности программной реализации 73
3.1.3 Исследование устойчивости на базе полученной модели 73
3.2. Алгоритмы расчета количественных характеристик динамических систем 76
3.2.1. Расчет фрактальной размерности 77
3.2.3. Расчет старшего показателя Ляпунова 84
3.2.3. Расчет информационной энтропии 86
3.3. Выводы 93
Глава 4. Исследование динамической системы токарного станка в процессе механообработки резанием 94
4.1. Исследование динамики станка в зависимости от износа инструмента 94
4.2. Определение сценария развития хаотичности 100
4.3. Исследование режимов работы станка на предмет устойчивости к изменению входных данных 106
4.4. Выводы 109
Глава 5. Фрактальный анализ и локальное исследование хаотичности аттрактора 111
5.1. Фрактальное кодирование аттрактора 111
5.2. Описание алгоритма фрактального кодирования 116
5.3. Программная реализация алгоритма 117
5.4. Исследование локальной хаотичности аттрактора 122
5.4.1. Введение новой характеристики хаотичности 122
5.4.2. Программная реализация алгоритма определения погрешности самоподобия 123
5.5. Выводы 128
Основные результаты работы 130
Список используемых источников 131
- Построение математических моделей механообработки способом микроподхода
- Реконструкция аттрактора динамической системы методом задержек
- Алгоритмы расчета количественных характеристик динамических систем
- Исследование режимов работы станка на предмет устойчивости к изменению входных данных
Введение к работе
Актуальность работы. В последнее время наблюдается значительный интерес к моделированию динамических процессов и систем в области машиностроения. Речь идет о моделировании динамических систем механообработки в процессе точения и фрезерования, трения и износа, деформации, разрушения и т.д. Как показывает практика, эволюцию таких динамических систем достаточно сложно описать. Это связано с тем, что перечисленные процессы характеризуются большим числом входных параметров влияния, которые, в большинстве своем, обладают большой степенью нелинейности взаимодействия друг с другом, и это взаимное влияние сложно определить, учесть и корректно описать математически.
Тем не менее, проблема моделирования таких процессов является актуальной, так как на передний план здесь выходят такие задачи, как -минимизация времени обработки, ее качество, повышение устойчивости и предсказуемости процессов механообработки, прогнозирование износа инструмента, прочности деталей, выявление оптимальных режимов работы и т.д. Особенно важными в данной области являются задачи исследования устойчивости различных процессов механообработки, анализ их поведения во времени.
Создание адекватной модели динамического процесса и автоматизация поиска оптимальных, наиболее устойчивых режимов работы на полученной модели позволяет решить эти задачи.
Постоянно предпринимаются попытки создания универсального подхода к моделированию таких процессов и получения как результата математических моделей полно и достоверно описывающих эволюцию динамической системы в заданных условиях.
В данной работе предлагается моделирование таких динамических систем проводить на базе анализа какого-либо сигнала, сопровождающего исследуемый процесс. А именно - путем анализа множества временных рядов, генерируемых самой системой, которые, бесспорно, наиболее полно характеризуют поведение динамической системы на некотором подмножестве ее пространства состояний.
В связи с изложенным, актуальной задачей является разработка методики построения моделей динамических систем, позволяющей на основе временных рядов получать наиболее полную информацию об исследуемых динамических процессах, оценивать их устойчивость, выявлять закономерности поведения.
Цели работы. Разработка универсального подхода к
моделированию динамических процессов механообработки методами нелинейной динамики.
Построение математической модели динамической системы по наблюдаемой реализации излучаемых ею сигналов, как системы эволюционных уравнений движения.
Программная реализация разработанной методики моделирования, алгоритмов расчета динамических характеристик, решение на базе этого задач исследования устойчивости, анализа поведения моделируемого процесса.
Методы исследования. Исследования, приведенные в диссертации, базируются на теории цифровой обработки сигналов, теории математического моделирования, методах и языках программирования, математическом анализе, технологии машиностроения, теории динамических систем и, в частности, ее разделов - нелинейной динамики и фрактального анализа.
Научная новизна состоит в:
1. Применении комплексного подхода к решению задач исследования
устойчивости, анализа поведения, реконструкции динамических систем
механообработки на базе предложенных методов и алгоритмов нелинейной
динамики.
2. Разработанной методике построения математических моделей
реальных динамических процессов, на основе их наблюдаемой реализации.
3. Введении новой характеристики динамических систем -
погрешности самоподобия, применению этой характеристики к анализу
локальной хаотичности моделируемого динамического процесса.
