Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Принципы математического моделирования сферически симметричных заряженных гравитирующих скалярных конфигураций 15
1.1 Метрика, ортонормированный базис, связность и кривизна 15
1.2 Действие и динамические уравнения 19
1.3 Уравнения Эйнштейна-Клейна-Гордона-Максвелла в сферически-симметричном пространстве-времени 21
1.4 Дифференциальные законы сохранения (свернутые тождества Бианки) 25
1.5 Орбитальные движения вблизи гравитирующих скалярных конфигураций 27
1.6 Наблюдение орбитальных движений 32
ГЛАВА 2. Метод обратной задачи в теории гравитирующих скалярных конфигураций с электрическим зарядом . 35
2.1 Прямая и обратная задачи 35
2.1.1 Прямая задача 36
2.1.2 Обратная задача
2.2 Интегральные формулы обратной задачи для статических конфигураций в координатах кривизны 40
2.3 Интегральные формулы обратной задачи в других координатах 42
2.4 Асимптотически плоские конфигурации с классическим скалярным полем 43
2.5 Круговые и последние устойчивые орбиты з
ГЛАВА 3. Математические модели асимптотически плоских конфигураций с классическим скалярным полем 52
3.1 Численное моделирование 53
3.2 Решение общего типа без заряда 56
3.3 Скалярные черные дыры, близкие к регулярным решениям 64
3.4 Заряженные конфигурации 72
3.5 Точечноподобные черные дыры 74
3.6 Изотропные голые сингулярности 76
3.7 Общие замечания о полученных результатах 78
ГЛАВА 4. Математические модели конфигураций с фантом ным скалярным полем 81
4.1 Фантомное скалярное поле 81
4.2 Конфигурации без заряда 85
4.3 Заряженные топологические геоны 89
4.4 Черные дыры и кротовые норы с фантомным полем 93
Заключение 98
Литература
- Уравнения Эйнштейна-Клейна-Гордона-Максвелла в сферически-симметричном пространстве-времени
- Интегральные формулы обратной задачи для статических конфигураций в координатах кривизны
- Скалярные черные дыры, близкие к регулярным решениям
- Заряженные топологические геоны
Введение к работе
Актуальность работы связана с тем, что роль скалярных полей в современной физической картине мира за последние два десятилетия стала общепризнанной. Несмотря на то, что вещественные скалярные поля пока не обнаружены явно в экспериментах, они являются неотъемлемой частью Стандартной модели физики элементарных частиц и ее расширений, а также теории эволюции ранней Вселенной. В настоящее время очень перспективной считается возможность моделирования — на фундаментальном или феноменологическом уровне — галактической темной материи с помощью гравитирующего скалярного поля. Темная материя или не взаимодействует непосредственно с частицами, составляющими обычное вещество, или это взаимодействие имеет сечение ниже достигнутой точности экспериментов. Таким образом, субстанция, образующая темную материю, участвует только в гравитационном взаимодействии. Вследствие нейтральности вещественного скалярного поля при энергиях, достижимых в космических объектах, его взаимодействие с обычным веществом также является чисто гравитационным. Именно поэтому вещественное скалярное поле рассматривается как перспективная основа для описания темной материи. В современной астрофизике фрагментация темной материи вследствие гравитационного притяжения позволяет объяснить механизмы образования галактик, сверхмассивных черных дыр в центрах галактик, а также других гравитирующих объектов, в которых масса темной матери существенно больше массы обычного вещества. Поэтому математическое моделирование скалярных гравитирующих конфигураций с выделением вклада скалярного поля в геометрию пространства-времени является актуальной проблемой, непосредственно связанной с интерпретация наблюдений в современной субгалактической астрономии. С другой стороны, математическое моделирование частице-подобных гравитирующих скалярных конфигураций может способствовать лучшему пониманию роли гравитации и пределах ее применимости в микромире. В отличие от квантовой теории поля, где вклад гравитации в энергию взаимодействия считается пренебрежимо малым или учитывается в рамках теории возмущений, в рассматриваемых моделях нелинейное взаимодействие гравитационного и скалярного полей является необходимым условием существования частицеподобной конфигурации, причем в данной работе этот термин рассматривается в широком смысле: частице-подобными мы считаем не только регулярные солитонные решения, но и скалярные топологические геоны, точечноподобные черные дыры и изо-
тройные голые сингулярности. Возможно также, что систематическое исследование таких решений позволит в рамках классической теории понять некоторые свойства постулируемых скалярных частиц — бозонов Хиггса, инфлатонов ранней Вселенной, аксионов и т.д.
