Введение к работе
Актуальность темы исследования. Математическая теория управления наибольшее развитие получила во второй половине XX века. Совершенствование техники и растущая потребность в надежности и безопасности функционирования управляемых систем определило круг задач, которые составляют предмет математической теории управляемых процессов. Так возникли теория управляемости, связанная с проблемой перевода управляемого объекта в заданное конечное состояние, теория оптимального управления, направленная на уменьшение потерь при протекании процессов.
Необходимость решения таких задач возникает при моделировании физических, химических, биологических, социальных, экономических и других процессов.
Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями наиболее адекватно отражают свойства управляемого объекта.
Из наиболее распространенных методов решения задач оптимального управления являются метод штрафных функций и принцип максимума, который в настоящее время остается основным инструментом для определения оптимального управления и оптимальных траекторий.
Истоки теории оптимального управления восходят к работам Р. Беллмана, Л. С. Понтрягина, Л. Калмана, Н. Н. Красовского, У. Флеминга, A. Фридмана.
Большой вклад в развитие теории оптимального управления внесли В. Г. Болтянский, Л. Д. Беркович, Е. А. Брайсон, Р. Ф. Габасов, Р. В. Гамкрелидзе, А. Я. Дубровицкий, Ю. Г. Евтушенко, В. И. Зубов, А. Д. Иоффе, Ф. М. Кириллова, В. Ф. Кротов, Г. Лейтман, А. А. Милютин, Е. Ф. Мищенко, Н. Н. Моисеев, Н. Н. Петров, В. М. Тихомиров, Ф. Л. Черноусько, С. В. Чистяков, В. А. Якубович, Д. Эллиот.
В современной экономической науке и практике математические модели стали необходимым инструментом исследования производственных процессов, позволяющим глубже понять их экономическую динамику и обосновать принимаемые решения при планировании, прогнозировании и управлении.
Большой вклад в разработку теоретических и методологических аспектов исследования проблем экономического развития, построение и исследование их математических моделей внесли отечественные ученые С. А. Ашманов, В. З. Беленький, В. А. Бессонов, О. О. Замков, В. А. Колемаев, Г. Б. Клейнер, В. Л. Макаров, Д. Нестерова, Р. Л. Нуреев, А. А. Петров, И. Г. Поспелов, Ю. Н. Черемных, А. А. Шананин, а также зарубежные ученые Е. Домар, Д. Касс, В. Леонтьев, Р. Лукас, Н. Калдор, Р. Рамсей, Д. Ромер, Дж. фон Нейман, Р. Солоу, Р. Харрод, К. Эрроу и другие.
В современной экономической науке и практике математические модели стали необходимым инструментом исследования производственных процессов, позволяющим глубже понять их экономическую динамику и обосновать принимаемые решения при планировании, прогнозировании и управлении. Несмотря на многочисленные разработки оптимальных стратегий в экономике, наблюдаемая на практике картина, в частности, возникновение и развитие кризисных ситуаций, свидетельствует о необходимости дальнейшего изучения экономических явлений. В связи с этим, проблема определения механизмов и сценариев развития динамики в экономических системах оказывается весьма важной и актуальной.
Целью работы является нахождение и исследование аналитического и численного решения многокритериальной нелинейной задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями, которая формализует модель взаимодействия двух экономических агентов.
Для достижения поставленной цели в работе решаются актуальные научные задачи, состоящие в анализе исследуемой модели методами математической теории дифференциальных уравнений и теории оптимального управления и разработке численных методов построения оптимального решения.
Положения, выносимые на защиту.
-
Математическая модель взаимодействия двух экономических агентов с учетом динамики численности трудовых ресурсов.
-
Динамическая модель взаимодействия экономических агентов с различными критериями качества.
-
Результаты исследований динамических моделей на наличие особых оптимальных режимов.
-
Результаты исследований по оценке влияния параметров динамических моделей взаимодействия двух экономических агентов на оптимальное решение.
Научная новизна:
1) новизна математической модели взаимодействия двух экономических агентов заключается в учете ограниченности роста численности трудовых ресурсов;
2) динамическая модель взаимодействия двух экономических агентов в отличие от известных моделей рассмотрена как управляемая нелинейная динамическая модель, позволяющая построить оптимальное решение при различных параметрах;
3) при исследовании динамической модели выявлены условия возникновения особых режимов оптимального управления и получено аналитическое выражение особого оптимального управления;
4) построены решения для различных функционалов, зависящих от параметров модели, и исследовано влияние этих параметров на оптимальное решение.
Практическая значимость. Полученные результаты работы могут быть использованы для решения конкретных практических задач, связанных с деятельностью фирм различных сфер деятельности: прогнозирование динамики капитала, выпуска и прибыли фирмы, рассмотрении вопроса о привлечении наемных работников, прогнозирование материальных затрат и капиталовложений. Разработанные алгоритмы позволяют проводить оценки параметров экономической системы и исследовать их влияние на оптимальное управление.
Методы исследования. В работе при решении поставленных задач применялись необходимые и достаточные условия оптимальности, теория устойчивости, численные и аналитические методы решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, отражающей взаимодействия экономических субъектов.
Разработан программный комплекс в среде Borland Delphi 7, реализующий алгоритмы численных методов построения оптимального решения для различных функционалов, производственных функций и параметров модели.
Достоверность и обоснованность. Достоверность и обоснованность полученных результатов базируется на использовании апробированных численных и аналитических методов математической теории оптимального управления и методов оптимизации, на применении физически обоснованных исходных данных, на согласованности полученных результатов моделирования с соответствующими статистическими данными.
Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные приложения обсуждались и докладывались на второй Российской школе-конференции с международными участием для молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (г. Тверь, 2010 г.); на первой Международной научно-практической конференции, посвященной устойчивому развитию социально-экономических систем (г. Казань, 2011 г.); на второй Всероссийской научно-практической конференции, посвященной проблемам анализа и моделирования региональных социально-экономических процессов (г. Казань, 2011 г.), на семинарах Вычислительного центра им. А.А. Дородницына Российской академии наук (г. Москва, 2011 г.).
Публикации автора по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 статьях, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России для публикации основных результатов кандидатских диссертаций.
Структура и объем работы.
