Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Слабо-диссипативная КАМ, теория почти открытых систем 30
1. Простейшие примеры динамических систем со стохастическими свойствами решений 31
1.1. Критические величины нестационарных процессов 31
1.2. Классическая теория Колмогорова-Арнольда-Мозера 32
1.3. Система Лоренца 34
1.4. Система Хенона-Хейлеса 36
1.5. Пример Хенона 37
1.6. Одномерный пример Фейгенбаума 37
2. Пример слабо-диссипативной версии теории КАМ 37
2.1. Коразмерность вырождения 38
2.2. Динамические системы в дискретном времени 43
2.3. Динамика движений в динамических системах с непрерывным временем 46
3. Теоретические основы вычислительных методов анализа адиабатических инвариантов 47
3.1. Локализация решений уравнения (3.2) 48
3.2. Продолжение усов сепаратрис гиперболических периодических орбит отображения g 51
3.3. Площадь захвата асимптотически (не)устойчивых орбит ...52
3.4. Оценка погрешностей вычислений 54
Выводы 55
Глава 2. Адиабатические инварианты основного отображения 56
1. Адиабатические инварианты дискретной модели 57
1.1. Периодические орбиты 57
1.2. Линеаризация автономных систем в непрерывном времени 60
1.3. Динамические системы с дискретным временем 65
2. Теория и практика численных расчётов 74
2.1. Адиабатические инварианты в дискретном времени 75
2.2. Слабо-диссипативная версия теории КАМ 76
2.3. Анализ модели 81
2.4. Геометрия структур 85
2.5. Компьютерная реализация модели 91
2.6. Требования к программе 91
2.7. Специфические особенности 94
2.8. Арифметические модули 97
2.9. Модули, поддерживающие базу данных 101
3. Термодинамическая интерпретация подходящих адиабатических инвариантов 105
3.1. Диаграммы термодинамических характеристик 105
3.2. Флюктуационный анализ .' 110
3.3. Новое квазиклассическое приближение к квантовой механике 113
Выводы 114
Глава 3. Примеры прикладных задач слабо-диссипативной КАМ 115
1. Труба Ранка 115
1.1. Постановка задачи исследования кинематических характеристик движения газа в трубе Ранка 115
1.2. Обзор методов расчета вихревого эффекта 117
1.3. Кинематика относительного движения в трубе Ранка 119
1.4. Слабо-диссипативная модель движения пробной частицы в трубе Ранка 121
2. Новая природа шума термостимулированной электронной эмиссии со
стержней при циклическом кручении 124
2.1. Экспериментальные данные и модель их описания 124
2.2. Описание динамических структур пластической деформации
металлов и сплавов с помощью частных решений 131
2.3. Новая природа шума в слабо-диссипативной КАМ 136
Вывод ы 140
Заключение 141
Литература 144
Приложения 155
- Классическая теория Колмогорова-Арнольда-Мозера
- Площадь захвата асимптотически (не)устойчивых орбит
- Теория и практика численных расчётов
- Термодинамическая интерпретация подходящих адиабатических инвариантов
Введение к работе
Актуальность темы.
Нелинейные модели математической физики привлекают внимание в последние десятилетия в связи с развитием наукоёмких приложений. В частности, все промышленно развитые страны объявили о развитии национальных программ в области нанотехнологий вплоть до 2018-2020 гг. с впечатляющими объёмами финансирования. В основе такого современного состояния научных исследований, несомненно, находится широкое распространение компьютерных средств, позволяющих развивать изучение задач, трудных для аналитического исследования.
Уместно подчеркнуть, что в области нанотехнологий исследования сосредотачиваются на малых линейных размерах порядка 100-1000 атомов. Физические явления на этом уровне занимают промежуточное положение между подходами классической физики и квантовой или ядерной физики. Особую роль при этом играют коллективные эффекты, возникающие при движении в сплошной среде ансамблей частиц, значительно меньших по отношению к числу Авогадро. При исследовании такого рода ансамблей частиц в сплошной среде наряду с регулярными эффектами наблюдаются и стохастические свойства динамики.
Построение достаточно простых и универсальных моделей регулярной и стохастической динамики на сегодня апеллирует с одной стороны к нелинейным уравнениям в частных или обыкновенных производных и к методам статистической механики, физики с другой. Наряду с этим выбор моделей широко использует понятие «общности положения», возникшее в теории бифуркаций или катастроф.
Исследование получающихся моделей сочетает в себе использование динамики как в непрерывном, так и в дискретном времени, что вызвано как использованием численных методов, так и возможностью понимания свойств динамики с использованием результатов экспериментальной физики.
Уместно отметить монографию1, где описаны качественные результаты по анализу развитой турбулентности с привлечением широкого перечня численных экспериментальных данных, выполненному А.Н. Колмогоровым и повлекшему развитие исследований, впоследствии оформившихся в теорию Колмогорова-Арнольда-Мозера. Для анализа и формулировки выводов работы понадобилось развитие классических методов теории вероятностей и статистики.
Турбулентный режим, возникающий в транспортных процессах газофазных смесей, жидких сред, а так же мелкодисперсных сыпучих
Фриш У. Турбулентность. Наследие А.Н. Колмогорова. Перевод с англ. А.Н. Соболевского под редакцией М.Л. Бланка. М.: ФАЗИС, 1998, XIV 346 с.
