Содержание к диссертации
Введение
1 Кинематика винтовых пар. Сопряженные винтовые по верхности 22
1.1 Плоские сечения винтовых пар и профильные функции 22
1.2 Метод Гаусса 25
1.3 Метод огибающей кривой 27
1.4 Винтовые пары. Прокрутка контуров 33
1.5 Метод особых точек гладких отображений 36
1.6 Локальные кольца и типы особенностей отображений . 38
1.7 Эквивариантные особенности гладких функций и симметричные профили 42
1.8 Кольцо симметричных многочленов 44
1.8.1 Кольцо (классических) многочленов 44
1.8.2 Симметричые многочлены 46
1.8.3 Многочлены от двух переменных с поворотной симметрией 47
2 Алгеброидные контуры. Регрессивные точки на контурах, сопряженных к алгеброидным 56
2.1 Локальная модель рождения точки негладкости на со пряженном контуре 56
2.2 Дискриминантные кривые и регрессивные точки 58
2.3 Алгеброидные контуры 60
2.4 Примеры компьютерных изображений алгеброидных контуров 62
2.5 Боардмановские расширения идеалов в алгебрах ростков гладких функций на координатной плоскости и типы особенностей отображений 63
2.6 Идентификация особенностей гладких отображений плоскости. Условие трансверсальности к особенности 64
2.7 Основная формула для сопряженного контура и примеры её применения 66
2.8 Нелокальное рассмотрение уравнения регрессивных точек 71
2.9 Идентификация особенности и проверка условия трансверсальности к этой особенности 72
2.10 Алгоритм идентификации особенности 77
2.11 Симметричные тригонометрические контуры 77
2.12 Построение первично регрессивной точки и точки негладкости в случае симметричного зубца 80
3 Приложения. Формулы, программы, рисунки винтовых поверхностей и контуров в примерах 83
3.1 Алгеброидные контуры, программы в Maple 83
3.2 Тригонометрические контуры, программы в Maple 91
3.3 Компьютерные графические изображения контуров и со пряженных к ним. Кривые регрессивных точек. Алгеброидные поверхности 92
Список литературы 117
- Эквивариантные особенности гладких функций и симметричные профили
- Многочлены от двух переменных с поворотной симметрией
- Основная формула для сопряженного контура и примеры её применения
- Компьютерные графические изображения контуров и со пряженных к ним. Кривые регрессивных точек. Алгеброидные поверхности
Введение к работе
Актуальность темы. Тема диссертации связана с задачей оптимизации шестеренчатого зацепления пары винтовых поверхностей. Эта задача является составной частью общей проблемы проектирования и оптимизации многофазных винтовых насосов (ВН)1 2 3. Отличительными признаками такого насоса являются малые радиальные и линейные зазоры, внешняя герметичность, а также симметричная схема силовых нагрузок на главный рабочий орган — винтовую пару. Минимальные зазоры позволяют такому насосу устойчиво работать и в режиме газового компрессора. Многофазные насосные станции активно создаются и используются в мировой практике в течение последних лет, они успешно эксплуатируются нефтегазодобывающими компаниями. Важнейший элемент конструирования ВН и его оптимизации в целом — оптимизация шестеренчатого зацепления пары винтовых поверхностей. Некоторые из возможных подходов к решению задач оптимизации шестеренчатого зацепления винтовых поверхностей отражены в монографии 3. В ней изложены методы построения и анализа оптимально зацепленных (сопряженных) пар винтовых поверхностей, опирающиеся на математические представления, взятые из дифференциальной геометрии плоских кривых и теории особенностей гладких отображений 4 5. Представленные в диссертации результаты исследований, проведенных в русле монографии 3, дают уточнение и дальнейшее развитие некоторым теоретическим положениям этой монографии.
Изучение ВН можно осуществлять исходя из того, что кинематические характеристики ВН определяются геометрическими свойствами и особенностями поперечных сечений винтов, которые задаются в виде замкнутых контуров (гладких или кусочно гладких) посредством про-
^алденко Д.Ф. Винтовые насосы/ Балденко Д.Ф., Бидман М.Г., Калишевский В.Л. и др.// М.: Машиностроение, 1982. - 228 с.
