Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Аналитический обзор методов моделирования колебательных процессов в сложных динамических системах и способов подавления вибраций 17
1.1. Возможность дискретного и непрерывного в моделировании динамических систем 18
1.2. Методы математического моделирования динамических систем 23
1.2.1. Аналитический метод 26
1.2.2. Метод разложения по нормальным формам колебаний 27
1.2.3. Дискретные методы, метод конечного элемента 28
1.2.4. Получение решений на основе аппарата обобщенных функций 30
1.2.5. Имитационные модели динамических систем 31
1.2.6. Метод динамических податливостей 36
1.3. Сравнительный анализ возможных решений проблем виброизоляции объектов, расположенных на несущих конструкциях 38
1.4. Возможносит учета нелинейных проявлений в виброактивных системах 47
1.5. Выводы по главе 54
ГЛАВА 2. Формализация свойств изгибаемых бесконечномерных элементов в нерегулярных динамических системах 56
2.1. Общие предпосылки и методика построения решения 56
2.2. Построение матриц динамических реакций и функций вынужденных колебательных форм балочных элементов с учетом продольной силы .63
2.2.1. Элемент с жесткими закреплениями на концах 63
2.2.2. Элемент с жестко закрепленным и шарнирным узлами 68
2.2.3. Элемент с шарнирными закреплениями в узлах 77
2.2.4. Элемент с линейной и угловой связями в концевых узлах 81
2.2.5. Элемент с жестким защемлением с одной стороны и другим свободным концом 82
2.2.6. Элемент с жесткой заделкой и угловой связью в разных узлах 84
2.3. Выводы по главе, - аналитические выражения амплитуд динамических реакций и коэффициентов матриц колебательных форм гармонических элементов 87
ГЛАВА 3. Моделирование стационарных колебательных процессов в дискретно-континуальных динамических системах 100
3.1. Динамические свойства гармонических элементов 100
3.1.1. Матрицы динамических реакций дискретных гармонических элементов 100
3.1.2. Свойства узловых динамических реакций изгибаемых гармонических элементов при действии статической продольной силы 106
3.2. Формирование комбинированной математической модели динамической системы при стационарных вынужденных колебаниях... 117
3.2.1. Этапы преобразования дискретно-континуальных динамических систем в процессе формирования математических моделей 117
3.2.2. Параметрическая формализация стационарного динамического состояния дискретно-континуальных систем и построение систем разрешающих уравнений 126
3.3. Взаимодействие колебательных форм в стационарных динамических процессах и условия эффективности в выборе параметров моделей систем виброизоляции 131
3.4. Выводы по главе 135
ГЛАВА 4. Свойства дискретно-континуальных динамических моделей и их применение в решении задач виброзащиты 138
4.1. Динамические свойства упругих изгибаемых элементов при гармонических колебаниях 138
4.2. Оценка чувствительности узловых эффектов в гармонически нагруженных изгибаемых элементах модели 148
4.3. Получение эффектов подавления вибраций на основе дискретно-континуальных моделей 164
4.4. Выводы по главе 172
ГЛАВА 5. Алгоритмическое и программное обеспечение оценки виброактивности, и решения проблем подавления вибраций в рассматриваемых системах 174
5.1. Численное определение динамических и конструктивных параметров систем виброизоляции 174
5.1.1. Численное определение амплитуд перемещений по направлениям связей и координат узловых точек колебаний элементов модели 175
5.2. Описание программы "VICON" 185
5.2.1. Назначение и функциональные возможности 185
5.2.2. Описание структуры исходных данных 192
5.2.3. Описание исходных модулей программы 200
5.2.4. Структура выходных данных 204
5.3. Тестовая апробация nporpaMMbi"VICON" 205
5.3.1. Тестирование с бесконечномерной моделью 201
5.3.2. Дискретно-континуальная модель с жестко присоединенными сосредоточенными массами 209
5.3.3. Дискретно-континуальная модель с упруго опертыми сосредоточенными массами 214
5.4. Выводы по главе 218
ГЛАВА 6. Экспериментальные апробации результатов исследований 221
6.1. Апробация расчетных моделей в лабораторных условиях 222
6.1.1. Описание экспериментальной установки 222
6.1.2. Математическая обработка экспериментальных данных и анализ результатов 227
6.2. Экспериментальная доводка и апробация системы виброизоляции промышленных грохотовв производственных условиях 230
6.2.1. Описание условий проведения эксперимента и данные по состоянию конструкций и оборудования 231
6.2.2. Описание проведения эксперимента 232
6.3. Технические характеристики системы виброизоляции и результаты эксперимента 237
6.4. Выводы по главе 253
Основные выводы 254
Литература 256
- Сравнительный анализ возможных решений проблем виброизоляции объектов, расположенных на несущих конструкциях
- Элемент с жестким защемлением с одной стороны и другим свободным концом
- Свойства узловых динамических реакций изгибаемых гармонических элементов при действии статической продольной силы
- Оценка чувствительности узловых эффектов в гармонически нагруженных изгибаемых элементах модели
Введение к работе