веществ представляет большой интерес в связи с разработкой современных новых приборов и наукоёмких производственных технологий. Совершенствование измерительных методов и приборов требует рассмотрения процессов транспорта электронов, фононов, экситонов и дислокаций дефектов в твёрдых телах. Для этого необходимо соответствующие теоретические модели, допускающие цифровую обработку на современных ЭВМ с целью оценки физических и геометрических параметров исследуемых процессов, т.е. необходимы новые подходы и развитие статистических и вероятностных моделей в сочетании с современными представлениями теории динамических систем.
В диссертационной работе представлены результаты исследования в вышеназванных подходах динамики частиц в модели «Bogdanov-map», восходящей к бифуркации Богданова-Такенса на основе систематического численного анализа адиабатических инвариантов динамики, допускающих физическую интерпретацию. В заключение отметим большое количество информации, привлекаемой к анализу динамики: порядка 1000 квазиравновесных состояний транспортируемых частиц ансамблей и порядка 20 физических характеристик, относящихся к квазиравновесному состоянию при фиксированных значениях входных данных модели. Это обуславливает необходимость создания и реализации соответствующих программных комплексов для использования современных мощностей ЭВМ с целью, в частности, исследования изменений свойств модели при различных входных данных.
Цель работы.
Создать аналитическую модель и реализовать программные средства для оценки механических, физических, геометрических и термодинамических параметров вихревых движений разреженных потоков частиц с целью их использования для разработки средств и систем неразру-шающего контроля веществ и материалов с улучшенным характеристиками.
Определить физические свойства квазиравновесных состояний в модели «Bogdanov-map», состояний рассеяния в том числе на основе получения численных значений адиабатических инвариантов динамики, имеющих физическую интерпретацию с использованием методов статистической механики и физики.
1. Постановка задачи математического моделирования. Разработка новых фундаментальных основ исследования динамики пробных частиц в окрестности странного аттрактора на примере ото-
бражения фазовой плоскости на себя, называемого в литературе "Bogda-nov-map", с учётом новых результатов теории динамических систем:
а) развитие методов визуализации стохастических и регулярных
структур в фазовом пространстве с целью вычисления периодических
орбит основного отображения, а также их геометрических характеристик,
и их программная реализация на ЭВМ;
б) разработка фундаментальных основ отбора и методов оценки
временных средних динамической системы на плоскости в дискретном
времени, допускающих интерпретации в рамках понятий математической
физики, статистической в том числе;
в) разработка и обоснование алгоритмов расчёта временных сред
них с помощью адиабатических инвариантов динамики с целью перехода
от микромодели динамики к макропараметрам классической термодина
мики;
г) программная реализация на ЭВМ разработанных алгоритмов с
целью получения численных оценок параметров динамики;
д) связь результатов расчётов с подходящими литературными
данными;
2. Физическая постановка задачи - моделирование движения
пробной частицы в окружающей сплошной среде.
Предполагается, что частица движется свободно (прямолинейно с постоянной скоростью) в течение постоянного пролётного времени At, по истечении которого она перерассеивается с учетом поля внешних сил. Внешние силы представляют собой потенциальную составляющую, отвечающую ангармоническому потенциалу на прямой и слабо-диссипативное аддитивное возмущение, представляющее собой силу трения с коэффициентом трения, являющимся аффинной функцией на прямой. Свободный член аффинной функции отвечает кинематической вязкости, а линейный член может в подходящих случаях интерпретироваться в качестве результата процесса теплообмена частицы с окружающей средой по закону Фурье.
Задача - исследовать физические свойства квазиравновесных состояний динамики пробной частицы (или их ансамблей).
3. Математическая постановка задачи - изучение отображе
ния фазовой плоскости на себя, имеющее вид:
\*я+1 = Хп + Уп+1
[Уп+1 = Уп + к х« (1 - хп)+ (є + Мх„ )уп
где к є (0.4;4.2),,{l ~ 10~5 - параметры отображения, (х , у ) отвечают точке перерассеяния пробной частицы.
Задачей является изучение временных средних величин на фазовом пространстве, имеющих физический смысл, при итерациях отображения.
Результаты эргодической теории динамических систем сводят изучение временных средних к рассмотрению средних вдоль периодических орбит динамической системы в дискретном времени.
Таким образом, мы приходим к необходимости нахождения периодических орбит рассматриваемого отображения, определения их топологического типа и вычисления средних величин вдоль этих периодических орбит. 4. Прикладная постановка задачи.
При анализе движения в сплошной среде волн возбуждения (экситон-ных, фононных, дислокаций дефектов), ударных волн в газовых средах важной задачей является описание механизмов захвата частиц окружающей среды и расчёт физических параметров соответствующих кинетик в транспортных процессах. В частности, можно рассматривать вихревые движения вдоль прямолинейной оси (труба Ранка), вихревые движения вокруг циклически замкнутой оси или движения частиц вдоль плоскости дислокаций в твёрдом теле, струйные течения в жидкости или газе и т.п.
Получить следствия для прикладных задач механики разрушений, развитой турбулентности в вихревых движениях газовых, жидких и мелкодисперсных порошковых сред.
Методы исследования.
Для исследования свойств вихревых движений и самоорганизующихся квазиравновесных структур в турбулентных потоках используется модель движения частиц и их ансамблей с перерассеянием в поле сил ангармонического осциллятора с малыми силами вязкости.
