Введение к работе
Актуальность темы исследования
Актуальность темы диссертационного исследования определяется тем, что явление коагуляции, т.е. объединения мелких частиц дисперсных систем в более крупные, является достаточно распространенным в реальных практических задачах в области метеорологии и экологии, медицины, материаловедении, теории реакторов на быстрых нейтронах и т.д. Например, процесс разрушения материалов за счет взаимных слияний дефектов обусловлен явлением коагуляции трещин. Явление коагуляции лежит в основе процессов полимеризации, свертываемости крови.
Необходимость применения математического моделирования для описания динамики систем коагулирующих частиц объясняется тем, что до сих пор лишь для относительно простых вариантов состояний газа найдены аналитические решения уравнения Больцмана. Уравнение коагуляции Смолуховского, описывающее динамику коагулирующих дисперсных систем зачастую не имеет классического решения, что делает необходимым применение методов прямого имитационного моделирования для описания состояния системы.
Широкий спектр приложений теории коагуляции в науке и технике ставит задачу разработки адекватных математических моделей динамики дисперсных систем, состоящих из взаимодействующих между собой частиц, их обоснования и тестирования, а также создания алгоритмов и программного обеспечения для имитационного моделирования на уровне отдельных частиц, основанного на применении метода Монте-Карло.
Целью диссертационной работы является совершенствование математических моделей и вычислительных алгоритмов, позволяющих реализовать численное решение уравнения коагуляции Смолуховского методом прямого статистического моделирования, а также разработка соответствующего программного обеспечения.
Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи:
Разработка математической модели пространственно
неоднородной медленной коагуляции;
Создание вычислительного алгоритма имитационного
моделирования динамики коагуляции дисперсных систем;
Разработка программного обеспечения для моделирования
пространственно неоднородной медленной коагуляции;
Реализация вычислительных экспериментов для обоснования
корректности предложенной модели.
Объектом исследования являются процессы пространственно неоднородной медленной коагуляции, наблюдаемые в различных физических задачах, в т.ч. при образовании трещин за счет взаимных слияний в материалах ядерных энергетических установок.
Предметом исследования являются модели коагуляции, основанные на методе прямого моделирования на уровне отдельных молекул.
Методы исследования и используемый инструментарий:
Элементы математического анализа;
Теория вероятностей и математическая статистика;
Численные методы и методы системного программирования.
Вычислительный эксперимент.
Научная новизна заключается в том, что в результате проведенных исследований решена новая задача поиска численного решения уравнения коагуляции Смолуховского для случая пространственно неоднородной медленной коагуляции с произвольным спектром скоростей свободного переноса.
-
Создана новая математическая модель медленной коагуляции для произвольных скоростей пространственного переноса, адекватно описывающая процессы пространственно неоднородной коагуляции и согласующаяся с известными аналитическими решением уравнения Смолуховского, а также решениями по разностной схеме;
-
Обоснована корректность разработанной математической модели медленной пространственно неоднородной коагуляции;
-
Разработан алгоритм имитационного моделирования, основанный на стохастическом описании явлений коагуляции дисперсных частиц, позволяющий существенно сократить время моделирования на тестовых примерах, изученных ранее;
-
Разработано программное обеспечение, реализующее алгоритм имитационного моделирования, позволяющее обеспечить распараллеливание вычислений, визуализацию результатов.
В отличие от исследований, проведенных ранее Д.Ю. Осецким и А.В. Галкиным, в данной работе рассматривается модель медленной коагуляции, что определяет вид ядра в уравнении Смолуховского и, соответственно, специфику динамики процесса коагуляции. Кроме того, в ранее опубликованных работах В.А. Галкина накладывается дополнительное условие на целочисленность скоростей свободного переноса, что не требуется для модели, описанной в данной работе. Необходимо также отметить, что алгоритм моделирования, разработанный в настоящем диссертационном исследовании, в отличие от ранее изученных (В .А. Галкин, 2009) позволяет проводить моделирование процесса коагуляции по полному спектру координат без разбиения пространства на ячейки, что обеспечивает сокращение времени вычислений и возможность распараллеливание вычислений.
