Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные понятия 22
1.1. Спектр и резольвента оператора 22
1.2. Вполне непрерывные операторы 23
1.3. Самосопряженные операторы ...23
1.4. Корневые векторы и корневые подпространства оператора 26
1.5. Теоремы о следах оператора в конечномерном пространстве и ядерного оператора 28
1.6. Неограниченные операторы 30
1.7. Следы дискретных операторов 32
Глава 2. Теоретическое обоснование нового метода нахождения первых собственных чисел возмущенных дискретных полуограниченных операторов 36
2.1. Система уравнений для нахождения первых собственных чисел 36
2.2. Оценки остатков рядов поправок 41
2.3. Вычисление поправок теории возмущений оператора Т+Р 49
со
2.4. Вычисление сумм рядов поправок 58
Глава 3. Теоретическое обоснование нового метода нахождения первых собственных чисел с большими номерами возмущенных дискретных полуограниченных операторов 63
3.1. Система уравнений для нахождения собственных чисел с большими номерами 63
3.2. Оценки остатков числовых рядов 67
3.3. Вычисление членов ряда 69
3.4. Вычисление сумм числовых рядов 0к(т) 75
3.5. Алгоритм вычисления собственных чисел возмущенных дискретных полуограниченных операторов 80
Глава 4. Численные эксперименты 83
4.1. Спектральная задача Орра-Зоммерфельда 83
4.2. Возмущенный оператор Лапласа 91
Основные результаты и выводы 96
Приложения 97
Приложение А 98
Приложение Б 107
Приложение В 120
Список литературы 157
- Спектр и резольвента оператора
- Система уравнений для нахождения первых собственных чисел
- Система уравнений для нахождения собственных чисел с большими номерами
- Спектральная задача Орра-Зоммерфельда
Введение к работе
Постановка задачи. Рассмотрим дискретный самосопряженный полуогра-ниченный снизу оператор Т и линейный ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Пусть {An}J?Li — собственные числа оператора Г, занумерованные в порядке возрастания с учетом кратности, а {Vn}Li ~ ортонормировашшй базис из собственных функций, соответствующих этим собственным числам. Обозначим через {/}^ собственные числа оператора Т+Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Если существует щ Є N такое, что для любого п>щ
2||р]| при условии А„ Ф А„+1 выполняется неравенство qn = т-—-—^г-г < 1, то при |Ал+1 — A„j условии Xm ф Am+i первые гп > щ собственных чисел {&Jn=i оператора Т + Р являются решениями системы m уравнений к=\ а=і A=i
Здесь af'(m) = -Sp j AP_I РЯд(Г) dA — поправки теории возмущений оператора Т + Р, є]; (т) = 0'(т), Тт — окружность радиуса pm = —^———— с центром в начале координат комплексной плоскости, R\(T) — ре-зольвента оператора Т.
Правые части уравнений (0.1) явно выражаются через собственные числа и собственные функции невозмущенной задачи и возмущающий оператор.
В.А. Садовничий и В.В. Дубровский впервые в работе [69] высказали идею нового метода вычисления первых собственных чисел возмущенных дискретных операторов с помощью системы (0.1). Она состоит в следующем. Используя теорию симметрических многочленов и формулы Ньютона, нахождение корней системы (0.1) сводится к нахождению корней многочлена степени тп, коэффициенты которого могут быть найдены со сколь угодно большой точностью. Поэтому погрешности вычисления первых m собственных чисел {/Xn}n=i оператора Т + Р зависят от того, как точно вычислены правые части системы (0.1).
На основе исследований В.А. Садовничего и В.В. Дубровского СИ. Кадчен-ко теоретически обосновал новый метод приближенного вычисления первых соб- ственных чисел возмущенных дискретных операторов. Им созданы эффективные алгоритмы вычисления первых поправок теории возмущений акр (тп) в случае, когда собственные числа оператора Т однократны, и числовых рядов Релея-Шредингера ( (т).
Поскольку для вычисления собственного числа fim оператора Т+Р необходимо решить нелинейную систему из тп уравнений, то применение метода при больших тп вызывает значительные вычислительные трудности.
Для расширения возможностей нового метода необходимо:
Создать эффективный метод вычисления собственных чисел оператора Т+Р с достаточно большими номерами.
Получить оценки остатков рядов поправок теории возмущений для случая кратности собственных чисел оператора Т.
Найти аналитические формулы поправок а(т) для случая кратности собственных чисел оператора Т.
Разработать эффективный алгоритм вычисления собственных чисел оператора Т + Р.
Обоснование интереса к проблеме. Классическим регуляризованным следом порядка р Є R. оператора А называется соотношение вида [AJ - A,(k)] = Вр, (0.2) где Ajt — собственные числа дифференциального оператора А, Ар(к) — числа, обеспечивающие сходимость числовых рядов, Вр — явно вычисляемые через характеристики оператора выражения.