Распространенность вибрационных технологий заставляет уделять повышенное внимание вопросам безопасности конструкций и рабочих мест [3, 23, 89, 101, 109, 150, 203]. Особенно остро эти вопросы стоят на обогатительных и других производствах, специфика технологии которых требует размещения виброактивного оборудования на верхних этажах, что исключает возможность использования технологических фундаментов и приводит к непосредственной передаче динамических нагрузок на несущие конструкции перекрытий. Виброактивность таких конструкций, представляющих собой сложную, нерегулярную по расположению, геометрическим параметрам и узловым соединениям систему балок, наиболее интенсивно проявляется вертикальными составляющими колебаний, обусловленными режимами работы технологического оборудования. В примерах можно назвать горно-обогатительные производства, предприятия энергетики, угольной, деревоперерабатывающей промышленности, судовые транспортные системы и пр., где устанавливаются грохоты, вентиляторы, электродвигатели, электрогенераторы, компрессоры и другое виброактивное оборудование. Основой многих технологий при рудоподготовке и обогащении полезных ископаемых, в промышленности строительных материалов, порошковой промышленности являются вибрационные процессы, цель которых состоит в разделении сыпучего материала, по фракциям или объемному весу. Возникающие при этом интенсивные вибрации оснований, перекрытий и рабочих площадок зачастую не удовлетворяют требованиям санитарных норм, приводят к преждевременному износу конструкций, понижают эксплуатационную надёжность систем, а в ряде случаев нарушают требуемые технологические режимы эксплуатации объектов. Наиболее ярко это проявляется при использовании грохотов.
Известно, что при циклических воздействиях гармонического характера система переходит, в стационарное динамическое состояние, характеризующееся периодическим изменением полей напряжений и деформаций, которое охватывает большую часть срока ее эксплуатации [52, 55, 200]. Поэтому большой интерес представляет прямой расчет стационарного состояния, минующий последовательный динамический анализ переходного периода. Такой расчет, в большинстве случаев, доставляет достаточную информацию для анализа функционирования виброактивной системы, и широко применим в конструировании устройств виброзащиты [53, 93, 118, 119, 143, 324].
Использование наиболее употребимых расчётных схем (с неподвижным, абсолютно жёстким основанием, или интерпретаций его в виде упруго опертого твёрдого тела) систем виброзащиты не всегда пригодно и иногда может быть оправдано лишь для очень грубых оценок. Эффективное решение задач подавления вибраций от оборудования, установленного на конструкциях или деформируемых основаниях требует использования гораздо более сложных, корректных расчётных схем и соответственно, более совершенных методов расчёта [109, 150].
Несущие конструкции промышленных зданий, как и большегрузных транспортных объектов, в преобладающем большинстве представляют собой системы стержневых элементов [89, 138, 143, 150], диапазон частот собственных колебаний которых перекрывает наиболее распространенные частоты воздействия виброактивного оборудования [34, 92, 101, 150, 109] в наиболее опасной своей, низкочастотной области. Последнее обстоятельство чревато проявлением резонансных эффектов на низших колебательных формах.
С другой стороны - учет динамических особенностей элементов конструкций (в том числе и конструктивных элементов основания) может быть использован для устранения или понижения интенсивности вибраций, что и будет показано в настоящей работе. Динамические свойства, определенные в процессе математического моделирования, могут выявить как параметрические условия формирования таких эффектов, так и условия подавления вибраций.
Очевидно, что расчетные схемы таких систем будут характеризоваться большим разнообразием элементов и способов их сочленения, обусловленного нерегулярностью несущих конструкций с проемами, наличием технологических агрегатов, необходимостью расположения оборудования в многоэтажных помещениях, и т. д. [101, 300].
Чрезвычайная нерегулярность распределения границ областей и граничных условий несущих конструкций, свойственная промышленным сооружениям за небольшим исключением не позволяет непосредственно использовать аналитические методы расчета таких систем и оставляет возможность применения довольно небольшого количества численных методов механики конструкций, основанных преимущественно на дискретизации областей [10, 25, 39, 60, 103-105, 133, 138, 154, 192-199, 203, 210, 218, 221, 222, 229, 234, 245, 247, 303, 314, 317, 334]. К таковым относятся методы конечных элементов, позволяющих производить сшивку решений для модели в виде ансамбля элементов с априорно сформированными жесткостными и дискретизированными инерционными параметрами. Дискретное представление результатов, большие размерности, и отсутствие критериев точности моделей затрудняют принятие решений в задачах виброзащиты, в успешных традициях и теоретических основах которых - математические модели малой размерности и аналитическое представление результатов. Особенно необходимо обеспечение адекватности математических моделей в использовании методов динамического гашения, эффективных в узкой полосе флуктуации частоты воздействия (свойственной многим технологическим процессам), но очень чувствительных к изменению параметров. Видимо, этими обстоятельствами объясняется отсутствие методологических основ и специализированного математического обеспечения для решения задач виброзащиты таких систем, основанного на дискретных аппроксимациях, а существующие научно-методические подходы направлены на решение отдельных задач: виброизоляции технологического оборудования; или динамического расчета конструкций.
