Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Описание математической модели построения сеток 17
1.1 Метод отображений 17
1.2 Сеточные уравнения 20
1.2.1 Уравнения Бельтрами 20
1.2.2 Уравнения диффузии 21
1.3 Постановка краевой задачи для сеточных уравнений 22
1.4 Обращенные сеточные уравнения 25
1.5 Мониторная метрика как средство управления свойствами сеток 27
1.5.1 Вычисление метрических компонент 28
1.5.2 Мониторная метрика для построения сеток, адаптирующихся к градиентам функции 31
1.5.3 Мониторная метрика для построения сеток, адаптирующихся к значениям функции 34
1.5.4 Мониторная метрика для построения сеток, согласованных с векторным полем -. 35
1.5.5 Мониторная метрика для построения сбалансированных сеток 38
1.5.6 Роль сингулярных функций в проблеме задания мониторной метрики 40
Глава 2. Описание численного алгоритма решения сеточных уравнений 42
2.1 Одномерное уравнение 43
2.2 Двумерные уравнения 46
2.2.1 Алгоритм построения сеток в двумерных областях . 47
2.2.2 Алгоритм построения сеток на двумерных поверхностях 53
2.3 Трехмерные уравнения 54
2.4 Программный инструментарий вычислительного эксперимента 58
Глава 3. Результаты исследования математической модели построения сеток 64
3.1 Разностные сетки, адаптирующиеся к градиентам функции . 64
3.2 Разностные сетки, адаптирующиеся к значениям функции . 67
3.2.1 Двумерные поверхности 70
3.2.2 Трехмерные области 72
3.3 Разностные сетки, согласованные с модельным векторным полем 73
3.4 Сбалансированные разностные сетки 77
3.5 Построение гладких блочных сеток 78
3.6 Разностные сетки, согласованные с магнитным полем в тока-маке 82
Глава 4. Применение метода для решения сингулярно- возмущенных уравнений 89
4.1 Оценки производных 93
4.2 Численные расчеты 101
Заключение 104
Литература 106
- Сеточные уравнения
- Алгоритм построения сеток в двумерных областях
- Разностные сетки, адаптирующиеся к значениям функции
- Разностные сетки, согласованные с модельным векторным полем
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена исследованию метода построения разностных сеток, основанного на применении обращенных уравнений Бель-трами и диффузии.
Существует два основных класса сеток — структурные и неструктурные. Подробное описание наиболее популярных методов построения разностных сеток дано в монографиях Томпсона, Варси, Мастина [112], Кнап-па, Стейнберга [70], Лисейкина [75], [77] и в обзорных статьях [13], [47], [106], [109], [111]. Результаты, связанные с построением подвижных сеток, применением техники растягивающих преобразований для численного решения сингулярно-возмущенных задач, применением нестационарных сеточных методов и методов эквираспределения в задачах распространения волн, были предложены в монографиях [1], [16], [76], [122], [21].
Методы построения адаптивных структурных сеток впервые были исследованы в работах Андерсона (1983) [24], Томпсона (1984, 1985) [107], [108]. Затем серия работ, посвященных общим адаптивным методам, была представлена в статьях Эйсмана [48], Хокена, Готлиба, Хансена [60], Лисейкина [74], Бэйкера [29]. Адаптивные методы построения подвижных сеток были описаны в [61], [122].
Методы построения неструктурных сеток были рассмотрены в работах [И], [28], [29], [34], [51], [52], [62], [89], [103], [113]. Подробное описание структурных и неструктурных методов дано в обзоре [113].
Применение результратов тензорной и дифференциальной геометрии к методам построения сеток впервые было представлено в работах Эйсмана (1980) [46] и Варси (1981) [115]. Геометрические инварианты для описания качественных свойств сеток впервые были введены в статье Джакотте (1987) [65]. Безразмерные геометрические характеристики для двумерных сеточных ячеек были впервые предложены в работе Прокопова (1989) [19]. Различные критерии качества сеток были рассмотрены в работах [26], [27], [41], [43], [50], [67], [79], [99].