Первая формула такого вида была получена в работе [12] 1953 года И.М. Гель-фандом и Б.М. Левитаном, где в качестве А рассматривался оператор Штурма-Лиувилля на конечном отрезке.
Формулы (0.2) могут быть использованы для написания алгебраической системы уравнений
3 = Bjr}{tp), р = ї~^, tp є n, (0.3) где {Ajt}^-! — приближенные значения первых тп собственных чисел оператора A. Bp(tp) содержат tp частичные суммы сходящихся числовых рядов. Из этой системы в некоторых случаях были найдены приближенные значения первых собственных чисел дифференциальных операторов, и точность оказалась удовлетворительной, но этот факт нельзя принимать за обоснование такого метода вычисления первых собственных чисел, поскольку остатки сходящихся числовых рядов отбрасывались, а их оценки не проводились. Кроме того, универсального алгоритма вычисления правых частей (0.3) для широкого класса операторов не существовало. Известные методы нахождения Вр ' (tp) применялись либо только к спектральным задачам Штурма-Лиувилля и требовали знание асимптотики собственных чисел ([74]), либо требовали знание повторных функций Грина спектральных задач для операторов с ядерными резольвентами, нахождение которых часто представляет сложные математические задачи ([18]).
Предложенный В.А. Садовничим, В.В. Дубровским и обоснованный СИ. Ка-дченко метод вычисления первых собственных чисел возмущенных дискретных операторов решает эти проблемы для широкого класса операторов. Развитию этого метода, который был назван методом регуляризованных следов, и посвящена данная диссертация.
Историография вопроса. Сумма диагональных элементов матрицы линейного преобразования в конечномерном пространстве (т.е. матричный след) равна сумме собственных значений с учетом их кратности (т.е. спектральному следу).
По теореме Лидского это утверждение справедливо и для ядерных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Под спектральным следом понимают Y2 Ад;, где {Afc}^-! — собственные значения ядерного оператора А, под матричным it=i следом — 52(A Матричный и спектральный следы неограниченных операторов, вообще говоря, не существуют. Поэтому возникает понятие так называемых "регуляризованных следов". Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля -У" + 9{х)у = Ху, 0 < х < тг, у(о) = уИ = о, где д(х) — достаточно гладкая функция. Известно, что асимптотическое разложение собственных значений при большом спектральном параметре этой задачи имеет представление Afc~fc2 + eo + | + ^ + ..., (0.5) 1 * где со = - jg{x)dx. Ко со со Видно, что ряд Yl ^fc расходится, а ряд ) (Лц. — к2 — () сходится. Сумма по- k=l fc=l следнего ряда называется регуляризованным следом задачи Штурма-Лиувилля. В работе И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана [12] показано, что > (AA-fc -() = - . Л.А. Дикий ([14], [17]) и И.М. Гельфанд (]11]) для оператора Штурма-Лиувилля вычислили регуляризованные следы всех порядков. Регуляризованные следы неограниченных операторов играют важную роль в различных вопросах спектрального анализа: в вопросах приближенного вычисления первых собственных значений, в обратных задачах. Они применяются для изучения асимптотического поведения спектральной функции операторов. И так далее. Их изучение представляет и самостоятельный интерес. Вслед за работой [12] появилось много результатов по теории регуляризован-ных следов. Разными авторами были предложены различные способы вычисления регуляризованных следов операторов ([13], [15], [16], [44], [45] и др.). Наиболее общие результаты, в том числе и для дифференциальных операторов высших порядков, получены в работе [45] В.Б. Лидского и В.А. Садовничего. Обнаружено, что получение формул следов для краевой задачи на конечном отрезке сводится к исследованию нулей целых функций, названных авторами функциями класса К. В статьях [3], [10], [23], [24], [67], [93], [95] можно наблюдать развитие абстрактного направления. Сильный результат для конечномерных возмущений получен в [64], где были охвачены некоторые классы неограниченных возмущений. Наиболее интенсивно в этом направлении работают В.А. Садовничий и его ученики ([1], [4]-[6], [19]-[22], [ЗО], [32Ц34], [48], [49], [55]-[60], [63], [64], [66], [68], [72], [75], [76], [82]), Х.Х Муртазин ([2[, [51], [52], [85]), А.В. Хасанов ([90]). Заслуживает внимания работа П. Лакса [96], в которой, правда, без строгих доказательств, предложен оригинальный метод вычисления следов, основанный на известном по его работам в теории обратных задач методе дифференцирования семейства операторов по внешнему параметру. В работе [92] получен регуляризованный след для неядерного интегрального оператора. Л.