Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Моделирование локальных атмосферных процессов 9
1.1. Развитие мезомасштабных моделей в исследовании атмосферных процессов 9
1.2. Структура атмосферного пограничного слоя и проблемы его исследования 14
1.3. Основные уравнения мезомасштабных метеорологических моделей 18
1.4. Выбор системы координат 28
1.5. Начальные и граничные условия. Параметризация взаимодействия атмосферы с подстилающей поверхностью 30
1.6. Моделирование турбулентного переноса 34
1.7. Параметризация влагообмена и радиационного переноса в атмосферном пограничном слое 38
1.8. Численные схемы, применяемые в моделях атмосферы 41
1.9. Выводы 45
Глава 2. Мезомасштабная модель атмосферных процессов над поверхностью с неоднородными свойствами 46
2.1. Основные уравнения модели 46
2.2. Моделирование турбулентного переноса 49
2.3. Начальные и граничные условия 50
2.4. Параметризация радиационного переноса тепла 53
2.5. Параметризация влагообмена 56
2.6. Выводы 58
Глава 3. Метод решения 59
3.1. Преобразование координат 59
3.2. Построение вычислительной сетки 60
3.3. Получение конечно-разностных уравнений методом конечного объема 61
3.4. Аппроксимация нестационарного уравнения переноса 69
3.5. Устойчивость численных схем 71
3.6. Алгоритм расчета давления, согласованного со скоростью ветра 74
3.7. Решение сеточных уравнений 76
3.8. Тестирование расчетной схемы 78
3.9. Выводы 82
Глава 4. Параллельная реализация метода решения 83
4.1. Различные способы параллельной реализации мезомасштабных моделей атмосферы 83
4.2. Декомпозиция расчетной области 85
4.3. Обеспечение коммуникационных обменов 87
4.4. Параллельное решение сеточных уравнений методом Булеева 88
4.5. Оценки эффективности параллельной реализации вычислительного алгоритма 92
4.6. Выводы 94
Глава 5. Результаты расчетов атмосферных процессов 95
5.1. Вангара-эксперимент 95
5.2. Эризунд-эксперимент 98
5.3. Бризовая циркуляция 101
5.4. Формирование горных подветренных волн 104
5.5. Численное исследование горно-долинных и бризовых циркуляции 108
5.6. Численное исследование динамики атмосферного пограничного слоя для условий г. Томска 115
5.7. Выбор схемы аппроксимации нестационарных уравнений динамики АПС 119
5.8. Выводы 121
Заключение 122
Библиографический список использованной литературы 124
Приложение
- Структура атмосферного пограничного слоя и проблемы его исследования
- Моделирование турбулентного переноса
- Получение конечно-разностных уравнений методом конечного объема
- Параллельное решение сеточных уравнений методом Булеева
Введение к работе
Изучение атмосферных процессов, происходящих в планетарном пограничном слое, является важной задачей, поскольку именно в этой части атмосферы наиболее интенсивно протекают термодинамические процессы; здесь же сосредоточена основная биологическая активность живых организмов и производственная деятельность человека. На сегодняшний день одним из основных инструментов в исследовании атмосферы, наряду с метеорологическими наблюдениями, является математическое моделирование.
Мезомасштабные (или локальные) модели атмосферы, активно развивающиеся последние четыре десятилетия, находят свое применение для решения различных прикладных задач: локальный прогноз погоды, изучение формирования атмосферных циркуляции, образования туманов и облачности, распространения примесей и их трансформации.
Сложность и взаимосвязанность процессов, происходящих в турбулентном атмосферном пограничном слое, изменчивость условий на границах сред делают атмосферные модели громоздкими с повышенными требованиями к вычислительным ресурсам. Перспективным способом решения этих проблем является применение эффективных численных схем высокого порядка точности и использование при проведении вычислений компьютеров с параллельной архитектурой.
Современные мезомасштабные модели атмосферы далеки от завершенности, и с развитием компьютерной техники, в перспективе, как представляется, будет происходить как усложнение самих моделей с точки зрения полноты представления рассматриваемых процессов, так и повышение их разрешающей способности.
Целью работы является построение эффективных численных алгоритмов решения уравнений гидротермодинамики планетарного пограничного слоя с использованием многопроцессорной вычислительной техники для исследования локальных мезомасштабных атмосферных процессов над поверхностью с неоднородными свойствами.