В работе используются методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений для обоснования модели, классификации типов квазиравновесных состояний. Численная реализация метода Ньютона решения нелинейных функциональных уравнений для вычисления статистически значимого набора квазиравновесных состояний динамики в изучаемой модели. Вычисление адиабатических инвариантов квазиравновесных состояний, позволяющих оценивать температуру, давление, число Рейнольдса, коэффициенты теплоёмкости и теплопроводности. Интерпретация численных результатов с помощью методов математической физики.
Научная новизна.
Получены новые важные результаты о физических параметрах квазиравновесных состояний динамики ансамблей частиц при транспорте в окружающей сплошной среде: распределение чисел Рейнольдса, квазистационарные уровни энергии, распределение давлений, теплопроводности и теплоёмкости. Полученные результаты показывают уточнённые новые сценарии перехода к развитой турбулентности, механике микроразрушений на атомном уровне и т.п. и позволяют прогнозировать свойства материалов для создания новых приборов и методов неразрушающе-го контроля объектов исследования, а так же улучшать их характеристики.
Практическая и теоретическая ценность.
В диссертационной работе предложены новые методы оценки физических параметров потоков частиц на основе адиабатических инвариантов динамики в рамках слабо-диссипативной версии теории Колмо-горова-Арнольда-Мозера. Впервые исследовано возмущение сил ангармонического потенциала на прямой силами малой вязкости переменного знака. Результаты доведены до конкретных числовых величин таких физических параметров квазиравновесных состояний динамики как потенциальная энергия, кинетическая энергия, длина свободного пробега, статистики периодов движения, распределение чисел Рейнольдса в зависимости от периода, коэффициентов теплоёмкости и теплопроводности, а также давления. Получены изохоры, изобары, изотермы соответствующих состояний.
По сравнению с предыдущими исследованиями, например эрго-дической теорией, предложены и реализованы на компьютерной базе методы анализа модели, сочетающей как стохастические, так и регулярные составляющие динамики, что определяет направления дальнейшего развития традиционных подходов теории динамических систем, вероятностей, стационарных случайных процессов как в теоретических, так и в компьютерных разработках.
На основе полученных численных данных получены новые механизмы возникновения микроразрушений в твёрдом теле, новые механизмы возникновения и релаксации развитой турбулентности струйных течений в гидро(газо)динамике.
Перечисленные результаты в приложениях позволяют оценивать эффекты нелинейной динамики в самоорганизующихся структурах с оценкой числа частиц в ансамбле. В частности, результаты работы позволяют повышать эффективность дожигания отходов как бытовых, так и
в двигателях внутреннего сгорания; каскадов ожижения газа на основе эффекта Ранка; препятствовать возникновению микроразрушений и микродефектов в используемых материалах.
Положения, выносимые на защиту:
1. Основной результат 1-й главы. Вихревые движения ансамблей частиц
в сплошной среде описываются одномерным движением вблизи оси
вихря. Движение частицы можно предполагать свободным в течение
пролётного времени. Моделирование динамики частицы в окружаю
щей сплошной среде требует рассматривать аддитивные слабо-
диссипативные возмущения гамильтоновых систем, причём возму
щающие добавки могут являться силами возбуждения. В одномерном
случае общего положения простейший пример, проявляющий как
стохастические, так и регулярные свойства самоорганизующихся
структур, даётся отображением Богданова. Отображение Богданова
отвечает динамике уравнения Ньютона с походящей дискретизацией
для учета молекулярно-кинетической теории, лежащей в основе
представлений о строении вещества.
С этой целью:
A) выполнен анализ изученных ранее низкоразмерных моделей
динамики, проявляющих стохастические свойства движений в детер
минированных динамических системах, которые либо имеют малое
число стационарных точек, либо постоянные коэффициенты трения,
в результате обоснована необходимость рассмотрения сил диссипа
ций с переменным знаком для рассмотрения как регулярных, так и
стохастических режимов динамики;
Б) сформулирована связь рассматриваемых в работе динамических систем в непрерывном и дискретном подходе, локальном и глобальном варианте динамики, что позволяет формулировать результаты расчётов адиабатических инвариантов в терминах математической физики;
B) сформулирована задача нахождения периодических решений в
дискретной модели и исследования дискретных инвариантов динами
ки, сочетающей как источники частиц так и стоки, наряду с рассеи
вающими квазистационарными режимами динамики.
2. Основным результатом второй главы является описание зависимости
от периода периодического движения пробной частицы в окружаю
щей среде таких адиабатических инвариантов динамики, как полная,
кинетическая и потенциальная составляющие энергии частицы,
средняя длина пробега, статистический вес квазиравновесных со-
стояний и т.д. В соответствии с топологией периодической орбиты в фазовом пространстве интенсивные адиабатические инварианты показывают «насыщение», т.е. выход на постоянные асимптотические значения; экстенсивные (кумулятивные) показывают линейный рост в зависимости от периода. В результате впервые получено и проанализировано большое количество квазиравновесных состояний (~ 103) и их физико-механических характеристик (~ і о4) с учётом их взаимных зависимостей.