Предлагаемые решения основываются на использовании и развитии известных методов динамической податливости [1, 143, 203]. Решение проблемы осуществляется путем декомпозиции исходной динамической системы на элементы, для которых производится построение аналитического базиса для произвольных, конструктивно допустимых вариантов краевых условий, заданных в соединительных узлах элементов. Вектору обобщенных узловых перемещений ставится во взаимооднозначное соответствие аналитическое выражение, определяющее вынужденную межузловую колебательную форму бесконечномерного элемента и некоторый вектор узловых динамических реакций, позволяющий производить операцию формирования модели на формализованном уровне - в виде системы разрешающих уравнений. Таким образом, моделирование стационарных колебательных процессов в системах несущих конструкций осуществляется на основе использования элементов с распределенным характером инерционных и жесткостных параметров, в то же время позволяющих осуществлять гибкую аппроксимацию сложных границ областей и граничных условий, свойственную обычным конечным элементам.
Проведенные алгоритмические разработки позволили осуществить узловую сшивку решений для моделей, включающих кроме бесконечномерных элементов также дискретные массы, упругие элементы и твердые тела. Набором таких элементов традиционно представлены классические расчетные схемы в задачах виброзащиты и виброизоляции технологического оборудования. Среди многочисленных работ в области вибрационной защиты использование дискретно-континуальных моделей не нашло достойного применения при видимом отсутствии прикладных программных разработок в этой области [3, 50, 77, 139, 150].
В формулировку методологических отличий данной работы входит дихотомия непрерывных и дискретных множеств на уровне параметров, обоснованная, прежде всего прагматическими потребностями решения проблем виброзащиты, чрезвычайно обостренными состоянием отечественного производства.
Цель диссертации состоит в разработке методологических основ математического моделирования, специализированного для комплексного решения проблем подавления вибраций в системах «технологическое оборудование - несущие конструкци», обеспечивающего расчетную точность в программной реализации.
Для достижения этой цели ставились следующие задачи:
1. получение матриц амплитуд динамических реакций и матриц колебательных форм для поперечных вынужденных колебаний моделей бесконечномерных элементов - балок, дополнительно нагруженных статическими продольными силами, при различных допустимых вариантах граничных условий;
2. получение матриц амплитуд динамических реакций упруго опертого твердого тела, позволяющих включать их в комбинированную динамическую модель (КДМ) совместно с бесконечномерными элементами, точечными массами и сосредоточенными упругими элементами;
3. комплексное математическое обоснование авторского способа динамического гашения, обеспечивающего эффект в математических моделях с выраженными свойствами параметрической дискретности и непрерывности элементов;
4. разработка специализированной для решения задач стационарных гармонических колебательных процессов методики моделирования, исключающей процедуры дискретизации и позволяющей осуществлять параметрическую сшивку дискретных и континуальных элементов в (КДМ) при сложном распределении границ областей и произвольных граничных условиях;
5. разработка алгоритмов определения параметров наилучшего функционирования (по предложенному интегральному критерию эффективности) систем виброзащиты (СВ), моделей с выраженными свойствами параметрической дискретности и непрерывности при условиях ограничения технологических параметров в заданных пределах; разработка алгоритма определения параметров виброактивности динамической системы на основе использования КДМ, его реализация в виде комплекса программ "VICON" с численной апробацией программного комплекса сертифицированными программными средствами; экспериментальные апробации разработанных методик и математических моделей в лабораторных и производственных условиях.
Научную новизну диссертации представляют следующие основные результаты, которые выносятся на защиту:
1. Предложен и обоснован аналог метода конечного элемента - метод гармонического элемента (МГЭ), специализированный для решения динамических задач вынужденных стационарных гармонических колебаний, позволивший на единой методической основе осуществить построение дискретно-континуальных математических моделей, включающих нерегулярный перекрестный набор бесконечномерных балочных элементов, сосредоточенные массы, упругие элементы и упруго опертые твердые тела. Построение гармонических элементов осуществлено на основе принципа гармонического сканирования связей, позволяющего на этапе декомпозиции модели единообразную, технологичную в реализации, аналитическую формализацию перечисленных элементов в виде матриц амплитуд единичных динамических реакций и матриц колебательных форм, учитывающих продольную статическую силу.
