Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Математическая модель пространственной тонкостенной конструкции 19
1.1 Вариационное уравнение равновесия составной конструкции 23
1.2 Алгоритм формирования матрицы жесткости отдельного элемента тонкостенной конструкции 33
1.3 Определение метрики координатной поверхности панелей 41
1.4 Тестирование упругой модели 54
Выводы по первой главе 61
Глава II. Алгоритмы оптимизации параметров силовых панелей пространственной тонкостенной конструкции 62
2.1 Алгоритм проектирования тонкостенной конструкции максимальной жесткости 62
2.2 Алгоритм решения задачи устойчивости отдельных элементов тонкостенной конструкции. Построение геометрической матрицы жесткости. Классический подход 68
2.3 Алгоритм проектирования тонкостенной конструкции максимальной жесткости с учетом потери устойчивости отдельных элементов 70
2.4 Алгоритм решения задачи устойчивости без определения напряженно-деформированного состояния. Неклассический подход 72
2.5 Определение рациональных параметров тонкостенной конструкции для нескольких случаев нагружения с учетом потери устойчивости панелей 74
2.6 Выбор числового параметра для оценки совершенства тонкостенной конструкции 79
2.7 Программные средства визуализации рациональных параметров тонкостенных конструкций 82
2.8. Особенности программного комплекса проектировочного расчета тонкостенных конструкций 88
Выводы по второй главе 92
Глава III. Моделирование поведения предварительно напряженных панелей тонкостенной конструкции в потоке газа 93
3.1 Расчетная модель предварительно напряженной конструкции 94
3.2 Матричное уравнение колебаний предварительно напряженных и деформированных конструкций 96
3.3 Расчет колебаний предварительно напряженных конструкций 97
3.4 Аэродинамическое воздействие на несущие поверхности 100
3.5 Автоматизированный расчет аэродинамической нагрузки 106
3.6 Флаттер предварительно напряженных панелей 112
3.7 Численные методы прямого интегрирования уравнений движения 119
3.8 Особенности программного комплекса исследования поведения предварительно нагруженных звеньев составной конструкции в потоке 121
Выводы по третьей главе 124
Основные результаты и выводы 125
Список литературы 127
- Вариационное уравнение равновесия составной конструкции
- Алгоритм формирования матрицы жесткости отдельного элемента тонкостенной конструкции
- Алгоритм проектирования тонкостенной конструкции максимальной жесткости
- Матричное уравнение колебаний предварительно напряженных и деформированных конструкций
Введение к работе
При современных темпах научно-технического прогресса динамика процесса проектирования является одной из важнейших характеристик качества, а сокращение сроков проектирования становится одним из главных требований. Для обеспечения гарантии успеха программы создания современной техники в условиях ограниченных сроков разработки, нужна более высокая степень точности прогнозирования характеристик проектируемого объекта на самых ранних стадиях проектирования.
Одним из путей повышения точности прогнозирования является более широкое проведение разработок с использованием фундаментальных методов анализа и принятия решений на базе математических моделей, адекватно отображающих характер и закономерности исследуемых объектов и процессов.
Современное развитие вычислительных средств привело к появлению мощных компьютерных систем автоматизированного проектирования конструкций. Разработка теоретических основ проектирования, значительные успехи в области вычислительной техники, позволяют говорить о реальной возможности автоматизации многих операций процесса проектирования. Основы численного решения основных математических задач изложены в книгах [8, 30, 52, 53, 54, 62, 63, 75, 85, 98, 102, 103, 117,141, 142].
Все чаще основой процесса проектирования является численный эксперимент, проводимый над математической моделью, наиболее полно отражающей свойства изучаемого объекта. Основной особенностью любого численного эксперимента в процессе изучения объективных законов физики и механики является возможность оценивать результаты эксперимента не только в целом, но и рассматривать более подробно поведение и взаимосвязь отдельных его составляющих. Полученные результаты расчетов ложатся в основу более целенаправленного поиска свойств изучаемого объекта при проведении экспериментов.
Необходимо отметить что, проектирование сложного технического объекта является итерационным процессом последовательного приближения к заданным или оптимальным характеристикам. Широкое применение численных методов позволяет существенно расширить вариантность проектирования, степень приближения к наилучшему решению за более короткое время, т.е. повысить качество проектирования и снизить сроки разработки проекта.
Мобильность построения графических образов и кинематических моделей изучаемого объекта определяет эффективность системы, как некоторой исследовательской рабочей среды способной развивать и пополнять свои возможности по мере совершенствования профессиональных навыков ее пользователя - проектировщика. Реализация этого направления в значительной степени связана с дальнейшим развитием расчетных методов и программных комплексов.
Весовое совершенство современных тонкостенных конструкций в авиа-, судо- и автостроении во много раз выше, чем несколько десятилетий назад. Это стало возможным благодаря соблюдению общих принципов оптимального конструирования: применением тонкостенных или ферменных конструкций, специальных материалов, минимальных запасов прочности, соблюдением равнопрочности и другими.
Актуальность темы исследования. Пространственные тонкостенные конструкции нашли широкое применение в различных отраслях авиа-, авто-, судостроении благодаря своей способности обеспечивать необходимую жесткость и прочность при относительно небольшом весе. Пространственное рациональное расположение плоских или имеющих кривизну панелей (элементов) сложной составной тонкостенной конструкции должно исключить или по возможности свести к минимуму неблагоприятные деформации, приводящие к изгибным напряжениям. Тонкостенные элементы пространственной конструкции должны работать преимущественно в плосконапряженном состоянии. Расчетные модели должны адекватно отражать механику их де-
формирования. Упругие модели силовых элементов тонкостенной конструкции основываются на соотношениях, описывающих перемещение точек материала элемента при деформировании конструкции. Соотношения эти базируются на гипотезах, согласно которым удается определить перемещение бесконечного числа точек конечным числом переменных.
