Моделирование случайных векторов Ильеня Алексей Михайлович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Анализ известных методов моделирования случайных векторов 9

1.1. Моделирование случайных векторов с произвольно заданными функциями распределения 9

1.2. Моделирование случайных векторов с однотипными плотностями распределения и заданной корреляционной матрицей 13

1.3. Моделирование случайных векторов с распределением координат либо нормальным, либо близким к нормальному 13

1.4. О проблеме моделирования случайных векторов с заданными произвольными распределениями координат и заданными корреляционными характеристиками 16

Основные выводы по главе 1 17

Глава 2. Моделирование случайных векторов с произвольным распре делением координат с использованием систем линейных уравнений со случайными коэффициентами 18

2.1. Векторы с однотипным распределением координат 18

2.2. Векторы с произвольными распределениями координат 21

2.3. Моделирование случайных векторов с произвольными распределениями координат через преобразование распределений координат к нормальному 27

2.4. Моделирование случайных векторов с заданными совместными плотностями распределения координат 31

Основные выводы по главе 2 34

Глава 3. Моделирование случайных последовательностей с заданной автокорреляцией координат и взаимными корреляционными функциями 35

3.1. Метод моделирования с подбором параметров случайных коэффициентов системы линейных уравнений 35

3.2. Метод моделирования векторов со взаимными корреляционными функциями, являющимися линейной комбинацией автокорреляционных функций 43

Основные выводы по главе 3 45

Глава 4. Программный комплекс 46

Заключение 50

Литература 51

Приложение 54

• Моделирование случайных векторов с однотипными плотностями распределения и заданной корреляционной матрицей
• О проблеме моделирования случайных векторов с заданными произвольными распределениями координат и заданными корреляционными характеристиками
• Моделирование случайных векторов с произвольными распределениями координат через преобразование распределений координат к нормальному
• Метод моделирования векторов со взаимными корреляционными функциями, являющимися линейной комбинацией автокорреляционных функций

Введение к работе

Рассматриваемая в данной работе задача достаточно актуальна, поскольку моделирование случайных векторов широко применяется во многих прикладных задачах. Одна из них - проведение модельных (машинных) экспериментов. Предполагая определенные свойства объекта исследования и характеристик измерительной аппаратуры, исследователь имитирует результаты измерений, обрабатывает их тем или иным способом и сравнивает результат с заложенными ранее характеристиками объекта. При этом необходимо моделировать не только закономерное влияние на результат измерения свойств объекта исследования и аппаратные искажения, но и случайные погрешности измерений, т. е. случайные величины и векторы с заданным законом распределения. Результаты экспериментов, как правило, представляют собой массивы отсчетов, которые в общем случае можно считать независимыми случайными величинами, поскольку средние значения отражают соответствующие физические закономерности, но к ним добавляются случайные погрешности. Однако в реальных экспериментах, особенно если они выполняются быстро с помощью автоматизированных измерительных систем, погрешности измерения могут быть коррелированы по времени.

Теоретико-вероятностные и статистические методы, в том числе моделирование случайных векторов и дискретных случайных процессов с заданной автоковариационной функцией применяется, например, в радиотехнике. Множество явлений (колебательные и волновые процессы, турбулентность атмосферы, волнение поверхности моря и т.д.) имеют случайный характер, поэтому одной из центральных задач статистической радиофизики в широком смысле является построение вероятностных моделей стохастических явлений в целях обработки сигналов. С развитием вероятностных методов появилась корреляционная и спектрально-

корреляционная теория, предполагающая учет при обработке сигналов лишь информации о корреляционной функции и энергетическом спектре сигналов и нолей. Программная реализация на ЭВМ стала одним из самых распространенных методов построения и исследования систем обработки сигналов.

Моделирование случайных векторов используется также в экономических задачах и задачах планирования. Здесь стохастические задачи имеют место, например, когда нельзя точно определить состояние системы на каждом этапе; если переменные, характеризующие состояние системы, являются случайными величинами с известной функцией распределения; если меняется цель задачи; при планировании на длительный период, поскольку в этом случае невозможно точно указать значения всех коэффициентов, так как они могут изменяться под влиянием непредвиденных причин. Для решения подобного рода многоэтапных экстремальных стохастических задач достаточно эффективен метод динамического программирования, при этом преобразование системы (и ее математической модели) от каждого предыдущего этапа к следующему содержит некоторую неопределенность, т. е. известный вектор состояния S) переходит в случайный вектор состояния Z,_, с функцией распределения G{S,,Z,__)bU,), которая зависит от известного состояния S_n случайного состояния Z,-_, и управления /,. Поэтому, принимая решение на (/-1)-м этапе, необходимо положить, что действительное значение вектора состояния S_t наблюдалось и известно, и, в общем случае, смоделировать вектор Z,__|5 хотя для получения некоторых характеристик (например, математического ожидания) этого не требуется.

