Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Континуальная теория биполяронов 8
1.1. Двухцентровый биполярон 19
1.2. Электронные корреляции в теории F'-центра и биполярона Пекара 21
1.3. Энергетический спектр одноцентровых двухэлектронных систем (биполярон, F1 и D~-центры) при произвольной величине электрон-фононного взаимодействия 23
1.4. Метод интегрирования по траекториям в применении к биполяронной задаче 30
1.5. Биполяроны и сверхпроводимость в анизотропных квазидву- и квазиодномерных кристаллах 35
1.6. Эффективная масса биполярона 43
ГЛАВА 2. Двухэлектронные системы в кристаллах с сильным электрон-фононным взаимодействием 46
2.1. Исходные уравнения 46
2.2. Каноническое преобразование гамильтониана Фрелиха для сильного электрон-фононного взаимодействия 48
2.3. Получение аналитических выражений для функционала двухэлектронных систем в полярных кристаллах 51
2.4. Корреляционные эффекты и пространственная конфигурация биполярона 53
2.4.1. Синглетный биполярон 53
2.4.2. Триплетный биполярон 61
ГЛАВА 3. Двухэлектронные системы в кристаллах с произвольным электрон-фононным взаимодействием 62
3.1. Исходные уравнения 62
3.2. Каноническое преобразование гамильтониана Фрелиха для произвольного электрон-фононного взаимодействия 63
3.3. Биполярон в кристаллах с промежуточной величиной электрон-фононного взаимодействия 67
ГЛАВА 4. Реализация программного комплекса для расчета энергии автолокал изо ванных одно- и двухэлектронных состояний 73
4.1 Методы минимизации функций многих переменных 77
4.1.1. Метод покоординатного спуска и метод Хука-Дживса 77
4.1.2. Градиентный метод и метод Флетчера-Ривса 80
4.1.3. Метод случайного поиска 82
4.2 Аналитические формулы 83
4.2.1. F-центр 83
4.2.2. Одноцентровая конфигурация, в -центр (связанный биполярон) 84
4.2.3. Двухцентровая конфигурация. F2 -центр (связанный двухцентровый биполярон) 86
4.2.4. Произвольная связь 89
Заключение 90
Литература 91
- Энергетический спектр одноцентровых двухэлектронных систем (биполярон, F1 и D~-центры) при произвольной величине электрон-фононного взаимодействия
- Каноническое преобразование гамильтониана Фрелиха для сильного электрон-фононного взаимодействия
- Каноническое преобразование гамильтониана Фрелиха для произвольного электрон-фононного взаимодействия
- Одноцентровая конфигурация, в -центр (связанный биполярон)
Введение к работе
Представляемая диссертация посвящена актуальной проблеме -разработке алгоритмов и программного обеспечения для численного исследования автол окал изованных электронных состояний: поляронов и
биполяронов в ионных кристаллах, D' -центров в ковалентних кристаллах и смешанных кристаллах.
Интерес к биполяронам вырос в связи с экспериментальными доказательствами их существования в ряде кристаллов, а также с развитием представлений о биполяронном механизме высокотемпературной сверхпроводимости.
D~ -центры и подобные им системы стали активно изучаться в связи с развитием нанотехнологий и принципиальной возможностью создания квантовых компьютеров на электронном спиновом резонансе и, в частности, в структурах Ge-Si.
Целью диссертационной работы является
Найти пробную волновую функцию наиболее общего вида для минимизации энергии двухцентровой двухэлектронной системы, взаимодействующей с фононами. Волновая функция должна позволить провести интегрирование по электронным координатам в аналитическом виде и учитывать электронные корреляции.
Разработать программу для расчета энергии автолокализованных одно- и двухэлектронных состояний в рамках метода Буймистрова-Пекара в случае сильной и произвольной связи с фононами, предусматривающую условную минимизацию функций многих переменных различными методами.
Рассчитать энергии синглетных и триплетных термов свободных и связанных биполяронов (одноцентровые и двухцентровые конфигурации) в кристаллах с ионной и ковалентной связью с учетом корреляционных эффектов (прямой зависимости волновой функции системы от расстояния между электронами) для произвольной величины электрон-фононного взаимодействия.