Для достижения данной цели сформулированы следующие основные задачи исследования:
- построение мезомасштабной математической модели локальных атмосферных процессов;
- разработка и применение усовершенствованных численных методов
решения уравнений гидротермодинамики атмосферного пограничного слоя;
исследование эффективности различных способов параллельной реализации разработанных алгоритмов;
численное исследование локальных атмосферных процессов над поверхностью с неоднородными свойствами.
Научная новизна полученных автором результатов заключается в следующем:
разработана новая неявная итерационная вычислительная процедура для решения задач пограничного слоя атмосферы с использованием многопроцессорной вьиислительнои техники с распределенной памятью; показана ее эффективность по сравнению с применяемыми в настоящее время в мезомас-штабных моделях явно-неявными разностными схемами;
предложена новая эффективная модификация явного метода Булеева для параллельного решения сеточных адвективно-диффузионных уравнений на многопроцессорной технике.
Практическая значимость работы определяется тем, что созданные алгоритмы параллельного решения многомерных нестационарных уравнений гидротермодинамики атмосферного пограничного слоя позволяют с меньшими вычислительными затратами и более высоким пространственным разрешением получить распределение метеорологических параметров. Разработанные в работе математическая модель и метод расчета используются в созданной в Томском государственном университете совместно с Институтом оптики атмосферы СО РАН компьютерной моделирующей системе исследования качества атмосферного воздуха над крупным индустриальным центром.
Работа выполнялась в соответствии с основными направлениями НИР Томского государственного университета в рамках темы 1.02.04 ЕЗН Министерства образования РФ, а также по научным проектам, поддержанных грантами программы INCO COPERNICUS 2 Европейской комиссии (№ ICA2-CT-10024), РФФИ (№ 98-01-03017, № 04-07-90219), Министерства образования (№А03-2.8-693).
Материалы проведенных исследований включены в программу читаемого в 11 У на механико-математическом факультете специального курса лекций.
Разработанный программный комплекс, реализованный на основе предложенных в диссертационной работе мезомасштабной модели и параллельных
методов решения, передан в использование в Сибирский центр климато-экологических исследований и образования (SCERT).
Обоснованность научных положений и выводов, сделанных в диссертационной работе, следует из адекватности физических и математических моделей, используемых в работе, что подтверждается сравнением с результатами экспериментов, а также с известными теоретическими и экспериментальными данными других авторов.
На защиту выносятся:
алгоритм параллельного решения уравнений локальной гидротермодинамики атмосферного пограничного слоя над поверхностью с неоднородными свойствами;
алгоритм параллельного решения дискретных аналогов адвективно-диффузионных уравнений;
результаты моделирования локальных атмосферных процессов в планетарном пограничном слое над поверхностью с неоднородными свойствами.
Основные результаты диссертации доложены соискателем на 11 международных, 12 всероссийских и 6 региональных конференциях и полностью представлены в следующих опубликованных работах: [9, 10, 16-22 , 66-69, 140].
Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения.
Первая глава посвящена общим вопросам теории локальных атмосферных процессов, а также проблемам их математического моделирования. После исторического обзора развития мезомасштабных моделей атмосферного пограничного слоя и краткой характеристики некоторых современных моделей следует описание объекта исследования — атмосферного пограничного слоя, и формулируются основные проблемы, возникающие при его численном моделировании. Далее, на основании принятой физической модели атмосферы, приводится система дифференциальных уравнений, описывающая динамические и термодинамические процессы, происходящие в пограничном слое. С использованием литературных источников в первой главе поэтапно обозреваются вопросы, связанные с переходом к системе уравнений для осредненных величин, с проблемой турбулентного замыкания, с существующими подходами задания граничных и начальных условий, с параметризацией взаимодействия атмосферы с поверхностью Земли, а также радиационного переноса тепла в ат-
7 мосфере и микрофизики влажности. В заключительной части главы формулируются основные подходы к численной реализации атмосферных моделей.
Вторая глава представляет математическую формулировку двумерной мезомасштабной модели атмосферы, которая была построена на основании проведенного обзора литературных источников с обоснованием предпочтительности того или иного подхода. Модель включает в себя полные уравнения гидродинамики (Навье-Стокса) в приближении Буссинеска, уравнения переноса тепла и влажности, двухпараметрическую «k—l» модель турбулентности, а также соотношения, определяющие процессы радиационного переноса тепла в атмосфере и микрофизику «теплого дождя». Приводится описание взаимодействия атмосферы с поверхностью Земли на основе теории подобия Монина-Обухова.