Одной из важных экономических задач, для решения которых невозможно обойтись без моделирования случайных векторов, является исследование финансовых рынков и принятие соответствующих решений. С 50-х годов прошлого века появилась портфельная теория, направленная на

решение практической задачи о рассредоточении капитала по различным

* видам операций в условиях неопределенности. Существенный момент этой
теории - учет взаимных корреляционных зависимостей между ДОХОДНОСТЯМИ
операций.

Приведенные "выше рассуждения касались задачи моделирования случайных векторов вообще; существующие методы ее решения в основном связаны с моделированием многомерных нормальных случайных векторов, а это далеко не всегда является лучшей моделью для описания реально наблюдаемых многомерных случайных величин, поэтому есть необходимость моделирования случайных векторов с произвольными распределениями координат. Между тем, например, классический аппарат корреляционного анализа использует предположение о нормальности распределений координат многомерного вектора. На этой основе получены предельные распределения статистик, используемых в корреляционном

* анализе, и соответствующие оценки, позволяющие делать выводы о наличии
и характере функциональной зависимости между наблюдаемыми
величинами. В последнее время ведутся исследования того, что происходит с
распределениями различных статистик корреляционного анализа в
ситуациях, когда наблюдаемый многомерный закон не является
нормальным. Использование других математических моделей затруднено,
поскольку чисто аналитические методы значительно усложняются. Впрочем,
корреляционный анализ выходит за рамки предлагаемой работы, а
исследуемые в ней методы имеют для него вспомогательный характер.

Цель диссертационной работы состоит в расширении возможностей моделирования случайных векторов. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

- анализируются возможности известных методов моделирования случайных векторов;

разрабатываются и исследуются методы моделирования случайных векторов с произвольным распределением координат с использованием систем линейных уравнений со случайными коэффициентами и с использованием преобразования произвольных распределений координат к нормальному;

разрабатываются и исследуются методы моделирования случайных векторов с заданной автокорреляцией координат и взаимными корреляционными функциями;

разрабатывается программный модуль, позволяющий моделировать случайные векторы с произвольным распределением координат и заданной корреляционной матрицей.

Список публикаций, на которые делаются ссылки, включает 32 наименования. Среди них - 6 публикаций автора.

Моделирование случайных векторов с однотипными плотностями распределения и заданной корреляционной матрицей

Вначале рассмотрим способ моделирования невырожденного многомерного нормального распределения, описанный в [1 2]. Это распределение вполне определяется вектором математических ожиданий и корреляционной матрицей. Хорошо известно, что вектор , с таким распределением можно получить специальным линейным преобразованием вектора = ( ,..,, ), компоненты которого являются независимыми нормально распределенными случайными величинами с параметрами т=0, о=1. Обычно предполагают, что матрица А преобразования %=Arf+m является треугольной. Коэффициенты #.. матрицы А легко определяются рекуррентной процедурой, поскольку ,=.0,,77,+ 1 и при этом аи = yj K = [Щ . Далее, Следовательно, а2і -—— - , ..:.. , а22 =JK22 — Общая рекуррентная формула нахождения коэффициентов матрицы А такова: Эта формула легко проверяется рассмотрением математического ожидания величины ( - т,)(, - w;) сначала для у-/, а затем jsjmj i. Для решения прикладных задач часто бывает необходимо моделировать стационарные гауссовские процессы. При этом обычно пользуются приближенной заменой процесса соответствующим нормальным вектором с конечным числом координат.