2Женовак Н.Г. Судовые винтовые негерметичные насосы/ Женовак Н.Г.// Л.: Судостроение, 1972. - 144 с.
3Валюхов С.Г. Оптимизация шестеренчатых зацеплений винтовых поверхностей/ Валюхов С.Г., Костин В.А., Сапронов Ю.И., Семенов СМ// Воронеж: ВорГУ. 2005. - 177с.
4Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов/ Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде СМ.// М.: Наука. 1982. 304 с.
5Брус Дж. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей/ Брус Дж., Джиблин П.// Пер. с англ. - М.: Мир, 1988. - 262 с.
фильных функций. Их удобно представлять как функции скалярного аргумента со значениями в поле комплексных чисел. Таким образом, кинематические свойства ВН можно исследовать, опираясь на анализ од-нопараметрических периодических семейств гладких плоских контуров и, следовательно, на теорию гладких отображений 4'5 двумерных торов в координатную плоскость. Такой подход позволяет не только изучать геометрические свойства пар винтовых поверхностей, но и создавать алгоритмы их оптимизации.
Цель работы и основные задачи. Основные цели работы:
объяснение феномена образования линий негладкости на поверхности, геометрически сопряженной с гладкой винтовой поверхностью;
рассмотрение однопараметрической деформации винтовой поверхности (параметр — высота зубца в поперечном сечении) и описание бифуркации регрессивных точек на сопряженной поверхности;
построение и апробация алгоритма идентификации особенностей в первичных регрессивных точках и проверки условия трансверсальности к особенностям в этих точках;
компьютерное изображение и исследование сечений оптимизированных винтовых пар, точек негладкости и линий регрессивных точек.
Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы дифференциальной геометрии кривых, анализа гладких отображений (теории Уитни-Тома-Боардмана) и теории инвариантов.
При построении контура, сопряженного к заданному контуру, используются следующие три подхода: 1) прямой подход (основанный на построении аналитической огибающей для параметрического семейства циклоид), 2) подход, связанный с использованием отображения Гаусса (отображения точка контура —> точка пересечения нормали с центроидой (базовой окружностью)), 3) подход, основанный на рассмотрении вспомогательного отображения двумерного тора в координатную плоскость и на построении границы его образа.
Основным в диссертации является третий подход. Схема построения сопряженного контура в рамках третьего подхода приобретает наиболее простой вид, весьма наглядную интерпретацию и позволяет организовывать эффективное компьютерное сопровождение.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
Дано математическое объяснение феномену образования линий негладкости на поверхности, геометрически сопряженной с гладкой винтовой поверхностью. Показано, что однопараметрическая деформация алгеброидной поверхности (параметр — высота зубца в поперечном сечении) в практически важных случаях дает бифуркацию регрессивных точек по типу "ласточкин хвост".
Предложен и полностью обоснован алгоритм, позволяющий производить компьютерную идентификацию особенностей в (первичных) регрессивных точках, проверять условия трансверсальности к особенностям первичных регрессивных точек, а также строить линии регрессивных точек, линии негладкости и вычислять углы в точках негладкого стыка. При обосновании алгоритма использована боардмановская классификация особенностей гладких отображений.
Получены (на основе предложенного алгоритма в случае алгеброид-ных и тригонометрических контуров) компьютерные изображения плоских сечений оптимальных винтовых пар, линий негладкости и линий регрессивных точек.
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают обоснование применимости методов теории особенностей гладких отображений при построении и анализе геометрически оптимальных винтовых пар. Результаты исследований, представленные в диссертации, относятся к случаю винтовых пар одинаковой заходности, но они могут найти применение при исследовании и проектировании разнообразных моделей винтовых насосов (включая случай n-винтовых систем, п>2,различной заходности ).
Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (2008 г.), на конференции "Из режима развития — в режим функционирования" (Воронеж, 2007 г.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (С-Петербург 2008, 2009 гг.), на международной конференции, посвященной памяти И.Г. Петровского (XXII совместное заседание ММО и семинара им. И.Г.
