Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Некоторые математические аспекты применения метода математического моделирования в демографии 28
1.1 Метод прямой передвижки возрастных групп 28
1.2 Метод обратной передвижки возрастных групп 31
1.3 Применение методов прямой и обратной передвижки возрастных групп для оценки величины людских потерь РФ в годы ВОВ 34
1.4 О нецелесообразности аппроксимации процесса рождаемости потоком Пуассона при долгосрочном прогнозировании 37
Резюме 46
Глава 2 Упрощенные автономные системы массового обслуживания в демографии 48
2.1 Автономная упрощенная стохастическая система массового обслуживания 49
2.2 Исследование стохастической модели демографии в виде трехфазной автономной системы массового обслуживания 52
2.2.1 Метод моментов 55
2.2.2 Асимптотики первого и второго порядков 59
2.2.3 Применение трехфазной системы массового обслуживания к задачам демографии 66
2.3 Исследование стохастической модели демографии в виде пятифазной автономной системы массового обслуживания 71
2.3.1 Метод моментов 74
2.3.2 Асимптотики первого и второго порядков 76
2.3.3 Применение пятифазной системы массового обслуживания к задачам демографии 81
2.4 Исследование стохастической модели демографии в виде автономной системы массового обслуживания с двумя типами заявок 86
2.4.1 Метод моментов 89
2.4.2 Асимптотики первого и второго порядков 94
2.4.3 Применение системы массового обслуживания с двумя типами заявок к задачам демографии 98
Резюме 104
Глава 3 Стохастическая модель демографии в виде автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов 105
3.1 Автономная немарковская система массового обслуживания с неограниченным числом приборов 105
3.2 Автономная система массового обслуживания с РН-распределением времени обслуживания 108
3.3 Исследование автономной системы массового обслуживания с РН-распределением времени обслуживания 110
3.3.1 Метод моментов 111
3.3.2 Асимптотика первого порядка 113
3.3.3 Асимптотика второго порядка 116
3.4 Автономная система массового обслуживания с произвольным временем облуживания 119
3.4.1 Асимптотика первого порядка 121
3.4.2 Асимптотика второго порядка 124
Резюме 132
Глава 4 Применение модели и методов теории массового обслуживания к исследованию процесса изменения демографической ситуации 134
4.1 Функция дожития. Аналитический закон смертности в виде модели Гомперца-Мейкема(Оотреі±г-Макепат) 134
4.2 Определение интенсивности процесса рождаемости 139
4.3 Сценарий развития демографической ситуации. Численные результаты 144
4.3.1 Пессимистический сценарий 145
4.3.2 Оптимистический сценарий 150
Резюме 156
Заключение 157
Список использованной литературы 161
- Применение методов прямой и обратной передвижки возрастных групп для оценки величины людских потерь РФ в годы ВОВ
- Применение трехфазной системы массового обслуживания к задачам демографии
- Автономная система массового обслуживания с произвольным временем облуживания
- Сценарий развития демографической ситуации. Численные результаты
Введение к работе
Актуальность работы. В настоящее время демографические прогнозы востребованы в самых разных отраслях экономики, в образовании, здравоохранении и т.д. В связи с этим возникает необходимость построения научно обоснованных демографических прогнозов, как на ближайшее, так и на более отдаленное будущее.
При анализе и прогнозировании демографических процессов наиболее эффективным инструментом является использование методов математического моделирования.
К первым математическим моделям демографических процессов относятся детерминированные модели роста человечества, а именно модели линейного и экспоненциального роста, описание которых встречается в работах И.Г. Венецкого, Д. Кендалла, X. Касвелла и других авторов.
Наиболее известная детерминированная модель - модель стабильного населения (непрерывные и дискретные модели). Ее создание связывают с такими именами как Л. Эйлер, Г. Кнапп, В. Лексис, Дж. Лотка, В. Борткевич, П. Лесли. Большой вклад в разработку методов практического применения стабильного населения внесли советские демографы С.А. Новосельский, В.В. Паевский, А.Я. Боярский, И.Г. Венецкий и др.
