Содержание к диссертации
Введение
1. Математическое моделирование переходных процессов в теплоэнергетическом5 оборудовании 15
1.1. Модели теплообменников с распределенными параметрами 15
1.2. Модели теплообменников с сосредоточенными параметрами 26
1.3. Расчет движения теплоносителей в теплоэнергетическом оборудовании 33
1.3.1. Расчет потокораспределения в теплоэнергетическом оборудовании 33
1.3.2. Определение истинного массового паросодержания в области закризисного теплообмена 36
1.4. Постановка задачи исследования 38
2. Совершенствование математического опис ания динамики теплообменников с сосредоточенными параметрами 39
2.1. Корректное усреднение в модели конвективного теплообменника39
2.2. Динамика теплообменника при возмущениях по энтальпии теплоносителя '. 50
2.3. Динамика конвективного теплообменника при возмущениях по расходу теплоносителя 58
2.4. Динамика теплообменника при совместных возмущениях по расходу и энтальпии теплоносителя 61
2.5. Реализация модифицированной модели с сосредоточенными параметрами в виде расчетной программы 64
2.6. Расчет динамики котельного агрегата бкз-500 на основе модифицированного метода-сосредоточенных параметров ...67
3. Расчет потокораспределения в пароводяном тракте ТЭС 77
3.1. Применение метода узловых давлений для расчета потокораспределения в трактах энергоустановок 77
3.2. Определение выражений для истинного массового паросодержания 84
4. Исследование эффективности численных методов для описания теплогидравличеєких Процессов в элементах оборудования тэс 93
Заключение 105
Библиографический список
- Модели теплообменников с сосредоточенными параметрами
- Расчет потокораспределения в теплоэнергетическом оборудовании
- Динамика теплообменника при совместных возмущениях по расходу и энтальпии теплоносителя
- Определение выражений для истинного массового паросодержания
Введение к работе
Актуальность создания эффективных быстродействующих математических моделей процессов, протекающих в теплообменном оборудовании энергетических станций, обусловлена многими современными задачами. Так, важность задач обеспечения надежности производства электроэнергии и тепла, сложность энергетических комплексов и протекающих в них технологических процессов, а также высокий уровень доли аварий по, вине обслуживающего персонала требуют совершенствования квалификации персонала на основе программных комплексов, имитирующих динамику работы реального оборудования. Практическая невозможность проведения экспериментального исследования аварийных состояний оборудования, также способствует широкому применению математического моделирования основных физических процессов в работе оборудования.
Теплоэнергетическое оборудование состоит из множества взаимосвязанных элементов, обменивающихся материальными и энергетическими1 потоками. Большую часть из'этих элементов составляют поверхностные теплообменники, в которых происходит процесс передачи тепла от греющего потока (продуктов сгорания, воды, пара) через разделяющую стенку к нагреваемой среде (воде, паре, воздуху). По способу обогрева теплообменники разделяются на конвективные, радиационные и конвективно-радиационные. Как показывают практические и теоретические исследования [8], использование статических, равновесных моделей для задач анализа работы элементов теплоэнергетического оборудования в режимах, отличных от номинального, в значительной степени ограничено. В то же время существуют задачи, такие как проектирование систем управления оборудования. ТЭС, создание обучающих комплексов имитирующих работу реального оборудования, которые требуют создания эффективных быстродействующих моделей основных протекающих в оборудовании процессов.
'!
Математическое моделирование динамики элементов оборудования тепловых электрических станций с учетом работы в разнообразных режимах является, сложной задачей, как в плане теории, так ив плане реализации расчетных алгоритмов; на вычислительных средствах. Математические модели описываются системами дифференциальных уравнений; с различной степенью полноты отображающими сложные теплогидравлические процессы, протекающие в рассматриваемых объектах. Простейшие математические модели представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, не учитывающих реальной протяженности элементов ТЭ(2 и, соответственно, распределения параметров по их длине (модели с сосредоточенными параметрами) [90]. Подобный подход широко применяется для описания^ динамики систем; теплообменников, поскольку большая инерционность, тепловых процессов^ этом случае позволяет пренебрегать погрешностями в оп^ ределении динамических характеристик отдельных элементов*[51].
Модели с распределеннымишараметрами^ описываютсяjсистемами дифференциальных уравнений с частными производными; Обладая большей подробностью описания* протекающих: процессов в моделируемых объектах, модели с распределенными параметрами требуют также более подробных (по< сравнению с моделями с сосредоточенными параметрами) исходных данных, однако позволяют наиболее достоверно описывать пусковые и аварийные режимы работы,: во время которых происходят глубокие возмущения по расходу теплоносителя, тепловому потоку или температуре теплоносителей.