2. На основе авторских разработок исследованы характерные свойства дискретно-континуальных математических моделей: характеристики проявления амплитуд единичных динамических реакций изгибаемых гармонических элементов (ГЭ), загруженных кроме гармонической продольной силы, также статической силой, при различных значениях конструктивных параметров и различных вариантах граничных условий; свойства УТК изгибаемых элементов математических моделей с распределенными и сосредоточенными инерционными параметрами, а также эффекты трансформации колебательных форм оси жесткости изгибаемых бесконечных элементов КДМ в процессе изменения частоты воздействия; необходимые условия соотношений форм гармонического воздействия и собственных динамических параметров, минимизирующие интенсивность колебаний в многомерных моделях; - условия существования «малых» динамических реакций при отклонении точки опирання от координаты УТК, и существование параметрической окрестности УТК, обеспечивающей функционирование СВ, а также оценки чувствительности колебательных форм и узлов к изменению конструктивных параметров в заданном диапазоне.
3. Предложен, математически обоснован, программно реализован и экспериментально подтвержден метод определения конструктивных параметров системы виброизоляции промышленных грохотов, использующий узловые эффекты колебаний с интегральной оценкой качества функционирования в области допустимой флуктуации технологической частоты и загрузочной массы.
4. Изучена особенность динамики КДМ устройств виброзащиты, разработанных на основе авторского патента.
5. Алгоритмические разработки реализованы в виде комплекса программ моделирования колебательных пороцессов и определения конструктивных параметров системы вибрационной защиты - "VICON" с численной апробацией программных разработок сертифицированными программными средствами.
6. Проведены экспериментальные апробации СВ в лабораторных и производственных условиях.
Практическая ценность работы заключается в следующем:
1. Разработанные в рамках диссертации методика, способ и программа конструирования систем виброизоляции позволяют снижать уровень вибрационного воздействия технологического оборудования на несущие конструкции промышленных зданий, повышая техногенную безопасность эксплуатации.
2. Разработки особо востребованы для предприятий, использующих вибрационные технологии и применимы для различных отраслей современного отечественного производства (особенно с высоким износом технологического оборудования).
3. Методические разработки и комплекс программ "VICON" рекомендованы для использования в проектных организациях и конструкторских бюро при проектировании и реконструировании объектов промышленных предприятий повышенной виброактивности.
Реализация полученных научных результатов:
1. Методика построения дискретно-континуальных математических моделей, алгоритмические разработки и комплекс программ "VICON" использованы в задачах анализа виброактивности конструкций, при проектировании и реконструировании ряда промышленных предприятий в различных проектных организациях, что подтверждается актами внедрения.
2. Системы виброизоляции, разработанные на основе авторского патента с использование программного комплекса "VICON", внедрены на ряде обогатительных предприятий и опробованы в производственных условиях, что подтверждено актами ввода в промышленную эксплуатацию.
3. Промышленная эксплуатация смонтированного варианта системы виброи-золяции на обогатительных фабриках компании «АЛРОСа» и разреза "Нерюнгринский" позволила уменьшить интенсивность вибраций конструкций перекрытий на рабочей частоте колебаний грохота.
4. Реконструкция воздухоподогревателя котла №8 Ново-Иркутской ТЭЦ по разработанным методикам позволила снизить интенсивность вибраций опорных балок.
Методика исследований. Методологической и теоретической базой диссертации являются труды отечественных и зарубежных учёных в области уравнений математической физики, теории колебаний, теории виброзащиты, методов конечного элемента, методов строительной механики, дифференциальных уравнений, линейной алгебры, численных методов анализа, методов лабораторных и экспериментальных исследований.
Личный вклад соискателя заключается в следующем: в сборе и анализе данных о ранее проведенных исследованиях; в постановке задач, в формировании идей методов решения и разработке методики исследований; в выполнении теоретических и экспериментальных исследований, обработке и анализе полученных при этом результатов; в разработке алгоритмов, реализующих решение поставленных задач, в разработке и отладке реализующих их программных средств; в формулировке и разработке основных положений диссертации; в предложении идеи патента, в разработке существенных признаков и формулы изобретения; во внедрении результатов исследований.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: всесоюзной научно-технической конференции "Ударные процессы в технике" (Николаев, 1984); второй всесоюзной конференции по теории упругости (Тбилиси, 1984); региональной конференции "Участие молодёжи Иркутской области в решении проблем комплексного освоения природных ресурсов и развития производительных сил Сибири" (Иркутск, 1980); первой всесоюзной конференции "Проблемы виброизоляции машин и приборов" (Иркутск-Москва, 1987); второй Всесоюзной конференции "Проблемы виброизоляции машин и приборов" (Иркутск-Москва, 1989); всесоюзой конференции "Вибрация и диагностика машин и механизмов" (Челябинск, 1990); международной конференции "Методы потенциала и конечных элементов в автоматизации исследований инженерных конструкций" (Санкт-Петербург, 1996); 3-й региональной конференции по сейсмостойкому строительству и сейсмическому районированию (Сочи, 1999); региональном научно-практическом семинаре "Проблемы строительного комплекса Иркутской области" (Иркутск, 1999); международной конференции "Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов" (Санкт-Петербург, 2000); международной конференции "Проблемы механики современных машин" ( Улан-Удэ, 2003); 5-й российской национальной конференции по сейсмостойкому строительству и сейсмическому районированию (Сочи, 2003).