Современный этап развития теории стабильного населения связывают с обобщением основных выводов на случай демографических процессов с переменными интенсивностями. В этом направлении работали А. Коул и А. Лопес. А также Р. Лии, Д. Ахлбург, 3. Сайкес, М. Алхо, Б. Спенсер, Дж. Поллард, Дж. Кохен, Н. Кейфиц и другие.
В конце XIX века учеными была предпринята попытка использовать в качестве модели, описывающей рост человечества, логистическую кривую. Этой модели придерживались Р. Пирль и Л. Рид.
Еще одной детерминированной моделью воспроизводства населения является модель гиперболического изменения численности населения, предложенная в 1960 г. X. Ферстером, П. Мором и Л. Амио-том. В настоящее время в этом направлении работает СП. Капица.
Значительный вклад в математическую демографию сделан О.В. Староверовым, который рассматривал демографические процессы в виде марковских моделей в форме цепей Маркова. Староверовым О.В. предложена стохастическая модель развития населения с дискретным временем, учитывающая случайность в рождаемости и смертности.
Метод компонент или метод передвижки разработан П.К. Уэл-птоном. В России перспективными исчислениями численности насе-
ления методом возрастных передвижек занимались С.Г. Струмилин, А.Я. Боярский, П.П. Шушерин, М.С. Бедный, а в последнее время Государственный комитет Российской Федерации по статистике, Центр демографии и экологии человека, Отдел населения ООН.
Приведенный анализ множества моделей, показал, что в моделировании демографических процессов наиболее распространены детерминированные модели (дискретные и непрерывные) и стохастические дискретные. Преимущество стохастических моделей перед детерминированными моделями заключается в том, что они учитывают отклонение частот демографических событий от их вероятностей.
Однако демографические процессы протекают в непрерывном времени и являются стохастическими. Методы исследования таких процессов в математической демографии недостаточно развиты. Именно поэтому актуальной является задача существенного расширения математических моделей процесса изменения демографической ситуации, а также развития методов их исследования.
Целью работы является разработка и исследование математической модели процесса изменения демографической ситуации в виде автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов, которая составляет новый класс в теории массового обслуживания и позволяет моделировать технические, биологические и другие автономные стохастические системы, функционирующие в непрерывном времени.
В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:
Разработка математического метода исследования автономных стохастических систем с непрерывным и дискретным временем.
Разработка стохастических моделей демографии в виде упрощенных автономных систем массового обслуживания с РН-распределением времени обслуживания и развитие методов моментов и асимптотического анализа для их исследования.
Разработка новой математической модели процесса изменения демографической ситуации в виде автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов и произвольным временем обслуживания.
Разработка метода виртуальных фаз и модификация метода асимптотического анализа для исследования автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов и произвольным временем обслуживания.
Применение разработанных математических моделей к исследованию процесса изменения демографической ситуации.
Научная новизна состоит в следующем:
Сформирован новый класс систем обслуживания в виде автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов и ее упрощенные варианты, позволяющий применять их к исследованию широкого класса автономных стохастических систем.
Разработан метод виртуальных фаз для исследования автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов, позволяющий находить многомерное распределение вероятностей численностей обслуживаемых заявок различных возрастов и основные характеристики, определяющие эти распределения.
Для исследования упрощенных моделей (трехфазной и пяти-фазной автономных систем, автономной системы с двумя типами заявок, автономной системы с РН-распределением времени обслуживания) предложены модификации метода моментов и метода асимптотического анализа. Найдены распределения вероятностей числа обслуживаемых заявок в таких системах и их основные характеристики.
На основе метода прямой передвижки возрастных групп предложен метод обратной передвижки, позволяющий выполнять интерполяцию демографических данных между датами переписей населения, а также восстанавливать функцию интенсивности процесса рождаемости. Метод прямой и обратной передвижки возрастных групп применены для оценки величины людских потерь РФ в годы ВОВ. Значение оценки составляет 17 млн. человек.
Методы исследования. В ходе исследования автономных систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов разных типов применялся аппарат теории вероятностей, случайных процессов, теории массового обслуживания, теории возмущений, математической демографии. В работе использовались методы моментов и асимптотического анализа.