Д. Фаддеевым и B.C. Буслаевым ([7], [8], [84]) получены формулы следов для сингулярных операторов с непрерывным спектром. С. Хальберг, В. Крамер, Р. Гильберт ([93]-[95]) для случая, когда ряд (Bipn, <рп) сходится, получили фор-мулу оо со Здесь {цп}^=і, {\п}п~і ~ собственные числа самосопряженных ограниченных снизу операторов А а С соответственно, действующих в гильбертовом пространстве Н, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, а {у>п}1і — соответствующие {Hn}^L-[ ортонормированные собственные функции. Причем Л и С имеют одинаковую область определения Дд и В = С — А. Различные результаты в теории следов были получены методами теории возмущений дискретных операторов, отраженные в работах М.Г. Крейна, В.А. Са-довничего, В.А. Любишкина, В.В. Дубровского [25], [43], [69], [71]-[73]. В работах [31], [59] В.В. Дубровского и В.В. Распопова построен эффективный алгоритм вычисления регуляризованного следа произвольного полуцелого поряд-ка (к = -, р Є N) для абстрактных возмущенных дискретных полуограниченных операторов. Они опирались на результаты исследований СИ. Кадченко [37], [39]. В работе В.В. Дубровского и О.А. Порецкова [58] разработаны алгоритмы вычисления первых регуляризованных следов оператора Лапласа-Бельтрами на единичной двумерной сфере с негладким потенциалом. Рассмотрены два случая негладкого потенциала: дважды непрерывно дифференцируемая функция и потенциал, удовлетворяющий неравенству Липшица по двум переменным. В области построения фундаментальных оператор-функций сингулярных дифференциальных операторов интенсивно работает М.В. Фалалеев ([86], [87[). Оценкам первого собственного значения в задачах Штурма-Лиувилля посвящена работа Ю.В. Егорова, В.А. Кондратьева [36]. В работах В.В. Дубровского и Л.В. Смирновой [35], [83] изучаются математические модели восстановления гладких потенциалов в обратных задачах спектрального анализа. Актуальность темы диссертации. С момента появления формул регуляри- зованных следов стали предприниматься попытки применить их для приближенного вычисления первых собственных чисел операторов. В 1952 году А.А. Дородницын в статье [18] предложил для вычисления первых собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля использовать асимптотические выражения для собственных чисел больших номеров. Для этого он рассмотрел равенства Gp{xtx)dx = YfT^>P^^ (0-6) { *=о Afc где Gp{x, х) — повторные функции Грина оператора. Ряды справа абсолютно сходятся. В равенствах (0.6) нужно заменить все собственные числа, начиная с некоторого, их асимптотическими значениями, тогда для первых собственных чисел получится система алгебраических уравнений. Следовательно, от равенств (0.6) можно перейти к приближенным равенствам, которые содержат справа конечные суммы. Решив полученную систему, можно вычислить первые собственные числа оператора. Но функции Грина лишь в немногих случаях выписываются явно. Поэтому принципиальным недостатком этого метода является то, что в общем случае числа слева в (0.6) не выражаются в конечном виде через характеристики оператора и явного алгоритма их вычисления нет. Кроме того, А.А. Дородницыным не было дано теоретическое обоснование метода, и нет оценок, позволяющих судить о точности вычисления первых собственных чисел оператора. Впоследствии В.А. Садовничий, В.В. Дубровский и Е.М. Малеко в работах [29], [49], [70] обосновали метод вычисления первых собственных чисел дифференциальных операторов с ядерной резольвентой, предложенный А.А. Дородницыным, и построили алгоритм вычисления первых характеристических чисел симметричных интегральных уравнений. Однако, их исследования относятся к так называемому "одномерному" случаю. "Многомерный" случай (в частности, приложение к дифференциальным операторам в частных производных) нуждается в дальнейших исследованиях. В 1957 году Л.А. Дикий в статье [16] предложил способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля. Идея способа состояла в следующем. Пусть {An}Lj — собственные числа оператора Штурма-Лиувилля (0.4). Записываются регуляризованные следы оператора Штурма-Лиувилля (0.4) всех натуральных порядков. Числа Вр, входящие в формулы (0.2), вычисляются в конечном виде. Под Ар(к) в этом случае понимается начальный отрезок асимптотического разложения (0.5), обеспечивакшщй сходимость ряда (0.2). Коэффициенты асимптотического разложения (0.5) выражаются в конечном виде через граничные условия (0.4) и потенциал q(x). И.М. Гельфанд и Л.А. Дикий предположили, что для любого є > 0 найдется такое число щ Є N, что < є, v = h по, и при этом решения системы п0 алгебраических уравнений [А-Лр(А:)]-Вр = 0, р = Т^, (0.7) і " г 1 приближают По первые собственные числа {A^}fc=i спектральной задачи (0.4). Преимущества этого способа, по сравнению с методом Дородницына, в том, что числа Ар(к) и Вр в системе (0.7) выражаются в конечном виде через характеристики оператора. Но Л.