Целью диссертационной работы является математическое моделирование заряженных статических самогравитирующих скалярно-полевых конфигураций со сферической симметрией на основе принципов и уравнений общей теории относительности, а также исследование их свойств и характеристик, которые либо связаны с астрофизическими наблюдениями, либо отражают частицеподобный характер конфигурации. В диссертации подробно рассматриваются только конфигурации с асимптотически-плоской геометрией: во-первых, в перспективе предполагается отождествление конкретных конфигураций с реальными объектами на субгалактических масштабах или в микромире, а во-вторых, как показано ниже, любое решение с асимптотикой (анти) де Ситтера получается из единственного асимптотически - плоского решения добавлением однозначно определенного слагаемого к метрическим функциям.
Задачи, которые решены в диссертации для достижения цели, относятся к прикладным задачам современного математического моделирования и математической физики: развитие метода обратной задачи теории гравитирующих скалярных полей для электрически заряженных конфигураций; развитие методов аналитического и численного решения полной системы уравнений Эйнштейна- Клейна- Гордона- Максвелла; классификация и характеризация решений по геометрическим и топологическим свойствам; развитие аналитических и численных методов изучения параметров круговых орбит вблизи скалярных конфигураций.
Основные методы исследования
В диссертации принципиальным образом использованы следующие методы: метод структурных уравнений Картана для вывода и редукции уравнений Эйнштейна, аналитические методы симметрийного анализа, метод обратной задачи для уравнения Клейна- Гордона с неизвестным потенциалом, метод преобразований для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, методы асимптотического и топологического анализа решений. Для аналитических расчетов используется система символьных вычислений Maple и вычислительная среда Fortran Power Station 6.0 с имеющимися алгоритмами и численными методами решения систем дифференциальных уравнений.
Положения, выносимые на защиту
-
Развитие метода обратной задачи для математического моделирования статических сферически - симметричных гравитирующих скалярных конфигураций,
-
Исследование скалярного поля,
-
Математические модели сферически-симметричной гравитирую-щей скалярной конфигурации с зарядом,
-
Комплекс программ для численного моделирования.
Научная новизна
-
В работе развит метод математического моделирования — метод обратной задачи — для статических сферически - симметричных скалярных конфигураций, заключающийся в получении нового решения уравнения гравитации в виде квадратурных формул для метрических функций и скалярного поля.
-
Построены новые математические модели скалярных конфигураций новыми методами, когда в основе моделей лежат точные решения уравнения гравитационного поля, полученные методом обратной задачи.
-
Показано, что скалярные черные дыры, близкие к регулярным конфигурациям, могут иметь сколь угодно малое значение радиуса горизонта событий (при фиксированной массе).
-
Найдены параметры круговых орбит вблизи нейтральных скалярных конфигураций.
Достоверность и обоснованность полученных результатов
основывается на применении строгих аналитических и численных методов математического моделирования, строгих результатов математического анализа, дифференциальной геометрии и математической физики, а также на проверке принципа соответствия, т. е. на совпадении новых результатов с полученными ранее при предельных переходах к соответствующим значениям параметров.
Теоретическая и практическая значимость полученных результатов включает в себя, во-первых, достижение нового теоретического уровня современных исследований в теории гравитирующего скалярного поля, объединение общетеоретической формулировки проблемы и строгой математической постановки задач. Во-вторых, некоторые частные результаты, такие как общее решение обратной задачи и метод редукции уравнений Эйнштейна для заряженных конфигураций, которые могут быть применены для широкого класса гравитирующих систем физи-
ческих полей, также имеют теоретическое и методологическое значение в математическом моделировании гравитирующих систем. Построенные на основе решения обратной задачи математические модели гравитирующих скалярно - полевых конфигураций, также являются вкладом в астрофизические и теоретико - полевые исследования гравитирующих систем субгалактической астрономии и микромира.
