Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор методов решения интегральных уравнений теории упругости и постановка задач исследования 13
1.1. Аналитическое решение интегральных уравнений, решение задачи Дирирхле 19
1.2. Численные методы решения задач теории упругости 13
1.3. Методы расчета тонкослоистых и мелкодисперсных композитных материалов 26
1.4. Методы регуляризации численного решения в случае сближенных границ 29
Выводы по главе 31
2. Исследование методов регуляризации в МГЭ-расчётах кусочно- однородных тел с тонкими элементами структуры 34
2.1. Математические основы МГЭ 34
2.2. Исследование методов регуляризации в задаче о тонком покрытии 48
2.2.1. Постановка задачи 48
2.2.2. Градиентный и регуляризованный градиентный метод 51
2.2.3. Метод регуляризации Тихонова 55
2.2.4. Проксимальный метод 58
2.2.5. Регуляризованный проксимальный метод 61
Выводы по главе 64
3. Разработка метода, алгоритма и программы последовательного и параллельного расчёта кусочно-однородных упругих тел на основе итерационной модификации алгоритма Шварца 66
3.1. Алгоритм Шварца решения линейных эллиптических задач 66
3.1.1. Решение задачи Дирихле для многосвязной области на плоскости 66
3.1.2. Обобщенный алгоритм Шварца 75
3.2. Разработка итерационной модификации метода Шварца 78
3.3. Применение модифицированного метода Шварца в МГЭ для однородных и кусочно-однородных областей 81
3.4. Тестирование и сравнение методов решения 86
3.5. Алгоритм распределенного вычисления итерационной модификацией метода Шварца и анализ эффективности 93
3.5.1. Программная реализация модифицированного метода Шварца93
3.5.2. Анализ эффективности 98
Выводы по главе 102
4. Применение разработанных методов и программ в задачах расчета режущего инструмента с покрытиями 103
4.1. Сравнение расчетов РИ в комплексе программ DPHS, Distribution SOLIEq, MSC.Nastran 103
4.2. Постановка задач исследования инструмента 111
4.3. Моделирование состояния режущего инструмента с тонкослоистыми и дискретными покрытиями 112
Выводы по главе 131
Заключение , 132
Литература
- Численные методы решения задач теории упругости
- Исследование методов регуляризации в задаче о тонком покрытии
- Решение задачи Дирихле для многосвязной области на плоскости
- Постановка задач исследования инструмента
Введение к работе
Работа посвящена исследованию и разработке методов решения одного класса неустойчивых (некорректных) задач вычислительной теории упругости. Речь идёт о численном решении плоских статических задач для упругих тел с микронеоднородными (тонкими или малыми) элементами структуры, характерный масштаб которых значительно меньше характерного размера рассматриваемой области. Это могут быть задачи для композитов, матрица которых армирована тонкими включениями (относительно жёсткими чешуйками или лентами), для пар трения с упругим микродискретным контактом, для тонкослоистых материалов, для элементов конструкций и инструментов с тонкими покрытиями и так далее. Численное решение данных задач обычно не является непрерывно зависящим от входных данных: приближенное решение может как угодно сильно отличаться от искомого точного решения при сколь угодно малых погрешностях исходных данных.
Основы теории и методов решения неустойчивых задач заложены в работах А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, Ф.П. Васильева и других авторов. Применение метода стабилизации А.Н. Тихонова при решении неустойчивых задач вычислительной теории упругости рассмотрено в работе А.О. Кузьмина и А.И. Олейникова (2003г.). Однако, этот метод регуляризации требует значительных вычислительных и временных затрат: по сравнению с решением устойчивых задач продолжительность вычислений нормального решения может возрастать на три и более порядка. Для решения практических задач потребовалась параллелизация вычислений на кластере из 18 стандартных ПЭВМ. Поэтому здесь актуальной темой остаётся исследование степени эффективности других методов регуляризации, а также разработка новых алгоритмов.