Практическая значимость работы заключается в разработке программного комплекса, позволяющего поэтапно производить моделирование динамических процессов, по временным рядам, автоматизировать процесс моделирования. Разработанные методы и алгоритмы, реализованные в программном комплексе, позволяют решать широкий спектр задач исследования динамических систем. Программный комплекс обладает широкими рамками и универсальностью применения, так как позволяет производить моделирование любых динамических процессов, представленных временными рядами. Применение комплекса способствует пониманию механизмов поведения, эволюции, устойчивости исследуемых динамических процессов.
На защиту выносятся:
1. Методика моделирования динамических систем механообработки
путем реконструкции системы эволюционных уравнений.
2. Представление аттрактора динамической системы как
мультифрактала методом IFS-преобразований, алгоритм расчета
распределения погрешности самоподобия, локальное исследование хаотичности динамического процесса.
3. Методика исследования свойств, оценки устойчивости, анализа поведения динамического процесса на основе разработанной модели.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: Второй Международный междисциплинарный симпозиум "Фракталы и синергетика" (г. Москва, 2001г.); Международная научная конференция "Нелинейная динамика и прикладная синергетика" (г. Комсомольск-на-Амуре, 2002г.); Региональная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука. Техника. Инновации" НТИ-2002 (г. Новосибирск, 2002г.); Пятый краевой конкурс-конференция молодых ученых и аспирантов при администрации Хабаровского края (г. Хабаровск, 2003г.); Международная научная конференция "Моделирование и исследование устойчивости динамических систем" DSMSI-2003 (г. Киев, 2003г.); На кафедре "Технология машиностроения" (КнАГТУ, 2001-2003г.)
Реализация работы. Результаты работы внедрены в учебный процесс на кафедре "Технология машиностроения" Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета, программный комплекс используется при выполнении научно-исследовательских работ в Центре вычислительного моделирования и информатики КнАГТУ.
Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, основных выводов, списка литературы. Работа изложена на 140 страницах машинописного текста, включая 40 рисунков
и 1 таблицу. Список литературы содержит 114 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цель и задачи исследований, изложены научная новизна, основные положения, выносимые по защиту, практическая значимость и основные вопросы, рассмотренные в диссертации.
Первая глава посвящена анализу проблем моделирования динамических процессов в области машиностроения, определения устойчивости процессов механообработки и состояния технологических динамических систем, а так же сравнительному анализу и литературному обзору имеющихся методик и подходов к решению этой проблемы.
Во второй главе описывается разработанная автором методика моделирования процессов механообработки по временным рядам, сама математическая модель представления динамической системы в виде системы эволюционных уравнений движения. Приводится теоретическое обоснование используемых алгоритмов.
В третьей главе осуществляется анализ разработанной методики к моделированию ДС, оценивается корректность полученных таким образом моделей, описываются аспекты программной реализации. Также, изложены реализованные автором алгоритмы расчета базовых количественных характеристик устойчивости динамических процессов.
Четвертая глава содержит описание практической апробации программного комплекса применительно к исследованию динамических систем механообработки резанием по сигналам виброакустической эмиссии.
В пятой главе описывается методика представления аттрактора как мультифрактального множества, и последующего анализа его хаотичности локального характера. Приводится разработанный автором алгоритм определения величины локальной хаотичности в каждом участке, и ее распределения по аттрактору в целом.
Автор выражает свою глубокую признательность и благодарность:
- научному руководителю, Заслуженному деятелю науки и техники
Российской Федерации, академику Российской инженерной академии,
доктору технических наук, профессору Юрию Георгиевичу Кабалдину за
оказанную им помощь и поддержку, обсуждение результатов
исследований и высказанные замечания при проведении исследований,
написании и представлении данной работы к защите;
- коллективу кафедры «Технология машиностроения» КнАГТУ,
кандидату технических наук Медведевой Ольге Ивановне, аспиранту
кафедры «Технология машиностроения» Руденко Александре, работнику
ФОГУП КнААПО им. Ю.А.Гагарина кандидату технических наук, доценту
Биленко Сергею Владимировичу за помощь в организации и проведении
экспериментальных исследований, обсуждении полученных результатов и
замечания, способствовавшие улучшению содержания диссертации.
Построение математических моделей механообработки способом микроподхода
В разделе показано, какие сложности могут возникнуть при моделировании прямым способом "микроподхода". Производится построение простейшей одномерной модели процесса механообработки резанием. Осуществляется попытка разработать универсальную обобщенную модель процесса резания, исследовать ее, и тем самым оценить адекватность рассматриваемого подхода к моделированию. Моделирование автоколебаний обрабатывающего инструмента
Проведем моделирование динамического процесса колебаний обрабатывающего инструмента, происходящих в процессе резания.