Теоретическая ценность для теории массового обслуживания заключается в существенном совершенствовании и расширении классов систем массового обслуживания, а именно в создании автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов, функционирующей в непрерывном времени, а также в разработке метода виртуальных фаз и в модификации метода асимптотического анализа для ее исследования. Кроме того, теоретическая ценность работы отражается в дальнейшем развитии математической демографии, а именно в разработке новой математической модели процесса изменения демографической ситуации и методов ее исследования.
Практическая ценность предложенной автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов, функционирующей в непрерывном времени, и методов ее исследования заключается в возможности их применения для моделирования широкого класса технических систем и социально-экономических явлений и нахождения их основных вероятностных характеристик. В частности в диссертации рассмотрено применение для демографического прогнозирования на среднесрочную и долгосрочную перспективу.
Достоверность и обоснованность всех полученных в диссертации результатов подтверждается строгим математическим исследованием с использованием методов теории вероятностей, случайных процессов, теории массового обслуживания, теории возмущений, дифференциального и интегрального исчислений.
Апробация работы. Основные положения работы и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались:
III Всероссийская научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2004)», г.Анжеро-Судженск, 2004 г.
Международная научная конференция «Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей», г.Минск, 2005 г.
IX Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи», г.Анжеро-Судженск, 2005 г.
V Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование», г.Анжеро-Судженск, 2006 г.
XI Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи», г.Анжеро-Судженск, 2007 г.
Международная научная конференция «Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей», г.Минск, 2007 г.
VII Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», г.Томск, 2008 г.
Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 гг.)» Федерального агентства по образованию РФ по проекту «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применения к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи».
Публикации. По результатам выполненных исследований автором опубликованы 13 печатных работ, в том числе 6 статей, из них 3 в изданиях, рекомендованных списком ВАК.
Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации.
Постановка изложенных в диссертации задач была сделана научным руководителем аспиранта, доктором технических наук, профессором, Назаровым А.А., который указал основные направления исследования и принимал участие в обсуждении результатов. Доказательство и обоснование полученных в диссертации результатов, математические выкладки и численные расчеты выполнены лично автором работы. В совместных публикациях научному руководителю Назарову А.А. принадлежат постановки задач и указания основных направлений исследований, а основные результаты, выкладки и численные расчеты выполнены диссертантом.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 158 наименований и приложений. Общий объем составляет 204 страницы, в том числе основной текст 160 страница.
Применение методов прямой и обратной передвижки возрастных групп для оценки величины людских потерь РФ в годы ВОВ
В разделе 1.2 проведено дополнительное исследование оценки значения численности N(x-x,t-x), полученной методом обратной передвижки возрастных групп. Найдены условные математическое ожидание и дисперсия величины N(x — x,t — x) при условии, что выполняется равенство N(x,t)=n.
Заметим, что в смысле значений коэффициентов вариации, показано, что оценки, полученные методом обратной передвижки, на порядок (в 10 раз) точнее оценок, полученных методом прямой передвижки, при одинаковом горизонте прогнозирования т. Поэтому случайной ошибкой е4 здесь также можно пренебречь.
В разделе 1.3 на основе полученных формул применены методы прямой и обратной передвижки возрастов к решению задачи оценки величины людских потерь Российской Федерации в годы Великой Отечественной Войны. Показано, что суммарные значения людских потерь РФ в годы ВОВ при методах прямой и обратной передвижки возрастных групп совпадают и составляют 5=17 млн. чел. В разделе 1.4 представлено математическое обоснование нецелесообразности аппроксимации в математической демографии процесса рождаемости потоком Пуассона при долгосрочном прогнозировании [72, 75, 96]. Для этого на первом этапе рассматривается наиболее простая для исследования математическая модель случайного потока, управляемого цепью Маркова. Такая модель определяется как поток заявок в автономной системе массового обслуживания с неограниченным числом приборов и средним значением m(t) числа занятых приборов. Для системы определено распределение вероятностей P(i,t) и составлена система дифференциальных уравнений Колмогорова, найден аналитический вид характеристической функции H(u,t)
Далее исследуется, открытая система массового обслуживания с неограниченным числом приборов, на вход которой поступает нестационарный пуас-соновский поток с интенсивностью А.(ґ), выбираемой из условия совпадения средних значений числа приборов, занятых в автономной системе и в открытой системе с пуассоновским входящим потоком. Аналогично предыдущей системе массового обслуживания записано и решено дифференциальное уравнение для характеристической функции числа занятых приборов G(u,t). Характеристичная функция G(u,t) имеет вид
GЧерез обратное преобразование.-Фурье [14] найдены распределения вероятностей P\(i,t) и Pi(i,ty, определяемые характеристическими функциями G(u,t) и H(u,t). Определено расстояние между распределениями вероятностей P\(i,f) и РгО эО как Получены значения расстояния p(b,f) для различных значений параметров Ъ и t, показано, что расстояние p(b,t) возрастает с ростом значений параметров but. Поскольку, характеристики таких систем массового обслуживания существенно различаются, следовательно, делается вывод о нецелесообразности аппроксимации процесса рождаемости потоком Пуассона при долгосрочном прогнозировании.