Формирование расчетной модели сложной составной конструкции путем членения ее на части имеет ряд преимуществ, с точки зрения анализа характера деформирования, как отдельных непрерывных в своих пределах частей, так и всей конструкции в целом. Разумным сочетанием подходов к созданию математической модели сложной составной конструкции является совпадение границ расчетных элементов с естественными физическими границами отдельных ее частей. Не смотря на значительное число работ, посвященных расчету сложных составных конструкций, задача эта остается актуальной и на сегодняшний день.
Важной задачей оптимизации тонкостенных конструкций является максимальное использование прочностных свойств материала силовых элементов. При проектировании совершенной конструкции нужно добиться, чтобы действующее напряжение в материале стремилось к предельному значению в каждой точке конструкции или в максимально возможной ее части. Если какой-либо элемент конструкции теряет устойчивость, несущая способность ее может снизиться, но напряжения в материале самой панели и всей конструкции могут быть значительно меньше предельных значений. Это означает, что прочностные свойства материала не используется в полной мере. Необходимо повысить критическое напряжение, изменив конструкцию элементов, теряющих устойчивость при величинах нагрузки меньше расчетной. В идеальной оптимальной конструкции напряжения в материале всюду достигают предельных значений при расчетной нагрузке. На практике речь идет о достижении максимальной полнонапряженной конструкции при расчетной нагрузке.
Полученные оптимальные параметры конструкции для одной расчетной нагрузки могут оказаться не оптимальными для другой. Поэтому задача разработки эффективного алгоритма поиска оптимальных (рациональных) параметров тонкостенной конструкции для нескольких видов расчетной нагрузки также весьма актуальна.
При решении большого числа практических задач проектирования возникает необходимость учитывать конечность перемещений гибких конструкций, например, в задачах устойчивости. Линеаризованная постановка предполагает расчет критического параметра некоторого известного или заданного поля напряжений в конструкции. Для определения критической нагрузки потери устойчивости необходимо прежде произвести расчет этого поля напряжений. Затем из уравнений устойчивости определить критический параметр поля напряжений и, следовательно, внешней нагрузки. При этом исходят из того, что в подавляющем большинстве технических задач невозмущенное состояние сравнительно мало отличается от недеформированного состояния и лишь переход от устойчивости к неустойчивости характеризуется быстрым нарастанием перемещений. Поэтому при решении прикладных задач упругой устойчивости геометрия невозмущенного равновесия, устойчивость которой исследуется, обычно отождествляется с геометрией недеформированного состояния [4, 7, 9, 12, 22, 40, 86, 87, 94, 109, 118, 125, 138, 139, 155, 162, 172]. Количество задач, в которых влияние перемещений было подвергнуто исследованию сравнительно невелико даже в теории оболочек [2, 6, 13, 27, 34, 35, 59, 60, 67, 68, 83, 91, 96, 116, 128, 140, 173].
Актуальность создания эффективных алгоритмов расчета конструкций при конечных перемещениях в современном проектировании также велика.
При наличии эффективного алгоритма расчет критических нагрузок устойчивости тонкостенных конструкций, если его рассматривать с позиции учета конечности перемещений, может быть даже проще, а полученные при этом результаты будут иметь большую достоверность. Применение упругих
моделей, учитывающих конечность перемещений, не должно приводить к существенному усложнению задачи.
Пе менее актуальной является задача расчета периодических нелинейных режимов колебаний элементов тонкостенных конструкций. Во-первых, нелинейная постановка такой задачи позволяет судить о величине перемещений, деформаций и напряжений, а не только о величине критического параметра скорости их возникновения. Полученные результаты можно использовать в расчетах по определению предела выносливости материала конструкции. Однако такая задача в силу своей сложности практически не решается в прочностных расчетах конструкций [11, 20, 23, 31, 114, 121, 153] , а находит отражение только в трудах по теории пластин и оболочек [33, 37, 61, 127, 135, 152, 154, 167]. Введение таких расчетов в практику проектирования тонкостенных конструкций возможно только лишь при наличии эффективных алгоритмов численного решения задачи.
Еще один раздел проектирования тонкостенных конструкций составляют задачи динамики и аэроупругости предварительно напряженных панелей составной конструкции. Некоторые из этих задач допускают решение в линеаризованной постановке, а в некоторых случаях предварительную напряженность конструкции необходимо учитывать с учетом конечности перемещений. Эффективные упругие характеристики сжатых и растянутых панелей тонкостенной конструкции могут существенно отличаться от незагруженных панелей. При растяжении панелей линеаризация уравнений допустима - перемещения малы. При критических сжимающих усилиях перемещения могут быть значительны. «Прощелкивающие» панели вообще не допускают линеаризованной постановки задачи учета предварительной статической напряженности. Кроме того, расчетная модель, учитывающая конечность перемещений, а не только предварительную напряженность панели позволяет также определить пределы применимости линеаризованных уравнений.
Не менее важной проблемой расчета гибких конструкций с учетом конечности перемещений является решение нелинейных матричных уравнений равновесия. Наиболее распространенным методом решений нелинейных уравнений является прослеживание изменения этих решений по мере изменения некоторого параметра задачи. Реализация такого подхода связана с продолжением решения нелинейных уравнений по параметру. Численная реализация продолжения по параметру осуществляется в виде некоторого шагового процесса по параметру нелинейной системы уравнений f(x,p) = О. Сама идея продолжения решения известна и используется в математике и механике давно. Именно она лежит в основе метода возмущений (метода малого параметра) -У. Леверье (1856) и А.Пуанкаре (1892). Шаговые процессы по параметру с итерационным уточнением решения на каждом шаге называют дискретным продолжением решения. К аналогичному алгоритму сводится известный метод последовательных нагружений, разработанный В.В.Петровым [113]. Существует много предложений по выбору параметра продолжения решения [25, 26, 56,64, 77,113, 124]. Часть из них обсуждена в обзоре [56].
