Содержание к диссертации
Введение
Глава I Основные понятия и определения
1.1. Деформационные геодезические сети, их классификация и основные характеристики 12
1.2. Основные деформационные параметры и их функции 17
1.3. Деформационная модель 18
1.4. Оценка параметров деформационной модели и их точности 22
1.5. Величины, получаемые в результате обработки GPS/ГЛОНАСС измерений, и их связь с параметрами деформационной
модели 24
1.6. Формирование весовой матрицы проектируемых GPS/ГЛОНАСС измерений 27
Глава 2. Оптимальное проектирование деформационных GPS/ГЛОНАСС сетей
2.1. Общие замечания 34
2.2. Математическая формулировка задачи оптимального проектирования 37
2.3. Алгоритм оптимизации деформационной GPS/ГЛОНАСС сети 44
2.4. Дифференцирование ковариационной матрицы деформационных параметров при учете корреляционной зависимости спутниковых измерений 47
2.5. Примеры оптимального проектирования деформационных GPS сетей 51
2.5.1. Оптимизация Восточно-Африканской рифтовой GPS
2.5.2. Оптимальное проектирование Приморской геодинамической GPS сети 62
Глава 3. Отбор GPS/ГЛОНАСС измерений, наиболее значительно влияющих на точность определения параметров деформационной модели
3.1. Постановка задачи и общие замечания 68
3.2. Вычисление матрицы весовых коэффициентов деформационных параметров методами рекуррентного уравнивания геодезических сетей 72
3.3. Процедура отбора наиболее информативных измерений в деформационной GPS/ГЛОЫАСС сети 75
3.4. Формирование начальной ковариационной матрицы деформационных параметров при отборе наиболее информативных измерений 81
3.5. Алгоритм отбора наиболее информативных измерений в деформационной GPS/ГЛОНАСС сети 86
3.6. Примеры использования алгоритма отбора наиболее информативных измерений для проектирования деформационных GPS сетей 89
3.6.1. Проектирование геодезического GPS профиля 89
3.6.2. Проектирование трехмерной геодинамической GPS
сети 97
Глава 4. Об учете корреляционной зависимости при проектировании GPS/ГЛОНАСС измерений
4.1. Исходные соображения 116
4.2. Обработка ряда зависимых измерений одной величины 120
4.3. Учет корреляционной зависимости измерений при проектировании геодезического GPS профиля 131
Заключение 137
Список литературы
- Основные деформационные параметры и их функции
- Математическая формулировка задачи оптимального проектирования
- Вычисление матрицы весовых коэффициентов деформационных параметров методами рекуррентного уравнивания геодезических сетей
- Обработка ряда зависимых измерений одной величины
Введение к работе
Построение и мониторинг геодезических сетей различного назначения при помощи систем глобального спутникового позиционирования GPS и ГЛОНАСС прочно вошло в геодезическую практику большинства развитых зарубежных стран. Процесс активного освоения и внедрения в геодезическое производство спутниковых технологий идет и в нашей стране.
В настоящее время очень большое внимание уделяется научным и прикладным исследованиям в области применения GPS/ГЛОНАСС систем для мониторинга разного рода деформаций, например: движений и деформаций земной коры в глобальном, региональном и локальном масштабах; деформаций земной поверхности, обусловленных добычей полезных ископаемых; деформаций крупных гидротехнических и инженерных сооружений и т.д. На сегодняшний день в мире функционирует одна глобальная (IGS), более десяти региональных и свыше сотни локальных деформационных GPS/ГЛОНАСС сетей. Количество сетей последнего класса продолжает быстро увеличиваться, а существующие локальные деформационные сети постоянно расширяются за счет включения в их состав новых пунктов и дополнительных измерений. В связи с этим вопросы оптимального проектирования, построения и выполнения геодезических наблюдений в локальных деформационных GPS/ГЛОНАСС сетях вызывают значительный научный и практический интерес.
