Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Моделирование механического поведения рефлектора 17
1.1. Геометрия параболического рефлектора 17
1.2. Эффективность рефлектора. Среднеквадратичное отклонение как мера точности поверхности 21
1.3. Систематическая ошибка фасетированного параболоида 23
1.5. Метод конечных элементов 24
1.5.1. Дискретная модель области % 26
1.5.2. Дискретная модель произвольной функции F 28
1.5.3. Пример конечного элемента 34
1.6. Модель механического поведения рефлектора зонтичного типа... 36
1.6.1. Элементы конструкции рефлектора зонтичного типа 37
1.6.2. Физическая модель рефлектора 42
1.6.3. Математическая модель рефлектора 43
1.6.4. Конечно-элементная модель рефлектора 47
1.7. Выбор конструкции фронтальной сети 51
1.8. Выводы 56
Глава 2. Тепловая модель рефлектора 57
2.1. Теплообмен в условиях открытого космоса 57
2.2. Тепловая модель линейных элементов 59
2.3. Тепловая модель спиц и мачты 63
2.4. Определение эффективных параметров 65
2.5. Алгоритм радиационной матрицы 66
2.6. Алгоритм расчета освещенности фасеток 68
2.7. Анализ тепловых деформаций и их влияние на СКО 74
2.8. Подробная тепловая модель спицы 75
2.9. Выводы 81
Глава 3. Регулировка рефлектора на орбите 82
3.1. О необходимости корректировки формы поверхности 82
3.2. Возможные виды регулировки формы отражающей поверхности 83
3.3. Параболоид наилучшего приближения 85
3.4. Алгоритм регулирования на основе матрицы влияния 90
3.5. Задача о компенсации вращения 92
3.6. Включение в алгоритм регулирования поворотов. О контроле над процессом регулировки 95
3.7. Задача о смещении центра рефлектора 97
3.8. Дальнейшая модификация алгоритмов 99
3.9. Задача о регулировке температурных деформаций 102
3.10. Выводы 103
Глава 4. Настройка рефлектора в наземных условиях 105
4.1. О необходимости настройки 105
4.2. Алгоритм управления без учета взаимного влияния 106
4.3. Алгоритм управления на основе матрицы влияния 107
4.4. Построение матрицы влияния 108
4.4. Точная настройка рефлектора 110
4.5. Выводы ИЗ
Заключение 114
Список литературы...
- Эффективность рефлектора. Среднеквадратичное отклонение как мера точности поверхности
- Тепловая модель линейных элементов
- Возможные виды регулировки формы отражающей поверхности
- Алгоритм управления без учета взаимного влияния
Введение к работе
Актуальность работы. Важное направление работ в области аэрокосмической техники связано с созданием систем глобальной связи. Для недавно освоенных диапазонов дециметровых и сантиметровых волн возникла потребность в создании больших космических антенн диаметром 10-100 метров. Предполагается, что использование больших космических радиоантенн, размещенных на геосинхронной орбите, позволит значительно расширить число абонентских каналов и существенно уменьшить энергетические потери, характерные для кабельной телефонной связи. Космическая телефонная сеть обеспечит, в частности, устойчивую связь с движущимися объектами (автомашинами, самолетами, надводными судами).
Одним из основных элементов радиоантенн является рефлектор. Конструкции современных рефлекторов характеризуются большими размерами и относительно малой массой, лимитируемой стоимостными ограничениями, связанными с расходами по доставке конструкции на заданную орбиту. Поэтому конструкция рефлекторов получаются весьма гибкими, что порождает множество проблем, нетипичных, например, для таких относительно жестких систем как элементы конструкции самолета.
В то же время к конструкции рефлектора крупногабаритной космической антенны предъявляются высокие требования по жесткости, обусловленные необходимостью точной ориентации конструкции и обеспечением точности функциональных поверхностей. Кроме достаточной жесткости, другим важным обстоятельством, влияющим на качество рефлектора, является наличие неровностей на его отражающей поверхности и то, что отражающая поверхность имеет отклонение от идеальной формы. Наличие неровностей отражающей поверхности может быть связано с неточностью изготовления элементов рефлектора, ошибками, допущенными при сборке антенны, неравномерным тепловым расширением элементов силового каркаса вследствие солнечной радиации и различного рода внешних воздействий. Если поверхность рефлектора имеет неровности, отстоящие друг от друга не менее чем на ве-
личину рабочей длины волны X, произойдет смещение фаз для потоков (сигналов), отражаемых различными частями рефлектора. При этом поток, излучаемый антенной с неидеальным рефлектором в заданном направлении, станет меньше, чем для антенны с идеальной формой отражающей поверхности. Поэтому очень важно прогнозировать поведение таких конструкций.