В работах В.И.Шалашилина показано, что проблема выбора параметра связана с решением линеаризованной системы уравнений традиционным методом исключения, что она не возникает при использовании для этого метода ортогонализации [56].
В особых точках возможно ветвление решений [25, 66]. Общий случай ветвления решения нелинейных уравнений в настоящее время до конца не исследован. Результаты для аналитических функций fi , начало которым положили исследования А.М.Ляпунова и И.Е.Шмидта, можно ознакомиться в монографии М.М.Вайнберга, В.А.Треногина «Теория ветвления решений нелинейных уравнений» [26].
Перечисленные выше примеры составляют круг задач, которые необходимо выполнить при создании алгоритмов решения современных инженерных задач проектирования тонкостенных конструкций.
Целью и задачей исследования является: проведение комплексных исследований, направленных на создание математических моделей, алгоритмов и программных комплексов для решения задач проектирования сложных пространственных тонкостенных конструкций. Это будет способствовать оптимизации параметров силовых элементов, повышению жесткости несущей конструкции при сохранении ее массы, снижению уровня максимальных напряжений и повышению эффективности использования материала силовых элементов.
Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи: -разработать алгоритм формирования дискретной расчетной модели сложной составной тонкостенной конструкции, которая позволила бы проводить расчеты проектных параметров как всей конструкции в целом, так и ее отдельных элементов в составе всей конструкции;
разработать эффективный эвристический алгоритм определения рациональных параметров (толщины заполнителя и толщины лицевых слоев) трехслойных силовых элементов в пространственных составных тонкостенных конструкциях для нескольких расчетных нагрузок с учетом возможной потери устойчивости этих элементов;
разработать алгоритм решения задач устойчивости и колебаний предварительно напряженных и деформированных панелей конструкции с использованием традиционных подходов линеаризации задачи устойчивости и методов продолжения решения по параметру нелинейных задач;
оптимизировать численные алгоритмы решения задач проектирования большой размерности: разработать дискретные расчетные модели и алгоритмы блочного формирования матрицы жесткости и решения матричных уравнений статики, динамики и аэроупругости тонкостенных конструкций;
создать на основе разработанных моделей и алгоритмов комплекса прикладных программ для проектировочных расчетов составных тонкостенных конструкций, автоматизировать подготовку исходных данных и органи-
зацию процессов оптимизации проектных параметров тонкостенных конструкций.
Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы математического моделирования механики деформирования упругого тела с учетом особенностей деформирования составных тонкостенных конструкций и современные программные средства. В работе применялись теоретические и расчетные исследования.
Теоретические исследования основаны на решении уравнений механики деформирования трехслойных конструкций при конечных перемещениях. Для построения расчетных моделей использовались идеи метода конечных элементов (МКЭ), а именно, вариационная постановка задачи в контактной форме, требующая минимизации специально подобранного функционала и методов интегрирующих и дифференцирующих матриц, сводящих решение к системе алгебраических уравнений.
Для решения задач устойчивости с учетом деформирования использовался метод продолжения нелинейного решения по параметру, применяемый при исследовании нелинейного деформирования пластин и оболочек.
Для решения задач определения критических скоростей возникновения незатухающих колебаний панелей составной конструкции, при взаимодействии с потоком, использовались методы анализа устойчивости систем путем сведения задачи к проблеме определения собственных значений матричных уравнений и методы прямого интегрирования уравнений движения.
Достоверность и обоснованность основных научных положений обеспечивается строгим математическим обоснованием математических подходов; результаты расчетов проанализированы с точки зрения их физической достоверности, сравнены в некоторых случаях с решениями на основе других методов и с данными экспериментальных исследований.
Результата проектировочных расчетов пилона самолета ТУ-ЗЗО дублировались проведение поверочных расчетов комплексом МКЭ «Диана», сер-
тифицированным в КБ ОАО «Туполев». Достоверность результатов расчетов послужило основанием для внедрения разработанного автором программного комплекса в КФ КБ ОАО «Туполев».
Научная новизна полученных результатов определяется созданием математических моделей статики и динамики составных тонкостенных конструкций с учетом конечности перемещений в процессе деформирования на основе конечно-элементной дискретизации разработке алгоритмов расчета прочности, устойчивости и определения оптимальных проектных параметров элементов сложных составных тонкостенных конструкций, в ходе которых:
разработаны алгоритмы формирования матричных уравнений равновесия сложных составных конструкций, учитывающих конечность перемещений, алгоритмы вычисления критических значений внешней нагрузки с использованием идеи продолжения решения по параметру и смены параметра в процессе решения нелинейных систем уравнений;
созданы эвристические алгоритмы решения задач поиска рациональных параметров трехслойных панелей - элементов составных тонкостенных конструкций (толщины лицевых слоев трехслойных панелей, толщины заполнителя) при действии нескольких расчетных нагрузок с учетом возможной потери устойчивости отдельных элементов. Полученные рациональные проектные параметры позволяют повысить жесткость конструкции, снизить уровень максимальных напряжений при сохранении ее массы или снизить требуемую массу конструкции при обеспечении необходимых запасов прочности;
разработаны алгоритмы расчета колебаний в потоке предварительно нагруженных и деформированных панелей составных тонкостенных конструкций. Предложен алгоритм формирования линеаризованных матричных уравнений колебаний с использованием метода продолжения нелинейного решения по параметру и процедуры смены параметра;
- предложен параметр для количественной оценки степень совершенства конструкции, позволяющий оценить мероприятия по оптимизации конструкции. На основании этого параметра можно судить об оптимизации конструкции, приводящей к снижению уровня напряжений при неизменной несущей способности и массе силовых элементов или увеличению несущей способности при одновременном уменьшении массы силовых элементов при сохранении уровня напряжений. Наиболее эффективные оптимизационные мероприятия те, что приводят к увеличению несущей способности и одновременно к снижению уровня напряжений и массы силовых элементов.