Для получения указанных результатов развиты, обоснованы и программно реализованы:
A) методы расчёта по Ньютону периодических орбит на основе
визуализации стохастических и регулярных структур в фазовом про
странстве с привлечением новых результатов теории динамических
систем;
Б) фундаментальные методы оценки механических, гидродинамических, термодинамических и геометрических характеристик динамики для регулярных и стохастических компонент динамики в дискретном времени: полная энергия, кинетическая составляющая энергии, длина свободного пробега, средний модуль скорости, числа Рейнольдса, давление, температура, объём, коэффициенты теплопроводности и теплоёмкости, центр тяжести, геометрический центр, амплитуда вихревых движений.
B) алгоритмы расчёта временных средних с помощью адиабати
ческих инвариантов динамики с целью перехода микромодели дина
мики к макропараметрам классической термодинамики.
«Хаотическое» поведение решений в области стохастической диффузии Арнольда по прошествии конечного времени может сопровождаться «фокусировкой» в соответствии со статистическим весом состояний «out», что и приводит к самоорганизации устойчивых структур в транспортных процессах. В области периодов порядка 103 -5-Ю4 наблюдается фазовый переход 1-го рода: точка перегиба абсолютной температуры и скачок производной давления. Заселение высоко периодичных состояний обязано падению давления в соответствующих энергетических уровнях состояний «out».
Подробно излагается научная основа разработки алгоритмического и программно-технического обеспечения процессов обработки информации и представления результатов исследований. 3. Основным результатом третьей главы является предложение новых механизмов возникновения микрозон в окружающей среде с физическими параметрами на 2 или 3 порядка выше нормальных парамет-
ров. В качестве параметров здесь фигурируют температура, давление, коэффициенты теплопроводности, теплоёмкости и т.п. Одним из наиболее известных практических примеров указанных явлений является движение газа в трубе Ранка, использованное П.А. Капицей в нижних каскадах установок для ожижения гелия. Для современных технологий полученные оценки параметров позволяют прогнозировать динамические эффекты, позволяющие повышать информационную и метрологическую надёжность приборов и средств контроля в процессе эксплуатации и диагностики приборов контроля. На примере возникновения и развития дефектов при циклическом нагружении металлических стержней получено качественное согласие с возникновением каверн, обязанных повышению температуры, а также микросколов, обязанных понижению температуры, в образце.
В результате предложены новые механизмы возникновения микроразрушений в твёрдом теле.
Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях:
Международный научный симпозиум по проблемам механики деформируемых тел, посвященный 95-летию со дня рождения А.А. Ильюшина. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006г.
IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород, Нижегородский университет им. Н.И. Лобачевского, 2006г.
XXXVI Международная конференция по физике взаимодействия
заряженных частиц с кристаллами. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 30
мая-1 июня 2006г.
Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная памяти И.Г. Петровского. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 21-26 мая 2007г.
XXXVII Международная конференция по физике взаимодействия
заряженных частиц с кристаллами. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 29-
31 мая 2007г.
IV Международная научно-практическая конференция «Энергетические проблемы индустриальных мегаполисов». - М.: МГУ ИЭ, 5-7 июня 2007г.
Международная конференция «Анализ и особенности», посвященная семидесятилетию Владимира Игоревича Арнольда. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 20-24 августа 2007г.
IX Международный симпозиум «Инженерные и технологические исследования для устойчивого развития». - М.: МГУ ИЭ, 21-24 ноября 2007г.
Научная конференция студентов, магистрантов и аспирантов МГУ ИЭ - М.: МГУ ИЭ, 15-18 апреля 2008г.
Международная научно-техническая конференция «Экологические проблемы индустриальных мегаполисов» Донецк-Авдеевка. - Донецк: ДонНТУ, 21-23 мая 2008г.
XXXVIII Международная конференция по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2008г.
Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология», посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина. -М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 17-22 июня 2008г.
Международная конференция «DIFF2008». Суздаль - Владимир, Владимирский государственный университет, 27 июня - 1 июля 2008г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 17 работах, список которых приведён в конце автореферата.
Личный вклад автора в проведении исследований и получении результатов заключается в предложениях по вычислению адиабатических инвариантов в рамках слабо-диссипативной версии теории КАМ, а так же их физико-механических или термодинамических интерпретациях. Наряду с этим также автором предложены подходы сравнения расчётных данных с экспериментальными. С этой целью автором выполнена большая работа по разработке алгоритмов выполняемых расчётов и их программной реализации, а также выполнены необходимые практические вычисления с последующей подготовкой иллюстраций в виде графиков взаимозависимостей адиабатических инвариантов.
Объём и структура диссертации.
Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, приложения, списка литературы. Полный объём диссертации составляет 169 страниц, библиография 140 наименований. Формулы, таблицы, рисунки нумеруются с помощью трёхзначных индексов, где первый индекс - номер главы, второй индекс - номер параграфа в главе, третий индекс - порядковый номер внутри параграфа. Во введении нумерация однозначная сквозная.