Оптимальному проектированию классических геодезических построений - сетей триангуляции, трилатерации, полигонометрии, нивелирных сетей посвящена обширная литература отечественных и зарубежных авторов. В нашей стране хорошо известны работы в этой области советских ученых-геодезистов Ю. М. Неймана [33, 34], 3. П. Тамутиса [40, 41], М. Д. Герасименко
[7-11, 16, 17, 70], Ю. И. Маркузе [29], К. Ф. Афонина [3, 4], К. Л. Проворова [37] и др. Наиболее значительные достижения зарубежных исследователей в области оптимального проектирования традиционных геодезических сетей разных видов собраны в сборнике [92]. Однако вопросам проектирования и оптимизации деформационных GPS/ГЛОНЛСС сетей уделяется мало внимания, особенно в отечественной геодезической литературе. Среди наиболее интересных работ в этой области, вышедших за рубежом, следует отметить монофафию [83], а также статьи [55, 67, 71, 80]. Среди отечественных публикаций, по-видимому, только наши публикации [15, 44, 46, 47] непосредственно затрагивают вопросы проектирования и оптимизации деформационных GPS/ГЛОНАСС сетей. В связи с этим особую остроту приобретает разработка новых, модификация и адаптация существующих алгоритмов проектирования и оптимизации геодезических построений с целью их использования для оптимального проектирования деформационных GPS/ГЛОНАСС сетей. Чрезвычайно актуальна и профаммная реализация таких алгоритмов на ЭВМ.
Другая проблема, возникающая при проектировании и эксплуатации деформационных GPS/ГЛОНАСС сетей и имеющая большое прикладное значение, связана с поиском и отбором в таких сетях наиболее информативных измерений, которые бы гарантировали достижение заданной точности получения параметров принятой модели деформаций. Дело в том, что количество измеряемых величин в GPS/ГЛОНАСС сети нелинейно возрастает с увеличением числа пунктов, включаемых в сеть. Поэтому количество возможных измерений, оказывающих, в общем случае, неодинаковое влияние па точность получения деформационных параметров, даже в сравнительно небольшой проектируемой GPSflTTIOHACC сети может быть весьма велико (сотни и даже тысячи измерений). В связи с этим разработка и программная реализация алгоритма, позволяющего осуществлять отбор в проектируемой или уже функционирующей деформационной спутниковой сети наиболее
информативных измерений, которые бы гарантировали достижение заданной точности получения параметров принятой модели деформаций, является весьма актуальной задачей. Практическое использование программного обеспечения, разработанного на основе такого алгоритма, позволит в ряде случаев достичь существенной экономии финансовых и людских ресурсов не только за счет уменьшения количества подлежащих измерению величин и пунктов сети, но и за счет правильной организации полевых наблюдений.
Проблема отбора наиболее информативных измерений в традиционных геодезических сетях, построенных методами классической геодезии, рассматривалась в отечественной геодезической литературе Ю. М. Нейманом [33, 34], 3. П. Тамутисом [40, 41], К. Р. Третяком [42, 43], Ю. И. Маркузе [30, 31] и др. Информативность измерений оценивалась по их вкладу в уменьшение энтропийного объема вектора неизвестных координат пунктов проектируемой сети (Ю. М. Нейман), либо с помощью методов рекуррентного уравнивания. (остальные авторы). Алгоритмы, основанные на рекуррентных методах, обладают рядом достоинств, к которым в первую очередь относятся их высокая численная устойчивость и простота программной реализации. Однако работ, посвященных применению методов рекуррентного уравнивания в приложении к проектированию деформационных GPS/ГЛОНАСС сетей, в геодезической литературе нами не обнаружено.