Наиболее эффективными среди сеток являются сетки, полученные взаимно однозначным преобразованием s() : Нп —> Sn, которое отображает границу вычислительной области Еп на границу параметрической области Sn. Такие сетки называются согласованными с границей. Согласованная с границей сетка обычно строится сначала на выбранных ребрах, затем на гранях и, наконец, внутри области. Поэтому на каждом шаге преобразование s() известно на границе области, и это граничное преобразование продолжается с границы во внутреннюю часть области. Этот процесс аналогичен интерполяции функции по ее граничным значениям или решению краевой задачи Дирихле. На этой основе были разработаны три базисные группы методов нахождения отображения s() : Еп —У Sn, при заданном граничном преобразовании <9s() : дЕп —» dSn : — это алгебраические, дифференциальные и вариационные методы.
Алгебраические методы как правило используются для построения сеток в областях с гладкими и не сильно деформированными границами или для задания начального приближения в итерационном процессе построения сеток, основанном на эллиптическом методе. Простейшие двумерные интерполяционные формулы были предложены в работах [22], [39]. Стандартные формулы многомерной трансфинитной интерполяции были опи-
саны в работах Гордона (1969) [56], [57]. Конструирование координатных преобразований при помощи формул трансфинитной интерполяции было впервые было предложено в работах Гордона (1973, 1982) [58], [59]. Интерполяция Эрмита была представлена в [91]. Подробный обзор интерполяций Лагранжа и Эрмита представлен в монографии [75]. Исследование и описание алгебраических методов проводится также в работах [46], [49], [75], [90], [92], [112].
Для построения сеток в областях и на поверхностях с произвольной границей обычно используются дифференциальные методы, основанные на решении эллиптических и параболических уравнений. Такие уравнения позволяют получать гладкие сетки; они учитывают распределение узлов сетки на границе физической геометрии, не распространяют граничные изломы внутрь; для них существует меньшая опасность перекрывания ячеек сетки и их можно эффективно решать различными хорошо разработанными методами. Использование параболических и эллиптических систем позволяет получать ортогональные и сгущающиеся координатные сеточные линии, причем во многих случаях принцип максимума, который, как правило,выполняется для этих систем, гарантирует невырожденность промежуточного преобразования. Эллиптические уравнения также используются для сглаживания неструктурных сеток или сеток, полученных алгебраическими и гиперболическими методами.
Гиперболические уравнения позволяют использовать маршевые методы и конструировать ортогональные координатные системы. Однако методы, основанные на решении гиперболических уравнений, не всегда математически корректны, и, кроме того, они не применимы в случае, когда граничные узлы сетки заданы на всей границе. Поэтому гиперболические методы в основном используются для простых областей с выделенными боковыми
гранями, для которых не требуется никакого специального распределения узлов.
Двумерная система уравнений Лапласа, записанная относительно параметрических координат, была предложена в работах Годунова, Прокопова (1967) [5], Барфилда (1970) [30], Амсдена, Хирта (1973) [23]. Общая эллиптическая система для построения структурных сеток сеток была рассмотрена Чу [37]. Двумерная система обращенных уравнений Лапласа была предложена Кроули (1962) [42], Винслоу (1967) [120].
Двумерная система уравнений диффузии для построения адаптивных сеток была введена в работах Данаева, Лисейкина, Яненко (1980) [9], Винслоу (1981) [121] и развивалась в работах [48], [86].
Метод построения адаптивных сеток на основе обращенных уравнений Бельтрами и диффузии относительно мониторных метрик подробно описан в монографиях Лисейкина (1999, 2004) [75], [77] и является естественным продолжением подходов, предложенных в работах Кроули (1962) [42], Винслоу (1967) [120], Годунова, Прокопова (1967) [5], Варси (1981) [115] и Двински (1991) [44]. Метод эквираспределения для построения сеток применяется в работах [18], [68].
Система уравнений Пуассона была предложена Годуновым, Прокопо-вым (1972) [6] в предположении, что ее решение является композицией конформного и растягивающего преобразований. Более общая система Пуассона была обоснована в монографиях Томпсона, Тэймса, Мастина (1974) [110] и Томпсона, Варси, Мастина (1985) [112]. Разработка методов управления сеточными свойствами при помощи уравнений Пуассона проводилась в работах [98], [105], [102], [114], [119], [116]. Обращенные уравнения Пуассона для построения ортогональных сеток используются в работах [72], [93].