В главе 2 [65, 71, 74] предлагается математическая модель женского населения в виде автономной немарковской системы массового обслуживания с РН-распределением времени обслуживания и неограниченным числом приборов. Особенностью такой системы является отсутствие внешнего источника1 заявок.
Продолжительность обслуживания т каждой заявки складывается из про-должительностей случайного числа фаз где т,- — продолжительность /-й фазы обслуживания. Величины т, являются независимыми экспоненциально распределенными случайными величинами с параметрами д./, характеризующими продолжительности фаз обслуживания,
В терминах демографии обслуживаемая заявка интерпретируется как женщина, время обслуживания заявки — продолжительность жизни этой женщины, величина b,(t) - интенсивность рождения девочек у женщины і-й возрастной группы в году t. Входящим потоком заявок является процесс рождения девочек, то есть последовательность моментов рождения девочек от всей совокупности женщин.
Применение трехфазной системы массового обслуживания к задачам демографии
Модели и методы теории массового обслуживания широко используются при математическом моделировании систем в различных областях, например, связь, транспорт, промышленность, экономика, военное дело, где рассматриваются уже ставшие классическими модели массового обслуживания с потерями, с ожиданиями и повторными требованиями, а также открытые и замкнутые-системы с фиксированным числом заявок [20, 91]. Основными элементами любой системы массового обслуживания (СМО) являются: входящий поток заявок (или требований), обслуживающие приборы и закон обслуживания, определяющий продолжительность пребывания заявки на приборе во время ее обслуживания.
В диссертации предлагается применить модели и методы теории массового обслуживания для анализа процессов изменения демографической ситуации, учитывая специфику демографических процессов. Отметим, что устоявшиеся в теории массового обслуживания терминология (прибор, линия, обслуживание, заявка, требование) слабо-ассоциируется с демографическими понятиями, в то время, как термины поток и интенсивность здесь достаточно приемлемы [26, 96].
Для построения математической модели уточним некоторые демографические термины и, прежде всего, понятие демографического процесса. В соответствии с [26] демографическим процессом называется последовательность одноименных событий в жизни людей, имеющая значение для смены поколений, что в терминах теории массового обслуживания называется случайным потоком однородных событий или, другими словами, потоком событий [76].
Известно, что демографические процессы определяются тремя факторами: рождаемостью, смертностью и миграцией населения. Рассмотрим влияние основных двух факторов на демографические процессы, исключая влияние на них миграционных процессов. Рождаемостью называют процесс деторождения, то есть последовательность моментов рождения детей от всей совокупности женского населении, смертностью процесс вымирания, то есть случайную последовательность моментов наступления смерти людей из всей совокупности населения. Под интенсивностью демографического процесса подразумевают степень напряженности демографического процесса, что в терминах теории массового обслуживания называется интенсивностью потока [26, 76].
Так как процессы развития численности реального населения протекают в непрерывном времени и являются стохастическими, то актуальным является задача построения стохастической демографической модели с непрерывным временем, а также разработка методов ее исследования.
