Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обратная задача теории бифуркации в динамической системе с шумом 20
1.1. Введение 20
1.2 Состояние проблемы 22
1.3 Постановка задачи 27
1.4 Экспериментальные данные 32
1.5 Теоретическое обоснование 36
1.6 Пример решения обратной задачи 51
1.7 Заключение 58
Глава 2, Исследование системы Розенцвеига-Макартура методом русел и джокеров 61
2.1 Введение 61
2.2 Русла и джокеры 62
2.3 Сингулярно возмущённые системы 65
2.4 Популяцнонная динамика 71
2.5 Пример исследования методом русел и джокеров 79
2.6 Заключение 97
Глава 3- Исследование жёсткой турбулентности методом русел и джокеров 100
3.1 Введение 100
3.2 Уравнение Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау) и жёсткая турбулентность 101
3.3 Переключающаяся перемежаемость и отображение Ершова 106
3.4 Реконструкция системы Ершова: случай одной переменной 113
3.4.1 Первичный анализ информации о наблюдаемой системе 113
3.4.2 Предварительные соображения по схеме русел и джокеров 1 IS
3.4.5 Джокер J, 124
3.4.6 Построение системы русел и джокеров 129
3.4.7 Результаты моделирования, сравнение 132
3.5 Заключение 135
Основные результаты диссертации 137
Библиография
- Постановка задачи
- Теоретическое обоснование
- Сингулярно возмущённые системы
- Переключающаяся перемежаемость и отображение Ершова
Введение к работе
В последнее десятилетие всё большее внимание в науке уделяется междисциплинарным подходам, В основе таких подходов лежит глубокая аналогия математических моделей, используемых в различных областях исследования. Особый интерес вызывают нелинейные проблемы и соответстсующие нелинейные модели. В литературе всё чаще употребляется словосочетание «нелинейная наука».
Одним из наиболее плодотворных и бурно развивающихся подходов современной науки является теория самоорганизации, или синергетика. Данный термин ввёл в употребление Герман Хакен, выявивший ряд аналогий между неуетойчивоетями в гидродинамике и динамикой лазеров [1].
Междисциплинарные исследования активно развивались и в СССР, в частности, в Институте прикладной математики имени М.В. Келдыша Академии наук. Следует особо отметить вклад школы СП. Курдюмова в области исследования режимов с обострением (динамических режимов, характеризующихся неограниченным ростом величины одной или нескольких переменных состояния в течение конечного промежутка времени [2], наблюдающихся в открытых системах с сильной положительной обратной связью).
В истории синергетики традиционно принято выделять два следующих, друг за другом периода, соответствующие двум различным парадигмам. Первая из них связана с рассмотрением явления самоорганизации в пространственно распределённых системах (системах, в которых динамические переменные зависят от пространственных переменных). Самоорганизация заключается в выделении небольшого числа переменных, так называемых параметров порядка [1,3], определяющих динамику всей системы, формально обладающей бесконечным числом степеней свободы. Данная парадигма сформировалась после того, как было обнаружено, что многие сложные явления, относящиеся к различным областям знания (колебательные химические реакции, самопроизвольное упорядочивание в гидродинамических системах, явления физики плазмы, нелинейной оптики, популяционной динамики, и т.д.) могут быть описаны с использованием похожих простых математических моделей.
Появление параметров порядка можно пояснить следующим образом. Пусть дана задача для уравнения в частных производных, описывающего некоторую пространственно распределённую систему, например, следующего вида:
0<хu(x,G) = uQ(x) u,{Q9t) = ux(l,t) = Q
Введение
где t - время, л: - пространственная переменная, и - динамическая переменная, а F- некоторая нелинейная функция. Разложив и в ряд Фурье
и выполнив подстановку, задачу можно свести к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений
^=/^,0,,^,...)-^,^ = 0,1,2, ....
где /т - нелинейные функции, а члены утСт обусловлены диссипативными процессами (трением, вязкостью, диффузией, теплопроводностью),
о<...<г„<^+,<»--
Может оказаться, что амплитуды гармоник Ст с течением времени убывают тем быстрее, чем выше номер гармоники. Пусть 5- характерное время изменения переменных C0,,.,,CW_,, а переменная Ст меняется значительно быстрее, для чего необходимо выполнение неравенства 8»\jym (это фундаментальное допущение носит название адиабатического приближения). Пусть также выполняется цепочка неравенств ут <^ym+l ^Y^i **-, означающая, что процессы, соответствующие первым /и+ 1 гармоникам, идут значительно медленнее остальных.
Тогда можно перейти к системе т + 1 дифференциальных и последовательности алгебраических уравнений
^«-у^ + Л^СрС^...,^). * = 0, I 2,.. т-\
0 = -^+/ДС0,СрС2,...,C^pCft,...), p = nh т + 1, т + 2,...
(строгое обоснование допустимости такого перехода для ряда систем дифференциальных уравнений дано А.Н. Тихоновым [4], что положило начало новому направлению асимптотического анализа), описывающих процессы с характерными временами т^І/у^. Выразив амплитуды Ст, Ст+И ... через
^,...,^1, можно записать систему m дифференциальных уравнений вида
Таким образом, задавшись точностью и характерными временами, можно значительно упростить исходную систему.
Ключевая роль в формировании простого поведения сложной системы в данном случае принадлежит диссипативным процессам. В диссипативных системах объём выделенной области фазового пространства уменьшается под действием оператора эволюции, что с течением времени может привести к формированию стационарного, пространственно-неоднородного распределения
Введение
динамических переменных, не чувствительного или слаоо чувствительного к изменению начальных условий задачи в широком диапазоне. Распределения такого рода были названы И.Р. Пригожішим днссыпативными структурами
[5].
Отметим, что интерес представляет асимптотическое поведение системы, и
здесь уместно подчеркнуть принципиальное отличие от консервативных систем, в которых объём выделенной области фазового пространства сохраняется, а поведение определяется начальными условиями и не разделяется на переходное и асимптотическое.
Перечислим некоторые, широко известные модели теории диссипативных структур. Прежде всего, к ним относятся системы «реакция-диффузия» вида
дп і ч д2п dt W дх2 '
где п обозначает концентрацию некоторого вещества, первый член соответствует изменению концентрации в результате химической реакции и обычно представляет собой полином, а второй член соответствует диффузии вдоль оси х (к- коэффициент диффузии). Для простоты обозначений приведён вариант системы для одного вещества и одномерного пространства [1,5]*
Классическим примером такой системы является введённая Пригожиным модель под названием брюсселятор. Дана следующая цепочка реакций:
А-*Х
B+X^Y+D
2X + Y~*ZX '
Х^Е
где А и В - исходные вещества, D и Е - продукты реакции, а X и Y -промежуточные вещества. Модель представляет собой следующую систему уравнений в частных производных:
дп. ґ. гЧ 2 д2п,
—l = a~(b + l)n, -bntiu+K,—~-
дщ - ч д2щ 9
dt Эх
где а и b - концентрации А и В (считаются заданными), а щ и п2 —
концентрации X и Y. Как правило, используются граничные условия следующего вида:
и, (0,/) -/7,(1,/) = а и2(0,;) = л2(и)=~"
Введение
В зависимости от значений параметров, модель бргосселятора допускает решения различных типов - пространственно-однородные, пространственно-неоднородные стационарные, предельные циклы, химические волны.