Практическая значимость результатов диссертации заключается в тесной связи рассматриваемых проблем с наблюдениями и экспериментами в современной астрофизике. В частности, полученные результаты могут быть полезны в подготовке наблюдательных экспериментов в области астрономии, а также в интерпретации полученных результатов в рамках российских проектов, ориентированных на поиск экзотических астрофизических объектов в галактиках. Значительная часть результатов диссертации используется в образовательных программах магистратуры по направлению «Математика и компьютерные науки» и аспирантуры по специальности 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных научных конференциях «Синергетика в естественных науках» (ТвГУ, Тверь, 2010), «Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики» (РУДН, Москва, 2010), «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (ТвГУ, Тверь, 2010), «Синергетика в естественных науках» (ТвГУ, Тверь, 2011), на конкурсе научно - исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки (РГСУ, Москва, 2011), а также на научных семинарах математического факультета ТвГУ.
Публикации
Основные результаты диссертации отражены в 8 работах, список которых приведен в конце автореферата. Работы [1] — [3] опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК, а [4] — [8] — в трудах международных и всероссийских конференций.
Структура и объём диссертации
Работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка цитированной литературы, содержащего 87 наименований. Диссертация изложена на 109 страницах, включает 43 рисунка и одну таблицу.
Уравнения Эйнштейна-Клейна-Гордона-Максвелла в сферически-симметричном пространстве-времени
Применим полученные соотношения к уравнениям Эйнштейна (1.13). Левая часть уравнений Эйнштейна представляет собой тензор Эйнштейна G = 7Z—-Sg и поэтому удовлетворяет свернутым тождествам Бианки [48], т.е. законам сохранения вида (1.27), которые в нашем случае имеют вид (1.28) — (1.30). Это значит, что правая часть — тензорное поле энергии-импульса — также должна удовлетворять законам сохранения Тц-%ь9 к = 0, если уравнения Эйнштейна удовлетворяются.
Положим Т = 1Z — gS/2 — 87гТ. Прямыми вычислениями можно проверить, что уравнения (1.28) и (1.29) примут (после умножения на є) вид 20(о)(П / + eVi) = 0 и 20(1)(П0 + єУф) = 0 соответственно. Таким образом, если уравнение Клейна-Гордона удовлетворяется, то соотношения (1.28) и (1.29) являются тождествами, а соотношение (1.30) для уравнений Эйнштейна является тождеством в силу сферической симметрии. Предположим, что уравнения TQO = 0 И ТЦ = 0 , YQI = 0 удовлетворяются. Тогда сумма (1.28) и (1.29) дает тождество, эквивалентное выполнению уравнения Тої = 0. В свою очередь отсюда следует (это видно например из (1.28)), что Т22 + Тзз = 0 или, с учетом (1.30), что Т22 = 0 и Тзз = 0.
Окончательный вывод следующий: в полной системе динамических уравнений (1.22) — (1-26) можно выделить только три независимых уравнения, а именно, уравнения Эйнштейна (1.22) и (1.23), и полевое уравнение Клейна- Гордона (1.26). С формальной точки зрения мы имеем четыре неизвестных функции Л, В, С и ф, однако при решении конкретной задачи мы должны наложить одно калибровочное (координатное) условие на метрические функции, понизив число неизвестных функций до трех.
В данном разделе в форме, удобной для конкретных целей диссертационной работы, изложены общие результаты о круговых и радиальных геодезических в статическом сферически-симметричном пространстве-времени с метрикой (1.1), где метрические функции А , В , С зависят только от г и предполагают наложение дополнительного калибровочного условия, определяющего конкретный выбор радиальной координаты. Движение пробных частиц по геодезическим определяется уравнениями Эйлера-Лагранжа для соответствующего лагранжиана где для времениподобных геодезических аффинный параметр г совпадает с интервалом, а для изотропных выбирается с точностью до положительного коэффициента пропорциональности и с учетом условия dr/dt 0. Важный первый интеграл движения следует непосредственно из условия постоянства лагранжиана вдоль геодезической и имеет вид
Вследствие сферической симметрии можно без потери общности в постановке задачи выбрать начальные условия так, что 6 = 7г/2, d9/dr = О при т — 0. Тогда (д/дв)т=о = 0 и из в — уравнения Эйлера-Лагранжа следует, что dO/dr — 0. Далее считаем, что движение происходит в экваториальной плоскости.