В качестве математической модели процесса изменения численности женского населения, например, женщин Российской Федерации, рассматривается функционирование автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов (рисунок 3). Определим процесс функционирования СМО в терминах теории массового обслуживания, а затем дадим демографическую интерпретацию основных элементов данной модели. Каждая заявка входящего потока в момент своего поступления занимает свободный прибор и находится на нем в течение всего времени обслуживания, продолжительность которого случайна. Продолжительности обслуживания различных требований стохастически независимы, имеют одинаковое распределение, определяемое функцией S(x)=\—B(x), где В(х) — функция распределения времени обслуживания заявки. Завершив обслуживание, заявка покидает систему. Для заявки, находящийся в системе, определим возраст х 0 как длину интервала от момента t—x начала ее обслуживания (момента поступления в систему) до текущего момента времени t. Каждая заявка возраста х в момент времени t с интенсивностью b(x,t) генерирует новое требование, то есть вероятность того, что заявка возраста х от момента t за бесконечно малый интервал времени продолжительности At сгенерирует новое требование составляет b(x,t)At +o(Af), а вероятность генерирования двух и более требований является бесконечно малой величиной более высокого порядка чем At. Новая заявка в момент своего появления занимает свободный прибор и начинает процесс своего обслуживания, генерируя требования нового поколения. В рассматриваемой системе массового обслуживания отсутствует внешний источник заявок, поскольку все новые требования генерируются заявками, находящимися на обслуживании. В связи с этим система называется автономной. В общем случае предполагается, что продолжительность времени обслуживания имеет достаточно произвольную функцию распределения, поэтому данная система обслуживания является немарковской. Количество обслуживаемых приборов неограниченно. В терминах демографии обслуживаемая заявка интерпретируется как женщина, время обслуживания заявки — продолжительность жизни этой женщины, S(x) - функция дожития для женщин, возраст х заявки - возраст женщины в рассматриваемый момент времени t, функция b(x,f) — интенсивность рождения девочек у женщины возраста л: в году t (функция фертильности). Входящим потоком заявок является процесс рождения девочек, то есть последовательность моментов рождения девочек от всей совокупности женщин. От исследования автономной GMO, определяемой рисунком 3, перейдем к рассмотрению вспомогательной системы, структура которой совпадает с исходной, а продолжительность обслуживания т каждой заявки складывается из продолжительностей конечного числа фаз где т, — продолжительность і-й фазы обслуживания. Величины т,- являются независимыми экспоненциально распределенными случайными величинами с параметрами д.,, z-l,2...v, характеризующими продолжительности фаз обслуживания. Обслуживание каждой новой заявки начинается на первой фазе. Заявка, завершив обслуживание на г -й фазе, с вероятностью г, переходит к обслуживанию на г+1-ю фазу, а с вероятностью 1—г, завершает свое обслуживание и покидает систему. Такую систему будем называть автономной системой с фазовым распределением или РН-распределением времени обслуживания.
Автономная система массового обслуживания с произвольным временем облуживания
Как видно из рисунков 27-31, при таком предположении о суммарном коэффициенте рождаемости численность населения стремительно убывает. Это означает, что в России необходимо развитие на федеральном и региональном уровнях комплексных мероприятий, направленных на увеличение суммарного коэффициента рождаемости.
В главе 2 выполнены исследования трех упрощенных автономных систем массового обслуживания с РН-распределением времени обслуживания: трехфазной и пятифазной систем массового обслуживания и системы массового обслуживания с двумя типами заявок. Основной характеристикой в таких моделях является многомерная величина n(t), определяющая число заявок, обслуживаемых в системе в момент времени t.