В процессе тонкого резания профиль обрабатываемой поверхности сформирован при предыдущем переходе инструмента - это явление можно рассматривать путем анализа дифференциальных уравнений с временным запаздыванием. Так как профиль полученной поверхности зависит от движения системы в направлении у решено принять, что в направлении х относительная скорость детали и инструмента постоянная и равна скорости резания. Таким образом, система приведена к одной степени свободы.
Дифференциальное уравнение, описывающее модель, представленную на рис. 1.4. можно записать в следующем виде: где: п - коэффициент демпфирования, р - частота собственных колебаний, т -масса, К - коэффициент сопротивления резанию. где: h - глубина резания. H(h) - функция Хевисайда, V/ -относительная скорость между инструментом обрабатываемой деталью в направлении у; ho, vo, сі, с2, - постоянные, характерные для принятого процесса резания.
В случае одноразмерной модели глубина резания определяется: h = h0-y(t) + y(t), где т означает временные запаздывание равное 2тг, отвечающие одному обороту детали.
В первом приближении профиль поверхности принято как гармоническую функцию: Хотя модель довольно простая, но, однако, учитывает важные нелинейные физические явления. Анализ такой системы позволяет определить минимальные условия, при которых система выполняет регулярные колебания, а также определить пространство образования хаотичных колебаний.
В модели участвуют следующие величины: т - масса замещения системы, Однако нужно заметить, что модель не учитывает пластической деформации стружки, а также влияния температуры.
Подставляя определенные значения параметров модели можно получить колебания у, происходящие в процессе резания. Они и являются результатом моделирования. По ним можно исследовать хаотичность процесса резания, строить бифуркационные диаграммы, находить показатели Ляпунова и т.д.
Данная модель обладает следующими существенными недостатками - учитывает только продольные колебания режущего инструмента, не учитывает поперечные (так как обладает только одной степенью свободы); не учитывает пластической деформации стружки, влияние температуры и других величин, участвующих в процессе резания. Поэтому генерируемый моделью сигнал мало сопоставим с реальными колебаниями, происходящими в процессе резания.
На основе микроподхода к моделированию производится попытка описать структуру общей математической модели, характеризующей процесс механообработки резанием.
Значительные трудности в изучении процессов механообработки определяются, с одной стороны, большим разнообразием явлений, требующих для своего описания математических моделей большой размерности, а с другой стороны - у исследователя имеется возможность измерять достаточно немного координат состояния - вибрации (виброускорения) в высокочастотном диапазоне, силу резания в низкочастотном диапазоне, температуру в зоне резания, термоЭДС и ток, вызываемый термоЭДС.
Известные экспериментальные данные говорят о сложном, многочастотном характере движений в зоне резания, требующем для своего адекватного описания математическую модель с большим количеством степеней свободы (порядка 10-15) [60]. Модель должна учитывать, что без резания взаимосвязь мод колебаний по разным направлениям значительно меньше, чем при резании, в силу формирования в зоне резания диссипатипнои среды, связывающей движения друг с другом. Для системы уравнений, описывающей динамику системы резания, это будет означать в первую очередь формирование перекрестных связей между координатами.
Реконструкция аттрактора динамической системы методом задержек
Перед реконструкцией аттрактора по методу задержек требуется определить размерность фазового пространства, в которое вложен аттрактор, иначе говоря, нужно знать, сколькими координатами представлена каждая точка аттрактора [52]. Для этого требуется рассчитать фрактальную размерность.
Известно, что фрактальная размерность является количественной характеристикой хаотичности исследуемого сигнала. По ее величине можно судить, насколько хаотична динамика исследуемой системы.
Кроме этого знание величины фрактальной размерности требуется при реконструкции аттрактора методом задержек, для расчета минимальной размерности фазового пространства т, а так же для того, чтобы предварительно оценить корректность такой реконструкции, а именно -минимальное число точек М временного ряда, при котором картина реконструкции будет корректной:
В настоящее время существует три наиболее известных метода расчета фрактальных размерностей.
Исторически первым является метод подсчета ячеек {box counting) . Самые ранние численные оценки размерностей различных фрактальных множеств были сделаны именно с его помощью. Однако довольно быстро выяснилось, что алгоритм обладает некоторыми серьезными недостатками. Оказалось, что даже в случае простейших модельных данных, вроде аттрактора Хенона, получение хорошего результата требует очень длинных выборок миллионы точек и даже более. Кроме того, показано, что для аттрактора Лоренца не удается добиться приемлемой точности даже при длине выборки N -10.