Построить зависимости энергии системы (синглетные и триплетные термы), состоящей из двух поляронов от расстояния между центрами поляризационных ям с учетом электронных корреляций. Определить какой из биполяронов - одноцентровый или двухцентровый, энергетически наиболее выгоден.
Все результаты, изложенные в оригинальной части диссертации, получены впервые.
Практическая ценность. Разработанный программный комплекс «Extreman» установлен в Институте математических проблем биологии РАН (г. Пущино), а также в Институте физики полупроводников НАН Украины (г. Киев), где использовался с.н.с, к.ф.-м.н. Кашириной Н.И. и чл.-к. НАН Украины, проф., д.ф.-м.н. Шейнкманом М.К. для проведения вычислительных экспериментов в области физики твердого тела.
С помощью созданного программного комплекса получен ряд результатов, имеющих самостоятельный физический интерес. При этом разработанные алгоритмы и программное обеспечение имеют самостоятельную ценность и могут применяться для решения других актуальных задач.
В частности, в настоящее время с использованием разработанного программного обеспечения проводится изучение поляронных эффектов в двухэлектронных системах в анизотропных кристаллах и структурах с пониженной размерностью.
Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на научных семинарах Института математических проблем биологии РАН (Пущино), семинарах Теоретического отдела Института физики полупроводников НАН Украины (Киев), Международной конференции по физике электронных материалов (Калуга, 2002), V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна), I Украинской конференции по физике полупроводников (с международным участием) (Одесса), I Всероссийской конференции «Спектральные методы обработки информации в научных исследованиях» (Пущино).
Публикации. По результатам диссертации опубликовано 10 работ, из которых 2 статьи в российских научных журналах (Физика твердого тела; Физика и техника полупроводников), 2 статьи в международном научном журнале Physica Status Solid! (b), и 2 статьи в международном научном журнале Semiconductor Physics, Quantum Electronics & Optoelectronics.
Структура и содержание работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 100 страниц, 18 рисунков, 5 таблиц и список цитируемой литературы, включающий 100 наименований.
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели работы, указывается новизна и практическая значимость полученных результатов. Описывается структура диссертации и ее краткое содержание по главам.
Первая глава посвящена обзору исторических аспектов и современного состояния проблемы свободного и связанного
биполярона. Приводятся результаты, полученные многочисленными научными группами по данной проблеме. Обсуждается связь данной задачи с высокотемпературной сверхпроводимостью и перспективы развития данного направления теоретической физики.
Во второй главе рассматриваются двухэлектронные системы с сильным электрон-фононным взаимодействием. Рассчитана энергия биполярона большого радиуса для различных расстояний между центрами поляризационных ям. При этом одновременно учтены электронные корреляции и перестановочная симметрия двухэлектрон-ной волновой функции.
В третьей главе для произвольной величины электрон-фононного взаимодействия получены наиболее низкие значения энергии основного состояния свободного биполярона и D' -центра по сравнению с другими методами, использующими прямое варьирование волновой функции.
В четвертой главе дано описание программного комплекса «Extreman», разработанного для численного анализа рассматриваемых в диссертации задач. В первом разделе описываются заложенные методы условной минимизации функций многих переменных, во втором -аналитические формулы, полученные для расчета энергии автол окал изованных электронных состояний.
Автор выражает благодарность за помощь в работе и поддержку своему научному руководителю д.ф.-м.н. В.Д. Лахно и сотруднице Института физики полупроводников НАН Украины к.ф.-м.н. Н.И. Кашириной.
Энергетический спектр одноцентровых двухэлектронных систем (биполярон, F1 и D~-центры) при произвольной величине электрон-фононного взаимодействия
Простейшими аналогами двухэлектронных систем в физике твердого тела являются мелкие двухзарядные примесные центры в полупроводниках, такие как двухзарядные одноцентровые образования (Г -центры в ковалентных и смешанных кристаллах и Fy -центры в ионных кристаллах) и обменно-связанные пары парамагнитных центров.
