Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор основных задач и методов цифровой обработки изображений 12
1.1 Улучшение качества изображений 13
1.1.1 Восстановление изображений 13
1.1.2 Поэлементные преобразования 15
1.1.3 Фильтрация изображения. Медианная фильтрация . 20
1.2 Геометрические преобразования над изображениями 21
1.3 Выделение контуров на изображении 25
1.4 Признаки изображения 26
1.4.1 Вероятностные признаки. Стохастическая модель дискретного изображения 27
1.4.2 Вероятностные признаки в случае произвольной
функции Xij. Плотность нормального распределения . 29
1.4.3 Вероятностные признаки в случае эргодической и стационарной случайной функции х . 30
1.5 Сегментация изображений 34
1.5.1 Пороговая бинарная сегментация 34
1.5.2 Текстурная сегментация на основе моментов 37
1.6 Распознавание изображений 40
1.7 Поиск по электронным коллекциям графических документов . 43
1.8 Выводы 44
Элементы фрактальной геометрии.
Метод мультифрактальной параметризации структур 46
2.1 Размерность Минковского и Хаусдорфа. Примеры регулярных фракталов 47
2.2 Определение мультифрактала и спектра фрактальных размерностей Реньи Dq. Преобразование Лежандра 54
2.2.1 Значение спектра Реньи Dq на фрактальных множествах 55
2.2.2 Преобразование Лежандра 56
2.3 Метод мультифрактальной параметризации структур 59
2.3.1 Предварительная подготовка изображений изучаемых структур 60
2.3.2 Алгоритм генерации мер огрубленных разбиений 60
2.3.3 Алгоритм генерации огрубленных разбиений
для построения фрактальных регрессионных графиков 64
2.3.4 Алгоритм перебора огрубленных разбиений
для вычисления статистических характеристик
по корректным мультифрактальным спектрам 65
2.3.5 Корректность мультифрактальных спектров 66
2.4 Выводы * 66
Применение спектров Dq для анализа изображений 67
3.1 Свойства спектров Dq при изменении яркости одного и того же изображения 67
3.2 Свойства спектров Dq при повороте одного и того же изображения 72
3.3 Свойства спектров Dq при масштабировании одного и того же изображения 73
3.4 Анализ фотографий петроглифов Карелии
с помощью спектров фрактальной размерности Рсньи 74
3.4.1 1-ое свойство спектров Dq 75
3.4.2 2-ое свойство спектров Dq 77
3.4.3 3-ое свойство спектров Dq 78
3.4.4 Зависимость между стандартным отклонением значений Dq и размером квадратных фрагментов 80
3.4.5 Задача сегментации изображений петроглифов 82
3.4.6 Задачи об авторском инварианте петроглифов и о порядке заполнения скалы петроглифами 84
3.5 Программа для вычисления мультифрактальных характеристик изображения Fractal Dimension vl.O 90
3.6 Выводы 93
Заключение 96
Литература
- Фильтрация изображения. Медианная фильтрация
- Вероятностные признаки в случае эргодической и стационарной случайной функции х .
- Определение мультифрактала и спектра фрактальных размерностей Реньи Dq. Преобразование Лежандра
- Свойства спектров Dq при повороте одного и того же изображения
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время активно создаются электронные коллекции документов. Условно их можно разделить на текстовые и графические. Несмотря на возникающие проблемы при обработке текстовой информации, в данной области существуют достаточно эффективные и универсальные методы [15, 16]. В тоже время, в области цифровой обработки изображений существующие методы часто применимы только для решения определенного класса задач для типовых изображений. Существенный вклад в разработку методов цифровой обработки изображений внесли такие известные учёные как А. Розенфельд, Г. Фриман, У. Претт, В.А. Сойфер и др. Среди множества актуальных на сегодняшний день задач в данной области выделим следующие [14, 18]:
1. выявление инвариантных признаков изображения относительно раз
личных преобразований (преобразование изменения яркости, поворота
и др.);
поиск заданного изображения по базе данных;
сегментация изображения.
Качество решения двух последних задач напрямую зависит выбора метода решения первой.