Петровского, М., МГУ, 2007), на V международной научно- технической конференции "СИНТ-09"(Воронеж, 2009), на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики ВГУ (рук. — проф. Ю.И. Сапронов) и на семинаре ВГУ по математическому моделированию (рук. — проф. В.А. Костин).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах. В статьях, написанных в соавторстве, соавторам принадлежат постановки задач и разбор отдельных примеров. Списку ВАК соответствует работа
И-
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 29 наименований. Общий объем диссертации — 121 стр.
Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (37 рисунков), выполненной в среде Maple.
Эквивариантные особенности гладких функций и симметричные профили
Цель работы и основные задачи. Основные цели работы: объяснение феномена образования линий негладкости на поверхности, геометрически сопряженной с гладкой винтовой поверхностью; рассмотрение однопараметрической деформации винтовой поверхности (параметр — высота зубца в поперечном сечении) и описание бифуркации регрессивных точек на сопряженной поверхности; построение и апробация алгоритма идентификации особенностей в первичных регрессивных точках и проверки условия трансверсальности к особенностям в этих точках; компьютерное исследование сечений оптимизированных винтовых пар, точек негладкости и линий регрессивных точек. Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы дифференциальной геометрии кривых, анализа гладких отображений (теории Уитни-Тома-Боардмана) и теории инвариантов. При построении контура, сопряженного к заданному контуру, используются следующие три подхода: 1) прямой подход (основанный на построении аналитической огибающей для параметрического семейства циклоид), 2) подход, связанный с использованием отображения Гаусса (отображения точка контура — точка пересечения нормали с центроидой {базовой окружностью)), 3) подход, основанный на рассмотрении вспомогательного отображения двумерного тора в координатную плоскость и на построении границы его образа. Основным в диссертации является третий подход. Схема построения сопряженного контура в рамках третьего подхода приобретает наиболее простой вид, весьма наглядную интерпретацию и позволяет организовывать эффективное компьютерное сопровождение. Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми. 1. Дано математическое объяснение феномену образования линий негладкости па поверхности, геометрически сопряженной с гладкой винтовой поверхностью. Показано, что однопараметрическая деформация алгеброидной поверхности (параметр — высота зубца в поперечном сечении)в практически важных случаях дает бифуркацию регрессивных точек по типу "ласточкин хвост". 2. Предложен и полностью обоснован алгоритм, позволяющий производить компьютерную идентификацию особенностей в (первичных) регрессивных точках, проверять условия трансверсальности к особенностям первичных регрессивных точек, а также строить линии регрессивных точек, линии негладкости и вычислять углы в точках негладкого стыка. При обосновании алгоритма использована боардмановская классификация особенностей гладких отображений. 3. Получены (на основе предложенного алгоритма в случае алгебро-идных и тригонометрических контуров) компьютерные изображения плоских сечений оптимальных винтовых пар, линий негладкости и линий регрессивных точек. Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают обоснование применимости методов теории особенностей гладких отображений при построении и анализе геометрически оптимальных винтовых пар. Результаты исследований, представленные в диссертации,относятся к случаю винтовых пар одинаковой заходности, но они могут найти применение при исследовании и проектировании разнообразных моделей винтовых насосов (включая случай n-винтовых систем, п 2, различной заходности в примыкающих парах). Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (2008 г.), на конференции "Из режима развития — в режим функционирования" (Воронеж, 2007 г.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (С-Петербург 2008, 2009 гг.), на международной конференции, посвященной памяти И.Г. Петровского (XXII совместное заседание ММО и семинара им. И.Г. Петровского, М., МГУ, 2007),на V международной научно- технической конференции "СИНТ-09"(Воронеж, 2009), на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики ВГУ (рук. — проф. Ю.И. Сапронов) и на семинаре ВГУ по математическому моделированию (рук. — проф. В.А. Костин). Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах. В статьях, написанных в соавторстве, соавторам принадлежат постановки задач и разбор отдельных примеров. Статья [42] опубликована в соответствии с "перечнем ВАК". Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 43 наименований. Общий объем диссертации — 123 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (37 рисунков), выполненной в среде Maple. Содержание работы Первая глава диссертации содержит необходимый минимум сведений по анализу гладких отображений, дифференциальной геометрии плоских кривых и коммутативной алгебре, необходимый для получения адекватного представления о методах и конструкциях, используемых в диссертации. Здесь же описаны элементы кинематики винтовых пар (см. рис. 3, 4) и подходы к решению задач оптимизации пар винтовых поверхностей.