Рис, 1. Спиральные волны в реакции Бел оусова-Жаботи некого
Химические волны, возникающие в первоначально однородной (взболтанной) реакционной смеси, находящейся в неглубокой кювете, вид сверху (рисунок заимствован из [6]),
Из практических примеров самоорганизующихся химических реакций чаще всего упоминается реакция Белоусов а-Жаботи некого [7]. Реакция обычно протекает при +25С в смеси, состоящей из бромата калия, малоновой или броммалоновой кислоты и сульфата церия, растворённого в лимонной кислоте, и позволяет наблюдать разнообразные пространственно-временные структуры (в замкнутой системе - в течение ограниченного времени), в частности, спиральные волны (ревербераторы), показанные на рис. 1.
Типичная задача исследования таких диссипативных структур состоит в определении зависимости их типа и конфигурации от параметров системы, или построении бифуркационной диаграммы (термин «бифуркация» обозначает изменение числа или устойчивости решений определённого типа, или, в более широком смысле, качественное изменение топологии фазового портрета системы). Математический аппарат, используемый для решения задач такого рода, включает качественную теорию дифференциальных уравнений [8,9,10,11] и теорию бифуркаций [11,12,13,14,15,16,17].
Другая классическая модель описываемого периода развития нелинейной динамики - модель подогреваемого снизу слоя жидкости. Модель демонстрирует явление конвективной неустойчивости: при достижении температурным градиентом критического значения, в жидкости, до того неподвижной, начинается макроскопическое движение с образованием либо горизонтальных цилиндрических валов, либо вертикальных гексагональных структур {ячеек Бенара). Это, а также прочие явления, характерные для данной модели, играют важную роль, в частности, в гидродинамике и метеорологии
т.
Напоследок (но не в последнюю очередь), отметим приложения теории диссипативных структур в биологии. Из представления клетки в виде системы, регулируемой локальной концентрацией определённых химических веществ, естественным образом вытекает предположение об аналогии самоорганизации химических структур в однородной реакционной смеси и морфогенеза -самоформирования клеточных структур из совокупности одинаковых клеток. На этой аналогии основаны, например, модели Зимана процесса дифференцировки костной и мышечной ткани и развития слизистых грибов [6].
Введение
Итак, простота описания сложных пространственно распределенных систем методами теории диссипативных структур заключается в следующем. Во-первых, как выяснилось, одни и те же уравнения подходят на роль математических моделей различных процессов. Во-вторых, качественное понимание поведения систем уравнений в частных производных, достижимо посредством использования простейших динамических систем. В-третьих, несколько простейших бифуркаций могут использоваться для описания множества различных нелинейных процессов и неустойчивостей.
Следует, однако, отметить, что число систем, допускающих действительно простое описание средствами теории диссипативных структур, сравнительно невелико. Поиск диссипативных структур в физических системах и прикладных задачах часто требует учёта существенных деталей, сильно усложняющих модель (нелинейных эффектов и т,и.). В процессе углублённого исследования, как правило, выясняется, что явления, аналогичные качественно, различаются в деталях.
Отметим некоторые ожидаемые направления развития и практического применения теории диссипативных структур. Предполагается, что технологии нового поколения, использующие пространственную самоорганизацию, самоформирование и другие нелинейные эффекты, могли бы быть использованы для создания нанонроводов, оптико-электронных систем на квантовых точках, одноэлектронных приборов, и т.п. Также стоит упомянуть проекты ускорения заряженных частиц с помощью лазера и создания теории мощных вихрей в атмосферах планет-гигантов.
Следующая, вторая парадигма нелинейной динамики, в противоположность первой, связана с рассмотрением сложного, непериодического поведения простейших сосредоточенных (не зависящих от пространственных переменных) детерминированных динамических систем. Данная парадигма обязана своим появлением крупнейшему достижению теории динамических систем - открытию детерминированного хаоса, нерегулярного, напоминающего случайное, движения в нелинейных системах, в которых эволюция состояния системы во времени однозначно определяется предысторией [18], Отметим, что нелинейность необходима (хотя и не достаточна) для возниктовения хаотического движения: линейные системы дифференциальных или разностных уравнений могут быть решены с помощью преобразования Фурье и не приводят к хаосу.
Важнейшей особенностью хаотических режимов является чувствительность к начальным данным. Поясним это понятие,
В основе современного математического моделирования лежат обыкновенные дифференциальные уравнения (уравнения в частных производных, лежащие в основе математической физики, можно рассматривать как их обобщение на случай бесконечномерного фазового пространства). Классическая теорема о непрерывности и дифференцируем ости решений дифференциальных уравнений по начальным данным [19,20], как прежде считалось, позволяет полагать, что, зная начальное состояние системы и располагая достаточными вычислительными мощностями, можно рассчитать
Введение
состояние системы в сколь угодно отдалённом прошлом и будущем (данная концепция получила название Латасовского детерминизма). Действительно, небольшая ошибка в определении начального состояния, согласно теореме, продолжает с течением времени оставаться сравнительно небольшой. Кроме того, в большинстве практических приложений рассматриваются относительно простые решения - стационарные или колебательные.
Однако, в 1963 году, Лоренц, в процессе численного исследования свойств модели конвекционных токов в атмосфере, обнаружил, что, после ввода незначительной ошибки в начальные условия (уменьшения числа верных десятичных знаков), расхождение решений быстро нарастает, вплоть до полной потери аналогии. Обнаруженное у модели Лоренца свойство чувствительности к самой незначительной погрешности начальных данных является обоснованием, в частности, невозможности долгосрочного прогнозирования погоды.
Заметим, что чувствительности к начальным данным формально не противоречит непрерывности и дифференцируемое по начальным данным.
Здесь уместна аналогия с функцией вида f(x) = s'm(tx), которая при сколь
угодно больших / удовлетворяет определениям непрерывности и дифференцируемое, однако, в любом практическом приложении (в физике, в вычислительном эксперименте, и т.п.) существует такое /, начиная с которого использование данной функции в качестве непрерывной (дифференцируемой) невозможно.
\J) їЩп
;е'
(а) (б)
Рис. 2. Поясненне к определению хаотического отображения
(а) - существенная зависимость от начальных условий. .г0, уа - начальные значения,
(б) - транзитивность.
Приведём более строгое определение детерминированного хаоса [21]. Пусть дано метрическое пространство \Х9а). Отображение /:ІИ X
является хаотическим, если выполняются следующие условия: 1. / обладает существенной зависимостью от начальных условий. Пусть х є U с X, где U - некоторое открытое множество. Тогда для некоторого
Введение
д > 0 существует такое целое п > 0 и такая точка yet/, что d(/"> (*),/М (у)) > 5 (рис. 2(a)).
/ транзитивно^ то есть для любой пары U,V открытых множеств существует такое п > О, что /( (U) г\ V Ф 0 (рис, 2(6)).
Периодические точки /плотны в X. Это означает, что в любой окрестности любой точки вХсуществует по крайней мере одна периодическая точка. Следует отметить, что приведённое определение избыточно: существенная
заависимость от начальных условий следует из выполнения условий транзитивности и плотности периодических точек. При этом, ни транзитивность, ни плотность периодических точек певыводимы из двух остающихся условий [21].