Особенно просто моделируются векторы, соответствующие стандартному винеровскому процессу, так как его приращения независимы и нормальны. Если удается оценить лишь одномерные (маргинальные) плотности распределений /Хх) и коэффициенты корреляции гу = Кij/(a,a ), то в том случае, когда вектор нормален, эти данные полностью определяют многомерное распределение и его можно моделировать так, как описано выше. В противном случае можно рассматривать целый класс векторов с указанными характеристиками. Требуется построить алгоритм моделирования какого-либо из таких векторов. Иногда это можно сделать с помощью преобразования нормального вектора, характеристики которого определяются специальным образом. Далее рассмотрен такой способ построения требуемого алгоритма. Введем следующие обозначения: F x) - функция распределения координаты вектора , F(х) - функция нормального распределения с параметрами (0, 1). Рассмотрим нормальный вектор т) =(77,,...,) такой, что М( ) = 0, /5(//,) = 1, М(т/)=р,г Коэффициенты корреляций ру определим далее. Случайные величины /) распределены равномерно в интервале (0, 1), поэтому каждую из случайных величин %щ можно моделировать по формуле ф = F "1(F(T7,)). Отсюда для определения коэффициентов корреляции р мы получаем следующие уравнения: После решения приведенных выше уравнений задача сводится к моделированию нормального вектора rj и определению координат ,. Однако эти уравнения могут не иметь решения. Кроме того, необходимо, чтобы полученная матрица [pj была положительно определенной. Когда эти условия выполнены (а выполнены они при распределениях, близких к нормальным), данная методика весьма эффективна. Известные методы моделирования случайных векторов с нормально распределенными координатами были предложены достаточно давно. Они используют линейные преобразования моделируемых независимых нормально распределенных случайных величин. При этом используется то, что линейные преобразования случайных величин не изменяют их нормальности [5].

Однако при линейных преобразованиях случайных величин с произвольными законами распределения происходят изменения этих законов. Этим объясняется то, что методов моделирования указанных случайных векторов не было известно до настоящего времени. В данной главе были рассмотрены известные ранее методы моделирования случайных векторов и ограничения на возможность их использования. В частности, были проанализированы: - метод моделирования случайных векторов по заданной многомерной плотности распределения; - метод моделирования случайных векторов с одинаковыми для всех координат распределениями, близкими к нормальному, и заданной корреляционной матрицей. В последнем случае выполнялось преобразование распределений к нормальному. Из выполненного анализа следует, что приведенными выше методами невозможно решить задачу моделирования случайных векторов с различными распределениями координат и заданными корреляционными характерис-тиками, поскольку многомерную плотность распределения задать достаточно трудно, а для последнего метода (с заданием корреляционной матрицы) вид распределений координат играет существенную роль из-за преобразования вектора с независимыми нормально распределенными координатами к вектору с коррелированными координатами (линейная комбинация случайных величин не сохранит заданную функцию распределения).

О проблеме моделирования случайных векторов с заданными произвольными распределениями координат и заданными корреляционными характеристиками

Ранее был известен метод моделирования случайных векторов с произвольным, но одинаковым для всех координат одномерным законом распределения и заданной матрицей ковариаций, основанный на реализации системы линейных разностных уравнений с ортогональными случайными коэффициентами [25, 26 и др.]- Но реализация указанных уравнений приводит к корреляции между последовательно генерируемыми векторами, что во многих случаях нежелательно. С помощью предлагаемого ниже метода этот недостаток удалось преодолеть. Этот метод использует другую форму системы линейных алгебраических уравнений, а именно уравнения со случайными коэффициентами.

Пусть Х- (X ,X2,...,XN) - моделируемый вектор, заданный плотностями распределения координат, причем эти плотности однотипны (например, только равномерные распределения в интервале от 0 до 1), и корреляционной матрицей А.

Тогда координаты вектора будут моделироваться следующими уравнениями со случайными коэффициентами:

Здесь Y ,Y2,...,YN - независимые случайные величины, имеющие то же распределение, что и X ,X2„..,XN, а Аи,А2ХъА22„.. - случайные величины, принимающие только два значения - 0 или 1, причем в каждый момент времени только одна из величин А21 и А22; Л31, АЪ1 и Аъъ и так далее (т.е. по строкам матрицы системы) принимает значение 1. Таким образом, события, заключающиеся в равенстве единице коэффициентов каждого из уравнений для координат Х Хг,...,Хк , образуют полную группу.

Теперь найдем вид системы уравнений, определяющих величины ац — вероятности, с которыми случайные коэффициенты Ау принимают значение, равное 1. Пусть ги - коэффициент корреляции величин X, и X,(здесь / ./); этот коэффициент есть не что иное, как вероятность того, что величины Х-, и X} примут значение одной случайной величины Ym, где т min(i, j). А эта вероятность равна ]Г я,Л aJk. Таким образом, система уравнений имеет вид:

Итак, одномерный закон распределения координат Хк совпадает с одномерным законом распределения координат У, независимо от значений математических ожиданий (вероятностей равенства 1) случайных коэффициентов Ац.