Исследования, посвященные сравнению динамических моделей объектов, представленных как системы, с распределенными и сосредоточенными параметрами [53, 79], показывают, что возможности применения моделей с сосредоточенными параметрами ограничены. Причем ограничения; происходят как со стороны амплитуды и вида вносимых возмущений, так и со стороны типа описываемых процессов. В частности, описание нестационарного процесса генерации пара в протяженных элементах моделью с сосредоточен-
ными параметрами затруднено из-за возможности значительного изменения режимных параметров, таких как плотность потока, его скорость, значения коэффициентов теплоотдачи по длине моделируемого объекта. Существенные погрешности возникают при использовании таких моделей для описания теплообменников противоточного типа, которые составляют значительную часть оборудования тепловых электрических станций.
В то же время, опыт разработки всережимных динамических моделей теплогидравлических процессов, протекающих в комплексе теплоэнергетического оборудования [51, 56, 58], показывает, что задача успешного описания нестационарного состояния элементов оборудования в большинстве случаев удовлетворительно решается при помощи описания этих элементов моделями с сосредоточенными параметрами. При этом неоспоримым достоинством таких моделей является уменьшение затрачиваемого времени на расчет, что весьма важно для практического применения в задачах, требующих выполнения расчетов с учетом реального времени. Надо отметить, что применение различных численных методов, реализующих модели с распределенными параметрами, вынуждает использовать (по условию Куранта) достаточно мелкие шаги по времени для достижения необходимой точности общего решения, что в условиях описания множества элементов приводит к резкому росту объема вычислений. Тем не менее, практика использования моделей с сосредоточенными параметрами выявила наличие проблем, связанных с точечным представлением процессов, протекающих в протяженных элементах теплоэнергетического оборудования.
Настоящая работа посвящена анализу всережимных моделей переходных процессов в элементах теплоэнергетического оборудования и поиску способов расширения границ применимости таких моделей, для построения эффективных алгоритмов, обеспечивающих выполнение расчетов в масштабе реального времени.
./I
Научная новизна работы
Обычно применяющиеся в практике создания компьютерных тренажеров персонала тепловых электрических станций описания конвективных теплообменников как объектов с сосредоточенными параметрами обладают значительной погрешностью в воспроизведении не только переходных, но и установившихся режимов. В работе предлагается строго обоснованный способ усреднения параметров, который получен путем сведения уравнений в частных производных к обыкновенным на основе закона сохранения энергии.
Применение предложенного метода к моделированию конвективных поверхностей парогенератора с различными теплообменивающимися средами (газ, вода, пар, двухфазная смесь) позволяет сократить относительную погрешность моделирования по сравнению с распределенными моделями до 5 %, тогда как в традиционных аналогичных моделях она может достигать 30 %. Осуществлен учет эффекта «транспортного запаздывания» в протяженных элементах оборудования при использовании моделей, опирающихся на метод сосредоточенных параметров. ;
Новым в приложении методов теории гидравлических цепей к расчетам потокораспределения в пароводяных и газовоздушных трактах энергоустановок является развитие метода узловых давлений в направлении учета в едином алгоритме расчета различных нелинейных законов падения давления по участкам цепи и взаимосвязи между расходами и паросодержа-ниями на участках генерации пара.
Впервые полученное аналитическое решение дифференциального уравнения истинного массового паросодержания позволяет учесть термическое неравновесие в области закризисного теплообмена при построении быстродействующих динамических моделей.
Предлагается способ универсальной записи математической модели теплогидравлических процессов, позволяющий создать теоретическую и
.J
практическую основу для исследования применимости численных методов для описания динамики оборудования ТЭС.
На защиту выносятся:
Принцип построения достаточно точных и быстродействующих динамических моделей теплообменников, как объектов с сосредоточенными параметрами, на основе предложенного способа усреднения при переходе от моделей с распределенными параметрами.
Модернизация математических моделей, опирающихся на метод сосредоточенных параметров, с учетом эффекта «транспортного запаздывания» при возмущениях по температуре и расходу теплоносителя.
Модифицированный расчетный алгоритм решения задачи потокораспределения в рамках теории гидравлических цепей, учитывающий различные законы падения давления в элементах энергоустановок с однофазным и двухфазным теплоносителями.