Переход от традиционных методов выполнения геодезических измерений к GPS/ГЛОНАСС технологиям ставит перед специалистами, имеющими дело с проектированием, оптимизацией и математической обработкой геодезических измерений, еще одну достаточно сложную проблему, которая связана с учетом корреляционной зависимости спутниковых измерений. Дело в том, что величины, получаемые в результате математической обработки спутниковых наблюдений, математически и физически коррелированны. Игнорирование корреляционной зависимости проектируемых измерений приводит к искажению
оценок определяемых параметров и точности их получения. Учет зависимости спутниковых измерений осуществляется введением в математическую обработку корреляционной матрицы планируемых измерений, элементы которой часто вычисляются на основе использования некоторых априорных величин, получаемых в результате статистической обработки большого количества уже выполненных измерений, либо при помощи эмпирических или даже интуитивных соотношений, которые не всегда адекватно отражают физическую реальность. По данным вопросам имеется довольно обширная литература [48-50, 62, 65, 78 и др.]. Величины получаемых такими способами коэффициентов корреляции, как правило, существенно отличны от нуля, а в ряде случаев могут принимать значения, близкие к ±1. Однако, как показано в работах [14, 15, 18], формальный учет корреляционной зависимости результатов GPS/ГЛОНАСС измерений в процессе проектирования, оптимизации и обработки измерений в ряде случаев может привести к "искусственному" повышению точности конечных результатов, которое часто интерпретируется как корректность выбора той или иной функции для учета корреляционной зависимости, и даже ошибочным величинам этих параметров. Поиск и изучение причин, порождающих такого рода эффекты, а также анализ влияния, которое они оказывают на результаты расчетов, является важной как с научной, так и с практической точки зрения задачей.
Целью диссертационной работы является: 1) Постановка и формализация задачи оптимального проектирования локальной деформационной GPS/ГЛОНАСС сети, пункты которой могут располагаться только в фиксированных на местности или инженерном сооружении местах. Разработка алгоритма ее решения, позволяющего выполнять оптимизацию 1-го, 2-го и 3-го порядка в спутниковой сети. Программная реализация алгоритма и его апробация на практике.
Разработка алгоритма поиска и отбора наиболее информативных измерений в локальной деформационной GPS/ГЛОНАСС сети, совокупность которых обеспечивает достижение заданной точности получения параметров принятой деформационной модели. Программная реализация алгоритма и его апробация на практике.
Исследование эффектов, возникающих при учете корреляционной зависимости спутниковых измерений в ходе оптимального проектирования и математической обработки спутниковых измерений в локальных деформационных GPS/ГЛОНАСС сетях. Вскрытие причин и условий возникновения этих эффектов.
Научная новизна работы состоит в следующем.
Поставлена и формализована задача оптимального проектирования локальной деформационной GPS/ГЛОНАСС сети, пункты которой могут располагаться только в фиксированных на местности или инженерном сооружении местах, а измерения обеспечивают получение оценок параметров принятой модели деформаций с точностью не ниже заданной при минимальных затратах на построение сети и выполнение измерений в ней. В рамках данной задачи возможно использование разнообразных целевых функций и ограничений, как на веса проектируемых измерений, так и на различные функции ковариационной матрицы деформационных параметров, а также величины, не являющиеся ее функциями. Разработан, программно реализован и апробирован на практических примерах алгоритм ее решения, позволяющий осуществлять оптимальное проектирование 1-го, 2-го, 3-го порядка и их комбинаций.
Разработан, программно реализован и апробирован на практических примерах алгоритм поиска и отбора наиболее информативных измерений в локальных деформационных GPS/ГЛОНАСС сетях, совокупность которых обеспечивает достижение заданной точности получения параметров принятой
деформационной модели. Алгоритм позволяет учесть ограничение на
4 количество избыточных измерений в проектируемой сети.
3) Обнаружены и рассмотрены на численных примерах эффекты, возникающие в процессе оптимального проектирования GPS/ГЛОНАСС сетей и/или математической обработки измерений при учете корреляционной зависимости измеряемых величин:
а) "искусственного" повышения веса (точности) определяемых параметров;
б) получения отрицательного веса определяемых параметров;
в) получения некорректных значений определяемых параметров.
Л Вскрыты причины и условия возникновения этих эффектов.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в восьми работах.
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертации докладывались на-Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 2001), научной конференции студентов и аспирантов ДВГУ (Владивосток, 2001), научном семинаре Института сейсмологии и вулканологии Хоккайдского университета (Саппоро, Япония, 2003), ХХХІП Генеральной ассамблее международного союза геодезии и геофизики (Саппоро, Япония, 2003), пятой юбилейной научной конференции "Гидрометеорологические и географические исследования на Дальнем Востоке" (Владивосток, 2004).