Так, например, для решения эллиптических краевых задач в многосвязных областях может быть использован метод альтернирования
Шварца. Этот метод применяется также в численных расчетах такими методами, как метод конечных элементов (МКЭ) и граничных элементов (МГЭ), Эффективность алгоритма Шварца основана на возможности представления исходной многосвязной области в виде пересечения односвязных подобластей и разделения вычислений для каждой подобласти. Это приводит к декомпозиции объема вычислений и к возможности их естественной параллелизации. В последнее время метод последовательных приближений Шварца применяется и для решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений теории упругости в многосвязных плоских областях при наличии трещин (М.А. Греков, 2001г.).
Однако метод Шварца в классической формулировке Неймана-Михлина-Соболева, обычно, сходится весьма медленно, особенно, как раз, для рассматриваемого случая сближенных границ подобластей. Для улучшения его сходимости применялись различные способы ускорения процесса, которые, однако, применимы только к областям и внешним нагрузкам специального типа. В этой связи актуальным является разработка общего способа ускорения сходимости метода Шварца.
Отметим также, что в механике сплошной среды учет влияния данных микроструктур производится, обычно, на основе методов осреднения, теории оболочек и пластин, асимптотических разложений. Однако, такое описание сопряжено с утратой информации об искомых полях в самой микроструктуре и вблизи неё.
Информация о напряжениях в композиционных материалах позволяет предсказать как зарождение разрушения (положения и размеры очага разрушения), так и его распространение. В настоящее время значительно расширился круг практических вопросов, связанных с решением таких задач, что обусловлено расширением областей применения и использования в современных технике и технологиях композиционных, слоистых и наноструктурных материалов. В частности, тонкослоистые конструкции
используются при изготовлении эффективных износостойких покрытий, например, на режущих инструментах.
В данной работе для описания напряжённо-деформированного состояния упругих тел в основном используется подход, основанный на применении теории интегральных уравнений, и его численная реализация методом граничных элементов. К преимуществам МГЭ относится необходимость дискретизации только границ исследуемой структуры, что приводит к системам существенно более низкого порядка, чем в других методах, а также эффективность и точность расчёта высокоградиентньгх полей. Однако, решение задач при наличии малых и тонких областей сопряжено появлением вычислительной неустойчивости, связанной с близостью границ тонких элементов структуры и использованием интегральных уравнений для перемещений, являющимися уравнениями первого рода. В этих условиях для получения удовлетворительного численного решения применяются различные варианты методов регуляризации.
Проведен сравнительный анализ решений тестовой задачи о тонком покрытии отверстия в пластине методом граничных элементов с использованием регуляризации, классическим методом Шварца и итерационным методом Шварца.
Разработан программный комплекс параллельного расчета итерационным методом Шварца, представлена его эффективность по сравнению с последовательными алгоритмами и программным комплексом DPHS распределенного решения задач методом граничных элементов с использованием регуляризации по Тихонову.
В заключении приводится применение полученного алгоритма и программного комплекса для расчета напряженного состояния режущего инструмента с тонкими покрытиями, в сравнении с решениями полученным DPHS и методом конечных элементов в MSC.Nastran & MSC.Patran.
Исходя из наиболее актуальных вычислительных проблем моделирования и текущего состояния экспериментальных и теоретических исследований, посвященных состоянию граничных интегральных уравнений и методов их решения, а также регуляризации, цель диссертационной работы сформулирована в следующем виде: Разработать эффективные методы, алгоритмы и программы решения неустойчивых задач вычислительной теории упругости для микронеоднородных сред.
Задачи исследования.
установить эффективный вариант метода регуляризации непрямого метода граничных элементов для кусочно-однородных упругих тел;
описать метод Шварца для непрямого метода граничных элементов;
разработать итерационную модификацию численного метода Шварца решения систем сингулярных интегральных уравнений;
предложить способы ускорения итерационной модификации метода Шварца;
построить и реализовать параллельный алгоритм получения устойчивого численного решения для данного класса задач на кластере рабочих станций;
применить разработанный программный комплекс к расчету напряженного состояния режущих инструментов со сплошными и дискретными покрытиями.