Основные положения, выносимые автором на защиту:
-
Новая математическая модель, описывающая динамику пространственно неоднородных коагулирующих систем для произвольных скоростей пространственного переноса;
-
Обоснование корректности разработанной модели динамики пространственно неоднородной медленной коагуляции;
-
Новый метод имитационного моделирования пространственно неоднородной медленной коагуляции.
Соответствие диссертации области исследования специальности
Диссертационная работа соответствует следующим областям исследований паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»:
-
Разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов с применением ЭВМ.
-
Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.
-
Разработка систем имитационного моделирования.
Теоретическая значимость работы:
Проведенные исследования развивают теорию математического моделирования в части поиска численных решений уравнения коагуляции Смолуховского для нового типа задач: пространственно
неоднородной медленной коагуляции с произвольным спектром скоростей свободного переноса. В работе сформулированы и доказаны теоремы о:
-
существовании решения задачи Копій для уравнения Смолуховского при любом наборе скоростей свободного переноса.
-
устойчивости разностной схемы в равномерной метрике, аппроксимации и сходимости к гладким неотрицательным решениям задачи Коши для уравнения Смолуховского.
Практическая ценность работы:
-
Проведен детальный анализ соответствия результатов прямого статистического моделирования и численных решений, полученных с помощью известных разностных схем, что позволяет точнее понимать смысл решения классического уравнения коагуляции Смолуховского для случая пространственно неоднородных дисперсных систем;
-
Реализованная модель имитационного моделирования может быть использована для моделирования динамики коагуляционных процессов в случае пространственной неоднородности;
-
Разработано программное обеспечение, основанное на алгоритме прямого моделирования, может быть использовано для моделирования различных явлений коагуляции, в т.ч. для описания динамики роста трещин в материалах.
Достоверность полученных результатов обеспечивается
математическим обоснованием предлагаемых моделей, алгоритмов, а
также удовлетворительным согласованием результатов моделирования с
обоснованными вычислениями по разностной схеме. Программное
обеспечение, разработанное для реализации алгоритма,
зарегистрировано Федеральной службой по интеллектуальной собственности 06.07.2012 года.
Личный вклад автора состоит в разработке усовершенствованной модели коагуляции, основанной на стохастическом описании явлений взаимодействия дисперсных частиц с повторным выборам коагулирующих элементов, разработке алгоритмов, описанных в главах 2 и 3, а также их практической реализации в виде программного продукта,
разработанного на базе кафедры прикладной математики Обнинского института атомной энергетики НИЯУ МИФИ.
Результаты, содержащиеся в работах, выполненных в соавторстве, и включенные в диссертацию, получены автором лично.
Апробация работы.
Полученные в ходе диссертационного исследования результаты были доложены на семи российских и международных научных конференциях и семинарах:
-
Научный семинар «Проблемы современной математики» кафедры №31 «Прикладная математика» Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ» под руководством лауреата Государственной премии СССР, заслуженного деятеля науки РФ, профессора, д.ф.-м.н. Н.А. Кудряшова, май 2013 г., г. Москва;
-
XV международная конференция молодых ученых и студентов «Молодежь и наука», декабрь 2011, г. Москва;
-
V международная конференция «Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания», май 2011, г. Обнинск.
-
XI международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование», Октябрь 2010, г. Саров;
-
X международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование», Октябрь 2009, г. Саров;
-
XI международная конференция «Безопасность АЭС и подготовка кадров», Сентябрь 2009, г.Обнинск;
-
IV международная конференция «Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания», май 2008, г. Обнинск.
Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы, содержащего 63 наименования. Объем диссертационной работы составляет 94 страницы.
По теме исследования опубликовано 11 научных работ, в том числе 3 публикации в рецензируемых научных журналах из списка ВАК. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012616213.