Все эти рассуждения верны для случая, когда значения всех коэффициентов а0 положительны. При наличии отрицательных asi алгоритм моделирования существенно не изменяется. Но при этом вместо ау берутся их абсолютные значения, а соответствующие значения У, берутся с противоположным знаком. В этом случае одномерный закон распределения координат Х1 будет таким же, как и для координат Yi, если последний является четной функцией. В противном случае будет иметь место отличие моделируемого распределения от заданного.

Таким образом, у рассмотренного выше метода моделирования случайных векторов есть то преимущество, что у координат вектора не теряется плотность распределения (поскольку коэффициенты в системе уравнений, по которым идет генерация координат, случайны и в каждый момент времени каждая координата принимает либо одно из уже полученных ранее значений предыдущих координат, либо значение независимой случайной величины с тем же распределением). Выще было доказано, что корреляционная матрица для векторов, генерируемых таким способом, совпадает с требуемой.

У этого метода также отсутствует автокорреляция генерируемых распределений по каждой из координат, поскольку он не использует значений, полученных на предыдущих шагах.

По сравнению с методом, рассмотренным выше и применимым только для однотипных распределений, для произвольных распределений меняются выражения для коэффициентов корреляции координат. Кроме того, если координаты имеют различные типы распределений, то полной корреляции между ними быть, в отличие от предыдущего метода, не может, а наибольшее значение коэффициента корреляции ограничено некоторой величиной между 0 и 1 (соответственно, наименьшее значение ограничено другой величиной между -1 и 0).

Для простоты рассмотрим случай, когда все коэффициенты корреляции координат неотрицательны. Введем матрицу R , элементы которой получаются так:

Сама идея метода моделирования остается такой же, как и была для векторов с одинаковыми для всех координат распределениями. Пусть X],XIt...,XN - равномерно распределенные в интервале от 0 до 1 случайные величины, a Y],Y2,...)YN - произвольно распределенные величины, тогда Yl,Y2i...,YN отображаются на X],X2,...,XiV следующим образом:

Вся область значений случайной величины Yj разбивается на п промежутков таким образом, что площадь под графиком плотности распределения величины Yi на каждом из них была одинаковой (т.е. чтобы значения случайной величины попадали в эти промежутки с равной вероятностью) и равной 1/п (в силу того, что общая площадь под графиком равна \f(y)dy = 1). Значению X,, принадлежащему диапазону [{т -1) / и; т I и], будет соответствовать произвольное значение Y,, попавшее в т-й промежуток (например, середина этого промежутка).

При разыгрывании случайных величин Yl,Y2,...,YN с заданной корреляционной матрицей сначала разыгрываются величины XI,X2,...,XN, а затем происходит отображение их значений на значения вектора с произвольным распределением координат, обратное приведенному выше.

Корреляция величин XltX2,...,XN вносится следующим образом: величина Xf принимает значение независимой равномерно распределенной величины х(; величина Х2 принимает с вероятностью а21 значение х{, а с вероятностью а22 значение х2 (независимая равномерно распределенная случайная величина); величина Х3 принимает с вероятностью а3 значение xlt с вероятностью ai2 значение хг, с вероятностью аъъ значение хъ ит.д.

Таким образом, если величины X X3,...,XN образуют вектор с корреляционной матрицей Я , коэффициенты которой рассчитываются по формуле (2.2), то получается следующая система уравнений для выражения коэффициентов корреляции этих величин (она аналогична той, которая приводилась в 2.1)

Моделирование случайных векторов с произвольными распределениями координат через преобразование распределений координат к нормальному

У метода, изложенного в предыдущем разделе, есть один недостаток: две некоррелированные координаты вектора X, и Xj (коэффициент корреляции равен 0) не всегда являлись независимыми, т.е. совместная плотность их распределений не обязательно равнялась произведению плотностей распределения этих координат. В общем случае получалась следующая зависимость между ними: с некоторой вероятностью (почти всегда не равной нулю) одна из координат вектора принимала значение такое же, как вторая, и с такой же вероятностью — значение, противоположное ей (это в том случае, когда все координаты имеют одинаковое симметричное распределение, плотность которого является четной функцией; в случае разных распределений зависимость между значениями координат, опять же с некоторой вероятностью, отличной от 0, является функциональной).