Классическая теория Колмогорова-Арнольда-Мозера
Существует классический пример динамики, так называемый гармонический осциллятор, который представлен в большом количестве научных работ, а также излагается в курсах физики. Речь идёт о классическом одномерном уравнении Ньютона Это уравнение обладает очевидным законом сохранения или первым интегралом динамики Точнее Е = const при движении частицы по указанному закону. Следовательно, на кривой Е(х,х) = const на фазовой плоскости {(х,х)} = Е2 полярный угол меняется по закону Этот тривиальный, пример имеет естественное обобщение: прямое произведение гармонических осцилляторов - достаточно в вышеприведённых формулах вставить индекс j: х7,т},у}, где \ j n. Это обобщение не имело бы большого значения, если не следующий хорошо известный специалистам факт линейной алгебры. Пусть хєМ", т.е. конфигурационное пространство и-мерно. Рассмотрим уравнение где потенциал U является положительно определённой квадратичной формой U(x) = (x,Bx), где В матрица (симметрическая) квадратичной формы потенциала U. Тогда в случае общего положения (см. точнее [25]) уравнение распадается в прямое произведение одномерных осцилляторов, где коэффициент Гука у зависит от номера переменной, т.е. законы изменения j -й фазы (р} связаны со своей частотой Естественно, в литературе устоялась терминология у - переменная действия, Pj - переменная угол.
Сама система при этом называется вполне интегрируемой гамильтоновой системой. Уместно заметить при этом, что в вышеизложен ном тексте в качестве Е} можно выбрать произвольные функции на фазовом пространстве, взаимно коммутирующие между собой (подробнее см. [25]). Этот пример не имел бы такого важного значения, если бы не теория малых колебаний упругого твёрдого тела, где этот пример является на сегодня нулевым интегрируемым приближением динамики. Гениальной идеей А.Н. Колмогорова, высказанной и осуществлённой им в 50-е годы ХХ-го столетия, явилось соображение, что вышеописанная динамика является исключительным явлением в теории общих гамильтоновых систем. Здесь слово «гамильтоновых» означает наличие закона сохранения, называемого в приложениях законом сохранения энергии системы. Вполне интегрируемая гамильтонова система в фазовом пространстве чётной размерности допускает наличие п первых интегралов, взаимно коммутирующих между собой. Поверхность уровня каждого интеграла понижает на единицу размерность инвариантной поверхности, на которой лежит траектория частицы. Таким образом, в случае общего положения п первых интегралов определяют п-мерную поверхность в Ш2п, на которой лежит траектория движущейся частицы. На этой поверхности имеется п сопряжённых к первым интегралам координат. Каждая такая координата при изменении на величину периода движения возвращается в исходную точку.
Следовательно, инвариантная поверхность является п-мерным тором. Динамика на таком торе характеризуется набором частот (& ,,..., у„). Эти n-мерные торы, параметризуемые значениями п первых интегралов в инволюции, заполняют область в Е2". Вопрос теории КАМ: что произойдёт в этой ситуации при возмущении общего положения динамической системы в классе всех гамильтоновых систем? Таким образом, основная идея А.Н. Колмогорова заключалась в том, что при возмущении линейной системы гамильтоновой динамики возникают стохастические свойства динамики движущейся частицы. 1.3. Система Лоренца. Система Лоренца (см. [10]) появилась в 1963г., т.е. почти сразу после работ Колмогорова, Арнольда, Мозера, которые появились в 50-е годы. Система Лорен ца представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений или векторное поле в R3: Лоренц получил эту систему, отправляясь от уравнений газодинамики, и исследовал её численно при значениях параметров у 10, г - 28,6 8/3. При указанных значениях параметров система Лоренца помимо точки х = у = z = 0 имеет два стационара. Найдём неподвижные точки системы уравнений Лоренца (1.1.1). Это состояния, не меняющиеся по времени, т.е. производные динамических переменных по времени надо приравнять к нулю. Следовательно, правые части уравнений тоже должны обращаться в нуль. Это даёт три алгебраических уравнения для трёх неизвестных: cr(y-x) = Q, rx — y-xz = 0, -bz + xy = 0. Из первого уравнения имеем у = х, тогда второе переписывается в виде x(r-\-z) = 0 и видно, что есть две возможности х = 0 и z = r-l. Из третьего уравнения получаем для первого случая х = 0, а для второго х = ±л/Ь г = ±у/г-\, так что это решение существует лишь при г 1. Таким образом, при г 1 имеется одно состояние равновесия, расположенное в начале координат, а при г 1 - три состояния равновесия:
Площадь захвата асимптотически (не)устойчивых орбит
В пункте 3.2 мы обсудили сходимость итераций по Ньютону для нахождения гиперболических периодических орбит отображения g. Для асимптотически (не)устойчивых периодических орбит ситуация более очевидная. Существуют точки в фазовом пространстве, итерации которых при п -» +оо или п -» -со сходятся к фокальным периодическим орбитам. Множество таких точек очевидно является открытым на фазовой плоскости. Для приложений большое значение имеет величина площади этого множества. Множество точек, сходящихся при и-»+со или п- -со к асимптотически (не)устойчивым периодическим орбитам, имеет достаточно сложную топологическую структуру в фазовом пространстве. Уместно отметить, что А.Пуанкаре, Л.Больцман в конце IXX столетия избегали иллюстраций этих множеств. На сегодня компьютерные вычисления и их визуализация позволяют иллюстрировать вышеуказанные множества. К сожалению, визуализация проявляет фрактальные свойства этих множеств. Это служит основанием расчёта площадей областей захвата с точностью порядка 30-50%, т.е. по порядку величины. Численные расчёты (см. [41]) показывают, что при є,р ю-$ отображение (1.2.6) может иметь до 103 периодических орбит, причём период меняется в пределах 1-Ю8. В частности, в [41] приведены результаты расчетов для значений параметров, указанных в таблице 1.3.1. Здесь h - безразмерный шаг дискретизации:?!2 = /с. В столбце xQ = — є/ju приведено значение абсциссы нуля «коэффициента трения» f(oc). При f(x) 0 мы имеем диссипацию энергии пробной частицы, а f(x) 0 отвечает возбуждению динамики. Параметры є, /и, к выбирались из соображений охватить все случаи маленьких значений макросимметрии динамики (1.2.6).
