Введение к работе
Актуальность темы
Математические модели распределенных механических структур описываются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, которые могут быть решены с помощью аналитических методов только в редких случаях. Использование численных методов сопряжено с большими трудностями из-за «проклятия размерности», высокого порядка дифференциального оператора и нелинейности. Одним из способов разрешить указанную проблему является аппроксимация исходного дифференциального оператора оператором более простого вида.
Среди методов, позволяющих решить эту проблему, можно выделить следующие: методы линеаризации исходных уравнений, методы понижения порядка дифференциального оператора и методы понижения размерности.
Методам линеаризации посвящены работы Баженова В.А., Валишвили Н.В., Вайнберга Д.В., Шалашилина В.И., Паймушина В.Н., Григолюка Э.И., Григоренко Я.М., Морозова Н.Ф., Товстика П.Е., Каюмова Р.А., Карнаухова В.Г., Крысько В.А., Петрова В.В., Grters J., Mescall J., Temple G., Thurston G.A., Weinitschke H.J. и др., в которых линеаризация исходных уравнений производится без понижения порядка дифференциального оператора.
Методы, понижающие порядок дифференциального оператора, описаны в работах Асадова Ф., Буйвола В.М., Воронко В.П., Гринберга Г.А., Крысько В.А., Демьяненко В.И., Кобелькова Г.М., Уздалева А.И., Nowacki W., Kaczkowski Z., Giangreco E., Conway H.D. и Leissa A.W., Nishihara Т. и Tanaka К. и др. Отметим, что в известной литературе приемы, понижающие порядок, не распространяются на решение нелинейных задач.
Поэтому, актуальными являются создание, обоснование и численное исследование итерационного метода линеаризации и дальнейшего понижения порядка, а также доказательства сходимости итерационных процедур. Предлагаемый подход можно использовать как в статических, так и в динамических задачах для областей с прямоугольными и криволинейными границами.
Однако при использовании численных методов для криволинейных границ возникает парадокс Сапонджяна – невозможность аппроксимировать такую границу полигональными контурами. Поэтому актуальным является разработка процедур и подходов для решения данной проблемы.
Использование процедуры сведения исходного оператора к оператору Лапласа позволяет создать достаточно простые алгоритмы для методов конечных и граничных элементов при моделировании нелинейных нестационарных процессов.
Интерес к исследованию нелинейной динамики пространственно-распределенных систем, несмотря на длительную историю, не только не уменьшается, но и в последние годы возрастает, что свидетельствует о фундаментальности и актуальности этой проблемы. Исследованию нелинейной динамики в распределенных механических системах, таких как балки, пластины и оболочки, посвящены работы Немировского Ю.В., Кантора Б.Я., Пикуля В.В., Якупова Н.М., Талонова А.В., Крысько В. А., Коноплева Ю.Г., Баженова В.Г., Крысько А.В., Ерофеева В.И., Бабешко В.А., Марчук М.В., Lepik, U., Awrejcewicz J., Pietraszkiewicz W., Van der Heijden, Cheng Chang-jun, Magnucki K., Wang Xin-zhi и др. Явлением синхронизации колебаний занимались Анищенко В.С., Астахов В.В., Блейхман И.И., Короновский А.А., и др. Несмотря на достигнутые успехи, остаётся достаточно много нерешенных проблем.
К ним относятся: учет влияния на нелинейную динамику различных типов математических моделей механических структур; выявление наиболее общих закономерностей перехода к хаотическим колебаниям; исследование динамических процессов механических структур с учетом различного рода нелинейностей; пространственно-временной хаос и фазовая хаотическая синхронизация.
Поэтому актуальными являются разработка математических моделей нелинейных систем и построение методов, алгоритмов и программ для исследования хаотической динамики таких систем.
Целью диссертационной работы является построение нового метода решения нелинейных, дифференциальных уравнений в частных производных, сочетающего в себе понижение порядка дифференциального оператора и его линеаризацию, создание программных комплексов на основе этого метода, а также математическое и компьютерное моделирование нелинейной динамики распределенных механических конструкций с учетом геометрической и физической нелинейности и контактного взаимодействия.
Для достижения этой цели были решены следующие задачи:
Анализ и оценка применимости известных методов линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Разработка теоретических положений и области применимости нового метода понижения порядка и линеаризации дифференциальных уравнений.
Развитие итерационных вычислительных схем численного решения нелинейных многомерных уравнений статики и динамики.
Построение на основе созданных итерационных методов и алгоритмов комплексов программ для проведения численного исследования математических моделей нелинейной динамики механических структур в виде балок, пластин и оболочек.
Решение на основе разработанных подходов и расчетных схем ряда задач, для изучения новых явлений в нелинейной динамике механических структур в виде балок, пластин и оболочек.
Научная новизна положений, выносимых на защиту.
1. Предложен и обоснован новый эффективный итерационный метод линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, основанный на сведении исходного уравнения к уравнению типа Пуассона на каждом шаге итерационной процедуры. Доказана сходимость предложенных итерационных процедур.
2. На основе предложенного метода разработаны алгоритмы и комплексы программ для различных типов граничных условий и вида областей. Использование предложенного метода позволило ускорить получение численного решения, уменьшить машинную погрешность.
3. Предложена итерационная процедура сведения бигармонического уравнения к уравнению типа Пуассона для областей с криволинейной границей, позволяющая разрешить парадокс Сапонджяна. Доказана сходимость предложенной итерационной процедуры.
4. Построены алгоритмы и разработаны комплексы программ для численного исследования нелинейной динамики балок, математические модели которых построены на основе гипотез Бернулли-Эйлера, С.П. Тимошенко, Шереметьева – Пелеха. Комплексы программ имеют адаптацию к различным видам нелинейности: геометрической, физической и конструктивной. Для программ получены охранные свидетельства.
5. Разработан универсальный программный комплекс для численного исследования и графического представления результатов на основе спектра Фурье, вейвлет спектров (с различными материнскими вейвлетами), сечения Пуанкаре, показателей Ляпунова и автокорреляционной функции, фазового и модального портретов. Для программ получены охранные свидетельства.
7. Получены как классические, так и модифицированные сценарии перехода от гармонических колебаний в хаотические для трех типов математических моделей балок и пластин. Проведены анализ и обобщение сценариев.
8. С помощью вейвлет-анализа впервые изучено явление потери устойчивости балок и пластин при действии поперечной знакопеременной нагрузки, а также замкнутых цилиндрических оболочек при действии радиальной знакопеременной и полосовой знакопеременной нагрузки.
9. На основании эвристического анализа спектра мощности, показателей Ляпунова, автокорреляционной функции построены 56 карт режимов колебаний балок для трех математических моделей, различных типов граничных условий, материалов балки и типов нагрузки, что позволило создать схему диагностики режимов колебаний. Исследовано влияние относительной толщины балки на результаты решения задач статики и динамики.
10. Исследовано динамическое поведение многослойных балок на основе гипотез Бернулли-Эйлера, С.П. Тимошенко, Шереметьева – Пелеха, а также пакетов балок, соединенных между собой только через краевые условия, с учетом трех типов нелинейности. Получены новые эффекты:
а) эффект фазовой хаотической синхронизации как для упругого материала, так и для физически нелинейного материала балок;
б) явление «расслоения» пакета, когда колебания одной из балок после бифуркации происходят вокруг нового положения равновесия;
в) явление «полной синхронизации», т.е. фазовой синхронизации и синхронизации сигналов.
Методы исследования.
Используется общая методология математического моделирования, математический аппарат начально-краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений математической физики, методы нелинейной динамики. Для создания программных комплексов на основе разработанных алгоритмов были использованы системы программирования С++ и FORTRAN.
Теоретическая и практическая значимость.
Разработанный метод решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных может быть применен при компьютерном анализе широкого класса математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных.
Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для анализа пространственно-временной динамики и частотных характеристик механических распределенных структур в проектной и расчетной практике конструкторских и научно-исследовательских организаций строительного, авиа-, судо- и машиностроительного профилей и приборостроения.
Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе при чтении курсов: «Методы линеаризации, понижения порядка и размерности», «Математические методы в нелинейной динамике», «Математическое моделирование динамических систем», «Проблемы хаоса и нелинейности. Синхронизация колебаний» для специальности «Прикладная математика и информатика», а также для других специальностей Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. С использованием полученных результатов издано учебное пособие «Математические модели и методы исследований сложных колебаний неклассических распределенных механических систем».
Методы и программы были внедрены и использованы для проектирования некоторых систем дугогасительных камер в ОАО «Контакт».
Работа выполнялась в рамках госбюджетной темы кафедры «Математика и моделирование» - «Математическое моделирование нелинейных колебаний распределенных систем». Исследования проводились при финансовой поддержке Грантов Министерства образования РФ в рамках целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы на 2009-2011 годы», Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №10-08-91153, №10-08-91332, № 12-08-00569), федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 – 2013 годы, финансируемых за счет средств федерального бюджета, выделяемых по направлению расходов «НИОКР», мероприятию 1.2.1 «Проведение научных исследований научными группами под руководством докторов наук» (контракт № П321).