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, библиографического списка из 215 наименований. Общий объем работы 279 страниц, включая 10 таблиц и 94 рисунка.
Сравнительный анализ возможных решений проблем виброизоляции объектов, расположенных на несущих конструкциях
Для рассматриваемых систем не удается получить разделения движений, порядок системы и ее сложность не позволяет надеяться на использование аналитических решений при исследовании полной системы уравнений динамики. Единственной альтернативой при решении задач остается численное исследование. Перечисленные обстоятельства делают весьма важным выбор численного метода. При этом основным критерием является минимум затрат времени при обеспечении необходимой точности решения.
Эффективность методов решения рассматриваемых задач зависит от параметров, характеризующих как систему уравнений, так и метод. Одним из наиболее существенных факторов, уменьшающих эффективность численных методов в применении к многомерным динамическим системам, является понятие жесткости. Для линейных и близких к ним динамическим системам судить о жесткости можно по величинам собственных значений матрицы Якоби, т.е. матрицы, состоящей из частных производных правой части системы по ее фазовым переменным. Моделирование колебательных процессов в динамических системах с большими по модулю собственными значениями, имеющими большие по модулю вещественные части, требует больших затрат времени. Для нелинейных систем определение свойств жесткости встречает значительные трудности [77,228,325], и выбор шага интегрирования требует некоторого запаса, обеспечивающего необходимую точность и устойчивость процесса. В условиях множества способов, ведущих к достижению цели вряд ли можно утверждать о наибольшей рациональности выбранного метода. Сам процесс выбора определяется опытом исследователя, его стилем, привычками, во многом нося субъективный характер. С другой стороны было бы несомненной ошибкой утверждать о невозможности сравнения эффективности любых двух методов для достаточно широкого диапазона параметров. Преимущества того или другого, полученные, например, при помощи непосредственного численного сравнения для узкого диапазона изменения параметров, в некоторых случаях могут быть легко экстраполированы на более широкую область, достаточную для практического использования. В последние десятилетия потребность исследования сложных динамических процессов повлекла интенсивную разработку устойчивых методов численного интегрирования. Сравнительный обзор методов, произведенный в [228] отдает предпочтение методу Гира, основанному на использовании семейства неявных многошаговых линейных разностных схем различного порядка. Организация методов произведена по широко используемому принципу "прогноз-коррекция" с итерационным уточнением решения по методу Ньютона. Отличительным для метода Гира является способ хранения информации о предистории процесса при помощи приближенного представления функции в виде "струи" [И] в заданных точках. Высокоэффективны методы Аргириса, основанные на интерполяции инерционных сил полиномами Эрмита. В [20] отдается предпочтение в - методу Вильсона, являющемуся оригинальной модификацией известного метода линейных ускорений.
Из методов, предназначенных для построения параметрических моделей стационарной динамики бесконечномерных систем, представляется наиболее удобным метод динамических податливостей. Модели такого типа, используемые для исследования динамического поведения конструкций, различными авторами назывались по-разному: "методы сопротивлений", "методы динамической жесткости " и т. д., но лежащий в их основе общий принцип имеет гораздо большее значение, чем различие в интерпретации или особенности в приемах применения [1,143,203].
При подходах, использующих динамические податливости, применяют узловое покрытие модели, позволяющее осуществить декомпозицию исходной идеализированной системы на некоторые достаточно простые элементы, допускающие их аналитическое решение для различных допустимых вариантов узловых граничных условий. Важная особенность метода динамических податливостей состоит в том, что динамическую реакцию линейной системы на случай действия нескольких сил приложенных в различных точках системы можно определить простым суммированием и таким образом легко сформировать систему разрешающих уравнений на основе использования принципа суперпозиций.
Метод основан на аналитическом выражении параметров состояния модели в координатах пространства через параметры гармонических перемещений некоторых узловых точек, в которых и осуществляется "сшивка" решений ансамбля элементов модели. Отличительной чертой метода является исключение процедуры дискретизации инерционных параметров и возможность непосредственного определения частных решений некоторых уравнений мат. физики гиперболического типа. Необходимым условием решения является осуществление функции разделения переменных времени и пространства, позволяющей исключить параметр времени для решения задачи стационарных колебаний и пользоваться параметрами пространства, выраженными в виде амплитуд перемещений и динамических реакций в связях. Понятие связей, традиционное в механике сооружений, не является распространенным в методе, но его использование позволяет легко формализовать учет граничных условий элементов декомпозированной системы и осуществить параметрическую сшивку различных элементов. Кроме того, использование понятия связей позволяет органически применять традиционные методы системного анализа и всех этапах от выбора расчетной схемы до принятия решения по результатам компьютерного анализа. Для пояснения сказанного наложим связи, препятствующие перемещениям узлов некоторого фрагмента и поворотам поперечных сечений балок из плоскости фрагмента. Эти связи, шарнирные (линейные) -и угловые изобразим на схеме и пронумеруем их некоторым образом на рис. 1.2. Исключение процедуры дискретизации в названных методах позволяет значительно уменьшить размерность решаемой задачи и для наиболее простых систем иметь аналитическое представление результатов. Для сравнения с методом конечного элемента приведен спектр частот собственных колебаний полученный с использованием метода динамических податливостей (рис 1.3) без какого либо дробления балки на промежуточные элементы.