Весь достигнутый в 90-е годы спектр технологических решений развертываемых антенн проанализирован в работе Фриланда и Кемпбелла [62]. На рис. В.1 приведены зависимости предельно достижимого при современной и перспективной технологии уровня среднеквадратического отклонения (СКО) є профиля поверхности складных рефлекторов от их диаметра D. Отрезки А и В являются оценкой точности разрабатываемых в настоящее время и перспективных прецизионных зеркал [47] соответственно, полученной на основе параметров моделей и аналитических расчетов, отрезок С - оценкой точности для зеркал, изготовленных из гибкой сетки, натянутой на складной каркас, полученной на основе параметров рефлекторов с реальными размерами и на результатах летных испытаний для некоторых конструкций. Отрезки G и Е - оценки точности профиля сетчатых рефлекторов для последующих шагов в технологии их изготовления. Сплошные линии определяют достижимый с точки зрения современного технологического процесса и оборудования уровень точности, 1 - для сетчатых рефлекторов, 2 - для прецизионных.
Щ,ММ
Рис. В.1. Зависимость достижимого СКО поверхности от диаметра
рефлектора
В работе Гряника и Ломана [15] представлена следующая классификация развертываемых антенн (рис. В.2):
Развертываемые антенны
Рис. В.2. Классификация развертываемых антенн
Рассмотрим известные в настоящее время и разрабатываемые варианты конструкции крупногабаритных космических рефлекторов.
Рефлектор диаметром 12 метров космического аппарата (КА) «Garuda», разработан фирмой Harris Aerospace (USA). Общий вид рефлектора представлен на рис. В.З. Он состоит из силового каркаса в виде восьми труб из углепластика, на которых закреплено радиоотражающее металлическое трикотажное сетеполотно с покрытием золотом. Натяжение и регулировка формы отражающей поверхности выполнены с помощью пространственной системы из гибких высокостабильных тросов. Для уменьшения размеров рефлектора в транспортировочном положении ребра рефлектора дополнительно складываются по длине. При раскрытии рефлектора жесткость конструкции обеспечивается натяжением тросовой системы при помощи механизма, располагаемого в центре рефлектора, с обратной стороны. Диаметр рефлектора 12,25 метра, среднеквадратическое отклонение профиля 2,5 мм.
ис. В.З. Рефлектор КА «Garuda», Harris Aerospace
7 Рефлектор диаметром 12 метров КА «Thuraja», разработан фирмой ASTRO AEROSPACE (USA). Общий вид рефлектора представлен на рис. В.4. Он состоит из силового каркаса в виде трансформируемого обода ферменной конструкции, к которому с помощью дополнительной сети крепится радио-отражающее металлическое сетеполотно. Масса рефлектора 78 кг, средне-квадратическое отклонение профиля радиоотражающей поверхности 2,5 мм. Имеются сведения о доведении массы рефлектора до 55 кг, что соответствует удельной массе рефлектора 0,49 кг/м" и является в настоящее время рекордным показателем.
і "
Рис. В.4. Рефлектор КА «Thuraja»
Рефлектор диаметром 5 метров КА «TDRSS» и 6x7 метров КА «M-SAT», разработан фирмой Hughes Space and Communication Company (HSC) [93] на основе гибкой пружинной оболочки из угольной сети. В транспортировочном положении рефлектор упруго деформируется под конфигурацию обтекателя ракеты-носителя и фиксируется в этом положении, а после выведения КА на орбиту принимает расчетную форму (рис. В.5). Преимуществом данного конструктивного исполнения является очень высокая точность радиоотражающей поверхности, достаточная для работы даже в Ка-диапазоне (18-24 ГГц). Недостатком являются ограничения по диаметру рефлектора, накладываемые обтекателем ракеты-носителя; реально достижимый диаметр при существующих размерах обтекателей около 7 метров.
Рис. В.5. Рефлектор КА «TDRSS»
Рис. В.6. Рефлекторы КА ETS-VIII
Рефлекторы ферменно-стержневой конструкции, наиболее известным представителем которых является примененный на КА ETS-VII1 (Япония) рефлектор с апертурой 39x17 м, выполненный из 14 шестиугольных модулей (рис. В.6). Среднеквадратическое отклонение профиля радиоотражающей поверхности 2,4 мм, масса рефлектора около 100 кг. Преимуществом данной конструкции является повышенная жесткость и, соответственно, стабильность формы радиоотражающей поверхности. Недостатком является очень большое количество подвижных механических соединений, приводящее к снижению вероятности раскрытия после выведения КА на орбиту.
