Введение к работе
Актуальность темы. Устойчивые законы в последнее двадцатилетие стали использоваться во многих прикладных задачах, связанных с физикой, экономикой, радиотехникой, гидрологией, астрономией и т.д. Особенно интенсивно они используются в математических моделях, имеющих «тяжелые» хвосты распределения. В силу того, что многие эмпирические данные имеют такое распределение, необходимо строить модели, обладающие этими свойствами. Кроме того, устойчивые законы применяются в математических моделях точечных источников влияния, примерами которых являются гравитационное поле звезд, распределение температур в ядерном реакторе, распределение напряжений в кристаллических решетках. Моделирование устойчивых случайных векторов необходимо также для проверки робастности методов оценки их параметров. В силу сказанного тема диссертационной работы является актуальной.
Устойчивые распределения описывались в монографиях Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова, В. Феллера, И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника и В. В. Петрова. Основные результаты, касающиеся характеризации устойчивых законов, вошли в книгу А. М.Кагана, Ю.В. Линника и С. Р. Рао. Вопросы, связанные с аналитическими свойствами устойчивых законов, рассматривались в монографиях В. Феллера, И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника, в книге Е. Лукача, а также в статье Д. Холта и Е. Кроу. Труды следующих авторов специально посвящены устойчивым распределениям и процессам: Золотарев В.М., Учайкин В.В., Janicki А., Weron A., Samorodnitsky G., Taqqu M.S., Nolan J. P.
Исторически первым появился датчик для односторонних устойчивых случайных величин, использующий интегральное представление функции распределения, полученное в статьях Ибрагимова, Чернина (1959) и Кап-ter'a (1975). Затем на основе интегрального представления Золотарева Chambers, Mallows, Stuck (1976) разработали датчик устойчивых чисел с произвольными параметрами, использующий экспоненциально и равномерно распределенные случайные величины. Другая методика, основанная на представлении устойчивых величин с помощью случайных рядов LePage'a была предложена A. Janicki и A.Weron'oM (1994).
Цели и научные задачи. Целью работы является разработка и программная реализация метода моделирования устойчивых случайных величин и векторов, основанного на обобщенной центральной предельной теореме (ОЦПТ).
Основные задачи. Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:
— получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ
для устойчивых случайных величин с бесконечным математическим
ожиданием (в случае, когда показатель устойчивости а Є (0,1]);
получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ для устойчивых случайных величин с конечным математическим ожиданием (а Є (1,2));
получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ для устойчивых случайных векторов в случае дискретной спектральной меры;
— получены асимптотические представления параметров в ОЦПТ
для устойчивых случайных векторов в случае сферически симметричной
спектральной меры.
Методы исследований. Для построения алгоритмов моделирования используется ОЦПТ. Для вывода формул применяется метод характеристических функций, асимптотические методы математического анализа, численные методы и комплексный анализ. Программная часть была реализована в системе Matlab.
Научная новизна. В диссертационной работе реализован подход к моделированию устойчивых случайных величин и векторов, основанный на ОЦПТ. Основные результаты работы являются новыми:
-
разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с бесконечным математическим ожиданием [а Є (0,1]);
-
разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с конечным математическим ожиданием [а Є (1,2));
-
разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов в случае дискретной спектральной меры;
-
разработан алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов для сферически симметричной спектральной меры;
-
получены представления характеристических функций смеси распределений Парето;
-
получены асимптотические представления характеристических функций нормированной суммы независимых центрированных (при а > 1) случайных величин, являющихся смесью распределений Парето.
Теоретическая и практическая значимость. К настоящему времени разработаны два метода моделирования устойчивых величин:
а) с помощью интегрального представления Золотарева;
б) с помощью представления устойчивых случайных величин рядами
LePage'a.
Однако эти методы не допускают обобщения на многомерный случай. Предложенный в работе метод, основанный на ОЦПТ, может быть использован для моделирования устойчивых случайных векторов в Rd с произвольной спектральной мерой, как дискретной, так и непрерывной. Поэтому он может использоваться для построения математических моделей с «тяжелыми хвостами» распределения, появляющихся в различных разделах науки.
В ходе работы над диссертацией был разработан комплекс программ, реализующий разработанные методы и алгоритмы моделирования устойчивых случайных величин и векторов.
Достоверность и обоснованность полученных результатов. Достоверность полученных результатов основана на использовании ОЦПТ, а также на подтверждении результатов моделирования теоретическими результатами, полученными аналитическими методами.
Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты, полученные в ходе диссертационной работы:
1. алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с
бесконечным математическим ожиданием (а Є (0,1]), основанный на
применении ОЦПТ;
-
алгоритм моделирования устойчивых случайных величин с конечным математическим ожиданием а Є (1,2), основанный на применении ОЦПТ;
-
алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов в случае дискретной спектральной меры, основанный на применении ОЦПТ;
-
алгоритм моделирования устойчивых случайных векторов для сферически симметричной спектральной меры, основанный на применении ОЦПТ;
-
программная реализация разработанных алгоритмов моделирования устойчивых случайных величин и векторов.
Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского госуниверситета. Методы моделирования устойчивых случайных векторов, полученные в диссертации, представлены в дисциплине «Моделирование трейдинговых стратегий».
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Второй Российской школе-конференции для молодых ученых с международным участием «Математика, информатика, их приложения и
роль в образовании» (8-12 декабря 2010 года, Тверской государственный университет, Тверь), на XIV Всероссийском симпозиуме с международным участием по теории и приложениям непараметрических и робастных статистических методов «НЕПАРАМЕТРИКА- XIV» (1-3 июля 2012 года, Томский государственный университет, Томск).
Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах, приведенных в конце автореферата, 4 из которых опубликованы в журналах, рекомендуемых ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и изложена на 132 страницах. Список литературы содержит 80 наименований, включая работы автора.