Методы исследования. В диссертационной работе используются методы функционального анализа, теории решения некорректных задач, интегральных сингулярных уравнений теории упругости, вычислительной математики и численных методов, а также объектно-ориентированного программирования, с использованием архитектуры СОМ и DCOM.
Научная новизна результатов диссертации заключается в следующем:
исследованы методы регуляризации МГЭ-расчета и определен наиболее эффективный;
дано описание метода Шварца применительно к системе граничных интегральных уравнений кусочно-однородного тела;
получена новая модификация метода Шварца для многосвязной области, позволяющая существенно ускорить процесс сходимости;
разработан параллельный алгоритм расчета МГЭ, использующий декомпозицию матрицы коэффициентов (основанной на алгоритме Шварца) и позволяющий получать устойчивое численное решение широкого класса задач расчёта кусочно-однородных тел и допускающий эффективную программную реализацию;
на основе полученного алгоритма Шварца создан программный модуль расчета в параллельном режиме;
применение разработанного комплекса программ к расчету напряженного состояния режущего инструмента с износостойкими покрытиями позволило установить эффективные геометрические параметры сплошного и дискретного покрытия. Достоверность. Достоверность результатов диссертации
определяется применением апробированных методов теории упругости, теории некорректных задач, а также прямым сравнением в частных случаях полученных численных решений с существующими точными.
Практическая ценность работы.
Разработанные методы, алгоритмы и программы позволяют наиболее эффективно решать новые задачи вычислительного моделирования, связанные с разработкой и совершенствованием тонкослоистых структур, изделий, инструментов, использующих нанесение покрытий для повышения работоспособности и долговечности. Построенный программный продукт
«DSOLIEq» позволяет автоматизировать процесс вычислений и распараллелить расчёт на кластере персональных компьютеров.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: Международная научная конференция «Фундаментальные и прикладные вопросы механики» (г. Хабаровск, 2003 г.), Международная конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (г. Новосибирск, 2004 г.), Всероссийская научно-техническая конференция "Новые материалы и технологии" (г. Москва, 2004 г.), Научно - практическая конференция (г. Комсомольск-на-Амуре, 2004 г., 2006 г.), XXXII International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" (г. Санкт Петербург, 2004 г.), Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая) (г. Екатеринбург, 2005 г.), Дальневосточная математическая школа-семинар имении академика Е.В. Золотова (г. Владивостоке, 2006 г.), Научная конференция "Фундаментальные и прикладные вопросы механики" (г. Владивосток, 2006 г.), Всероссийская конференция "Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций" (г. Новосибирск, 2006 г.), семинарах по математическому моделированию Центра вычислительного моделирования и информатики КнАГТУ (2003-2006 гг.).
Публикации. Материалы диссертационного исследования опубликованы в 12 научных работах. Получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ, ещё одно находится в стадии рассмотрения (список приведен в заключении). Отдельные разделы диссертации представлены в технических отчётах по хоз/договору № 64102/03 с КнААПО.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Объем диссертации составляет 140 страниц, включая 82 рисунка и 5 таблиц. Список литературы содержит 55 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследований, научная новизна и практическая ценность полученных результатов.
В первой главе приведен краткий обзор литературы, содержащий
методы решения интегральных уравнений, основанные на теории
Фредгольма, а также численные методы решения такие, как МГЭ.
Исследования в области интегральных уравнений проводились такими
учёными как: Бурчуладзе Т.В., Ватульян А.О., Кильчевский Н.А.,
Купрадзе В.Д., Линьков A.M., Михлин С.Г., Мусхелишвили Н.И.,
ПартонВ.З., Перлин П.И., СаврукМ.П., ШерманДЛ, ВапефеР.Л.,
Brebbia С.A., Crouch S.L., Cruse Т.А., Fedelinski P., Gorski R., Rizzo F.J.,
Starfield A.M., Sikarskie D.L., Watson J.O., Wrobel L.C. и другими.