Рефлектор диаметром 6 метров, разработанный фирмы «ENERGIA -Space», г. Москва (рис. В.7), конструктивно выполнен на основе трансформируемого силового кольца, к которому крепятся гибкие формообразующие ребра с радиоотражающим металлическим трикотажным сетеполотном. Рефлектор испытан на орбитальной станции «МИР» и имеет массу 46 кг, размеры в сложенном состоянии 0,62x1,06 м.
Рис. В.7
Рефлекторы на основе концепции "SMART. Семейство "SMART' [51;52;53] на данный момент насчитывает несколько вариантов конструкций с различными вариантами обеспечения необходимой формы отражающей поверхности. Конструкция основного варианта (рис. В.8), состоит из нескольких бистабильных труб (только нагрузка сжатия) в сочетании с тонкими верхними мембранами, обеспечивающими требуемую форму и нижней мембраны для возможной балансировки и регулировки конструкции. При такой комбинации формируются только основные радиальные ребра рефлектора.
Рис. В.8. Рефлектор системы SMART с радиальными ребрами
ботан вариант конструкции [51], в котором возможно использование дополнительных радиальных и/или кольцевых ребер (круговых или эллиптических) с меньшим числом основных радиальных ребер (рис, В.9а), с тем, чтобы улучшить точность формы, а также вариант использования относительно малого числа основных радиальных спиц вместе с большим числом легких спиц натяжения мембраны с соответствующей геометрией для обеспечения необходимой формы отражающей поверхности (рис. В.96).
Основные радиальные
Рис. В.9. Рефлектор системы SMART с дополнительными а) кольцевыми и радиальными ребрами б) спицами натяжения мембраны
Как показывает анализ известных технических решений исполнения развертываемых космических антенн по совокупности их параметров, значительный практический интерес представляют зеркальные рефлекторы зонтичного типа. Рефлекторы зонтичного типа отличаются простотой конструкции, легкостью процесса развертывания и устойчивостью к изменяющимся условиям внешней среды.
Для получения прогноза поведения сложных крупногабаритных конструкций в условиях эксплуатации на орбите необходимо использование численного эксперимента. Действительно, для функционирующих в космическом пространстве конструкций, важными факторами становятся невесомость, отсутствие или значительная разреженность атмосферы и значительная солнечная радиация. Чтобы воссоздать эти условия в наземных экспериментах, требуются дорогостоящие установки обезвешивания, уникальные по размерам вакуумные камеры и сложные облучательные системы. Очевидно, что проведение полномасштабных физических экспериментов в этих условиях оказывается чрезвычайно дорогостоящим делом. Поэтому численный эксперимент, использующий разрабатываемые математические параметрические модели, по-видимому, является альтернативной возможностью проверки и обоснования функциональной пригодности проектируемых изделий.
Ввиду сложности, а в ряде случаев и невозможности проведения наземных экспериментов, уделяется большое внимание вопросам математического моделирования космических конструкций [17, 33, 40]. Построение математических моделей, адекватно описывающих свойства космических конструкций, позволяет в вычислительном эксперименте проанализировать специфические особенности их поведения. Помимо аналитических моделей [59, 82], широко используется способ построения математической модели конструкции, основанный на методе конечных элементов [5, 45, 69, 74].
Вопросам моделирования отдельных аспектов конструкции крупногабаритных рефлекторов посвящены многие современные публикации, в первую очередь - синтезу конструкции и прогнозу ее механического поведения [85,
12 84, 76, 79, 95, 2, 81, 16], решению задач теплообмена космических конструкций [50, 83, 75, 97, 27, 19, 20], вопросам диагностики и анализа формы ра-диоотражающей поверхности [65, 42, 92, 93, 20, 63, 63], а также вопросам ее регулирования и обеспечения заданной точности [58, 80, 78, 96, 64, 88, 26, 61, 48]. Во многих работах, посвященных получению прогноза термомеханического поведения космических конструкций, применяются современные универсальные конечно-элементные пакеты [44, 98, 89,46].
Дж. М. Хеджпет в цикле работ [68, 67, 72, 70, 73] исследовал геометрические вопросы построения рефлекторов и их механического поведения: в [70] рассмотрены возможные нагрузки, которым подвергается рефлектор на орбите и сформулированы требования по жесткости, которым должны удовлетворять космические антенны для сохранения своей работоспособности. Рефлектор должен быть достаточно жестким, чтобы, во-первых, не входить в резонанс с различными системами управления с обратной связью и, во-вторых, противостоять нагрузкам, возникающим на орбите, без существенного искажения формы поверхности.
