Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические аспекты формирования и восстановления изображений 9
1.1 Связь между распределениями яркости по объекту и изображением 9
1.2 Построение изображений методом компьютерной томографии на радиотелескопах . 11
1.3 Двумерный режим работы ссрт 17
1.4 Методы восстановления, применяемые в радио астрономии 19
1.4.1 Некорректность задачи восстановления 19
1.4.2 Метод чистки (clean) , 21
1.4.3 Метод максимальной энтропии (мме) 24
1.4.4 Метод инверсной фильтрации со стабилизирующим функционалом 26
Глава 2. Метод проекции на замкнутые выпуклые множества применительно к восстановлению радиоизображений на ССРТ 28
2.1 .Итерационные методы восстановления при наличии ограничений 28
2.2 Метод проекций на замкнутые выпуклые множества 35
2.3 Моделирование эксперимента 44
Глава 3. Алгоритмы формирования и восстановления радиоизображений на ССРТ 48
3.1 Алгоритм формирования изображений в одномерном режиме наблюдений ссрт на основе метода компьютерной томографии 48
3.2 Алгоритм формирования изображений в двумерном режиме наблюдений ССРТ 53
3.2.1 Алгоритм формирования невосстановленных изображений в двумерном реоісиме 53
3.2.2 Алгоритм построения реальной аппаратной функции 64
3.2.3 Алгоритм восстановления в пределах полосы пропускания ссрт 67
3.3 АЛГОРИТМ восстановления изображения на основе пэвм 73
Глава 4. Описание пакета программ построения и восстановления изображения и его приложение для обработки радиогелиографического эксперимента 77
4.1 Описание пакета программ построения и восстановления изображения 77
4.2 Рекомендации к использованию методов восстановления (на примерах) 89
Заключение 96
Литература
- Построение изображений методом компьютерной томографии на радиотелескопах
- Некорректность задачи восстановления
- Метод проекций на замкнутые выпуклые множества
- Алгоритм формирования изображений в двумерном режиме наблюдений ССРТ
Введение к работе
Актуальность темы
Работа таких сложных приборов как Сибирский солнечный радиотелескоп (ССРТ) (вообще больших сооружений для физических исследований) предполагает наличие развитой системы автоматизации и математического обеспечения. Большей частью систем математического и программного обеспечения являются алгоритмы и программы первичной обработки и коррекции радиоизображений.
Любая измерительная система характеризуется аппаратной функцией (для радиотелескопа — это диаграмма направленности его антенны (ДН)), оказывающей искажающее действие на результат измерения. Для радиоастрономических инструментов важна угловая разрешающая способность - один из основных параметров радиотелескопа. Следовательно, необходимо определить пространственные характеристики исследуемого процесса, которые прямым измерением сделать невозможно. Обычно такая связь описывается интегральным уравнением Фредгольма I рода типа свертки: A/ = g + H, где / - функция объекта, h — аппаратная функция, g — наблюдаемое распределение, У1 ~ аддитивный шум.
Таким образом, разработка и исследование методов коррекции радиоизображений (поиск функции f ) актуальны, поскольку это связано с повышением эффективности использования больших радиотелескопов, каким является ССРТ. Большинство обратных задач относятся к классу некорректно поставленных. Для решения таких задач разработан ряд специальных методов (метод максимальной энтропии, фильтр Винера-Тихонова, CLEAN и др.). Но каждому из этих методов присущи свои недостатки. ММЕ позволяет экстраполировать спектр, но создает ложные источники, фильтрация на основе фильтра Винера-Тихонова позволяет производить восстановления только в пределах полосы пропускания, метод CLEAN создает ложные детали у протяженных областей.
Как известно, при использовании априорной информации о свойствах объекта качество восстановления изображения повышается. В работе для решения задачи восстановления впервые в радиоастрономии предложен метод проекции на замкнутые выпуклые множества (ПЭВМ), который оказался очень удобным для включения априорной информации, т.е. использовались реальные физические ограничения. Следует отметить, что решение данного '* интегрального уравнения осложняется тем, что аппаратная функция на практике может отличаться от расчетной. Это обязывает разрабатывать методы, которые позволили бы ее уточнять.
