Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы оценивания и модели межкадровых геометрических деформаций изображений 13
1.1. Постановка задачи 13
1.2. Модели и основные подходы к оцениванию межкадровых геометрических деформаций изображений 16
1.3. Основные свойства псевдоградиентного оценивания параметров изображений 23
1.4. Целевые функции и нахождение их псевдоградиента в задачах оценивания межкадровых геометрических деформаций изображений 29
1.5. Квазиоптимальные псевдоградиентные процедуры оценивания межкадровых геометрических деформаций изображений 38
1.6. Выводы и постановка задач исследований 43
Глава 2. Априорная оптимизация объема локальной выборки при нахождении псевдоградиента целевой функции 46
2.1. Постановка задачи 46
2.2. Выбор величин, характеризующих сходимость оценок параметров 48
2.3. Вероятностные характеристики изменения оценок параметров в процессе их сходимости 59
2.4. Априорная оптимизация объема локальной выборки при оценивании псевдоградиента целевой функции 64
2.5. Основные результаты и выводы 84
Глава 3. Псевдоградиентные процедуры с адаптивным формированием локальной выборки при нахождении псевдоградиента целевой функции 86
3.1. Постановка задачи 86
3.2 Алгоритмы адаптивного формирования объема локальной выборки в псевдоградиентных процедурах оценивания параметров 87
3.3. Анализ эффективности псевдоградиентных процедур с адаптивным объемом локальной выборки 102
3.4. Основные результаты и выводы 112
Глава 4. Примеры реализации методики оптимизации объема локальной выборки. экспериментальная проверка адекватности разработанных псевдоградиентных процедур 114
4.1. Постановка задачи 114
4.2. Коэффициент улучшения оценок при целевых функциях, характерных для задач оценивания параметров геометрических деформаций изображений 115
4.3. Процедура совместного оценивания параметров межкадровых геометрических деформаций изображений и идентификации с решающим правилом, основанном на оценках целевой функции 125
4.4. Пример программной реализации методики оптимизации объема локальной выборки 133
4.5. Экспериментальная проверка разработанных псевдоградиентных процедур 137
4.6. Основные результаты и выводы 141
Заключение 142
Литература
- Модели и основные подходы к оцениванию межкадровых геометрических деформаций изображений
- Выбор величин, характеризующих сходимость оценок параметров
- Алгоритмы адаптивного формирования объема локальной выборки в псевдоградиентных процедурах оценивания параметров
- Коэффициент улучшения оценок при целевых функциях, характерных для задач оценивания параметров геометрических деформаций изображений
Введение к работе
Актуальность работы
Использование видеоинформации в современном мире стремительно возрастает: различные системы мониторинга, наблюдения, технического зрения, видеотелефонии, медицины, Интернета, регистрирующие и передающие огромные объемы данных. Наряду со значительным повышением уровня развития техники, весьма существенную роль играют и методы обработки изображений, улучшающие визуальное восприятие человеком, сжатие видеоданных для хранения и передачи, а также анализ, распознавание и интерпретация зрительных образов для принятия решений и управления поведением автономных технических систем. Исследование временной динамики наблюдаемых объектов приводит к необходимости анализа последовательностей изображений. Причем при создании алгоритмического обеспечения приходится учитывать не только динамику наблюдаемой сцены, но и пространственные перемещения датчиков сигналов и другие факторы, которые могут быть учтены с помощью оценивания межкадровых геометрических деформаций изображений (МГДИ). Создание эффективных методов оценки МГДИ является одной из важных проблем обработки последовательностей изменяющихся изображений.
Современные информационные системы характеризуются очень большими скоростями передачи данных. Это обусловливает актуальность создания новых методов оценивания параметров МГДИ, ориентированных на реализацию в реальном времени. Анализ показывает, что для изображений больших размеров перспективным направлением при оценивании МГДИ является использование рекуррентных псевдоградиентных процедур (ПГП), которые применимы к обработке изображений в условиях априорной неопределенности, предполагают небольшие вычислительные затраты и не требуют предварительной оценки параметров исследуемых изображений. Формируемые ПГП оценки устойчивы к импульсным помехам и сходятся к точным значениям при довольно слабых условиях. Кроме того, обработка отсчетов кадров изображений может вестись в произвольном порядке, например, в порядке развертки изображений, что во многих случаях позволяет разрешить противоречие между скоростью поступления изображений и быстродействием вычислительных средств.