Рассмотрена задача Дирихле и алгоритмы решения для многосвязных
областей методом Шварца-Михлина-Соболева. Дается обзор применения
алгоритма Шварца в задачах теории упругости и методы эффективного
построения приближенного решения данным алгоритмом. Исследования в
этой области проводились: Георгидзе А.Я., Греков М.А., Михлин С.Г.,
Найштут Ю.С, Народецкий М.З., Соболев С.Л. и другими. Рассматриваются
методы расчета тонкослоистых и мелкодисперсных композитных
материалов. В задачах теории упругости применяются сингулярные и
гипер сингулярные интегральные уравнения, но при близких границах
области (тонкослоистые материалы) возникает вычислительная
неустойчивость, что приводит к некорректности расчета. Представлено понятие класса некорректно поставленных задач и дается краткий обзор методов регуляризации, а также применение их к задачам теории упругости. Основы теории и методов решения неустойчивых задач заложены в работах Арсенина В.Я., Васильева Ф.П., Лаврентьева М.М., Намм Р.В., Танана В.П., Тихонова А.Н.
Во второй главе приведена математическая постановка и гранично-интегральная формулировка двумерных краевых задач по расчёту напряжённого состояния кусочно-однородных изотропных линейно-упругих тел непрямым методом граничных элементов. Приведена реализация МГЭ для кусочно-однородных тел и описание численных алгоритмов по построению системы линейных уравнений метода граничного элемента. В задачах связанных с близостью границ ухудшается обусловленность задачи, что приводит к некорректности расчета. На примере задачи о тонком покрытии отверстия в пластине проведено исследование методов регуляризующих решение таких как градиентный, проксимальный, их регуляризованные вариации, а также метод Тихонова. Дан сравнительный анализ эффективности методов.
В третьей главе рассмотрена задача Дирихле для многосвязной области на плоскости и решение ее обобщенным алгоритмом Шварца. При. близких границах сходимость данного метода последовательных приближений ухудшается. Представлена итерационная модификация алгоритма Шварца и методы ускорения сходимости. Полученный алгоритм применен к система интегральных уравнений для кусочно-однородных тел с численной реализацией МГЭ. Дан сравнительный анализ эффективности метода Шварца и его модификации на примере решения задачи Ламе и задачи о тонком покрытии отверстия в пластине. В результате декомпозиции матрицы системы линейных алгебраических уравнений данный алгоритм легко распараллелить. Кроме того, вследствие уменьшения порядка рассчитываемых подматриц появляется возможность нахождения устойчивого решения без применения регуляризации. Разработаны программы, реализующие данные алгоритмы, для последовательного и распределенного расчета на кластере ЭВМ. Проведено сравнение эффективности алгоритмов распределенного расчета, основанных на модифицированном методе Шварца и МГЭ с использованием регуляризации.
В четвертой главе представлено применение модифицированного алгоритма Шварца к расчету напряженного состояния режущего инструмента. Проведены расчеты режущего инструмента комплексами программ MSC.Patran&MSC.Nastran, Distribution SOLIEq в сравнении с результатами на DPHS предыдущих работ. Проведено исследование эффективности инструментов с тонкослоистыми и дискретными покрытиями и выполнен анализ оптимальных параметров покрытия.
Заключение содержит краткий обзор основных результатов, полученных в диссертационной работе.
В главах принята тройная нумерация формул, таблиц и рисунков первая цифра означает номер главы, вторая - под главы.
Численные методы решения задач теории упругости
Полное исследование вопроса о разрешимости уравнения ь (р{х) = fix) + X \K(x,s) p(s)ds (1.1.1) (1 с непрерывным ядром K(t,s) и свободным членом f\t) при всевозможных значениях параметра X было проведено Фредгольмом в 1904 г. [14,25,39]. Идея Фредгольма, заключалась в следующем. Задача решения интегрального уравнения рассматривалась как аналитический аналог алгебраической проблемы решений системы п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными. Используя метод последовательных Dix s X) приближений находим резольвенту Фредгольма R(x,s\X) = и тогда D(X) решение представляется в виде р(х) = fix) + X\R{x,s;X)(pis)ds (1.1.2) а для всех X, при которых D(X) Ф 0 .