Работа посвящена вопросам обработки пространственно-временных сигналов на радиотелескопах с высоким угловым и временным разрешением с целью построения, коррекции и восстановления радио изображений на ССРТ. ф* ССРТ является одним из крупнейших радиоинтерферометров мира, проблемно ориентированных на систематический мониторинг солнечной активности для изучения солнечных факторов, определяющих состояние и изменчивость космической погоды. Огромный объём регистрируемой информации обусловил комплексный подход к решению обработки данных. Следовательно, повышение эффективности выполнения дорогостоящих — наблюдений на основе развитой системы алгоритмического и программного обеспечения является актуальной задачей. Цель работы
Заключается в практическом обеспечении методов, алгоритмов и программ для построения радио изображений Солнца по данным ССРТ. При этом последовательно решались следующие задачи: ф - оптимизация процесса дискретизации двумерного случайного поля (распределения радиояркости Солнца) на основе модификации теоремы Котельникова с учётом переменного направления сканирования; теоретическое исследование и практическое воплощение методов первичной обработки радио гелиограф ических данных, регулярно получаемых на ССРТ; разработка алгоритмов и программ экстраполяции пространственного спектра для построения изображений методом компьютерной томографии при последовательном одномерном сканировании; реконструкция радиоизображения Солнца с учетом оценки качества реальной на момент регистрации ДН, как низкочастотного фильтра пространственных частот для достижения устойчивости решения.
Научная новизна.
Исследованы методы восстановления радиоизображения Солнца с учетом инструментальных эффектов и характера исследуемых объектов. Предложен новый метод восстановления радио изображения Солнца на основе метода проекции на выпуклые множества, который позволяет учесть ряд ограничений. (Ц* Разработан алгоритм коррекции радиоизображения Солнца при неточно известной аппаратной функции (путём нахождении аппаратной функции по отклику ССРТ на компактный симметричный источник).
Практическая ценность работы
Создано полное программное обеспечение восстановления радиоизображений Солнца для одномерного и двумерного режимов наблюдений на ССРТ, в которое также включены методы первичной обработки данных.
Достигнута экстраполяция на основе ПЭВМ спектра пространственных частот за пределы полосы пропускания фильтра с целью повышения углового разрешения ССРТ.
Предложены алгоритмы, которые могут быть использованы на других радиотелескопах высокого разрешения, а также для исследования двумерных пространственных полей в других областях науки и техники.
На защиту выносится:
1. Алгоритм формирования первичных радиоизображений Солнца, получаемых на радиоинтерферометре с частотным сканированием на основе модификации двумерной теоремы Котельникова с учетом изменения направления сканирования.
Метод определения квазиреальной ДН в итерационном процессе для решения обратной задачи.
Алгоритм восстановления радиоизображений Солнца в двумерном режиме регистрации данных на основе методов эволюционной фильтрации и ПЗВМ.
Алгоритм экстраполяции спектра радиоизображения на основе метода ПЗВМ в случае синтеза изображения по одномерным проекциям на основе методики компьютерной томографии.
5. Пакет программ для получения и восстановления радиоизображений 6« Солнца в условиях недостаточной информации о ДН и результаты восстановления, демонстрирующие эффективность такой коррекции как для протяженных, так и компактных источников излучения.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на: XXI Всесоюзной радиоастрономической конференции
Щ «Радиоастрономическая аппаратура» (Ереван, 1989); XXII Young European Radio Astronomers' Conference (Kharkov, 1989); XXII Всесоюзной конференции «Радиотелескопы и интерферометры» (Ереван, 1990); IV Всесоюзной конференции «Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов» (Петрозаводск, 1991); XXVIII Московской Международной конференции по теории и технике антенн ^ (Москва, 1998); V Международной конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 1999); Международной конференции по физике Солнца, посвященной памяти профессора Г.М. Никольского «Структура и динамика солнечной короны» (Троицк, 1999); Международной школе-конференции «Обратные задачи: теория и приложения» (Ханты-Мансийск, 2002); Конференции стран СНГ и Прибалтики «Актуальные проблемы физики солнечной и звездной активности» (Нижний Новгород, 2003); Всероссийской конференции «Магнитные поля и трехмерная структура солнечной атмосферы» (Иркутск, 2003); Международной научной конференции "Современная радиоэлектроника в ретроспективе идей В.А. Котельникова" к 95-летию ^ академика В.А. Котельникова (Москва, 2003), Международной конференции «Солнечно-земная физика» (Иркутск, 2004), Научно-практической конференции «Винеровские чтения» (Иркутск, 2004), Всероссийской астрономической конференции ВАК-2004 «Горизонты вселенной» (Москва, 2004) к 250-летию Московского государственного университета им. Ломоносова, Международном 6-м рабочем российско-китайском совещании л «Space Weather», (Qingdao, 2005).