Переход от одноцентровой конфигурации (атом гелия, отрицательный ион водорода) к двухцентровой (молекула водорода) иллюстрирует переход к качественно новой системе, характеризующейся появлением колебательного спектра, связанного с колебаниями ядер вблизи положения равновесия. В твердом теле электронная подсистема взаимодействует с фононным полем кристалла и другими типами элементарных возбуждений кристаллической решетки. Последнее приводит к ряду особенностей в энергетическом спектре электронной подсистемы. Эффекты, связанные с изменением энергетического спектра свободного электрона и одноэлектронных систем под действием электрон-фононного взаимодействия, принято называть поляронными. Аналогичные эффекты появляются и в многоэлектронной системе. Обменно-связанная пара парамагнитных центров представляет собой наиболее общий вид двухэлектронной системы в кристалле, более простые одноцентровые системы могут быть получены как частный случай в результате очевидных предельных переходов 7? — 0, где R - расстояние между парамагнитными центрами (взаимодействие положительно заряженных ядер, как правило, исключается из рассмотрения). Для обменно-связанной пары в кристалле различие в энергетических сдвигах триплетного и синглетного термов приводит к появлению дополнительного вклада в обменное взаимодействие парамагнитных центров. Данное изменение можно трактовать, как поляронный эффект в обменное взаимодействие парамагнитных центров.
Два парамагнитных центра в кристалле, взаимодействующих между собой, можно представить в виде молекулы водорода, помещенной в фононное поле. Впервые поляронные эффекты {континуальное приближение) в подобных системах рассматривались в работах киевской школы физиков [1,2].
Модель F2 -центра послужила первоосновой для построения теории биполяронов большого радиуса. Именно в рамках модели двухцентрового биполярона, пробная волновая функция которого строилась в полной аналогии с волновой функцией молекулы F , впервые была показана принципиальная возможность образования биполярона большого радиуса. Учет электронных корреляций (здесь и далее данным термином определяем прямую зависимость волновой функции системы от разности электронных координат) значительно расширил область существования биполяронных состояний, уточнив критические величины степени ионной связи и фрелиховской константы электрон-фононного взаимодействия.
Вопрос о высокотемпературной сверхпроводимости (ВТСП) и существовании связанных двухэлектронных (биполяронных) состояний впервые возник в работе Огга [3], в которой наблюдалась аномально высокая проводимость в металл-аммиачных растворах, замороженных в жидком азоте, и еще за сорок лет до открытия ВТСП в металлооксидных керамиках Беднорцем и Мюллером [4] было высказано предположение о возможности сверхпроводимости при температурах, превышающих температуру кипения азота (Г «78К). В сенсационной работе [3] утверждалось, что ток, индуцированный в кольце из замороженного раствора натрия в аммиаке, не затухает в течение нескольких минут, что соответствует падению сопротивления на семнадцать порядков по сравнению с сопротивлением раствора в жидком состоянии. Автор [3] предполагал, что при понижении температуры благодаря бозе-конденсации и сверхтекучести спаренных электронов в полостях между полярными молекулами NH3 возникает явление сверхпроводимости. Так впервые возникло представление о связанных электронных парах в полярной среде -биполяронах. Однако в дальнейшем результаты экспериментов Огга не удалось воспроизвести, и интерес к его работе постепенно угас. Впрочем, в 1973 г. Дмитренко и Щеткин [5] сообщили о наблюдении нестабильной сверхпроводимости в замороженном натрий-аммиачном растворе. О возможности новой трактовки данных экспериментов сообщается в недавней работе Пашицкого [6].
В теоретическом плане проблема биполярона была впервые рассмотрена в 1951 г. Пекаром и Томасевич [7] (сильная связь) с помощью вариационного метода в рамках континуального приближения, при этом пробные волновые функции выбирались в мультипликативной форме без учета корреляционных эффектов. Было показано, что в этом приближении энергетический выигрыш отсутствует, т.е. связанное состояние двух поляронов большого радиуса в общей сферически-симметричной поляризационной яме не выгодно.