Недостатком ПГП при обработке реальных изображений является наличие локальных экстремумов целевой функции (ЦФ), характеризующей качество оценивания, что в процессе сходимости оценок на отдельных реализациях существенно замедляет скорость сходимости или даже может привести к ее срыву. Кроме того, ПГП имеют сравнительно небольшой рабочий диапазон, поэтому актуальной является оптимизация процедур по скорости сходимости и вычислительным затратам. При этом характер сходимости оценок и вычислительные затраты во многом определяются объемом локальной выборки (ОЛВ), используемом на различных итерациях процесса псевдоградиентного оценивания для нахождения псевдоградиента ЦФ. Однако вопросы оптимизации ОЛВ в литературе практически не исследованы. Поэтому в настоящее время актуальной проблемой является создание и исследование методов оптимизации по заданным критериям ОЛВ, используемой для нахождения псевдоградиента ЦФ.
Цель и задачи исследований
Целью диссертационной работы является разработка методики, алгоритмов и программного обеспечения оптимизации ОЛВ, используемой для нахождения псевдоградиента ЦФ при псевдоградиентном оценивании параметров МГДИ.
Для достижения цели исследования необходимо решить следующие задачи:
Для процесса псевдоградиентного оценивания МГДИ при заданном классе полутоновых изображений (заданных плотности распределения вероятностей (ПРВ) яркостей и автокорреляционной функции (АКФ) изображений) разработать методику априорной оптимизации ОЛВ, используемой для нахождения псевдоградиента ЦФ, по различным критериям качества оценивания.
Разработать ПГП оценивания параметров МГДИ, в которых ОЛВ в процессе оценивания автоматически адаптируется на каждой итерации для выполнения некоторого условия выполнения итерации, способствующего выходу ПГП из локальных экстремумов ЦФ.
Разработать библиотеку прикладных программ (БПП), позволяющую для задач псевдоградиентного оценивания МГДИ при данном классе полутоновых изображений оптимизировать по заданным критериям ОЛВ, используемой для нахождения псевдоградиента ЦФ.
Проверить адекватность аналитических результатов, полученных посредством методики априорной оптимизации ОЛВ на различных классах имитированных и реальных изображений.
Методы исследований
При решении поставленных задач в диссертационной работе использовались методы математического моделирования, теории множеств, теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов и полей, статистических испытаний.
Научная новизна результатов
Впервые в качестве величины, характеризующей качество сходимости оценок в задаче оценивания параметров МГДИ, использована ПРВ расстояния между точками изображения деформированного кадра, вошедшими в локальную выборку, и их оценками на опорном кадре (названного евклидовым расстоянием оценки (ЕРО)), что позволило оценивать сходимость вектора параметров в целом и решать в задачи оптимизации ОЛВ по различным критериям.
Найдена характеристика, позволяющая при моделировании процесса псевдоградиентного оценивания с заданной ЦФ комплексно характеризовать параметры исследуемых изображений и мешающих шумов (названная коэффициентом улучшения оценки (КУО)). Получены аналитические выражения для расчета КУО, использующие вероятности изменения оценки на каждой итерации оценивания.
Для ПГП оценивания параметров МГДИ впервые предложена и реализована методика оптимизации ОЛВ при оценивании псевдоградиента ЦФ по критериям минимума вычислительных затрат, минимума числа итераций оценивания и обеспечения заданной скорости сходимости оценок параметров. Методика основана на использовании ЕРО и КУО и позволяет найти оптимальный ОЛВ для каждой итерации оценивания при заданном распределении вероятностей начального рассогласования оценок параметров.
Предложены новые ПГП оценивания параметров МГДИ, в которых ОЛВ в ходе выполнения процедуры адаптируется на каждой итерации до выполнения некоторого условия. Такой подход для сложившейся на данной итерации локальной выборки обеспечивает минимум ее объема для удовлетворения условия выполнения итерации.