Научная новизна полученных результатов определяется: созданием математических моделей статики и динамики составных тонкостенных конструкций с учетом конечности перемещений в процессе деформирования на основе конечно-элементной дискретизации разработке алгоритмов расчета прочности, устойчивости и определения оптимальных проектных параметров элементов сложных составных тонкостенных конструкций, в ходе которых:
разработаны алгоритмы формирования матричных уравнений равновесия сложных составных конструкций, учитывающих конечность перемещений, алгоритмы вычисления критических значений внешней нагрузки с использованием идеи продолжения решения по параметру и смены параметра в процессе решения нелинейных систем уравнений;
созданы эвристические алгоритмы решения задач поиска рациональных параметров трехслойных панелей - элементов составных тонкостенных конструкций (толщины лицевых слоев трехслойных панелей, толщины заполнителя) при действии нескольких расчетных нагрузок с учетом возможной потери устойчивости отдельных элементов. Полученные рациональные проектные параметры позволяют повысить жесткость конструкции, снизить уровень максимальных напряжений при сохранении ее массы или снизить требуемую массу конструкции при обеспечении необходимых запасов прочности;
разработаны алгоритмы расчета колебаний в потоке предварительно нагруженных и деформированных панелей составных тонкостенных конструкций. Предложен алгоритм формирования линеаризованных матричных уравнений колебаний с использованием метода продолжения нелинейного решения по параметру и процедуры смены параметра;
предложен параметр для количественной оценки степень совершенства конструкции, позволяющий оценить мероприятия по оптимизации конструкции. На основании этого параметра можно судить об оптимизации конструкции, приводящей к снижению уровня напряжений при неизменной несущей способности и массе силовых элементов или увеличению несущей способности при одновременном уменьшении массы силовых элементов при сохранении уровня напряжений. Наиболее эффективные оптимизационные мероприятия те, что приводят к увеличению несущей способности и одновременно к снижению уровня напряжений и массы силовых элементов.
Практическая ценность диссертации заключается в разработке автором и реализации на ПЭВМ:
алгоритмов расчета проектных параметров тонкостенных конструкций максимальной жесткости;
алгоритмов расчета рациональных параметров тонкостенных конструкций при действии нескольких расчетных нагрузок с учетом потери устойчивости отдельных элементов;
алгоритмов расчета колебаний предварительно напряженных и деформированных панелей в потоке газа; расчете рациональных параметров реальных тонкостенных конструкций при действии нескольких видов расчетных нагрузок; оптимизации численных алгоритмов для решения задач проектирования большой размерности;
внедрение разработанных комплексов программ в конструкторском бюро КФ КБ ОАО «Туполев» и ЗАО «Казанский Гипронииавиапром».
Расчетный комплекс доведен до пользовательского уровня, операции по
подготовке исходных данных автоматизированы. Визуализация операций препроцессора и постпроцессора, базы данных по справочным материалам встроены в программы проектировочных расчетов и позволяют автоматизировать проектно-расчетные работы. С помощью разработанного программного комплекса были проведены реальные проектировочные расчеты нескольких вариантов пилона самолета ТУ-330, силовых каркасных конструкций при проектировании цехов.
Получены рациональные конструктивные параметры силовых панелей этих конструкций. Расчетные исследования, объяснившие появление усталостных трещин на верхних панелях крыла современного сверхзвукового самолета из-за возникновения незатухающих высокочастотных колебаний на эксплуатационных скоростях, позволили разработать план мероприятий по их устранению без дополнительных усилений, следовательно, без дополнительной массы силовых элементов.
На зашиту выносятся: разработанные автором диссертации:
алгоритмы и реализующие их программные комплексы проектировочного расчета составных тонкостенных конструкции при действии статической и нестационарной нагрузки с учетом конечности перемещений;
эвристические алгоритмы расчета рациональных параметров тонкостенных конструкций при действии одной или нескольких видов расчетных нагрузок с учетом потери устойчивости отдельных элементов конструкции;
результаты расчета оптимальных параметров силовых панелей реальных конструкций для одной и нескольких расчетных нагрузок;
математическая модель и алгоритмы расчета аэроупругих колебаний предварительно напряженных и деформированных панелей составных конструкций;
алгоритм построения линеаризованных матричных уравнений колебаний панелей составной конструкции на основе метода продолжения нелинейных уравнений деформирования конструкций;
программный комплекс с автоматизацией подготовки исходных дан-
ных и результаты проектировочных расчетов реальных составных тонкостенных конструкций.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: Всесоюзной научно-технической конференции «Современные проблемы строительной механики ЛА» (Харьков, 1991); Международных научно-практических конференциях «Автомобиль и техносфера» (Казань, 2003, 2005); Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в инновационных проектах» (Ижевск, 2004); 6-м Международном конгрессе по математическому моделированию (Н.Новгород, 2004); Всероссийских научно-практических конференциях «Авиакосмические технологии и оборудование» (Казань, 2004, 2006); Международных научно-практических конференциях "Инфокоммуникационные технологии глобального информационного общества" (Казань, 2005, 2006.); International conference «Vibroingeneering, 2006» (Kaunas, 2006).
Публикации. Основные результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 5 научных статьях в журналах: Известия ВУЗов «Авиационная техника», «Вестник КГТУ» и 6 в трудах Всесоюзной, Всероссийских и Международной конференциях.
Из них в изданиях рекомендуемых ВАК для кандидатской диссертации - 4. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Основная часть работы изложена на 141 странице машинописного текста, включает 9 таблиц и 95 рисунков. Библиографический список содержит 175 наименований литературных источников отечественных и зарубежных авторов.