Детерминированный хаос наблюдается как в консервативных (в частности, гамильтоновых) [22,23], так и в диссипативных системах (в последнем случае -только при условии внешнего возбуждения, т.е., система должна быть открытой). В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением хаоса в диссипативных системах.
В отличие от классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, рассматривающей поведение системы на конечном временном интервале, нелинейная динамика интересуется асимптотическим поведением системы. Для диссипативных систем характерно следующее: при / -> со решения сосредотачиваются на аттракторе. Аттрактор - суть некоторое подмножество В фазового пространства, удовлетворяющее следующим условиям [24]:
В инвариантно относительно потока фазовых траекторий (т.е., под действием оператора эволюции переходит само в себя);
существует открытое множество U з В, сжимающееся к В под действием потока (объединение всех таких множеств называется областью притяжения, или бассейном аттрактора);
никакая часть В не является переходной (то есть, траектория не уходит из неё при /->со);
В неразложимо на два непересекающихся инвариантных множества.
Если у динамической системы более одного аттрактора, говорят о мультистабшьности (также известны системы, имеющие бесконечно много различных аттракторов). Обычно, аттрактор представляет собой множество меры нуль.
До открытия детерминированного хаоса было известно всего три простейших вида аттракторов и три соответствующих им вида установившихся решений динамических систем:
Точка. Соответствует состоянию равновесия.
Предельный цикл (замкнутая фазовая траектория). Соответствует периодическому решению,
Предельный я-тор (фазовая траектория образует всюду плотную обмотку некоторого тора). Соответствует квазипериодическому решению
Введение
(совокупности периодических движений с иррациональными
соотношениями периодов). Аттракторы перечисленных видов называются регулярными.
Первопричина нерегулярности поведения хаотических систем определяется их способностью быстро разводить первоначально близкие траектории (расхождение / при малых / в среднем растёт экспоненциально: l-~eh, Л = const, Л>0). Если траектории аттрактора ведут себя подобным образом, то такой аттрактор называется хаотическим.
Таким образом, динамическая система, работающая в хаотическом режиме, демонстрирует одновременно глобальную устойчивость (траектория не покидает пределов области притяжения аттрактора) с локальной неустойчивостью. Последнее означает неустойчивость по Ляпунову (решение
x(t) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого >0 найдётся >0, такое, что для любого решения (/), |i(o)-x{0)j<S7 выполняется
неравенство |х(/)-х(/)|<я, />0) [24,25,26,27],
В качестве количественной меры неустойчивости траекторий хаотического аттрактора используются ляпуновские характеристические показатели. Пусть дана линеаризованная система
й = Ли,
где и - вектор возмущения. Пусть vt - собственные числа матрицы А,
с (О
пронумерованные в порядке убывания, а г - соответствующие им
собственные вектора. Любое решение u(f) данной системы можно представить в виде комбинации базисных решений u. {t) = ev''r\ отвечающих начальным данным и, (0) = rw.
Можно показать, что характеристический показатель решения и(0?
l(u) = Hm-ln|u(Ol
принимает, в зависимости от начальных данных, одно из значений A, = Rev,.. Ляпуновские показатели принято нумеровать в порядке убывания. Среди них наиболее важен старший (максимальный) - Л,, Так как почти все начальные данные имеют ненулевую проекцию на соответствующее ему направление, именно он характеризует скорость нарастания возмущения.
Итак, сочетание глобальной устойчивости с локальной неустойчивостью хаотического аттрактора означает устойчивость по Ляпунову по одним направлениям и неустойчивость по другим. Таким образом, критерием хаоса является набор ляпуновских показателей, содержащий как положительные, так и отрицательные значения (один из показателей, соответствующий возмущению, направленному точно вдоль траектории, равен нулю).
Введение
Часто хаос в диссипативных системах связывают с наличием в фазовом пространстве аттрактора с фрактальным строением - так называемого странного аттрактора. Фрактал представляет собой множество со сложной, тонкой геометрической структурой. Многие, хотя и не все, фракталы отличаются самоподобием, или масштабной инвариантностью, то есть, демонстрируют на разных масштабах разрешения своей геометрической структуры свойства подобия в строгом или приближённом смысле. Наиболее простые и известные примеры самоподобных фракталов - канторово множество, кривая Кох, ковёр Серпиньского [21].
Основной характеристикой фрактала является его размерность - мера степени заполнения пространства (подпространства) фракталом. Существует множество различных определений размерности, используемых при исследовании фракталов. Обычно, в качестве простого и интуитивно понятного примера приводится размерность Минкоеского, или фрактальная размерность, или ёмкость
\ogN{s)
rfM = -1ип ^-
*-> log
Здесь є - диаметр ячейки сетки, а ^(є) - количество ячеек сетки,
покрывающих множество. Одно из определений называет фракталом множество с нецелочисленной фрактальной размерностью.
Более сложное определение, основанное на покрытии множества элементами произвольной формы и размера, имеет размерность Хаусдорфа. Пусть исследуемое множество покрывается множествами Аі9 такими, что
сІіапЦ < є. Пусть
т (є, р) = inf V (сііапіД Y
Тогда
du=^p\p
$ирт(,р)>0,
>Q
Строгое определение, данное Мапдельбротом, называет фракталом множество, хаусдорфова размерность которого строго больше его топологической размерности (топологическая размерность определяется индуктивно, она равна нулю для канторова множества и п для н-мерного евклидового пространства Ш." и локально эквивалентного последнему п-мерного многообразия).
Кроме упомянутых, в теоретических построениях и на практике используются и другие размерности, связанные между собой различным образом - дяпуиовская^ информационная^ корреляционная^ поточечная^ и т.д.
Отметим, что не любой странный аттрактор является хаотическим, и наоборот [28]. Аттрактор с регулярной геометрической структурой и
Введение
целочисленной размерностью, но экспоненциально-неустойчивыми фазовыми траекториями, называется хаотическим нестранным. Аттрактор с фрактальной структурой, но устойчивыми по Ляпунову траекториями, называется странным нехаотическим*
Как правило, динамические системы, в зависимости от значений параметров, способны работать как в регулярных, так и в хаотических режимах. Непрерывное изменение параметров системы от значений, соответствующих регулярному режиму, к значениям, соответствующим хаосу, сопровождается последовательностью бифуркаций, усложняющих поведение системы. Такая последовательность бифуркаций называется сценарием перехода к хаосу, В настоящее время известен ряд сценариев? типичных для множества динамических систем. Перечислим наиболее известные из них.
Сценарий Фейгенбаума представляет собой бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода, возникновение странного нехаотического аттрактора (цикла бесконечного периода), и возникновение хаоса.
Сценарий Полю-Манневиля представляет собой переход к хаосу через возникающий в окрестности точки бифуркации промежуточный режим перемежаемости - чередования временных интервалов регулярного (связанного с прохождением траектории вблизи неподвижной точки) и хаотического поведения.
Сценарий Рюэля-Такенса представляет собой переход к хаосу через последовательное образование периодических составляющих движения с несоизмеримыми частотами (особая точка - предельный цикл - 2-тор). Ситуация с более длинной цепочкой бифуркаций считается атипичной.