Также Дж. М. Хеджпет [71] рассматривал термомеханические деформации рефлектора, защищенного тепловым щитом, за счет которого средняя температура частей конструкции поддерживалась на уровне 150 К при отклонениях не более 1,3 К. Он пришел к выводу, что тепловые нагрузки на орбите являются одной из основных причин искажения формы поверхности, поэтому необходимо как можно точнее оценивать возможные перепады температур, возникающие при движении по орбите.
У. К. Белвин [4] рассматривал алгоритм на основе матрицы влияния для регулирования формы поверхности в земных условиях на примере 15-метровой кольцевой антенны с центральным стержнем. После изготовления, деформации поверхности были существенными, несмотря на использование тончайшей технологии при сборке. По результатам эксперимента СКО поверхности снизилось с 3,07 мм до 2,2 мм на первой итерации регулирования и до 1,9 мм на второй. Показано, что поведение формы поверхности хорошо
13 прогнозируется с помощью линейного конечно-элементного анализа. Расчетная и измеренная среднеквадратические погрешности формы поверхности согласуются в пределах 4%.
СВ. Пономарев и др. рассматривали методы моделирования напряженно-деформированного состояния мембранных конструкции [31, 32, 6, 11], в том числе и рефлекторов зонтичного типа [9, 8, 7], а также экспериментальные методы определения упругих характеристик элементов конструкции -сетеполотна, шнуров, лент [24, 22, 25, 23].
Но очень небольшое число работ посвящено комплексному анализу конструкции в целом, включая все аспекты ее функционирования. Вопросам оптимизации конструкции ободных рефлекторов посвящены монографии Ти-берта и Лая, в которых строится геометрическая модель рефлектора и модель механического поведения. На примере аналога антенны AstroMesh диаметром 3 м. Тиберт рассматривает возможные методы нахождения формы предварительно напряженных конструкций (tensegrity structures): кинематические методы (аналитическое решение, нелинейное программирование, динамическая релаксация) и статические методы (аналитический, сокращенных координат, методы энергии и плотности силы) и приходит к выводу, что для структур общего вида нельзя выбрать наилучший метод. Для таких структур, в которых возможны большие перемещения, предлагается использовать геометрически нелинейный метод конечных элементов.
Поэтому в настоящее время является актуальным создание комплексных моделей, алгоритмов и программных комплексов прогноза термомеханического поведения крупногабаритных рефлекторов, а также анализа и коррекции формы радиоотражающей поверхности во время наземной настройки и орбитального функционирования.
Целью работы является повышение качества и оперативности проектирования крупногабаритных трансформируемых космических рефлекторов зонтичного типа за счет разработки комплексной математической модели
14 рефлектора и создания на ее основе пакета программ для получения прогноза технических характеристик и поведения рефлектора.
В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:
Разработать математическую модель теплового состояния рефлектора в условиях солнечного излучения на орбите.
Разработать математическую модель механического поведения рефлектора в условиях неравномерного нагрева элементов его конструкции.
Разработать алгоритмы регулирования отражающей поверхности рефлектора для приведения ее к заданному профилю в наземных и орбитальных условиях. Провести компьютерное моделирование для определения возможностей регулировки и сравнения эффективности разработанных алгоритмов.
Провести на основе построенных моделей численные расчеты прогноза поведения конкретной конструкции с выбором оптимальных параметров для достижения заданных технических характеристик рефлектора.
Методика исследования. При выполнении диссертационной работы применялись методы механики деформируемого твердого тела и теплофизики, методы статистики и математического моделирования, численные методы, тестирование и сравнение эффективности алгоритмов.
Научная новизна работы состоит в следующем:
Предложены новая математическая и конечно-элементная модели теплового состояния конструкции рефлектора, позволяющие учесть для заданной орбиты положение Солнца, затенение одних элементов конструкции другими и получить характеристику нестационарного температурного поля.
Предложена новая конечно-элементная модель температурных деформаций силовых элементов конструкции рефлектора на основе разработанной тепловой модели.
Предложен новый алгоритм регулировки отражающей поверхности к заданному профилю при эксплуатации рефлектора на орбите.
Теоретическая ценность работы заключается в том, что разработана математическая модель теплового состояния конструкции зонтичного рефлек-
15 тора и предложены алгоритмы регулировки отражающей поверхности к заданному профилю при настройке рефлектора на Земле и при его эксплуатации на орбите.
Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные модели позволяют более точно предсказывать термомеханическое поведение конструкции рефлектора, а значит, повысить качество и оперативность проектных работ и получить более высокие технические характеристики рефлектора. Разработанный алгоритм регулировки формы поверхности на орбите позволяет конструировать рефлекторы большего диаметра с точной формой поверхности, что дает возможность достичь лучших характеристик космической антенны.
Внедрение результатов работы. Разработанные модели, алгоритмы и пакет программ использованы при проведении проектных работ по созданию реальных изделий в НПО Прикладной механики им. акад. М.Ф. Решетнева -ведущей в России фирме, производящей спутники связи. Кроме того, материалы проведенных исследований используются в Томском государственном университете на физико-техническом факультете при чтении специального курса лекций, а также при выполнении курсовых и дипломных работ.
На защиту выносятся:
Математическая и конечно-элементная модели теплового состояния конструкции рефлектора.
Математическая и конечно-элементная модели температурных деформаций силовых элементов конструкции рефлектора.
Алгоритмы регулировки отражающей поверхности к заданному профилю при настройке рефлектора на Земле и при его эксплуатации на орбите.
Результаты численного сравнения эффективности разработанных алгоритмов регулировки на орбите и рекомендации по составу системы управления формой поверхности рефлектора.
Результаты комплексных параметрических расчетов теплового и механического состояния элементов рефлектора и анализа влияния солнечной ра-
диации на среднеквадратичное отклонение (СКО) отражающей поверхности рефлектора.
Достоверность полученных результатов следует из адекватности используемых физических и математических моделей, что подтверждается сравнением с точными решениями упрощенных задач и имеющимися результатами других авторов.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
1. IV-ой Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и при
кладные проблемы современной механики» (Томск, 2004).
И-ой Международной конференции студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук» (Томск, 2005).
4-й Международной конференции «Авиация и космонавтика-2005» (Москва, 2005).
На семинаре «Проблемы математического и численного моделирования» под руководством члена-корреспондента РАН В.В. Шайдурова (ИВМ СО РАН, Красноярск, 2005).
Публикации. По материалам исследования опубликовано 7 работ.
Структура и объем работы. Настоящая диссертационная работа состоит из введения, основного текста, заключения и списка литературы. Основной текст разбит на 4 главы и содержит 9 таблиц и 61 рисунок. Список литературы включает 98 наименований. Общий объем работы - 125 страниц.
Эффективность рефлектора. Среднеквадратичное отклонение как мера точности поверхности
Параметром, который описывает эффективность антенны, является ее коэффициент усиления. Антенны с большим, коэффициентом усиления позволяют передавать данные с большей скоростью и имеют лучшее отношение сигнал/шум. Для зеркальной антенны теоретический максимальный коэффициент усиления равен Ъл= — , \ Л ) где Л - длина волны рабочей частоты антенны. Этот теоретический максимум снижается за счет многих факторов, например фазовых ошибок и затенения, до значения G0 = -n„Glh, rja \ , где rja- общий коэффициент эффективности антенны.
Приближенный метод оценки влияния случайных отклонений формы рефлектора от идеального параболоида предложен Рузе [87]. Он предполагал, что отклонения в каждой точке поверхности распределены по нормальному закону с нулевым средним и стандартным отклонением, равным среднеквадратическому отклонению (СКО) рефлектора. Также предполагалось, что отклонения поверхности коррелированны в небольших областях. При таких предположениях потеря коэффициента усиления антенны за счет фазовых ошибок составила т]г = ехр 4л- 5 Я \2 где 8ГШ - радиометрическое отклонение поверхности [66], которая определяется как &_ = тЛ ьр А» ЛА dA 1/2 (1.3) где Ар - фазовая ошибка, то есть разница в расстояниях, пройденных отраженными лучами из-за несовершенства поверхности, а Аа - площадь апертуры рефлектора.
Обычно отклонения поверхности выражают в терминах осевой погрешности Az либо нормальной погрешности An. Связь между ними и фазовой ошибкой такова Ар = 2Az . 2Ап и Ар = \ + (r/2F)z """ u (rllFf где г - расстояние от центра осесимметричного рефлектора до точки, в которой измеряется погрешность. Для плоских рефлекторов, особенно офсетных, величина l + (r/2F) близка к 1, поэтому обычно считают знаменатель равным единице и (1.3) упрощается до -1/2 А-.. = (1.4) а А„
Использование Srmsz в (1.3) приводит к завышению потерь коэффициента усиления, так как Srmsa 5rms. Хотя (1.3) было получено для случайных отклонений поверхности, показано [86], что данное соотношение является хорошим приближением для любого типа отклонений поверхности измеренных относительно параболоида наилучшего приближения. Поэтому представляется вполне корректным использование формулы (1.4) в качестве аппроксимации радиометрического отклонения поверхности, а, следовательно, и потерь коэффициента усиления за счет несовершенства поверхности.
Радиоотражающая поверхность рефлектора состоит из множества ячеек (фасеток), границы которых образованы тросами фронтальной сети. Чем больше размер ячейки фронтальной сети (которую можно задать в терминах длины стороны ячейки / и формы - треугольная, квадратная, и т.п.), тем больше поверхность сетеполотна отклоняется от параболической формы. Наиболее подробно данная проблема рассмотрена у Хеджпета [68;67]. В общем случае невозможно искривленную поверхность покрыть одинаковыми многоугольниками. Поэтому для нахождения зависимости СКО от размера ячейки необходимо сделать некоторые упрощения. Поверхность плоского рефлектора с фокусным расстоянием F можно достаточно точно аппроксимировать сферой радиуса 2F. В работе [43] показано, что для фронтальной сети из равносторонних треугольников такая аппроксимация имеет место.
Кроме отклонений за счет размера ячейки возникает так называемый "матрацный эффект". При отсутствии нормальных нагрузок изотропная равномерно натянутая мембрана должна иметь нулевую гауссову кривизну, то есть седловидную форму. На границе ячеек напряжения в сетеполотне меняют знак (рис. 1.4а), нормальная результирующая сила стремится выгнуть трос вверх (рис. 1.4Ь).
Тепловая модель линейных элементов
Для процесса разработки любой конструкции важна оценка ее теплового режима. Особую значимость эта проблема приобретает для конструкций, предназначенных для работы в условиях открытого космоса.
Температурное поле рефлектора важно уже само по себе, например, для определения предельных температур и подбора соответствующих материалов, способных работать в таком диапазоне температур. Также температурное поле необходимо для расчета температурных деформаций, что приобретает особую значимость для высокоточных конструкций, к которым относится и рассматриваемый рефлектор.
Основным фактором, влияющим на тепловой режим рефлектора в условиях открытого космоса, является нагрев за счет солнечного излучения [19]. Другими факторами могут быть нагрев за счет отраженного от Земли солнечного излучения, за счет собственного инфракрасного излучения Земли, а также за счет отраженного от элементов конструкции спутника солнечного излучения. Но так как эти величины малы по сравнению с прямым солнечным излучением, гораздо сложнее поддаются анализу и расчету, и, наконец, они (в основном) уменьшают перепады температур, то обычно ими пренебрегают и делают оценки теплового режима и деформаций конструкции "для наихудшего случая".
Математическая и конечно-элементная модель температурного поля рефлектора, изложенная в данной главе, основана на модели, разработанной автором в [41], метод подбора эффективных параметров (п. 2.4) изложен в работе [13], результаты численных расчетов значительно дополнены по сравнению с [41,13].
В общем случае тепловое поле описывается следующим уравнением ср— = ЯДГ, (2.1) dt дТ с граничными условиями — = 7s - 7е на освещенных поверхностях и дп дТ — --qE на неосвещенных, где Т - температура, / - время, с дп теплоемкость, р - плотность, Л - теплопроводность, qs - отвечает за солнечный нагрев, qE - за остывание излучением. Прежде всего, опишем способ моделирования солнечного нагрева. Хотя по закону Стефана-Больцмана теплообмен излучением определяется уравнением q = Aa(Ts44), (2.2) Я "J А где 7=5,67032 10" Вт/(м К ) - постоянная Стефана-Больцмана и зависит от температуры обоих тел, но в применении к Солнцу, температура которого Ts «6000 К много больше температуры элементов конструкции (которая не выше 350 К) вторым слагаемым в (2.2) можно пренебречь и считать тепловой поток за счет солнечного излучения не зависящим от температуры тела. Гораздо больше он зависит от расстояния до Солнца и меняется со временем года за счет эллиптичности орбиты Земли. Окончательная модель потока qs, поступающего на единичную площадку конструкции имеет вид qs = As-Smax, (2.3) где As - коэффициент поглощения прямого солнечного излучения, Smax - так называемая солнечная постоянная, которая принимает экстремальные значения 1420 Вт/м в точке весеннего равноденствия (ТВР) и 1320 Вт/м в точке летнего солнцестояния (ТЛС) и изменяется согласно рис. 2.1.