Первая глава посвящена разработке математической модели пространственной тонкостенной конструкции. Условие сопряжения звеньев составной конструкции вводится в вариационное уравнение в виде виртуальной работы контактных усилий на разности перемещений стыкуемых точек. Описывается алгоритм формирования матричных уравнений равновесия состав-
ных тонкостенных конструкций при конечных перемещениях, рассматриваются вариационные уравнения равновесия, излагается алгоритм построения переменных матриц жесткости. Излагается способ определения метрики (геометрии) координатных поверхностей с использованием сплайн-аппроксимации, построение интегрирующих и дифференцирующих матриц на основе сплайнов. Отмечается главное достоинство предлагаемого подхода, позволяющего формировать различные упругие модели по единой схеме. Приведены результаты тестирования упругой модели панели-элемента составной пространственной конструкции. Приводятся результаты сравнительных расчетов тонкостенных конструкций. Отмечается хорошее совпадение вычисленных напряжений с данными экспериментов и решениями других авторов.
Во второй главе описывается алгоритм оптимизации параметров тонкостенной конструкции (толщины лицевых слоев и заполнителя) трехслойных панелей - элементов составной конструкции при действии одного или нескольких видов расчетных нагрузок с учетом потери устойчивости отдельных элементов. Получена оригинальная формула перерасчета толщины лицевых слоев трехслойных панелей, обеспечивающая условие сохранения заданного объема конструкционного материала. Приводятся и анализируются результаты оптимизационных расчетов конструкций максимальной жесткости и рациональных параметров при действии нескольких видов расчетных нагрузок. Излагается алгоритм решения задач устойчивости элементов тонкостенной конструкции на основе классического подхода, учитывающего предварительную напряженность конструкции, теряющей устойчивость. Предлагается обоснование предлагаемого числового параметра для количественной оценки совершенства тонкостенной конструкции.
Третья глава посвящена разработке математической модели поведения предварительно напряженных и деформированных панелей составной конструкции в потоке газа. Описывается механизм изменения эффективных жестко-
стных характеристик панелей, имеющих предварительную напряженность. Приводятся результаты расчетов частот собственных колебаний предварительно напряженных панелей. Приведены результаты расчета критической скорости панельного флаттера в зависимости от величины предварительной напряженности. Приводятся сравнительные расчеты с использованием классического подхода учета предварительной напряженности и предлагаемого (нелинейного), позволяющего учесть предварительное деформирование.
Рассматриваются варианты изменения конструктивных параметров для увеличения критических значений скорости панельного флаттера. Описываются используемые схемы прямого интегрирования уравнений колебаний (движения). Для определения аэродинамического воздействия использованы разработки метода дискретных вихрей. Программы расчета аэродинамических нагрузок реализованы в удобной графической форме.
Вариационное уравнение равновесия составной конструкции
Формирование расчетной модели сложной конструкции путем членения ее на части имеет ряд преимуществ с точки зрения анализа характера деформирования как отдельных частей так и всей конструкции в целом.
Разумным сочетанием подходов к созданию упругой модели сложной составной конструкции было бы совпадение границ при членении конструкции на элементы, обусловленное принятой расчетной моделью и естественными границами отдельных ее частей. В сложной тонкостенной конструкции выделяют отдельные ее части (подконструкции), отличающиеся непрерывным изменением геометрических, массовых, жесткостных и других характеристик. В расчетной модели эти части можно назвать суперэлементами.
Условия связи частей (подконструкции) задается или через перемещения или через усилия. В первом случае перемещения на границе найдутся из решения уравнения равновесия для границ, во втором случае силы взаимодействия находятся из решения уравнений совместности перемещений для частей на их общих границах. Решение нелинейных задач вторым методом сопряжено с определенными трудностями.
Для сложных конструкций может существовать множество различных схем сочленения отдельных ее частей. Геометрические условия сопряжения частей необходимо формулировать с учетом характера соединения. Число контактных усилий может не совпадать с числом степеней свободы в стыкуемой точке.
Такое представление матрицы жесткости составной конструкции удобно при решении динамических задач прямым интегрированием матричных уравнений движения, поскольку матрицы жесткости отдельных звеньев суммируются с матрицами инерционных коэффициентов и система уравнений решается методом исключения Гаусса без перестановки строк и столбцов. Более того, общая матрица жесткости не вырождена, если даже одно звено представлено как твердое тело и его матрица жесткости нулевая. В статических расчетах такая задача не решается, а в динамических расчетах некоторые составные части многозвенной конструкции вполне можно представлять абсолютно жесткими телами. Суммирование матриц жесткости и инерционных коэффициентов позволяет избежать вырождения матриц. Соответствующей нумерацией неизвестных можно добиваться формирования новой структуры общей матрицы жесткости, например, такой, рис. 1.3: звено 1 звено2
В этом случае можно построить более экономичный алгоритм решения системы уравнений по схеме исключения Гаусса. Кроме этого, для матриц жесткости одинаковых частей составной конструкции прямой ход исключения можно произвести только для одного диагонального блока. Для всех остальных подобных диагональных блоков преобразованные матрицы будут такими же. Все это экономит время решения.
Формирование матрицы жесткости отдельного суперэлемента состоит из несколько этапов, на каждом из которых при изменении кинематических соотношений, определяющих функции перемещений в пределах суперэлемента, меняется (добавляется) единственный модуль. Подробно такой алгоритм формирования матрицы жесткости описан в статьях [41, 44-47, 49].
При вычислении напряжений по полученным значениям перемещений в узлах сетки производные этих перемещений можно определять численным дифференцированием на основе сплайн-аппроксимации функции перемещений на координатных поверхностях суперэлемента. Это позволяет построить гладкую (не ступенчатую) функцию напряжений в пределах суперэлемента в отличие от МКЭ.