В третьей главе представлен численный метод решения поставленной задачи, опирающийся на метод конечного объема. Исходная система дифференциальных уравнений подвергается преобразованию координат с целью учета неоднородностей рельефа Земли, после чего производится дискретизация исходной дифференциальной задачи и получение ее конечно-разностного аналога. Конечно-разностная схема исследуется с точки зрения порядка аппроксимации и устойчивости. Представлено описание метода согласования полей скорости и давления, необходимого при решении уравнений гидродинамики. В конце главы приведены результаты тестирования вычислительного алгоритма с использованием экспериментальных данных, соответствующих задачам течения газа в канале с обратным уступом и жидкости в каверне с движущейся крышкой.
В четвертой главе, посвященной описанию технологии организации параллельных расчетов, рассматриваются вопросы распределения вычислительной нагрузки между процессорами (декомпозиция задачи) и обсуждается принятая методика осуществления обменов между параллельно выполняющимися процессами. Приводится описание схемы параллельной реализации математической модели, представлены результаты эффективности параллельной реализации на различных вычислительных комплексах. Отдельно исследован вопрос о применении метода параллельного решения сеточных уравнений - разностных аналогов адвективно-диффузионных уравнений, опирающегося на явный метод Булеева.
Пятая глава представляет результаты численного предсказания ряда атмосферных экспериментов, показывающих адекватность использованной математической модели реальным атмосферным процессам; также в главе содержатся примеры использования модели. Тестирование математической модели производилось на задаче динамики пограничного слоя над однородной поверхностью (Вангара-эксперимент), на задаче влияния неоднородностей плоской подстилающей поверхности в условиях существенного адвективного переноса (Эризунд-эксперимент), на задаче развития бризовой циркуляции, а также на задаче формирования подветренных волн с учетом образования облачности. В качестве примеров использования модели приводятся результаты расчетов для модельных случаев, соответствующих формированию атмосферных циркуляции над поверхностью с неоднородными свойствами; кроме того, приводятся результаты расчетов, полученные на основе реальных метеорологических данных для условий г. Томска.
В заключении приведены основные выводы по результатам диссертационного исследования.
Структура атмосферного пограничного слоя и проблемы его исследования
Воздушные массы постоянно перемещаются вокруг земного шара. Основной причиной атмосферных движений является неоднородность нагревания различных участков поверхности Земли и атмосферы. Подъем теплого и опускание холодного воздуха на вращающейся Земле сопровождается формированием циркуляционных систем различного масштаба.
В процессах взаимодействия с поверхностью Земли участвует только нижний 10-километровый слой атмосферы, называемый тропосферой. Для интервалов времени порядка суток влияние земной поверхности ограничено значительно более тонким слоем, называемым планетарным (или атмосферным) пограничным слоем (АПС). Следует оговориться, что под ограниченностью влияния понимается то, что выше верхней границы АПС воздушный поток практически не испытывает возмущений под влиянием неоднородностей поверхности Земли (например, рельефа). При этом, разумеется, влияние самой Земли (как планеты на свою атмосферу) является определяющим.
АПС характеризуется хорошо развитым перемешиванием (турбулентным обменом), генерируемым сопротивлением трения, возникающим при движении нижних слоев воздуха по неровной шероховатой поверхности Земли, и воздушными частицами, всплывающими от нагретой поверхности.
Наличие в атмосфере водяного пара вносит существенный вклад в формирование теплового баланса атмосферы, а почти вся атмосферная влага со средоточена именно в АПС. В атмосфере и на подстилающей поверхности идут процессы выделения и поглощения значительного количества тепла, связанные с переходом воды из одного агрегатного состояния в другие. Влага воздуха перемещается в атмосфере, и тепло, затраченное на испарение этой влаги (скрытое тепло), переносится вместе с ней. Скрытое тепло может выделяться в результате конденсации влаги в областях пространства, существенно удаленных от областей, где эта влага была испарена. Помимо этого, наличие облачности кардинальным образом сказывается на количестве солнечной энергии, падающей на поверхность Земли. Все эти обстоятельства указывают на практическую невозможность рассмотрения термодинамических процессов в реальной атмосфере без учета влияния влажности.