Предлагаемый метод позволяет добиться того, что некоррелированные координаты вектора были бы одновременно и независимыми. Он аналогичен методу, изложенному выше, и также включает в себя преобразование различных законов распределения координат вектора к нормальному (с математическим ожиданием, равным 0, и средне квадратическим отклонением, равным 1; здесь и далее при упоминании преобразований распределений координат вектора к нормальным будут подразумеваться именно эти параметры), но операция сложения значений величин, взятых со случайными коэффициентами, которые принимают значения 0. и 1 с вероятностями а , заменяется на сложение этих же значений координат с неслучайными коэффициентами, равными а .

Если координаты вектора имеют различные законы распределения, то для моделирования их эти распределения необходимо преобразовать к нормальному виду способом, описанным ранее для преобразования к равномерному распределению. При этом значения нормально распределенных координат промежуточного вектора разбиваются на промежутки [F \(m-\)ln);F \mlri)\, где F(x) - функция стандартного нормального распределения, F_,(0) = -oo, F_1(l) = +co. В этом случае некоррелированные координаты вектора также будут независимыми.

Докажем независимость координат моделируемого вектора, коэффициент корреляции которых задан равным 0, для случая трехмерного вектора с некоррелированными второй и третьей координатами (для большего количества координат доказательство остается похожим).

Некоррелированность координат Х2 й Хъ означает, что Г1а-п +Й Й21 =0. Обозначим значение координаты Х2 как х, а Х3 как у, тогда функция совместного распределения этих величин равна

Вид пределов интегрирования (а это, фактически, значения независимых величин - слагаемых распределения Хъ) связан с тем, что где г, —значение величины Y3.

Плотность распределения, таким образом, можно преобразовать к виду, в котором в показателе степени стоит множитель ху с коэффициентом 2- "—ЇШ.. А он для некоррелированных величин равен 0. Таким образом., вид совместного распределения величин Х2 и Ху совпадает с видом совместного распределения двух независимых нормально распределенных величин с теми же параметрами, т. е, некоррелированные нормально распределенные координаты являются и независимыми, что и требовалось доказать.

Если же координаты вектора имеют различные законы распределения то для моделирования их эти распределения необходимо преобразовать к нормальному виду способом, описанным в разделе 2.2. В этом случае некоррелированные координаты вектора также будут независимыми.

Если же две координаты коррелированы, то их совместный закон распределения будет таким: f \t\fy \t) — функции, обратные плотностям распределений двух координат. Вид этой функции следует из уравнения для вида плотности распределения системы двух нормально распределенных величин с заданным коэффициентом корреляции.

Пример. Пусть моделируется 4-мерный вектор X со следующими распределениями координат:

Плотности распределения координат вектора (по сгенерированным значениям):

Метод, изложенный в разделе 2.3, можно изменить так, что совместные плотности распределения двух координат будут равняться произвольно заданным функциям, определенным на областях определения этих координат и удовлетворяющим условиям, налагаемым на плотности распределения вообще. В этом варианте также будет необходимым преобразование координат моделируемого вектора к нормальному закону распределения.

Идея метода остается такой же, как в разделах 2.2 и 2.3: координата Х1 представляется величиной Yt , координата Х2 — суммой величин Уп и У2 (здесь Y2 — независимая случайная величина), а координата Хт — суммой величин Yim (здесь і принимает значения от 1 до т- I, а У1т — величины, распределение которых зависит от значений величин У.) и независимой величины Уш . Предположим, что совместное распределение величин Yt и Ут близко к нормальному с каким-либо коэффициентом корреляции. Тогда можно взять в качестве Тт нормально распределенную величину с математическим ожиданием, равным 0; вид ее распределения (т. е. среднеквадратическое отклонение) и распределения остальных слагаемых вычисляются из следующих соображений. Характеристическая функция распределения Х2 равна произведению характеристических функций распределений Уи и У2 [4]. Но модуль таковой для распределения Y]2 не может быть больше 1, и в силу этого ограничения среднеквадратическое отклонение для распределения У2 не превышает определенной величины т2 (сама эта величина зависит от вида совместного распределения Х] и Х2 и, очевидно, не может превысить свое значение для случая линейной корреляции Хх и Х2)

Метод моделирования векторов со взаимными корреляционными функциями, являющимися линейной комбинацией автокорреляционных функций