Описанный подход к формированию упругой модели тонкостенной конструкции удобен при решении геометрически нелинейных задач: переменные матрицы жесткости суперэлементов формируются независимо, а условия стыковки не зависят от изменения геометрии их поверхностей. Это позволяет применять не только различные кинематические гипотезы для отдельных суперэлементов, но и различные вычислительные приемы при анализе нестационарного деформирования гибких тонкостенных конструкций.
В программном комплексе формируются топологические матрицы, хранящие информацию о структуре блочной матрицы, номера нулевых блоков или блоков, заполняющихся в процессе прямого хода Гаусса. Блоки матриц записываются в файл прямого доступа и считываются с жесткого диска в соответствии с алгоритмом процедуры Гаусса и вычисленной и хранящейся нумерации записей. Все это позволило построить оптимальный алгоритм решения задач большой размерности, исключающий операции с нулевыми блоками. Процесс вычисления топологических матриц полностью автоматизирован.
На основании нумерации узлов (рис. 1.9) и определения 4-х угловых точек звеньев и формируются топологические матрицы, определяющие структуру будущей блочной матрицы жесткости. Совпадение двух точек общей для звеньев линии, например, 37-38 является общей для звеньев с порядковыми номерами 29, 34, 33 с угловыми точками 37-36-33-35, 37-38-42-42, 37-38-39-40, определяет наличие сопряжение этих звеньев. Звенья сопрягаются парами. Если по одной линии сопрягаются несколько звеньев, сопряжения разбиваются на пары. В данном случае имеем два сопряжения: 29-33 и 33-34. В матрице жесткости это соответствует двум внедиагональным блокам. Второе сопрягаемое звено всегда имеет больший порядковый номер, ближайший к номеру первого звена. Это условие определяет компактность размещения внедиагональных блоков.
Алгоритм формирования матрицы жесткости отдельного элемента тонкостенной конструкции
Число жесткостных коэффициентов С,,к в общем случае с учетом симметричности тензора равно двадцати одному. Представим внутреннюю удельную энергию в привычном матричном виде.
Матрица [В] определяется соотношениями (1.10), после того как вектор упругих перемещений бесконечного числа точек определен конечным числом переменных в соответствии с конкретной гипотезой (моделью) деформирования упругой конструкции. Элементы прямоугольной матрицы [В] определяются метрикой поверхности, а именно скалярными произведениями типа и координатой Z. Линейная аппроксимация перемещений внутри конечного элемента не всегда дает удовлетворительные результаты. Особенно это проявляется при моделировании тонких элементов, работающих на сдвиг, когда влияние сдвиговой жесткости весьма существенно. Очевидно, что линейная аппроксимация перемещений вносит существенные погрешности при вычислении матрицы жесткости, так как такая аппроксимация приводит к разрыву производных перемещений (деформаций) в узлах конечного элемента.
Использование суперэлементного подхода отличается тем, что граничные точки суперэлемента совпадают с границами изменения геометрических или жесткостных характеристик, где разрывы производных перемещений носят естественный характер.
В соответствии с используемой нами кинематической гипотезой для построения упругой модели силовой панели соотношения для компонент деформаций (2.10), выраженные через перемещения, имеют вид.
В соотношениях (1.12) еь е2, е3 - единичные векторы общей (глобальной) декартовой системы координат; гьг2 — базисные векторы координатной поверхности панели. В случае необходимости учета изменения метрики по толщине панели эти базисные векторы можно задать через базисные векторы верхней Гі(вп ham) и нижней Гцнп); Г2(нп) лицевых поверхностей.
Перемещения и1 (вп); и2 (вп); и3 (вп); и1 (нп); и2 (нп); и3 (нп) и базисные векторы гцвп) , г2(вп); Г](нп); г2(нп) являются функциями параметров а, р\ Определение производных этих функций через их дискретные узловые значения можно использовать сплайновую аппроксимацию в пределах суперэлемента, который отличается плавностью изменения геометрии, как и было обусловлено при его определении. Как показывают расчеты, аппроксимация функций перемещений с помощью сплайнов значительно повышает точность вычисления производных и сказывается на точности расчета напряженно-деформированного состояния.
Основное преимущество использования дифференцирующих и интегрирующих матриц на основе сплайн-аппроксимации заключается в том, что упругая модель несущей панели, построенная с их помощью в меньшей степени подвержена влиянию соотношения размеров панели на точность получаемых результатов. Объясняется это, очевидно тем, что сплайновая аппроксимация обеспечивает непрерывность функций в узлах сетки вплоть до второй производной.
Трудностей при использовании сплайн-аппроксимации для формирования матрицы жесткости не возникает. Увеличивается число операций при суммировании весовых коэффициентов дифференцирующих матриц, что сказывается незначительно на времени счета.
Трансформация матрицы Ц - в числовую матрицу жесткости проис (dv) ходит при выражении компонент функции перемещений v через дискретные узловые компоненты вектора обобщенных перемещений с использованием дифференцирующих и интегрирующих матриц. Неизвестными при этом являются узловые перемещения ukB„5 нп (к=1,3) расчетной сетки верхней и нижней лицевых панелей.
Такое поэтапное формирование матрицы жесткости позволяет реализовать вычислительные операции в виде блоков программ, большая часть которых не меняются при изменении расчетной модели. Так, например, при замене соотношений (1.15) меняется только одна подпрограмма вычисления матрицы [В], все остальные вычислительные операции не меняются. Для создания новой расчетной модели необходимо в соответствии с новой кинематической гипотезой выразить компоненты деформаций через компоненты перемещений.
В композиционных конструкциях лицевые панели могут быть набраны из слоев анизотропного материала, для которого известны технические жест-костные характеристики. Компоненты тензора упругости C1Jk связаны с техническими характеристиками: модулями упругости Ekk, модулями сдвига Ец, (k j), коэффициентами Пуассона цар (а р).