Самые активные атмосферные термодинамические процессы протекают именно в АПС. Здесь же сосредоточена основная биологическая активность живых организмов и производственная деятельность человека. Именно поэтому знания о детальной структуре пограничного слоя и о процессах, в нем происходящих, представляются особенно важными.
Без привлечения методов математического моделирования исследователи атмосферы могли бы довольствоваться лишь скудными данными инструментальных измерений ее состояния. Сложный комплексный характер атмосферных процессов не позволяет определять все особенности зависимостей этих процессов друг от друга, основываясь лишь на данных измерений, и, тем более, предсказывать состояние атмосферы. Проведение экспериментов, подтверждающих или опровергающих те или иные атмосферные теории, невозможно осуществить в лаборатории, а потому, как правило, подобные эксперименты дороги и трудоемки, поскольку требуют привлечения большого количества технических средств. Обработка данных атмосферных экспериментов позволяет исследователям получать различные эмпирические зависимости, используемые математическими моделями.
Применение математического моделирования в изучении атмосферных процессов является основным инструментом решения практических задач. Однако и с позиций математического моделирования, проблема описания процессов, происходящих в АПС, представляется не самой простой. Следует отметить, что структура этого слоя крайне сложна. Неоднородность подстилающей поверхности (различия в шероховатости, альбедо, форме рельефа) и разнообразие атмосферных состояний приводят к большой изменчивости условий на границах этих сред; кроме того, нельзя забывать и о вращении Земли. Сложности, связанные с необходимостью учета всех этих факторов при моделировании, могли бы быть преодолены с помощью достаточно мощных компьютеров, если бы не то обстоятельство, что воздушные потоки в пограничном слое атмосферы почти всегда турбулентны. Турбулентность определяет ограниченность использования методов прямого моделирования и требует проведения осреднений и использования различных параметризаций.
Высота АПС непостоянна во времени и зависит от интенсивности турбулентного обмена, генерируемого в результате взаимодействия атмосферы с земной поверхностью [47, 62]. Днем, когда эта поверхность нагрета солнцем, тепло переносится вверх к более холодным слоям атмосферы. Из-за сильного перемешивания, обусловленного термическими причинами (конвекцией), пограничный слой может развиваться до высот в несколько километров. Обратная картина наблюдается ночью, когда поверхность Земли остывает быстрее, чем атмосфера, и поток тепла направлен вниз. Это приводит к подавлению процессов обмена, и толщина пограничного слоя в этих условиях может стать меньше 100 м.
Внутри пограничного слоя имеются два подслоя (рис. 1.1), особенности которых определяются структурой подстилающей поверхности. В непосредственном контакте с поверхностью находится ламинарный пограничный подслой, толщина которого не превышает нескольких миллиметров. Этот подслой нетурбулизованного воздуха примыкает ко всем поверхностям и служит буфером между этими поверхностями и расположенным сверху турбулентным приземным слоем. Последний характеризуется интенсивной мелкомасштабной турбулентностью, генерируемой шероховатостью подстилающей поверхности и конвекцией. Днем толщина этого слоя может достигать 50 м, а ночью уменьшаться до нескольких метров.
Приземный слой атмосферы, по соотношению действующих сил, характеризуется тем, что в нем отклоняющая сила вращения Земли пренебрежимо мала по сравне нию с силой тяжести, силой трения и силой, обусловленной градиентом давления. В этом слое, также называемом слоем постоянных потоков, скорость ветра всегда растет с высотой. Распределения скорости ветра, температуры и влажности характеризуются тем, что на верхней границе приземного слоя значения потоков количества движения, тепла и влаги отличаются от соответствующих значений на поверхности Земли не более чем на 10%.
Поле ветра в приземном слое в значительной степени определяется силами трения, возникающими при взаимодействии потока с шероховатой подстилающей поверхностью. Эти силы замедляют поток и обуславливают резкое уменьшение средней скорости ветра по мере приближения к поверхности. При отсутствии сильных термических воздействий толщина слоя, где сказывается сила трения, определяется шероховатостью поверхности. Толщина приземного слоя растет с увеличением высоты препятствий, создающих шероховатость. Поэтому градиент скорости ветра минимален над шероховатой поверхностью и максимален над гладкой. При сильном перегреве подстилающей поверхности высота приземного слоя возрастает, а при сильном охлаждении уменьшается.