Аналитическое решение дифференциального уравнения для истинного! массового паросодержания в области закризисного теплообмена.
Математическая запись тепло гидравлических моделей динамики оборудования ТЭС, позволяющая тестировать эффективность численных методов с учетом многообразия допущений, используемых при описа-
" нии основных теплогидравлических процессов.
Практическая ценность работы
Разработанные модели элементов теплообменного оборудования и модификация модели потокораспределения в пароводяном тракте позволяют существенно улучшить комплексные математические всережимные математические модели ТЭС. Компьютерные тренажеры, использующие предложенные в рамках диссертации подходы, применяются в учебном процессе
энергетического факультета Иркутской государственной сельскохозяйственной академии.
Структура и объем работы
Настоящая диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук состоит из введения, четырех глав и заключения, приводятся обозначения и список использованной литературы, в приложения вынесены, некоторые математические модели, изложение которых не вошло в основную часть диссертации, а также тексты программ, реализующих описанные численные методы и алгоритмы. Содержит 118 страниц текста, включая 7 таблиц и 26 рисунков.
В первой главе работы дан обзор научной литературы за последние годы, отражающий известные исследования и результаты других ученых, работающих в данной" области науки. Кратко и критически произведен анализ этих работ и обрисован круг задач, оставшихся нерешенными, на основании чего сформулированы задачи диссертационного исследования.
Вторая глава диссертации представляет аналитическое исследование вопроса описания процесса теплообмена при использовании сосредоточенной модели. Доказано, что усредненные значения температур теплоносителей соответствуют полученным соотношениям энергетического баланса в теплообменнике. Предлагаемое уточнение позволяет не только избавиться от погрешностей при определении параметров в "новом установившемся~режи-ме, но и качественно улучшить динамические модели, расширяя диапазон их применимости до режимов с глубокими изменениями расхода теплоносителя. На основе разработанного способа выполнены сравнительные расчеты динамики конвективного теплообменника при возмущениях, различных как по типу (по расходу и температуре теплоносителя на входе), так и по скорости нанесения (от ОД К/с до мгновенных изменений значений параметров на входе). Расчеты показали, что обоснованный в работе способ представления процесса теплообмена позволяет однозначно и более достоверно описывать
установившиеся и переходные процессы, в отличие от обычно применяемых моделей с сосредоточенными параметрами.
В третьей главе представлено развитие расчетного алгоритма в рамках теории гидравлических цепей, позволившее охватить различные законы падения давления в элементах энергоустановок с однофазным и двухфазным теплоносителями. Выделены основные характерные участки теплообмена со стороны воды в котлоагрегатах и указаны соотношения, описывающие зависимость положения границ этих участков и замыкающих величин от режимных параметров.
В четвертой главе изложены особенности использования численных методов для реализации математических моделей теплогидравлических процессов в элементах оборудования1 ТЭС. Предложена универсальная структура записи таких математических моделей, позволяющая создать основу для исследования применимости численных методов для практических задач и в теоретических целях создания новых эффективных алгоритмов реализации математических моделей.
В заключении диссертации изложены достигнутые результаты и по ним сформулированы основные выводы.
Апробация работы
' Материалы диссертации докладывались на~ХГУ~*Х\/"й" ХУГ'школах-семинарах молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева (19-23 мая 2003 года, г. Рыбинск; 23-27 мая 2005 года, г. Калуга, 21-25 мая 2007 года, Санкт-Петербург), на международной научно-практической конференции «Сельскохозяйственные и прикладные науки в развитии сельского и лесного хозяйства: актуальные вопросы, практика и обмен опытом» (6-11 июня 2006 г., Иркутск), на Национальной конференции по теплоэнергетике (4-8 сентября 2006, г. Казань), на Ляпуновских чтениях (14-15 декабря 2006г, Иркутск), на XII Байкальской Всероссийской конфе-
ренции «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (июнь 2007, г. Иркутск), на 5 Семинаре вузов Сибири и Дальнего Востока «Проблемы теплофизики и теплоэнергетики» (26-90 сентября 2007 года, Иркутск).
По теме диссертации опубликовано 16 работ:
Левин А.А. Построение динамической модели циркуляционного контура с учетом неравновесия параметров // «Системные исследования в энергетике". - Иркутск: ИСЭМ СО РАН. - 2002г. - С. 181-187.