Выражение энергии деформирования записывается в метрике координатной поверхности. Коэффициенты упругости определены для конкретного материала в своих координатах. Если силовые панели получают намоткой или укладкой слоев материала под разными углами, то для формирования матрицы жесткости необходимо пересчитать упругие коэффициенты в метрике координатной поверхности. Для этого используются матрицы преобразования D k(i,k =1,2,3). Элементы матрицы преобразования D k определяются скалярным произведением контравариантных базисных векторов координатной поверхности Ry и единичных векторов еі(нам) и е2(Нам) определяющих ориентацию главных осей слоя материала на лицевой поверхности, рис.1.13.
Для решения нелинейной задачи, когда обобщенные перемещения (включая углы поворота) считаются конечными, а изменение площадей и линейных размеров - пренебрежимо малыми, можно использовать линейные по виду уравнения равновесия, но записанные в метрике деформированного состояния. Это эквивалентно допущению о малости компонент деформаций материала конструкции, что для тонких гибких тонких конструкций в большинстве случаев вполне применимо. Тонкое гибкое тело может иметь конечные перемещения при деформировании, но деформации в материале при этом могут быть малыми и не приводят к какому-либо существенному изменению его линейных размеров.
Алгоритм проектирования тонкостенной конструкции максимальной жесткости
Рассмотрим алгоритм рационализации силовой схемы на нескольких примерах проектирования силовых панелей тонкостенных пространственных конструкций, тонкостенной балки, рис.2.1 и пилона подвески двигателя, рис.2.4, одним из требований к которому являлось ограничение податливости. Требование жесткости пилона в данном случае обусловлено стремлением исключить возможность возникновения резонанса при работающем двигателе. Каждая силовая панель конструкций представляет собой трехслойную конструкцию, состоящую из двух лицевых поверхностей и заполнителя.
Алгоритм определения рациональных толщин материала силовых панелей строится так. Закрепление конструкции и расчетная нагрузка заданы и неизменны. Минимально возможное значение толщины лицевых поверхностей 5min задается из соображений технологических. Первоначально толщина лицевых слоев панелей задается одинаковой. Проводится статический расчет на заданную нагрузку, определяются напряжения в панелях. Подсчитывается удельная энергия деформирования AU = аарєар в расчетных точках силовых панелей конструкции. Для оптимизации конструкции необходимо перераспределить материал силовых панелей: в зонах с большим значением AW увеличить толщину, в зонах с меньшим значением - уменьшить. Если общий объем материала (вес конструкции) задан, то и после перераспределения он не должен измениться.
Здесь 5new - новое значение толщины лицевой поверхности панели; 8o)d AU - произведение исходной толщины на удельную энергию деформирования; 2jV0)d -]TVmjn = const - часть суммарного объема материала конструкции, подлежащая перераспределению между силовыми панелями. Формула перерасчета толщины силовых поверхностей панелей (2.1) обеспечивает сохранение заданного объема материала силовых элементов, так как = const, и выполнение условия, ограничивающего уменьше ние толщины 6new заданным минимальным значением dm-h Наглядно результаты реализации данного алгоритма рационального перераспределения материала можно представить на модельной задаче изгиба тонкостенной балки, в которой все панели прямоугольные, нагрузка представлена силой в вертикальной плоскости симметрии на одной стороне балки, а закрепление по горизонтальным панелям - на противоположной. На рис.2.2 приведено распределение напряжений в лицевых поверхностях до оптимизации. На рис.2.3 приведено распределение напряжений в лицевых поверхностях панелей тонкостенной балки после оптимизации. Видно, что зона максимальных напряжений значительно увеличилась, уровень напряжений снизился. Максимальный прогиб балки составил 0.069м и 0.039м до и после оптимизации (уменьшение на 42%). Рациональным распределением материала можно существенно повысить жесткость тонкостенной конструкции без увеличения ее массы. На рис.2.За приведено распределение рациональных толщин панелей.
При оптимизации реальной конструкции необходимо учитывать ограничения, обусловленные технологическими, весовыми, балансировочными и т.п. требованиями. В соответствии с этими требованиями при перераспределении материала, необходимо вне зависимости от характера нагружения выдержать, например, симметрию конструкции, в соответствии с технологическими требованиями.
Толщина заполнителя может быть задана постоянной или переменной в пределах отдельной панели. Наличие одинаковых по силовой схеме панелей в конструкции удешевляет ее, но иногда требования по жесткости и ограничение веса конструкции могут быть обеспечены только при перераспределении материала в пределах всей конструкции.
В процессе проектировочного расчета распределение толщины лицевых панелей реального пилоне производилось путем перераспределения материала между отдельными панелями в целом. В пределах панели перераспределение не осуществлялось. Обусловлено это тем, что технологически весьма сложно сделать толщину панели переменной в пределах каждого силового элемента. В таблице 1 представлено относительное изменение (6) «рациональных» толщин лицевых слоев панелей пилона по отношению к исходной, равной 0,001м для всех панелей до оптимизации.
Особенностью деформирования пространственной тонкостенной конструкции является потеря устойчивости отдельных ее элементов, что существенно снижает несущую способность конструкции в целом. Поэтому алгоритм рационализации параметров конструкции должен учитывать.
При исследовании упругой устойчивости стержней, пластин и оболочек принимаются следующие ограничения и допущения. Материал считается линейно упругим (изотропным или анизотропным). Для тонкостенных элементов силовых конструкций из современных высокопрочных материалов это ограничение вполне обосновано. Как правило, работоспособность таких конструкций определяется их устойчивостью в упругой области. Все внешние нагрузки считаем консервативными, т.е. полагаем, что работа этих нагрузок на любых допустимых перемещениях системы зависит только от начальной и конечной конфигураций системы.