Здесь слово макросимметрия означает наличие периодической орбиты с соответствующим периодом и максимальной площадью бассейна притяжения орбиты, т.е. статистическим весом. На рис. 1.3.3 представлена иллюстрация макросимметрии порядка 4. По горизонтальной оси меняется координата х: -0/5 а; 1; по вертикальной оси координата у : -0/5 у 0.5. На рис. 1.3.4 показана в увеличенном масштабе окрестность одной точки из двух периодических орбит порядка п = 462. Видно, что окрестность одной периодической орбиты «одета» 4 «лепестками», а другой 5 «лепестками». Несложно оценить размер этой окрестности. Площадь области захвата всей периодической орбиты складывается из приблизительно равных по площади (так какє,ju «: 1) 462 частей. Площадь одной части оценивается как пг2. Поэтому Другими словами размеры «лепестка» в нашей нормировке порядка 1СГ2. Таким образом, для периодических орбит с порядком 10 мы имеем размеры структур (асимптотически (не)устойчивых) порядка 10"8-Н0"9. Анализ адиабатических инвариантов вдоль периодических орбит таких как: средняя энергия, средняя длина пробега и т.д. разбивает периодические орбиты на группы (кортежи), в которых адиабатические инварианты ведут себя систематическим образом (например, «насыщаются» к постоянной величине с ростом периода). Систематическое поведение адиабатических инвариантов обязано топологии расположения в фазовом пространстве периодических орбит кортежа (см. иллюстрации). Результаты, излагаемые ниже по тексту, вызывают естественный вопрос: по мере увеличения разрешения периодические орбиты в своей окрестности в фазовом пространстве обнаруживают новые периодические орбиты с большей величиной периода.
Спрашивается, как можно анализировать динамику дискретной системы в таких предположениях. Ответ на последний вопрос заключается в апелляции к адиабатическим инвариантам дискретной динамической системы, определяемой отображением g. С момента возникновения статистической механики, затем статистической физики, известно, что средние по времени динамических характеристик отражают макросвойства движения, важные для приложений. Именно это соображение лежит в основе излагаемых исследований, т.к. макрохарактеристики динамики движения подвержены малым возмущениям, обусловленным мелкомасштабными структурами, отвечающими высокопериодичным орбитам отображения g. Вычисления на существующих PC обычно допускают мантиссу в 64 бита или порядка 17 десятичных знаков в нормализованной форме. В излагаемых ниже расчётах при вычислении периодических орбит с периодом 108 визуализация вычисленных областей захвата показывает размеры структур в фазовом пространстве порядка 10 7 4-Ю"9. Другими словами вычисления, лежащие в основе работы выполнены с запасом приблизительно половины доступной мантиссы. Уместно подчеркнуть, что ряд физических величин, как правило, относительных, имеют точность выше исходных данных, по которым они рассчитываются. Известный пример заключён в оценках скорости света, постоянной Больц-мана, отправляясь от подходящих экспериментальных данных. Выводы. Моделирование динамики частицы в окружающей сплошной среде требует рассматривать слабо-диссипативные возмущения гамильтоновых систем, причём добавки могут являться силами возбуждения. В одномерном случае простейший пример даётся отображением Богданова. систем (см. [14],[16],[20-23],[25],[27],[33],[66]). Исторически слова «динамические системы» здесь означают интегрируемые динамические системы в непрерывном времени. Связано это, естественно, с развитием дифференциального и интегрального исчисления в конце XVII столетия в работах Ньютона и т.д. (см. [112]).
Знаменитые флюксии Ньютона ведут к понятию мгновенной скорости, то есть к теории векторных полей. Однако, уравнения Ньютона, связывающие кинематику движения частицы с действующей силой, являются дифференциальными уравнениями второго порядка, т.е. содержат мгновенное ускорение. К концу XIX столетия становится понятно, что основная идея Ньютона: составить уравнение Ньютона; проинтегрировать его и затем получить все свойства движения - неосуществима. Функции, осуществляющие интегрирование, должны обладать столь экзотическими свойствами, что их невозможно представить на бумаге с помощью конечного набора символов. Осознание этого факта продолжилось до второй половины XX столетия и продолжается сегодня. Поэтому в середине XX столетия интересно концентрируется, в частности, на приближённых методах интегрирования динамических систем. Ключевым понятием является понятия адиабатического инварианта: величины, мало меняющейся с течением времени, как в непрерывном, так и в дискретном. Слова «мало меняющийся» можно уточнять различными способами, поэтому на сегодня известен большой ряд приёмов определения возмущений и их приближённого решения (см. [25],[27],[31],[33],[137]). Наиболее восхитительной идеей являлась гипотеза эргодичности, которая превалировала в первой половине XX века в связи с изучением броуновского движения и т.п. Конечно, школа Хинчина, Колмогорова в России сыграла ведущую роль в становлении этих методов (см. [27],[91],[122]).