Метод построения сеток на гладких поверхностях, заданных в аналити-
ческом виде z — f(x,y), при помощи квази-двумерной эллиптической системы, полученной проецированием трехмерной обращенной системы Лапласа, был предложен в [104]. Этот метод развивается в работах [101], [117] для произвольных поверхностей, заданных в параметрическом виде. Метод построения адаптивных сеток на поверхностях, заданных параметрически, при помощи общих уравнений Пуассона рассматривается в [71]. В работах [12], [73] эллиптическая система, полученная из вариационного принципа, дает п—мерные гармонические координатные преобразования, которые используются для построения равномерных и адаптивных сеток на поверхностях. Гармонические отображения для построения сеток на поверхностях при помощи эллиптической системы также были использованы в [25]. Метод конформных отображений для построения сеток на поверхностях предложен в [69].
Первый систематический анализ использования двумерных гиперболических уравнений для построения сеток был проведен в работах [94], [96]. Этот метод развивается в работах [40], [66]. Обобщение на трехмерный случай проводится в [36], [97], [100]. Гиперболический метод для построения сеток на поверхностях разрабатывается в [35], [95].
Метод построения двумерных сеток при помощи параболической схемы, аппроксимирующей обращенные уравнения Пуассона, был впервые предложен в работе [81], вариация этого метода разработана в [83]. Развитие метода для построения адаптивных сеток было проведено в [45], [84].
Комбинация гиперболической и параболической схем предложена в [82].
Также популярными являются методы построения сеток, базирующиеся на вариационных подходах. Основная задача вариационного подхода заключается в том, чтобы описать все важные характеристики искомой сетки в подходящей функциональной форме и составить комбинирован-
ный функционал, который обеспечил бы корректную задачу минимизации. Функционал энергии в метрике вычислительной области Нп был предложен Годуновым, Прокоповым (1967) [5]. Исследованию и развитию этого подхода посвящены работы [3], [7], [38]. Вариационный принцип для построения адаптивных сеток использовался в работах [9], [10], [17], [31], [33], [53], [64], [63]. Вариационная формулировка сеточных свойств описана в [118].
Диссертационная работа посвящена исследованию обращенных уравнений Бельтрами и диффузии применительно к построению адаптивных сеток. Адаптивные сетки находят широкое применение при решении различных задач математической физики. Они позволяют существенно повысить скорость и надежность решения задач и получать результаты высокой точности даже при сравнительно небольшом количестве узлов сетки. Высокая точность достигается благодаря увеличению концентрации узлов сетки в зонах расположения особенностей исследуемого явления. При этом одной из важнейших проблем при построении адаптивных сеток является также проблема управления свойствами сеток, такими как гладкость, ортогональность, соответствие граничным условиям, направленность координатных линий вдоль заданного векторного поля, адаптация к изменяющемуся со временем решению и т.д.
Метод построения адаптивных сеток на основе обращенных уравнений Бельтрами и диффузии позволяет в единообразной форме строить адаптивные сетки в областях с произвольной размерностью и на их границе. Управление свойствами сетки осуществляется при помощи мониторной метрики, входящей в уравнения Бельтрами и диффузии. Она определяется через переменные физической задачи, геометрические характеристики физической области или поверхности, заданные векторные поля и т.п., то есть через величины, по отношению к которым должна адаптироваться сет-
ка. Изучение взаимосвязей между мониторными метриками и геометрическими свойствами сеток позволит более эффективно и автоматизированно управлять сеткой и получать более качественную адаптацию к решению физической задачи. Большую роль в задании мониторных метрик имеют сингулярные функции, которые описывают качественное поведение решений сингулярно-возмущеных задач, имеющие узкие зоны (слои), в которых градиенты решения резко изменяются. Сингулярные функции подходят для определения весовых и мониторных функций, которые либо задают саму метрику, либо определяют вклад индивидуальных метрик в общую формулу.
Системы уравнений Бельтрами и диффузии обладают следующими достоинствами:
Краевая задача Дирихле для уравнений Бельтрами и диффузии корректна, поскольку они являются линейными и эллиптическими.
Уравнения Бельтрами в отличии от уравнения Пуассона и двумерных уравнений диффузии инвариантны относительно выбора координатной системы, что гарантирует построение такой же сетки независимо от выбора параметризации физической геометрии.
Для уравнений Бельтрами и диффузии выполняется принцип максимума, поэтому для выпуклой вычислительной области узлы сетки будут гарантированно попадать внутрь физической геометрии.
В двумерном случае для уравнений Бельтрами выполняется теорема Радо, согласно которой сеточные преобразования, полученные решение уравнений Бельтрами будут невырожденными, если вычислительная область выпукла. Уравнения Пуассона и двумерные уравнения диффузии не дают гарантии невырожденности решения.
С помощью мониторной метрики реализуются произвольные невы-
рожденные сеточные преобразования.
Поскольку уравнения Бельтрами популярны в теории Римановой геометрии, то многие их свойства уже изучены специалистами геометрами, что позволяет более эффективно формулировать мониторные метрики.
Уравнения Бельтрами эквивалентны уравнениям Эйлера-Лагранжа для функционала энергии.
Система уравнений Бельтрами и диффузии позволяет единообразно строить сетки в областях и на поверхностях произвольной размерности.
Такие достоинства уравнений Бельтрами и диффузии свидетельствуют об их высоком потенциале для построения разностных сеток с помощью численного решения краевой задачи Дирихле. Поэтому аналитические и численные исследования этих уравнений имеют большое значение как для развития методов построения сеток в целом, так и для решения прикладных задач математической физики.
Целью диссертационной работы являляется
Проведение теоретических и численных исследований по нахождению мониторных метрик в уравнениях Бельтрами и диффузии для построения сеток с различными видами адаптации.
Проведение теоретических и численных исследований по применению сингулярных функций для построения адаптивных сеток.
Создание алгоритма построения адаптивных сеток с помощью мониторных метрик, входящих в обращенные уравнения Бельтрами и диффузии, и его реализация в виде комплекса компьютерных программ.
Результаты исследования модели построения сеток на основе уравнений Бельтрами и диффузии являются существенным вкладом в развитие геометрических методов управления свойствами сеток, в решение проблемы взаимосвязей мониторных метрик и качественных свойств сеток, а также
раскрывают новые возможности применения сингулярных функций в методах построения сеток.
Разработанный комплекс программ можно эффективно использовать для построения адаптивных сеток при расчетах различных задач математической физики. В частности, метод построения согласованной с магнитным полем, ортогональной сетки в осесимметричном сечении камеры токамака может быть использован для расчетов течения плазмы.
В Главе 1 описывается математическая модель построения адаптивных сеток, основанная на решении обращенных уравнений Бельтрами и диффузии. Приводятся виды мониторных метрик, использующихся для построения сеток, адаптирующихся к градиентам функций, к значениям функций, согласованных с заданным векторным полем, сбалансированных сеток, а также формулы для определения ковариантных и контравариантных компонент и якобиана мониторной метрики.
В Главе 2 описывается алгоритм численного решения обращенных уравнений Бельтрами и диффузии для построения адаптивных сеток в одно-, дву- и трехмерном случае и программный инструментарий, используемый для проведения вычислительных экспериментов.
В Главе 3 представлены результаты исследования применения обращенных уравнений Бельтрами и диффузии для построения разностных сеток с различными видами адаптации. Представлены результаты численных экспериментов по построению разностных сеток, адаптирующихся к градиентам функций, к градиентам модельных функции, в двумерных областях и на поверхностях при помощи численного решения обращенных уравнений Бельтрами. Рассматриваются модельные задачи по построению сеток, адаптирующихся к значениям функции, в двумерных и трехмерных областях и на поверхностях при помощи уравнений диффузии. Исследуются
мониторные метрики для построения невырожденных согласованных с заданным модельным векторным полем сеток. Изучается проблема построения сбалансированных сеток, то есть сеток одновременно согласованных с заданным векторным полем и адаптирующимися к градиентам и/или значениям функций. Предлагается метод сглаживания блочных сеток. Кроме модельных задач, в Главе 3 метод применятеся для построения адаптивной разностной сетки, согласованной с магнитным полем, в осесимметричном сечении камеры токамака. Показано, что данная сетка обладает достаточно хорошей ортогональностью сеточных линий, необходимой для решения задач расчета течения плазмы.