Элемент с жестким защемлением с одной стороны и другим свободным концом
Как правило, точные решения удается получить для моделей с достаточно простыми регулярными границами областей [190]. Основополагающие результаты в создании аналитических методов решения упругопластических задач изложены в работе [108]. В общем случае напряженного и деформированного состояния методы решения разработаны недостаточно, обзоры исследований по квазистатическим и динамическим задачам содержатся в [8].
Для каждой нелинейной системы необходимо обосновать существование периодических решений и их устойчивость по отношению к начальным параметрам. Качественные методы исследования нелинейных систем уравнений подучили широкое применение в теории нелинейных колебаний [11,30, 43].
Весьма распространен подход, основанный на кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик восстанавливающих сил. Анализу систем с кусочно-линейными характеристиками посвящено работы [55,56,142]. Это объясняется распространенностью люфтовых явлений и трещин, возникающих под действием динамических и статических нагружений. Проявление одного трения в упругих элементах динамически нагруженных технических объектов приводит к изменению их диссипативных свойств, смещает собственные частоты и т.д.
Развитие вычислительной техники привело к разработке и развитию многочисленных методов вычислений, внешне не связанных между собой. Сегодня наиболее широкое распространение получили вариационные методы [45], метод Бубнова-Галеркина [322], конечно-разностные методы (МКР) [192], методы конечных (МКЭ) [20] и граничных элементов (МГЭ) [25, 154], и другие [202, 242]. Обзор и сравнение многих, из них приведен в [322].
В последнее время быстро завоёвывает популярность МГЭ благодаря трем его решающим преимуществам - сокращению на единицу геометрической размерности задачи, легкости исследования бесконечных областей и естественности решения разнообразных контактных задач [154]. Наряду с этим вызывают затруднения исследования гибридных моделей (например, стыковка элементов при точечном соединении), моделей с распределенными инерционными параметрами, широко распространенных при анализе виброактивных технических систем. В вычислительном плане усложняется анализ из-за потери симметричности матриц.
МКЭ использовался первоначально для анализа линейных задач динамики, работ, посвященных динамическому нагружению нелинейных стержневых конструкций к настоящему времени весьма немного [196, 352,353,355,370,371,375,384]. При этом одна из основных трудностей -вычисление матриц жесткости или податливости элементов [59, 103].
Решение систем нелинейных уравнений МКЭ обычно осуществляется итерационными алгоритмами, на каждом шаге которых решается система линейных уравнений. В зависимости от применяемых алгоритмов используется различные способы линеаризации [375].
Для расчета упруго-пластических конструкций в первых разработках авторы задавались функциями перемещении стержневого элемента в форме выбранных аппроксимационных полиномов и вычисляли компоненты матриц жесткости непосредственным численным интегрированием. Однако, последнее оказывается выполнимым далеко не всегда вследствие сложности определяющих соотношений выбранного варианта теории пластичности. Позднее были разработаны улучшенные варианты численных методов: Зенкевичем - метод начальных напряжений [103], Аргирисом - метод начальных деформаций и касательных жесткостей [342]. Наиболее распространенный в настоящее время способ основан на формулировке определяющего соотношения теории пластичности в терминах обобщенных деформаций и обобщенных усилий, которые и принимаются в качестве узловых [196]. Предполагается, что пластические деформации локализованы в узлах элемента и их появление соответствует пластическим шарнирам, а в случае выполнения условий пластичности в узлах производится вычисление матрицы жесткости непосредственным дифференцированием соотношения, определяющего поверхность текучести.
Мощным методом для исследования вынужденных стационарных колебаний, с точки зрения инженерного приложения, являются структурные методы анализа динамических систем [92, 217], позволяющие наглядно оценивать влияние на функционирование виброактивных систем различных изменений в ее структуре. В случае малых нелинейностей можно применять ряд методов теории возмущений и получать приближенные аналитические решения [202]. Для существенно-нелинейных систем, по всей видимости, наиболее универсальным методом получения приближенных аналитических решений является метод гармонического баланса, основанный на предположений, что, несмотря на нелинейности, установившиеся колебания в системе при определенных условиях оказываются близкими к гармоническим [31]. Метод заключается в линеаризации нелинейных характеристик, с последующим решением полученных алгебраических уравнений. Идея метода принадлежит Н.М.Крылову и Н.И.Боголюбову [158] и основывается также на развитой в работе Б.В.Булгакова специальной форме метода малого параметра [43]. Благодаря своей исключительной физической наглядности и сравнительной простоте математического аппарата, метод гармонической линеаризации стал незаменим при проведении инженерных расчетов [142, 327].