Теория и практика численных расчётов
Здесь излагаются методы и результаты численного анализа адиабатических инвариантов динамики и связанных с ними физико-механических величин. Величины, привлечённые к анализу: - Интенсивные (не зависят от периода N при N -» о (насыщаются): 1) Полная энергия невозмущённой системы в непрерывном времени 2) Кинетическая и потенциальная составляющие для периодической орбиты квадрата скорости, потенциальной энергии 3) Длина пробега 4) Центр тяжести периодической орбиты х 5) Дисперсия этих величин вдоль периодических орбит - Кумулятивные (с ростом периода обнаруживают линейную зависимость от периода) 1) Средний якобиан вдоль периодической орбиты e,ju \0 5, поэтому якобиан 1. В расчётах от менялся от 0.9 до 1.1. Определение адиабатических инвариантов - величины, медленно меняющиеся с течением времени: Пусть F(x),xeR2 - функция на фазовом пространстве.
Тогда определено временное среднее вдоль орбиты динамической системы в дискретном времени: Пусть х0 - точка периодической орбиты с периодом N, тогда: если п = kN, то Для точек х х0, но таких, что g" (х) -» gJ (х0) временное среднее для точки х сходится к временному среднему вдоль периодической орбиты при X -» х0, то есть меняется мало по происшествии релаксационного времени. Таким образом, временные средние в зависимости от начальной точки х0 в фазовом пространстве обнаруживают различные тенденции: Если х0 є бассейну притяжения периодической орбиты (асимптотически устойчивой) периода N, то временное среднее сходится при п - со к соответствующему среднему вдоль периодической орбиты. Бассейн притяжения вдоль периодической орбиты — открытое множество. Для различных периодических асимптотически-устойчивых орбит бассейны притяжения не пересекаются. Т.о. мы получаем систему открытых подмножеств фазового пространства, на которых временные средние сходятся к соответствующим средним значениям вдоль периодической орбиты. 2.2. Слабо-диссипативная версия теории КАМ. В 1930-е г.г. по инициативе Хинчина (учитель Колмогорова) развивалась эргодическая теория в рамках гамильтоновой механики (см. [27],[73],[122]). Суть заключается в вычислении асимптотики временных средних с помощью интегралов по изоэнергетическим поверхностям в фазовом пространстве. Простейший пример даётся одномерным гармоническим осциллятором: Обобщение этого факта и составляет суть эргодической теории. Ситуация изменилась с появлением классической КАМ (1952-1954 г.г.). Слабо-диссипативная версия теории Колмогорова-Арнольда-Мозера заключается в изучении динамики систем, являющихся слабо-диссипативным возмущением гамильтоновых систем. В этом подходе в фазовом пространстве сочетаются как регулярные (асимптотически (не) устойчивые периодические движения) так и стохастические (паутина Арнольда) свойства динамики. Компьютерные расчеты при этом значительно упрощаются для регулярной динамики, что позволяет проводить оценку физических параметров для стохастических компонент.
В статье излагается простейший пример указанного подхода. Развитие компьютерных исследований в конце ХХ-го столетия и по настоящее время позволяет по-новому взглянуть на результаты классических исследований предыдущих столетий. Наиболее интригующими являются исследования Больцмана, Планка, Колмогорова и т.д. Речь идет об исследовании динамики больших ансамблей частиц. Вплоть до настоящего времени систематические исследования свойств такой динамики далеки от завершения. В 1950-х годах А.Н. Колмогоров, отправляясь от динамики ансамблей частиц (порядка числа Авагадро), предложил классическую ныне теорию Кол-могорова-Арнольда-Мозера (КАМ): изучение динамических систем, являющихся малым возмущением вполне интегрируемых гамильтоновых систем в классе всех гамильтоновых систем. В результате появилось понятие «странного аттрактора», повлекшее изучение «хаотической динамики» в детерминированных динамических системах. В конце ХХ-го столетия стало ясно, что при возмущении вполне интегрируемых гамильтоновых систем в классе всех динамических систем (слабо-диссипативная версия теории КАМ) появляется новая возможность описания динамики ансамблей частиц вблизи странного аттрактора. Динамика ансамблей частиц на странном аттракторе характеризуется экспоненциальным «разбеганием» точек в фазовом пространстве. Оказывается в сла-бо-диссипативной версии теории КАМ появляются в большом количестве экспоненциально «фокусирующиеся» состояния (как источники при t - -да, так и стоки при t - +00). Области фокусировки в фазовом пространстве уменьшаются по мере приближения к участкам фазового пространства, где реализуется динамика ансамблей частиц странного аттрактора. Ниже мы приводим одну из простейших моделей с вышеуказанной динамикой, а также результаты численного исследования адиабатических инвариантов, позволяющие качественно по нять свойства возникающих в этом подходе структур с помощью идей и конструкций математической физики. Трудности численного исследования и анализа полученных при этом ре зультатов обуславливаются тем фактом, что с ростом периода «области захва та» асимптотически (не) устойчивых периодических орбит экспоненциально уменьшаются с ростом периода. Традиционные сеточные методы в этом случае нуждаются в процедурах построения динамических сеток, но структуры регу лярной динамики неизбежно провалятся сквозь сетку с ростом периода.
