Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Обзор математических методов оценивания числовых характеристик технических параметров 21
1.1 Вероятностные методы точечного и интервального оценивания 21
1.1.1 Задачи оценивания параметров случайных погрешностей 21
1.1.2 Предварительная обработка статистических данных 22
1.1.3 Достоинства и недостатки вероятностного подхода к оценке числовых характеристик случайной погрешности 24
1.1.4 Случайная суммарная погрешность измерений 26
1.2 Интервальная арифметика и нечёткие множества в задачах оценивания 27
1.2.1 Интервальный анализ 28
1.2.2 Нечёткость, вероятность и случайность 29
1.2.3 Нечёткие числа, как способ описания нечётких параметров 30
1.2.4 Построение функций принадлежности нечётких чисел 31
1.2.5 Современное состояние методов оценки характеристик нечётких чисел. Сильные и слабые стороны 34
1.3 Анализ программных средств
обработки статистической информации 35
1.3.1 Пакеты прикладных программ Statistica, Mathematica, MatLab, MathCad для обработки статистических данных 35
1.3.2 Современное состояние задачи обработки нечёткой информации 37
1.4 Постановка задач исследования ..38
Выводы к первой главе 41
ГЛАВА 2 Математические методы оценки числовых характеристик технических параметров при нечеткой информации 42
2.1 Методы идентификации формы и моделирования функций принадлежности нечётких чисел 42
2.1.1 Математические модели случайных погрешностей 42
2.1.2 Метод наименьших квадратов в оценке параметров формы нечётких чисел 48
2.2 Методы оценки среднего значения и дисперсии нечётких чисел 51
2.2.1 Метод оценки среднего значения нечёткого числа 51
2.2.2 Метод оценки дисперсии нечёткого числа 55
2.3 Метод оценки ковариации и корреляции нечётких чисел 57
2.3.1 Метод оценки ковариации 57
2.3.2 Метод оценки корреляции 58
2.4 Методика оценки суммарного влияния нечётко заданных погрешностей в многозвенных системах 58
Выводы ко второй главе 62
ГЛАВА 3 Решение задачи оценивания числовых характеристик нечётких чисел 63
3.1 Оценка среднего значения и дисперсии нечётких чисел 63
3.1.1 Треугольное нечёткое число 63
3.1.2 Трапецеидальное нечёткое число 65
3.1.3 Колоколообразное симметричное нечёткое число 66
3.1.4 П-образное симметричное нечёткое число 67
3.1.5 Колоколообразное правостороннее нечёткое число 68
3.1.6 П-образное правостороннее нечёткое число 70
3.1.7 Колоколообразное левостороннее нечёткое число 71
3.1.8 П-образное левостороннее нечёткое число 73
3.2 Оценка ковариации и корреляции нечётких чисел 75
3.2.1 Ковариация унимодальных нечётких чисел 75
3.2.2 Ковариация толерантных нечётких чисел 82
3.2.3 Корреляция нечётких чисел 83
Выводы к третьей главе 96
ГЛАВА 4 Алгоритмизация математических методов и разработка инструментальных средств 97
4.1 Алгоритмизация математических методов оценки числовых характеристик технических параметров 97
4.1.1 Алгоритм построения функций принадлежности нечётких чисел (А-ПФП) 97
4.1.2 Алгоритм оценки числовых характеристик нечётких чисел и корреляции (А-ОЧХ) 106
4.1.3 Алгоритм оценки суммарной погрешности технических объектов различной структуры (А-ОСП) 113
4.2 Разработка программного комплекса «НОТО» 120
4.2.2 Назначение 120
4.2.3 Требования к программному комплексу 121
4.2.4 Функции 122
4.2.5 Инструментальная среда 122
4.2.6 Требования к пользователю 124
4.2.7 Структура программного комплекса 124
Выводы к четвёртой главе 127
ГЛАВА 5 Практическое подтверждение результатов исследования 129
5.1 Анализ достоверности оценок числовых характеристик нечётких технических параметров 129
5.1.1 Достоверность оценок 129
5.2.1 Работоспособность методов 135
5.1 Методика оценки поглощённой дозы
рентгеновского излучения компьютерного томографа РКТ-01 139
Выводы к пятой главе 147
Заключение 149
Литература
- Достоинства и недостатки вероятностного подхода к оценке числовых характеристик случайной погрешности
- Математические модели случайных погрешностей
- Колоколообразное симметричное нечёткое число
- Алгоритм оценки числовых характеристик нечётких чисел и корреляции (А-ОЧХ)
Введение к работе
Оценка статистических характеристик параметров технических объектов, процессов и любых измеренных экспериментальных данных является неотъемлемой процедурой при определении их точности и надёжности. В инженерной практике часто возникает необходимость решения задач оценивания при наличии неполной статистической информации или отсутствии таковой вследствие невозможности проведения эксперимента или аппаратурной недоступности исследуемого технического параметра.
В языке традиционной математики нет моделей, с помощью которых можно было бы достаточно точно отразить нечёткость представлений экспертов, нечёткость исходных данных. Эта нечёткость обычно связана с интервальной неопределённостью описания того или иного технического параметра и возникающими трудностями его описания и дальнейшей обработки [81, 16, 28, 79-81]. Поэтому, представляют интерес работы, связанные с развитием аппарата математического моделирования нечётко заданных параметров технических объектов с целью дальнейшей работы по оценке влияния этих параметров на качество объекта в целом.
Актуальность работы по созданию математических методов теории оценивания на основе нечётких множеств (в рамках теории нечётких множеств) обусловлена необходимостью проведения расчётов точности технических устройств при наличии нечётких исходных данных. Предлагаемый математический аппарат позволяет более гибко подходить к классической задаче оценивания таких числовых характеристик как математическое ожидание, дисперсия и ковариация и на их основе проводить комплексную оценку влияния нечётко заданных параметров на исследуемый объект.
Теория нечётких множеств была впервые предложена американским математиком Лотфи Заде в 1965 году и предназначалась для представления неточных понятий, возникающих при решении задач как континуальной, так и дискретной математики. Эта теория развивалась и отображалась в научных работах самого Л. Заде [24], в работах А. Кофмана [29], Р. Ягера [47] и многих
других. Методы, предложенные Заде, получили большую востребованность и применение только в конце ХХ-го века, в связи с появлением ЭВМ для широкого пользования. Теперь задачи с нечёткими параметрами легко могли быть запрограммированы и быстро решены.
Задача оценивания заключается в определении (оценивании) технических параметров с использованием характеристик измерения реальных процессов. При этом даётся не только описание уже происшедших явлений, но и их прогнозирование на будущее. Математическая теория решения задач рассматриваемого типа является теорией оценивания. Классическая теория оценивания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику. В настоящее время к теории оценивания активно подключается математический аппарат теории нечётких множеств. На практике, оказалось, очень удобно совмещать математический аппарат теории нечётких множеств с математическим аппаратом теории вероятностей и математической статистики, т.е. появилась возможность оперировать не с обычными множествами, а с нечёткими множествами [58, 94, 96, 102].
Среди части математиков существует мнение, что нечёткая математика -часть теории случайных множеств. Случайное множество - это множество, зависящее от случая. Нечёткое множество можно свести к случайному. Поэтому, есть основание предполагать, что связь между размытостью и вероятностью позволит применить в теории нечёткости методы и результаты, накопленные в теории случайных множеств и наоборот [50, 85].
Общих черт между случайностью и нечёткостью много, но нельзя забывать и о различиях, которые приводят к тому, что математические методы нечётких множеств совершенно не похожи на методы теории вероятностей. Они во многом проще вследствие того, что понятию «вероятность» в теории вероятностей соответствует более простое понятие «функция принадлежности» в теории нечётких множеств. По этой причине, когда неопределённость может быть представлена вероятностной моделью, обычно удобнее с ней оперировать методами теории нечётких множеств [29].
Оценивание параметров методами теории нечётких множеств является альтернативой общепринятым количественным методам анализа систем.
Основным достоинством указанной теории является то, что существует большая гибкость в представлении исходных данных и интерпретировании конечных результатов.
Существенное влияние на развитие такого научного направленил как нечёткое оценивание оказывает современный уровень компьютеризации математических вычислений. В настоящее время накоплен значительный материал в этой области. Например, проблеме нечётких вычислений, а также автоматизированной обработке знаний с НЕ-факторами (нечёткость, неопределённость, неточность, неполнота) посвящены многие современные научные исследования как в России [2, 6, 30, 34, 44, 46, 47, 50, 64-66, 69, 82, 85], так и за рубежом [86-104]. Оценке числовых характеристик нечётких чисел, основного средства описания НЕ-факторов, повещён труд Роберта Фуллера [94]. Однако исследования в этой области не носили системного характера. Кроме того, требуют дальнейшего развития теоретические положения указанной теории относительно нечётких чисел произвольной формы, так как в описании параметров технических устройств нельзя обойтись парой, тройкой стандартных нечётких чисел.
Нечёткие числа во многом аналогичны распределениям теории вероятностей, но свободны от присущих последним недостатков: малое количество пригодных к анализу функций распределения; необходимость их принудительной нормализации; соблюдение требований аддитивности; трудность обоснования адекватности математической абстракции для описания поведения фактических величин.
По сравнению с вероятностным методом, нечёткий метод позволяет резко сократить объём производимых вычислений, что, в свою очередь, приводит к увеличению быстродействия нечётких систем.
При всех видимых достоинствах нечётких систем основным их недостатком является отсутствие стандартной (практически признанной) методики оценки параметров технических объектов и невозможность математического анализа существующими методами.
Цель диссертационной работы - разработка математического аппарата, предназначенного для обеспечения эффективной оценки числовых
характеристик параметров технического объекта при наличии нечёткой статистической информации или её отсутствии, основой которого является теория нечётких множеств.
Диссертационная работа направлена на повышение степени разрешимости задач оценивания параметров технических объектов за счёт использования наиболее современных и эффективных математических методов теории нечётких множеств.
Исходя из изложенного, научная проблема диссертационного исследования формулируется следующим образом - разработка математического аппарата, предназначенного для оценки числовых характеристик параметров технических объектов, таких как среднее значение, дисперсия и корреляция, при нечёткой или неполной исходной информации.
Направление исследований определено как развитие теоретических положений по решению задач оценивания параметров технических объектов и разработка методических и инструментальных средств поддержки данной технологии оценивания.
В диссертационной работе в качестве основных концептуальных положений выносятся:
математические методы и алгоритмы идентификации формы и построения функций принадлежности, нечётких чисел описывающих параметры технического объекта;
математические методы и алгоритмы оценки числовых характеристик (среднего значения, дисперсии), а также степени взаимосвязи (ковариация и корреляция) для нечётких чисел произвольного вида;
методика оценки суммарного влияния нечётко заданных погрешностей в многозвенных системах;
методика оценки величины поглощённой дозы излучения рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01;
инструментальные средства поддержки предлагаемых методов.
Научная новизна предлагаемых методик в том, что впервые
предложена математическая модель для описания случайной
погрешности технического устройства при наличии нечётких данных;
усовершенствованы математические методы оценки числовых характеристик нечётких'чисел;
выполнены оценки среднего значения и дисперсии для стандартного набора нечётких чисел;
произведён анализ явления корреляции между нечёткими числами различной формы, а также выполнена количественная оценка коэффициентов корреляции;
разработана и алгоритмизирована методика оценки суммарного влияния нечётко заданных погрешностей в многозвенных системах;
разработана методика оценки поглощённой дозы излучения рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01;
создан программный комплекс, с помощью которого практически реализуются предложенные автором математические методы.
Практическая ценность новых методик в том, что ими заполняется пробел в теории оценивания, связанный с:
невозможностью математического описания технических параметров при отсутствии статистической информации,
невозможностью оценки среднего значения и дисперсии случайных технических параметров без статистических данных,
невозможностью определения степени взаимосвязи между техническими параметрами, статистическую информацию о которых получить затруднительно или невозможно.
Практическая ценность подтверждается ещё и тем, что появилась возможность получать эффективную оценку случайной погрешности многозвенной системы в условиях неопределённости, не прибегая к грубым интервальным оценкам, резко завышающим границы интервала варьирования параметра с ростом числа звеньев системы.
Достоверность оценок, получаемых при помощи новых методик, подтверждена сравнением достоверных статистических оценок с нечёткими оценками на практических примерах; проверкой достоверности отличий результатов, полученных статистически и нечёткими оценками, по параметрическому критерию.
В первой главе диссертационной работы проведён обзор существующих математических методов, применяемых при решении задач оценивания. Значительное внимание уделено существующим методам оценки числовых характеристик технических объектов при наличии нечёткой исходной информации и методам теории нечётких множеств на основе известной аналогии «вероятность - случайность - нечёткость».
Выявлено отсутствие практических методов оценки числовых характеристик нечётких чисел произвольной формы: среднего значения, дисперсии, среднеквадратического отклонения, а так же отсутствие математических методов оценки степени взаимосвязи между нечёткими числами произвольной формы. Эти характеристики участвуют в процессе оценки случайной суммарной погрешности технического устройства, если погрешности функциональных блоков имеют нечёткое задание.
Выполнен обзор современных пакетов прикладных программ, работающих как со статистическими данными, так и с нечёткостями. Выявлено, что типовые программные средства требуют дополнительных знаний об их структуре и возможностях применения, а также позволяют выполнять ограниченный набор операций с нечёткими множествами и нечёткими числами, не достаточный для решения конкретных задач в рамках теории оценивания. Поэтому, возникает необходимость в разработке математико-аналитического аппарата на основе теории нечётких множеств, позволяющего не только описывать нечёткие параметры, но и производить оценку числовых характеристик (среднего значения, дисперсии).
В заключение главы поставлены задачи исследования, которые сводятся к следующему:
разработка математических методов идентификации формы и моделирования функций принадлежности нечётких чисел, предназначенных для описания технических параметров при наличии неполной статистической информации или её отсутствии;
разработка математических методов оценки числовых характеристик технических параметров и степени взаимосвязи между ними при нечёткой исходной информации;
создание методики оценки суммарного влияния нечётко заданных погрешностей в многозвенных системах;
решение задачи оценки числовых характеристик для стандартного набора нечётких чисел;
алгоритмизация математических методов оценки числовых характеристик технических параметров при нечётких исходных данных;
разработка программного средства, позволяющего моделировать нечёткие числа различной формы, производить расчёт числовых характеристик и оценку суммарного влияния нечётких погрешностей в многозвенных системах;
анализ достоверности результатов, полученных предложенными в диссертации методами и практическое подтверждение результатов исследования моделированием процесса оценки поглощённой дозы рентгеновского излучения компьютерного томографа РКТ-01.
В заключение главы сделан вывод о необходимости и возможности применения методов теории нечётких множеств к решению поставленных задач оценивания в связи с недостаточностью и отсутствием методов классической (вероятностной) процедуры оценивания в области нечётких данных.
Вторая глава посвящена концепциям по способам моделирования параметров технических объектов на примере погрешностей функциональных блоков при помощи нечётких чисел и аналитическому решению задачи оценивания числовых характеристик (среднего значения, дисперсии) этих параметров методами теории нечётких множеств.
Предложены математические методы оценки среднего значения и дисперсии для нечётких чисел произвольной формы. Достоинством предложенных методов является их новизна и универсальность применения. Любая статистическая нечёткость, неточность или неполнота описывается нечётким числом с известными параметрами формы и числовыми характеристиками (средним значением и дисперсией). При нечётком представлении случайных погрешностей, среднее значение и дисперсия
характеризуют их в числовом отношении и позволяют оценить суммарное влияние на точность технического устройства.
Предложены математические методы оценки ковариации и корреляции между нечёткими числами произвольного вида, а также выполнено моделирование процесса оценки суммарного влияния нечётко заданных погрешностей функциональных блоков технического устройства на основе классического метода суммирования, пользуясь знанием числовых характеристик нечётких погрешностей и корреляции между ними.
В третьей главе решена задача оценки числовых характеристик (среднего значения, дисперсии, ковариации и корреляции) для стандартного набора нечётких чисел, используемых при описании нечётких параметров в теории оценивания.
Получены новые аналитические зависимости средних значений и дисперсий от параметров формы нечётких чисел.
Решена задача оценки ковариации для унимодальных и толерантных нечётких чисел.
Решена задача оценки коэффициента корреляции между техническими параметрами, описанными нечёткими числами.
Оценены предельные значения коэффициентов корреляции для различных сочетаний нечётких чисел и получены зависимости величин коэффициентов корреляции от изменения коэффициентов формы того или иного нечёткого числа.
Все расчёты сведены в структурированные таблицы и удобны для дальнейшего применения.
Четвёртая глава посвящена алгоритмизации, предложенных во второй главе, процедур оценивания числовых характеристик параметров технических объектов, а также разработке и описанию программного комплекса, учитывающего структурированные алгоритмы построения функций принадлежности нечётких чисел, алгоритмы оценки числовых характеристик нечётких чисел и алгоритмы оценки суммарного влияния нечёткости.
Создан оригинальный алгоритм построения функции принадлежности нечётких чисел, который имеет свои особенности в зависимости от типа
исходной информации; алгоритм оценки числовых характеристик нечётких чисел и корреляции, который складывается из алгоритмов оценки среднего значения, дисперсии и коэффициента корреляции; алгоритм оценки суммарной погрешности технических объектов многозвенной структуры.
Предложенные алгоритмы упорядочены в виде структур и схем, которые явились основой для создания программного обеспечения в виде комплекса программных модулей с единым пользовательским интерфейсом, реализующего эти алгоритмы.
Разработан программный комплекс, как необходимое инструментальное средство, позволяющее использовать предложенные методы оценки числовых характеристик нечётких чисел непосредственно в инженерной практике. Программный комплекс получил наименование «НОТО» - «Нечёткая Оценка ТОчности».
Созданный программный комплекс, позволяет максимально просто и быстро в автоматизированном режиме выполнять следующие операции:
подбирать функцию принадлежности для описания нечёткости в задании параметра (погрешности) технического объекта;
оценивать параметры формы нечёткого числа и его числовые характеристики;
оценивать суммарное влияние нечётко заданных погрешностей отдельных блоков технического с учётом корреляции.
В пятой главе выполнен анализ достоверности результатов, получаемых нечёткими методами и практическое подтверждение результатов исследования созданием методики оценки поглощённой дозы излучения рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01.
Работа выполнялась в Снежинской государственной физико-технической академии с 2001 года и прошла апробацию на шести конференциях различного уровня, основное содержание работ опубликовано в [18-23, 53-57]. Материалы, вошедшие в диссертацию, докладывались и были представлены на научно-технических конференциях «Дни науки ОТИ МИФИ» (Озёрск, 2002, 2003), на III межвузовской отраслевой научно-технической конференции «Автоматизация и прогрессивные технологии (Новоуральск, 2002), на
международной научно-практической конференции «Снежинск и наука» (Снежинск, 2003), на IX Нижегородской сессии молодых учёных (Саров, 2004), на отраслевой научно-технической конференции «Технология и автоматизация атомной энергетики» ТААЭ-2004 (Северск, 2004).
Практическая ценность подтверждена хоздоговорными и госбюджетными практическими исследованиями: НИР по техническому заданию Российского Федерального Ядерного Центра Всероссийского научно-исследовательского института теоретической физики имени академика Забабахина Е. Н. от 18.11.2002 года «Определение статистических характеристик параметров рентгеновского тракта компьютерного томографа РКТ-01»; работы по программе совместного инновационного сотрудничества Министерства образования России и Министерства РФ по атомной энергии - проект 4.03. -07 «Методы оценки состояния технических систем по нечётким данным». Кроме того, в 2003 году исследования автора по данной тематике признаны победителем конкурса научных проектов аспирантов и молодых учёных ВУЗов Челябинской области (Приложение М).
Математические методы, предложенные в диссертационной работе, используются в учебном процессе Снежинской государственной физико-технической академии в рамках учебного курса «Теория нечётких множеств». Издано методическое пособие [53].
Автор выражает благодарность научному руководителю к.т.н., доценту Крушному В. В, научному консультанту к.т.н., доценту Мякушко В. В. и коллегам по работе, оказавшим поддержку и помощь в работе над диссертацией.
Достоинства и недостатки вероятностного подхода к оценке числовых характеристик случайной погрешности
Неотъемлемыми достоинствами вероятностного подхода к обработке статистических данных являются: - наличие достаточно полного, изученного и апробированного матема-тико-статистического аппарата для анализа; - возможность корректировки полученных результатов в зависимости от полноты исходной информации; - получение результата обработки данных с той или иной степенью точности.
Основным недостатком вероятностного метода оценивания является требование априорной оценки точности, что лежит в основе решения рассматриваемой задачи. Для проведения этой оценки необходимо задаться моделью случайных погрешностей, представляющих собой суммарные ошибки исходных данных (математической модели, измерений, априорных данных). Показано [12], что точность получаемых результатов по вероятностным методам монотонно возрастает по мере привлечения к обработке дополнительных измерительных данных. Однако опыт решения прикладных задач свидетельствует о том, что эти свойства не реализуются на практике и, начиная с некоторого момента, дальнейшее увеличение объёма используемой инфор мации не приводит к повышению точности получаемых оценок [8, 12, 51, 84]. Таким образом, существует явное расхождение между выводами статистической теории оценивания и результатами применения, которыми на практике пренебрегают.
При решении задач оценивания в условиях неопределённости вероятностные характеристики считаются неизвестными и задаются лишь пределы, в которых могут изменяться либо сами ошибки, либо их вероятностные характеристики, применяется гарантирующий подход [10, 69]. В ряде случаев он позволяет получить более близкий к практике результат, чем классический вероятностный подход. Особенно это относится к оценкам точности получаемых значений параметров и выбору решения задач оценивания, но его существенным недостатком является то, что гарантированные характеристики точности получаемых оценок соответствуют наихудшим возможным комбинациям ошибок исходных данных (или их математических ожиданий, дисперсий и коэффициентов корреляции) в заданных пределах. Это приводит к неоправданным затратам на проведение исследований.
К недостаткам вероятностной теории оценивания нужно отнести и ограниченный набор функций распределения, применяемый для описания случайных погрешностей. В источнике [32] приведены наиболее распространённые недостатки в подходе к задаче идентификации законов распределений погрешностей измерений: первое - это «историческая» ограниченность множества моделей, используемых для описания законов распределения ошибок измерений, и искусственность многих применяемых моделей (треугольное, трапецеидальное и т.п. распределения), в реальных задачах неоправданно редко в качестве моделей используется экспоненциальное семейство распределений; во-вторых, определенная тяга к формализации процесса идентификации законов распределения, причем в некотором отрыве от современного аппарата математической статистики; в-третьих, недостаточная нацеленность при решении задач идентификации на использование развитого программного обеспечения задач статистического анализа или на его разработку. Практически не используются при исследовании вероятностных зако номерностей возможности компьютерного моделирования, а если используются, то ошибки применения аппарата математической статистики при моделировании сводят на нет результаты исследований.
Исходя из выше сказанного, автор приходит к выводу, что оценка параметров случайных погрешностей в условиях неопределённости очень и очень затруднительна, т.к. вероятностные методы оценки без наличия статистической информации оказываются беспомощными.
При анализе источников суммарной погрешности технической системы (САУ, САР или РЭУ) часто необходимо выделить основные погрешности, оказывающие влияние на результирующую погрешность, и погрешности влиянием которых можно пренебречь. Далее требуется найти статистическую модель погрешности, каждого функционального блока технической системы.
В зависимости от того, коррелированны эти погрешности или нет, существуют методики оценивания их суммарного влияния [11, 12, 65, 71].
Сложность оценки сводится к тому, что при наличии статистической информации, на практике часто не удаётся описать случайные погрешности одним и тем же законом распределения или же статистическая информация отсутствует, и статистические методы оценки применить вообще нельзя. Случайные погрешности измерений не так уж часто подчиняются нормальному закону распределения, точнее, не так часто хорошо описываются моделью нормального закона. В основе измерительных приборов и систем лежат различные физические принципы, различные методы измерений и различные преобразования измерительных сигналов. Погрешности измерений как величины являются следствием влияния множества факторов, случайного и неслучайного характера, действующих постоянно или эпизодически.
Полагается, что истинный закон распределения (если он, конечно, существует), описывающий погрешности конкретной технической системы, остается (останется) неизвестным, не смотря на все наши попытки его идентифицировать.
Математические модели случайных погрешностей
Практические методы определения параметров формы колоколообразного левостороннего и колоколообразного правостороннего нечётких чисел отсутствуют. Задача нахождения этих параметров требует удобного в практическом использовании решения. Предлагается решать задачу следующим образом. 1) Определение параметров формы левостороннего колоколообразного нечёткого числа.
Левостороннее нечёткое число задано кусочно-непрерывной функцией относительно центра числа - а [29]: i1(x) = l-exp(-k1x ), хє[0, а]; ц(х) = ц2(х) = ехр(-к2(х-а) ), хє[а, со), ki k2, (2.1) где kj и кг - коэффициенты формы левее и правее центра соответственно. Условие кі кг даёт возможность формировать функцию ц(х) с левосторонней асимметрией. Параметр а носит название центра нечёткого числа, который является точкой максимума функции щ(х) и соответствует наиболее вероятному значению нечётких данных. Это значение всегда известно либо из лингвистического описания, либо из экспериментальных данных. Ц(х) и р.2(х) принадлежат одному семейству функций - экспоненциальных, что позволило в дальнейшем упростить оценки числовых характеристик этого нечёткого числа.
Графически нечёткое число представлено на рисунке 2.1.
На рисунке 2.1 обозначены характерные точки нечёткого числа на уровне 0,5, а также центр - величина а. Координаты отмеченных точек выражены через а при помощи весовых коэффициентов п и т, как показано на рисунке 2.1. Сделано это для того, чтобы установить связь между известной величиной — центром нечёткого числа и неизвестными параметрами формы k и кг- Через установленную связь подбираются значения к і и к2 при помощи весовых коэффициентов пит.
Из графического и аналитического описания очевидно, что прих=0 щ (0) = 0 при х=а ц,(а) = 1 — ехр(—kja ), fi2(x) = l, (2.2) при х-»оо Ц2() = 0. Из соотношений (2.2) следует, что Ці(х) не равна единице в точке а, но можно приблизить её к этому значению подобрав параметр формы к. Учитывая тот факт, что кривая Ці(х) приближённо описывает нечёткие данные, то и условие (i(a) = l может выполняться приближённо, тем более, что теория нечётких множеств [29, 34] это допускает.
Исходя из зависимости (2.1) и соотношений рисунка 2.1. для уровня нечёткого числа 0,5 имеем: wj(a/n) = l-exp(-klx(a/n) ), exp(-klx(a/n)2) = 1-0.5, -klx(a/nf = In 0.5 In 2 In? kl = (a/n)2
Практический опыт подбора коэффициента kj показал, что для того, чтобы форма кривой удовлетворяла условию ф(а) близко к 1», весовой коэффициент п должен быть «близок к трём». При п=2 щ (а) = 0,93746, при п=4 Ці(а) = 0,99998, но крутизна кривой щ(х) такая сильная, что унимодальное нечёткое число напоминает толерантное, чего не должно быть. При п=3 зависимость к(а) имеет вид: .... 6.237 ._ ,ч kl(a) = —=- (2.4) л1
Аналогичным способом получена зависимость к2(а). Согласно соотношениям рисунка 2.1 и зависимости (2.1) имеем: т\ (a + m a) = ехр(-к2 (a + m а - а) ), exp(-k2-(m-a) ) = 0.5, -к2-(т-а)2 = 1п0.5 к2= П2 2 2 а -т
Исходя из условия (2.1), что коэффициент формы kl должен быть больше к2 и учитывая соотношения (2.4) и (2.5) получаем, что масштабный коэффициент m должен быть больше, чем 1/3. k2(a,m) = -= 2 гдеп1 1/3 (2-6) а ш
Чем больше m, чем больше зона неопределённости колоколообразного нечёткого числа правее центра (см. рисунок 2.1).
Зависимости (2.4) и (2.6), как показано далее, используются для автоматизации процесса построения функции принадлежности колоколообразного левостороннего нечёткого числа. 2) Определение параметров формы правостороннего колоколообразного нечёткого числа.
Колоколообразное симметричное нечёткое число
В зависимости от типа исходной информации (под исходной информацией понимается набор статистических данных {х, Р(х)}, где х -наблюдение, Р(х) - вероятность его появления в ходе эксперимента) А-ПФП имеет свои особенности.
Исходная информация может быть трёх видов: - полная статистическая; - неполная (частичная) статистическая; - экспертные оценки, косвенные наблюдения.
В зависимости от того, к какой группе относятся исходные данные, таким будет алгоритм построения функции принадлежности нечёткого числа. Если данные относятся к первой группе, то А-ПФП-1, если ко второй - А-ПФП-2, если к третьей - А-ПФП-3. Схематично разбиение А-ПФП представлено на рисунке 4.1. А-ПФП А-ПФП-1 А-ПФП-2 А-ПФП-3 Рисунок 4.1 - Структура разбиения А-ПФП в зависимости от вида исходной информации.
1) Алгоритм построения функции принадлежности нечёткого числа при наличии полной статистической информации (А-ПФП-1) состоит из следующих шагов (см. раздел 2.1.2):
а) для всех наблюдений выполнить преобразование «вероятность»- «принадлежность» по формулам (2.12) и (2.13);
б) для всего ряда наблюдений выполнить процедуру модификации (если х 1, то увеличить, а если х 100, то уменьшить) - по желанию;
в) изобразить модифицированный ряд наблюдений на плоскости, выделить краевые точки и проверить на РВЗ;
г) по расположению точек подобрать подходящую функцию принадлежности для описания данных (Приложение А или другие источники);
д) применить МНК для оценки коэффициентов выбранной в п.г) математической модели или попробовать подобрать вручную, учитывая зависимости (2.4), (2.6), (2.11) и характер расположения данных.
Для изображения структуры А-ПФП-1 введём обозначения: {х, Р(х)} - наблюдения (случайная величина); {х, ц(х)} - нечёткое множество; {х , ц (х)} - нечёткое множество после модификации, выделения краевых точек и РВЗ; LR - нечёткое число в LR-форме; Р—»М - преобразование «вероятность»-«принадлежность»; МРД - модификация ряда наблюдений; КТ - выделение краевых точек; РВЗ - выявление РВЗ; ФП - подбор функции принадлежности; МНК - применение МНК для оценки коэффициентов; РПП - ручной подбор параметров нечёткого числа; ТА - тело алгоритма; IN - входные данные; OUT - выходные данные. 2) Алгоритм построения функции принадлежности нечёткого числа при наличии неполной статистической информации (А-ПФП-2) состоит из следующих шагов: а) для имеющихся наблюдений выполнить преобразование «вероятность»- «принадлежность» по формулам (2.12) и (2.13); б) выполнить процедуру модификации для всех наблюдений (если х 1, то увеличить, а если х 100, то уменьшить) - по желанию; в) изобразить модифицированный ряд наблюдений на плоскости, выделить краевые точки и проверить на РВЗ; г) по расположению точек и дополнительным сведениям о характере наблюдаемого нечеткого параметра (лингвистическому описанию, экспертным оценкам) подобрать подходящую функцию принадлежности (Приложение Б или другие источники); д) подобрать параметры формы нечёткого числа, выбранного в п.г), вручную, учитывая зависимости (2.4), (2.6), (2.11) и характер расположения имеющихся данных, или вычислить аналитически (для треугольного и трапециидалыюго нечётких чисел) на основе априорной информации, как показано в Приложении А. Выявим структуру А-ПФП-2 с учётом обозначений п. а) и дополнительных обозначений: ЛО - лингвистическое описание параметра; ЭО - экспертные оценки; АВП - аналитическое вычисление параметров нечёткого числа.
Структура А-ПФП-2 представлена на рисунке 4.4, а схема алгоритма программного модуля построения функции принадлежности нечётких чисел при наличии частичной статистической информации на рисунке 4.5.
Алгоритм оценки числовых характеристик нечётких чисел и корреляции (А-ОЧХ)
Предложенные методы оценки числовых характеристик нечётких чисел, а также построенная на их базе методика оценки суммарного влияния нечётко заданных погрешностей на точность устройства в целом, легли в основу разработки программного комплекса, предназначенного для оценки точности технического устройства при нечёткой исходной информации -«НОТО».
Абривиатура «НОТО» получена из словосочетания - НЕЧЁТКАЯ ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ.
При создании программного комплекса необходимо:
- учитывать, структурированные алгоритмы построения функций принадлежности нечётких чисел (А-ПФП), алгоритмы оценки числовых характеристик нечётких чисел (А-ОЧХ) и алгоритмы оценки суммарного влияния нечёткости (А-ОСП)(см. раздел 3);
- разрабатывать программное обеспечение на языке программирования, предусматривающем максимальную визуализацию результатов оценки.
Программный комплекс для оценки точности технического устройства при нечёткой исходной информации («НОТО») предназначен автоматизировать и визуализировать методику оценки точности технического устройства в зависимости от его структуры, а также минимизировать время на проведение инженерами-исследователями процедуры оценки точности в условиях частичного или полного отсутствия статистической информации.
«НОТО» - это универсальный программный комплекс, позволяющий максимально просто и быстро в автоматизированном режиме подбирать функцию принадлежности для описания нечёткости в задании параметра (погрешности) технического объекта; оценивать параметры формы выбранного нечёткого числа и его числовые характеристики; оценивать суммарное влияние нечётко заданных погрешностей отдельных блоков технического устройства на его точность с учётом корреляции.
Удобство использования и универсальность «НОТО», главным образом состоит в том, что это профаммное средство может использоваться не только для решения задачи оценки точности технического устройства, а для решения отвлечённых задач, таких как: подбор и построение функции принадлежности нечёткого числа, оценка числовых характеристик нечёткого числа, оценка коэффициента корреляции. Важность решения перечисленных задач очень велика в рамках инженерного прогнозирования, многокритериального выбора в нечётких условиях и др. Решение задачи оценки среднего значения нечёткого числа может использоваться как метод дефаз-зификации и другие приложения.
Входными данными профаммного комплекса «НОТО» является: статистическая информация (полная или частичная), а так экспертные оценки и косвенная информация позволяющая выбрать тип нечёткого числа по лингвистическому описанию нечёткости. Выходные данные на разных уровнях работы программного средства различны. Это могут быть параметры формы нечёткого числа или чисел, средние значения, дисперсии или СКО, величина коэффициента корреляции или характеристики суммарной погрешности.
Требования к профаммному комплексу «НОТО» определяются его целевым назначением: создать универсальный комплекс по обработке неполных, неточных и нечётких данных.
А именно: 1) максимально автоматизировать и упростить решение задачи подбора и построения функции принадлежности нечёткого числа; 2) автоматизировать вычислительные процедуры оценки числовых характеристик нечётких чисел различной формы; 3) максимально упростить процедуру оценки числовых характеристик суммарной пофешности технического устройства, если пофешности функциональных блоков описаны нечёткими числами; 4) создать программный комплекс, позволяющий пользователю решать все перечисленные задачи, а также каждую в отдельности без привязки к остальным; 5) обеспечить визуализацию проводимых расчётов, простоту выбора и выполнения действий, а также необходимые пояснения. 6) обеспечить простоту эксплуатации. При решении задач оценивания в условиях неопределённости программный комплекс «НОТО» реализует следующие функции:
1) на основе выбранной пользователем схемы соединения функциональных блоков технического устройства, выбирается количество блоков, соединённых последовательно или параллельно (п), в случае соединения с обратной связью это количество автоматически равно двум;
2) производится выбор способа задания погрешности і-го функционального блока, типа нечёткого числа и производится оценка его параметров в зависимости от вида исходной информации, согласно схеме А-ПФП;
3) параметры формы і-го нечёткого числа заносятся в многомерный массив F, і-ой строкой;
4) рассчитываются числовые характеристики і-го функционального блока и заносятся в одномерные массивы А, В и С соответственно;
5) оцениваются числовые характеристики суммарной погрешности технического устройства выбранной структуры по алгоритму А-ОСП;
6) результаты расчётов выводятся на экран и могут быть распечатаны в текстовом формате или сохранены текстовым файлом.
Перечисленные функции программного средства «НОТО» дают представление пользователю об объёме задач, решаемых в рамках комплексной оценки точности работы технического устройства.