Практическая значимость работы. Практическое использование
предлагаемых в работе алгоритма оптимального проектирования и алгоритма
поиска и отбора наиболее информативных измерений в деформационных
GPS/TJIOHACC сетях, а также разработанных на их основе прикладных
программ, позволяет в ряде случаев значительно снизить затраты времени и
средств на построение деформационной сети и полевые наблюдения в ней как
* за счет уменьшения числа измеряемых величин, так и за счет уменьшения
количества пунктов, на которых необходимо выполнить спутниковые измерения.
Результаты оптимизации и отбора наиболее информативных измерений дают возможность выявить и в первую очередь сосредоточить усилия на выполнении наиболее важных измерений, с точки зрения их влияния на точность получения параметров деформационной модели, что часто имеет решающее значение при выполнении спутниковых измерений вблизи действующих вулканов и активных разломов земной коры.
Обнаруженные и рассмотренные в данной работе эффекты, возникающие при учете корреляционной зависимости измерений в процессе оптимального проектирования и/или математической обработки измерений в геодезических сетях, поднимают вопрос о более тщательном исследовании области применения классических методов оценки точности определяемых параметров при использовании зависимых измерений.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Основное содержание работы изложено на 152 страницах текста. Работа содержит 20 рисунков и схем. Список литературы включает в себя 108 наименований, в том числе 58 на иностранных языках.
Основные деформационные параметры и их функции
Рассмотрим некоторые положения теории упругости, необходимые для анализа деформаций и справедливые для всех видов геодезических и не геодезических измерений, выполняемых в деформационных сетях любого вида. Если для каждой точки деформационной сети известны компоненты перемещений и, v и w вдоль осей х, у, z пространственной прямоугольной системы координат, полученные, например, по результатам повторных геодезических измерений, то для количественной характеристики деформаций может быть использован так называемый тензор деформаций
Заметим, что параметры (1.2.4) не инвариантны относительно способа фиксации системы координат. Помимо основных параметров (1.2.1)-(1.2.4) для деформационного анализа используются несколько функций от них, например, максимальная деформация є = єгх + +;, дилатация А = ЕХ + є + є2 и другие функции перемещений точек сети, выбираемые в соответствии особенностями поставленной задачи (см., например, [69]).
Различают физический и геометрический анализ деформаций. При физическом анализе определяется физическое состояние деформируемого тела, внутренние напряжения и нагрузочно-деформационные соотношения, учитывается информация о взаимодействующих силах и физических свойствах деформируемого тела. Геометрический анализ используется для получения величин, характеризующих изменение формы, размеров и положения изучаемого объекта в целом или отдельных его частей, т.е. параметров деформаций [58, 59].
Геометрические и физические параметры деформаций могут быть выражены как функции изменения с течением времени непосредственно измеренных или квази-измеренных величин, например, углов, длин линий, приращений координат между пунктами сети и т.д. (подробнее о квазиизмерениях см. п.1.5), или представлены в виде функций от перемещений точек сети. Последнему способу обычно отдают предпочтение, так как он является наиболее простым в реализации.
До - вектор разностей измеренных величин между эпохами (циклами) наблюдений; А - матрица коэффициентов уравнений, связывающих измеренные величины с подвижками точек деформационной сети; В — матрица коэффициентов уравнений, связывающих подвижки пунктов сети и оцениваемые деформационные параметры; е - вектор определяемых параметров выбранной деформационной модели. Если исходные уравнения связи нелинейны относительно определяемых параметров, для записи (1.3.1) требуется их линеаризация. В частном случае, когда измеренными величинами считаются подвижки точек сети, т.е. До = d, матрица А = Е - единичной матрице, ауравнение (1.3.1) принимает вид d = Be. (1.3.2)
В качестве определяемых неизвестных, входящих в вектор е, могут быть взяты функции (1.2.2)-(1.2.4) или любые другие параметры, характеризующие изучаемый объект и позволяющие представить реально наблюдаемое поле подвижек пунктов сети или изменение с течением времени других измеренных величин в виде функций от этих параметров. В большинстве случаев для аппроксимации функций перемещений используются полиномы вида (двухмерный случай) и а0 ч- а{х + а2у + а3ху + а4х2 +..., (1.3.3) v-&0 + bxx + b2y + b3xy + b4x2 +..., (1.3.4) где сії и bi - неизвестные коэффициенты (параметры деформаций), которые должны быть получены на стадии моделирования.