Можно перечислить основные преимущества метода в случаях, когда он применяется для получения приближенного аналитического решения нелинейного дифференциального уравнения [376]: - дифференциальное уравнение может быть любого порядка; - нелинейности не обязательно должны быть "малыми"; - самое важное, в случаях применимости метода - быстрый и эффективный способ получения приближенных аналитических решений; - избегается итерационная процедура при расчетах. Одна из первых попыток применить МКЭ к решению задач анализа параметров вынужденных нелинейных стационарных колебаний была предпринята в [352], в ней предполагалось, что продольные смещения элемента равны нулю по всему элементу и при вычислениях использовалась только фундаментальная гармоника, а более высокие отбрасывались.
Свойства узловых динамических реакций изгибаемых гармонических элементов при действии статической продольной силы
Для описания этапов преобразования используем распространенную "кортежную" запись [33] характеризующую и отличающую каждую систему: где Е - система, \М}- совокупность элементов в ней, \Х\- совокупность связей, F - функция, (отличительное свойство) системы.
При решении поставленных задач, исходной системой следует считать техническую систему в виде конструкций здания и технологического оборудования, предназначенную для выполнения заданных производственных операций и обеспечивающую необходимую комфортность рабочих мест. Конструктивные элементы, виброактивное и другое оборудование представляют собой совокупность элементов исходной технической системы
Совокупность связей системы представлена конструктивными узлами, креплениями, опорами и прочими устройствами, обеспечивающими конструктивное сочленение элементов и функциональность технической системы в целом.
Анализ и оценка уровней виброактивности такой системы обусловлены: необходимостью сохранения ее целостности (несущей способности конструкций); избежания неоправданных ремонтных затрат; обеспечения допустимых нормами уровней вибраций на рабочих местах. Как видно, проявления перечисленных факторов в достаточной степени определены интенсивностью вибраций. Таким образом, функциональным назначением исходной технической системы по проявлениям виброактивности является минимизация уровней вибраций конструкций и рабочих мест в рамках допустимых ограничений на технологические параметры. Схема "кортежного" представления исходной технической системы изображена на рис 3.18, а.
Наиболее интенсивными в большинстве случаев являются вибрации вертикального направления (из плоскости перекрытия), что характерно для работы промышленных грохотов. Интенсивность колебаний этого направления обусловлена еще и тем, что деформативность перекрытий из плоскости (обусловленная преимущественно деформациями изгиба) достаточно велика и значительно превышает свойства деформативности перекрытий в горизонтальной плоскости. Интенсивные вибрации в горизонтальных направлениях возникают гораздо реже (преимущественно в технологических операциях просеивания щепы в целлюлозо-бумажной промышленности) и характеризуются преобладанием колебательных форм, обусловленных изгибом вертикальных несущих элементов - стоек с горизонтальными перемещениями и возможными депланациями дисков перекрытий [28].
Принимая традиционную (и достаточно оправданную) для задач виброзащиты геометрическую интерпретацию виброактивных технологических объектов в виде твердых тел или сосредоточенных масс [37,38,40], а деформируемых континуальных элементов в виде одномерных - осевых линий, имеем возможность представить исходную систему в виде геометрической расчетной схемы. Элементами такой интерпретирующей системы являются: - изгибаемые элементы с распределенными инерционными и упругими параметрами; - твердые тела; - сосредоточенные массы; - упругие опоры. В качестве связей расчетной схемы приняты узловые связи: - линейные, обеспечивающие совместность поступательных перемещений узловых соединений; - угловые, обеспечивающие совместность поворотов сечений в узлах при деформациях изгиба. Функциональное назначение расчетной схемы заключается в полноте описания основных свойств исходной динамической системы и ее наглядности. Системное содержание идеализированной расчетной схемы приведено на 3.18, б. Предполагая выполнимость условий Бернулли для деформаций изгиба и гипотезы малых линейных перемещений для дискретных элементов, имеем возможность описания состояния системы в виде взаимооднозначного соответствия величин амплитуд силовых гармонических воздействий и величин амплитуд узловых перемещений по направлениям связей. Для этого произведем декомпозицию идеализированной системы на отдельные элементы. Отличие предлагаемой операции декомпозиции состоит в том, что она выполняется не путем устранения связей, а путем их раздельного повторения в каждой точке разделенного узла при выделении сопряженных в нем элементов (рис 3.19). Таким образом, декомпозированная система представляется в виде совокупности подсистем (элементов), имеющих узловые связи, идентичные элементам исходной системы. Далее осуществляется операция закрепления связей, то есть обеспечения условий нулевых перемещений по направлениям каждой из наложенной связи. Схема декомпозированной динамической системы изображена на рис 3.18, е. Для каждого элемента осуществим операцию гармонического сканирования связей, заключающуюся в поочередном гармоническом перемещении связей по своим направлениям с единичными амплитудами на заданной частоте СО при условиях закрепления каждой из остальных связей в положении нулевого перемещения. Определим и упорядочим, полученные в процессе гармонического сканирования, амплитуды единичных динамических реакций в узловых связях каждого элемента с номером к в виде матрицы R . амплитуд единичных динамических реакций. Очевидно, что операцию формирования матриц R целесообразно производить лишь для каждого типа элементов, используя ее в дальнейших операциях для всех однотипных элементов системы. Континуальному элементу каждого типа соответствует также матрица С . колебательной формы, позволяющая произвольные узловые перемещения элемента преобразовать в непрерывную функцию его вынужденных колебаний с учетом распределенного характера параметров масс и упругости (2.7).