Кроме того, по тематике диссертации сделаны сообщения на конференциях и семинарах ИСЗФ СО РАН.
Публикации.
Основное содержание диссертации опубликовано в 21 научной работе.
Структура и объем диссертации.
Щ Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем диссертационной работы составляет 106 страниц, 20 рисунков. Список литературы включает 84 наименований.
Построение изображений методом компьютерной томографии на радиотелескопах
Объект характеризуется спектром пространственных частот распределения радиояркости. Сигнал проходит через антенный фильтр, который пропускает только часть спектра сигнала из-за ограниченности размеров антенн.
Под объектом подразумевается площадка неба (в нашем случае Солнце), распределение яркостной температуры, по которой f(x,y), является двумерной случайной функцией с практически неограниченным пространственным спектром. В радиоастрономии радиотелескоп играет роль линейного оператора, воздействующего на функцию, описывающую объект исследования.
Основное фундаментальное уравнение «антенного сглаживания» [1]: WKx-x y-y -fix yJdx = g(x,y) + n(x,y), (1.1) -я-д где f(x,y) - истинное распределение радиояркости по объекту; h(x,y) - передаточная функция инструмента, которое в радиоастрономии называется диаграммой направленности телескопа (ДН); g(x y) - наблюдаемое распределение радиояркости; R — радиорадиус Солнца; п(х,у) — аддитивный шум. ССРТ расположен в урочище Бадары (в переводе с бурятского "Сосновый Бор") Тункинской долины Восточной Сибири, в 250 км от Иркутска. Его географические координаты: 5145 северной широты, 102 13 восточной долготы. ССРТ - это крестообразный радиоинтерферометр [2-4], состоящий из двух эквидистантных линейных антенных решеток, ориентированных в направлениях Восток-Запад (EW) и Север-Юг (NS), каждая из которых содержит по 128 антенн с расстоянием между антеннами 4,9 м (рис 1.2).
В настоящее время на инструменте осуществляются наблюдения в двух режимах: двумерном и одномерном. Высокая эффективность метода компьютерной томографии впервые была продемонстрирована в радиоастрономии Брейсуэллом [5]. Создание компьютерных томографов и их применение в биохимии были отмечены
Нобелевскими премиями. Определяющую роль в достижении таких результатов играет разработка новых математических методов, которые бы позволили достичь высокого качества изображения. Этот метод был применен на первом этапе работы ССРТ в одномерном режиме.
Стационарный интерферометр, ориентированный в направлении восток-запад, будет перемещаться таким образом, что вектор его базы будет описывать круг в плоскости перпендикулярной оси вращения Земли. Необходимое заполнение получается, если антенны могут следить за источником в течение 12 часов. Метод синтеза радиоизображения Солнца по одномерным сканам базируется на допущении, что регистрируемый на выходе радиотелескопа сигнал, представляет собой свертку профиля ножевой диаграммы с проекцией наблюдаемого источника (Солнца) на направление сканирования (рисунок 1.3).
Задача заключается в построении двумерного радиоизображения Солнца по известным одномерным проекциям. Метод построения основывается на известной теореме о проекциях и сечениях [6, 7].
Введем понятие проекции. Пусть f(x) обозначает N-мерную функцию и пусть и обозначает новую систему координат, причем х- Ли я А представляет собой ортогональное преобразование. Тогда проекция на гиперплоскость (и1}и2 ,...,1 ,, .+,,..., ) определяется следующим образом: -ко —со ось координат и{, нормальную к гиперплоскости, на которую проецируется f(x) будем называть осью проекции. При N=2 матрица А имеет вид: Г cos# sin# А = -sin0 COS в В этом случае оси координат и,, и2 поворачиваются относительно осей xj, хг на угол в. Теорема о проекциях и сечениях соотносит (N-1) — мерные преобразования Фурье проекций с N - мерным преобразованием Фурье исходной функции. Эта теорема утверждает, что (N-1) -мерное преобразование Фурье проекции представляет собой сечение N -мерного преобразования Фурье функции f{x).