Рассмотрим несколько простейших деформационных моделей, являющихся частными случаями общей модели (1.3.3)-(1.3.4), и наиболее часто использующиеся на практике [58].
Математическая формулировка задачи оптимального проектирования
Проблема рекуррентного уравнивания геодезической сети, известная в зарубежной геодезической литературе как проблема последовательного уравнивания (sequential adjustment problem), является, по существу, частным случаем фильтра Кальмана, широко используемым при математической обработке результатов разного рода измерений, в том числе и геодезических. В нашей стране основоположником работ в области последовательного уравнивания является проф. Ю. А. Гордеев [21, 22].
Рекуррентному уравниванию различных видов геодезических сетей, развиваемых методами классической геодезии, а также практическому использованию методов рекуррентного уравнивания посвящена обширная литература отечественных авторов. Наиболее полно эта проблема освещена в работах Ю. И. Маркузе [30, 31 и др.], М. Д. Герасименко [8, 12, 13 и др.], В. К. Панкрушина и Е. Л. Васильева [36] и др.
Рассмотрим основные формулы методов рекуррентного уравнивания, позволяющие оценить матрицу весовых коэффициентов (ковариационную матрицу) определяемых параметров на любом этапе построения сети.
При включении в уже существующую геодезическую сеть вектора дополнительных (избыточных) измерений Cf, матрица весовых коэффициентов координат пунктов сети, выступающих в данном случае в роли определяемых параметров, с учетом добавочных измерений может быть получена по формуле % Q, =QM -QMAJR Q,.,, (3.2.1) где R(. - матрица коэффициентов нормальных уравнений коррелат, вычисляемая по формуле R-Pc +AA.A7 , (3.2.2) где А, - матрица коэффициентов условных уравнений коррелатного метода уравнивания (формально она равна матрице коэффициентов уравнений поправок параметрического способа уравнивания, соответствующей вектору избыточных измерений С, ); Рс. - весовая матрица вектора избыточных j измерений С,- ; QM - матрица весовых коэффициентов координат пунктов геодезической сети, вычисленная до включения в ее состав вектора С,-. Если вектор С,- включает в себя только одно измерение, выражения (3.2.1) и (3.2.2) перепишутся в виде Q QM- QM Q,-,), (3-2.3) ! = / + 0,.. , (3.2.4) г где а,. - строка коэффициентов /-го условного уравнения, р. — вес /-го избыточного измерения. Величина \IRt в данном случае есть скаляр, на который умножаются элементы матрицы QMafafQM.
В том случае, когда вектор С,, исключается из состава геодезической сети, знаки сложения и вычитания в выражениях (3.2.1)-(3.2.4) изменяются на противоположные.
Рекуррентные формулы (3.2.1)-(3.2.4) позволяют вычислить матрицу весовых коэффициентов необходимых неизвестных на любом этапе построения сети без обращения матрицы коэффициентов нормальных уравнений, вычисленной по всем возможным измерениям. Порядок матриц R, и Рс , которые необходимо обращать, равен количеству компонент вектора избыточных измерений С;, число которых в случае использования методов
GPS/ГЛОНАСС позиционирования не превышает трех, что существенно упрощает вычисления. Очевидно, что рекуррентные формулы также дают возможность найти вклад любой /-й группы избыточных измерений (или /-го измерения в частном случае) в точность определяемых параметров, что может быть использовано для оптимального проектирования геодезических сетей любого вида.