Многочлены от двух переменных с поворотной симметрией
Если точка а регулярна, то существуют такие окрестности О и Ы точек а и Ь = F(a), что Т взаимно однозначно отображает О на U, и при этом обратное отображение !F 1 : U — О также является гладким (отображение Т в этом случае называется локальным диффеоморфизмом в точке а).
Поведение отображения в окрестности произвольной особой точки может оказаться весьма сложным. Полного описания всех возможных типов поведения до сих пор нет. Оказывается, что достаточно изучить лишь простейшие из них — складки и сборки [1], так как только они могут появляться устойчиво (могут быть неустранимыми посредством малых полиномиальных возмущений). Это открытие было сделано в 1955 году американским математиком Х.Уитни [1], изучавшим поведение в целом гладких отображений многомерных пространств.
Несложные вычисления показывают, что при гладком отображении плоской области в координатную плоскость, образ окрестности каждой особой точки типа сборки накрывает окрестность образа этой точки (точка с особенностью сборки не может отобразиться на граничную точку в образе плоской области, если она принадлежит внутренности области), а точки с особенностью складки могут отображаться на границу образа области. Множество особенностей типа складки и их образы образуют гладкие линии (линии складок). Причем отдельные компоненты этих линий могут "стыковаться"в отдельных точках, являющихся образами сборок. Состыкованные образы линий складок в малой окрестности любой точки стыка напоминают профиль острого шипа или клюва.
Таким образом, имеет место следующее заключение: граница образа области на плоскости (при гладком отображении) состоит из кусков линий, каждый из которых является либо образом части границы области, либо образом части линии складок. Следовательно, линию особых точек Е можно определять на основе уравнения Это же уравнение задает и аналитическую огибающую для s—семейства контуров T(t, s) [4]. Каждое гладкое отображение Т : (s, t) Н- jrx(s, t) -f- i is, t) можно истолковать как гладкое t—параметрическое семейство гладких кривых на плоскости, параметризованных переменной s и, наоборот, каждое такое семейство задает гладкое отображение из плоской области в комплексную плоскость. Кривая, являющаяся огибающей для заданного -параметрического семейства кривых, одновременно является множеством особых значе ний отображения Т. Если это отображение находится в общем положении, то множество его особых значений состоит из простых кривых, состыкованных в изолированных особых точках. Аналогичные заключения справедливы и в случае отображения Т : М —У R2 , где М — гладкая поверхность с краем или без края. Точки типа складки или сборки определяются посредством введения локальных координат на поверхности (типы точек не изменяются при заменах координат). Следовательно, если М — гладкая поверхность без края, то граница d!F(M) полностью состоит из образов особых точек. Если отображение Т задано формулой (1.21), то границу образа Т естественно назвать геометрически сопряженным контуром, а множество особых значений S — аналитически сопряженным контуром. Из теоремы о локальной диффеоморфности отображения в регулярной точке вытекает эквивалентное утверждение, известное под названием "Теорема о неявной функции": Утверждение 2. Пусть левая часть уравнения F(, А) = 0 задана гладким отображением Т : R2 х Rm — R2, удовлетворяющем следующим условиям: 1) JF(0,0) = 0, 2) det —щ- - 0. Тогда найдется такое гладкое отображение ф : U —У Ш?, определенное на достаточно малой окрестности U нуля в Ш, что 1) -0(0) = 0, 2) Т(ф(Х),Х) = 0 VA Є U, 3) отобраоїсение ф является единственным, если оно удовлетворяет условиям 1),2). Данное утві;щірждение выявляет однократность регулярной точки: при произвольных малых возмущениях отображения F(-jO) вблизи регулярного решения = 0 уравнения !F(, 0) = 0 имеется ровно одно решение возмущенного уравнения JF(, Л) = 0. Сингулярные же точки являются многократными: при малых возмущениях ?-"(, Л) = JF(-,0) + \H(t;, А) отображения Т(-,0) вблизи сингулярного решения = 0 уравнения ?-"(, 0) = 0 может появляться более одного решения возмущенного уравнения .F(, Л) = 0. Такие явления (рождение нескольких решений из одного решения) называются бифуркациями и представляют собой предмет активного исследования в нелинейном анализе и его приложениях. Для строгого определения кратности нужно рассмотреть множество Щ[і,г]] вещественных формальных степенных рядов, то есть формальных сумм вида с вещественными коэффициентами ат (р, q — неотрицательные целые числа). Эти суммы могут быть как бесконечными, так и конечными (в последнем случае они являются обычными многочленами). Сходимость рядов в случае бесконечных сумм не требуется. Формальные степенные ряды являются естественным обобщением многочленов (их можно рассматривать как многочлены бесконечной степени). Формальные степенные ряды можно складывать и умножать:
Основная формула для сопряженного контура и примеры её применения
. В математических конструкциях диссертации использованы методы дифференциальной геометрии кривых, анализа гладких отображений (теории Уитни-Тома-Боардмана) и теории инвариантов.