Фредгольм построил функции D(X) и D(x,s;X) в виде рядов по степеням X, полученных чисто формальным предельным переходом, и показал, что при D(X) 0 формула (1.1.2) определяет единственное решение интегрального уравнения (1.1.1). Доказаны теоремы о существовании и единственности решения интегральных уравнений (в частности, для вырожденных ядер [14]).
Для доказательства существования и единственности решения неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода применяется принцип сжатых отображений (теорема С. Банаха) [14], где последовательные приближения p0(t),..., p„(t),... к искомому решению определяются из соотношений ь pmA{t) = f(t) + X\K{t,s) pn(s)ds, (я = 0,1,...), где (рй{1) - любая непрерывная на [а,Ь] а функция.
Применение классической теории Фредгольма приводит к тому, что интегральные представления решений дифференциальных уравнений статики упругого тела посредством решения для сосредоточенных сил и моментов сводят решение краевой задачи к двумерному сингулярному уравнению. По этой причине появился ряд работ, в которых делались попытки свести краевые задачи с использованием специально подобранных потенциалов непосредственно к регулярным уравнениям, чтобы далее применять теорию Фредгольма, минуя сингулярные уравнения. Так, например, в [30] изложены методы регуляризации сингулярных уравнений. В частности представлен способ, приведения сингулярного уравнения к эквивалентному уравнению Фредгольма, указанный И.Н. Векуа (доказывается теорема эквивалентности), метод регуляризации Т. Карлемана, получивший развитие в работах Векуа. Предложенные методы обобщены на систему сингулярных уравнений [30].
Простейшими решениями для уравнений упругого равновесия являются решения сосредоточенной силы Кельвина-Сомильяны. Однако, использование этих фундаментальных решений сводит краевую задачу к. сингулярным интегральным уравнениям. Решения стало возможным после построения Михлиным С .Г. и Купрадзе В .Г. теории многомерных сингулярных интегральных уравнений и доказательства разрешимости этих уравнений. Эти интегралы не существуют в обычном смысле несобственного интеграла и их принято называть сингулярными и существующими в смысле главного значения по Коши.
Гиперсингулярные интегральные уравнения принимали важную роль в анализе трещин, для которых сингулярное уравнение не обеспечивает достаточной информации, для расчета смещения обоих поверхностей [9].
Высокая сложность математического аппарата методов потенциала долгое время являлась серьёзным препятствием в их применении к решению задач прикладной механики. Многолетние научные исследования получили наиболее полное отражение в трудах Кильчевского Н.А. [11, 12], Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О. и Бурчуладзе Т.В. [16, 17, 18, 19], Мусхелишвили Н.И. [30,29], Шермана Д.И. [50].
Значительный вклад в формальное понимание интегральных уравнений был сделан Михлиным С. Г. [26, 28], который обсуждает такие уравнения как со скалярными, так и с векторными (многомерными) подынтегральными выражениями, и в частности с особенностями и разрывами в области интегрирования.
Результаты исследования интегральных уравнений оказались весьма полезными при решении многих важных задач теории аналитических функций и математической физики. Простейшая задача рассматриваемого типа - задача Дирихле.
Решение основных граничных задач теории упругости для областей общего вида представляет большие трудности практического характера. Однако существует классы областей, для которых решение может быть получено эффективно и сравнительно простыми средствами. Один из таких классов в плоской теории упругости составляет области, которые конформно отображаются на круг рациональными функциями [29].
Исследование методов регуляризации в задаче о тонком покрытии
Для обоснования постановки задач исследования методов регуляризации решалась тестовая задача о тонком покрытии отверстия в пластине в условиях плоской деформации. Рассматриваемая область (Рис. 2.2.1) состоит из кольца a r b с упругими постоянными V\ и G] (покрытие) внутри круглого отверстия радиуса r = b в большой пластинке (основа) с упругими постоянными У2 и G2. Внутренняя поверхность кольца находится под действием нормальных напряжений агг=-р, а основа свободна от напряжений на бесконечности.