Предложена ПГП с адаптивным ОЛВ для совместного решения задач оценивания параметров МГДИ и идентификации с решающим правилом, основанном на значениях ЦФ. В качестве ЦФ использован выборочный коэффициент межкадровой корреляции (ВКМК). Предложенный алгоритм адаптации ОЛВ позволяет обеспечить как минимизацию вычислительных затрат в процессе сходимости оценок параметров МГДИ, так и нужную доверительную вероятность идентификации.
Практическая ценность и использование результатов работы
Полученные ПГП оценивания параметров МГДИ могут быть непосредственно использованы в различных прикладных задачах обработки изображений. Процедуры характеризуются высокой точностью оценивания при небольшом объеме вычислительных затрат.
Разработана БПП, позволяющая для задач псевдоградиентного оценивания МГДИ при заданном классе полутоновых изображений (ПРВ и АКФ) оптимизировать по заданным критериям ОЛВ, используемый для нахождения псевдоградиента ЦФ. Библиотека реализована в среде Borland C++ для Windows и рассчитана на использование стандартных ПЭВМ.
Разработанное алгоритмическое и программное обеспечение может быть использовано при решении различных прикладных задач обработки пространственно-временных сигналов, где применяется рекуррентное оценивание параметров. В частности, в качестве примера исследована задача идентификации фрагмента изображения с решающим правилом, основанным на оценках ЦФ.
Реализация результатов работы
Результаты диссертационной работы использованы в научно-исследовательском проекте 209.01.01.072 «Рекуррентное оценивание параметров пространственных деформаций последовательностей многомерных изображений» (№ гос. per. 01200312433) программы «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники», НИР № 1.1.01 «Статистический анализ неоднородных динамических изображений, заданных на многомерных сетках со случайными пространственно-временными деформациями» (№ гос. per. 01200111127), а также при выполнении гранта РФФИ 05-08-65472а «Оценивание параметров межкадровых пространственных деформаций последовательностей изображений».
Достоверность результатов
Полученные результаты не противоречат известным взглядам на вопросы оценивания параметров МГДИ, их достоверность обеспечивается применением хорошо апробированного математического аппарата, полнотой учета влияющих факторов и высокой степенью детализации математических моделей процесса оценивания МГДИ и подтверждается экспериментальными результатами.
Основные положения, выносимые на защиту
В качестве величины, характеризующей качество сходимости оценок в задачах оценивания параметров МГДИ, предложено использовать ПРВ ЕРО (расстояния между одноименными точками изображений с опорного и деформированного кадров, вошедшими в локальную выборку), что позволяет оценивать сходимость вектора параметров в целом.
Предложена и реализована методика априорной оптимизации ОЛВ, используемой для нахождения псевдоградиента ЦФ, обеспечивающая при заданном классе полутоновых изображений оптимизацию по критериям минимума вычислительных затрат, минимума числа итераций оценивания и обеспечения заданной скорости сходимости оценок параметров.
Получены новые ПГП оценивания параметров МГДИ, в которых ОЛВ в ходе выполнения процедуры автоматически регулируется на каждой итерации, что способствует выходу ПГП из локальных экстремумов ЦФ.
Разработана ПГП с адаптивным ОЛВ для совместного решения задач оценивания параметров МГДИ и идентификации с решающим правилом, основанном на значениях ЦФ, позволяющая обеспечить как уменьшение вычислительных затрат в процессе сходимости оценок параметров, так и заданную достоверность идентификации.
Создана БПП, позволяющая для задач псевдоградиентного оценивания МГДИ при данном классе полутоновых изображений оптимизировать по заданным критериям ОЛВ, используемый для нахождения псевдоградиента ЦФ.
Апробация работы
Основные положения диссертационной работы докладывались, обсуждались и получили положительную оценку на международных конференциях «Digital Signal Processing and its Applications» (Москва, 2005, 2006), «Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies» (С.-Петербург, 2004), «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике» (г. Ульяновск, 2005, 2006), на 61 Научная сессии, посвященной дню радио (Москва, 2006), на XII и XIII международных научно-технических конференциях «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2005, 2006), на первой международная научно-технической школе-семинаре «Современные проблемы оптимизации в инженерных приложениях» (Ярославль, 2005), на IV научно-практической конференции (с участием стран СНГ) «Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем» (Ульяновск, 2004), на II Всероссийской научно-технической конференции «Искусственный интеллект в XXI веке (Пенза, 2004).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 19 работ, в том числе 7 статей и 12 работ в трудах и материалах школы-семинара, сессий и конференций, всего 4.8 печатных листа. Некоторые результаты работы отражены также в отчетах по НИР 209.01.01.072 (№ гос. per. 01200312433) и гранту РФФИ 05-08-65472.