Лагранжиан (1.31) не зависит явно от координат t и р, поэтому соответствующие обобщенные импульсы —dC/d(dt/dr) и —dC/d{d p/dr) сохраняются и дают еще два интеграла движения
Для полноты картины отметим важное обстоятельство: все полученные в этом разделе результаты можно получить непосредственно из решения уравнения для геодезических VVU = 0 или, в компонентах, системы
Для любого значения г эффективный потенциал является монотонно возрастающей функцией удельного момента J, поэтому график Veff{r) смещается вверх при увеличении J. Если существует Jo такое, что при всех J JQ эффективный потенциал имеет минимум (при этом в точке минимума Veff = 0, V"eff 0), а при J JQ минимума нет, то для J = JQ имеем точку перегиба при некотором значении радиальной координаты г, для которого круговая орбита является последней устойчивой орбитой.
Интегральные формулы обратной задачи для статических конфигураций в координатах кривизны
В прямой задаче, для нашего случая, нам известны динамические уравнения для полей и потенциал самодействия для скалярного поля, а найти необходимо конфигурацию, т.е. геометрию пространства-времени (метрические функции) и распределение скалярного поля в статическом случае. В обратной задаче так же известны динамические уравнения, но неизвестен потенциал самодействия поля. Частично задавая распределение поля произвольным образом, находим геометрию пространства-времени и неизвестную физическую характеристику — потенциал самодействия поля.
Итак, поставим прямую задачу, описывающую состояние заряженной гравитирующей скалярной конфигурации, в зависимости от ее внутренних параметров и асимптотики. Запишем метрические функции из (1.1) и соответствующую метрику сферически симметричного пространства-времени в виде где функции а и / зависят только от г. Функцию / = —{dr,dr) будем называть характеристической и ее смысл будет объяснен ниже. Функции г и / инвариантны относительно преобразований вида t,r — т, р, не затрагивающих угловых координат. Штрих здесь и далее будет обозначать производную по г, например
В данной калибровке, соответствующая система независимых уравнений Эйнштейна и динамического уравнения для скалярного поля (1-22), (1.24), (1.26) будет иметь вид
В этой системе уравнений при прямой постановке задачи неизвестными являются метрические функции /, а и скалярное поле ф, а при постановке обратной задачи неизвестной функцией, вместо скалярного поля, считается потенциал V. В любом случае число неизвестных совпадает с числом уравнений. Проведем редукцию полученых уравнений. Для этого умножим (2.2) на г, а затем исключим а /а из (2.4) с помощью уравнения (2.3). В результате получим систему уравнений только для неизвестных функций / и ф.
Таким образом, из полной системы уравнений Эйнштейна выделены два уравнения для определения функций / и ф. Функция а вообще не входит в эти уравнения. В качестве третьего независимого уравнения для функции и удобно взять сумму уравнений (2.2) и (2.3), записав ее в виде
Обратная задача для предыдущего случая ставится следующим образом: для монотонной функции ф(г), взятой произвольным образом, найти функцию /(г) и потенциал У (г) = У(ф(г)). После чего необходимо найти обращенную функцию ф(г) и потенциал У(ф), а также функцию а. В качестве неизвестных функций рассматриваются V(r). f(r) и и. В физической интерпретации требуется найти ограничение на семейство монотонных функций ф, которые допускают требуемую асимптотику для метрики.