Положение усугублялось тем, что в работе [8] при вычислении энергии связи Т7 -центра - системы двух электронов (дырок), захваченных положительно (отрицательно) заряженным точечным дефектом (вакансией или неизовалентной примесью) в ионном кристалле, с использованием двухэлектронной вариационной волновой функции более общего вида, учитывающей качественно кулоновские корреляции, бьша допущена вычислительная ошибка (был неправильно вычислен нормировочный множитель), которая привела к существенному уменьшению фононной поляризационной части адиабатического функционала, ответственной за эффективное межэлектронное притяжение (за счет обмена виртуальными оптическими фононами). В результате этого при стремлении центрального заряда к нулю, т.е. при переходе от F -центра к биполярону, связанное состояние оказывалось энергетически невыгодным. Отсюда был сделан общий и, как оказалось впоследствии, неправильный вывод о невозможности существования сферически-симметричного биполярона из-за сильного кулоновского отталкивания [9]. Данный вывод повторялся и в работах Буймистрова-Пекара [10, 11], в которых был предложен вариационный метод расчета энергетического спектра одноэлектронных и двухэлектронных систем, включая биполяроны для произвольной силы связи электронов с фононньш полем.
Каноническое преобразование гамильтониана Фрелиха для сильного электрон-фононного взаимодействия
Несколько ранее в работе Ларсена [21] сообщалось о гигантской энергии связи мелких D -центров в полупроводниках с ионным характером связи. Для расчетов использовался метод промежуточной связи Буймистрова-Пекара [10, 11], в качестве пробной выбиралась волновая функция слэтеровского типа [22] с учетом электронных корреляций. В данной работе автор не интересовался биполяронными состояниями, хотя функционал биполярона мог быть получен очевидным предельным переходом (кулоновский заряд ядра стремится к нулю), а связанные биполяронные состояния для выбранных автором функций появлялись при несколько больших константах связи (а 7.5). Работа [20] была выполнена в рамках сильной связи и только в недавней работе [23] метод Буймистрова-Пекара был применен для расчета биполяронной энергии для гауссовых функций с учетом электронных корреляций.
Наряду с этим в 1973 г. Андерсон [24] в рамках модели Хаббарда с отрицательной корреляционной энергией на узлах U 0 (так называемые U -центры) показал возможность перехода металла с наполовину заполненной зоной проводимости (один электрон на узел) в зарядово-упорядоченное диэлектрическое состояние, когда пустые узлы чередуются с узлами, на которых локализованы связанные электронные пары. Поскольку в [24] предполагалось, что притяжение между электронами на одном узле, превышающее их кулоновское отталкивание, обусловлено адиабатическим взаимодействием электронов с локальными колебаниями атома, можно сказать, что в данном случае речь идет фактически о локализованных биполяронах малого радиуса. Аналогичная задача о локальных электронных парах с учетом взаимодействия (притяжения или отталкивания) между соседними узлами рассматривалась в 1980 г. Куликом и Педаном [25], которые показали, что при определенных условиях возникает делокализованное (проводящее, а возможно, и сверхпроводящее) состояние локальных пар. Модель биполяронов малого радиуса в узкозонных металлах в приближении сильной связи и обусловленная их бозе-конденсацией сверхпроводимость рассматривались также в 1981 г. Александровым и Раннингером [26].
Спиновым биполяронам малого радиуса посвящен обзор Мотта [27]. В [27] подробно обсуждается возможность объяснения ВТСП с привлечением модели триплетного биполяронного состояния. Впервые проблема спинового полярона (феррона) рассматривалась в работе Нагаева [28], а возможность появления автолокализованных состояний, в антиферромагнетиках (аналогов конденсонов в ковалентных кристаллах [29]) в работах Лахно [30, 31].
Следует подчеркнуть, что проблема сверхпроводимости, связанной со сверхтекучестью бозе-конденсата заряженных частиц с целым спином (бозонов), обсуждалась еще до создания микроскопической теории сверхпроводимости Бардина-Купера-Шриффера [32] в работах Гинзбурга [33] и Шафрота [34], а затем также в целом ряде работ [35-38]. Однако во всех этих работах вопрос о микроприроде заряженных бозонов оставался открытым.