А. Дикий не дал теоретическое обоснование этого способа, а лишь привел пример вычисления первых трех собственных чисел уравнения Матье с хорошей точностью. Впоследствии С.А. Шкарин в статье [91] показал, что этот метод в таком виде применяться не может, так как система (0.7) имеет бесконечно много решений, причем существуют решения с любым наперед заданным конечным набором {Afc}^. Метод будет давать при разном выборе щ и отрезка асимптотики Хк случайные числа, не связанные с собственными числами исходного оператора. Этот вопрос также рассматривается в работе [77]. В.А. Садовничий и В.Е. Подольский в работе [74] впервые сделали теоретическое обоснование вычисления первых собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля, основанное на системе, составленной из регуляризованных следов (0.2) оператора. Введен следующий класс операторов Штурма-Лиувилля: оператор -У" + ч{х)у = Ау, ^/(0)-/^(0) = 0, у'(тг) + Ну(іг) = 0, называется принадлежащим классу 5, если решение <р(х,Х) задачи Коши р(0,А) = 1, у/(0,А) = Л имеет при |А| —+ со асимптотическое разложение <р(х, А) ~cos(VAx) + ki[x)——~ + к2(х)—К——L + ... , , , .біп(\/Аз;) , , .cos (-/Аж) -- + ^-^(7^ + ^^-^ + --- такое, что лишь конечное число коэффициентов Агд(ж) отлично от тождественного нуля на отрезке [0, тг]. Класс 5 плотен среди операторов с потенциалом из L2. Произвольный оператор Штурма-Лиувилля приближается (в операторной норме) с заданной точностью оператором из класса 5. Для любого оператора Штурма-Лиувилля приближающий его оператор класса S эффективно строится. Из принципа минимакса следует, что если норма разности операторов меньше є, то модуль разности собственных чисел этих операторов с одинаковыми номерами не превосходит е. Показано, что система регуляризованных следов оператора из класса 5 однозначно определяет спектр. И далее уже для оператора класса »5 собственные числа находятся из системы регуляризованных следов с любой заданной наперед точностью. В 1994 году В.А. Садовничий и В.В. Дубровский в работе [69] получили оценки поправок теории возмущений щ\щ) дискретного полуограниченного снизу оператора Т в случае, когда существует такое натуральное число so, что оператор (Яд{Т)1 является ядерным. Это позволило при dn0 > 2|jP|| и условии ограниченности линейного оператора Р записать нелинейные уравнения при tp > So Х>г = А + а«Ы + 0((№+1-''), р = Т^, (0.8) fc=l fc=l *=1 ^ для нахождения первых щ собственных чисел {^fc}fc=i оператора Т + Р. Здесь 11 (—1) / Г 1* щ (по) — "--—, Sp J Ap_1 Рйд(Т) d\ — поправки теории возмущений опера- l ti(jm . n rn ^«o + A„0+i тора T + P, Tno — окружность радиуса рПо = т с центром в начале координат комплексной плоскости, R\{T) — резольвента оператора Т, {^k}kLi — собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, dn = A„+J — Ап. При этом было показано, что ряды поправок теории возмущений X)Qk (по) сходятся, а (Ц (щ) явно вычисляются через характеристики операторов ТиРс помощью теории вычетов. Метод регуляризованных следов, в отличие от выше рассмотренных, основывается на формулах, содержащих конечные суммы целых степеней первых собственных чисел операторов Т и Т + Р. Кроме того, так как поправки теории возмущений щ \по) вычисляются для большого класса операторов, область применимость этого метода гораздо шире, чем других известных методов. Замечательным обстоятельством является применимость этого метода для нахождения собственных чисел дифференциальных операторов в частных производных. Этот метод в отличие от других известных численных методов нахождения собственных чисел несамосопряженных операторов не является итерационным, а также не требует положительной определенности оператора Т + Р. СИ. Кадченко теоретически обосновал метод и разработал методику его применения к некоторым задачам гидродинамической теории устойчивости ([9), [26]— [28], [37]-[40], [54]). Для вычисления правых частей (0.8) необходимо найти сумму первых tp поправок теории возмущений cv(no). Но по мере возрастания к вычислительная эффективность нахождения поправок резко уменьшается. СИ. Кадченко разработал новый метод вычисления сумм числовых рядов поправок J2 о^.(п0). Это позволило избежать вычисления каждой поправки в отдельности. Создана методика оценок сходимости метода и нахождения предельных абсолютных погрешностей вычисления первых собственных чисел оператора Т + Р. Метод проверялся на многих спектральных задачах, в том числе на классических задачах гидродинамической теории устойчивости Орра-Зоммерфельда, Пуазейля и Куэтта, и показал хорошие результаты. Следует отметить, что с краевыми задачами теории гидродинамики вязкоупру-гих сред тесно связаны работы Г.