Для решения обратной задачи исключим потенциал самодействия У (г) из уравнения (2.3). Для этого выразим У (г) из (2.2), найдем производную dy/dr и подставим эти выражения в уравнение (2.3), предварительно умноженное на ф . Имеем dV(r) = 2V{r) 1 / d/ rd2f
Из общей теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка известно, что зная частное решение соответствующего однородного уравнения, которое для уравнения (2.11) имеет вид можно сразу записать общее решение уравнения в квадратурах. Общее решение будет выглядеть следующим образом:
Итак, формальное решение обратной задачи для исходных уравнений (2.2) — (2.4) найдено. Однако на практике нужно принимать во внимание соответствующие граничные условия (асимптотическое поведение) для метрических функций и, соответственно, регуляризовать интегралы в формулах (2.13) - (2.14). 2.2 Интегральные формулы обратной задачи для статических конфигураций в координатах кривизны
Анализ различных факторов в формулах (2.13) — (2.14) показывает, что интегралы, как правило, расходятся в нуле и на бесконечности. Для того, чтобы получить физически приемлемые решения с плоским или (анти) де Ситтеровским асимптотическим поведением, в дальнейшем предполагаем, что ф(г) является дважды непрерывно дифференцируемой функцией, которая стремится к константе достаточно быстро на пространственной бесконечности.
Эти предположения гарантируют, что У(ф) является непрерывно дифференцируемой функцией и стандартные граничные условия Шварцшильда — деСиттера будут выполнены:
Любое решение системы (2.16) — (2.21) удовлетворяет (2.2) — (2.4) независимо от того, является ли ф(г) непрерывной функцией или нет, что может быть проверено простой подстановкой в уравнения поля (2.2) — (2.4). Эти утверждения позволяют строить точные модели самогравитирующих конфигураций скалярного поля и изучить некоторые их основные свойства. Общий метод получения точных решений из интегральных формул (2.18) — (2.21) обратной задачи заключается в следующем: подставляя в квадратуру (2.20) произвольную кусочно - гладкую и монотонную функцию ф(г) получим метрические функции f(r) и a и найдем потенциал V(r) как функцию радиальной координаты; далее, обращая функцию ф(г) найдем потенциал самодействия У(ф) как функцию поля. Из-за непрерывности, все формулы будут справедливы и для безмассовых скалярных полей с обоими знаками кинетической энергии, в том числе известные решения из работы [57, 58]. Отметим также, что функции , eF и ф однозначно определяют друг друга. Таким образом, с учетом структуры выражений (2.18) — (2.21), часто более удобно выбрать функцию е класса С2на(0,оо), а не функцию поля ф: тогда ф будет находиться путем интегрирования уравнения ф — y/F /r . Взяв любую из функций, мы можем построить полное решение по следующей схеме где левая и правая стрелки означают композицию алгебраических операций с операциями интегрирования и дифференцирования в соответствии с формулами (2.19) — (2.23).
В некоторых случаях, например для описания решений типа топологических геонов или кротовых нор, удобно работать с другими координатами. Введем для этого новые координаты, связанные с ранее используемыми. Новая функция (г) строго монотонна на Ш+ когда = eF, так что выберем как новую радиальную координату, а некоторую монотонную функцию г() как новую точку отсчета, заместо ф(г). Подставляя d = eFdr в метрику (2.1) и формулы (2.18) — (2.21) и используя обозначение Л = fe2F получаем новое важное следствие.
Скалярные черные дыры, близкие к регулярным решениям
Эта функция непрерывно дифференцируема в точке сшивки г = 1, а параметр а используется для того, чтобы обеспечить те необходимые различия в поведении функции, которые отражают интенсивность скалярного поля вблизи центра. Зависимость поведения eF от значения параметра а показаны на Рис. 3.8. Здесь и далее для простоты в качестве единицы длины выбрано значение радиальной координаты точки сшивки.
Как уже отмечено выше, в силу масштабной инвариантности можно записать решение для произвольного масштаба а. тогда точкой сшивки будет точка г = а и соответственно изменятся интервалы гладкости функций. Тот факт, что данная функция является кусочно определенной, с непрерывностью в точке сшивки до производных второго порядка, не является принципиальным и, как и в первом семействе решений общего типа, моти вировано стремлением к аналитической простоте решении и их анализа. гравитации отражены на Рис. 3.8 и Рис. 3.9; полевую функцию ф легко найти непосредственно из формул (3.7). Далее мы не будем подробно исследовать экстремальный случай а = 1, поскольку он не относится к решениям общего типа и требует "тонкой настройки" параметра. Характеристическую функцию / для 0 а 1 находим по формуле (2.18) прямым интегрированием
У регулярной конфигурации все инварианты кривизны принимают конечные значения в центре. Общий вид характеристической функции / для черной дыры показан на Рис. 3.10 слева, а вид функции Q — справа. Для голых сингулярностей характеристическая функция / строго положительна, и расходится в центре, а у регулярных конфигураций она имеет пик вблизи центра, который тем вы 69 ше, чем меньше 1 — а и, соответственно, сильнее вклад скалярного поля в геометрию пространства-времени (см. Рис. 3.11).