Левин А.А., Таиров Э.А., Чистяков В.Ф. Исследование уравнения истинного массового паросодержания в закризисной области кипения: Труды XIV Школы-семинара под руководством академика А.И. Леонтьева «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках» -Рыбинск, 2003 г. - С.266-269.
Левин А.А. Выбор корректного усреднения в моделях с сосредоточенными параметрами // "Системные исследования в энергетике". - Иркутск: ИСЭМ СО РАН. - 2004г. - С.114-119.
Левин А.А., Таиров Э.А., Чистяков В.Ф. Определение выражения для истинного массового паросодержания в закризисной области кипения // Известия РАН. Энергетика. - №2. - 2005 г. - С. 146-152.
Левин А.А., Таиров Э.А. Корректное использование моделей с сосредоточенными параметрами при описании динамики теплообменников: Труды XIV Школы-семинара под руководством академика А.И. Леонтьева «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках». - Калуга, 2005 г. - т. 1. - с.229-232.
Левин А.А. Всережимная модель конвективного теплообменника, описываемого сосредоточенными параметрами // "Системные исследования в энергетике" - Иркутск: ИСЭМ СО РАН. - 2005г. - С. 131-134.
Гайдомак СВ., Чистяков В.Ф., Левин А.А. Математические аспекты реализации модели конвективного теплообменника с противоточным на-
правлением материальных потоков // Труды XIII Байкальской международной школы-семинара. - Иркутск, 2005 г. - т.З. - G.94-99. 8. Левин А.А. Описание динамики теплообменника с однофазными теплоносителями методом сосредоточенных параметров // "Системные исследования в энергетике". -Иркутск: ИСЭМ СО РАН. - 2006 г. - С. 146-149: 9: Левин А.А., Таиров Э.А. Моделирование динамики пароводяного теплообменника при возмущении температурой // Труды Международной научно-практической конференции «Сельскохозяйственные и прикладные
науки в развитии сельского и лесного хозяйства: актуальные вопросы;
і і '
практика и обмен опытом»..- Иркутск, 2006 г. - С.266-271. 10. Левин А.А, Таиров Э.А. Использование метода; сосредоточенных параметров- для описания динамики теплообменника; с однофазными теплоносителями // Труды Национальной конференции по теплоэнергетике. — Казань.2006. -т. Г. - С.361-364.
VI. Левин А.А. Учет влияния свойств двухфазного потока на-решение за
дач потокораспределения. Тезисы докладов конференции «Ляпуновские
чтения»..— Иркутск, 2006 г. -
Левин А.А, Таиров Э:А. Описание динамики теплообменных элементов на основе модифицированного метода сосредоточенных параметров // Труды XVI Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН" А.ИГ Леонтьева:"'- Санкт-Петербург," 2007" "г. -"" С. 146-149.
Чистяков В.Ф., Левин А.А. Построение эффективных математических моделей теплогидравлических процессов элементов оборудования ТЭС // Труды XII Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и, управлении». Часть I: - Иркутск, 2007.-С. 154-159.
Левин А.А., Чистяков В.Ф. Об эффективности численных методов при моделировании теплогидравлических процессов в элементах оборудования
ТЭС II Труды Средневолжского математического общества. - 2007. — т. 9. — №1.- С. 172-177.
Левин А.А., Таиров Э.А. Построение динамических моделей конвективных теплообменников на основе метода сосредоточенных параметров // Известия РАН. Энергетика. - 2007 г. - №2. - G. 137-144.
Левин А.А., Таиров Э.А. Применение метода сосредоточенных параметров для описания динамики теплообменника с однофазными теплоносителями,// Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. -2007 г. - №9-10. - С. 123-127.
Работа выполнена в лаборатории динамики парогенерирующих систем ИСЭМ СО РАН, где автор в течение ряда лет является основным исполнителем аналитических исследований в области создания математических моделей энергетических установок. Исследование проведено в соответствии с планами< научно-исследовательских работ института систем энергетики им:. Л.А Мелентьева GO РАН в рамках темьг «Методические основы комплексных исследований сложных теплосиловых систем с целью обоснования их рациональных процессов, технологических схем, параметров и ^режимов функционирования». Исследование автором вопроса расширения границ применимости метода сосредоточенных параметров для построения всере-жймных моделей^теплоэнергетического оборудования по^^^ ским фондом фундаментальных исследований, грант №05-08-18160. В 2006-2007 гг. работа автора по теме диссертации получила поддержку в.Лавренть-евском конкурсе молодежных проектов GO РАН в рамках инициативного проекта.
Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность Виктору Филимоновичу Чистякову за плодотворное сотрудничество в области использования численных методов для задач моделирования теплофизических процессов.
Модели теплообменников с сосредоточенными параметрами
Как отмечалось выше, математические модели, учитывающие распределенность параметров в нестационарных процессах протекающих в элементах энергетического оборудования, представляют собой системы уравнений в частных производных с существенной нелинейностью. Поскольку вычислительные затраты на решение подобных систем дифференциальных уравнений значительны, то производится упрощение -математической формулировки решаемых задач, что достигается уменьшением количества уравнений, исключением некоторых связей между определяемыми параметрами, снижением количества координат [1].
Для моделей теплообменников тепловых электрических станций требования к точности, описания процессов.таковы, что позволяют в большинстве случаев описывать работу теплообменника системой обыкновенных диф-ференциальных уравнений, опуская детальное описание потоков теплоносителей. Параметры потоков вещества и энергии при таком представлении зависят только от времени, а масса и энергия теплоносителей сосредоточены, в-точке. Корректно составленная модель с сосредоточенными параметрами дает качественно верное описание динамических процессов-в реальном объек- . те, что обусловливает широкое распространение: метода сосредоточенных параметров: [5Ц 4,20 93] .Модели, составленные из нескольких; мбделеш с сосредоточенными параметрами, в: определенной мере учитывают реальную пространственную: протяженность процессов,- и по мере увеличения числа . участков степень приближения-таких моделей к моделям с распределенными параметрами возрастает [79].
Переход от системы уравнений с частными производными (Г-. 11:)-(1.13) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений производится; путем замены производных по; пространственной координате отношениями разностей значений: функции на входе и выходе к полной длине теплообменника: уравнение энергии для потока воды A i Т ...._._:.._,.ЬГв Ш --- -.-,(-1.26)- ат св уравнение: где значения ів и іг соответствуют усредненным по длине значениям энтальпий потоков, а плотности потоков р , pv определяются по усредненным значениям энтальпий. Полученная система будет замкнутой при задании законов усреднения, устанавливающих связь между входными, выходными и усредненными по длине значениями энтальпий потоков. Для этого обычно применяются статические соотношения: 7в = «хр в. вых + (1 - ср X. вх» г =Ср г.вых +(1-ytCP r.BX5, (1.29) 0 = СрЄВЬК+(1- Ср)Євх? где /сср - коэффициент усреднения, принимающий значения от 0,5 до 1 по рекомендациям различных авторов [51,54,56].
В [24] исследован вопрос влияния выбора вариантов усреднения на качественную и количественную точность расчетов динамики теплообменников при нанесении возмущающего воздействия температурой потоков. При применении метода сосредоточенных параметров рассматривалась следующая система дифференциальных уравнений: Шкср-Г+ -кср)—ГгЧ +—77 = ст( я -/I)+0 CT)(WBX 1.BX)L ер 7 + l Kov ) , J + А ат ат Дх dt\ мп lr 1-BX-I , h-hsx. —+ц-/сср;-— j+ ат v ат ж\ ЫКр + (1 - ))- 1+ - = S№cT(tm h)+(1 - br)(W - 2.BX)L "та.вх Ч.вх чявх , 2 h тпвх (1.30) Щп Ч т , 2.вх іт &Т ІупА т.2 где Т\, Т2- время прохождения сред через участок, с; St=(oJT)/(Gc) - критерий Стентона; индексы 1,2 обозначают потоки, а индекс cm - разделяющую потоки металлическую стенку. Авторами [24] рассматривались следующие разностные схемы: 1) "хр ":ст= 1 j 2) лСр—лст=0.5; 5) лСр—1; / =0.5.
Из рассмотренных трех разностных схем наиболее приемлемые результаты были получены в случае схемы, в которой под знак дифференцирования по времени входит температура разделяющей стенки на конце расчетного участка. При этом авторы указывают на ограничение по величине, расчетного участка: St 2, несоблюдение которого приводит к значительным максимальным погрешностям на начальном этапе динамического процесса.