Представим систему интегральных уравнений (2.1.12) в операторном виде, где искомым (фиктивные нагрузки) и данным (граничные условия и условия на поверхности контакта) элементами являются, соответственно, х и В:
Ах В. (2.2.1)
При численном решении система интегральных уравнений (2.1.12) с использованием квадратурной формулы прямоугольников приводится к системе линейных алгебраических уравнений и оператор А в (2.2.1) становится матрицей.
При толщине кольца до h - 0.02мм наблюдалась устойчивое решение данной задачи. При уменьшении толщины кольца до h = 0.0\мм порядок матрицы системы линейных уравнений достигал 7624, определитель _94ч1ч оценивался равным 3.189 . Это свидетельствует об ухудшении обусловленности системы уравнений. Вычислительный процесс на основе метода Зейделя или квадратного корня терял устойчивость.
Неустойчивость решения хорошо заметна на примере расчета задачи с толщиной покрытия й = 0.012мм и действием нормальных напряжением а = 1кгс/ 2 (рис.2.2.2), когда незначительным изменениями входных / мм данных (геометрических параметров - толщина покрытия h = 0.013 мм рис.2.2.3 и граничных условий - а„ =-0.9кгс/ 2 - рис.2.2.4) соответствовало / мм неадекватное изменение решения. В данных примерах порядок матрицы -5440, определитель оценивался равным 3.9-10"13536.
Для сравнения на рис,2.2.5 представлено корректное решение задачи с толщиной покрытия h = 0.05 мм и действием нормальных напряжением 7,,,=-1 / 2. Показанное отклонение численных значений от / мм. аналитических на концах исследуемой области демонстрирует влияние сингулярности фундаментального решения Ищ (х, хк).
Метод регуляризации Тихонова заключается в минимизации функционала (2.2.3) [48], Алгоритм минимизации состоит из формирования сходящейся к нулю последовательности japj, представляющей собой геометрическую прогрессию, и поиска минимума при закрепленной величине а а„. Минимум данного функционала при а = а„ обеспечивает корень уравнения: f(x) = 2A\Ax-B) + 2ap(x-x0) = Q. Отсюда получим [А А + арЕрс = А В + арх0, где А - транспонированная матрица А, Е - единичная матрица. После решения этой системы выбираем следующее значение а». В качестве вектора х0 при щ используется вектор граничных условий, а на каждой последующей итерации - регуляризованное приближение х, полученное на предыдущей.
При решении этим методом использовалась нормировка (см. рис.2.2.11-2.2.13), иначе численное решение сильно отклоняется от аналитического,
Систематическое сравнительно небольшое отклонение численных значений аде от аналитических, как выяснилось, было связано с применением неравномерной сетки со сгущением к оси Ох, вдоль которой рассчитывались значения напряжений. Такая дискретизация обусловлена стремлением уменьшить количество граничных элементов, что было вызвано ограничением имевшихся вычислительных ресурсов.
Решение задачи Дирихле для многосвязной области на плоскости
Как показывают формулы (3.1.23), члены ряда (3.1.21) можно построить следующим образом.