Для полноты картины отметим, что если а = 1, то регулярных решений нет и конфигурация при т 3/5 является голой сингулярностью, а при т 3/5 — "экстремальной" черной дырой, в том смысле, что при г — 0 метрические функции вырождаются, 1// = o(rs), fe2F = o(r), а инвариант Кречмана B jkiR1 1 f2/r4 расходится быстрее, чем г-11.
Теперь мы будем рассматривать черные дыры с сильными скалярными полями, когда конфигурация имеет горизонт событий и последнюю устойчивую орбиту, но геометрия пространства-времени вне горизонта событий близка к регулярной конфигурации. На Рис. 3.12 видно, что при указанных значениях параметров (масса близка к За/8, а а к 1) радиусы горизонта событий на четыре порядка меньше, чем соответствующие тем же массам радиусы горизонта для решения Шварцшильда. Кроме того, у характеристической функции вблизи горизонта имеется пик. Вычисления показывают, что значения / в зоне пика и правее пика тем ближе к значению / для регулярной конфигурации с соответствующим значением а = 0.99, чем ближе масса к значению т = За/8 = 0.37125. Качественно это означает, что для черных дыр "близким по параметрам" к регулярным конфигурациям, последняя устойчивая круговая орбита имеет радиус, который по порядку величины не превышает радиус пикового значения характеристической функции.
Более детально зависимость радиуса горизонта событий от массы скалярной черной дыры показана на Рис. 3.13. Если параметр интенсивности скалярного поля а приближается к 1, обеспечивая доминирование скалярного поля как источника гравитации вблизи горизонта событий, то вблизи предельного нижнего значения массы т = 0.375, где обеспечена близость черной дыры (вне горизонта) к регулярной конфигурации, радиус горизон ю12
Указанное свойство устойчивых круговых орбит вблизи скалярных черных дыр, у которых необычная (по сравнению с вакуумными черными дырами той же массы) геометрия пространства-времени вблизи горизонта событий обусловлена доминированием скалярного поля, полностью согласуется с тем фактом, что у регулярных решений и голых сингулярностей нет ISCO, т. е. устойчивые круговые орбиты могут иметь любой, сколь угодно малый, радиус. Особенно важной является принципиальная возможность непосредственной идентификации скалярных черных дыр по малому (по сравнению с шварцшильдовым значением 6т) радиусу аккреционного диска. Для иллюстрации параметры последней устойчивой круговой орбиты для значения а = 0.99 при различных значениях массы конфигурации приведены в Таблице 1.
Общую закономерность для радиусов последней круговой орбиты отражают также графики для эффективного потенциала и удельного момента импульса как функции радиуса круговой орбиты, показанные на Рис. 3.14. Нижний график на левой панели соответствует последней устойчивой круговой орбите, а точка перегиба определяет ее радиус. С другой стороны функция J(r), показанная для черной дыры с массой т = тгед + 2 х Ю-7, где тгед = (3/8) х а — 0.37125. также иллюстрирует существование ISCO. а именно, минимальное значение Jo = 0.69 х 10 5 соответствует последней устойчивой круговой орбите радиуса rISCO = 1.19 х Ю-4.
Заряженные топологические геоны
В данной главе рассматриваются модели с фантомным скалярным полем. В контексте принятого подхода и в рамках используемой терминологии приведена известная классификация возможных решений [60, 29, 27] и на основе интегральных формул метода обратной задачи дана их полная характеризация по типу поведения радиальной метрической функции. Получены частные решения для черных дыр, кротовых нор и топологических геонов. Целью данной главы является развитие методов математического моделирования (а также исследование конкретных математических моделей) статических сферически-симметричных самогравитирующих конфигураций, образованных из фантомного скалярного поля и обладающих, вообще говоря, электрическим зарядом.