Некорректность задачи восстановления
Откуда видно, что функция g(x) представима в виде суммы бесконечного числа функций диаграмм направленности. Функцию g(x) называют «грязной» картой, а функцию h(x) «грязным» лучом. Из этих соображений вытекает чисто эмпирический алгоритм, связанный с вычитанием «грязного» луча из «грязной» карты, разбиением распределения яркости на отклики от точечных источников, а затем замену каждого из них на отклик «чистого» луча, т.е. диаграммы без боковых лепестков. Основные этапы заключаются в следующем: 1. Находится наиболее яркий элемент изображения а1тв искаженном изображении, т.е. такой элемент, что ajk alm при всех / Ф j и т к; 2. Новое очищенное изображение находится путем операции сложения: 3. Новое искаженное изображение находится с помощью операции вычитания: а1 т - raM 5Х, - - Чт , где г 1; 4. Процедура возвращается к этапу 1, если не выполняется условие а1п1 с при всех /иш; 5. Очищенное изображение свертывается с идеальным лучом h(x), имеющим основной лепесток и сильно уменьшенные боковые лепестки - это по существу «косметическая» операция, применяемая к очищенному изображению с целью получения изображения f(x), наиболее близкого к восстановленному истинному изображению.
Хегбом [15] отметил, что большая часть неба представляется случайным распределением точечных источников при отсутствии фонового излучения, и алгоритм чистки первоначально был разработан именно для такой ситуации. Поэтому для использования процедуры чистки в случае с протяженными структурами возникает проблема, связанная с генерацией ложных структур в виде пятен или гребней. Алгоритм находит максимум в протяженной детали и устраняет компоненту точечного источника. Отрицательные боковые лепестки ДН добавляют новые максимумы, которые выбираются в последующих циклах. Таким образом, точкам вычитаемых компонент свойственна тенденция располагаться через интервалы, равные расстоянию первого бокового лепестка первоначально синтезированной ДН.
Главное достоинство метода — это его простота. Отрицательные качества алгоритма — это малая скорость вычислений и вероятные искажения в виде морщин и «овражной» структуры, которая проявляется на протяженных областях. Стоит отметить, что алгоритм не содержит ясный критерий выбора усиления. Отметим также, что метод не предусматривает экстраполяцию спектра за пределы полосы пропускания.
Метод максимальной энтропии (ММЕ) Принцип работы важного класса алгоритмов восстановления изображения состоит в построении карты, согласующейся в пределах уровня шума с измеренной функцией видности (Фурье - преобразования функции f(x,y)), а выбор результата осуществляется путем максимизации какой- либо меры качества изображения. Из всех таких методов метод максимальной энтропии получил особое признание в радиоастрономии. Пусть Г(х,у)- распределение интенсивности, полученное по методу максимальной энтропии, F(V)-определяемая функция, которая называется энтропией распределения. При построении карты F(I ) максимизируется с учетом того ограничения, что образ Фурье от / должен соответствовать наблюдаемым значениям функции видности. В области формирования астрономических изображений метод ММЕ впервые был применен к оптическим изображениям Фриденом [21].
Алгоритм чистки наиболее широко использовался в течение первого десятилетия после разработки различных методов оптимизации, частично в силу того, что он требует меньшего объема вычислений. Однако метод максимальной энтропии и аналогичные методы оптимизации становятся более конкурентно способными при построении карт с протяженными размытыми деталями, когда алгоритм чистки требует многих вычитаний. К тому же они не вызывают свойственных алгоритму чистки проблем, связанных с внесением ложной структуры в протяженные детали изображения. В радиоастрономии этот метод впервые обсуждался в работах Абеля [23]. Цель этого метода заключается в получении распределения интенсивности, которое согласуется со всеми рассматриваемыми данными и имеет минимальную зависимость от отсутствующих данных. Таким образом, F(I ) должна быть выбрана таким образом, чтобы максимизация позволяла обоснованно использовать априорную информацию, а функции видности в неизмеренных областях присваивались значения, которые сводили бы к минимуму вводимую деталь изображения.