Структура и объем работы
Основное содержание диссертационной работы изложено на 142 страницах машинописного текста, содержит 42 рисунка и 4 таблицы и состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 111 наименований и приложений.
Модели и основные подходы к оцениванию межкадровых геометрических деформаций изображений
Синтез процедур оценивания МГДИ и автоматизированное оценивание параметров невозможны без задания моделей МГДИ. Рассмотрим наиболее применяемые модели и основные известные подходы к оцениванию параметров МГДИ.
Модели межкадровых геометрических деформаций изображений
В результате МГДИ, одни и те же элементы сцены на разных кадрах изображений имеют различные координаты. Математически эту ситуацию можно описать деформацией и движением сетки отсчетов на плоскости, считая сцену неподвижной, или же наоборот - движением элементов сцены. Обычно сетка отсчетов принимается прямоугольной, что, вообще говоря, является допущением. В реальных ситуациях сетка отсчетов как опорного, так и деформированного кадров в силу ряда причин обычно криволинейна. Однако при всех дальнейших исследованиях в пределах настоящей диссертации будем придерживаться указанного допущения, и считать сетку опорного кадра прямоугольной.
Рассмотрим простой подход к описанию МГДИ [11]. Смещение каждого узла j = \jx,jyJ сетки Q2 деформированного кадра относительно его положения на сетке Q, опорного кадра (или, что то же самое, смещение элемента сцены в узле j относительно его положения на Q() может быть задано вектором h = _ (h Л Система таких векторов образует векторное Л У случайное поле Н = {/ь: j єО,}, заданное на сетке Q,. Если рассматривается последовательность кадров, то получим последовательность случайных полей Н = Щк : j є Qk j H = {h :jeQk}, (1.2.1) где к - номер кадра [11].
Другой подход к описанию МГДИ состоит в следующем. Каждое положение сетки может рассматриваться как система координат. Тогда МГДИ могут быть представлены как случайное преобразование hj=fO)={fxOlfyO)f одной системы координат в другую. Во многих случаях, когда вид МГДИ известен и описывается, например, таким набором параметров как сдвиг, поворот, изменение положения приемника и другими, преобразование hj = f(J) может быть задано в параметрической форме: Л;=/(у,а). (1.2.2) Это существенно облегчает описание вида преобразования. Рассмотрим ряд таких моделей для плоских изображений. При этом будем предполагать, что мы работаем в евклидовом пространстве, где имеется ортонормированная система координат, в которой координатные оси взаимно ортогональны, а соответствующие им единичные отрезки имеют одинаковую длину. Тогда, каждой точке изображения Z ставится в соответствие упорядоченная пара чисел (jx,jy) декартовых координат.
Геометрические деформации на плоскости рассмотрим, как движение точек по отношению к фиксированному базису [19]. На рис. 1.1,б-г схематично представлены некоторые из возможных моделей геометрических деформаций изображения, заданного условно пятью точками A,B,C,D,E (рис. 1.1,а). На рис. 1.1,6 представлен вид геометрических деформаций, при котором к точкам плоскости A,B,C,D,E (рис. 1.1,а) применены преобразования сдвига и поворота. При этом математически такое преобразование, точки А в точку Ад может быть записано в векторно-матричной форме, как: JxA JyA = ф JxA + h, (1.2.3) - (hA СОБф -БІПф где: Ф = вектор - матрица поворота на угол ф; h = \hU \S\X\ty СОБф J сдвига. Аналогичные записи могут быть сделаны и для остальных точек. Отметим, что такое преобразование возможно только в случае, когда наблюдаемая сцена рассматривается как твердое тело, и взаимные деформации элементов сцены в трехмерном пространстве не допускаются. Таким «жестким» движениям плоскости соответствует, евклидова модель (подгруппа преобразований), которая может описывать только деформации сдвига и поворота.