В работе [51] при сопоставлении динамических характеристик радиационного теплообменника, рассчитанных для модели с распределенными параметрами и сосредоточенной модели, показано, что степень согласования моделей на уровне одного теплообменника значительно различается в зависимости от принятого закона усреднения, параметров по длине теплообменника. Авторами делается вывод о возможности выбора любого из предложенных ими вариантов.усреднения в зависимости от конкретных целей моделирования. В более поздней работе [24] при рассмотрении методики построения, математической модели энергоблока оценивается применение различных вариантов усреднения на примере скачкообразного возмущения энтальпии на входе. Для теплообменников-с однофазными слабосжимаемыми потоками авторы рекомендуют использовать разбиение теплообменника на элементы с усреднением параметров потоков в выходном сечении каждого элемента. В работе [54] предлагается модифицированный метод сосредоточенных емкостей, обеспечивающий совпадение статических характеристик тепловых процессов и воспроизведение динамических характеристик с любой заданной степенью "точности. По изложенной "авторами методике" коэффициент усреднения вычисляется на основании данных о статическом режиме, а определение параметров динамических операторов, производится путем сравнения решений по модели с сосредоточенными параметрами с решением эталонной-модели.
Расчет потокораспределения в теплоэнергетическом оборудовании
Одной из важнейших моделей для имитации технологических процессов является описание движения материальных потоков, совершаемого в сложных системах трубопроводов и объемных элементах различной геометрии, имеющих источники напора (дутьевые агрегаты, насосы) и узлы с управляемой величиной гидравлического сопротивления (запорно-управляющая арматура). В пылеугольных агрегатах можно выделить две ос-новные системы: пароводяной и газовоздушный (включающий систему пы-леприготовления) тракты. Для моделирования процесса потокораспределения в таких системах, обладающих сложной топологией, широко применяются положения теории гидравлических цепей [45], располагающей развитым аппаратом ведения- численных расчетов. Технологические схемы энергетического оборудования содержат десятки узлов.и ветвей-(рис. 1.3), в результате чего возникает необходимость решения систем уравнений, большой размерности относительно расходов и давлений:, на что и направлены методы теории гидравлических цепей.
Для формального описания сложных динамических моделей используются гипотезы сплошности и текучести, которые, опираясь на фундаментальные теоремы о количестве движения, моменте количества движения и о кинетической энергии [48,62], позволяют получить основные уравнения: неразрывности (1.5) - закон сохранения массы; количества движения (1.7) - закон сохранения импульса; энергии (1.6) -закон сохранения энергии. Вместе с уравнениями состояния: f(p,p,T) = 0, (1.35) связывающими искомые функции: /?(Z,T), p(z,x), /(Z,T) И W(Z,T), ОНИ образуют полное математическое описание движения сплошных сред. Применительно к задачам расчета потокораспределения, в теплоэнергетических системах (тепловых электрических станции," "систем теплоснабжения); для которых протяженность моделируемых трактов многократно превышает размеры поперечных сечений каналов (трубопроводов и теплообменных устройств), допустимо рассматривать гидравлические процессы в одномерном и даже точечном приближении.
Вместе с задачами потокораспределения в трубопроводных системах различного назначения [44,45] сетевые подходы находят применение и при решении задач общей гидродинамики сжимаемой жидкости в энергетических аппаратах [21,22]. В настоящее время хорошо исследована задача потокорас пределения для гидравлической цепи (ГЦ) в стандартной постановке [45,63] следующего содержания.
Пусть имеется ГЦ (плоский граф) с произвольной схемой соединений и произвольно заданными направлениями потоков на ее ветвях. Предполагается, что ГЦ состоит из т узлов и п ветвей. Строится полная матрица соединений ГЦ А с элементами а по следующему правилу: ау = 0, если ветвь j не имеет связи с узлом /; 1, если поток на ветви j вытекает из узла /; — 1, если поток на ветви j втекает в узел і; і - \, т, j = 1, п. Вводятся также следующие величины: D={dl,d- )...,d ) — вектор расходов на ветвях; Р-{р1,р1,...,рт) - вектор давлений в узлах; Y={y1,y2,...,yn) -вектор перепадов давления на ветвях; Q=(qj,q2,...,qm) - вектор расходов на узлах, S=(s},s2,...sn) - вектор сопротивлений на ветвях; H={hj,h2,...,hn) вектор действующих напоров на ветвях. Предполагается, что компоненты векторов Q, Н, S заданы, являются постоянными и не зависят от Р, D, задана также последняя компонента вектора Р, а именно, рт = рт. Компоненты вектора расходов связаны соотношением m=0q, -0. Установлено [45,63], что распределение расходов и давлений по всем элементам ГЦ описывается следующими уравнениями: AD Q, ATP = Y, Y + H = SDD, (1.36) где Т- символ транспонирования, D,S - диагональные матрицы: D=diag{\dl\,\d2\,...,\dn\\ S = diag{s;,s2,...,sn}, (1-37) матрица А получена из матрицы А вычеркиванием любой строки (обычно последней /п-ой строки). Строка вычеркивается для уравнивания числа уравнений и числа неизвестных. Исключая из системы (1.36) второе уравнение, получим AD = Q, ATP + H = SDD, (1.38) где вектор P =\Pi,p2,--.pm-i), так как последняя компонента вектора р задана: рт = рт, Н = Н + Атрт, Ат - последний столбец матрицы А Т. Поиск потокораспределения в ГЦ сведен к решению /л уравнений с // неизвестными, ju=m+n-l. Ранг матрицы А полный: rankA = m — \ и, более того, показано [45], что решение системы (1.38) существует и единственно. В модели (1.36) первое уравнение отражает первый закон Кирхгофа (закон материального баланса в узлах), а второе уравнение - второй закон Кирхгофа (сумма падений давлений по замкнутому контуру равна нулю).
Как показывает практика, разработанная в [73] модификация метода узловых давлений может быть применена при построении быстродействующих алгоритмов, реализующих динамические модели энергетического оборудования. Тем не менее, за рамками предложенного подхода остался учет влияния режима-течения парожидкостного потока на гидравлическое сопротивление [75], что является важным при моделировании пусковых или ава-і-рийных процессов, характеризующихся сильным изменением параметров теплоносителя.
Динамика теплообменника при совместных возмущениях по расходу и энтальпии теплоносителя
Случай нанесения.совместных возмущений по расходу и энтальпии теплоносителя требует отдельного внимания, поскольку в этом случае необходим учет дополнительных факторов ввиду неприменимости принципа суперпозиции в чистом виде. Используемое в (2.23) значение коэффициента ус-реднения определяется по текущему значению расхода теплоносителя D(T) , в то время как значение усредненной энтальпии в этом выражении берется для момента времени (г - гтр), значение расхода для которого в этом случае может быть другим. Таким образом, при расчете значений энтальпии на выходе из теплообменника оказывается неучтенным некоторое количество теплоты Q", определяемое по предложенному в [54] способу через нелинейный динамический оператор: d2Q dQ dD Р2 y- + P\ r + Q =r\-r + r0D, (2.24) где коэффициенты/? и г подбираются таким образом, чтобы минимизировать разницу между эталонными решениями по моделям, учитывающим,распределение параметров, и решением по модели с сосредоточенными параметрами.
В практических приложениях, требующих построения быстродействующих алгоритмов, представляется неприемлемым использование выражений типа (2.24) для определения замыкающих коэффициентов (статических и динамических). Представляет интерес рассмотрение возможности использования определяемых через достаточно простые алгебраические зависимости динамических коэффициентов, не требующих решения дифференциальных уравнений.
Для этого в выражение (2.20) введем добавочное слагаемое, определяющее вклад возмущений, наносимых изменением расхода теплоносителя, и тогда значение энтальпии на выходе из теплообменника определяется из следующего соотношения: вых (г) = т— тр - (т вх + Т AiS (2-25) ср ср ср где динамический коэффициент 8 = а\ (г - TQ ) + а (т - т ) / гтр, при Г) гТр, ц/ = а іт-Т))-а {т-тр) ITm при TD TT ; TQ— время нанесения возмущения расходом теплоносителя; /тр - средняя энтальпия воды в теплообменнике в момент времени т\ =(т-тТр). Численные эксперименты показали, что коэффициенты а\ - а могут быть приняты постоянными без внесения значительной погрешности в расчеты. Аппроксимация возмущений по энтальпии теплоносителя на входе в теплообменник /вх определяется из следующего выражения ; х = /0 + X К 1п - "и -1X1 - 0 - ( )2 ) 5)] где I - Тт I А r, гтр - транспортное запаздывание, /0 = / вх (т - гтр - Тт), комплекс Тт ={Gmcm)/{arHT) характеризует инерционность теплообменника [67], in -значение энтальпии на входе в теплообменник в момент времени т = (т - т — пАт), Аг - шаг интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.13).
На рисунке 2.9 приведено сопоставление результатов расчета динамики теплообменника различными моделями при совместном возмущении энтальпии (увеличение на 100 кДж/кг) и расхода воды (увеличение на 50%). Можно отметить очевидное улучшение в описании переходного процесса модифицированной моделью. Разработанный подход [39] позволил учесть эффект транспортного запаздывания в модели с сосредоточенными параметрами, а также "избавил "от" погрешности "использования ""стационарной" зависимости между усредненными, входными и выходными значениями, в результате чего средняя квадратичная погрешность расчетов для модели, реализованной по описанному выше подходу не превысила 2%.