Открытие динамического хаоса повлекло пересмотр методов сравнения теории и эксперимента. Прежде расхождение прогноза, полученного с помощью модели, с наблюдаемым поведением системы рассматривалось как признак неадекватности модели. В настоящее время в практику вошло понятие горизонта прогнозирования - предельного времени предсказуемости поведения системы, по истечении которого траектории системы и модели расходятся в любом случае. Оценить горизонт прогнозирования можно, зная старший ляпуновский показатель.
На временных интервалах, превышающих горизонт прогнозирования, наблюдается эффект перемешивания: при рассмотрении в качестве начальных условий точки совместно со сколь угодно малой окрестностью (вместо отдельной точки) решения распределяются по всему аттрактору. Поскольку начальные условия всегда известны с некоторой погрешностью (определяющей диаметр малой окрестности), в условиях перемешивания можно лишь указать вероятность появления изображающей точки в заданной области аттрактора. Установившаяся плотность распределения в данном случае называется инвариантной мерой.
Таким образом, для оценки адекватности модели вместо того, чтобы сравнивать модельную и наблюдаемую траектории поточечно, имеет смысл сравнивать функционалы на траекториях - инвариантную меру, статистические
!3
»4v*ua.a**
теристйки КЗН
нтеграл и нр.)- Характеристики
характеристику юдиадегвшгше характеристики гайиа (ллйуновсісие иаблюдае
ристшкй моделі ьїоіут определяться как
численно, так н в
'ЛП^ ТЇРР
определения лянуншсішх показателей, и др. Классической и наиболее известной матемашяеешй моделью парадигмы
динамического хаоса является система Лоренца [2930]
-fe + CbT
параметров; о"--Ш. г-2%^ й = 8/3)4 Апржгор Лоревш мжшш *ш рмс, 3-
its-10, г-2$; Ь-
# ші
качестве етасшческого примера хаотическом системы є дискретным
Введение
Теория динамического хаоса позволила предложить новый подход к некоторым сложным задачам, например, к проблеме турбулентности в гидродинамике. Прежде считалось, что для описания турбулентности нужны модели очень высокой размерности (примерно по два дифференциальных уравнения для каждой гармоники в спектре наблюдаемого сигнала). Достижения нелинейной динамики позволяют рассчитывать, что хотя бы в некоторых случаях сложное временное поведение может быть описано сравнительно простой математической моделью.
В настоящее время перед нелинейной динамикой ставятся задачи, связанные с поиском единых механизмов в нелинейных явлениях различной природы в физических, химических, биологических, социальных и прочих сложных системах. Однако, попытка осмыслить этот круг задач показала существенный пробел в методах анализа сложных нелинейных систем и в соответствующих теоретических представлениях.
Количество случаев эффективного использования на практике аппарата нелинейной динамики, разработанного в процессе развития двух описанных выше парадигм, сравнительно невелико. К таким случаям относятся эксперименты с исследованием простых электронных схем, хаотических колебаний в некоторых лазерах, некоторых простых сигналов в физиологии, отдельные, специальным образом организованные эксперименты в гидродинамике, и т.п. Попытки применения классических алгоритмов нелинейной динамики для исследования произвольно взятых временных рядов (например, результатов метеорологических наблюдений, сейсмограмм, экономических показателей) редко оказываются успешными.
Причина этого, по-видимому, заключается в следующем. Классические алгоритмы рассчитаны на использование совместно с традиционными разновидностями математических моделей (такими, как системы дифференциальных уравнений). В случае рассмотрения реально существующей сложной, необратимо развивающейся системы, требуется использование модели высокой размерности (десять и более).
Объём выборки, требуемой большинством алгоритмов, можно оценить как
N = N0xlOd9
где d - размерность модели. Проблема заключается не только и не столько в экспоненциальном росте требований к объёму памяти и быстродействию вычислительных машин (объёмы памяти растут также экспоненциально [32], проблему быстродействия иногда удаётся решить за счёт распараллеливания вычислений), сколько в том, что в процессе эксперимента не всегда возможно накопить необходимое количество данных. Данный факт получил название «проклят ия размерност и».
Таким образом, возникла необходимость формирования новой, третьей по счёту парадигмы, которую можно определить как парадигму сложности [33]. На данном направлении требуется решить ряд задач, относящихся к области моделирования сложных систем. Перечислим задачи, рассмотренные в диссертации:
Введение
разработка методов упрощённого описания сложных систем. Подобные методы ориентированы не столько на получение практических результатов (прогнозов, рассчётов и т.п.), сколько на достижение качественного понимания поведения системы (модели высокой размерности не обладают наглядностью).
разработка методов моделирования систем, не имеющих удовлетворительного математического описания. Подобная ситуация имеет место, например, когда данные наблюдений неполны или не вполне достоверны.
разработка алгоритмов численного моделирования сложных систем и решения базовых задач, а также простых моделей, на которых они могут быть апробированы.
Среди возможных областей приложения нового раздела нелинейной динамики особое место занимают описание и прогноз природных и техногенных катастроф, объяснение их природы, обеспечение устойчивости функционирования и развития крупных технических, социальных и экономических систем. Работы в этом направлении тесно связаны с концепцией управления риском (теорией риска и безопасности) [33,34,35], имеющей принципиальное значение для страны в её нынешнем состоянии.
Новизна проблемы и её междисциплинарный характер обусловлены тем, что техногенная цивилизация оказалась в новой для себя области параметров (к примеру, объёмы потребления ряда природных ресурсов сравнимы с их запасами, время, необходимое для изоляции некоторых видов отходов, сравнимо с продолжительностью геологических периодов, а экономический ущерб от техногенных катастроф сравним с бюджетом страны).
Здесь в гораздо более жёсткой постановке, чем в других областях, встаёт проблема выделения параметров порядка и управления сложной системой. Трудность заключается в том, что традиционные методы поиска параметров порядка подразумевают, что набор последних остаётся неизменным в течение всего времени рассмотрения системы. Однако, событие считается катастрофическим или опасным, если оно является непредсказуемым и/или экстраординарным (выделяющимся из ряда себе подобных), так что системы, «склонные к катастрофам», в «штатных» и «кризисных» режимах могут демонстрировать разный состав параметров порядка.
В диссертации рассматриваются задачи в рамках двух возможных подходов к упрощённому описанию сложных систем. Первый из них связан с использованием того факта, что сложная система, как правило, представляет собой иерархическую структуру. Зачастую, с точки зрения конкретной задачи интерес представляет происходящее на каком-то одном уровней иерархии. Влияние элементов других уровней может учитываться в виде слабого шума -флуктуации. В частности, при рассмотрении экономической ситуации на предприятии флуктуациями могут считаться колебания курса валюты (пример влияния высших уровней иерархии) или производительности труда отдельных сотрудников (пример влияния нижних уровней). Отметим, что подобное
Введение
описание приемлемо в случае, если подробности происходящего на других уровнях иерархии неизвестны.
Один из возможных классов задач, возникающих при рассмотрении нелинейных систем с шумом, связан с изучением бифуркаций в таких системах. В первой главе диссертации рассматриваются две подобные задачи. Первая состоит в определении зависимости статистических характеристик порождаемого системой временного ряда от степени близости к точке бифуркации. Вторая, обратная первой, заключается в определении положения точки бифуркации и проверке гипотезы о типе бифуркации по изменению статистических характеристик временного ряда.