При построении контура, сопряженного к заданному контуру, используются следующие три подхода: 1) прямой подход (основанный на построении аналитической огибающей для параметрического семейства циклоид), 2) подход, связанный с использованием отображения Гаусса (отображения точка контура — точка пересечения нормали с центроидой {базовой окружностью)), 3) подход, основанный на рассмотрении вспомогательного отображения двумерного тора в координатную плоскость и на построении границы его образа.
Основным в диссертации является третий подход. Схема построения сопряженного контура в рамках третьего подхода приобретает наиболее простой вид, весьма наглядную интерпретацию и позволяет организовывать эффективное компьютерное сопровождение. Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми. 1. Дано математическое объяснение феномену образования линий негладкости па поверхности, геометрически сопряженной с гладкой винтовой поверхностью. Показано, что однопараметрическая деформация алгеброидной поверхности (параметр — высота зубца в поперечном сечении)в практически важных случаях дает бифуркацию регрессивных точек по типу "ласточкин хвост". 2. Предложен и полностью обоснован алгоритм, позволяющий производить компьютерную идентификацию особенностей в (первичных) регрессивных точках, проверять условия трансверсальности к особенностям первичных регрессивных точек, а также строить линии регрессивных точек, линии негладкости и вычислять углы в точках негладкого стыка. При обосновании алгоритма использована боардмановская классификация особенностей гладких отображений. 3. Получены (на основе предложенного алгоритма в случае алгебро-идных и тригонометрических контуров) компьютерные изображения плоских сечений оптимальных винтовых пар, линий негладкости и линий регрессивных точек. Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают обоснование применимости методов теории особенностей гладких отображений при построении и анализе геометрически оптимальных винтовых пар. Результаты исследований, представленные в диссертации,относятся к случаю винтовых пар одинаковой заходности, но они могут найти применение при исследовании и проектировании разнообразных моделей винтовых насосов (включая случай n-винтовых систем, п 2, различной заходности в примыкающих парах).
Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (2008 г.), на конференции "Из режима развития — в режим функционирования" (Воронеж, 2007 г.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (С-Петербург 2008, 2009 гг.), на международной конференции, посвященной памяти И.Г. Петровского (XXII совместное заседание ММО и семинара им. И.Г. Петровского, М., МГУ, 2007),на V международной научно- технической конференции "СИНТ-09"(Воронеж, 2009), на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики ВГУ (рук. — проф. Ю.И. Сапронов) и на семинаре ВГУ по математическому моделированию (рук. — проф. В.А. Костин).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах. В статьях, написанных в соавторстве, соавторам принадлежат постановки задач и разбор отдельных примеров. Статья [42] опубликована в соответствии с "перечнем ВАК".
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из наименований. Общий объем диссертации — 123 стр.
Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (37 рисунков), выполненной в среде Maple. Содержание работы Первая глава диссертации содержит необходимый минимум сведений по анализу гладких отображений, дифференциальной геометрии плоских кривых и коммутативной алгебре, необходимый для получения адекватного представления о методах и конструкциях, используемых в диссертации. Здесь же описаны элементы кинематики винтовых пар (см. рис. 3, 4) и подходы к решению задач оптимизации пар винтовых поверхностей.