В Главе 4 исследуются две одномерные бисингулярные задачи с негладкими коэффициентами перед первыми производными. Выводятся оценки на производные решений этих задач. Полученные оценки используются в качестве мониторных функций для построения адаптивных сеток, на которых были численно решаются эти задачи. Представлены результаты численных экспериментов, подтверждающих эффективность полученных оценок и самого метода.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Проведено исследование мониторных метрик и сингулярных функций для различных модельных задач, показавшее, что данные формулы можно успешно применять для построения адаптивных сеток. Построена разностная сетка, согласованная с линиями магнитного поля, в осесимметричном сечении камеры токамака. Показано, что данная сетка имеет хорошую степень ортогонализации сеточных линий, необходимую для расчета течения плазмы. На примере данной практической задачи подтверждена эффективность формулы мониторной метрики для построения сеток, согласованных с векторными полями, а также полезность использования сингулярных
функций.
Аналитически получены оценки на производные решений двух одномерных бисингулярных задач с негладкими коэффициентами при первых производных. Эти оценки были использованы в качестве мониторных метрик для построения адаптивной сетки, на которой были численно решены эти задачи.
Создан алгоритм построения адаптивных сеток с помощью мониторных метрик, входящих в обращенные уравнения Бельтрами и диффузии, и комплекс компыортерных программ, реализующий этот алгоритм.
Результаты работы докладывались на IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики и XIV Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики" (Абрау-Дюрсо, 2002), Международной конференции по вычислительной математике (Новосибирск, 2002, 2004), Всероссийской конференции "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления"(Москва, 2004), II Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященная памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2004), Division of Plasma Physics Meeting (Savannah, 2004), International Sherrwood Theory Meeting Stateline (Nevada, 2005), 17th IMACS World Congress Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation (Paris, 2005), European Physical Society Plasma Physics Conference (Spain, 2005), 18th Chemnitz FEM Symposium (Germany, Schoneck, 2005).
По результатам исследований опубликовано 10 работ.
Диссертационная работа была поддержана грантом № 03-2.8-826 для поддержки научно-исследовательской работы аспиратнов высших учебных
заведений Министерства образования и науки России, а также грантом Американского фонда гражданских исследований и разработок CRDF RU-M1-2579-NO-04.
Автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Владимиру Дмитриевичу Лисейкину.
Сеточные уравнения
Хотя уравнения Бельтрами являются универсальными, то есть любое невырожденное промежуточное преобразование (1.2) может быть найдено как обратное к решению этих уравнений, уравнения диффузии (1.5) позволяют в более простой форме, особенно при п = 2, реализовать необходимые сеточные свойства в различных зонах физической геометрии Sxn. Однако необходимо помнить, что при другой координатной системе vl,..., vn уравнения (1.5) эквивалентны д дР Qyj v Qyk где J = det(-7—:). Поэтому для получения такой же сетки в параметрических координатах v1,..., vn необходимо решать уже эту систему. -(4s(v)] Jgftrr) = 0, i,j, к = 1,...щ Краевая задача Дирихле для сеточных уравнений ставится относительно преобразования, обратного промежуточному преобразованию s() «s):S"- Sn, «s) = (8),..., (8)]. Для уравнений диффузии краевая задача Дирихле имеет вид: ADK1 S TF W S = j k=1 " ГИ = «las- = (s) : OS" - 9 " , p(s) = [ (8),..., (8)], или в покомпонентной форме (т.к. gs 0): 1{w{s)gJsk—T) = 0, і, j, к = 1,..., п , 8sJK v Js dsk (л -s (1.6) ?\dS"= Pl(s) , І = 1,...,71, где дїк — элементы контравариантного метрического тензора многообразия Мп в параметрических координатах s1,..., sn, gs = det ), dSn и dEn — границы Sn и En, соответственно, (p(s) — взаимно однозначное непрерывное отображение dSn на дЕп. Функции (s),... ,n(s), удовлетворяющие уравнениям (1.6), определяют криволинейную систему координат в Sn, Sxn и Мп. Эти криволинейные координаты в дальнейшем называются сеточными координатами.
Краевая задача (1.6) является краевой задачей для уравнений Бель-трами, если сделать замену w(s) = y/g . Задача Дирихле для уравнений Бельтрами в случае g%J = glJx, где glJx - (г? )-ый контравариантный элемент в параметрических координатах s1,..., sn физической геометрии Sxn, первоначально формулировалась для построения фиксированных сеток в областях [120] и на поверхностях [8], [115], [117].