Часто распределения осредненных по времени динамических и термодинамических параметров атмосферы определяют упорядоченные слоистые (но не ламинарные) течения в приземном слое. В таких случаях говорят о стратификации (лат. stratus — слой) атмосферы. Если конвективные процессы развивают слой, образованный силой трения, то имеет место конвективная (или неустойчивая) стратификация. Вертикальные токи стремятся разрушить упорядоченность горизонтального течения, вследствие чего турбулентный обмен возрастает. Противоположная ситуация, когда нисходящие потоки тепла подавляют слой, определяет устойчивую стратификацию.
Равенство температур поверхности Земли и приповерхностного воздуха формирует постоянное поле температуры, что соответствует нейтральной стратификации атмосферы. Такое состояние атмосферы, как правило, является переходным, но иногда оно может сохраняться и достаточно долго, как, например, в дневное время при сплошной облачности и сильном ветре.
Теоретической основой современных моделей динамики АПС являются законы сохранения массы, момента количества движения и энергии, которые вместе с термодинамическими соотношениями описывают процессы, протекающие в атмосфере и на поверхности Земли (в почве и в водоемах). В математическом выражении - это системы многомерных нелинейных дифференци альных уравнений в частных производных, решение которых в подавляющем большинстве случаев возможно лишь приближенно, численно, с использованием высокопроизводительной вычислительной техники.
Моделирование турбулентного переноса
Воздушные массы постоянно перемещаются вокруг земного шара. Основной причиной атмосферных движений является неоднородность нагревания различных участков поверхности Земли и атмосферы. Подъем теплого и опускание холодного воздуха на вращающейся Земле сопровождается формированием циркуляционных систем различного масштаба.
В процессах взаимодействия с поверхностью Земли участвует только нижний 10-километровый слой атмосферы, называемый тропосферой. Для интервалов времени порядка суток влияние земной поверхности ограничено значительно более тонким слоем, называемым планетарным (или атмосферным) пограничным слоем (АПС). Следует оговориться, что под ограниченностью влияния понимается то, что выше верхней границы АПС воздушный поток практически не испытывает возмущений под влиянием неоднородностей поверхности Земли (например, рельефа). При этом, разумеется, влияние самой Земли (как планеты на свою атмосферу) является определяющим.
АПС характеризуется хорошо развитым перемешиванием (турбулентным обменом), генерируемым сопротивлением трения, возникающим при движении нижних слоев воздуха по неровной шероховатой поверхности Земли, и воздушными частицами, всплывающими от нагретой поверхности.
Наличие в атмосфере водяного пара вносит существенный вклад в формирование теплового баланса атмосферы, а почти вся атмосферная влага со средоточена именно в АПС. В атмосфере и на подстилающей поверхности идут процессы выделения и поглощения значительного количества тепла, связанные с переходом воды из одного агрегатного состояния в другие. Влага воздуха перемещается в атмосфере, и тепло, затраченное на испарение этой влаги (скрытое тепло), переносится вместе с ней. Скрытое тепло может выделяться в результате конденсации влаги в областях пространства, существенно удаленных от областей, где эта влага была испарена. Помимо этого, наличие облачности кардинальным образом сказывается на количестве солнечной энергии, падающей на поверхность Земли. Все эти обстоятельства указывают на практическую невозможность рассмотрения термодинамических процессов в реальной атмосфере без учета влияния влажности.
Самые активные атмосферные термодинамические процессы протекают именно в АПС. Здесь же сосредоточена основная биологическая активность живых организмов и производственная деятельность человека. Именно поэтому знания о детальной структуре пограничного слоя и о процессах, в нем происходящих, представляются особенно важными.
Без привлечения методов математического моделирования исследователи атмосферы могли бы довольствоваться лишь скудными данными инструментальных измерений ее состояния. Сложный комплексный характер атмосферных процессов не позволяет определять все особенности зависимостей этих процессов друг от друга, основываясь лишь на данных измерений, и, тем более, предсказывать состояние атмосферы. Проведение экспериментов, подтверждающих или опровергающих те или иные атмосферные теории, невозможно осуществить в лаборатории, а потому, как правило, подобные эксперименты дороги и трудоемки, поскольку требуют привлечения большого количества технических средств. Обработка данных атмосферных экспериментов позволяет исследователям получать различные эмпирические зависимости, используемые математическими моделями.