Как правило, при цифровой обработке изображения чаще всего используют методы, основанные на его стохастической модели [49, 75, 89, 93], что является не всегда оправданным. Новым направлением в данной области является использование метода мультифрактального анализа изображения и его муль-тифрактальной модели [87, 98]. Метод мультифрактального анализа позволяет получить как вероятностную
так и геометрическую информацию о точках изображения [59]. В качестве базовой характеристики изображения в данном методе используется так называемый «мультифрактальный спектр». При этом изображение рассматривается как объединение множеств Ха точек с различной степенью иррегулярности а. Множества Ха можно изучать отдельно или во взаимосвязи друг с другом. Метод мультифрактального анализа основан на теоретических выводах фрактальной геометрии, родоначальником которой является Бенуа Ман-дельброт.
Для оценки теоретических значений мультифрактальных характеристик разработаны соответствующие методы. Все они в основном являются вариантами метода равноячеечного разбиения. Так, в лаборатории механических свойств конструкционных материалов ИМЕТ РАН Встовским Г.В. и другими сотрудниками данной лаборатории был разработан метод мультифрактальной параметризации структур.
Несмотря на то, что мультифрактальный анализ несет в себе большой объем информации о цифровом изображении, его использование недостаточно активно в дайной области. В литературе по цифровой обработке изображений не приведено описания свойств мультифрактальных характеристик. относительно различных преобразований, а также недостаточно представлены методы выделения признаков изображения путем анализа его мультифрактальной модели.
Цель работы. Целью диссертационной работы является выявление инвариантов графического изображения, на основе его мультифрактальной модели. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
разработать программу расчёта мультифрактальных характеристик по изображению;
выявить свойства мультифрактальных спектров на природных и искусственных текстурах;
получить численные характеристики мультифрактальных спектров при
обработке изображений петроглифов Карелии.
Методы исследования. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе использовались методы фрактальной геометрии, прикладной статистики, цифровой обработки изображений. Основой численных алгоритмов для расчётов спектров составляет метод равноячеечного разбиения. Основные результаты выносимые на защиту:
выявленное устойчивое поведение мультифрактальных спектров относительно преобразования изменения яркости изображения;
выявленное устойчивое поведение мультифрактальных спектров относительно преобразования поворота изображения;
алгоритм человеко-машинной бинарной сегментации изображения;
компьютерная реализация метода расчёта мультифрактальных характеристик изображения, с реализованными алгоритмами автоматической коррекции контрастности и общей яркости изображения.
Научная новизна работы заключается в следующем:
установлены основные свойства мультифрактальных спектров на ряде естественных и искусственных текстур;
на основе полученных свойств спектров выработаны рекомендации по выбору признаков изображения;
на основе предложенного подхода разработан алгоритм человеко-машинной бинарной сегментации изображения.
Практическая значимость. На основе выявленных свойств спектра фрактальных размерностей Реньи на естественных и искусственных текстурах можно формировать новые, более адекватные реальным структурам, признаки изображения для решения различных задач цифровой обработки изображений, в частности, для решения задачи сегментации, поиска изображений в
базе данных и др.
Разработано программное обеспечение для расчётов спектров фрактальных размерностей Реньи Fractal Dimension vl.O с дополнительной функцией бинарной сегментации изображения. Данный продукт пригоден для решения задачи сегментации изображений петроглифов, но может быть применён и для изображений с другими текстурными свойствами.
Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приводятся основные задачи и методы цифровой обработки изображений, описание стохастической модели изображения и сформированных на её основе признаков изображения. Вторая глава посвящена элементам фрактальной геометрии и методу муль-тифрактальной параметризации структур. Фрактальная геометрия является одним из новых и прогрессивных разделов неклассической математики, родоначальником которой является Бенуа Мандельброт. Основными понятиями в теории фракталов является понятие самого фрактала и понятие фрактальной размерности, которая принимает дробные значения для фрактальных множеств. Существует несколько различных определений размерностей геометрического объекта. Наиболее важными из них являются: топологическая размерность, размерность Минковского и размерность Хаусдорфа. Размерности Минковского и Хаусдорфа могут принимать дробные значения и лежат в основе фрактальной теории. В тексте приводятся определение размерности Минковского dimjw и Хаусдорфа dim#. Так же приводятся их основные свойства и теоремы.