Поскольку процедура оценки параметров принятой модели деформаций и их точности, выполняемая по МНК, совершенно аналогична оцениванию координат классической геодезической сети, использование формул (3.2.1)-(3.2.4) для формирования матрицы весовых коэффициентов деформационных параметров Qe не вызывает никаких затруднений. Более того, при помощи
формул рекуррентного уравнивания легко может быть вычислен вклад в Qe любой группы избыточных измерений, даже если величины внутри группы коррелированны между собой.
Вычисление матрицы весовых коэффициентов деформационных параметров методами рекуррентного уравнивания геодезических сетей
Рассмотрим процедуру поиска и отбора совокупности наиболее информативных измерений в локальной деформационной GPS/ГЛОНАСС сети, базирующуюся на применении рекуррентных формул (3.2.1)-(3.2.4). Потребуем, чтобы совокупность отобранных наиболее информативных измерений обеспечивала получение заданной точности параметров математической модели, описывающей подвижки точек сети. Запишем это условие в виде ограничений на среднеквадратические ошибки определяемых параметров V Ъад = 1-Д, (3.3.1) где к - количество определяемых деформационных параметров, ai -среднеквадрэтическая ошибка /-го деформационного параметра, а тізал требуемая точность его получения. Предполагается, что общее количество всех возможных измерений в сети / избыточно по отношению к количеству определяемых параметров /с, т.е. r=t — k 0.
Исходные предположения, необходимые для формирования ковариационной матрицы деформационных параметров Qe, возьмем полностью совпадающими с предпосылками, изложенными п. 1.4. Дополнительно потребуем, чтобы точность проектируемых измерений, т.е. матрица Q0 , а соответственно и их весовая матрица Р - Q"1 оставались неизменными в процессе проектирования.
Будем считать, что пункты спутниковой сети могут располагаться только в строго фиксированных на местности или инженерном сооружении местах. Обоснование этого условия дано в п.2.1. Приближенные координаты пунктов сети, необходимые для проектирования, могут быть сняты с карты крупного масштаба или определены навигационными спутниковыми приемниками в ходе рекогносцировки. Будем также полагать, что априорные значения определяемых параметров деформационной модели известны.
Рассмотрим для простоты случай, когда необходимо оценить вклад отдельных независимых GPS/ГЛОНАСС измерений в точность определяемых параметров деформационной модели. Описание величин, которые могут быть использованы в качестве измерений при проектировании GPS/ГЛОНАСС сети и их связь с деформационными параметрами подробно рассмотрены в п.1.5.
В общем случае при включении в деформационную геодезическую сеть дополнительного измерения с номером у, диагональные элементы ковариационной матрицы деформационных параметров Qe уменьшатся на величины А?Й(У) = //0"-1)-9,Ї(У). і = 1,2,...Д; 7 = 1,2,...,/, (3.3.2) где ?(./ -1) и (?Й0 ) диагональные элементы матрицы Qe до включения в схему сети у -го измерения и после его включения соответственно. Значения qea(j-\) и qeaU) вычисляются по формулам (3.2.3)-(3.2.4). Однако непосредственное использование выражения (3.3.2) при проектировании деформационной сети в ряде случаев может оказаться затруднительным вследствие того, что диагональные элементы матрицы Qe, определяющие точность оценок деформационных параметров модели, часто очень значительно различаются по абсолютной величине (на порядки). В этом случае величины
MIU) Для отдельных параметров могут оказаться ничтожно малыми по сравнению с аналогичными оценками для других определяемых параметров. В первую очередь это связано с тем, что деформационные параметры могут быть разнородными величинами и выражаться в разных единицах измерения. Поэтому оценивать вклад каждого добавочного измерения в точность определяемых параметров удобнее в относительной (процентной) форме Д О )- 0!0" 0 1000 " = 1.2 А; ./ = 1,2 /. (3.3.3) «?,ДУ-1)
Совокупность вычисленных по формуле (3.3.3) величин может быть представлена в виде матрицы вкладов всех возможных измерений в точность определяемых параметров размера їх/с.