Применение математического моделирования в изучении атмосферных процессов является основным инструментом решения практических задач. Однако и с позиций математического моделирования, проблема описания процессов, происходящих в АПС, представляется не самой простой. Следует отметить, что структура этого слоя крайне сложна. Неоднородность подстилающей поверхности (различия в шероховатости, альбедо, форме рельефа) и разнообразие атмосферных состояний приводят к большой изменчивости условий на границах этих сред; кроме того, нельзя забывать и о вращении Земли. Сложности, связанные с необходимостью учета всех этих факторов при моделировании, могли бы быть преодолены с помощью достаточно мощных компьютеров, если бы не то обстоятельство, что воздушные потоки в пограничном слое атмосферы почти всегда турбулентны. Турбулентность определяет ограниченность использования методов прямого моделирования и требует проведения осреднений и использования различных параметризаций.
Высота АПС непостоянна во времени и зависит от интенсивности турбулентного обмена, генерируемого в результате взаимодействия атмосферы с земной поверхностью [47, 62]. Днем, когда эта поверхность нагрета солнцем, тепло переносится вверх к более холодным слоям атмосферы. Из-за сильного перемешивания, обусловленного термическими причинами (конвекцией), пограничный слой может развиваться до высот в несколько километров. Обратная картина наблюдается ночью, когда поверхность Земли остывает быстрее, чем атмосфера, и поток тепла направлен вниз. Это приводит к подавлению процессов обмена, и толщина пограничного слоя в этих условиях может стать меньше 100 м.
Внутри пограничного слоя имеются два подслоя (рис. 1.1), особенности которых определяются структурой подстилающей поверхности. В непосредственном контакте с поверхностью находится ламинарный пограничный подслой, толщина которого не превышает нескольких миллиметров. Этот подслой нетурбулизованного воздуха примыкает ко всем поверхностям и служит буфером между этими поверхностями и расположенным сверху турбулентным приземным слоем. Последний характеризуется интенсивной мелкомасштабной турбулентностью, генерируемой шероховатостью подстилающей поверхности и конвекцией. Днем толщина этого слоя может достигать 50 м, а ночью уменьшаться до нескольких метров.
Приземный слой атмосферы, по соотношению действующих сил, характеризуется тем, что в нем отклоняющая сила вращения Земли пренебрежимо мала по сравне нию с силой тяжести, силой трения и силой, обусловленной градиентом давления. В этом слое, также называемом слоем постоянных потоков, скорость ветра всегда растет с высотой. Распределения скорости ветра, температуры и влажности характеризуются тем, что на верхней границе приземного слоя значения потоков количества движения, тепла и влаги отличаются от соответствующих значений на поверхности Земли не более чем на 10%.
Поле ветра в приземном слое в значительной степени определяется силами трения, возникающими при взаимодействии потока с шероховатой подстилающей поверхностью. Эти силы замедляют поток и обуславливают резкое уменьшение средней скорости ветра по мере приближения к поверхности. При отсутствии сильных термических воздействий толщина слоя, где сказывается сила трения, определяется шероховатостью поверхности. Толщина приземного слоя растет с увеличением высоты препятствий, создающих шероховатость. Поэтому градиент скорости ветра минимален над шероховатой поверхностью и максимален над гладкой. При сильном перегреве подстилающей поверхности высота приземного слоя возрастает, а при сильном охлаждении уменьшается.
Часто распределения осредненных по времени динамических и термодинамических параметров атмосферы определяют упорядоченные слоистые (но не ламинарные) течения в приземном слое. В таких случаях говорят о стратификации (лат. stratus — слой) атмосферы. Если конвективные процессы развивают слой, образованный силой трения, то имеет место конвективная (или неустойчивая) стратификация. Вертикальные токи стремятся разрушить упорядоченность горизонтального течения, вследствие чего турбулентный обмен возрастает. Противоположная ситуация, когда нисходящие потоки тепла подавляют слой, определяет устойчивую стратификацию.
Равенство температур поверхности Земли и приповерхностного воздуха формирует постоянное поле температуры, что соответствует нейтральной стратификации атмосферы. Такое состояние атмосферы, как правило, является переходным, но иногда оно может сохраняться и достаточно долго, как, например, в дневное время при сплошной облачности и сильном ветре.
Теоретической основой современных моделей динамики АПС являются законы сохранения массы, момента количества движения и энергии, которые вместе с термодинамическими соотношениями описывают процессы, протекающие в атмосфере и на поверхности Земли (в почве и в водоемах). В математическом выражении - это системы многомерных нелинейных дифференци альных уравнений в частных производных, решение которых в подавляющем большинстве случаев возможно лишь приближенно, численно, с использованием высокопроизводительной вычислительной техники.