Классическая постановка задачи теории упругой устойчивости базируется на следующем допущении. Докритическое наряженное состояние системы определяется по уравнениям линейной теории упругости, изменение начальных размеров до потери устойчивости не учитывается. До потери устойчивости упругое тело напряжено, но не деформировано. Такая упрощенная модель упругого тела позволяет исследовать устойчивость большинства тонкостенных силовых конструкций, но не рассматривается как универсальная.
Матричное уравнение колебаний предварительно напряженных и деформированных конструкций
Традиционный подход учета предварительного статического нагруже-ния предполагает вычисление собственной и некоторой геометрической матрицы жесткости. Эффективная матрица жесткости получается в результате сложения этих матриц. Использование идеи минимального множителя позволяет избежать процедуры вычисления напряжений и разделения матриц жесткости на собственную и геометрическую, устранить несоответствие линеаризованной расчетной модели при критических и сверхкритических нагрузках.
Решение поставленной задачи разбивается на два этапа. Сначала решается нелинейная статическая задача для определения матрицы жесткости, со-ответствующей заданной статической нагрузке Р . Затем решается линеаризованное матричное уравнение (3.6). Матрица жесткости конструкций G(x ) при существовании только смежных формы равновесного состояния вычисляется методами, изложенными во второй главе.
Использование идеи минимального множителя [36] позволяет избежать вычисления напряжений и разделения матриц жесткости на собственную и неаризованным подходом будем иметь нулевую эффективную изгибную жесткость, а при нагрузках выше критических частоты колебаний будут отрицательными. Это не соответствует действительной картине явления. Нулевую эффективную жесткость (вырожденную матрицу жесткости) нагруженная конструкция будет иметь в исходном недеформированном состоянии, в котором она находиться не может. Это состояние равновесия неустойчиво. Любые малые возмущения выведут панель в некоторое деформированное положение. Малые колебания будут совершаться около этого устойчивого деформированного равновесного состояния. При исследовании этого круга задач необходимо решить статическую нелинейную задачу для вычисления эффективной матрицы жесткости деформированной конструкции. Амплитуды колебаний относительно статического равновесного состояния полагаем малыми, и расчет частот колебаний сводим к проблеме собственных значений действительных или комплексных матриц, теория и численные методы решения которых известны и реализованы в виде прикладных программ.
Известно, что панельный флаттер характеризуется большим числом влияющих на него параметров. Среди прочих в книгах [19, 144] называют геометрические формы панели, жесткие дискретные подкрепляющие элементы, краевые условия, соотношение размеров панели, предварительное натяжение, направление потока и т.д.
Панельный флаттер родствен возбуждаемым ветром морским волнам и флаттеру (хлопанью) брезентовых палаток. При относительно больших расстояниях между подкрепляющими элементами (шпангоутами) вдоль потока могут возникать бегущие волны возрастающей амплитуды. Отличие от флаттера брезентовых палаток заключается в том, что тонкостенная обшивка обладает жесткостью на изгиб и подкреплена жесткими элементами, расстояние между которыми относительно невелико. Флаттер такой системы теоретически возможен лишь при сверхзвуковых скоростях и практически при таких скоростях наблюдались почти все известные случаи флаттера тонкостей неаризованным подходом будем иметь нулевую эффективную изгибную жесткость, а при нагрузках выше критических частоты колебаний будут отрицательными. Это не соответствует действительной картине явления. Нулевую эффективную жесткость (вырожденную матрицу жесткости) нагруженная конструкция будет иметь в исходном недеформированном состоянии, в котором она находиться не может. Это состояние равновесия неустойчиво. Любые малые возмущения выведут панель в некоторое деформированное положение. Малые колебания будут совершаться около этого устойчивого деформированного равновесного состояния. При исследовании этого круга задач необходимо решить статическую нелинейную задачу для вычисления эффективной матрицы жесткости деформированной конструкции. Амплитуды колебаний относительно статического равновесного состояния полагаем малыми, и расчет частот колебаний сводим к проблеме собственных значений действительных или комплексных матриц, теория и численные методы решения которых известны и реализованы в виде прикладных программ.
Известно, что панельный флаттер характеризуется большим числом влияющих на него параметров. Среди прочих в книгах [19, 144] называют геометрические формы панели, жесткие дискретные подкрепляющие элементы, краевые условия, соотношение размеров панели, предварительное натяжение, направление потока и т.д.
Панельный флаттер родствен возбуждаемым ветром морским волнам и флаттеру (хлопанью) брезентовых палаток. При относительно больших расстояниях между подкрепляющими элементами (шпангоутами) вдоль потока могут возникать бегущие волны возрастающей амплитуды. Отличие от флаттера брезентовых палаток заключается в том, что тонкостенная обшивка обладает жесткостью на изгиб и подкреплена жесткими элементами, расстояние между которыми относительно невелико. Флаттер такой системы теоретически возможен лишь при сверхзвуковых скоростях и практически при таких скоростях наблюдались почти все известные случаи флаттера тонкостейных обшивок самолетов и ракет. При этом подавляющее число случаев такого флаттера происходило в области скоростей 1 М 1,5. Результаты более 300 работ были обобщены и критически оценены Фыном и Джонсом в книге [149].
Незатухающие колебания панелей крыла характеризуются ограниченными амплитудами и не приводит к немедленному разрушению элементов конструкции. С течением времени переменные напряжения могут вызвать образование и рост трещин. Возникновение трещин в конструкции летательного аппарата происходит при выработке определенного ресурса. Однако известны случаи появления трещин, например, на верхних панелях в корневой зоне крыла самолета СУ-27 за достаточно короткий период эксплуатации. Возможно, что появление усталостных трещин было вызвано интенсивной вибрацией панелей на эксплуатационных скоростях. Причиной этих вибраций мог быть панельный флаттер, хотя считается, что панельный флаттер - явление типичное для больших сверхзвуковых скоростей.