Второй из рассматриваемых подходов к упрощённому описанию сложных систем основан на сочетании динамических и статистических методов и использовании неоднородности фазового пространства сложной динамической системы [33,36,37].
Основная идея данного подхода заключается в поиске областей фазового пространства, называемых руспамщ в пределах которых существенные аспекты динамики системы могут быть описаны с применением меньшего количества переменных, чем требуется в общем случае или необходимо для полного, глобального описания. Отличие от традиционных методов выделения параметров порядка состоит в том, что маломодовое описание используется не на всём фазовом пространстве, а только в отдельных его областях. Кроме того, в каждом русле может (хотя и не обязан) быть свой набор параметров порядка.
В продолжение географических аналогий, истоком называется область входа фазовых траекторий в русло («начало» русла), а устьем- область выхода («конец»).
Использование русел даёт возможность делать прогнозы для некоторых систем большой размерности, оказывающихся вне пределов применимости методов маломодовои нелинейной динамики. Однако, срок такого прогноза ограничивается размерами русла, а его точность - не только ошибками исходных данных и хаотичностью системы, но и ошибками, являющимися следствием упрощения системы.
Помимо русел, в фазовом пространстве выделяются так называемые области джокеров, в пределах которых либо адекватное маломодовое описание не представляется возможным вследствие сложности поведения системы, либо недостаточности данных для восстановления сложной многомерной динамики по причине редкого посещения области изображающей точкой. Для описания поведения системы в пределах областей джокеров более предпочтительно использование простых приближённых алгоритмов -вероятностных и/или эмпирических, определяемых из общих соображений. Такие алгоритмы называются джокерами.
В качестве пояснения можно привести следующий простой пример -элементарную модель процесса подъема-спада котировок акций на фондовом рынке [38]. Допустим, участники рыночного процесса в некоторый момент определяют положительный тренд чистой прибыли на акцию, что сказывается на ожиданиях и, как следствие, на котировках (цены акций повышаются).
Введение
Изменение котировок, в свою очередь, может увеличить тренд. В этом случае имеет место процесс с положительной обратной связью - взаимная прямая зависимость тренда и котировок усиливается (типичное движение вдоль русла). Далее, в некоторый момент, исчерпываются ресурсы развитая и/или происходит осознание завышенное спекулятивных ожиданий (прогноз роста прибыли на акцию превышает реальный рост). Это приводит к снижению котировок, и положительная обратная связь может начать работать в противоположном направлении, то есть, происходит обвал. Наконец, при благоприятном развитии событий, рынок стабилизируется, и далее наблюдаются флуктуации котировок вблизи некоторого установившегося значения.
Другими словами, и в случае ситуации с нормальным, и с кризисным функционированием фондового рынка, ключевую роль играют такие параметры, как уровень ожиданий, уровень доверия [38]. В случае кризиса эти переменные могут меняться скачком, что и может быть описано с помощью джокера.
Таким образом, описание системы с помощью русел и джокеров представляет своего рода компромисс между динамическими и статистическими методами, наследуя, по возможности, точность первых и простоту вторых. С другой стороны, рассмотрение объекта в терминах русел и джокеров можно рассматривать как своеобразное применение техники асимптотического анализа. Именно асимптотические методы оказываются естественным аппаратом для синергетики и других междисциплинарных подходов [39],
Подход к описанию сложного поведения с помощью русел и джокеров приводит к двум следствиям. Первое из них - отказ от некоторых ключевых понятий нелинейной динамики. Например, для кусочного описания становятся неприменимы понятия аттрактора, его размерности, ляпуновских показателей и т.п. (впрочем, во второй главе диссертации показано, что это не всегда так),
Второе следствие - изменение взгляда на модели сложных систем вообще. Становится ясно, что для некоторых систем можно вместо единой модели использовать комплекс моделей, в зависимости от ситуации.
Кроме того, возникает ряд вопросов: например, вопрос оценки адекватности построенной вероятностно-динамической модели исходной системе, вопрос определения предсказательных возможностей модели, оценки точности и горизонта прогнозирования. Кроме того, можно поставить вопрос о возможности решения обратной задачи - задачи построения вероятностно-динамической модели на основе наблюдаемого поведения системы.
Во второй главе диссертации демонстрируется пример построения упрощённого, но адекватного описания системы со сложной динамикой методом русел и джокеров, В качестве объекта исследования используется сингулярно возмущённая система дифференциальных уравнений, представляющая собой одну из моделей популяционной динамики - модель Розенцвейга-Макартура трёхзвенной пищевой цепи. Кроме того, предлагается
Введение
метод описания сингулярно возмущённых систем с помощью русел и джокеров.
Особую роль в теории риска и безопасности играет исследование явлений, связанных с редкими катастрофическими событиями. Один из классов подобных явлений связан с жёсткой турбулентностью - возникновением редких пространственно-локализованных пиков гигантской амплитуды на турбулентном фоне [34,40,41].
Для систем с жёсткой турбулентностью типично поведение по следующей схеме. Большую часть времени система демонстрирует наличие небольшого набора параметров порядка, эффективно описывающих ее эволюцию. Однако, время от времени поведение системы резко усложняется: возникновение пика невозможно предсказать, отслеживая параметры порядка фоновой динамики. Состав набора параметров порядка меняется со сменой стадий (фоновая динамика, рост пика, распад пика).
Жёсткая турбулентность характерна для многомерных задач, рассматривающих среды с кубической нелинейностью. Однако, повысив степень нелинейности, её можно наблюдать и в одномерных задачах. Подобное упрощение используется для достижения качественного понимания явления и уменьшения объёма вычислений в численных экспериментах.
Принципиально важный уровень понимания жёсткой турбулентности удалось достичь благодаря появлению предложенной Ершовым простой конечномерной модели, представляющей собой трёхмерное отображение [34,40,41]. Главной особенностью этой модели является возможность её детального аналитического исследования.
В третьей главе диссертации рассматривается проблема построения простой модельной системы, воспроизводящей качественные особенности поведения системы Ершова, работающей в режиме жесткой турбулентности (внутреннее устройство системы скрыто), по результатам наблюдения только одного из трёх временных рядов,
В перечисленных условиях (неоднородность фазового пространства, неполнота доступной информации, изменение состава параметров порядка) невозможно построить динамическую модель, в точности воспроизводящую поведение исходной системы, но метод русел и джокеров выглядит естественным инструментом для решения поставленной задачи. Построенная с его использованием система по своим динамическим и статистическим характеристикам соответствует исходной.
Таким образом, показано, что метод русел и джокеров может успешно использоваться для моделирования редких катастрофических событий и способен стать эффективным инструментом теории риска и безопасности.
Постановка задачи
В качестве объекта исследования выберем некоторую диссипативную динамическую систему, поведение которой описывается автономным обыкновенным дифференциальным уравнением с параметром: x = v(x,A)9 (1,5) где х - x[i) - переменная состояния, / имеет смысл времени, Л - параметр, v некоторая нелинейная функция (фазовая скорость). Также будем пользоваться функцией х U{x,A) = -\v{z,X)dz, (1.6) О называемой потенциалом.