Рассматриваемая в данной работе задача достаточно актуальна, поскольку моделирование случайных векторов широко применяется во многих прикладных задачах. Одна из них - проведение модельных (машинных) экспериментов. Предполагая определенные свойства объекта исследования и характеристик измерительной аппаратуры, исследователь имитирует результаты измерений, обрабатывает их тем или иным способом и сравнивает результат с заложенными ранее характеристиками объекта. При этом необходимо моделировать не только закономерное влияние на результат измерения свойств объекта исследования и аппаратные искажения, но и случайные погрешности измерений, т. е. случайные величины и векторы с заданным законом распределения. Результаты экспериментов, как правило, представляют собой массивы отсчетов, которые в общем случае можно считать независимыми случайными величинами, поскольку средние значения отражают соответствующие физические закономерности, но к ним добавляются случайные погрешности. Однако в реальных экспериментах, особенно если они выполняются быстро с помощью автоматизированных измерительных систем, погрешности измерения могут быть коррелированы по времени.

Теоретико-вероятностные и статистические методы, в том числе моделирование случайных векторов и дискретных случайных процессов с заданной автоковариационной функцией применяется, например, в радиотехнике. Множество явлений (колебательные и волновые процессы, турбулентность атмосферы, волнение поверхности моря и т.д.) имеют случайный характер, поэтому одной из центральных задач статистической радиофизики в широком смысле является построение вероятностных моделей стохастических явлений в целях обработки сигналов. С развитием вероятностных методов появилась корреляционная и спектрально корреляционная теория, предполагающая учет при обработке сигналов лишь информации о корреляционной функции и энергетическом спектре сигналов и нолей. Программная реализация на ЭВМ стала одним из самых распространенных методов построения и исследования систем обработки сигналов.

Моделирование случайных векторов используется также в экономических задачах и задачах планирования. Здесь стохастические задачи имеют место, например, когда нельзя точно определить состояние системы на каждом этапе; если переменные, характеризующие состояние системы, являются случайными величинами с известной функцией распределения; если меняется цель задачи; при планировании на длительный период, поскольку в этом случае невозможно точно указать значения всех коэффициентов, так как они могут изменяться под влиянием непредвиденных причин. Для решения подобного рода многоэтапных экстремальных стохастических задач достаточно эффективен метод динамического программирования, при этом преобразование системы (и ее математической модели) от каждого предыдущего этапа к следующему содержит некоторую неопределенность, т. е. известный вектор состояния S) переходит в случайный вектор состояния Z,_, с функцией распределения G{S,,Z,_)bU,), которая зависит от известного состояния Sn случайного состояния Z,-_, и управления /,. Поэтому, принимая решение на (/-1)-м этапе, необходимо положить, что действительное значение вектора состояния St наблюдалось и известно, и, в общем случае, смоделировать вектор Z,_5 хотя для получения некоторых характеристик (например, математического ожидания) этого не требуется.

Одной из важных экономических задач, для решения которых невозможно обойтись без моделирования случайных векторов, является исследование финансовых рынков и принятие соответствующих решений. С 50-х годов прошлого века появилась портфельная теория, направленная на решение практической задачи о рассредоточении капитала по различным видам операций в условиях неопределенности. Существенный момент этой теории - учет взаимных корреляционных зависимостей между ДОХОДНОСТЯМИ операций. Приведенные "выше рассуждения касались задачи моделирования случайных векторов вообще; существующие методы ее решения в основном связаны с моделированием многомерных нормальных случайных векторов, а это далеко не всегда является лучшей моделью для описания реально наблюдаемых многомерных случайных величин, поэтому есть необходимость моделирования случайных векторов с произвольными распределениями координат. Между тем, например, классический аппарат корреляционного анализа использует предположение о нормальности распределений координат многомерного вектора. На этой основе получены предельные распределения статистик, используемых в корреляционном анализе, и соответствующие оценки, позволяющие делать выводы о наличии и характере функциональной зависимости между наблюдаемыми величинами. В последнее время ведутся исследования того, что происходит с распределениями различных статистик корреляционного анализа в ситуациях, когда наблюдаемый многомерный закон не является нормальным. Использование других математических моделей затруднено, поскольку чисто аналитические методы значительно усложняются. Впрочем, корреляционный анализ выходит за рамки предлагаемой работы, а исследуемые в ней методы имеют для него вспомогательный характер.