А. Свиридюка и его учеников [78]—[81]. Научная новизна. Впервые получены следующие результаты: 1. Получены оценки остатков рядов поправок теории возмущений и аналити- ческие формулы поправок в случае кратности собственных чисел невозмущенного оператора. Получена система q уравнений для вычисления собственного числа цт оператора Т + Р в случае g-кратности собственного числа Хт оператора Т. Разработан эффективный алгоритм вычисления собственных чисел с большими номерами оператора Т + Р. Созданы пакеты программ в среде Maple 6, позволяющие вычислять собственные числа возмущенного оператора Лапласа, спектральной задачи гидродинамической теории устойчивости Орра-Зоммерфельда. Теоретическая и практическая значимость. Новый метод вычисления первых собственных чисел возмущенных дискретных операторов имеет большой научный интерес, так как с его помощью расширяются возможности в решении спектральных и краевых задач. Метод регуляризованных следов позволяет быстро и эффективно находить собственные числа несамосопряженных операторов. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГУ им. М.В. Ломоносова, в математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, в математическом институте им. С.Л. Соболева, в Институте динамики систем и теории управления СО РАН (г. Иркутск), во Владимирском государственном педагогическом университете, в Воронежском государственном университете, в Челябинском государственном университете, в Башкирском государственном университете, в Магнитогорском государственном университете. Кроме того, результаты диссертации можно использовать в вычислительной математике при составлении пакетов программ, вычисляющих собственные числа задач, порожденных линейными дифференциальными и интегральными операторами. Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы теории функций комплексного переменного, функционального анализа, спектрального анализа линейных операторов, теории возмущений и вычислительной математики. Основными методами в работе являются методы, разработанные В.А. Садовничий и его учеником В.В. Дубровским. Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 11 работ ([97]-[107]) совместно с СИ. Кадченко, которому принадлежит постановка задач. Доказатель- ство лемм, теорем, составление пакета программ и численные расчеты выполнены диссертантом. Результаты, полученные в диссертации, докладывались: на Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов 2005" (г. Москва, МГУ, 2005 г.), где автор награжден дипломом "За один из лучших докладов"; в Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения — XVI", посвященной 100-летию академика Сергея Михайловича Никольского (г. Воронеж, ВГУ, 2005 г.); на Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, СГТУ, 2005 г.); в 13-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (г. Саратов, СГУ, 2006 г.); на Всероссийской научной конференции, посвященной 30-летию Челябинского государственного университета "Математика. Механика. Информатика" (г. Челябинск, ЧелГУ, 2006 г.); на научных семинарах под руководством проф. СИ. Кадченко, проф. Г.А. Свиридюка, доц. А.И. Седова (г. Магнитогорск). Краткое содержание диссертации. Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике, кратко излагаются основные результаты диссертации. В первой главе рассмотрены известные факты из спектральной теории линейных операторов, которые используются в диссертации. Вторая глава посвящена теоретическому обоснованию метода регуляризован-ных следов. В пункте 2.1 приведена теорема, позволяющая вычислять первые тп собственных чисел возмущенного дискретного самосопряженного оператора как решение системы из m нелинейных уравнений. Эта теорема была впервые приведена в работе В.А. Садовничего, В.В, Дубровского [69], впоследствии изучалась в работах СИ. Кадченко. В диссертации она представлена без условия ядерности оператора I Яд(Т)) при некотором натуральном числе s0, так как доказательство проходит и в этом случае. Рассмотрим дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор Т и линейный ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Я. Пусть {А,,}^ — собственные числа оператора Г, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, a {y>n}^i ~ ортонор-мированный базис из соответствующих собственных функций. Обозначим через {{J>n}^=i собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Если существует натуральное число п0 такое, что для любого п>щ при условии А„ ф Ап+1 2||р|| выполняется неравенство qn = тт ^г-7 < 1, то при условии Ат