Для данного типа математических моделей имеется ряд строгих результатов, представляющих собой основу для изучения качественных трансформаций широкого класса динамических систем. В сочетании с относительной простотой, это делает динамическую систему вида (1.5) особенно удобной для исследования-Решения уравнения (1.5), в зависимости от v, Я и начального условия х = х0, могут вести себя следующим образом [42]: либо стремиться к постоянному значению - аттрактору (фазовое пространство в данном случае одномерно, и единственный допустимый вид аттрактора - устойчивая особая точка: x[t) - х" при / &, vlx ) = 0), либо неограниченно возрастать
Глава 1, Обратная задача теории бифуркаций в динамической системе с шумом (убывать) за бесконечное время, либо неограниченно возрастать (убывать) за конечное время.
Соответственно выбору однопараметрической одномерной системы для исследования, мы ограничиваемся рассмотрением наиболее простых бифуркаций - локальных бифуркаций положений равновесия. Рассматриваемые нами бифуркации будут иметь коразмерность 1. Чем ниже коразмерность бифуркации, тем более типичной для разнообразных динамических систем она является. Бифуркационные задачи для систем высокой размерности часто сводятся к рассмотрению систем размерности 1 или 2 [12,56,6], Таким образом, выводы, сделанные для некоторой простой системы (такой, как (1.5)), как правило, оказываются довольно общими.
Важным инструментом анализа бифуркаций является теория нормальных форм. Её идея заключается в том, что в окрестности точки бифуркации анализ поведения динамической системы можно свести к исследованию некоторой более простой системы. Такая модельная система будет локально определять динамику исходной системы. Для построения модельной системы (записи нормальной формы) ищется возможность исключения членов старших порядков в разложении v(x?2) в ряд Тейлора [40,44,42].
Перечислим бифуркации коразмерности 1 наиболее распространённых нормальных форм, которые будем рассматривать далее.
Бифуркация типа кседло-узелъ соответствует регулярной экстремальной точке ( ) кривой v{x9X) = . Она возникает при соблюдении условий Ч(хо Л) = 0 vU o A)) 0, v (x0, ) 0. В окрестности точки бифуркации система приводится к виду У = М-У2, (1-7) где у - переменная состояния, а // - параметр (у = 0соответствует х = 0, а // = 0 соответствует Я = Д)), Фазо-параметрическая диаграмма выглядит, как показано на рис. 7(a).
Бифуркация типа «обмен устойчивостью» (транскритическая бифуркация) соответствует двойной точке и наблюдается при соблюдении условий v;(x0, ) = 0, v (x0, ) = 0, Дх0,Л,) 0, О(х0Я) 03 где Система приводится к виду У = М2-У\ (1.8) или к виду y=w-y\ а фазо-параметрическая диаграмма показана на рис. 7(6).
Рассмотрим, как можно в математической модели нелинейной системы учесть влияние шума. В случае системы с непрерывным временем в качестве математической модели самого шума используют какой-либо случайный процесс, обычно вииероеский (винеровским называют случайный процесс w(t), такой, что приращения w{f) на любом наборе неперекрывающихся временных интервалов независимы в совокупности, приращение w(f2)-w(fi) на произвольном временном интервале {tt,t2) представляет собой нормально распределённую случайную величину с математическим ожиданием 0 и дисперсией (ґд- і), и реализации w(f) непрерывны [57]). Обозначим его (() и назовём вносимым шумом. Будем для определённости считать, что его среднеквадратичное отклонение имеет порядок L
Математической моделью системы будет стохастическое дифференциальное уравнение. По способу ввода %{t) в уравнение различают аддитивный шум (здесь І - константа, обозначающая малость шума), мультипликативный шум x = v(xj„)xg(t)f внутренние шумы вида параметрические шумы вида и т.д.
Далее, для определённости, мы будем рассматривать Ь-шум, действующий по следующей схеме. Пусть в определённые моменты времени t. переменная состояния х суммируется с реализацией некоторой случайной величины Н. Назовём это возмущением. Для простоты будем иметь дело только с периодическим 5-шумом (то есть, возмущения происходят периодически, с интервалом Тш). Полученная в результате возмущения сумма используется в качестве начального условия в задаче Конги для дифференциального уравнения (1.5). Система интегрируется в течение времени Тш, затем происходит очередное возмущение, и т.д. В расширенном фазовом пространстве это выглядит как случайное перемещение между интегральными кривыми, как показано на рис. 8. Подобный шум представляется простым и удобным для анализа, и в то же время, он не столь хорошо исследован, как, например аддитивный шум.
В результате, зависимость x{t) будет представлять собой некоторый случайный процесс марковского типа (что означает следующее: для любых г, и г2 г, распределение х(г2) однозначно определяется значением (rj и не зависит от значений я(г) в моменты времени г г, [58]).
Временной ряд хі =Ї(Ґ,), получающийся в результате дискретизации (/), будем называть наблюдаемым временным рядом. Там, где величина интервала дискретизации имеет значение, будем полагать её равной Гш.
Функцию плотности распределения случайной величины Н обозначим /ш () и наложим на неё требование чётности (снос отсутствует). Стандартное (среднеквадратичное) отклонение Н будем обозначать хш.
Теоретическое обоснование
Подчеркнём следующее: уже можно видеть, что тип бифуркации в отдельных случаях можно определить на удалении от точки бифуркации (вне области насыщения). Особенно удобно то7 что интервал корреляции наблюдаемого временного ряда в этом случае сравнительно мал, и данные для статистики можно набрать достаточно быстро.
На рис. 10(г) показаны результаты серии экспериментов над выбранной для сравнения простейшей линейной системой, заданной уравнением y-fi-y. Можно видеть, что зависимость от бифуркационного параметра отсутствует. Уравнение для стандартного отклонения наблюдаемого временного ряда имеет вид
Если выбрать для сравнения линейную систему вида у = уу, результат будет полностью аналогичен случаю системы (1.9), за одним исключением. В окрестности точки потери устойчивости pi - 0 в линейной системе НС происходит насыщения шума: &у продолжает неограниченно возрастать в соответствии с уравнением (1 13). Наблюдение этого, впрочем, затруднено, так как корреляционный интервал также неограниченно возрастает.
Таким образом, для нелилейных систем с непрерывным временем, претерпевающих наиболее типичные бифуркации, экспериментально проверено и подтверждено, что в окрестности точки бифуркации имеет место нарастание шума. Выведенные па основании экспериментальных данных эмпирические формулы в отдельных случаях позволяют определить тип бифуркации еще до выхода дисперсии наблюдаемого временного ряда на уровень насыщения. В дальнейшем предстоит обосновать описанные экспериментальные зависимости теоретически, получив функции плотности распределения наблюдаемого временного ряда для случаев различных бифуркаций.
Данная система удобна тем, что уже находится в нормальной форме: сравнивая уравнение (1.15) с уравнением (1-9), можно видеть, что в точке Я-0 происходит надкритическая бифуркация типа «вилка». Потенциал (1.6) в данном случае имеет вид "М=7-ІЬ (Л6)
На рис. 11 показано, как меняется потенциал в процессе прохождения точки бифуркации. Заметно, что потенциальный минимум в точке х = 0, имеющий место при Л 0Ч после прохождения параметром Я бифуркационного значения Л = 0 заменяется на локальный максимум с одновременным появлением пары симметрично расположенных «потенциальных ям». Энергетические затраты, необходимые для перевода системы с одного пути на другой, соответствуют их «глубине».
Следует также обратить внимание на то, насколько пологим является график потенциала в окрестности положения равновесия в точке бифуркации. Это наглядно показывает, что в точке бифуркации возмущение системы требует минимальных энергетических затрат.
Изменение потенциала при прохождении точки бифуркации.
При отрицательном значении управляющего параметра X система имеет единстве!шое устойчивое положение равновесия х=07 которое, с увеличением А, теряет устойчивость, с одновременным появлением лары симметричных устойчивых положений равновесия (суперкритическая бифуркация типа «вилка»). Обозначения: CD - потенциал с единственным устойчивым положением равновесия; - потенциал с двумя устойчивыми и одним неустойчивым положением равновесия; - устойчивая ветвь фазо-параметрической диаграммы; - неустойчивая ветвь фазо-параметрической диаграммы.
Будем считать, что на систему действует равномерно распределённый S-шум вида (1.11). Пусть управляющий параметр Л 0? и Л приближается к точке бифуркации с соблюдением условия (1.12). Оценим, как при этом меняется дисперсия наблюдаемого временного ряда. Воспользуемся следующими очевидными свойствами функции v(x,A) для случая (1-15): v(x,A)vAx, \Я\»х29 (1.17) у{х,Я)х х\ Д«52. (1.18)
Здесь х обозначает характерную величину х (в качестве оценки характерной величины берётся среднеквадратичное отклонение ff",, так как потенциал (1.16) симметричен относительно начала координат, и можно предположить равенство нулю математического ожидания я). Упрощения (1.17) и (1.18) позволяют разделить анализ поведения системы (1.15) по трём диапазонам значений параметра Л: в одном из них зависимость поведения системы от параметра является наиболее простой, в другом - отсутствует вообще, а в третьем упрощённый анализ невозможен.
В качестве простейшего случая, рассмотрим поведение системы, когда её устойчивость велика (для данного уровня шума) и накопления возмущений не происходит. Под этим подразумевается следующее. Пусть система, находящаяся в положении устойчивого равновесия, подвергается возмущению (характерная величина возмушения в этом случае составит хш), и пусть в течение времени Тш она успевает вернуться обратно в положение равновесия (рис. 12). Это можно записать следующим образом:
Действие шума на систему с высоком устойчивостью
Между возмущениями система успевает вернуться в положение равновесия. Накопления возмущений не происходит. х(0) = та х{Тш)«аш. (1.19)
Из сказанного следует, что достаточно анализа реакции системы только па одно возмущение. Попробуем получить простую оценку характерного отклонения системы от положения равновесия, исходя из следующих соображений.
Для отклонения системы от положения равновесия (при Л О являющегося нулём потенциала), ей необходимо сообщить количество энергии, равное потенциалу системы в возмущённом состоянии. Подставив характерную величину возмущения си в выражение для потенциала (1-16), имеем характерное количество энергии, сообщаемое системе при возмущении. Полученное количество энергии, отнесённое к периоду возмущения, является оценкой мощности вносимого шума Рш :
Сингулярно возмущённые системы
Джокер представляет собой правило или алгоритм определяющий поведение объекта на некотором подмножестве фазового пространства (области джокера), в котором неопределённость в поведении объекта резко возрастает. При попадании изображающей точки в область джокера, происходит его срабатывание - задействуется соответствующее правило (алгоритм).
В зависимости от специфики рассматриваемой задачи, используемые джокеры могут различаться. Например, в [78] предложена следующая классификация джокеров на одномерных отображениях.
Точечный джокер мгновенно переводит систему в определённую точку фазового пространства. Типичный случай, соответствующий срабатыванию такого джокера - быстрое разрушение системы (предполагается, что детали процесса разрушения нас не интересуют, либо их моделирование затруднено). Например, постепенное развитие экосистемы прерывается экологической катастрофой.
Двухточечный джокер при срабатывании с вероятностью р\ переводит систему в некоторую точку фазового пространства А, и с вероятностью рі — в точку В.
Непрерывный джокер переводит систему в точку некоторой области фазового пространства в соответствии с заданным законом распределения вероятности. Этот джокер можно рассматривать как обобщение точечного и двухточечного джокеров.
Мерцающий непрерывный джокер представляет собой непрерывный джокер, срабатывающий с некоторой, отличной от 1, вероятностью. То есть при попадании изображающей точки в область джокера, следующий шаг либо (с вероятностью р[) делается в соответствии с уравнением русла, либо (с вероятностью pj) В соответствии с правилом непрерывного джокера. Данный тип джокеров хорошо подходит для имитации явления перемежаемости.
Мерцающий точечный джокер суть точечный джокер, который срабатывает аналогично мерцающему непрерывному джокеру, в соответствии с вероятностным правилом.
Выбор между точечным и непрерывным джокерами: в соответствии с вероятностным правилом определяется выбор режима срабатывания -точечный или непрерывный.
В [78] на примере логистического отображения рассмотрено влияние различного вида джокеров на поведение системы. В частности, непрерывный
Глава 2. Исследование системы Рпзсніщенга-Макарт ра методом русел и джокеров джокер может сделать поведение полностью хаотическим. Последовательно уменьшая его область, можно сначала добиться режима, похожего на перемежаемость, а затем-«сбоя цикла».
Действие мерцающего непрерывного джокера аналогично. Его преимущество заключается в том, что можно добиваться различной степени хаотичности за счёт варьирования вероятности срабатывания, не меняя при этом размеров области джокера.
Точечный джокер действует прямо противоположным образом, подавляя хаос. Основным типом движения на отображении с таким джокером является цикл. Мерцающий точечный джокер порождает циклические участки, соответствующие действию точечного джокера, впеременп с участками, соответствующими невозмущённому движению. Результатом действия двухточечного джокера является стохастическое чередование различных циклических участков.
Режим выбора между точечным и непрерывным джокером является наиболее сложным. Такой джокер в общем случае нельзя отнести ни к порождающим, ни к подавляющим хаос. Совместное действие эффектов хаотизацни и упорядочивания может породить новый порядок, сильно отличающийся от исходного. Анализируя его, может быть проще получить представление о параметрах джокера, чем о системе без него.
Следует отметить, что если изучать систему не с целью прогнозирования её поведения, а с точки зрения генерации системой новой информации, то области джокеров представляют больший интерес, чем области русел. Действительно, пока поведение системы предсказуемо, неопределённость поведения зависит от уровня шума и величины ляпуновских показателей (которые в совокупности определягот горизонт прогноза), и потому не может быстро уменьшаться.
В динамической теории информации [79] понятиям русел и джокеров соответствуют понятия динамического и перемешивающего (хаотического) слоев. Согласно [79], перемешивающий спой определяется как область фазового пространства мультистабильной динамической системы, обладающая следующими свойствами:
Во-первых, все траектории, исходящие из определённой области начальных условий, в момент времени t$ попадают в перемешивающий слой.
Во-вторых, вес траектории в момент времени Т выходят из перемешивающего слоя и переходят в область мультистабильпого динамического режима.
В-третьих, в области перемешивающего слоя имеет место стохастический режим, при котором выполняется условие CTs lim hMQ»! И оНо Ax(l0) Глава 2. Исследование системы Розепцвейга-Макартура методом русел и джокеров Здесь Д (/0) и Дя(7") - расхождения траекторий в моменты входа в перемешивающий слой и выхода из него, соответственно. Величина С является аналогом числа Ляпунова и переходит в него при Г — со.