В 1975 г. Винецким и Пашицким [39] была рассмотрена возможность биполяронного механизма сверхпроводимости в ионных кристаллах, в частности в псевдосегнетоэлектрике 8гТІ03, легированном Nb [40], за счет сверхтекучести почти идеального бозе-газа биполяронов. При этом благодаря аномально большой диэлектрической проницаемости SrTiOj при низких температурах (0 2-104) условие большой плотности (идеальности) заряженного бозе-газа п1013а в»\ (щ - концентрация, ав = s0h2)4е2т вр —эффективный боровский радиус биполяронов с массой т ВР и зарядом 2е) при твр 10/w0 (т0 - масса свободного электрона) выполняется при «0 1018см , когда среднее расстояние между биполяронами г = п1/3 и 10"бсм значительно превышает радиус биполярона промежуточной сцязи г0 3а «Ю-7см. Заметим, что макроскопическое приближение еще применимо для таких биполяронов, поскольку эффекты пространственной дисперсии диэлектрических проницаемостей є0 и е , связанные с дискретностью кристаллической решетки, в полной мере проявляются на расстояниях г а, на которых є0 » m « 1.
Данные идеи, включая повышение энергии связи биполяронов большого радиуса в системах с пониженной размерностью, развивались в ряде работ, появившихся после открытия ВТСП [41 - 43].
Как следует из микроскопической теории сверхтекучести Боголюбова [44] для слабо неидеального бозе-газа, спектр квазичастиц за счет даяьнодействующего кулоновского взаимодействия имеет конечную энергетическую щель [35], определяющуюся эффективной плазменной частотой биполяронов & р = д/16яе2«0/0/ИдР, и, следовательно, удовлетворяет критерию сверхтекучести Ландау [45]. Температура бозе-конденсации T0=3.3lh2n n/kgm 8p , которую можно в данном случае отождествить с критической температурой Тс перехода в сверхпроводящее состояние, при rnBP »10т0 в зависимости от концентрации биполяронов «о изменяется в широких пределах от Т0 « ЗК при п0 «10 см до Г0 » 300 К при и0 «1021см 3. Отметим, что в последнем случае, когда F 0, должен проявляться составной (небозонный) характер биполяронов, как и в случае сильно перекрывающихся куперовских пар [32], а при еще более высоких плотностях, когда г r0, по-видимому, должен происходить развал биполяронов на поляроны.
Таким образом, на основе биполяронного механизма сверхпроводимости [39] в принципе для ионных кристаллов показана возможность ВТСП с Тс 100К [46]. Аналогичные идеи высказывались Александровым [47, 48] на основе модели биполяронов малого радиуса [26].
Значительный вклад в теорию поляронных эффектов, как в одноэлектронных, так и в двухэлектронных системах был внесен Адамовским [49-52]. Им был предложен метод оптимизированного канонического преобразования, позволивший получить наиболее низкие (из полученных методами прямого варьирования волновой функции системы) значения энергии свободного и связанного биполярона в области промежуточной связи [52, 53].
Каноническое преобразование гамильтониана Фрелиха для произвольного электрон-фононного взаимодействия
Энергия связи Н -иона составляет 0.0555 Ry. В связи с тем, что отрицательный ион водорода чрезвычайно легко вступает в химические реакции в свободном состоянии, на Земле он практически не существует. В температурных единицах энергия связи Н составляет 8800К, поэтому линии данного иона наблюдаются в солнечной атмосфере широкого класса звезд (звезды спектрального типа A0-F5). С данным ионом связывается линия, соответствующая переходу одного из электронов из связанного в свободное состояние с максимумом примерно вблизи 0.8 мкм с шириной около 1 мкм [61].
Несмотря на многочисленные работы, посвященные методам получения отрицательных ионов водорода [62 - 64], до настоящего времени отсутствуют экспериментальные работы по определению энергии ионизации данного состояния. Поэтому теоретические работы, посвященные расчету энергии связи, имеют особое значение.