ф Am+i первые |А«+1 — Ап| т > п0 собственных чисел {/irt}=i оператора Т+Р являются решениями системы m уравнений Ш Ш fp ь=і it=i fc=i r-^*+i Здесь (ц'(т) = i—*—Sp J АрЯд(Т) РЛд(Г) dA — к-ая поправка теории возму- щений оператора Т+Р целого порядка р, ( (т) = af}(т), Тт — окружность р k=tP+l \\т +Am+ij радиуса рт = ~ с центром в начале координат комплексной плоскости, Rx(T) — резольвента оператора Т. Показано, что формулу для поправки теории возмущений щ (т) оператора Т + Р можно привести к виду тт В пункте 2.2 получены оценки остатков ( (т) числовых рядов 0%\гп). Доказано, что оператор /Ар_1 Рйд(Г) d\ не более чем <ь&-мерен, где qx — т кратность собственного числа А„ 7t — окружность с центром в А, и радиусом настолько маленьким, что отличные по значению от \г собственные числа лежат во внешности %. С помощью этого результата при условии Ат Ф Хт+і для поправок теории возмущений <ц \т) оператора Т + Р получены оценки \a[*\m)\ Из оценок поправок при условии Лт ф Am+i вытекает справедливость оценок для (р-тых остатков є\? (пі) числовых рядов акр (т) поправок теории возмуще- р А=і ний оператора Т + Р K>(m)\ Поправки теории возмущений а^\т) оператора Т+Р при условии Ат ^ А^н-і для любых к, р Є N вычисляются по формуле Л+1 о т к х> -?V)-| Е Е (ГЫ^М—). r=l,n-l t-1 , t + 1, t 1, = fc. Эта формула приведена к более удобному для применения ее в численных расчетах виду к 81 32 *k к * v ' где Fft„ — подмножество из п элементов множества {jl,j2, , Jfc}, s = 1, * = *, . ГО, > Є Я„, —р «г = < Г = 1, fe, 00, Jr ftn. RPkn ' * \ — Aj, t,J Є rfcni t=i 16 Последнюю формулу можно непосредственно применять при составлении программы для вычисления поправок. По сравнению с предыдущей формулой, она позволяет производить меньше операций при вычислении. Обозначим «1 32 sit к Jl=lj2=l jfc=l (=1 s v - Каждому множеству индексов Р*п соответствует перестановка из верхних пределов CyMM {$i, 2)-.-1}. ЕСЛИ {s'li $2,..-, sj.} МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ИЗ {Si, $2, . . , Sk} в результате некоторого числа циклических сдвигов, то Тр. = Тр' , так как при циклическом сдвиге индексов значение выражения Аркп Г] VJtJ> не " t=i меняется. Это позволяет упростить вычисления поправок, сгруппировав равные по значению выражения. Используя результаты пункта, можем записать формулу для вычисления любой поправки ajf'(т). В диссертации записаны формулы первых пяти поправок. В случае однократности собственных чисел оператора Т формула для поправки записывается в виде оо m к \v—l ял, л=іп=і t-i П (А — AJt) В пункте 2.4 приведен разработанный СИ. Кадченко метод вычисления сумм числовых рядов J2 щ^тп) поправок теории возмущений дискретных операторов, позволяющий строить эффективные численные алгоритмы. такое, что для любого п > Па при условии Л„ ф An+i выполняется неравенство 2ЦРЦ l^n+i — А„| Пусть оператор Т + Р положительно определен в Я и существует По Є N їдя любого п > По при условии Л„ ф Ап+1 вы < 1. Тогда при условии Лт ф Ат+і для m > щ оо тп р—1 тп р Jfc=l fc=l (=0 л, jp=l а=1 m / p-2 |Д,(га)| < ІДрНІ ^ fc=2 л=1 V (=0 "і P \ + pmplmT111—s P-2,m, ipGN. E nwr) J2, Jp=l S=l ' Г1 (ь}=в Здесь Сі = ,,, ' ,,., аы - Ajt^t + Vku Уы = (P Таким образом, при вычислении собственного числа \т оператора Т, используя описанный в главе 2 метод PC, необходимо решить нелинейную систему из т уравнений. Кроме того, чтобы вычислить частичные суммы рядов поправок ]Г] qj (га), р = 1,т, с некоторой погрешностью е, чем больше р, тем большее количество первых поправок необходимо вычислить для достижения необходимой точности. Это связано с тем, что при увеличении р при неизменных кит абсолютная величина поправки af (m) увеличивается. Все это приводит к тому, что эффективность метода регуляризованных следов с увеличением номера вычисляемого собственного числа резко снижается. Третья глава посвящена разработке метода вычисления собственных чисел с большими номерами. Применяются те же методы, что и в главе 2. В пункте 3.1 получен результат, позволяющий вычислять собственное число )лт возмущенного оператора Т + Р как решение системы из q уравнений, где q — кратность собственного числа Ага невозмущенного оператора Т. О, An_i — Art, кратность числа А„, п = 1 или A„_i < А„. Введем последовательность {qn}%Li по правилу ( qn = < Для натурального числа го введем числа ат = тах{ п Є N | qn ^ 0, т > п}, Ьт — min{ п Є N | qn+i ^ 0, т < п}. Таким образом, для любого натурального числа т От < т < bm, Aflm = ... = \п> Яот = Ьт - т +1 — кратность собственного числа Ат. Пусть существует По Є N такое, что для всех п>щ выполняется неравенство г)п = < 1. Тогда при m > по собственные числа {/^}„=0т оператора Т + Р являются