Стоит подчеркнуть, что, с точки зрения динамической теории информации, наиболее интересным является промежуток времени непосредственно перед выходом системы из перемешивающего слоя. Действительно, после выхода дальнейшее поведение системы полностью предсказуемо, а сразу после входа - полностью непредсказуемо. Соответственно, промежуток времени перед выходом является самым подходящим для принятия решений.
Напротив, с точки зрения управления риском, наиболее важно время перед входом системы в область джокера.
Сингулярно возмущённые системы
Поскольку рассматриваемая в дальнейшем система Розенцвейга-Макартура сингулярно возмущена, обсудим данную разновидность задач более подробно.
Сингулярно возмущённые системы представляют собой обширный и важный класс моделей, первоначально связанных с неравномерными переходами от одних физических характеристик к другим (задачи теории нелинейных колебаний, теории автоматического регулирования и пр.). Их решение, в общем случае, является приближённым (асимптотическим) и требует наличия дополнительной информации об исследуемой системе. Следует особо отметить вклад научной школы академика А.Н. Тихонова в области постановки таких задач и создания методов их решения [4,68].
Пусть имеется некоторая система (объект исследования), для которой построена модель, позволяющая решать определённый класс задач. Зачастую рассматривается возможность расширения области применения модели посредством учёта каких-либо свойств системы, ранее считавшихся несущественными. Примером такой ситуации является расчёт движения планеты с учётом влияния других планет.
В существующую модель можно внести изменения (дополнительные малые параметры, члены уравнения и т.п.), называемые возмущениями, В этом случае полученная модель называется возмущённой, а исходная, соответственно невозмущённой. В дальнейшем ограничимся рассмотрением возмущений систем дифференциальных уравнений.
Предметом классической теории возмущений являются так называемые регулярные возмущения [20]. Рассмотрим пример невозмущённой задачи А0 в виде задачи Коши для системы дифференциальных уравнений на ограниченном промежутке времени
Переключающаяся перемежаемость и отображение Ершова
Далее, энергия Е рассматривается не как параметр, но как медленная переменная. Пока изображающая точка движется в пределах аттрактора, Е медленно убывает, сходясь к некоторой неподвижной точке Ew Ecr. При этом, когда условие Е Есг нарушается, происходит кризис аттрактора, изображающая точка начинает уходить на бесконечность, и вместе с этим начинает расти Е. Как только условие Е ЕСГ вновь начинает выполняться, «дырка» закрывается, и аттрактор становится локально притягивающим (росту значений быстрых переменных это не препятствует). После остановки роста пика по координате х, рост энергии также прекращается, и она вновь начинает медленно убывать.
Соотношение быстрого и медленного масштаба времени определяется параметром , задающим скорость изменения энергии. Стоит отметить, что при є - 0 рост пика начинается при значении энергии, очень мало отличающемся от критического (2Ї - „.-{)). Поскольку «дырка» возникает при Е = ЕҐГ и увеличивается в размерах по мере уменьшения Е, постольку в данном случае размеры «дырки» оказываются малы. То есть, разброс начальных значений при росте пика мал и для энергии, и для быстрых переменных. Это не соответствует реально наблюдаемому поведению динамической системы, заданной уравнением (3.3).
Данная проблема решается путём некоторого усложнения механизма образования пика. При переходе энергии в область Е ЕС{ открывается «дырка» и начинается рост только по одной координает - х. «Дырка» по у открывается только при достижении х некоторого порогового значения хсг. Параметры отображений подбираются таким образом, чтобы переменная х достигала порогового значения за количество итераций, достаточное для образования разброса по у порядка размера аттрактора. Изображающая точка попадает в область открывшейся «дырки» по у спустя некоторое время 7V Разброс по Ті тем больше, чем больше разброс по у к моменту открытия «дырки», и чем меньше размер «дырки».
Время, которое проходит до момента достижения порогового значения по у, обозначается 7. Таким образом, после достижения хСҐ рост по х продолжается в течение времени + . Если размер «дырки» по у мал, то разброс по Т2 также мал, и разброс максимальных значений по х определяется разбросом по Ті.
Окончательно, с учётом изложенных соображений, записывается трёхмерное отображение следующего вида:
Можно видеть, что одномерное отображение, заданное функцией/ всегда имеет неустойчивую неподвижную точку. При к 1 появляется ещё одна неустойчивая неподвижная точка, обозначаемая ,, Эта точка представляет собой границу области притяжения аттрактора данного отображения.
Функция а[Е) определяет влияние энергии на параметр а функции/ и, как следствие, на геометрию аттрактора и его области притяжения, ограничивая это влияние в области больших значений Е. Величины аС1, а«, -параметры этой функции; её график показан на рис, 31(6).
Динамика системы (3.5), как и задумывалось, подразделяется на следующие фазы. В межпиковой фазе происходит хаотическое движение на аттракторе; значения обеих быстрых переменных имеют порядок 1. Энергия медленно убывает, соответственно, значение параметра а в отображении для х увеличивается, и, следовательно, наклон правой ветви/возрастает.
Фаза выброса по координате х начинается, когда энергия, а значит, и наклон правой ветви f, достигает порогового значения. В результате этого, значение хп может оказаться в области х х,, что означает выход изображающей точки из области притяжения аттрактора и экспоненциальный рост: х„ [К) Энергия быстро растёт вместе с ростом л:, Еи є\к } . В это же время динамика по координате у приближённо описывается отображением пока выполняется условие „І т". Аттрактор этого отображения - локально притягивающий, уход с него на бесконечность невозможен, несмотря на то, что левая ветвь/стала растягивающей, когда \хп\ превысило \xct\. Фаза выброса по у наступает, когда координата х изображающей точки достигает величин порядка 7- По мере роста х, появляется необходимость учитывать добавочный член в отображении, описывающем динамику по координате : I р v
Параметры подобраны таким образом, что отображение соответствующее #н=7 уже не имеет аттрактора, «Дырка» в аттракторе возникает при достижении добавочным членом Гн некоторого критического значения
Её размеры невелики, так что изображающая точка попадает в область «дырки» не сразу, но спустя некоторое количество итераций. Всё это время добавочный член и, как следствие, геометрия «дырки», продолжает меняться, так что момент начала экспоненциального роста у„ [ку) и его начальные условия имеют некоторый разброс. Фаза спада по х наступает, как только \у\ превышает критическое значение \уст\. Левая ветвь/в отображении по х становится сжимающей, вследствие чего „ начинает убывать: хп (А ) . Параметры подбираются таким образом, что л убывает быстрее, чем рос до того. Рост энергии сменяется медленным уменьшением: Еп {і-є) , Рост по у при этом продолжается. Фаза распада пика начинается при переходе уменьшающегося \хп\ через пороговое значение \ха\. Левая ветвь / в отображении по у становится її / \п сжимающей, рост ул сменяется еще более быстрым уменьшением: yn [ку J . Пока значение я превышает пороговое, \уа\9 уменьшение \х\ продолжается. Параметры должны быть подобраны так, чтобы изображающая точка успела войти по координате х в область аттрактора к моменту перехода у„ через порог, когда правая ветвь/в отображении по х станет растягивающей. Уменьшаясь по модулю,; входит в область аттрактора. Система вновь вступает в межпиковую фазу.