Двухэлектронные D -центры в полупроводниках (в Si и Ge [65 - 67], в GaAs, InP, InSb [68]) наблюдаются по изучению частотной зависимости фотопроводимости в далекой инфракрасной области частот. В пренебрежении химическим сдвигом и электрон-фононным взаимодействием, D -центры в кристалле обладают той же энергией, что и отрицательный ион водорода, но измеренной в эффективных ридбергах Ry = т е J2Е1Н2 (где гп - эффективная масса электрона, є0 статическая диэлектрическая проницаемость кристалла). Учет взаимодействия с фононами может привести к значительному повышению энергии связи двухэлектронной системы в кристалле по сравнению с величиной 0.0555 Ry [21,52]. В щелочно-галлоидных кристаллах аналогом )"-центра являются F -центры [9]. Одноцентровый автолокализованный биполярон может рассматриваться как аналог D-центра. D -центр является связанным биполяроном.
Первой работой, в которой, наряду с одноэлектронными (і7-центр и полярон), рассматривались двухэлектронные системы (К -центр и биполярон), была работа Буймистрова и Пекара [10]. При рассмотрении двухэлектронных систем в [10], так же как и в работе [7] пренебрегали электронными корреляциями, что значительно понижало величину энергии связи D -центра. Тем не менее, метод Буймистрова-Пекара, предложенный в [10] для расчета энергии одноэлектронных и двухэлектронных состояний в кристаллах с произвольной силой связи электронной системы с фононами является, как мы полагаем, одним из наиболее простых и эффективных методов расчета энергетического спектра электронных систем в твердом теле.
Данный метод, в связи со своей простотой, достаточно часто используется для расчета энергии конкретных систем, как одноэлектронных, так и двухэлектронных в кристаллах с произвольной силой связи электронов с фононами [21,36-38]. До недавнего времени считалось, что метод Буймистрова-Пекара дает менее точные значения энергии двухэлектронных систем, по сравнению с методом оптимизированного канонического преобразования, предложенного Адамовским [52] и дающего наиболее низкие значения энергии двухэлектронных систем (биполяроны и D -центры, или связанные биполяроны). Однако, при достаточно гибкой пробной электронной волновой функции, учитывающей электронные корреляции (прямая зависимость волновой функции от расстояния между электронами) метод Буймистрова-Пекара дает для всей области параметров электрон-фононного взаимодействия более низкие значения, чем метод Адамовского.
В работе Ларсена в рамках метода Буймистрова-Пекара [21] проводилось рассмотрение D" -центров в полупроводниках с ионным характером связи. Работа [21] была первой работой, показавшей, насколько существенными являются электронные корреляции для расчета энергии связи двухэлектронных систем. В отличие от [10] Ларсен выбрал электронную волновую функцию в виде:
В недавней работе [23] метод Буймистрова-Пекара использовался для расчета энергии одноцентрового биполярона. Электронные волновые функции выбирались с учетом электронных корреляций. В связи с недостаточно гибким выбором волновой функции, энергия биполярона, рассчитанная в рамках данного метода, оказалась выше по сравнению с результатами, полученными Адамовским в [53].
В [69] метод Буймистрова-Пекара использовался для расчета энергии двухцентрового биполярона. Мухоморов воспользовался функционалом, полученным в работе [10] для частного случая, когда волновые функции электронной системы могут быть представлены в мультипликативном виде. Расчеты же выполнялись для симметризованного произведения поляронных волновых функций, центрированных в различных точках (метод Гайтлера-Лондона для поляронной задачи), т.е. волновая функция выбирались в немультипликативной форме. В результате Мухоморов варьировал неправильный функционал и получил ошибочные численные результаты. В [69-71] данная ошибка повторяется для расчета энергии двухцентрового биполярона в металл-аммиачных растворах и изучения колебательного спектра биполярона вблизи фиктивного энергетического минимума. В [71] модель двухцентрового биполярона исследуется с целью определения энергии связи биполярона с учетом энергии нулевых колебаний, понижающих энергию связи биполярона, подобно тому, как это происходит в молекуле водорода.