Определение выражений для истинного массового паросодержания
Уточнение величины паросодержания х в области закризисного теплообмена путем учета термического неравновесия между жидкой и паровой фазами связано со значительными вычислительными затратами. В широко используемом справочнике по теплогидравлическим расчетам [26] истинное массовое паросодержание определяется из решения следующего дифференциального уравнения: -—=КА{р)— ( ) з (3.13) где Р Ч (3.14) А(р) = 5000_р 1 -43р + Ш, С— 175 (м-с)2/кг2. Рекомендуемая область применения формул (3.13), (3.14): рю = 300 - 1000 кг/(м2с); q = 0 - 0,6 МВт/м2;р = 7-18 МПа.
В монографии [27] по одной из рассматриваемых методик, опирающейся на результаты работы [28], уравнение, описывающее изменение паросодержания, представлено в следующем виде: -— = КА{р)х6 ( ) (3.15) ахб хи хи где КиА(р) определяются также соотношениями (3.14). И, наконец, третье из рассмотренных уравнений приведено в работе [64]: -= ,,(1- )( - и (3.16) где К = С Х" см(Р ) , С = 1,5— эмпирическая константа, тип- завися щие от давления коэффициенты степенной аппроксимации калорического уравнения: х п Т -Т =т{ X И У И \П (3.17) где ТП — температура паровой фазы, Ts — температура насыщения. К сожалению, автор [64] не указал вид зависимости коэффициентов тип для формулы (3.16). Сравнительный анализ
Расчетные зависимости истинного массового паросодержания от относительной энтальпии. 1 - по формуле (3.13); 2 -по формуле (3.15); 3 - по формуле (3.16). общего вида уравнений (3.13), (3.15) и (3.16) уже позволяет сделать некоторые качественные выводы. В отличие от уравнений (3.15) и (3.16) в уравнении (3.13) отсутствует сомножитель (1-хн), обеспечивающий существование о 65 решения хи=1, которое является асимптотой решений с любыми начальными условиями. Таким образом, решение уравнения (3.13) дает возрастающую функцию, которая при хи 1 не имеет физического смысла. Различие между уравнениями (3.15) и (3.16) при схожести их формы обусловлено числовыми значениями комплексов КА(р) и К т(р) и структурой сомножителей, содержащих хи и хб. Если принять, что КА(р) = Кт(р), и 77=4/3, то, рассматривая отношение уравнения (3.15) к (3.16), имеем:
Поскольку хб хи, при рассмотренных условиях уравнение (3.15) обеспечивает более быстрый рост значения истинного массового паросодержания и, следовательно, более короткую длину зоны закризисного теплообмена. На рис.3.4 представлены результаты численного интегрирования уравнений (3.13), (3.15) и (3.16), полученные при одинаковых условиях теплообмена (р=\3 МПа, /=0.05 м, рсо=700 кг/(м с), q=0.5 МВт/м ). При расчете в формуле (3.16) комплекс К т(р) был принят численно равным КА(р).
Отметим, что полученное линейное решение, асимптотически УСТОЙЧИВО ПО Ляпунову, од: ИЗ ЧЄГО Следует, ЧТО ДЛЯ Любых 85 0 75: D7 D65 условии, решение уравнения (3.13) будет стягиваться к пря GXQ. и Объединим на одном мой X, (3.21) графике (рис. 3.5) решение Рис.3.5. Решение уравнения (3.13) линейным приближением: 1 - точное решение уравне-дифференциального уравнения Ния (3.13); 2 - линейное приближение. (3.13) методом Рунге-Кутта 5-го порядка и линейную зависимость хи=ахб: Хорошо видно, что начиная с некоторого значения относительной энтальпии расчет паросодержания по уравнению (3.13) совпадает с результатом вычислений по выражениями (3.20), (3.21). Вывод аналитического решения для уравнения (3.15) наталкивается на непреодолимую математическую трудность. Учитывая, что присутствующий х — X в формуле комплекс А(р)( —) является результатом степенной аппрок и симации калорического уравненшГ(3.17), представим""формулу (3.15) в следующем виде:
Предполагая возможность аппроксимации разности температур через параметры теплообмена, явно не содержащие хи, разделим переменные:
