Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Литературный обзор 6
1.1. Некоторые основы финансовой математики 6
1.2. Математическое дисконтирование . 10
1.3. Оценка экономической эффективности инвестиционных проектов с помощью математического аппарата 13
1.4. Существующие нормативные материалы 18
ГЛАВА 2. Математическое моделирование процесса государственной поддержки инвестиций 36
2.1. Построение математической модели . 36
2.2. Создание алгоритма и программы для ее реализации 41
2.3. Вычислительный эксперимент 45
ГЛАВА 3. Вывод модели 48
3.1. Целевая функция 48
3.2. Система ограничений 49
3.3 Анализ модели 58
3.4. Алгоритм и программа 62
ГЛАВА 4. Парето- оптимальные решения ... 64
4.1. Методика отбора инвестиционных проектов по основным показателям 64
4.2. Модели Парето 70
4.3. Вычислительный эксперимент 114
Выводы 116
Литература 117
- Оценка экономической эффективности инвестиционных проектов с помощью математического аппарата
- Существующие нормативные материалы
- Создание алгоритма и программы для ее реализации
- Методика отбора инвестиционных проектов по основным показателям
Введение к работе
Актуальность темы исследования
В настоящее время имеется достаточно широкий набор инструментальных методов решения задач по оцениванию эффективности инвестиционных проектов. Каждый из них представляет исследователю большие возможности для комплексного анализа альтернативных вариантов и отбора наилучшего из них по тем или иным критериям. При рассмотрении предлагаемых подходов нетрудно обнаружить достаточно широкую область их взаимозаменяемости и дополняемости как с точки зрения используемых постановок, так и с точки зрения используемых моделей и инструментальных средств. Их главными элементами являются анализ финансовых потоков затрат и результатов производства, вычисление внутренней нормы эффективности, учет риска, а также отдельных элементов механизма. Для наших условий переходной экономики при оценивании эффективности проектов при существенном ограничении государственного финансирования основным критерием отбора инвестиционных проектов претендующих на государственную поддержку является максимальная бюджетная эффективность. Хотя существует определенная правовая база пополнения доходных и увязки расходных статей инвестиционного бюджета, функционирование его неэффективно.
Возникает вопрос об использовании методов финансовой математики и имитационного моделирования при конкурсном отборе инвестиционных проектов, претендующих на государственную поддержку по критерию наибольшей отдачи на рубль вложений.
Необходимость построения и анализа математической модели, описывающей реальные инвестиционные вложения, обеспечивающие наибольшую бюджетную эффективность с учетом реально существующих ограничений, определяет актуальность и практическую значимость темы диссертационной работы.
Цель работы
Целью настоящей работы является создание математической модели государственной поддержки инвестиций при конкурсном отборе инвестиционных проектов, претендующих на государственное финансирование, разработка вычислительного алгоритма и компьютерной реализации, проведение вычислительного эксперимента для реальных систем.
Задачи исследования
- вывод и анализ математической модели государственной поддержки инвестиций при использовании в качестве критерия конкурсного отбора коэффициент бюджетной налоговой эффективности;
анализ реальных инвестиционных проектов на основе, предложенного критерия эффективности. Научная новизна исследования
- построена математическая модель конкурсного отбора инвестиционных проектов, по критерию максимальной отдачи в бюджет, на рубль предоставляемых государственных гарантий. Критерий формализован для различных форм бюджетного финансирования с учетом реальных ограничений;
- разработан вычислительный алгоритм и создан программный комплекс анализа модели;
- разработана методика анализа инвестиционных проектов по принципу Парето.
Практическая ценность
Созданный в работе программный комплекс удовлетворяет необходимому уровню сервиса, позволяющему интерпретировать реальные ситуации с конкурсным отбором инвестиционных проектов. Использование имитационного моделирования позволяет гибко настраивать полученные модели и оценивать такие важные параметры, как долю государственных вложений и бюджетную эффективность, учитывая лимит государственного финансирования.
Разработанный программный комплекс позволит планировать расходование средств бюджета развития и осуществлять комплексный отбор инвестиционных проектов по основным показателям, характеризующим финансовое и экономическое состояние, предприятия, реальные системы: коэффициент налоговой эффективности, чистый доход, внутренняя норма доходности, потребность в дополнительном финансировании, индекс рентабельности инвестиций, срок окупаемости инвестиционного проекта, опосредованная оценка риска.
Апробация работы
Основные положения работы и результаты докладывались и обсуждались на - Втором международном симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Йошкар-Ола,2001); -Третьем международном симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи,2002); Четвертом международном симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Весенняя сессия, Петрозаводск, 2003); Четвертом международном симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Осенняя сессия, Сочи,2003);-Второй Всероссийской конференция по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Красноярск, март 2003; Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Саранск, июль 2003.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в следующих работах:
1. Чернятьева P.P., Спивак СИ. Математическое моделирование процесса государственной поддержки инвестиций. Обозрение прикладной и промышленной математики, 2001, т.8, с.722.
2. Чернятьева P.P., Спивак СИ. Множество Парето при оценке инвестиционных проектов. Обозрение прикладной и промышленной математики, 2003, т. 10, вып.2, с.433.
3. Чернятьева P.P., Спивак СИ. Множество Парето при оценке инвестиционных проектов, претендующих на государственную поддержку, методом Парето. Обозрение прикладной и промышленной математики, 2003, т. 10, №2, с.525.
4. Чернятьева P.P., Спивак СИ. Оптимизация процесса государственной поддержки инвестиций. Принятие решений в условиях неопределенности. Уфа, УГАТУ, 2002, с. 132.
5. Чернятьева P.P., Спивак СИ. Математическая модель государственной поддержки инвестиций. Вестник Башкирского университета, 2003, №1, с. 16.
6. Чернятьева P.P., Спивак СИ. Множество Парето при оценке инвестиционных проектов. Труды Международной конференции по диффер. уравнениям и краевым задачам, Стерлитамак, 2003, т.2.
7. Чернятьева P.P., Спивак СИ. Множество Парето при оценке инвестиционных проектов. УГАТУ,Принятие решений в условиях неопределенности,Уфа,с.232-23 7,2003.
Объем работы
Материал по теме изложен на 125 стр. Работа состоит из введения, трех глав и вывода, список литературы содержит 150 пунктов.
Оценка экономической эффективности инвестиционных проектов с помощью математического аппарата
В структуре инвестиций в основной капитал по источникам финансирования за последние годы наблюдается снижение доли собственных средств организаций и соответственно - повышение удельного веса привлеченных средств, что в целом свидетельствует о неустойчивом финансовом положении многих предприятий республики (рис.4). При этом следует отметить тенденцию увеличения доли бюджетных источников (особенно республиканского и местного бюджетов), при уменьшении доли заемных средств и средств внебюджетных фондов.
Продолжается работа по созданию благоприятного климата, совершенствованию нормативно-правовой базы инвестиционной и строительной деятельности в республике. В 2000 г. был принят Закон Республики Башкортостан "О Бюджете развития Республики Башкортостан". Законодательной палатой Государственного Собрания Республики Башкортостан принята новая редакция закона " Об иностранной инвестиционной деятельности в Республике Башкортостан", постановлением кабинета Министров Республики Башкортостан утверждено положение о порядке предоставления государственной гарантии лицам, осуществляющим инвестиционную деятельность в виде лизинга. Кроме того, по вопросу применения налоговых стимулов при долгосрочных инвестициях разработан порядок организации работы по предоставлению отсрочки, рассрочки, налогового кредита по уплате региональных налогов и сборов. О повышении инвестиционной привлекательности республики также свидетельствует положительная оценка журналом „Эксперт" инвестиционного потенциала Башкортостана: республика заняла в 2000 г. 11-е место среди 89 субъектов Российской Федерации (в 1999 г.-13). Несмотря на положительные тенденции последних лет ситуация в инвестиционной сфере республики продолжает носить кризисный характер, о чем свидетельствует анализ инвестиционной безопасности республики, проведенный по комплексной методике оценки экономической безопасности территориальных образований, разработанной Институтом экономики УрО РАН во главе с А.И. Татаркиным [90]. В методике в качестве индикатора инвестиционной безопасности было использовано отношение объема инвестиций в основной капитал в экономику территории к ВРП территории. В результате проведенного анализа выявлено, что, несмотря на некоторое улучшение ситуации в инвестиционной сфере, нормального уровня инвестиционной безопасности (25%) достичь не удалось: в 2000 г. значение соответствующего индикатора было 22% [7, 64], что соответствует начальной стадии предкризисной зоны. В качестве основных принципов формирования инвестиционной политики в регионе можно определить следующие: - целенаправленный характер инвестиционной политики, что реализуется через выбор и обоснование конкретной для рассматриваемого временного периода системы целей и задач инвестирования, которая определяется направлением социально -экономической политики региона и ее конечной целью; - -инвестиционная политика должна быть приоритетной, то есть ориентироваться на первоочередное решение наиболее актуальных проблем социально-экономического развития региона; - при формировании инвестиционной политики необходимо соблюдать принцип вариантности, предполагающий разработку и оценку возможных стратегий инвестирования и выбора наиболее эффективной. Как было отмечено выше, реализация этого принципа обеспечит также снижение неопределенности государственных инвестиционных решений; - основой эффективности инвестиционной политики является многоканальность привлечения инвестиционных ресурсов, что обеспечивает гармоничное сочетание и эффективное использование инвестиционных ресурсов, мобилизуемых как в рамках региона, так и за его пределами; - инвестиционная политика должна разрабатываться в условиях прозрачности процедур формирования и механизмов реализации, что позволит мотивировать потенциальных инвесторов и обеспечит реализацию наиболее эффективных инвестиционных проектов. Исключением являются угрозы государственной безопасности и нарушения интересов участников инвестиционного процесса [111, с. 153]; - при разработке и реализации инвестиционной политики необходимо соблюдать принцип сбалансированности интересов всех участников инвестиционного процесса, следование которому, обеспечит условия для эффективного взаимодействия субъектов инвестиционной деятельности; - принцип мониторинга предполагает организацию постоянного наблюдения и получение достоверной информации о ходе реализации инвестиционной политики, системный анализ получаемой информации. Разработку прогнозов развития ситуации и подготовку рекомендаций для региональных органов управления, направленных на преодоление негативных тенденций и поддержку позитивных [123].
Согласно действующему в Республике Башкортостан законодательству [58] система представлений о стратегических целях и приоритетах социально-экономической политики государства дается в Концепции социально-экономического развития Республики Башкортостан. В соответствии с Концепцией социально-экономического развития Республики Башкортостан до 2005 года, утвержденной Кабинетом Министров [58, с.55] главной стратегической целью социально-экономической политики республики является создание условий, обеспечивающих достойную жизнь населения на основе устойчивого комплексного развития экономики и социальной сферы, исходя из интересов личности, семьи, народов республики. Целевая направленность социально-экономической политики Башкортостана на создание в рамках территории социально-ориентированного рыночного хозяйства определяет цели и содержание инвестиционной политики. В литературе предлагаются различные варианты выбора приоритетных направлений инвестиционного развития региона: от ставки на высокие технологии и преимущественное инвестирование в наукоемкие производства на базе военно-промышленного комплекса [97, 58] до другого сценария, предполагающего первоочередное развитие потребительского сектора и ресурсосберегающие технологии [45, 97]. Системный подход к организации народнохозяйственного комплекса региона, строящийся на приоритетном отношении к инвестированию отраслей потребительского сектора (включая финансирование всех объектов бюджетной сферы) с последующим задействованием их функциональных связей с другими отраслями. Подобная политика основывается на принципе «сквозного инвестиционного потока», охватывающего все отрасли в соответствии с функциональной зависимостью и гарантирует последовательную передачу инвестиций от первоначального объекта инвестирования к производствам, сопряженным по линиям кооперационных связей, и далее. При этом расширение производства на каждом сопряженном предприятии будет стимулировать собственные инвестиции для этого предприятия и так далее - по всей цепочке сопряженных отраслей. В конечном счете, все инвестиции замкнуться на предприятиях „базовых" отраслей (производство средств производства для производства средств производства) и определяет наиболее высокие темпы их развития.
Существующие нормативные материалы
По результатам завершения первого этапа можно говорить о реализации намеченных задач, том числе и в инвестиционной сфере республики. Необходимость определения первенства во времени при реализации задач второго этапа инвестиционной политики республики, а также ограниченность инвестиционных ресурсов обусловливает важность обоснования системы приоритетов регионального инвестирования. Следует отметить, что система приоритетов инвестирования региона должна строиться на базе некоторых ориентиров эффективного функционирования социально-экономической системы, среди которых: реализация научно-технических достижений, ресурсосбережение, производство импортозамещающей и экспортоориентированной продукции, решение социальных и экологических проблем территории и т.д. Динамичность внутренних и внешних условий функционирования региональной системы обусловливает изменение с течением времени значимости отдельных приоритетов развития региона. В этой связи, особое внимание при формировании инвестиционной стратегии территории заслуживает механизм, позволяющий учитывать изменения в системе приоритетов регионального развития и оперативно адаптироваться к новым условиям.
В литературе предлагаются различные варианты выбора приоритетных направлений инвестиционного развития региона: от ставки на высокие технологии и преимущественное инвестирование в наукоемкие производства на базе военно-промышленного комплекса до другого сценария, предполагающего первоочередное развитие потребительского сектора и ресурсосберегающие технологии]. Системный подход к организации народнохозяйственного комплекса региона, строящийся на приоритетном отношении к инвестированию отраслей потребительского сектора (включая финансирование всех объектов бюджетной сферы) с последующим задействованием их функциональных связей с другими отраслями. Подобная политика основывается на принципе «сквозного инвестиционного потока», охватывающего все отрасли в соответствии с функциональной зависимостью и гарантирует последовательную передачу инвестиций от первоначального объекта инвестирования к производствам, сопряженным по линиям кооперационных связей, и далее. При этом расширение производства на каждом сопряженном предприятии будет стимулировать собственные инвестиции для этого предприятия и так далее - по всей цепочке сопряженных отраслей. В конечном счете, все инвестиции замкнуться на предприятиях «базовых» отраслей (производство средств производства для производства средств производства) и определят наиболее высокие темпы их развития. Такой подход, позволяет совместить политику преимущественного развития отраслей потребительского сектора с высокими темпами развития «базовых» отраслей, оптимизирует отраслевые пропорции и обеспечит общее оживление производства в регионе. Как показали расчеты научных сотрудников Института экономики УрО РАН, при условии увеличения производства предметов потребления на 1% общий объем производства (валовый выпуск по системе национальных счетов) по Уральскому экономическому району может возрасти на 5,9%, в том числе по Башкортостану на 7,2%. По нашему мнению, целевая направленность на создание в республике социального рыночного хозяйства формирует современную систему приоритетов инвестирования в пользу отраслей потребительского сектора с задействованием их функциональных связей с другими отраслями.
Прямое государственное участие в инвестиционном процессе необходимо осуществлять через разработку комплексных инвестиционных программ народнохозяйственного значения, органически связанных друг с другом и с сопряженными производствами и представляющие собой целостное направление инвестиционной деятельности. Программы должны объединять отдельные инвестиционные проекты с единой целевой направленностью и разрабатываться в привязке к приоритетным проблемам развития региона.
При прямом финансировании капиталовложений из регионального бюджета важна не столько величина государственных инвестиций, сколько эффективность их использования, дополнение ими частных инвестиций. В этой связи, бюджетное финансирование региональных комплексных инвестиционных программ должно проводится преимущественно на конкурсной основе, на базе долевого участия частного капитала и государства.. Такая практика будет способствовать восполнению нехватки средств для осуществления региональных инвестиционных программ и повышению надежности инвестиций.
Формирование региональных комплексных инвестиционных программ предполагает генерацию и оценку инвестиционных предложений по отдельным направлениям с учетом приоритетов развития и значимости проектов для региона. Инвестиционные предложения должны инициироваться, по крайней мере, на двух уровнях: во-первых, такие предложения разрабатываются непосредственно структурами регионального управления инвестиционной деятельностью (или по их поручению) с учетом принятых целей и приоритетов развития. Во-вторых, инвестиционные предложения разрабатываются и предоставляется предприятиями и организациями различных форм собственности, а также отдельными предпринимателями. После отсева определенно нереалистичных предложений, оставшиеся, систематизируются по некоторым параметрам (по отраслям, по профилю инициаторов, по объему запрашиваемых инвестиций и т. д.) и заносятся в базу данных инвестиционных проектов региона. Для определения наиболее приоритетных проектов, подлежащих поддержке или прямому финансированию со стороны государства, проводится инвестиционный конкурс.
В настоящее время, методические аспекты проблемы выбора инвестиционных проектов для государственной поддержки характеризуется недостаточной степенью проработки и не полным количеством используемых критериев отбора. К примеру, согласно Положению об оценке эффективности инвестиционных проектов при размещении на конкурсной основе централизованных инвестиционных ресурсов Бюджета развития Российской Федерации [118], в качестве критериев эффективности принимаются всего три показателя: срок окупаемости, точка безубыточности и бюджетный эффект. При этом из поля зрения выпадает территориальный аспект проблемы, в частности, социальные и экологические последствия реализации инвестиционных решений, а также инвестиционный риск для государства-участника проекта, являющийся важнейшей характеристикой проекта в условиях неопределенности экономических процессов.
Кроме того, предлагаемые процедуры отбора инвестиционных проектов для государственной поддержки характеризуются либо излишней упрощенностью применяемых экспертных методов [111, 112, 118], либо не проработанностью процедуры ранжирования проектов на основании комплексной системы критериев (отсутствие механизма получения интегральной оценки по критериям) и не согласованностью этой процедуры с задачей распределения ограниченных бюджетных ресурсов [111,112].
На наш взгляд, проекты, претендующие на финансирование из регионального бюджета, должны анализироваться на базе многосторонней экспертизы, с учетом различных характеристик, относящихся к экономическим, экологическим и социальным последствиям реализации проекта.
Создание алгоритма и программы для ее реализации
Предлагаемую модель легко формализовать для различных форм государственного финансирования: налогового кредита, бюджетного кредита и т.д., их сочетаний с учетом ограничений средств финансированию. Например: предоставление государственных гарантий и бюджетного кредита изменят числитель и знаменатель целевой функции на соответствующие показатели, а в системе ограничений появится неравенство, соответствующее лимиту финансирования.
Постановка и анализ данной математической модели при определенной системе исходных предпосылок позволяют оценить, обосновать и реализовать оптимальные проекты инвестирования в конкретных условиях.
Данная модель является задачей выпуклого программирования и решена методом наискорейшего спуска по алгоритму, описанному в книге СИ. Зуховицкого [62]. Глобальный максимум функционал достигает в стационарной точке, на границе области ограничений. Задавая необходимую точность методом наискорейшего спуска, находим точку лежащую на пересечении направления спуска с границей области решений. Все последующие находятся путем проектирования на эту границу точек, полученных на предыдущих шагах. При определении направления спуска по знаку градиента максимальное значение целевого функционала достигается в одной из граничных точек выпуклой области ограничений, заданной системой уравнений и неравенств. По данному алгоритму написана программа на языке Delhi, который имеет-следующие преимущества: широкие возможности интерфейса и конструктивная простата языка. Модель была апробирована на адекватность на реальных инвестиционных проектах. Так как это задача выпуклого программирования, то оптимальный план является глобальным максимумом. Рассматриваемая модель дает возможность соизмерить размер получаемых государственных гарантий с размером капитала необходимого для самофинансирования инвестиционного проекта.
Полученный размер инвестиционного капитала сравнивается с коэффициентом самофинансирования проекта или хотя бы с 0,5. Размер необходимого инвестиционного капитала определяем как величину необходимую для решения неравенства собственный капитал / денежный поток нормативного уровня самофинансирования проекта. Такое решение задачи позволяет сопоставить размер минимального инвестируемого капитала с расчетным и на основе экспертного анализа прогнозировать динамику инвестиционного проекта включая различные другие показатели.
Предлагаемая модель дает возможность получить оценку налоговой эффективности не только отдельных инвестиционных проектов, а целых инвестиционных программ. Особенностью построения модели для анализа инвестиционного проекта является то, что охватываются два процесса — вложение средств и отдача от них.
Основные преимущества модели заключаются: в одновременном учете реальных требований условий и предложений, а также в известной свободе пересмотра этих условий в ходе работы с нею, не противоречивости (совместности) получаемых по модели системы показателей, возможности получения вариантов поведения изучаемого явления для широкого диапазона и сочетании исходных условий и предположений (например, вариантов экономического развития региона, состояние предприятий и т.д.). КНЭ характеризует прирост прибыли приходящейся на один рубль государственных инвестиционных гарантий. КНЭ можно оценивать как в течение расчетного периода (согласно закону не более 2 лет) от начала проекта до его прекращения. Так и разбивая расчетный период на шаги -отрезки, в пределах которых осуществляется агрегирование данных используемых для оценки финансовых показателей. Если не учитывать неопределенность, то достаточным (но не необходимым) условием финансовой реализуемости проекта является не отрицательное значение на каждом шаге величины накопленного сальдо денежного потока (разность между притоком и оттоком). Минимальный объем внешнего финансирования инвестиционного проекта - это максимальное значение абсолютной величины отрицательного накопленного сальдо, т.е. потребность в дополнительном финансировании.
Применяемые на сегодня „классические" методы оценки эффективности инвестиций по сроку окупаемости, внутренней норме доходности, рентабельности имеют общий недостаток - они предполагают известными используемые в расчетах параметры будущих доходов, их размеры и время поступления. Разные методики их расчета к одним и тем же объектам дают разные результаты предпочтительности объектов инвестиций. Результаты сравнения, в определенной мере зависят от выбора важнейшего параметра анализа -принятой процентной ставки. Неоднозначность получаемых оценок объясняет, почему для повышения надежности при выборе варианта инвестиционного проекта, мы предлагаем также ориентироваться на коэффициент налоговой эффективности.
Анализ модельных оценок позволяет выявить закономерности динамики результатов функционирования анализируемой программы в зависимости от изменения каждого из этих параметров. Для принятия решения предоставляется не единственная оценка налоговой эффективности, а развернутая картина в виде таблиц и графиков возможных значений КГГ и соответствующего ему размера бюджетного финансирования для разнообразных возможных ситуаций. А также сравнительный анализ взаимосвязи с „классическими" критериями позволяет более объективно количественно оценить возможность негативных последствий принимаемых инвестиционных решений, при которых участие в инвестиционных программах для государства является неэффективным.
Исследуем целевую функцию на выпуклость (вогнутость). Для этого воспользуемся критерием Сильвестра или достаточным условием выпуклости функции по положительной определенности матрицы Гессе. Исследуем главные миноры матрицы вторых производных. Таким образом, целевая функция является вогнутой на множестве ограничений, определенных системой неравенств. Среди этих неравенств могут быть как, линейные так и нелинейные (вогнутые и выпуклые) функции. Задача выпуклого программирования состоит в отыскании такого решения системы ограничений, при котором целевая функция достигает своего оптимального значения. Всякий локальный экстремум выпуклых функций является одновременно и глобальным, кроме того, выпуклые (вогнутые) функции всегда имеют единственное решение. Это решение либо внутри области в стационарной точке либо на границе, если таковой нет.
Для решения задач оценки эффективности инвестиционных проектов сегодня имеется широкий набор инструментальных методов. Каждый из них позволяет сделать комплексный анализ альтернативных вариантов и отобрать наилучший по тем или иным критериям.
Основная часть существующих используемых моделей имеют по существу единую методологическую основу. Ее главными элементами является анализ финансовых потоков затрат и результатов производства, вычисление внутренней нормы эффективности, учет риска, а также отдельных элементов финансового механизма. Оптимизационные методы позволяют из множества альтернативных компонентов составить оптимальную структуру проекта и выбрать из множества допустимых альтернативных - оптимальный.
Методика отбора инвестиционных проектов по основным показателям
Даже если считать, что нам удалось подобрать хорошую метрику, отвечающую характеру решаемой практической задачи, это еще не позволяет упорядочить все альтернативы по степени и выбрать наилучшую альтернативу. Возникает вопрос о том, насколько разумным является такое упорядочение с точки зрения теории рационального выбора. Одной из используемых в этой теории аксиом является аксиома независимости от непричастных альтернатив, требующая, чтобы результат сравнения альтернатив а и Ь зависел только от них и не зависел от наличия или отсутствия некоторой третьей альтернативы с.
Как легко видеть, метод идеальной точки не удовлетворяет аксиоме независимости. Действительно, пусть векторная оценка f{x ) ближе к идеальной точке, чем f\x"), значит, х лучше х" .. Но добавляя к множеству X точку х (рис. 13), можно добиться такого смещения идеальной точки, что получится «Л:" лучше л: ». Аналогичный эффект наблюдается и при использовании принципа равномерной оптимальности в форме (29), (30).
Подведем итог. Процедуры данного типа основаны на предположении возможности априорного (до решения задачи) определения наилучшего соотношения между требованиями, предъявляемыми различными критериями. Понятно, что такая возможность существует далеко не всегда. Кроме того, выбор конкретного вида глобальной функции цели не может быть произведен в отрыве от решаемой задачи. Заметим, что, несмотря на обилие известных априорных процедур, в литературе практически отсутствует описание (хотя бы качественное) классов задач, для которых применены те или иные принципы оптимальности. До тех пор, пока не будут разработаны теоретические положения, позволяющие с достаточной степенью точности определять возможные типы принципов оптимальности, пригодные для решения конкретной практической задачи, возможности применения этих процедур будут существенно ограничены.
Заметим, что решения, принимаемые с помощью апостериорных процедур, имеют принципиально субъективный характер. Это часто вызывает критику и обвинения (в основном от сторонников априорного подхода) в отступлении от объективности. Однако необходимость привлечений субъективных суждений непосредственно вытекает из самой постановки задачи - вся имеющаяся в наличии объективная информация уже использована, например, выделено множество оптимальных по Парето альтернатив, а несравнимость по-прежнему сохраняется. Учет предпочтений ЛПР в этом случае является одним из наиболее эффективных методов снятия имеющейся неопределенности.
Основная проблема, которая здесь возникает, состоит в выборе языка описания предпочтения ЛПР. Наиболее часто предполагают, что система предпочтений ЛПР может быть представлена в виде некоторого бинарного отношения, заданного на множестве альтернатив. Бинарное отношение на множестве X есть множество R упорядоченных пар ( У) гДе X є X, у є X ., т.е. некоторое подмножество прямого произведения X х X. Само это произведение обычно называют полным (или универсальным) бинарным отношением на X. Если (х,у) є R, то это может быть записано как xRy (х находится в отношении R с у). Рассматриваемые в этом параграфе бинарные отношения будут характеризоваться некоторыми свойствами, которые мы сейчас приведем. Рефлексивность. Бинарное отношение R на X называется рефлексивным, если xRx для всех X Є Слабая, связность: хФу = xRy vumyRx. Рассматривая, например, бинарное отношение « » на множестве вещественных чисел, легко видеть, что оно нерефлексивно, ассиметрично, транзитивно, отрицательно транзитивно и слабо связно. В то же время бинарное отношение « = » на том же множестве рефлексивно, симметрично и транзитивно. Имеются различные типы бинарных отношений, обладающие разными наборами этих основных свойств. Так, асимметричное и отрицательное транзитивное бинарное отношение называется слабым упорядочением; при наличии слабой связности слабое упорядочение называется строгим упорядочением, а рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение называется эквивалентностью. Заметим сразу же, что слабое упорядочение является транзитивным бинарным отношением, т.е. транзитивность следует из асимметрии и отрицательной транзитивности. Действительно, пусть xRy и yRz. Тогда в силу отрицательной транзитивности из xRy следует (xRz или zRy), а yRz = (yRx или xRz). Однако zRy и yRz невозможны в силу асимметрии, поэтому xRy, yRz == xRz. Мы будем считать, что предпочтения ЛПР устроены очень просто: для любых двух альтернатив х и у ЛПР может определить, либо что х лучше у(х у), либо что у лучше х(у х), либо что х и у одинаково хороши (j/»x). Мы заранее исключаем тем самым случай, когда ЛПР не уверен в своем предпочтении X или у или считает х и у несравнимыми по предпочтению. Более общее описание предпочтений ЛПР содержится, например, в (Фишберн [145]). Причина, по которой мы предъявляем к предпочтениям ЛПР столь жесткие требования, состоит в том, что рассматривается задача выбора единственной наилучшей альтернативы, и мы хотим, чтобы исходные предположения о предпочтениях позволяли надеяться на возможность решения этой задачи. Нетрудно видеть, что при несравнимости отдельных альтернатив, например, задача выбора наилучшей альтернативы может оказаться неразрешимой. Фактически мы предполагаем, что любая информация, необходимая для выбора, может быть получена от ЛПР. Однако нам необходимо предположить также, что получаемая информация в определенном смысле непротиворечива. Так, если ЛПР предпочитает альтернативу х альтернативе у, то имеет смысл требовать, чтобы это исключало возможность предпочтения у по сравнению с х. Разумным критерием согласованности для индивидуальных предпочтений является также транзитивность. Если X предпочтительнее \ а у предпочтительнее z, то здравый смысл предполагает, что х предпочтительнее z. Кроме того, наличие нетразитивного цикла xRy, yRz, zRx на множестве из трех альтернатив делает задачу выбора наилучшей альтернативы неразрешимой. Таким образом, мы приходим к выводу, что для разрешимости нашей задачи отношение «быть лучше» должно быть довольно близким к слабому упорядочению. Аналогично, отношение « да » мы будем представлять как отношение эквивалентности на множестве X . Легко видеть, что любая скалярная функция и{х), заданная на X, индуцирует на нем, в общем случае, два бинарных отношения - слабое упорядочение и эквивалентность, которые строятся следующим образом: х у, если и(х) и(у), и х « у, если и(х) = и(у). Можно показать (Фишберн [145]), что справедливо и обратное утверждение: для слабого упорядочения и эквивалентности « при некоторых дополнительных предположениях о регулярности существует функция и(х) такая, что из х у (х да у) вытекает и(х) и\у) (и(х) = и(у)). Таким образом, в данной ситуации предпочтения J11 LP описываются некоторой скалярной функцией и{х), которая заранее неизвестна.