Тепловая модель линейных элементов
Линейные элементы конструкции рефлектора, к которым относятся элементы ФС, ВС и управляющие тросы, обладают небольшой площадью поперечного сечения (для элементов ФС порядка 2 мм ), поэтому можно пренебречь перепадом температур по сечению. Так как элемент прямолинейный, то условия его освещенности не меняются по длине, а так как теплопроводность материала невелика (для углепластика Я=1.16 Дж/(м с К)), то граничные эффекты от соседних элементов конструкции далеко на распространятся (перепад температур между вантой и спицей в 50 К в 2 см от контакта уменьшается в 10 раз), поэтому для каждого линейного элемента можно решать уравнение (2.1) в одной точке, то есть находить зависимость температуры только от времени:
Возможные виды регулировки формы отражающей поверхности
В рассматриваемой конструкции рефлектора существуют следующие возможности регулирования формы поверхности в условиях орбитального функционирования:
а) Смещения и повороты рефлектора как целого, которые в общем случае включают шесть степеней свободы (X0,Y0,Z0 - смещения вдоль трех осей и ф,Ф,в - повороты вокруг осей координат). Возможны варианты механизма регулировки, реализующие только некоторые из этих шести степеней свободы, например, в дальнейшем будет рассматриваться механизм, реализующий только два поворота ф к р (рис. 3.1).
Степени свободы механизма регулировки
Поведение рефлектора при регулировании его с помощью этой группы степеней свободы легко предсказуемо, и описывается аналитическими формулами преобразования системы координат.
б) Степени свободы регулировки, вызывающие деформацию элементов рефлектора. В рассматриваемой конструкции такими степенями свободы являются длины регулировочных тросов (рис. 1.11).
Нахождение отклика рефлектора при использовании данных степеней свободы требует использования построенной в главе 1 конечно-элементной модели.
Влияние на форму поверхности подтяжки одного из тросов на 1 мм приведено на рис. 3.2 (искажения увеличены в 100 раз). Заметим, что влияние не только локальное, вдобавок ко "впадине" в районе рассматриваемого троса, добавляются "волны" по всей поверхности рефлектора.
Представляет интерес определение зависимости положения какой-либо точки (л, v,z) на поверхности рефлектора от величины подтяжки Д/ управляющего троса. Для точки А и близлежащего троса (рис. 3.2) смещения по трем координатам приведены на рис. 3.3.
Как и следовало ожидать, наибольшие смещения происходят вдоль оси Z. Видно, что зависимость Дг от величины Д/ (при небольших значениях Д/) близка к линейной. Следует отметить, что линейность зависимости сохраняется только при малых значениях д/. При значительных удлинениях, особенно в случае зачекованных спиц (то есть в шарнире крепления спицы не могут свободно вращаться) имеет место перегиб кривой. Он происходит в тот момент, когда нагрузку от сетеполотна и ФС перестает держать управляющий трос, и она переходит к зачекованному шарниру спицы, а трос просто провисает.
Для оценки качества формы поверхности, а также, при необходимости, для ее регулировки, необходимо каким-то образом измерять форму поверхности. Различные способы и методики измерения формы поверхности рефлекторов описаны в работах [63;20] и рассмотрены во введении.
В любом случае, информация о текущей форме поверхности рефлектора будет представлять собой набор измеренных координат точек. Это могут быть либо координаты заданных, так называемых, маркерных точек, жестко привязанных к поверхности (например, если маркеры приклеены к поверхности сетеполотна); либо координаты некоторого числа произвольных точек, о которых известно лишь, что они лежат на поверхности рефлектора (например, если маркеры - световые пятна).
Простейшую характеристику формы поверхности - СКО - можно получить непосредственно по измеренным координатам по формуле (1.4).
В случае расчета СКО по точкам (маркерным либо узлам КЭМ) с измеренными координатами (хпy z ), . i = \,...,N, интегральная формула (1.4) примет вид ж = 2 ,2 (3-і) где Az(. = z{ - zldeal - отклонение от параболоида і-ой точки, zfeal теоретическое значение Z координаты і-ой точки на параболоиде в соответствии с формулой 2 1 z X- -. (3.2) 4F В (3.1) предполагается, что точки распределены по поверхности сетеполотна достаточно равномерно и поэтому вносят одинаковый вклад в СКО.
Но в это СКО входит систематическая погрешность Az = —Х которую легко устранить смещением рефлектора как целого по оси Z. Поэтому более точным представляется использование СКО без систематической ошибки, вычисляемого по формуле SKOz2= (Azi-Az)\ (3.3)
Вышеприведенные формулы вычисляют СКО по точкам. Но при наличии конечно-элементной модели сетеполотна возможно реализовать формулу (1.4) более точно - численно проинтегрировать Az2 по поверхности сетеполотна, используя квадратуру Гаусса и учитывая, что используются линейные конечные элементы.
Алгоритм управления без учета взаимного влияния
Сборка рефлектора из отдельных частей сопряжена со значительными трудностями. Необходимо обеспечить как точное положение в пространстве элементов фронтальной и вантовой сетей, так и заданные напряжения в этих элементах. Технологически возможности ограничены, например, в радиальных элементах фронтальной сети возможно обеспечение только равномерного натяжения. Как показывают расчеты на численной модели, после снятия "лишних" закреплений узлов (что в реальности примерно соответствует снятию рефлектора "со стапелей") напряжения в ФС и других элементах перераспределяются и достаточно сильно отклоняются от равномерных, что неизбежно приводит к смещению узлов ФС, и в конечном счете - к отклонению формы поверхности рефлектора от заданной параболической. Таким образом, регулировка необходима даже при идеальном подборе длин элементов (при математическом моделировании рефлектора), так как в результате силового взаимодействия из-за несимметричной формы рефлектора возникают большие отклонения узлов фронтальной сети (точек крепления вант) от теоретического профиля. В реальных условиях добавятся отклонения за счет неточного изготовления отдельных элементов фронтальной и вантовой сети рефлектора.
Естественным образом возникает задача регулирования поверхности сетеполотна к заданному параболоиду в наземных условиях. При этом с одной стороны, возможности для регулирования возрастают - в качестве регулирующих элементов могут выступать любые элементы вантовой сети, а также управляющие тросы; с другой стороны - возрастает и сложность задачи (в рассматриваемой конструкции рефлектора оттяжек более 500, что много больше числа степеней свободы из главы 3). Например, построить матрицу влияния на реальной, а не численной модели, уже не представляется возможным. Другой особенностью является регулирование к родительскому параболоиду, что снимает необходимость подбора ПНП.
Алгоритмы и методы, развитые в данной главе, основываются на идеях, разработанных автором в работах [14, 34].
Общий вид одного сектора рефлектора приведен на рис. 4.1. Ось Z направлена вверх, ось -X совпадает с направление одной из спиц и ось Y дополняет систему координат до правой.
Алгоритм управления без умета взаимного влияния
Рассмотрим один из узлов фронтальной сети и соответствующую ему ванту (рис. 4.2). Пусть (X,Y,Z) - измеренные координаты узловой точки. Идеальная поверхность параболоида описывается уравнением Z = (X2 + Y2)/F, (4.1) где F - фокусное расстояние параболоида. В это уравнение подставляются измеренные координаты X и У, и получается идеальное значение Z для третьей координаты. Таким образом, путем подтягивания ванты необходимо устранить отклонение Az = (Z - Z) точки от идеального параболоида.
Из рис. 4.2 видно, что для смещения узла по вертикали на dz ванту необходимо сократить на dl — dz cos(a), где a - угол наклона ванты относительно вертикальной оси г.
На каждой итерации управления изменения длин dl находятся для каждой ванты, и затем все они подтягиваются на найденную величину. В качестве критерия успешности управления используется средне квадратическое отклонение узловых точек от теоретического профиля. Для достижения очень малого значения СКО итераций требуется довольно большое количество (см. таблицу 4.1). Поэтому был исследован следующий алгоритм, учитывающий взаимное влияние вант друг на друга.
Пусть вектор управлений, то есть изменения длин вант, есть A/ = [A/,,...,A/,Jr, где гп количество вант. Пусть (X Y Z , і = 1,...,п измеренные координаты узловых точек (число вант m может в общем случае не совпадать с числом точек п, например, если к одному узлу подходит сразу две ванты). Как и ранее, из уравнения 1 находится идеальное значение Z. узловых точек. Таким образом, погрешность формы рефлектора описывается вектором Az = (Z-Z) или Az Z Z i = l,...,n. Задача регулирования формы поверхности рефлектора заключается в нахождении управлений А/, минимизирующих среднеквадратическое отклонение узловых точек от идеального параболоида S2 = tSzTWkz. Здесь W - весовая матрица, характеризующая вклад каждой точки в общую погрешность формы. В данном случае бралась единичная весовая матрица.
Для решения задачи применим метод матрицы влияния. При этом предполагается, что зависимость между управлениями А/ и перемещениями узловых точек Az описывается линейным соотношением вида Az = SAl, где S - матрица влияния размера их т. Узловые точки до начала регулирования имеют измеренные координаты Z, после применения управления А/ их координаты станут равными z = Z + SAl, а отклонения от идеального положения Az = z - Z. Таким образом, необходимые управления А/ находятся из соотношения S2 = AzrWAz = (Z + SAl - Z)T W{Z + SAl - Z) - min или STWSAl = STWAz. Последнее соотношение представляет собой систему из т линейных уравнений, к тому же всегда имеющую решение.