Важно отметить, что поскольку значение оператора Бельтрами Дв[] не зависит от способа параметризации Мп, то и сетка в Мп, получаемая в результате решения краевой задачи для уравнений Бельтрами, не зависит от параметризации (при условии, конечно, что граничные условия в задаче Дирихле согласованы, т.е. при условии, что соответствие между границей логической области Нп и границей физической поверхности Sxn, в которой строится сетка, определяемое параметризацией и граничными условиями в задаче Дирихле, не зависит от параметризации).
Так как эллиптическая система уравнений (1.6) имеет дивергентную форму, то для ее решения выполняется принцип максимума. Это означает, что узлы сетки, получаемые решением уравнений (1.6), будут находится внутри Sxn, если вычислительная область Еп является выпуклой. Более того, при п = 2 для уравнений Бельтрами имеет место теорема Радо, из которой следует, что отображение (s), получаемое в результате решения краевой задачи Дирихле для уравнений Бельтрами с произвольной метрикой, является невырожденным, если область S2 выпуклая и (p(s) взаимно однозначно отображает границу 52 в границу Б2.
Сеточную модель можно также формулировать относительно промежуточного преобразования s(). Такая модель была предложена в работах [5] и [88].
Алгоритм построения сеток в двумерных областях
В качестве логической области Е2 будем использовать единичный квадрат: Е2 = {0 \ 2 1}. Пусть преобразование s(), необходимое для построения сетки в двумерной области S2 определено на границе вычислительной области Е2, т.е. задано отображение у «) : BE2 - OS2 , V = ( , Л (2-Ю) непрерывное на дЕ2 и гладкое на каждом сегменте границы дЕ2. Одномерное преобразование на каждом сегменте границы вычислительной области дЕ2 может быть найдено по алгоритму, описанному в разделе 2.1.1. В общем случае построение сетки в S2 основано на численном решении задачи Дирихле для системы обращенных уравнений диффузии (1.9):
Полагая в (2.11) w(s) = yfg , получаем краевую задачу для обращенных уравнений Бельтрами. Параболические уравнения Нелинейная краевая задача (2.11) решается итерационно. Для этого задача (2.11) заменяется на следующую параболическую задачу относитель 48 но функций sl(\2,), і = 1,2 : — = дРЯ d s% pi і r, n = 1 2 s«, ) = «). Є 9Е2, 0, (2-13) s«,0) = SoK), S2.
Решение s(, ) задачи (2.13) стремится к решению задачи (2.11) при t -» со. Поэтому приближенное решение (2.11) получается из решения (2.13), вычисленного для некоторого достаточно большого значения t = То. Начальное приближение Начальное приближение s(?0) = s0():H2- S2. может быть найдено как продолжение граничных значений () = [VHOJ У2(0] в0 ВНУТРЬ области Е2, например, при помощи формул двумерной трансфинитной интерполяции Лагранжа. Сетка на поверхности строится аналогичным образом при помощи решения краевой задачи (2.11) относительно мопиторпой метрики gfj над двумерной поверхностью Sx2, заданной параметризацией x(s) : S2 - R3 , х = (х\ х2, х3) , s = (s1, s2) . (2.34)
Так же как и в случае двумерной области в качестве вычислительной области Е2 выбирается единичный квадрат. Также предполагается, что граничное отображение «) : дБ2 - dS2 , p = ( pW), является непрерывным на границе дБ2 и гладким на каждом сегменте границы дБ2. Это отображение может быть определено в узлах на границе дБ2, например, при помощи алгоритма, описанного в разделе 2.1.1. Сетка на Sx2 получается отображением x(s) узлов сетки, вычисленных в 52 при помощи численного решения задачи Дирихле относительно s() для сеточных уравнений (2.11).
Для построения сеток в трехмерной области 53 С R3 с использованием мониторной метрики gfj, i,j = 1,2,3 решается краевая задача для обращенных уравнений Бельтрами (1.10), в которой уравнения домножаются на квадрат якобиана J2: где dsj+1 dsj+2 dsi+1 д +2 pi = /_iw+i j_2_( nm(21 21 21 21 ї i,j,m = 1,2,3, aPqi PiQ = li2,3, определяется по формуле (2.36). Аналогично (2.11), решение задачи (2.37) находится как предел при t — оо решения соответствующей параболической задачи -il. = apq—4 r - Pl , г,р,q= 1,2,3, dt дрдр s«, ) = V«), tedE , t 0, (2.39) sK,0) = so«), єН3.
