Введение к работе
Актуальность темы. В монографии [10] А.Г.Курош обращает внимание на необходимость изучения универсальных алгебр с операторами ([10], 13), то есть алгебр с дополнительной системой унарных операций, действующих как эндоморфизмы относительно основных операций. Эти операции называются перестановочными с основными операциями.
В настоящей диссертации алгебры с операторами изучаются в терминах их унарных редуктов. Если / — унарная операция из сигнатуры Л, то унарным редуктом алгебры {А, П) называется унар {А, /).
Унарные алгебры и, в частности, унары (алгебры с одной унарной операцией) образуют важный класс универсальных алгебр. Унары можно рассматривать как автоматы без выхода, имеющие единственный входной сигнал. Обзор результатов по унарам можно найти в [19], [14], [21]. Каждая унарная алгебра является полигоном над свободным моноидом, порожденным множеством унарных операций. Теория полигонов над моноидами активно развивается благодаря работам Л.А.Скорнякова [13], А.В.Михалева [21], У.Кнауэра, М.Кильпа, И.Б.Кожухова [9] и других авторов.
Исследования унаров можно условно разбить на ряд направлений. К первому из них относятся работы, в которых изучаются классы унаров, обладающие заданными свойствами, и исследуются различные теории унаров. Эти исследования восходят к монографии А.И.Мальцева [11]. В [15], [18] изучаются многообразия унарных алгебр. В работах В.К.Кар-ташова [6]-[8] исследуются квазимногообразия унаров и решетки квазимногообразий унаров; в [24] описаны подпрямо неразложимые и эквацио-нально компактные унары.
В рамках второго направления рассматриваются алгебры, производные от унаров: решетки конгруэнции, решетки подалгебр, моноиды эндоморфизмов, группы автоморфизмов и другие. Проблематика работ этого направления рассмотрена Л.А.Скорняковым в докладе [14]. Важное место среди работ данного направления занимают жследовття решеток конгруэнции унаров. Значительный вклад в них внесли Д. Берман [17], Д.П.Егорова и Л.А.Скорняков [2], [3], А.П.Бощенко [1]. В работе [20]
А.В.Карташозой изучены решетки топологий унаров.
Исследования третьего направления посвящены изучению алгебраических систем различных сигнатур с использованием унаров. К этому направлению относится изучение универсальных алгебр с операторами в терминах их унарных редуктов. Такой подход перекликается с проблемой, поставленной Л.А.Скорняковым в [14]: для данного унара {А, /) определить на множестве А операции таким образом, чтобы полученная алгебра принадлежала к заданному классу и операция / была ее эндоморфизмом. Алгебры с операторами, имеющие произвольную сигнатуру, изучались в [22]. Внимание исследователей привлекают также алгебры с операторами, имеющие конкретные сигнатуры. В частности, в работе [1G] автора были описаны алгебры (А, /, д) с двумя унарными операциями, удовлетворяющими тождеству f{g(x)) = g{f{x)), каждая собственная подалгебра которых изоморфна самой алгебре.
К этому же направлению близка работа [4], в которой изучаются свободные абелевы расширения в многообразии (р, 5)-алгебр, сигнатура которых состоит из унарных операций и одной тернарной операции р, удовлетворяющей тождествам Мальцева
Р(х,х,у)=р{у,х,х)=у. (0.1)
Интерес исследователей к тернарной мальцевской операции обусловлен ее ролью в изучении связей решеток конгруэнции алгебр данного многообразия с термальными операциями на этих алгебрах. Начало этих исследований было положено работой А.И.Мальцева [12], где доказано, что многообразие конгруэнц-перестановочпо тогда и только тогда, когда существует тернарный терм р от основных операций, такой, что на данном многообразии выполнены тождества (0.1).
Интерес исследователей вызывают также арифметические, то есть конгруэнц-перестановочные и конгруэнц-дистрибутивные многообразия. Арифметичность многообразия эквивалентна [23] существованию такого тернарного термар (терма Пиксли) от основных операций, что на данном многообразии выполнены тождества р(х, х, у) = р(у, х, х) = р(у, х, у) = у (тождества Пиксли). Арифметическими будут, например, многообразие булевых алгебр и любое многообразие ассоциативных колец, порож-
денное конечным полем. Ряд результатов диссертации посвящен унарам с мальцевской операцией в арифметических многообразиях.