Стати стические методы расчетов должны учитывать эспоненциально затухающие с ростом периода статистики. Большие объемы количественной информации, ха рактеризующей периодические орбиты (в нашем случае 103 орбит) представ ляют свои очевидные трудности их анализа ввиду громозкости необходимых вычислений. Возможно, указанные причины проясняют длительный период становления исследований стохастической динамики на интуитивном уровне (пол столетия с момента появления примера Лоренца, столетия с лишним с по- f явления работ Больцмана по молекулярной классической теории). " Основные результаты, излагаемые в статье, можно интерпретировать несколькими способами, имея в виду различные приложения в классической механике, квантовой механике, гидро (газо) динамике и т.д. В 90-х годах прошлого столетия В.П. Маслов отметил, что критический анализ работ Больцмана показывает пробел в его рассуждениях: при анализе акта рассеяния пучка частиц на мишени предполагается некоторое распределение по прицельному параметру, что используется для вывода уравнений кинетики с интегральным столкно-вительным добавком. К сожалению, отсутствуют соображения о восстановлении исходных посылок анализа при последующих актах столкновений. Пример, излагаемый ниже, показывает, что ситуация здесь не тривиальная и различные механизмы актов рассеяния ведут к различным асимптотически устойчивым квазиравновесным состояниям, отличающимся от равномерных распределений. С физической точки зрения мы изучаем динамику пробной частицы в поле сил ангармонического потенциала со слабо-диссипативным возмущением в
Термодинамическая интерпретация подходящих адиабатических инвариантов
Периодическая орбита (2.1.1) имеет в общем положении определенный топологический тип: асимптотически (не)устойчивый фокус, гиперболическая орбита. Асимптотически (не)устойчивым периодическим орбитам отвечает область (отталкивания) притяжения на фазовой плоскости: множество точек итерации которых сходятся к периодической орбите при (п - -да) п -» +оо. В литературе эти множества называют бассейнами притяжения-(соответственно при t - -оо или t - +оо).
Бассейн притяжения периодической орбиты с периодом п разбивается на п подмножеств приблизительно равной площади, так как якобиан отображения g близок к единице. Если через S(n) обозначить площадь одной из п компонент бассейна притяжения, то мы получаем возможность вычислить абсолютную температуру, отвечающую частицам в окрестности периодической орбиты, в соответствии с распределением Больцмана-Гиббса где к - постоянная Больцмана, п - период орбиты, Т - абсолютная температура, Е - средняя энергия вдоль орбиты. На рис. 2.3.1 мы приводим средние значения энергии по вертикальной оси в зависимости от периода орбиты. Пользуясь подходящими значениями средней энергии, мы разбиваем периодические орбиты на группы. Для расчета температуры мы используем условные вероятности состояний, где условием выступает принадлежность к группе. На рис. 2.3.2 приведены рассчитанные температуры в зависимости от периода. В области периодов периодических орбит порядка 1.5 105 на рис. 2.3.2 видно, что график температур обнаруживает излом, что указывает на фазовый переход 1-го рода при ненулевой температуре в рассматриваемой модели. Сочетание свойств стохастических и регулярных режимов кинетики на сегодня является актуальной задачей, восходящей к основополагающим работам Л. Больцмана.
Появление классической теории КАМ и последующие работы Лоренца, Фейгенбаума привели к излагаемой ниже новой модели, которая на сегодня является наиболее изученным примером слабо-диссипативной теории КАМ. Одно из основных достоинств этой теории является более естественное по сравнению с Гамильтоновым формализмом определение температуры, давления, чисел Рейнольдса, коэффициентов теплоемкости и теплопроводности. По сравнению с классическими моделями здесь появляется возможность изучения переходных нестационарных процессов, связанных с механизмами самоорганизации квазиравновесных состояний динамики. Модель основного отображения (1.2.6) с учётом непрерывной модели позволяет оценить численно две важные характеристики динамики - коэффициенты теплопроводности и теплоемкости ансамбля частиц. Коэффициент трения пропорционален коэффициенту теплопроводности газовой среды (см. [49],[52]). В качестве оценки коэффициента теплопроводности в ансамбле мы используем средний коэффициент трения вдоль периодиче ской орбиты. С учетом термодинамики процессов сжатия или расширения (состояние "in" или "out") средний коэффициент вязкости мы показываем отрицательной или положительной величиной (для состояний " in " или "out"). Коэффициент теплопроводности позволяет вычислить коэффициент теплоемкости соответствующих ансамблей частиц с помощью соотношения (см. [49],[52]) ктеллоемкоспи fc„npoooa„/N ё, где \Ц, ё - средние величины вдоль периодической орбиты модуля скорости, длины пробега пробной частицы. На рис. 2.3.7, 2.3.8, 2.3.9 приведены графические иллюстрации зависимостей вышеописанных величин. Отметим, что на рис. 2.3.8, 2.3.9 мы связываем поведение среднеквадратичного отклонения коэффициента теплопроводности в зависимости от геометрических характеристик струйных течений. Так на рис. 2.3.8 по оси Ох откладываются «центр тяжести» периодической орбиты, т.е. среднее значение вдоль периодической орбиты положений частицы в яме ангармонического потенциала потенциальных сил. Соответственно, на рис. 2.3.9 по оси Ох откладываются амплитуда периодического движения, т.е. половина разности максимального и минимального удаления пробной частицы от дна ямы ангармонического потенциала.