Метод проекций на замкнутые выпуклые множества
Пусть нам необходимо найти неизвестную функцию f как лежащую на м пересечении Е0 = ( \Е( хорошо обусловленных замкнутых выпуклых множеств 1=1 E„i = 1..т с Н, где Н — гильбертово пространство. Пусть Т:Е -» Е:Т = і мРи_,.../ , где Ц - набор проекционных операторов на соответствующие множества. E,,i = 1,.., m. Ясно, что/ неподвижная точка оператора Р0 и всякого оператора 7) =\ + Xt{Pj -1)для произвольного выбора констант релаксации \\\г„ Хт Имеет место следующая теорема [38], которая и дает необходимые и достаточные условия сходимости метода: Теорема 2.1 Пусть EQ не пусто. Тогда для всякого хеНи любого выбора констант Л1,Л2,—іЛт в интервале 0 Я(. 2 последовательность \Гпх\ сходится слабо к точке множества Е0
Вернемся теперь к постановке нашей задачи. Нам необходимо восстановить функцию f(x,y)— функцию радиояркости Солнца:
f(x У) є L 2 (П) квадратично интегрируемых функций на области Q =R2 и обладает следующими свойствами [43,44]:
1. Известно, что значения восстанавливаемой функции за пределами радиорадиуса Солнца должны быть нулевыми, поэтому искомая функция должна принадлежать множеству Ех: Ях,у) = o,p(x,y) R0 ч , ч „ , Л0 — радиорадиус Солнца. g(x,y),p(x,y) R0 Множество таких функций является замкнутым линейным многообразием (ЗЛМ) без внутренности.
2. Функция должна принимать предписанные значения G(u,v) на замкнутой области ZcQ. Область определяется, исходя из неполноты обзора данных радиоизображения, зависящего от заполнения U-V плоскости ДН. Данное множество функций Е2 также является ЗЛМ.
3./(х,у) 0 при х, уєО.. Это ограничение на неотрицательность решения вытекает из соображения о положительности интенсивности. В [45] показано, что данное множество функций Еъ представляет из себя выпуклый конус.
4. Jjl/C y)! dxdy Е = Р1, где р1 — квадрат общего потока п интенсивности, f(x,y)eE3. Данное ограничение справедливо только в случае, когда на Солнце нет быстропротекающих процессов. За величину Е принимаем значение потока невосстановленного радиоизображения. Покажем, что множество таких функций выпукло. Имеем: У[ + (1 - м)/2 II м\\Л +(1- /и)/21 MP+(і - М)Р Покажем замкнутость. Пусть limll/ -/1 = 0 и / = р + є, є 0. Тогда І/, -/і2=ілі2+i/f -2ta./) l/.f+l/f -2ІЛІІІ/ІИІЛІ-МІ)2 2. противоречит условию /д - /jj - 0. Следовательно є= 0 и множество 4 является замкнутым.
5. Множество функций:/( ,у 6-0-10% , где Q — приближенная постоянная величина спокойного Солнца. Это ограничение основано на том, что в радиодиапазоне работы ССРТ (5.2 см) при наблюдениях интенсивности солнечного излучения отсутствует депрессия больше 10% от уровня спокойного Солнца. Множество Е5 замкнуто и ограничено. тт Я/ ч \G(u,v) + n(u,v)-npic(u,v)eZ
6. Пусть G(u,v) = [0 при («, V) Z где л(и,у)-шумвточке (w,v). Введем характеристическую функцию % в виде z = 1 при (и, v) є Z О при («, v) Z Тогда G(u,v)-x-G(u,v), и если F(w,v)-cneKTp незашумленного изображения f(x,y), то Будем рассматривать множество всех функций Е6 Фурье-образы которых S(u,v) удовлетворяют соотношению %S{u,v)-G(x,y) а (2.19) где х — дисперсия шума. Покажем, что это множество выпуклое. Пусть функции fi,f2 удовлетворяют условию (2.19) и пусть0 // 1. Покажем, что /ъ, также удовлетворяет этому условию. %F3 - G\\ = \nxF{ +(1- M)ZF2 - G\\ = \\м(Ж -6) + (1- M)(ZF2 G)\ p{Wx - Щ + (1- V)\xF2 - G\ Ma + (1 - //)0- = a, а следовательно множество E6 выпуклое. Докажем замкнутость этого множества. Пусть последовательность [fn] сходится к f fi+J%y где fx =Re{/},72 = Im{/}. Таким образом, /„-»/, покажем, что / удовлетворяет условию (2.19). Из условия fn - f следует, что Fn- F, поскольку норма является непрерывным отображением, из ZFn(u,v)-G(x,y) а вытекает неравенство %F (щу)-&(х,уЦ сг, следовательно, данное множество является замкнутым и выпуклым.