Получение конечно-разностных уравнений методом конечного объема
Для исследования локальных атмосферных процессов, происходящих в планетарном пограничном слое над поверхностью с неоднородными свойствами (рельеф, шероховатость и теплофизические свойства поверхности), на основании проведенного анализа литературных источников, сформулирована негидростатическая мезомасштабная модель. Математическая модель включает в себя полные уравнения гидродинамики (Навье-Стокса), записанные в приближении Буссинеска. При турбулентном замыкании используется двухпарамет-рическая «к-1» модель турбулентности, опирающаяся на прогностические уравнения для кинетической энергии турбулентных пульсаций и интегрального масштаба турбулентности, а также алгебраические соотношения для коэффициентов турбулентной диффузии. Также модель содержит уравнения изменения количества тепла и влаги в атмосфере.
В модели микрофизики влажности, оперирующей с тремя видами атмосферной влаги - водяным паром, облачной и дождевой влагой — учитываются образование облачности и выпадение осадков в виде дождя. При моделировании радиационного переноса тепла параметризуются коротковолновая и длинноволновая радиация. Для определения температуры подстилающей поверхности решается уравнение теплопроводности вглубь почвы.
Кроме того, математическая модель рассматривает суточную динамику турбулентной структуры атмосферного пограничного слоя.
Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных, записанных в декартовых координатах, в областях сложной геометрии сопряжено с преодолением определенных вычислительных проблем, например, с удовлетворением краевых условий на криволинейных границах. Решение таких задач в значительной степени можно упростить, реализовав дополнительное преобразование координат, переводящее физическую область исследования со сложной геометрией в прямоугольную расчетную область. При этом дифференциальные уравнения математической постановки задачи в координатах вычислительного пространства преобразуется при помощи правил дифференцирования сложной функции [1, 132].
Обобщенное дифференциальное уравнение переноса скалярной функции Ф в двумерных декартовых координатах можно представить в виде: Левая часть уравнения (3.1) содержит нестационарный и конвективные, а правая - диффузионные и источниковый члены (нижние индексы обозначают производные по пространственным координатам и по времени, а Г , Гг представляют собой коэффициенты диффузии в соответствующих направлениях). Если переход от физических координат (x,z) к координатам вычислительной плоскости (,т) можно выразить следующим образом: где функции лг( ,Г) и z(,r) являются непрерывно дифференцируемыми в расчетной области, и якобиан преобразования координат J = x z — x z нигде в области не обращается в нуль, то производные по координатам JC, z выража ются через производные по координатам , г: С учетом введенных обозначений и G" = игц — wx , G" = wx — uz , уравнение переноса (3.1), умноженное на J, преобразуется к виду: Область исследования покрывается сеткой размерности N xNy, равномерной в горизонтальном направлении и сгущающейся к поверхности Земли в вертикальном направлении. Следует отметить, что удобнее всего выбирать расчетную сетку в координатах ,,г таким образом, чтобы она была не просто прямоугольной, а «квадратной», то есть с ячейками, представляющими собой квадраты со стороной, равной 1 (рис. 3.1). Это позволяет уменьшить количество производимых в вычислениях арифметических операций. Всюду далее будет предполагаться, что сетка построена именно таким образом, что найдет отражение, например, в конечно-разностном представлении производных по пространственным координатам.