Другим известным алгоритмом является метод Грассберга-Прокаччиа, позволяющий оценить фрактальную размерность D2 путем вычисления корреляционного интеграла. Саму размерность D2 называют корреляционной размерностью. Для того, чтобы оценить размерность D2 по корреляционному интегралу, необходимы выборки существенно меньшей длины, чем в предыдущем случае. Но платой за достоинства является большой объем вычислений - расчет требует порядка N операций, где N— длина выборки. Так, например, расчет корреляционной размерности для одной выборки длинной N = 105 отсчетов потребует около 80 часов непрерывной работы персональной ЭВМ класса Pentium 4 с тактовой частотой 2 ГГц.
Третьим из ряда наиболее распространенных алгоритмов является метод расчета поточечной размерности. У алгоритма поточечной размерности отсутствуют перечисленные недостатки, он достаточно прост в реализации. Результатом работы алгоритма является значение фрактальной размерности Хаусдорфа D0. Кроме того, алгоритм обладает высокой точностью. Путем вычислительного эксперимента было определено, что при длине выборки порядка 100 тысяч точек, погрешность предложенного алгоритма вычисления фрактальной размерности DO модельных данных не превышает 5%.
Расчет значения размерности производится поточечным алгоритмом (подробное описание алгоритма смотрите в главе 3).
Математической основой процедуры расчета размерности фазового пространства т служит теорема о вложении (Embedding Theorem), которая утверждает, что: где D - фрактальная размерность, [ ] означает округление до ближайшего сверху целого числа.
Знание размерности фазового пространства т дает возможность определить число степеней свободы реконструируемой динамической системы. Под числом степеней свободы понимается наименьшее число независимых координат, необходимых для однозначного определения состояния системы. Система с размерностью фазового пространства т характеризуется числом степеней свободы п=т/2.
Таким образом, на данном этапе известна размерность фазового пространства, число степеней свободы динамической системы, и, соответственно, число координат состояния, характеризующих каждую точку аттрактора. Ранее были найдены амплитуды и частоты доминирующих гармоник на спектрограмме временного ряда.
Этой информации достаточно чтобы осуществить реконструкцию множества аттрактора по алгоритму "метод задержек".
Теоретическую основу возможности реконструкции дает теорема Такенса [108]. Теорема утверждает, что по одномерной реализации (временному ряду) x(t) динамической системы, обладающей аттрактором, принадлежащим гладкому cZ-мерному многообразию, методом задержки можно получить га-мерную реконструкцию исходного аттрактора как множество векторов y(t) в Rm
Алгоритмы расчета количественных характеристик динамических систем
Вторая часть главы посвящена разработке и программной реализации алгоритмов расчета количественных характеристик устойчивости динамических процессов - фрактальной размерности, показателей Ляпунова, информационной энтропии. Для расчета фрактальной размерности был выбран поточечный метод [82]. Алгоритм расчета поточечной размерности заключается в следующем: рассмотрим какое-либо множество точек Х\, Х2, ..., Хм, расположенных в m-мерном пространстве (см. рис. 3.3.). Опишем вокруг какой либо точки Xt сферу радиуса г и подсчитаем число точек M(Xh г), попавших внутрь сферы. Вероятность того, что выборочная точка окажется внутри сферы, мы получим, разделив M(Xh г) на полное число точек в Для некоторых множеств это определение не зависит от выбора точки Xj. Но для многих других множеств Д) зависит от Xh и поэтому лучше пользоваться усредненной поточечной размерностью. Кроме того, для многих множеств, таких как канторовское множество, в распределении точек имеются щели, или пробелы и поэтому P{Xt, г) при г -»0 перестает быть непрерывной функцией от г. Чтобы получить усредненную поточечную размерность, выбирают случайным образом множество точек размером L N и в каждой его точке вычисляют P(Xj, г). После того как это сделано, усредненная Хаусдорфова размерность множества вычисляется по формуле:
Число L подбирают опытным путем, начиная с какого-нибудь малого значения и постепенно увеличивая его до тех пор, пока Д не достигнет предела. С вычислительной точки зрения процедура подсчета величин М(Х\, г) путем варьирования параметра г несколько неудобна, так как априорно неизвестны критерии выбора граничных значений rmax и rm;n. Неизвестен также алгоритм назначения коэффициента приращения ji 1 для формирования прогрессии rJ+\ = //-Г/. Для получения гладкой зависимости P(Xj, г) приращение /л не должно быть слишком большим. Но и слишком малые значения /и приведут к избыточным вычислительным затратам. Поэтому применим следующий вычислительный прием - рассчитаем расстояния р от точки Xj до всех точек исследуемого множества (используя операцию вычитания векторов): Затем произведем сортировку полученного числового ряда Pi, Pi, ..., PN таким образом, чтобы для любого к выполнялось условие рк рк+]. Нетрудно заметить, что после подобных преобразований мы получим последовательность радиусов сфер р\, pi, ..., р для которых количество попавших внутрь сферы выборочных точек равно 1, 2, ..., N соответственно. То есть для любого к будет справедливо равенство:
Кроме того, теперь мы легко сможем определить искомые граничные значения радиуса: гтах = р , rm[n = / и коэффициент приращения: где Q - желаемое количество членов прогрессии rmax, ..., rJ} ..., rx (обычно выбирается в пределах 80 - 100). Зная эти величины, вычислим значения всех членов прогрессии: Затем для каждого г,- найдем такое значение индекса Щ рядар\, fa, ..., pN, чтобы выполнялось условие: Из полученного числового ряда к\, кг, ..., кд исключим повторяющиеся члены и используем данный ряд для вычисления вероятностей Р(Х„рк.) согласно формуле (1), которая с учетом выражения (3) упрощается до вида
Исследование режимов работы станка на предмет устойчивости к изменению входных данных
На основе метода реконструкции уравнений аттрактора ставится задача выявления диапазонов устойчивости исследуемых динамических режимов станка, а так же их сравнительного анализа. Так как аттрактор известен, известны уравнения его описывающие, и начальные входные данные этих уравнений, то можно запустив от этих данных итеративный процесс, и получить тем самым траекторию, сходящуюся к аттрактору и лежащую на нем.
Ставится вопрос - будет ли траектория эволюции динамической системы по уравнениям движения, запущенная от измененных входных данных, также сходиться к аттрактору. Если да - то каков допустимый диапазон отклонений от начальных параметров, при котором возможно устойчивое поведение, то есть, гарантирована ли сходимость системы к аттрактору (рис. 4.9).
Таким образом, ставится задача исследования бассейна притяжения аттрактора - того, насколько он широк. Ведь чем больше диапазон, на который может отклониться система, не потеряв при этом устойчивости поведения, тем, соответственно, более устойчив моделируемый динамический процесс, описанный данной системой уравнений.
На базе определения диапазонов устойчивости для разных моделей, можно производить сравнительный анализ устойчивости различных динамических режимов механообработки и, с этой точки зрения, выявлять наиболее оптимальные из них.
Таким образом, следуя такой методике оценки устойчивости можно выявить для каждой из координат диапазоны возмущений, при которых моделируемая динамическая система устойчива и сходится к аттрактору. В таблице 4.1 приведены значения диапазонов устойчивости для каждой из координат вектора состояний, для аттракторов, полученных на разной степени износа режущего инструмента (изображены на рис. 4.1).
Величина диапазона устойчивости измеряется в метрических единицах фазового пространства.
Сравнительный анализ показывает, что динамическая система механообработки резанием обладает большим диапазоном устойчивости при отсутствии износа, а при максимальном износе этот диапазон сокращается в несколько раз. Таким образом, можно сделать вывод, что при увеличении степени износа инструмента, динамические режимы становятся менее устойчивы и внешним возмущающим воздействиям, и, кроме того, по величине изменения диапазона можно судить, на сколько количественно эта устойчивость уменьшилась.
Кроме этого, полученные результаты хорошо согласуются с предыдущими выводами по оценке хаотичности соответствующих режимов.
По практическим результатам можно сказать о высокой эффективности данной методики оценки устойчивости.
Перспективы ее применения очень привлекательны. Это и возможность эффективной оценки состояния систем с хаотической динамикой, и подход к изучению динамических механизмов, лежащих в основе функционирования систем различной природы, и возможность разработки способов управления сложной динамикой систем посредством контролируемого, относительно небольшого по величине, внешнего воздействия.
Нет сомнений, что данная методика оценки устойчивости найдет широкое применение как новый путь исследования поведения технологических процессов. Например - при адаптивной регулировке управляющих параметров технологического процесса путем поиска и формирования устойчивых режимов обработки, обладающих аттракторами с заданными свойствами, а также подавления хаотичности в динамике технологической системы.