Фракталы являются моделями первого приближения для описания природных объектов, хотя и более точными чем модели из классической Евклидовой геометрии. Более гибкими, чем фракталы, с описательной точки зрения являются мультифракталы с их характеристиками. Понятие мультифрактала является обобщением понятия фрактала. Мультифрактал может включать в себя множество входящих друг в друга фракталов.
В тексте приводится определение мультифрактала и его основные характеристики и свойства в виде определений и теорем. Приводится описание одной
из основных характеристик мультифрактала — спектра фрактальных размерностей Реньи.
Далее приводится описание метода мультифрактальной параметризации структур. Данный метод предназначен для численного расчёта мультифракталь-ных характеристик по изображениям, в частности, спектров фрактальных размерностей Реньи Dq. Метод включает в себя четыре основные этапа:
Предварительная подготовка изображений изучаемых структур.
Алгоритм генерации мер огрубленных разбиений.
Алгоритм генерации огрубленных разбиений для построения фрактальных регрессионных графиков.
Алгоритм перебора огрубленных разбиений для вычисления статистических характеристик по корректным мультифрактальным спектрам.
Этап предварительной подготовки изображений изучаемых структур существенно влияет на результат работы последующих, так как результат анализа изучаемой структуры напрямую зависит от качества его представления в виде двухмерных изображений (например, в виде цифровой фотографии). Часто на данном этапе изображение подвергают предварительной обработке для улучшения его качества.
С помощью алгоритма генерации мер огрубленных разбиений решается задача определения и расчёта меры для огрубленного разбиения. С помощью алгоритма генерации огрубленных разбиений для построения фрактальных регрессионных графиков решается задача генерации огрубленных разбиений.
С помощью алгоритма перебора огрубленных разбиений для вычисления статистических характеристик по корректным мультифрактальным спектрам решается задача перебора сгенерированных разбиений для получения корректных оценок величин Dq. Существует два основных метода перебора разбиений: FE (from edges) и OR (overall range). После получения ряда
значений Dq для фиксированного q рассчитывается среднее значение M[Dq]. Полученное значение рассматривается в качестве исходного значения спектра Dq для фиксированного q.
Третья глава посвящена применению спектров Реньи Dq для анализа изображений. Приводятся результаты анализа проводимые на текстурах Бродаца и петроглифах Карелии. На текстурах Бродаца проверялись свойства спектров Dq относительно преобразования изменения яркости, преобразования поворота и масштабирования. Под преобразованием изменения яркости изображения понимают преобразование вида: у = а + х, где х — изображение до преобразования, у — изображение после преобразования, а — константа. При анализе каждой из выше упомянутых текстур были выявлены характерные черты поведения спектров при изменении яркости одного и того же изображения. Далее была проведена классификация всех анализируемых изображений на К классов методом классификации по минимальному расстоянию с указанием типичных членов класса {К — количество оригинальных текстур).
Электронные коллекции петроглифов Карелии представляют собой набор цветных фотографий [45, 46]. У некоторых изображений фактически отсутствует его часть, а также часто невозможно определить их верх и низ. Петроглиф выбивался при помощи ударов о скалу более крепкой каменной породы, играющей роль инструмента художника. Бугристость его поверхности, как правило, выше бугристости скалы, хотя может наблюдаться и обратная картина. В качестве основной характеристики изображений петроглифов рассматривается спектр обобщённых фрактальных размерностей Реньи. Рассмотрим свойства признаков изображения, наличие которых желательно при анализе петроглифов Карелии:
различие значений Dq для фрагментов между областями петроглифа и скалы на одном фотоснимке;
близость значений Dq для фрагментов из области петроглифа на раз-
личных фотоснимках одного и того же петроглифа;
3. различие значений Dq для фрагментов из областей петроглифа различных петроглифов;
На основе выявленных свойств спектров Dq, определённых на изображениях петроглифов, был разработан человеко-машинный алгоритм бинарной сегментации изображений петроглифов, описание которого приводится далее. Так же была предпринята попытка решения задачи об авторском инварианте и задачи о порядке заполнения скалы петроглифами. Задача об авторском инварианте петроглифов связана с предположением о том, что люди в разных племенах (или в одном племени) могли использовать различную технику выбивания петроглифов, что должно было отражаться на структуре поверхности изображений.