В качестве нулевого приближения мы строим гармонические в Dm функции Um0(z), контурные значения которых совпадают с заданными функциями fjz). Если построены функции U 0(z)t.,.JJ x{z), то Umf{z) определяется так: из функций Uk (z), к т, вычитаются их значения на бесконечности, полученные разности вычисляются на кривой 1т и затем суммируются по всем к, не равным т. В результате мы получаем значения функции Um r (z) на контуре Lm и далее с помощью соответствующей функции Грина мы находим эту функцию Um r (z) во всей области Dm. Искомая гармоническая в D функция U(z) равна сумме ряда » п U(z) = T(-iyZUmr(z). (3.1.24) /=0 m=l Изложенный процесс называется обобщенным алгоритмом Шварца. Без существенных изменений применяется обобщенный алгоритм Шварца и в случае конечной многосвязной области. Достаточно функцию lu(Q заменить нулем. Можно принять также Ш = ЭО„(а,0 8У где а - произвольная точка внутри D. Обобщенный алгоритм Шварца в случае конечной многосвязной двумерной области D, состоящей из подобластей Dmi ограниченных контурами l,„, и сводится к вычислению суммы следующего ряда для искомой функции U(z) К .К п г .Л U(z)=n-VZU (z), D = n D„,t I = ui=1iM (3.1.25) r=0 m=\
Символом Umr(z) также обозначается гармоническая в Dm функция, значения которой на контуре Lm этой области равны ит г. Ряд (3.1.25) равномерно сходится, если область D двухсвязная, или контуры LltL2f...LK достаточно удалены друг от друга [27, 45]. Если разрешение задачи Дирихле для областей Dm нам известно, то можно считать известными функции Грина этих областей Gm{z;Q и: итЛ ) = \umAOdGj -9do, (3.1.26) in j ov или, в операторном виде, Um,r(z) = (Amum,)(z), zzDmuLm. (3.1.27) Значения ищг находятся из формул: и ,о=Л.О0) ««,г(г)= ZUk,r-i(z), z Lm. (3.1.28) кФт В качестве нулевого приближения строятся гармонические в Dm функции UmQ(z), контурные значения которых совпадают с заданными функциями /я(г).
Таким образом, метод Шварца является методом последовательных приближений, на каждом шаге приближений которого вычисляется член ряда (3.1.25) по формулам (3.1.28), (3.1.26).
Разработка итерационной модификации метода Шварца
Поставим задачу модифицировать вычисления приближений так, чтобы искомое решение являлось не рядом, а пределом итерационной последовательности. Для этого, с использованием (3,1.27), представим выражения для членов ряда (3.1.28) в следующем виде: Um,Q=fm(z) «„,,( ) = ( A Z A " Z Alrftr)(z) 2 AH І, = U,--, (3.2.1) тогда (3.1.25) переписывается в виде м=1 Л, - X АЛ + А V ---К-1)" ІА IА - X АЛ fl m i\?m 2 l Ч " 2 4 с г-] zeDuL. (3.2.2)
Далее в настоящей работе предлагается следующий итерационный алгоритм. В качестве приближенных решений берутся функции Ur (z): Ur(z)=tu„Az),zeDvL, последовательность {Ur(z)} которых, также как и ряд (3.1.25), сходится к точному решению U(z) при г - оо: U{z) = HmUr(_z)sUm4Umr(z)i zeD L (3.2.3) = - ят=і Функции U n/(z) получаются методом итераций согласно (3.1.26) и формул "и,0=Л.(г) «И1г(2) = /И(2)-Х м(2)9 zeV (3.2.4)
В виде интегральных операторов последнее выражение, согласно (3.2,1), имеет вид: zeLm. (3.2.5) В отличие от классического алгоритма Шварца в данном случае итг находится как разница между контурным значением fm (г) и суммой функций /;,,_,(z), кФт, zeLm. В результате, алгоритм представляет собой систему интегральных уравнений, которая решается методом итераций. Покажем, что решение (3.2.3) совпадает с (3.1.25). Действительно, используя (3.2.5), имеем: ит ,„ ) = /«-I L/l -XAi2...[fin_t- ЛД(2)].-.] = = fm - І V +1Л I Vr-+(-!)" 2 Л Л I \k з (3-2.6) zeLn. Из последнего выражения и (3.1.27) получаем (3.2.3) в виде: fm - I \f4 + A S V —+(-1)" S Л IЛ - I Л„Л, +... ZZDVJL. (3.2.7) Из (3.2.2) и (3.2.7) видно, что решения (3.1.25) и (3.2.3) данных алгоритмов полностью совпадают.