После преобразования координат сетка в координатах ,т] становится регулярной с единичным шагом, причем каждому узлу сетки U), соответствуют координаты , = i, г\ — /, а грани соответствующего конечного объема (вычислительной ячейки) образуются сеточными линиями = /-1/2, = / +1/2, г = у —1/2 и Т] = у+1/2. Левая, правая, нижняя и верхняя границы вычисли тельной области являются сеточными линиями = 1/2, 4 = Nx + 1/2, Ц —1/2 и r\ = NY +1/2 соответственно. Равномерное в горизонтальном направлении преобразование координат определяется соотношением: а сгущение в вертикальном направлении строится следуюпщм образом: Конечно-разностный аналог уравнения переноса (3.3), записанного с учетом преобразования координат, получается с использованием метода конечного объема [50]. Обе части уравнения (3.3) интегрируются по времени и по каждому конечному объему, который представляет собой единичную квадратную Рис. 3.2. Преобразование координат и соответствие вычислительных характеристик точкам конечного объема. ячейку вычислительной сетки. При этом значения конвективных и диффузионных потоков, равно как и значения нестационарного и источникового членов, некоторым образом выражаются через значения сеточного аналога функции ф(?, ,т) в центрах ячеек сетки (рис. 3.2). Согласно принятым обозначениям [50], центр текущего конечного объема обозначается как Р, центры соседних конечных объемов - по направлениям сторон света - N, S, Е и W, а центры соответствующих граней контрольного объема -u,i,eiw, Для вычисления интегралов, вошедших в уравнение переноса, подынтегральные выражения аппроксимируются кусочно-линейными и кусочно-постоянными функциями, и используются следующие соотношения:
Параллельное решение сеточных уравнений методом Булеева
Решение сеточных уравнений методом Булеева (п. 3.7) напрямую при декомпозиции расчетной области оказывается невозможным, так как этот метод предусматривает многократный проход от одного угла расчетной области к другому через всю область. Однако, как было показано в [9, 10], существует способ решения этой проблемы. Главная идея состоит в следующем: прямой и обратный ход прогонки метода Булеева организуются не по всей области, а по подобластям, получившимся в результате декомпозиции расчетной области. На границах «разрезов», или фиктивных границах, ставятся условия первого рода, то есть полагается, что значение, прилежащее к границе «разреза» с внешней стороны, точно известно. В действительности же, это значение рассчитывается соседним процессом и нуждается в постоянной синхронизации. Более строго, значения, полученные от соседнего процесса, относятся к предыдущему итерационному шагу, вследствие чего ухудшаются свойства сходимости итерационного алгоритма - явного метода Булеева.
Однако проведенные в результате вычислительного эксперимента [9] оценки показали, что число итераций ЯМБ для достижения сходимости с заданной точностью в случае одномерной декомпозиции расчетной области лишь на 10% превосходит количество итераций для «стандартного» метода Булеева (п. 3.7). Вместе с тем, ускорение предложенной модификации ЯМБ для параллельных вычислений составляет более 4 раз [9]. На рис.4.3 представлены графики зависимости ускорения вычислений параллельных реализаций ЯМБ, метода верхней релаксации и итерационного метода Якоби от числа процессоров, полученные при решении задачи Дирихле для уравнения Пуассона на сет ке 200x200 узлов. Ускорение вычисляется как отношение времени счета однопроцессорного варианта программы к времени счета этой же программы на р процессорах. Так же на рис. 4.3 приведены для этих же методов графики зависимости нормы невязки от числа итераций, из которых видно, что метод Бу-леева имеет скорость сходимости почти на порядок превышающую скорость сходимости метода верхней релаксации [9].
На рис. 4.4 представлена схема метода неполной факторизации Булеева в случае использования декомпозиции на два процесса (нулевой и первый). Вдоль горизонтального направления, по которому производится декомпозиция, производится перенумерация узлов следующим образом. Нулевой вычислительный процесс ведет расчеты в подобласти с горизонтальной нумерацией узлов с первого, до узла с номером N х.!2 (под делением подразумевается целочисленная операция). Вычислительная область нулевого процесса окаймляется справа столбцом, в который заносятся данные, рассчитываемые правым соседом (первым процессом). Таким образом, область, располагающаяся в адресном пространстве нулевого процесса состоит из NJ2 + 2 столбцов с нумерацией от В" =0 до Е 1 = JVv/2 + I. Аналогичным образом, область, располагающаяся в адресном пространстве первого процесса состоит из Ns—Nxl2 + 2 столбцов с нумерацией от В\ =NJ2 до Ex—Nx + \. Данные, получаемые от С целью получения оценок эффективности параллельной реализации был произведен ряд расчетов на кластерных системах Института оптики атмосферы СО РАН и МВС- J 000М ВЦ СО РАН. Расчеты развития атмосферных процессов выполнялись для периода моделирования 3 часа на сетке 60x50 узлов. Время, затраченное на вычисления с использованием 1 процессора, относилось ко времени вычислений с использованием р процессоров, и полученный результат, представляющий ускорение параллельного алгоритма по отношению к последовательному, наносился на график. Для количества используемых процессоров больше 10, при указанной горизонтальной сетке, каждый процесс производил вычисления в подобласти шириной не более 6 узлов, поэтому полученные в данных случаях результаты нельзя считать в полной мере адекватными.