На рис. 1.1,в представлено аффинное преобразование. К важнейшим свойствам такого преобразования можно отнести тот факт, что любое аффинное преобразование имеет обратное преобразование, которое в свою очередь также является аффинным.
Выбор величин, характеризующих сходимость оценок параметров
Как уже отмечалось в п. 2.1, в качестве исходной информации для нахождения скорости сходимости вектора оценок а исследуемых параметров а изображений к оптимальному значению а целесообразно использовать ПРВ этих оценок на соответствующих итерациях. При этом скорость сходимости оценок можно оценивать различными численными величинами, например [37]: - математическим ожиданием; - вероятностью превышения некоторого пороговое значение; - доверительным интервалом и т. д.
Рассмотрим возможности и особенности использования этих величин при оценивании параметров МГДИ [39, 55].
Если ПГП оценивается один параметр, то эти характеристики непосредственно применимы к оценке параметра. Если же оценивается совокупность параметров, то в общем случае на одной и той же итерации для каждого / -го параметра, i = \,m, может получиться свое значение ОЛВ \iit, обеспечивающее выполнение заданного критерия. Такой подход привел бы к необоснованным вычислительным затратам, что в принципе противоречит решаемой задаче - обеспечению максимального быстродействия при заданном критерии качества оценивания. Поэтому при псевдоградиентном оценивании параметров изображений на каждой итерации локальная выборка должна формироваться один раз, соответственно для критерия необходима единая мера. Для задачи оценивания МГДИ в качестве такой единой меры в настоящей работе предлагается использовать ПРВ расстояний между одноименными точками изображений с опорного и деформированного кадров, вошедшими в локальную выборку. Рассмотрим предлагаемый подход подробнее.
Евклидово расстояние оценки
Для определенности будем считать, что оцениваются параметры аффинной модели МГДИ [19]: параллельный сдвиг h=(hx,h) , угол поворота ф и коэффициент масштаба к. Такое ограничение набора параметров не ограничивает общности приведенного ниже рассмотрения, при котором важно только аналитическое задание некоторой конкретной модели МГДИ. Предположим также, что на некоторой итерации оценивания OJ1B i„=l, а вектор оценок равен ос,_, = (,-1), ,(,-1),9,-1, ,.,] . Тогда для точки (a,b), например, узла сетки отсчетов деформированного кадра Т}1 на интерполированном опорном кадре Z B локальную выборку будет выбрана точка с координатами (а\ & ): х = х0 + к,_,((й - XoJcosq),., -(b- y0)sm t_l)+ hx{t_X)\ У = У о + к,_,((а - Хо іпф,., +(b- у0)сощ_і) + hy(t_ly где {x0,y0) - принятые координаты центра поворота.
При этом в силу случайного характера оценке каждого из параметров K(t-\) K{t-\Y Ф/-і и м соответствует своя ПРВ: w,_,(uj, И М(ЙД и ,_,(ф) и W,_,(K). При использовании для нахождения указанных ПРВ методики, предложенной в работах [62, 73] и предполагающей дискретизацию области определения параметров, получим дискретные распределения вероятностей (ДРВ) Pi{k)= P[hx = hxl] I = 1Л_. РЮ= Р{К = Ki\ І = U„ , рДф) = Р(ф = рД / = 1,Іф , рі(к) = Р{к = кД / = 1,ІК , где Lx, L , L9 и LK - число дискретов разбиения областей определения параметров hx,h , ср и к соответственно. Таким образом, с соответствующей вероятностью оценка параметра может принять любое из возможных положений в пространстве параметров. Так, с вероятностью pun = / І(МРІ(М.