Обработка ряда зависимых измерений одной величины
Для того, чтобы проиллюстрировать эффекты, которые могут возникнуть в результате учета физической корреляционной зависимости геодезических измерений, рассмотрим простейший пример. Допустим, что необходимо выполнить обработку ряда зависимых неравноточных измерений Y = (у1Уу2, — Уп)то}той величины у. Если веса измеренных величин равны pj, Pi, Рт а коэффициенты физической корреляции между измеренными величинами равны г,у, весовая матрица измерений Р не будет диагональной, а ее элементы находятся по формуле (2.4.1).
Решение методом наименьших квадратов системы уравнений поправок Ay-Y = V (4.2.1) дает оценку искомой величины у = (АГРА)-1 ArPY, (4.2.2) Т где матрица Л={\, 1, ... , 1) состоит из единиц, V — вектор поправок к измерениям. Вес взвешенного среднего зависимых измерении может быть вычислен по формуле (4.2.3) где ptj - элементы матрицы Р. Оценка дисперсии у может быть получена по известной формуле } = I VrPV П-\ Р.-. (4.2.4) Значения величин Рр и а-у определяют точность оценки у.
Для простоты предположим, что коэффициенты физической корреляции между любой парой измерений одинаковы и равны ц=г. В этом случае корреляционная матрица измерений принимает вид где а=\1г. Таким образом, мы предполагаем, что факторы, придающие общность результатам измерений, например, условия окружающей среды, воздействуют на все измерения одинаковым образом. На практике такая ситуация может возникнуть, например, если в течение очень ограниченного промежутка времени выполняется многократное измерение длины базовой линии между двумя близкорасположенными геодезическими пунктами и обработка этих измерений осуществляется по одной и той же методике.
Найдем явный вид выражений (4.2.2) и (4.2.3) при г є (-1,1)- Значения коэффициента корреляции г = ±1 исключены из области возможных значений г, поскольку в этом случае матрица R вырождена и обратная к ней не существует.
Подстановка в выражения (4.2.13) и (4.2.11) значения /--0 дает хорошо известные в геодезической литературе формулы оценки весового среднего независимых измерений одной величины и ее веса, что подтверждает правильность полученных выражений. Однако получение на основе анализа этих формул каких-либо общих закономерностей, позволяющих предсказать поведение Р. и у в зависимости от изменения абсолютной величины и знака коэффициента корреляции г, количества измерений п и весов измеренных величин pi затруднительно, т.к. оценка искомой величины и ее вес сложным образом зависят от значений г, п ир(.
В дальнейшем сосредоточим наше внимание на выражении (4.2.11), которое дает оценку веса искомой величины.
Вычисления по этой формуле, выполненные при различных значениях коэффициентов корреляции, отличных от нуля, показали, что вес Р может принимать значения, как больше, так и меньше его величины, полученной для независимых измерений.
Рассмотрим несколько частных случаев выражения (4.2.11) и найдем их пределы при r- ±\ , Предположим, что все измерения равноточны, т.е. р, =рдля V /=1,2, ..., п. Тогда (4.2.11) может быть преобразовано к виду Р- = . (4.2.14) у 1 + г(я - 1) . Полагая л 2 и р={, легко показать, что при гє[0,І) вес оценки искомой величины Р- будет всегда меньше его значения, полученного при /- = 0 и равного «(см. рис. 4.2.1). Очевидно, что неравенство (4.2.15) будет верным, если знаменатель дроби в его левой части будет больше, либо равен единице. Так как по условию п 2 и гє[0,1) , сразу получаем, что выполняется неравенство 1 + г(п-1) 1 + г 1, которое и доказывает (4.2.15). Устремляя коэффициент корреляции к единице получаем, что \irnP, =1 г- (4.2.16)
Таким образом, чем ближе коэффициент корреляции к единице, тем меньше становится вклад очередного избыточного измерения в точность оценки искомой величины (рис. 4.2.1). Очевидно, что, начиная с некоторого лиг, осуществление набора избыточных измерений становится бессмысленным, т.к. вес оценки искомой величины остается практически неизменным. Этот результат вполне логичен и не вызывает никаких возражений.