Задача о порядке заполнения скалы петроглифами возникает, когда петроглифы пересекаются между собой и появляется необходимость понять, какой петроглиф был выбит раньше, а какой позже. Для решения данной задачи предлагается рассчитать спектры фрактальной размерности Реньи Dq для первого и второго петроглифа, а также их общей части. Далее на основании полученной информации сделать вывод о порядке заполнения скалы. Далее приводится описание програмы «Fractal Dimension vl.O», разработанной автором, а также примеры работы алгоритма сегментации на изображениях петроглифов Карелии.
Фильтрация изображения. Медианная фильтрация
Геометрические преобразования являются основой для решения различных задач цифровой обработки изображений. Среди различных геометрических преобразований на плоскости и в пространстве наиболее часто используются линейные преобразования, т.е. преобразования вида [32]: х = А ж, (1.19) где х — координаты исходной точки изображения. А — матрица преобразования, х — координаты точки изображения после преобразования. Для того, чтобы точки на плоскости и в пространстве можно было описывать одинаковым образом, вместо координат точки (х, у) вводят так называемые однородные координаты [43]. Под однородными координатами понимаются тройки чисел (x0,y07w) (не равные нулю одновременно). Однородные координаты связаны с обычными координатами точек на плоскости (гс, у): (x0,y0,w)T = w{x,y, 1)т (1.20) Среди множества линейных преобразований можно выделить аффинные преобразования, общий вид которых в однородных координатах можно представить как: " N А с W \ . / 0 . С = / и А ф 0. Определяющим параметром в выра В зависимости от конкретных жении (1.21) является матрица Т значений её элементов можно выделить следующие виды преобразований: cos а — sin а: 0 sin a cos а 0 0 0 1 1. Поворот вокруг начала координат на угол а: Т = / V 2. Растяжение или сжатие вдоль координатных осей с коэффициентами ґ а 0 о\ соответственно а. и (5: Т = , где а, Р 0. Растяжению 0/3 0 V / 0 0 1 вдоль осей соответствуют значения коэффициентов а, (3 больших единицы. При 0 а, /3 1 происходит сжатие вдоль осей. Л 0 с 3. Перенос: Т = V о і / 0 0 / Аффинные преобразования сохраняют отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных линиях, прямые линии переходят в прямые, параллельные в параллельные, сохраняются отношения площадей фигур. Данный вид преобразования является общим для описания преобразований плоскости на плоскость. Большую степень обобщённости по сравнению с аффинными преобразованиями имеют проективные преобразования. Проективные преобразования записываются в следующем виде с использованием однородных координат: (1.22)
Проективные преобразования не сохраняют параллельности линий. Свойством, сохраняющимся при данном преобразовании, является свойство коллинеарности точек [76]. Данное преобразование связано с отображением трёхмерной визуальной информации на плоскость и активно используется в компьютерной графике для отображения трёхмерных объектов на экран монитора.
Вышеприведённые преобразования работают в непрерывном пространстве, а пикселы изображения имеют целочисленные значения координат. В таком случае возникает задача интерполяции значений цветов пиксел изображений. При повороте и масштабировании изображения используют следующие методы интерполяции:
1. Правило ближайшего соседа (nearest neighbor). При уменьшении изображения происходит сокращение строк, а при увеличении — их дублирование. По существу, в данном методе никакой интерполяции не проводится. Основное его преимущество заключается в простоте реализации и высокой скорости работы алгоритма. Что же касается качества получаемых изображений, то оно намного ниже чем в следующих методах.