В работе В.К.Карташова [5] вводится понятие унара с мальцевской операцией (или мальцевского унара), как алгебры с одной унарной и одной тернарной операциями, где операции перестановочны, а для тернарной операции выполняются тождества Мальцева (0.1). В [5] указано правило, по которому на любом унаре можно определить тернарную операцию р, перестановочную с унарной и удовлетворяющую тождествам Мальцева и Пиксли. а также тождествам
P(p(x,y>z),y,z) = p{x,y,p(x}y,z)) ^p{x,y,z). (0.2)
Эта конструкция дает широкий класс примеров унаров с мальцевской операцией. Операция р определяется в [5] следующим образом. Пусть (А, /) — произвольный унар и х, у Є А. Для любого элемента х унара (Л,/) через fn(x) обозначается результатn-кратного применения операции / к элементу х; при этом /(х) = х. Положим Мх<у = {п є NU {0} | fn(x) — fn(y)}, а также k(x, у) — min Мх<у, если Мх<у ^фк к(х,у) — оо, если МХіУ = 0. Положим далее
P(x,y,z)^flZ' ^и *(*.»)<%.*) (0.3)
I х, если к{х,у) > к[у, z).
Для краткости будем всюду далее называть данный способ задания операции стандартным.
В диссертации изучаются унары со стандартной мальцевской операцией и многообразия, содержащие этот класс алгебр, а также доказываются некоторые утверждения, справедливые для произвольных универсальных алгебр с операторами.
Цель работы. 1. Изучить свойства конгруэнции произвольных универсальных алгебр с операторами и, в частности, унаров со стандартной мальцевской операцией.
2. Дать описание конструкции свободных алгебр многообразия унаров с мальцевской операцией, заданного тождествами Пиксли и исследовать их свойства, в частности, охарактеризовать свободные базисы.
3. Изучить свойства алгебр многообразия унаров с мальцевской операцией, заданного тождествами Пиксли в терминах их унарных редуктов.
Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. К основным результатам можно отнести следующие:
1. Найдены необходимые условия конгруэнц-простоты и псевдопростоты произвольной универсальной алгебры с фиксированным оператором.
ходимые и достаточные условия конгруэнц-простоты, псевдопростоты и подпрямой неразложимости. Получено полное описание унаров со стандартной мальцевской операцией, решетка конгруэнции которых будет цепью, а также алгебр, для которых каждая конгруэнция унарного редукта будет конгруэнцией самой алгебры.
3. Дано описание конструкции свободной алгебры многообразия унаров с мальцевской операцией, заданного тождествами Пиксли, а также его подмногообразия, которое задано тождествамир(х, у, z) = p(p(x,y,z),y,z) — p(x,y,p(x,y,z)). Доказано, что в свободных алгебрах этих многообразий разрешима проблема равенства слов, а свободный базис определен однозначно. Описаны группы автоморфизмов свободных алгебр. Показано, что свободные алгебры конечного ранга данных многообразий обладают свойством Хопфа.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в исследованиях, связанных с изучением решеток конгруэнции универсальных алгебр, а также при чтении спецкурсов.
Апробация работы. Результаты докладывались на международном семинаре "Универсальная алгебра и ее приложения" памяти Л.А. Ск-орнякова (Волгоград, 1999), на III международной алгебраической конференции (Сумы, 2001), на V международной алгебраической конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения"
(Тула, 2003), на VI международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию Н.Г.Чудакова (Саратов, 2004), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения П.Г.Конторовича и 70-летию Л.Н.Шеврина (Екатеринбург, 2005), на II международном семинаре "Универсальная алгебра, теория чисел и их приложения" (Волгоград, 2005), на Международной конференции "Алгебра и ее приложения"(Красноярск, 2007), на III международном семинаре "Универсальная алгебра, теория чисел и их приложения" (Волгоград, iiwuiy, На тсЖДуНарОДНОЙ аЛГСирайЧЄСКОЙ К0НфЄр6НЦИй, ПОСВЯЩЄН-
ной 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша (Москва, 2008).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, список которых приведен в конце автореферата. Три из них опубликованы в журналах, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, включающего 61 наименование. Полный объем диссертации 99 страниц машинописного текста.