Компьютерные графические изображения контуров и со пряженных к ним. Кривые регрессивных точек. Алгеброидные поверхности
Тема диссертации связана с задачей оптимизации шестеренчатого зацепления пары винтовых поверхностей. Эта задача является составной частью общей проблемы проектирования и оптимизации многофазных винтовых насосов (ВН) [2], [16], [12]. Отличительными признаками такого насоса являются малые радиальные и линейные зазоры, внешняя герметичность, а также симметричная схема силовых нагрузок на главный рабочий орган — винтовую пару. Минимальные зазоры позволяют такому насосу устойчиво работать и в режиме газового компрессора. Многофазные насосные станции активно создаются и используются в мировой практике в течение последних лет, они успешно эксплуатируются нефтегазодобывающими компаниями. Важнейший элемент конструирования ВН и его оптимизации в целом — оптимизация шестеренчатого зацепления пары винтовых поверхностей. Безусловно, исследование и оптимизацию ВН можно осуществлять, используя современные методы нелинейной динамики, информатики и теории катастроф [5] - [7], [18]- [20], [25]- [30]. Некоторые из возможных подходов к построению математических моделей ВН и решению задач оптимизации шестеренчатого зацепления винтовых поверхностей отражены в монографии [12]. В ней изложены методы построения и анализа оптимально зацепленных (сопряженных) пар винтовых поверхностей, опирающиеся на математические представления, взятые из дифференциальной геометрии плоских кривых и теории особенностей гладких отображений [1], [4]. Представленные в диссертации результаты исследований, проведенных в русле монографии [12], дают уточнение и дальнейшее развитие некоторым теоретическим положениям этой монографии.
Изучение ВН можно осуществлять исходя из того, что кинематические характеристики ВН определяются геометрическими свойствами и особенностями поперечных сечений винтов, которые задаются в виде замкнутых контуров (гладких или кусочно гладких) посредством профильных функций. Их удобно представлять как функции скалярного аргумента со значениями в поле комплексных чисел. Таким образом, кинематические свойства ВН можно исследовать, опираясь на анализ однопараметрических периодических семейств гладких плоских контуров и, следовательно, на теорию гладких отображений [1],[4] двумерных торов в координатную плоскость. Такой подход позволяет не только изучать геометрические свойства пар винтовых поверхностей, но и создавать алгоритмы их оптимизации.
Цель работы и основные задачи. Основные цели работы: объяснение феномена образования линий негладкости на поверхности, геометрически сопряженной с гладкой винтовой поверхностью; рассмотрение однопараметрической деформации винтовой поверхности (параметр — высота зубца в поперечном сечении) и описание бифуркации регрессивных точек на сопряженной поверхности; построение и апробация алгоритма идентификации особенностей в первичных регрессивных точках и проверки условия трансверсальности к особенностям в этих точках; компьютерное исследование сечений оптимизированных винтовых пар, точек негладкости и линий регрессивных точек. Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы дифференциальной геометрии кривых, анализа гладких отображений (теории Уитни-Тома-Боардмана) и теории инвариантов. При построении контура, сопряженного к заданному контуру, используются следующие три подхода: 1) прямой подход (основанный на построении аналитической огибающей для параметрического семейства циклоид), 2) подход, связанный с использованием отображения Гаусса (отображения точка контура — точка пересечения нормали с центроидой {базовой окружностью)), 3) подход, основанный на рассмотрении вспомогательного отображения двумерного тора в координатную плоскость и на построении границы его образа. Основным в диссертации является третий подход. Схема построения сопряженного контура в рамках третьего подхода приобретает наиболее простой вид, весьма наглядную интерпретацию и позволяет организовывать эффективное компьютерное сопровождение. Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми. 1. Дано математическое объяснение феномену образования линий негладкости па поверхности, геометрически сопряженной с гладкой винтовой поверхностью. Показано, что однопараметрическая деформация алгеброидной поверхности (параметр — высота зубца в поперечном сечении)в практически важных случаях дает бифуркацию регрессивных точек по типу "ласточкин хвост".