решениями q^ системы уравнений k=Om к=1 Здесь ^\m) = t^SpjX^(T)[pRx(T)]kdKe^(m)^ /t>(4 7 ~ Tin k—tp-\-l окружность комплексной плоскости с центром в Ат и радиусом um = mm X 2 ' 2 У В случае однократности собственного числа Am оператора Т с номером m > гс0 собственное число fim оператора Т + Р вычисляется по формуле ^ = Ат + Д М* Jfc=l Формулу для fiff '(m) теории возмущений оператора Т + Р можно привести к виду #M = ^sp/^[j>*cr)]\a. »Л\ „„П„Пт,,^ ~гтт V^ ДСР)/ В пункте 3.2 получены оценки остатков е\f {тп) числовых рядов J2 Рк (т)-Доказана справедливость оценок с помощью которых получены оценки т1-Ъ В пункте 3.3 получены формулы & \ п— 1 л л, Л=1 t=i П(Л"^) t+1, t I і, Ь = ft. Эта формула приведена к более удобному для применения ее в численных расчетах виду к Si Si Sjt к 4 v ' ГДЄ Pfc„ — ПОДМНОЖесТВО ИЗ П ЭЛемеНТОВ МНОЖеСТВа {ji, J2j ,Jk}i 1, i = fc, "mj Jr fc 'hi _ I "mi Jr fc -*кп; -—— sr= < Sr = < r = l,fc, 1, Jr $ Pkn, [ 00, > fifcn, RPkn : ^ Om < J < Ьт: J Є Літ, З < am или j > йщ, j Ры, 4. = ^^( ,/' ) П (А-Ай)' (n-l) Последнюю формулу можно непосредственно применять при составлении программы для вычисления поправок. Она изначально не содержит нулевых членов бесконечного fc-мерного ряда предыдущей формулы, что позволяет производить меньше операций при вычислении. Обозначим Si S2 Sit к % „ ' RPkn Каждому множеству индексов Pkn соответствует перестановка из верхних пределов сумм {Si, S2,. ., Sfc}. Если {S[, Sf2,..., S'k} можно получить из {Si, S2, - ., 5*} в результате некоторого числа циклических сдвигов, то так как при циклическом сдвиге индексов значение выражения Ар J] У3іи не меняется. Это позволяет упростить вычисления, сгруппировав равные по значению выражения. Используя результаты пункта, можно записать формулу для вычисления /3^ (т) при любом А:. В диссертации записаны формулы при к = 1,5. В пункте 3.4 получена формула, позволяющая вычислять сразу суммы числово .. вых рядов (у (т). При этом формула содержит только конечные суммы и не содержит производных, что значительно повышает вычислительную эффективность. Если оператор Г+ Р положительно определен в Я и существует щ, Є N такое, ||Р|| что для всех п > щ выполняется неравенство 7]п = < 1, то при т > щ справедливы формулы 00 Sn И Ьт Р pi J s + 1, s ф p, причем Urn \Sp{m)\ = 0. Здесь CI = — -тт, akt = hh&Vkt, r = { ^00 Щ - *)I I 1, s = p. В пункте 3.5 разработан алгоритм вычисления собственных чисел возмущен- ных самосопряженных операторов, опираясь на результаты глав 2 и 3. Четвертая глава посвящена вычислительным экспериментам по нахождению собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда и возмущенного оператора Лапласа. Проведен анализ численных расчетов, который показал высокую эффективность разработанного в диссертации нового алгоритма вычисления собственных чисел возмущенных дискретных самосопряженных операторов. Благодарности. Выражаю глубокую благодарность научному руководителю Кадченко Сергею Ивановичу за внимание и чуткое руководство. Благодарю ректорат, коллективы кафедр математического анализа и прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета за поддержку в годы написания диссертации. Признательна Седову Андрею Ивановичу за ценные замечания, которые позволили мне улучшить работу. Если для некоторого Лі уравнение Tf = Ai/ имеет ненулевое решение /, то число Ai называется собственным значением (собственным числом) оператора Т, а решение / — собственным вектором, соответствующим собственному значению Совокупность всех собственных векторов {/}, отвечающих Ai, И нуль-вектор называют собственным подпространством ЯА„ отвечающим собственному значению Ai. Его размерность называется кратностью собственного значения Aj. Пусть DT — область определения, a R(T) — область значений линейного неограниченного оператора в гильбертовом пространстве Н. Пусть В(Х) = Т-ХЕ. Числа А, при которых область значений оператора В(Х) плотна в Я и существует непрерывный обратный оператор В (А) = (Т — ХЕ) 1, называются регулярными значениями оператора Т (принадлежат резольвентному множеству). Оператор В 1(Х) = (Т — ХЕ) 1 называется резольвентным оператором, или резольвентой оператора Т, и обозначается через R\. Таким образом, Rx = (T-\E)"l = B l{X). Множество, дополнительное к резольвентному (в комплексной плоскости), называется спектром оператора Т (обозначается а(Т)). Можно дать следующую классификацию спектра оператора: 1. Множество комплексных чисел А, при которых В(\) не имеет обратного оператора, называется точечным спектром. Очевидно, что он совпадает с множеством собственных значений оператора. 2, Множество комплексных чисел А, при которых оператор В(Х) обладает обратным с плотной областью определения, но В 1(Х) = Яд не является непрерывным, называется непрерывным спектром. 