Итерационный метод (3.2.3), в отличие от (3.1.25), не предполагает сохранения результатов предыдущих вычислений при получении окончательного решения. Кроме того, при использовании (3.2.3) открываются достаточно широкие возможности существенного ускорения сходимости метода Шварца за счет привлечения хорошо разработанных способов ускорения итерационных процессов. Ниже рассматривается применение алгоритма "итераций по отдельным координатам" и верхней релаксации в модифицированном методе Шварца с численной реализацией методом граничных элементов.
Заметим, что формулировка (3.2.5) в виде интегральных операторов дает общий итерационный алгоритм решения систем линейных интегральных уравнений в многосвязных областях методом Шварца.
Постановка задач исследования инструмента
В настоящее время актуальным является вопрос вычислительного моделирования свойств новых композиционных материалов, а также изделий с малыми и тонкими элементами структуры. Вследствие потери устойчивости решения, ограниченности вычислительных ресурсов задачи становятся не решаемыми, что вызывает необходимость исследования степени эффективности методов регуляризации, а также разработки новых алгоритмов.
В данной диссертации представлен подход решения указанной проблемы с использованием алгоритма Шварца, в результате чего появляется возможность декомпозиции матрицы и следовательно, использования эффективных параллельных алгоритмов. Однако метод Шварца в классической формулировке Неймана-Михлина-Соболева, обычно, сходится весьма медленно. В данной работе метод Шварца преобразуется в общий итерационный метод, процесс сходимости которого существенно ускоряется. Для проведения расчётов однородных и кусочно-однородных изотропных линейно-упругих тел модифицированным методом Шварца используется метод граничного элемента.
В работе получены следующие новые результаты:
1. Для получения устойчивого численного решения систем линейных уравнений методом граничных элементов проведено исследование различных методов регуляризации. На примере тестовой задачи самый эффективный по скорости сходимости из рассмотренных оказался проксимальный метод.
2. Дан алгоритм решения системы граничных интегральных уравнений упругого кусочно-однородного тела методом Шварца.
3. Разработана новая итерационная модификация метода Шварца. Применяя алгоритма "итераций по отдельным координатам" к данному методу практически в два раза увеличивается сходимость. Модификация метода Шварца применена совместно с непрямым методом граничных элементов для решения плоских краевых задач на случай однородных и кусочно-однородных изотропных линейно-упругих тел.
4. Для реализации разработанной модификации метода Шварца создан программный комплекс, реализующий последовательный и параллельный алгоритм вычислений на кластере рабочих станций. Представлена эффективность полученного распределенного алгоритма по сравнению с последовательным и с комплексом DPHS, реализующим параллельный расчет МГЭ с регуляризацией.
5. Посредством разработанных программ, а также комплексами DPHS, MSC.Nastran&MSC.Patran решены некоторые задачи о расчёте режущих инструментов с тонкими покрытиями. Представлено исследование на оптимальные параметры покрытия. Полученные результаты вычислительного моделирования позволяют определить эффективные диапазоны параметра дискретного покрытия. Они также обосновывают повышение прочности и износостойкости дискретного покрытия по сравнению со сплошным в 3.. .5 раз для передней грани и в 1.1.. .2 раза для задней грани режущего инструмента.
По теме диссертации опубликовано 12 научных работах, получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ, ещё одно находится в стадии рассмотрения:
1. Бормотин К.С., Олейников А.И. О расчете кусочно-однородных тел тонкой структуры // Сборник докладов международной научной конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики» -Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 2003. С. 743-751.
2. Бормотин К.С, Олейников А.И. Регуляризованные параллельные алгоритмы расчета упругих тел с тонкими элементами структуры // Труды Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. 4.1/Под ред. Г.А. Михайлова, В.П. Ильина, Ю.М. Лаевского. - Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004. С. 192-196.
3. Бормотин К.С, Олейников А.И. Regularizing parallel algorithms boundary - element calculation of elastic bodies with thin elements of structure 11 Book of Abstracts of XXXII International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics (АРМ)" 2004. P. 81-82.
4. Бормотин К.С, Олейников А.И. Моделирование состояния режущего инструмента с тонкослоистыми и дискретными покрытиями // "Информатика и системы управления" №2(8), 2004. С. 14-19.