Оценка чувствительности узловых эффектов в гармонически нагруженных изгибаемых элементах модели
При необходимости понижения виброактивности на некоторой достаточно обширной области, подверженной вибрационному воздействию (например, при воздействии пульсирующего воздушного потока на упругую обшивку) целесообразно использование реконструктивных мероприятий, связанных с изменением жесткостных и инерционных параметров системы. При этом существенным фактором, влияющим на уровень виброактивности многомерной или бесконечномерной модели, является взаимодействие вынуждающей колебательной формы с собственными динамическими параметрами модели. Параметры вибраций такой колебательной системы в отличие от одномерного варианта, в котором виброактивность при заданной амплитуде возбуждения однозначно определена частотой колебаний, зависят также и от формы (направления) воздействия. Для моногармонического силового воздействия, заданного в виде Bsin эта форма воздействия определяется вектором В. В силу линейности модели достаточно рассмотрения нормированного вектора. Если будем изменять направление вектора В, сохраняя неизменным модуль и частоту воздействия СО, то параметры колебаний будут также менять свои величины, достигая экстремальных значений. При изменении конструктивных параметров динамической системы меняются собственные частоты и колебательные формы. При этом, интенсивность колебательного процесса определяется не только соотношением частот (собственной и воздействия, как в одномерных системах), но также и направлением (формой) воздействия и свойствами колебательной формы, проявляющейся на частоте воздействия. Наиболее наглядно это может быть продемонстрировано для дискретных колебательных систем путем разложения матрицы динамических жесткостей по собственным колебательным формам. Действительно, для достижения резонанса на заданной частоте необходима ненулевая величина воздействия по направлению соответствующей колебательной формы. Однако произвольный ненулевой вектор воздействия на резонансной частоте может иметь ноль в соответствующей компоненте разложения по собственным формам, т.е. быть ортогональным этому направлению. Величина амплитуды на резонансе становится неопределенной, однако любое как угодно малое отклонение частоты приводит к конечному результату.
Для определения условий минимума интенсивности колебаний при взаимодействии колебательных форм можно обойтись без достаточно трудоемких процедур разложения по собственным формам.
Способ определения параметров колебательной системы, минимизирующих интенсивность вибраций основан на минимаксных свойствах функции Релея [134]. Условия минимальной интенсивности колебаний многомерной системы зачастую выражаются в наименьшем значении потенциальной энергии П, приобретенной системой при амплитудных значениях стационарных колебаний. Для конечномерной модели величина потенциальной энергии может быть записана в виде: Для заданных параметров матрицы А в силу диагональное матрицы М имеем, что количество неизвестных системы уравнений (3.13) равно количеству уравнений, из решения которых определяем т,- - массу в каждом узле как функцию от Я; Поскольку уравнения системы (3.13) разделены, решение распадается на решения отдельных уравнений. 135 Используя выражение (3.11) и подставив найденные выражения в (3.8) имеем потенциальную энергию как функцию от X: - Использование приема гармонического сканирования узловых связей позволило осуществить методически единообразное построение аналитических выражений элементов матриц амплитуд динамических реакций, как для дискретных так и для бесконечномерных ГЭ. - Полученные матрицы динамических реакций для дискретных элементов (упруго опертая сосредоточенная масса, сосредоточенная упругость, упруго опертое твердое тело) отображают взаимооднозначное соответствие между векторами амплитуд перемещений и векторами амплитуд реакций в узловых связях перечисленных элементов так же единообразно с бесконечномерными стержневыми элементами, что позволило осуществить построение комбинированной динамической модели на единой методической основе. - Использование операции гармонического сканирования стало возможным за счет осуществления особого способа декомпозиции исходной системы, заключающегося в том, что она (декомпозиция) производится не путем устранения связей, а путем их раздельного повторения в каждом разъединенном узле каждого выделенного элемента. - Проведенные исследования свойств динамических реакций бесконечномерных стержневых элементов при различных вариантах граничных условий показали отсутствие неопределенностей аналитических выражений на всей области определения частоты воздействия О) и статической продольной силы N для каждого из рассмотренных гармонических элементов. - Исследования графиков аналитических выражений динамических реакций в зависимостях от частоты воздействия СО и статической продольной силы N показали также целесообразность учета статической продольной силы в построении ГЭ.