3. Множество комплексных чисел Л, при которых оператор В(Х) обладает обратным, однако, область его определения не плотна в Я, называется остаточным спектром. Рассмотрим дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор Т и линейный ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Я. Пусть {Лп} ! — собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, a { pn}%Li — ортонор-мированный базис из соответствующих собственных функций. Обозначим через {//„}ij собственные числа оператора Т+Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Теорема 2.1.1. ПустпъТ — дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор, а Р — линейный ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Если существует натуральное число такое, что для любого п п0 при условии Хп ф Лп+і выполняется неравенство . Рассмотрим дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор Т и линейный ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Пусть {An} собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, a { pn}%Li — ортонор-мировашшй базис из соответствующих собственных функций. Обозначим через {Дп} =1 собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Следствие 3.1.1. ПустъТ — дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор, а Р — линейный ограниченный оператор, действующие в сепарабелъном гильбертовом пространстве Н. Если существует щ Є N такое, что для всех п щ выполняется неравенство Т]п = 1, и собственное число Am оператора Т с номером т щ однократно, то собственное число pim оператора Т + Р находится среди р значений выражения Следствие 3.1.2. Пусть Т — дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор, а Р — линейный ограниченный оператор, действующие в сепарабелъном гильбертовом пространстве Н. Если существует п0 Є N такое, чш to есе, п щ «_М «ераееишео - И 1, » coftee число Лт оператора Т с номером та щ однократно, то собственное число ит оператора Т + Р вычисляется по формуле Применять следствие 3.1.1 можно следующим образом. Обозначим через Мр множество изрзначений выражения (3.1.4). Пусть р принимает п различных натуральных значений рьР2 ,Рп) п 2. При выполнении условий следствия найти множества МР1,МР2,...)МРп. Из каждого множества выбрать по одному элементу таким образом, чтобы выбранные элементы были максимально близки друг к другу. Эти п чисел и будут приближенными значениями собственного числа ит оператора Т + Р. Формулу для р\т) с помощью преобразований, аналогичных преобразованиям в пункте 2.1, можно привести к виду . Рассмотрим плоскопараллельное течение вязкой несжимаемой жидкости между двумя бесконечными параллельными плоскостями, которые могут двигаться параллельно друг другу с постоянными скоростями, а могут быть неподвижными. В последнем случае течение жидкости осуществляется за счет градиента гидродинамического давления. Возьмем декартову систему координат с осью Оу, направленной перпендикулярно плоскостям, уравнения которых есть у = 0 и у = 2&. Предположим, что наблюдатель движется вместе с нижней плоскостью. Обозна чим через Us скорость верхней плоскости относительно нижней, а через Uc — скорость в середине промежутка между плоскостями (у = Ь), когда последние неподвижны. Скорость основного течения вязкой жидкости в безразмерной форме U(y) можно записать в виде ([46], [47]). Для установления устойчивости плоскопараллельного течения вязкой несжимаемой жидкости между двумя параллельными бесконечными плоскостями используется метод малых колебаний, т.е. на основное движение (4.1.1) накладываются малые нестационарные возмущения. В результате задача на устойчивость течения сводится к спектральной задаче о нахождении собственных чисел с называют задачей Орра-Зоммерфелъда. Если мнимая часть с, комплексного числа с = с . + \i положительна, то возмущение неустойчиво. Если для всех собственных чисел с, 0, то возмущение затухает со временем, т.е. основной поток устойчив. Непосредственно применять наш метод к нахождению собственных чисел спектральной задачи (4.1.2), (4.1.3) нельзя, так как оператор U0 не является ограниченным на Лг[0, 1]- Но можно построить вспомогательную задачу, множество собственных чисел которой совпадает с множеством собственных чисел спектральной задачи (4.1.2), (4.1.3) и к которой применим разработанный нами метод.Спектр и резольвента оператора
Система уравнений для нахождения первых собственных чисел
Система уравнений для нахождения собственных чисел с большими номерами
Спектральная задача Орра-Зоммерфельда
Похожие диссертации на Алгоритм нахождения собственных чисел возмущенных дискретных самосопряженных операторов