2. Билинейная интерполяция (bilinear). Билинейная интерполяция является обобщением линейной интерполяции в случае функции двух аргументов [6, 30]. При билинейной интерполяции проводится линейная интерполяция сначала в одном, а затем в другом направлении. Рассмотрим прямоугольный фрагмент, представленный на Рис. 1.6. В точках JSH, 5i2, 21, 22 значение функции f(x, у) известно. Необходимо определить значение функции в точке Р. Используя линейную интерполяцию, можно получить значение / в точке Ті: (1.23) Х2 Xf(Sn) + - -f(S21) х2 — Xi х2 — Xi Значение функции / в точке Т2 можно вычислить следующим образом: (1.24) /№) « _JL/(s12) + _ L/(522) Х2 — Х\ Х2 — Х\
Проводя линейную интерполяцию по двум вспомогательным точкам Ті и Т2, получаем значение функции / в точке Р: 2/2-2/1 2/2 У\ f(P) « --/№) + г—т?-/№). (1.25)
3. Бикубическая интерполяция (bicubic interpolation). Бикубическая интерполяция является расширением кубической интерполяции для функции двух переменных [83, 90]. Данный метод наиболее оптимален с точки зрения качества получаемых изображений.
Часто возникают задачи, когда необходимо иметь информацию о границах (контуров) объектов, представленных на изображении. В различных методах в понятие контур авторами вкладывается различный смысл. Например, в [14] под контуром понимается пространственно протяжённый разрыв (скачок или перепад) значений яркости. Стоит обратить внимание, что по данному определению контур не должен быть обязательно замкнутым. Коротко опишем основные методы выделения контуров, рассмотренные в [14, 17, 49].
Вероятностные признаки в случае эргодической и стационарной случайной функции х .
Как известно, дискретные изображения имеют квантованные уровни яркости. Пусть Vik(k) обозначает г -ый уровень квантования для элемента изображения, который занимает к-ое место в векторе изображения х. Тогда вероятность получения одного из возможных значений вектора х можно выразить через совместное распределение вероятностей значений элементов изображения следующим образом: Р(х) = Р{х(1) = (1), х(2) = г,-а(2),... .. ., ( ) = rik(k),.. .,ar(g) - rig(g)}. (1.46) Обычно для всех компонент вектора выбирают одинаковый набор уровней квантования и совместное распределение вероятностей принимает вид: Р(х) = Р{х{1) = rix, х(2) = ri2,..., х(к) = гік1 ..., x(q) = riq]. (1.47) Распределение вероятностей значений каждого элемента изображения можно оценить, измеряя соответствующие частоты. Так, одномерное распределение к-отл компоненты вектора Рк(п) = Р{х(к) = г,-} (1.48) можно оценить путём анализа большого набора изображений, относящихся к одному и тому же классу, например, таких как флюрограммы, аэроснимки полей и т.д. Оценку одномерного распределения относительных частот можно представить в следующей форме: # № = [Nk(i)]/N, (1.49) где N — полное число исследованных снимков, a Nk(i) — число снимков, для которых х(к) — гг-, где г = 0,1,...,/ — 1, / — количество уровней квантования яркости. Данная процедура является довольно трудоёмкой и в большинстве случаев без дополнительных условий, наложенных на функцию X{j, практически не осуществима. В качестве дополнительных условий можно использовать условия стационарности и эргодичности случайной функции Xij [9].
Определение 3 Случайная функция Xij называется стационарной, если все её вероятностные характеристики не зависят от её аргументов г и j.
Определение 4 Случайная функция Xij называется эргодической, если все её вероятностные характеристики можно посчитать на основе одной её реализации.
Если предположить, что случайная функция Xij является стационарной, то одномерные распределения (1.48) будут одинаковы для всех компонент вектора, т.е. не будут зависеть от к.
Эргодичность же случайной функции Xij означает, что все её характеристики можно посчитать на основе данного изображения.
Если предположение о стационарности и эргодичности справедливо, то вероятность (1.48) можно оценить по частотам: Я (г) = [ЛГ(г)]/ 7, (1.50) где N(i) — число элементов исследуемого изображения, для которых х(к) = ГІ, причём 1 к q — п т, а 0 г / - 1.
Таким образом, все вероятностные характеристики случайной функции Xij могут быть перенесены на изображение и использоваться в качестве его вероятностных признаков. В различных задачах обработки изображений возникает необходимость разбиения изображения на области с различными характеристиками. Задачу разбиения изображения на классы с различными характеристиками называют задачей сегментации изображения [94, 88, 34, 52, 10]. Как известно, области могут обладать бесконечным числом характеристик, поэтому для решения конкретной задачи необходимо подобрать такие искусственные и естественные признаки, по которым можно было проводить разделение областей. В случае, когда изображение необходимо разбить на две области, сегментацию называют бинарной. Такой вид сегментации наиболее часто используется в различных задачах. Наиболее простым и в тоже время ограниченным в применении методом является пороговый метод сегментации. Данный метод имеет различные модификации. Ниже приведён один вариант порогового метода [17].