На существование фантомных скалярных полей в галактических масштабах и в космологии ранней Вселенной косвенно указывают современные астрономические наблюдения и эксперименты в области физики элементарных частиц. В галактической и субгалактической астрономии поиски экзотических объектов, к которым относятся в первую очередь черные дыры и кротовые норы [47, 74, 75, 76], находятся в стадии интенсивного развития [12, 15, 43, 44, 56]. В космологических исследованиях стадии инфляции экзотические скалярные частицы (инфлатоны), природа которых в настоящее время неизвестна, являются неотъемлемой частью всех жизнеспособных теорий. В частности, широко рассматриваются модели частиц с нетривиальной топологией [77]. Среди них наиболее простыми и естествен 82 ными являются топологические геоны [78, 79, 80], которые могут быть образованы самогравитирующим фантомным скалярным полем с минимальной связью [6, 81], которое описывается слагаемым с отрицательным кинетическим членом в лагранжиане полного действия (1.12).
Основной интерес представляют частицеподобные статические сферически-симметричные решения связанной системы уравнений Эйнштейна и динамического уравнения для скалярного поля с нетривиальной топологией пространственноподобного сечения, ортогонального к времени-подобному полю Киллинга 9j, поскольку в противном случае они содержат голую сингулярность [74]. Единственный известный класс решений [6, 74, 81, 82, 83] содержит топологическую ручку (кротовая нора), связывающую две асимптотически плоские области пространства-времени с топологией R х R3#KP3. Однако интерпретация топологической ручки как частицы вызывает серьезные трудности вследствие невозможности погружения решения в!4и необходимости изначального предположения о многосвязности пространственно-временного многообразия.
Полученное во второй главе решение (2.18) — (2.21) позволяет классифицировать и провести общий анализ фантомных конфигураций с классическим скалярным полем. Специально для случая фантомных полей удобно преобразовать данное решение к виду (4.1) — (4.4), явно учитывающему геометрию и топологию таких конфигураций, как кротовые норы и топологические геоны. А именно, мы запишем решение в виде
В формулах (4.1) — (4.4) любая неотрицательная выпуклая вниз функция г() может быть выбрана в качестве отправной точки вместо полевой функции ф(г) как при получении конкретных решений, так и при общем анализе классов конфигураций. Полевую и метрическую функции можно найти по заданной функции г() прямым интегрированием.
Прямая подстановка асимптотики (4.5) для г() в (2.25) дает следующую формулу для гравитационной массы конфигурации:
Таким образом, с точки зрения удаленного наблюдателя, измеряющего параметры орбит пробных частиц, масса может иметь любое значение, в том числе быть отрицательной или равной нулю. В противоположной области пространства-времени (если она входит в область определения функции г()), т. е. при со, асимптотика метрики и свойства конфигурации определяются аналитическим продолжением решения через горловину кротовой норы или горизонт событий.
Во-вторых, поскольку решение (2.22) — (2.26) инвариантно относительно сдвигов + А, А Є К, то для устранения произвола на функцию r() необходимо наложить дополнительное условие, совместимое с данной инвариантностью. Можно было бы в (4.5) положить 6 = 0, тогда а = Зт, как в формулах (2.18) — (2.21), однако мы сохраним этот произвол и будем фиксировать выбор г() наиболее удобным образом в каждом конкретном случае, учитывая, что функция г() неотрицательна и г« 0 во всей области определения. Если г() имеет минимум г0, то на основании отмеченной выше инвариантности мы без потери общности будем считать = 0 точкой минимума, т. е. г(0) = г0. Аналогично, если г() монотонно возрастает от нулевого значения (г(о) = 0), то будем считать о = 0, так что в этом случае функция г() определена на сегменте [0 ,оо). Наконец, если г() монотонно возрастает от конечного значения г(—оо) 0, так что г — г(—со) + 0 при —) —оо, то будем считать 6 = 0 в асимптотике (4.5), т. е. г + о(1), . Очевидно, что эти возможности, представленные графически на Рис. 4.1, исчерпывают все непродолжимые варианты выбора функции г().