РІ(Ф)РІ(К) в пару к точке (a,b) кадра Т}1 на кадре 7У\ локальную выборку будет выбрана точка с координатами ,,,, = х0 + к, ((а - х0 )со5ф, - (Ь - у0 іпф,) + hxX; У\ 111 = Уо + кі ((« - хо УтЪ + (ь - Уо )os(Pi) + hy\» соответствующая сочетанию значений /гл1, hy], ф, и Kj оценок параметров. С вероятностью Р\ 112 = P\ [К )p\ {hy )px (Ф)р2 ( ), в пару к точке (a,b) в локальную выборку будет выбрана точка с координатами х\ 112 = о + к2 ((а " хо )coS(Pi -( - o іпф,) + ЛЛІ; Уі 112 = У о + к2 ((я - о їпф, +(6- 0 )cosq ,) + Ая, соответствующая сочетанию значений hxX, /z ,, ф, и к2 оценок параметров, и т. д. вплоть до точки с координатами xLXLyL LK=4 + KLK{{a-x0)cos(?L(p-(b-yQ)smcpL{?)+hxLx; ((а - х0 іпфіф + (Ь - у0 )cos(pL(p) + hyLy, соответствующей сочетанию значений h hLy (pL(p и KLK оценок параметров, которая будет выбрана с вероятностью = PLxikjPLy yjPb PLK ) LxLyLyLx
Таким образом, можно построить ДРВ расстояний между точкой (а, Ь) и возможными оценками местоположения этой точки на t -й итерации, т. е. получить распределение евклидова расстояния г между истинным положением точки и его оценкой. Назовем это расстояние евклидовым расстоянием оценки (ЕРО). Распределение wt_\{r) ЕРО и будем использовать как основу для получения критериев оптимизации OJ1B [70].
Алгоритмы адаптивного формирования объема локальной выборки в псевдоградиентных процедурах оценивания параметров
Рассмотрим несколько примеров построения ПГП оценивания параметров МГДИ, в которых ОЛВ ц в ходе выполнения процедуры автоматически регулируется (адаптируется) на каждой итерации [53, 54, 67]. В этих алгоритмах очередная итерация оценивания параметра осуществляется при выполнении некоторого условия. Если при минимальном для выполняемой итерации ОЛВ условие не выполняется, то ОЛВ JJ. последовательно увеличивается до тех пор, пока условие не будет выполнено. Таким образом, для каждой конкретной (сложившейся на данной итерации) локальной выборки ее объем минимален для удовлетворения условия выполнения итерации.
В предлагаемых алгоритмах для нахождения численных величин, применяемых в условиях выполнения итерации, будем использовать значения оценок ЦФ, получаемые при соответствующих ОЛВ. Так, при минимизации СКМР (1.4.21) оценку значения ЦФ на t итерации можно найти как: Ч, = І Й - ЛЛІ, (3.2.1) где (х - ОЛВ Z, на t -й итерации; А2) - отсчеты деформированного изображения Ъ 2\ попавшие в локальную выборку на t-й итерации; 2(1)(у ,,осм) - отсчеты, взятые в локальную выборку на t-и итерации из интерполированного изображения Z(1) (непрерывного изображения, полученного из Z(1)); /, е Q( є Q - координаты отсчетов zj2); ctM - оценка вектора параметров МГДИ на (/-1)-й итерации; Q, - план локальной выборки на /-й итерации; Qj = \jxJyJ)- сетка отсчетов кадров изображений Z(,) и Z(2); jx = \,NX, jy = \,Ny - размер кадров изображений.
Если в качестве ЦФ выбран ВКМК (1.4.22), то оценку значения ЦФ на t-Pi итерации можно найти как оценку коэффициента корреляции: I I zifz (/„a,-,)4 I 2 г(,)(7,Д-) _ Iх ] &, i у,еП/ Л eft, /3 2 2) где «ft—Ц- I Iff-zgf и «ft=-±- І ИлЛ-О- ЦД.,))2 оценки дисперсий изображений Z(2) и Z(1), сделанные по локальной выборке; zfp = — zf и z (О,, а,_,) = - z(1) (/,, ам) - средние значения яркостей отсчетов zj2) и z(1)(y ,,oTM) соответственно.
Для определенности будем считать, что используется ПГП (1.3.3) релейного типа (1.4.23) с диагональной матрицей усиления Л,. Тогда в общем виде оценка і-го параметра на (ґ + і)-й итерации определяется соотношением &/./+1 =a/,,+VMSgn(p\,,+1(a,,zJ, f = l,7\ i = \ i, (3.2.3) где знак «-» соответствует задаче минимизации ЦФ, а «+» - максимизации; т - число оцениваемых параметров; Т - заданное число итераций. Пусть задан некоторый начальный (наименьший) OJIB Д/тіп, минимальное значение которого при максимизации ВКМК может быть равно 2, а при минимизации СКМР - 1. Кроме того, введем следующие обозначения: qt([it) = q(Zt,[it)-оценка значения ЦФ на / итерации, вычисленная по отсчетам zff и z(1)(y,,ocM) локальной выборки объема ц,; q (ц,)- оценка значения ЦФ на t-й итерации при том же ОЛВ, вычисленная по отсчетам zj,2) и zJ Opd,,_!,... &,,_, +Aa/,... amM), т.е при задании оценке параметра ос, некоторого положительного приращения Да/ 0; q (\i,) - оценка значения ЦФ на t-й итерации, вычисленная по отсчетам zff и 2 (7,,6:,,,,,... &,-,_, -Да/.,... &„,,_,), т.е при задании оценке параметра ос, некоторого отрицательного приращения.
Коэффициент улучшения оценок при целевых функциях, характерных для задач оценивания параметров геометрических деформаций изображений
В п. 2.3 второй главы для исследования вероятностных характеристик изменения оценок параметров в процессе их сходимости был введен КУО и,=р;оо-ргсо. где р7(ё) - вероятность изменения оценки при рассогласовании є в направлении от оптимального значения, a p (s) - к оптимальному значению. Рассмотрены основные свойства КУО, показано, что он может служить комплексной характеристикой параметров оцениваемых изображений и воздействующих шумов, а также выбранной ЦФ качества оценивания, поскольку не зависит параметров используемой ПГП. Рассмотрим примеры нахождения КУО для ЦФ, характерных для задач оценивания МГДИ, в частности, СКМР и ВКМК.
Коэффициентов улучшения оценок при минимизации среднего квадрата межкадровой разности
Пусть в качестве ЦФ псевдоградиентного оценивания выбран СКМР (1.4.21). Тогда оценка ЦФ на каждой итерации может быть найдена по соотношению [61]: где ц - ОЛВ Z, = (zj2),z(1)(j,,a,_,)j на t-й итерации, /( є П, є Q - план локальной выборки на t-n итерации; Z(1) = z(1)(y,a) - непрерывное изображение, полученное из Z(1) с помощью некоторой аппроксимации.
Будем также считать, что исследуемые изображения Z(1) и Z(2), заданные на сетке отсчетов Qj = (/л, jyJ}, jx = 1, Nx,jy =\,Ny, имеют гауссовское распределение яркостей с нулевым средним, неквантованными отсчетами (a2e = 0) и АКФ R(l). Модель наблюдаемых изображений: Ц»}= Ц +ву }, {f }={f(«) + efj, где вт , ej2M - независимые гауссовские случайные поля с нулевыми средними и одинаковыми дисперсиями а0.
Для определенности примем аффинную модель МГДИ, при которой вектор a = [hx,hy, p, к) оцениваемых параметров включает в себя параллельный сдвиг (hx,hy), угол поворота ф и масштабный коэффициент к. Будем также считать, что pf (є) = 0. Тогда p (s) = 1 -pj(e), соответственно И,=2Р;(є)-1. (4.2.1)
Таким образом, в соответствии с (4.2.1) для вычисления 9?,. необходимо найти ПРВ w(p() проекции р,- псевдоградиента Р на ось параметра ос,-. Для нахождения w(P,) воспользуемся результатами, полученными в работах [62, 73]. При принятых ограничениях для Р,- можно записать \ц=\ " \ ох Эос,- ду Зсс/у . (4.2.2) 7=7/
В соответствии с аффинным преобразованием координаты точки (а, Ъ) деформированного изображения Z(2) на интерполированном изображении Z(1) определяются выражением (2.2.1). Непосредственное нахождение ПРВ Р,-, определяемой выражением (4.2.6), является весьма сложной задачей. Однако получение приближенного решения можно существенно упростить, воспользовавшись тем обстоятельством, что при увеличении fi величина Р,. быстро нормализуется.
Так, уже при [i = 1 (4.2.4) содержит не менее восьми однотипных слагаемых; а при Л = 2 - не менее шестнадцати и т. д., благодаря чему закон распределения р,. можно считать близким к нормальному. Тогда КУО $Я/5 / = 1, т, с учетом (4.2.1) и (2.3.2) может быть найден как: м{р,.Г Я,(є) = 2F -1, (4.2.7) где F(-) - функция Лапласа; М{р,} и с{р,} - математическое ожидание и СКО проекции р,-. Найдем М{р,} и а2{р/}. При этом для дальнейшего упрощения а?() dz{i) вычислений оценки производных —-— и —-— будем определять по дх ду изображению ТР : ЯУ(1) 7(2) - 7(2) OZ, _ ZjaMjbl Zjal-\Jbl . дх Я О) 2 2 -Z{2) dzl _ ZJal.JbM Zjal,jbl-\ ду 2 Тогда Если в локальную выборку выбрано только по отсчету из опорного и деформированного изображений, т. е. ц = 1, то выражение (4.2.8) запишется в виде: Pl={ZX,y-ZaA(Za+\J -Za-iJ l+(Za,b+l-Za,b-l)E l) і4 2 9) где для упрощения записи интерполированное значение z(,)(//}a) яркости изображения Z(I) обозначено через zxy = s + Qxy, а значение яркости деформированного кадра z 2 . через zab = sab + Qab. Опуская промежуточные выкладки, запишем выражение для математического ожидания величины (4.2.9): М{Р,-} = M{(zxy - Za J(za+u - Z Afl + {Za,b+\ - Za,b-\ fe)} = = ЫЬх,у + х,у - Sa,b - a,b lSa+lb + Qa+\,b Sa-\,b Qa-ljb }fi + + (Sx,y + x,y Sa,b a,b\Sa,b+\ + a,b+l Sa,b-\ a,b-\ hi) = = -alMd«-J- (da+Jh+ №a -x)-R{daMX %\ (4.2.10) где R(dab) - нормированная АКФ изображения; dab - евклидово расстояние между точкой с координатами {а, Ь) и точкой с координатами (х, у); rx=a-x,r=b-y. Например, расстояние da-\,b = -j(a-l-xf+(b-y)2 . Для нахождения дисперсии Р,- воспользуемся соотношением а2{р(.} = м{р/2}-М2{(3/.}, (4.2.11)
Величину М2{р,} можно найти из (4.2.10): М2 fl3,} = G4S ({R{da_lb ) - R{da+lb ) , + (R{da ) - R{daMt % f (4.2.12) Для Mjp,2] получаем М{ІЇ}=Мрх,у -Za,bl(Za+lb -Za-lb}i +iZaM\ - -1 /))/= + 2( a+i,6 - -Vu X fl,fc+i - 5 (б-і )// + fa, +i - saJb_x f % + (Q2aMl - 9 _, )tf }= = aj(4(yf +С?Хі- )Хі-Л(2))+ -1(2-л( )-Л(2)+Г,))+ 2 + 2(У/ № A )- ))+ / Wa,b-X )- fc, +, f ), где g = G2s/GQ - отношение сигнал/шум. Подставляя (4.2.12) и (4.2.13) в (4.2.11) получаем выражения для дисперсии: \M = ol{4{ + l(\-R{dJ\\-Rm) g -R(d )-R{2)+g- b +(ї/(йк-,,«) - («Cu,))+с, («К»-,) - 4Ui )))2 ) (4-2-14) Теперь для нахождения КУО Ш(. достаточно подставить (4.2.10) и (4.2.14) в (4.2.7). Если в локальную выборку выбрано большее число отсчетов из опорного и деформированного изображений, т. е. \л 1, то М{Р,-} = -аж2((/гЙЗ )-В ЛаЛМіхУ Й1.Ь)ї (4-2Л5) /=і {р,}=;і4ї+йХ -лИЇ(«- (2))+г-,(2-яй)-«(2)+в-,ї+ + J"4«,J+U4e.)-4e.F)l (4.2.16) где dyb - евклидово расстояние между точкой с координатами {altb{) и точкой с координатами (xl9yt), 1 = 1, [І; уи и С,п - функции у и С, для і-то параметра в точке {ahbt) (табл. 4.1).