Определение мультифрактала и спектра фрактальных размерностей Реньи Dq. Преобразование Лежандра
Одним из важных понятий в теории фракталов является само понятие фрактала. Слово фрактал впервые было введено Бенуа Мандельбротом в 1975г. и образовано от латинского f г actus, что в переводе означает как «дробный», «ломаный». Мандельброт дал следующее определение фрактала:
Определение 10 [31] Фракталом, или фрактальным, мпоэюеством называется множество, размерность Хаусдорфа для которого строго больше его топологической размерности.
Рассмотрим некоторые самоподобные множества, ставшие уже классическими примерами самоподобных(регулярных) фракталов. Множество Кантора
Множество Кантора имеет довольно простую процедуру построения [24], но тем не менее обладает свойствами, характерными для многих других фракталов.
Процедура построения множества Кантора начинается с разбиения единичного отрезка UQ на три одинаковые части (см. Рис. 2.2). Единичный отрезок UQ называется инициатором. Далее, путём «удаления» серединной трети из UQ, получаем множество Ui. Затем процедура повторяется с каждым из двух оставшихся отрезков и т.д. В результате бесконечного числа операций исходное множество стремится к так называемому множеству Кантора F. Математически множество Кантора можно представить следующим образом: F = n L0Uk. Приведём некоторые основные свойства F [95]: 1. F — самоподобное множество. Очевидно, что отдельные «части» множества F подобны F. Так, например, интервалы [0, ] и [, 1] подобны всему множеству F с коэффициентом подобия . 2. Множество F имеет «мелкозернистую» структуру, т.е. включает в себя сколь угодно малые масштабы. Чем ближе мы «рассматриваем» это множество, тем больше промежутков и точек данного множества становятся «видны». 3. F имеет рекурсивную процедуру построения. 4. Множество F содержит достаточно большое количество точек (несчётное множество), но его «размер» никак не дифференцируется через обычную меру такую как длина, т.к. из построения следует, что длина множества F равна нулю.
Множество Кантора представляет собой множество несвязных между собой точек. Топологическая размерность dimy такого множества равна нулю. Размерность Минковского, как было показано выше, на самоподобных множествах переходит в размерность самоподобия и рассчитывается по выражению (2.4). Немного преобразуя выражение (2.4), получим: D = М-, (2.12) — In г где N — количество копий самого объекта на к-ом шаге, а г — коэффициент подобия, с которым эти копии получены. В случае множества Кантора размерность подобия равна D = = dim# F « 0.63. Треугольник Серпинского
Инициатором Щ в процедуре построения треугольника Серпинского [71] является равносторонний треугольник со стороной, равной единице (см. Рис. 2.3). Далее начальный треугольник «разбивается» на четыре равных треугольника со стороной равной , как показано на Рис. 2.3. «Вырезая» треугольник с середины UQ, получаем множество U\. Вся процедура повторяется с оставшимися тремя уменьшенными копиями треугольника UQ И т.д. В результате бесконечного повторения процедуры «вырезания» уменьшенных копий начального треугольника исходное множество стремится к множеству, полу чившему название «Треугольник Серпинского». Приведённые выше свойства множества Кантора можно отнести и к данному фракталу. Топологическая размерность dimy треугольника Серпинского равна единице, а размерность подобия определяется как: D = = dim# F « 1.585. Кривая Коха
Процедура построения кривой Коха [28] начинается с разбиения единичного отрезка Щ на три равные части (см. Рис. 2.4). Далее путём удаления серединной трети из Щ и добавления равностороннего треугольника, вершины которого опираются на концы оставшихся двух отрезков (см. Рис. 2.4), получается множество Ui. Далее с каждой стороной получившейся фигуры про-делывается описанная выше процедура и т.д. Устремив количество итераций к бесконечности, получим множество F, которое называют кривой Коха. Одним из примечательных свойств данного геометрического объекта является его бесконечная длина (это следует из процедуры построения). Топологическая размерность diniy кривой Коха равна единице. Размерность подобия кривой Коха равна D — = dim#F « 1.26. Соединив вместе три кривые Коха, можно получить Снежинку Коха, которая также является самоподобным фракталом.
Свойства спектров Dq при повороте одного и того же изображения
Для проверки изменения значений спектра Dq при изменении масштаба одного и того же изображения необходимо иметь набор изображений с различными масштабами. По данному типу преобразования проводилось 10 экспериментов. Из альбома [101] в одном из экспериментов было взято 10 изображений: brick, pigskin, wool, d22, raffia, d20, sand, dlOl, d54 и d30 (см. Рис. 3.1). Затем каждая из текстур подвергалась процедуре масштабирования путём увеличения и уменьшения на 9%, 12%, 15%, 18%, 21%, 24%, 27%, 30%, 33%, 36%, 39% и 42%,45%. В качестве метода аппроксимации в процессе масштабирования использовался метод билинейной интерполяции приведённый в 1.2. Таким образом, всего рассматривалось 260 изображений. Последовательность действий при анализе данных текстур аналогична последовательности при анализе текстур с разными уровнями яркости. Метод классификации текстур на К классов (в данном случае К = 10) такой же как при анализе свойств спектров относительно преобразования изменения яркости (3.1). На Рис. 3.4 приведены результаты 6-ти классификаций. По результатам прове денных классификаций, можно говорить о том что существует зависимость спектров фрактальных размерностей Реньи от данного типа преобразования. При данном типе преобразования наименьшая ошибка классификации составляет порядка 30%.
Электронные коллекции петроглифов Карелии представляют собой набор цветных фотографий [45, 46]. У некоторых изображений фактически отсутствует его часть, а также часто невозможно определить их верх и низ. Пет роглиф выбивался при помощи ударов более крепкой каменной породы, играющей роль инструмента художника о скалу. Бугристость его поверхности, как правило, выше бугристости скалы, хотя может наблюдаться и обратная картина [53, 54, 57, 58]. В качестве основной характеристики изображений петроглифов предлагается использовать спектр обобщённых фрактальных размерностей Реньи [56, 65, 97]. Как было показано выше, значение спектров незначительно отклоняются при преобразовании изменения яркости и поворота. Рассмотрим свойства признаков изображения, наличие которых желательно при анализе петроглифов Карелии: 1. различие значений Dq для фрагментов между областями петроглифа и скалы на одном фотоснимке; 2. близость значений Dq для фрагментов из области петроглифа на различных фотоснимках одного и того же петроглифа; 3. различие значений Dq для фрагментов из областей петроглифа различных петроглифов.
Рассмотрим значения двух спектров Реньи Dq и D q для фиксированного q и значения их стандарных отклонений 5q и 5 соответственно. Два спектра будут близки друг к другу если найдется такое q для которого верно следующее неравенство: \Dq-Dq\ a-(6q + 6 q) (3.2) В результате экспериментов было установ ленно, что значение коэффициента а можно принять за 0, 8.
На предмет различия значений Dq между областями петроглифа и скалы было проанализировано 50 цифровых фотоснимков петроглифов. Анализ проводился следующим образом:
1. Из области петроглифа (скалы) «вырезалось» от 1000 до 3000 квадратных фрагментов изображения размером 30 х 30 пиксел.
2. Для каждого из фрагментов рассчитывался спектр фрактальных раз мерностей Рсньи (для q = 0, 1, 2, 3 , 4, 5, 10, 15, 20, 30, 40, 50, 60, 80, 100.)
3. Для каждого q рассчитывалось среднее значение Dq и стандартное от клонение для фрагментов из области петроглифа (области скалы). ное разделение спектров из области петроглифа и скалы наблюдается у 80% анализируемых изображений. У остальных изображений графики, показанные на Рис. 3.6, могут налагаться друг на друга. В случае незначительного наложения графиков можно использовать частотные характеристики для разделения двух областей. Например, с учётом уже рассчитанной информации о спектрах (среднее по каждому q и стандартное отклонение) рассчитать частоту попадания значений спектров в интервалы.