Достоверность результатов, представленных в диссертационной работе, обеспечивается корректностью применения математического аппарата, доказательством теорем сходимости решения по предложенным методам и алгоритмам, непротиворечивостью фундаментальным положениям методологии анализа нелинейной динамики распределенных механических систем, сравнением с признанными зарубежными и отечественными аналогами в области анализа, практическим использованием материалов диссертации и разработанных программных комплексов. Все основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в ведущих российских (из списка ВАК РФ) и зарубежных журналах и прошли рецензирование.
Апробация работы.
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 11 международных и 22 всероссийских съездах, конференциях, симпозиумах: 9, 10, 11 Conference on Dynamical Systems: Analytical, Numerical Methods, Stability, Bifurcation and Chaos (Lodz, Poland 2007, 2009, 2011); IV Международной конференции в механике неоднородных структур.- (Тернополь.- Украина. 1995); 1-ой Международной научно-практической конференции «Дифференциальные уравнения и применения» (Санкт-Петербург, 1996); XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 1997); 8, 9, 11, 12 межвузовских и 1, 2, 3, 4, 7 всероссийских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1998 – 2011); VIII, IX, X Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике (2001, 2006, 2011); Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ – 2007» (Санкт-Петербург, 2007); Международном семинаре «Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек» (Казань, 2008); International Conference «Chaotic modeling and Simulation»-CHAOS 2009 (Technical University of Creet, Chania, Greece, 2009); 9th SSTA Conference «Shell Structures: Theory and Applications» (Gdask-Jurata, Poland, 2009); 2 Международной конференции «Проблемы нелинейной динамики деформируемого твердого тела» (Казань,2009); VIII Международной научной конференции, «Математические проблемы механики неоднородных структур» (Украина, Львов, 2010).
В законченном виде диссертация докладывалась на научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А. Крысько (Саратов, 2012); на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м. н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2012).
Публикации
Результаты диссертационного исследования опубликованы в 45 печатных работах, из них 1 глава в монографии в издательстве Springer, 20 cтатей в в ведущих иностранных журналах и входящих в «Перечень ведущих рецензируемых журналов ВАК РФ», 1 учебное пособие, а также 10 авторских свидетельств о государственной регистрации программы для ЭВМ.
Личный вклад.
Все основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором. Во всех совместных исследованиях автор принимал участие в выборе направления исследования и формулировки задач. Автору диссертации принадлежит ведущая роль в реализации численных методов и алгоритмов, проведении численных экспериментов и физической интерпретации полученных результатов.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
-
Обоснован теоретически и реализован в виде комплекса программ метод линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для различных типов граничных условий и вида областей, позволяющий ускорить получение решения, уменьшить вычислительную ошибку, решить парадокс Сапонджяна и упростить использование методов конечных и граничных элементов для сложных нелинейных задач.
-
Доказательство сходимости предложенных итерационных процедур.
-
Алгоритмы и комплекс программ для решения задач нелинейной динамики математических моделей балок на основе гипотез Бернулли, С.П. Тимошенко, Пелеха – Шереметьева с учетом трех типов нелинейности (геометрической, физической и конструктивной), а также алгоритмы и комплексы программ для анализа результатов на основе спектра Фурье, вейвлет – спектра, автокорреляционной функции, фазового и модального портретов.
-
Для различных математических моделей однослойных и многослойных балок впервые получен эффект динамической потери устойчивости при действии поперечной знакопеременной нагрузки. Для многослойных пакетов, связанных через краевые условия, это явление характеризуется «расслоением», т.е. балки перестают воздействовать друг на друга.
-
Построенные и проанализированные 56 карт характеров колебаний для трех математических моделей, ряда граничных условий, типов материала и видов нагрузки дают возможность построить схему диагностики режимов колебаний с возможностью предсказания последствий работы балочных структур. Для построения одной карты решено задач и проведено исследование полученных данных с помощью методов нелинейной динамики.
-
Проведенный анализ сценариев перехода к хаотическим колебаниям для трех математических моделей балок позволил найти наиболее общий сценарий, заключающийся в формировании вокруг независимой частоты (или частоты бифуркации удвоения) парных частот, приводящих к зашумлению спектра и появлению хаотических колебаний.
-
Исследование фазовой хаотической синхронизации показали, что зоны синхронизации увеличиваются при смене граничных условий для одной из балок.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 155 наименований. Общий объем диссертации 335 страниц машинописного текста, включающего 126 рисунков, 17 таблиц.