Исследование систем выполнено методом моментов и методом асимптотического анализа. Основным результатом главы 2 является тот факт, что асимптотическое среднее значение Nrn t) числа заявок, обслуживаемых в системе в момент времени t, найденное в предельном асимптотическом условии N— х , совпадает с допредельным, полученным методом моментов. Заметим, что также совпадение справедливо и для вторых моментов для предельной и допредельной моделей. Особенностью предложенных упрощенных стохастических моделей в виде автономных систем массового обслуживания с РН-распределением времени обслуживания является возможность применения их для анализа демографической ситуации. В таком случае, результаты метода моментов и метода асимптотического анализа позволяют построить долгосрочный сценарий развития демографической ситуации, как это продемонстрировано в разделах 2.2.3, 2.3.3, 2.4.3. Отметим, что при построении более адекватных моделей, т.е. моделей, которые учитывают большее число факторов, получаем более адекватные результаты. Это объясняет различие результатов в рассмотренных системах. Параметры упрощенных стохастических моделей (пол, количество возрастных групп) выбираются в зависимости от поставленной задачи демографического исследования. Очевидно, что существует множество вариаций таких моделей. В качестве математической модели женского населения, например, женщин Российской Федерации, рассматривается автономная немарковская система массового обслуживания с неограниченным числом приборов (рисунок 38). Данная система была определена в главе 2. Повторим дословно основные моменты. Определим процесс функционирования СМО в терминах теории массового обслуживания, а затем дадим демографическую интерпретацию основных элементов предложенной модели. Каждая заявка входящего потока в момент своего поступления занимает свободный прибор и находится на нем в течение всего времени обслуживания, продолжительность которого случайна. Продолжительности обслуживания различных требований стохастически независимы, имеют одинаковое распределениє, определяемое функцией S(x)=l—B(x), где В(х) — функция распределения времени обслуживания заявки. Завершив обслуживание, заявка покидает систему.
Для заявки, находящийся в системе, определим возраст х 0 как длину интервала от момента t—x начала ее обслуживания до текущего момента времени L Каждая заявка возраста х в момент времени t с интенсивностью b(x,t) генерирует новое требование, то есть вероятность того, что заявка возраста х от момента t за бесконечно малый интервал времени продолжительности At сгенерирует новое требование составляет b(x,t)At +o(At), а вероятность генерирования двух и более требований является бесконечно малой величиной более высокого порядка чем At. Новая заявка в момент своего появления занимает свободный прибор и начинает процесс своего обслуживания, генерируя в соответствующем возрасте требования нового поколения.
В рассматриваемой СМО отсутствует внешний источник заявок, поскольку все новые заявки генерируются требованиями, находящимися на обслуживании. В связи с этим система называется автономной. В общем случае предполагается, что продолжительность времени обслуживания имеет достаточно произвольную функцию распределения, поэтому данная система обслуживания является немарковской. Количество обслуживаемых приборов неограниченно.
В терминах демографии обслуживаемая заявка интерпретируется как женщина, время обслуживания заявки - продолжительность жизни этой женщины, S(x) - функция дожития для женщин, возраст х заявки — возраст женщины в рассматриваемый момент времени, функция b(x,t) — интенсивность рождения девочек у женщины возраста х в году t (функция фертильности). Входящим потоком заявок является процесс рождаемости девочек, то есть последовательность моментов рождения девочек от всей совокупности женщин.
Заметим, что в детерминированных моделях с дискретным временем рассматривается возрастная структура женского населения как совокупность численности основных пятилетних (или годовых) демографических групп. В детерминированных моделях с непрерывным временем изучается возрастная плотность женского населения. В предлагаемой стохастической модели с непрерывным временем исследуется повозрастная стохастическая плотность женского населения и распределение вероятностей ее значений.
Сценарий развития демографической ситуации. Численные результаты
В данной главе предложено применение исследованной в главе 3 автономной системы массового обслуживания с произвольным временем обслуживания к изучению процесса изменения демографической ситуации. Для применения полученных результатов к исследованию демографических процессов предварительно определен явный вид функций S(x) и b(x,t) (Раздел 4.1, 4.2).
На основе сделанных предположений относительно динамики суммарного коэффициента рождаемости r\(t) в разделе 4.3 построены пессимистический и оптимистический сценарии изменения демографической ситуации в Российской Федерации на долгосрочную перспективу. А также найдены дисперсия численности возрастных групп, ковариация между численностью возрастной группы нулевого возраста и численностью возрастной группы возраста х на период с 2005 по 2105 год.
Как показало исследование, основными демографическими проблемами в России являются низкая рождаемость, высокая смертность, отрицательный естественный прирост, влекущий-за собой постоянное сокращение численности населения, изменение возрастного состава населения. Все эти глобальные изменения не могут не иметь серьезнейших экономических, политических и социальных последствий. Очевидно, что ситуация в России требует незамедлительной разработки и реализации на федеральном и региональном уровнях комплексных мероприятий, цель которых - преодоление последствий социально-экономического кризиса для демографических процессов.
В представленной диссертационной работе предлагается математическая модель демографии в виде автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов, а также ее частные случаи, а именно автономная система с РН-распределением времени обслуживания, трехфазная система массового обслуживания, пятифазная система массового обслуживания и система массового обслуживания с двумя типами заявок. Для исследования таких систем предложены метод моментов и метод асимптотического анализа и представлена возможность их применения к исследованию демографической ситуации.
В главе 1 предлагаются решения некоторых задач математической демографии с помощью математических методов. А именно, дается математическое обоснование известного метода прямой передвижки. Впервые математически определен метод обратной передвижки возрастных групп. Важным результатом является оценка с помощью данных методов величины людских потерь в годы Великой Отечественной Войны. Кроме того, в главе показана нецелесообразность аппроксимации процесса рождаемости потоком Пуассона при долгосрочном прогнозировании.
В главе 2 предлагается математическая модель динамики численности женского населения в виде автономной системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов и РН-распределением времени обслуживания, которая формирует новый класс систем массового обслуживания. Особенностью такой системы является, то, что в системе отсутствует внешний источник заявок, а продолжительность обслуживания т каждой заявки складывается из продолжительностей конечного числа фаз. В главе рассматриваются некоторые упрощенные варианты автономных систем массового обслуживания с РН-распределением времени обслуживания и методы их исследования, а именно, трехфазная система массового обслуживания (раздел 2.2), пятифазная система массового облуживания (раздел 2.3) и система массового обслуживания с двумя типами заявок (раздел 2.3).
Для указанных моделей составлены системы дифференциальных уравнений Колмогорова для распределения вероятностей числа обслуживаемых заявок и записаны дифференциальные уравнения для характеристических функций. Для решения дифференциальных уравнений для характеристических функций применены методы моментов и асимптотического анализа. Показано, что асимптотическое среднее значение Nm\{t) числа заявок, обслуживаемых в рассмотренных системах в момент времени t, найденные в предельном асимптотическом условии iV— оо, совпадает с допредельным, полученным методом моментов. Заметим, как показали численные результаты, вторые моменты в предельной и допредельной моделях также совпадают.
В главе 3 предложена стохастическая демографическая модель с произвольным временем обслуживания в виде автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов. Принципиальное отличие от модели главы 2 заключается в том, что здесь исследуется стохастическая плотность численности заявок (x,t) возраста х.
Предложен метод ее исследования, названный методом виртуальных фаз. Согласно которому, в разделе 3.2 исследована вспомогательная общая система массового обслуживания с РН-распределением времени обслуживания. Для распределения вероятностей числа обслуживаемых заявок записана система дифференциальных уравнений Колмогорова. В изучении характеристик вспомогательной системы с РН-распределением времени обслуживания применены методы асимптотического анализа и моментов.
Показано, что при ц— оо рассматриваемое РН-распределение сходится к распределению, определяемому функцией S(x), где S(x) — функция дожития. Поэтому, сделав соответствующие замены, в разделе 3.4 перешли к рассмотрению автономной системы с произвольным временем обслуживания.
Для основного уравнения относительно характеристического функционала найдены асимптотики первого и второго порядков его решения. Получены аналитические решения, определяющие средние характеристики Nm(x,t) и вторые моменты стохастической плотности численности заявок (x,f) возраста JC в году/.
В главе 4 предложено применение исследованной автономной системы массового обслуживания с произвольным временем обслуживания к изучению процесса изменения демографической ситуации. Для применения полученных результатов к исследованию демографических процессов функции S(x) и b(x,t) выбраны в аналитическом виде. Функция дожития — в виде модели Гомперца-Мейкема, а плотность распределения вероятностей значений репродуктивного возраста женщины была задана как плотность смещенного двупарамерического у-распределения. На основе сделанных предположений относительно динамики суммарного коэффициента рождаемости в разделе 4.3 построены сценарии изменения демографической ситуации на долгосрочную перспективу.