Одноцентровая конфигурация, в -центр (связанный биполярон)
В недавней работе [69], посвященной двухцентровому биполярону промежуточной связи, биполяронная волновая функция выбиралась в виде симметризованного произведения поляронных волновых функций, центрированных в различных точках, т.е. в немультипликативной форме (метод Гайтлера-Лондона в применении к биполярону). При этом для варьирования использовался функционал с добавкой Я/5 определявшейся (3.10), справедливый только для частного случая, когда волновая функция двухэлектронной системы выбирается в виде произведения одноэлектронных волновых функций. Последнее, естественно, привело автора работы [69] к варьированию неправильного функционала и ошибочным численным расчетам. Правильные выражения для расчета энергии биполярона методом Буймистрова-Пекара приведены в [23], однако, пробная функция, выбранная в [23] для всей области параметров электрон-фононного взаимодействия, дает более высокие значения энергии биполярона по сравнению с результатами работы [53].
В таблице 3.1 приведены значения энергии свободного биполярона EBpi рассчитанные нами по методу Буймистрова-Пекара с использованием гауссовых волновых функций. Для сравнения приведены, также, наилучшие численные расчеты данной величины Eg , проведенные прямым вариационным методом в [53]. Наши расчеты дают более низкие значения энергии основного состояния свободного биполярона по сравнению [53]. а - константа связи Фрелиха, ц -степень ионной связи. Метод интегрирования по траекториям [42] в применении к свободному биполярону для константы связи Фрелиха а 8 дает более высокие по сравнению с [53] результаты, что является следствием переоценки кулоновского отталкивания между электронами. В то же время, для а = 1, г}-0 результат авторов [53] =-16.067. Соответствующий результат [42] составляет -16.27 (данное значение восстановлено нами по графическим данным, приведенным в [42]). Таким образом, для а 1 метод интегрирования по траекториям дает наилучшие результаты для энергии основного состояния биполярона. Наилучшее значение, полученное нами для а -7, /7 = 0, составило в =-16.234, что лишь незначительно уступает фейнмановскому методу интегрирования по траекториям. Биполярон существует и стабилен только в том случае, когда энергия связи биполярона АЕ = ЕВр - 2ЕР отрицательна. Здесь ЕР энергия основного состояния полярона. Нижайшее значение поляронной энергии получено в работе [90] фейнмановским методом интегрирования по траекториям. В этой работе использовалась итерационная процедура, в качестве начального приближения выбиралось фейнмановское выражение для поляронной энергии [74]. Оценки энергии полярона приведенные в [90] привели к малой поправке к фейнмановскому значению поляронной энергии (51%) и могут рассматриваться в настоящее время как верхняя граница энергии полярона в области промежуточных значений параметра а. В таблице 3.2 приводятся значения поляронной энергии, полученные нами и рядом других авторов методом оптимизированного канонического преобразования (Ер) [53], фейнмановским методом интегрирования по траекториям (EpGL) [90] и (Ерa) [74], пекаровским методом сильной связи (Ер) и методом Буймистрова-Пекара с использованием гауссовой волновой функции (Ер). На рисунке 3.1 показаны зависимости энергии свободного биполярона и удвоенной энергии полярона от константы связи Фрелиха а. Расчеты проводились методом Буймистрова-Пекара при rj - 0. При рассмотрении связанного биполярона (D -центра) в системе появляется дополнительный параметр, описывающий взаимодействие электронов с полем статического заряда. Выразим энергию D -центра как функцию двух безразмерных параметров - константы электрон-фононного взаимодействия Фрелиха а = е2/(2г0Но))є, (где І/є = І/є,,, -1/є0, r0 = hjlrnco , %со — частота длинноволновых продольных оптических фононов, rn — эффективная масса электрона) и отношения эффективного ридберга к ho: R = rne jlsffio) = (є2 jlr hws\) В таблице 3.3 для ряда кристаллов приведены рассчитанные нами величины энергии основного состояния связанного биполярона, Е . Энергия связи обозначена как ДЕ". Верхними индексами L и А обозначены значения соответствующих величин, полученные в работах [21] и [52].