Начальное приближение Начальное приближение s(,0) = s0():H3 S3. может быть найдено при помощи распространения граничных значений () во внутрь области Н3, например, по формуле трансфинитной интерполяции Лагранжа. В самом простом случае для весовых функций aoj(s) = Х s aij(s) = s находим: гі(Є,Є, Є) = (і- V(o, Є, Є) + У (і, Є, Є), -m\ о, є)]+еш\ і, є) - т\ і, аі, (2-4) К1, 2, 3) = К1, 2,?) + (і - Є)№(Є,Є,о) -ІЗ К1, 2, о)] + fV K1, Є2, і) - К1, 2, і)], і = і, 2, з, Итерационная схема Итерационная схема для решения задачи (2.39) формулируется аналогично двумерному случаю, описанному формулами (2.17-2.20), то есть сводится к разбиению процесса решения на серию одномерных алгоритмов. Для удобства введем новые переменные
Разностные сетки, адаптирующиеся к значениям функции
В этом разделе рассматриваются модельные задачи по построению сеток, адаптирующихся к значениям функции, в двумерных и трехмерных областях и на поверхностях.
Для уравнений Бельтрами в двумерном случае пока не найдена мони-торная метрика, реализующая адаптацию к значениям функции, в то время как для уравнений диффузии она известна и имеет простой вид. Поэтому для построения таких сеток численно решались обращенные уравнения диффузии в виде (1.9), при w(s) = 1, по алгоритму, описанному в разделе 2.2.
В качестве мониторных функций при численных расчетах использовались комбинации сингулярных функций, так чтобы результирующая функция имела экстремум в окрестности заданной кривой ipi(s) = 0.
В этом разделе исследуются мониторные метрики для построения невырожденных согласованных с заданным модельным векторным полем сеток. Степень согласованности определяется при помощи вычисления угла отклонения сеточных линий от векторного поля. Рассматриваются примеры векторных полей имеющих точки вырождения. Для таких полей невозможно строить невырожденные сетки, полностью согласованные с этими полями. Однако, можно построить невырожденные сетки, имеющие зоны, в которых с полем согласованы линии одного сеточного семейства, зоны согласованности с линиями второго сеточного семейства, и достаточно узкие переходные зоны. В качестве мониторных функций для построения таких сеток использовались сингулярные функции, близкие к нулю во всей области, за исключением окрестности точки вырождения ПОЛЯ.
Для построения разностных сеток, согласованных с векторными поля ми, использовались уравнения (1.35) для I = 2, которые решались численно в прямоугольной двумерной физической области X2. При этом предпола галось, что S2 = X2 и Е2 - квадрат с равномерной сеткой. Модельные векторные поля Bi и Вг в (1.17) определялись по следующим формулам: R _, дд дд _ ъ_(д9 дд где g(s) - модельная функция. Векторное поле Bi, заданное в этом виде удовлетворяет естественному условию для магнитных полей: divB\ = 0.
Модельная функция g(s) выбиралась таким образом, чтобы ее интегральные линии имели сходство с линиями реального магнитного поля, такого как на Рис. 3.10.
Для построения сетки, согласованной с векторным полем Bi , мы по лагали: к 0 — 0.1, а в качестве 6(s) брали функцию, которая принимает малые положительные значения при Bi 1 и e(s) 1 при Bi = 0. Такое условие на e(s) обусловлено тем, что сеточные ячейки становятся малыми в точках, в которых элементы glJ малы. Функции e(s), удовлетворяющие этим свойствам, определялись через базисные сингулярные функции (1.41-1.43):
Такие сингулярные функции помогают решению уравнений (1.35) переходить с одного режима согласованности на другой.
Угол отклонения векторного поля В от нормали к координатной гиперповерхности 1 = const может выражен из критерия согласованности (1.32) и формулы скалярного произведения векторов: д1 д1 \ dsl dsi вгв cos о; = \B\\grade\ На Рис. 3.11—3.13 слева представлены интегральные линии функций g(s), в центре - полученные сетки, а справа цветом показан угол отклонения а сеточных линий горизонтального сеточного семейства х от данного векторного поля (темно синий цвет означает ноль, темно красный - 90 градусов). 7(s) = v(s2)(l - (s2)) 1 - 0.5)2 - 6(v(s2) - 0.5)2], Рис. 3.11 s2(l - s2)[(s2 - 0.5)2 - 0.64( 1 - 0.5)2] + 2 (82 - 0.5)4 + 0.4, Рис. 3.13 Необходимо отметить, что для таких векторных полей невозможно построить невырожденную сетку, полностью согласованную с этими полями. В данных примерах представлены невырожденные сетки, у которых есть
Разностные сетки, согласованные с модельным векторным полем
Этот пункт посвящен исследованию практической задачи построения разностной сетки в осесимметричном сечении камеры токамака. Для расчета течения плазмы в токамаке требуется, чтобы линии одного сеточного семейства являлись касательными к вектору магнитного поля, а линии второго сеточного семейства были ортогональны вектору магнитного поля, то есть требуется согласованная с векторным полем ортогональная сетка.
На Рис. 3.19 слева изображена конструкция токамак, внутри которой находится плазма, удерживаемая магнитным полем. На Рис. 3.19 в центре представлены линии магнитного поля в осесимметричном сечении камеры токамака. Такое магнитное поле имеет особую точку ЛГ, в которой оно вырождается. В этой точке магнитная линия, называемая сепаратриссой, пересекает сама себя. Справа на Рис. 3.19 показана сетка, построенная в 1987 г. М. Петравиком [85]. Несмотря на то, что узлы на границе сгущаются возле сепаратриссы, в окрестности особой точки X сетка разрежается, то есть отходит от линий магнитного поля.
На Рис. 3.20 показана схема представления топологии сечения токамака. В качестве вычислительной области берется прямоугольник с двумя разрезами. Сепаратрисса разделяет его на две части - внешнюю (scrape-off layer -1-й блок) и внутреннюю, которая разделяется разрезами на 2-й (core) и 3-й блок (privet flux). Магнитные линии во 2-ом блоке самозамыкаются, в нем необходимо строить сетку О-типа. Несмотря на то, что в вычислительной области 3-й блок разделен на части разрезами, он считается единым, а узлы по обе стороны от 2-го блока считаются соседними. Таким образом, при построении адаптивной сетки в сечении камеры токамака предполагается, что есть только одна линия склейки, по которой происходит замыкание линий второго блока. Для получения гладких сеточных линий в этой зоне использовался алгоритм сглаживания, который описан в разделе 3.5.
Аналогичная структура для задания топологии была предложена в [87] с тем отличием, что блок privet flux считался разделенным на два блока, то есть оба разреза считались действительными (Рис. 3.21).
Начальные данные для задачи построения адаптивной сетки, согласо ванной с магнитным полем, в токамаке были предоставлены Аланом Глас-сером, руководителем группы физики плазмы в Л ос Аламосской Национальной Лаборатории. Начальная сетка представлена на Рис. 3.22 слева. Узлы начальной сетки распределены равномерно вдоль магнитных линий. Таким образом, начальная сетка является идеально согласованной с заданным магнитным полем, но при этом не является ортогональной и гладкой. Разностная сетка строилась при помощи численного решения уравнений (1.8) с мониторной метрикой (1.17) (S = е(8Щ + В{В{ + кЩВІ t,j = l,2, где е(8) = 0.ооіМв±1), вав,. В2І = Ві, к = ол.
При использовании обычной эйлеровой метрики glJ = 5j получалась сетка с сильным разрежением в окрестности особой точки X.
Был использован численный алгоритм, описанный в разделе 2.2, адаптированный к топологии токамака согласно схеме, отображенной на
В схеме стабилизирующей добавки движение по горизонтали было разбито на три блока (соответствено Рис. 3.20), а движение по вертикали шло по всей вычислительной области за исключением разреза в блоке core и особой точки X. Точка X оставалась фиксированной, а узлы на линии склейки в блоке core пересчитывались после каждой итерации по алгоритму сглаживания для блочных сеток (см. раздел 3.5). Значение магнитного поля в узлах сетки на каждой итерации вычислялось при помощи линейной интерполяции.