Алгоритм формирования изображений в двумерном режиме наблюдений ССРТ
В связи с выше сказанным, для создания необходимой плотности отсчетов по вертикали (количество строк) следует использовать несколько прохождений вееров. При формировании карты за ряд прохождений интервал между строками получается неравномерным, что вынуждает в ряде случаев использовать много прохождений, чтобы заполнить все "щели". Длительность наблюдений необходимо увеличивать также для компенсации пробелов, возникающих из-за неисправности каких - либо каналов приемника. Расстояние между соседними строками в полученном кадре не должно превышать А, согласно формуле 3.4. 2. Переход на равномерную сетку при помощи кубических сплайнов.
Задача кубической интерполяции и фильтрации ставится следующим образом [66]. Задается сетка отсчетных узлов скана х;, i=l, 2,...,п. Предполагается, что ХІ х;+1 - приближенные значения функции f(x) в узлах X;; А/, - среднеквадратичная погрешность величин fi; S - параметр, определяющий допустимую погрешность аппроксимации.
В работе [67] показано, что решением этой задачи является кубический сплайн, удовлетворяющий граничным условиям: q \xx) - q "(xx) = q"{xn) = q "(xn) - 0 на отрезке xt X xMt q{x) = af + b; (x - x() + ci (x - xs): + d{ (x - xt )3. Коэффициенты aj,bi,cndi определяются с таким расчетом, чтобы в узлах x qix qXx q X ) были непрерывны. 3 Фильтрация импульсных помех
Медианный фильтр [68] с апертурой А, удаляющий импульсные помехи на изображении \х{.,(/ ,_/) є Z2} определяется как: у У = медиана\хи])= медианщх \(г8) є A\,(i,j) є Z2 где медиана последовательности определяется как средний по значению член ряда, получающегося при упорядочении последовательности по возрастанию.
Вопрос выбора окна медианного фильтра тесно связан с текущим разрешением. Подсчитаем сколько отсчетов приходится на ширину диаграммы, при этом мы будем рассматривать самый крайний случай, когда ширина диаграммы минимальна. N-SD 512-2011 Ss -60 32-60 где N_ размер матрицы по одному из направлений; Ss - размер кадра в минутах; SD ширина диаграммы.
Таким образом, на ДН в среднем приходится 5 10 отсчетов и все импульсы, ширина которых меньше 5 отсчетов могут считаться аппаратурными помехами. Поэтому нами было выбрано окно шириной в 11 отсчетов. 4. Фильтрация мультипликативных помех, позволяющая устранить полосы на карте.
Специфика исследований солнечного излучения обуславливается широким динамическим диапазоном изменения его интенсивности, что предъявляет повышенные требования к характеристикам инструментов, в частности, к точности измерения сигнала. С этой точки зрения опасными видами помех в радиоастрономической аппаратуре являются мультипликативные помехи, связанные с нестабильностью коэффициента передачи приемного тракта [69, 70]. Одним из эффективных методов борьбы с мультипликативными помехами является систематическая калибровка приемника. Если флуктуации усиления носят стационарный характер, то их параметры могут быть измерены при калибровке в начале и конце наблюдения и в выходной сигнал внесены соответствующие поправки. Значительно сложнее обстоят дела, когда флуктуации существенно изменяются за время наблюдений, т.е. являются нестационарными. Очевидно, в таком случае для ограничения влияния мультипликативной помехи необходимо увеличивать число калибровок, либо применять математические фильтры, позволяющие устранять эти помехи. Подобные фильтры рассматривались в работах [71, 72], но они дали неудовлетворительные результаты. На выходе М - канального линейного интерферометра при прохождении источника радиоизлучения через ДН сигнал может быть представлен в виде : Fu = Kt Fu, где і = 1,..,М. Тогда рекурсивный фильтр можно представить в виде:
