Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения 24
1.1. Сведения из теории моделей 24
1.2. Сведения из теории полигонов 30
1.3. Сведения из теории моделей полигонов 36
Глава 2. Классы Т плоских, V проективных и Тт свободных полигонов 39
2.1. Строение плоских полигонов 40
2.2. Аксиоматизируемость классов V и Тт 43
2.3. Полнота классов V и Т 52
2.4. Т-суперстабилизатор 58
2.5. T-стабилизаторы 64
2.6. Примеры 73
Глава 3. Класс ТТ полигонов без кручения 77
3.1. Некоторые свойства класса ТТ 77
3.2. Стабильность класса ТТ 79
3.3. Примеры 88
Глава 4. Класс 71 регулярных полигонов 92
4.1. Аксиоматизируемость класса TZ 92
4.2. Модельная полнота класса TZ 99
4.3. 7-стабилизатор 118
4.4. 7-суперстабилизатор 124
4.5. 7c - w-стабилизатор '. 129
4.5. Коммутативный 71 — w-стабилизатор 137
Глава 5. Квазимногообразие полигонов со свойствами амальгамируемости и расширения конгруэнции 158
5.1. Предварительные результаты 158
5.2. Аксиоматизируемость класса Abs{7i) 164
5.3. Модельный компаньон класса 173
Глава 6. Класс S — Act всех 5-полигонов 179
6.1. cj-стабилизатор 180
6.2. Конечные моноиды S с разрешимым классом S-Act 185
6.3. Моноиды S с разрешимым классом 5 — Act . 186
6.3. Моноиды S с наследственно неразрешимым классом 5 - Act 192
Литература 201
- Сведения из теории полигонов
- Полнота классов V и Т
- Стабильность класса ТТ
- Аксиоматизируемость класса Abs{7i)
Введение к работе
Тема диссертации относится к теоретико-модельной алгебре. Предметом исследования являются некоторые классы полигонов. С помощью современного арсенала теории моделей, включающего теорию категоричности, стабильности, различные теоретико-модельные конструкции (например, ультрапроизведения), изучаются такие свойства этих классов, как аксиоматизируемость, полнота, модельная полнота, стабильность.
Толчком к развитию теории моделей полигонов послужили работы В.Гоулд ([46], 1987 г.) и Т.Г.Мустафина ([8], 1988 г.). К этому времени была уже в достаточной мере развита теория моделей модулей, некоторые задачи которой легко переносились на теорию моделей полигонов. Аппаратом для решения этих задач служили теория полугрупп и теория полигонов с уже накопленными результатами. Для того, чтобы понять причины такой связи между теорией моделей модулей и полигонов, начнем с понятия полигона.
Под левым полигоном s А над моноидом S или просто полигоном (в качестве синонимов используются термины операнд, 5-множество, 5-система, 5-действие) понимается множество А, на котором определено действие элементов из S, причем единица действует на А тождественно. Понятие полигона относится к фундаментальным в таких областях, как теория представлений, алгебраическая теория динамических систем и др. Большое количество работ по теории полигонов посвящено гомологической классификации полигонов, а именно, характе-
ризации моноидов с помощью категорных свойств полигонов, таких как проективность, инъективность, плоскость. Это работы Л.А.Скорнякова [14,15], М.Кильпа [6, 49, 50, 52], У.Кнауэра [49, 51, 53, 54, 57], А.В.Михалева [51,54], П.Нормака [39, 60], В.Лаана [52], М.Петриха [57], Б.Стенстрёма [63], С.Балмэн-Флеминга [37-39], В.Гоулд [38, 45] и др. Вопросы, связанные со свойством регулярности полигонов, рассмотрены такими математиками, как М.Кильп [50], У.Кнауэр [50, 55, 56], А.В.Михалев [55, 58], Л.Х.Трэна [64].
Как видно из определения полигона, полигон является унарной алгеброй, в которой сигнатурные операции образуют моноид. С другой стороны, любая унарная алгебра является полигоном над свободным моноидом с сигнатурными операциями в качестве свободных порождающих. В частности, унар можно рассматривать как полигон над циклическим моноидом. В этом смысле работы, посвященные теоретико-модельным свойствам теорий унаров, можно отнести к работам по теории моделей полигонов. Это работы А.А.Иванова [4], А.Н.-Ряскина [12] и др.
На полигон над моноидом можно также смотреть как на обобщение понятия модуля над кольцом. Именно поэтому многие задачи в теорию моделей полигонов пришли из теории моделей модулей. Одной из стандартных задач теории моделей модулей является задача описания колец, над которыми некоторый класс модулей обладал бы свойством Р, где под Р может пониматься аксиоматизируемость, или полнота, или стабильность и др.
П.Эклоф и Г.Саббах в [40] дали характеризацию колец, над которыми класс всех плоских. (проективных, свободных) модулей аксиоматизируем. Аналогичные вопросы для полигонов решались в [18, 46, 38]. В теории полигонов существует понятия слабо плоского, плоского и сильно плоского полигона, соответствующие аналоги которых в категории левых модулей над кольцом совпадают с понятием плоского модуля. В.Гоулд в [46] описала моноиды с аксиоматизируемым классом сильно плоских полигонов и моноиды, удовлетворяющие условию обрыва возрастающих цепей главных левых идеалов, с аксиоматизируемым классом проективных полигонов. Автору в [18] удалось получить полное описание моноидов с аксиоматизируемым классом проективных полигонов (теорема 2.2), а также описание моноидов с конечным числом различных правых идеалов, класс всех свободных полигонов над которыми аксиоматизируем (теорема 2.3). С.Балмэн-Флеминг и В.Гоулд в [38] передоказали теорему 2.2, кроме этого сформулировали необходимые и достаточные условия, которым должен удовлетворять моноид, чтобы класс плоских (слабо плоских) полигонов был аксиоматизируем. В дальнейшем, как и в работах [18, 46], под словами "плоский полигон"будем понимать сильно плоский полигон. В [18] автором рассмотрены вопросы полноты и модельной полноты классов плоских и проективных полигонов. А именно, доказывается, что для моноидов, являющихся группой, и только для них, класс проективных полигонов полон (модельно полон) (теорема 2.5), а в случае коммутативных моноидов полнота (модельная полнота) класса плоских
полигонов эквивалентна тому, что моноид является абелевой
группой (теорема 2.4). *
Вопрос характеризации колец, над которыми класс всех инъективных модулей аксиматизируем, рассматривался П.Эк-лофом и Г.Саббахам в [41]. В этой же работе, а также в статьях Э.Боускарен [35, 36] решался вопрос о существовании модельного компаньона для класса всех модулей над кольцом. Соответствующие вопросы для полигонов были рассмотрены В.Гоулд в [47]. В.Х.Вилер в [65] сформулировал необходимое и достаточное условие существования модельного компаньона для универсальной теории с конечным представлением, с не более чем одной константой в сигнатуре и со свойством амаль-гамируемости, что явилось обощением результатов П.Эклофа, Г.Саббаха. Из теоремы В.Х.Вилера следует, что универсальный хорнов класс модулей со свойством амальгамируемости имеет модельный компаньон в том и только в том случае, когда этот класс когерентен. Кроме того, М.Прест в [61] доказал, что универсальный хорнов класс % модулей со свойством амальгамируемости имеет модельный компаньон тогда и только тогда, когда класс всех абсолютно чистых в Ті модулей аксиоматизируем. Аналогичные результаты для полигонов были получены автором в [27], а именно, доказано, что для квазимногообразия % полигонов со свойством амальгамируемости и свойством расширения конгруэнции существование модельного компаньона для % эквивалентно когерентности класса И. и эквивалентно аксиоматизируемости класса абсолютно чистых в % полигонов (теоремы 5.1 и 5.2). Отсюда, в частности, следу-
ет теорема В.Гоулд о существовании модельного компаньона для класса всех полигонов над моноидом [47]. -
В теории модулей есть несколько различных определений регулярного модуля. В теории полигонов аналог регулярного по Зельмановичу модуля [66] ввел Л.Х.Трэн [64]. В соответствии с этим определением регулярным полигоном является любой регулярный моноид как полигон над собой. М.Кильп и У.Кнауэр в [50] анализируют моноиды, над которыми каждый плоский (проективный, свободный) полигон является регуляр^ ным и, наоборот, каждый регулярный полигон является плоским (проективным, свободным). Естественно было поставить вопрос об описании моноидов с аксиоматизируемым (полным, модельно полным) классом регулярных полигонов. Для аксиоматизируемых и модельно полных классов регулярных полигонов ответ на этот вопрос был получен автором в [24] (теоремы 4.1 и 4.2). Для полных классов регулярных полигонов над коммутативными моноидами, над моноидами с конечным числом идемпотентов и над линейно упорядоченными моноидами глубины 2 этот вопрос решила Е.В.Овчинникова в [11]. Вопрос о полном описании моноидов с полным классом регулярных полигонов остается открытым.
Если, как отмечено выше, между многими результатами в теории моделей модулей и теории моделей полигонов, касающихся вопросов аксиоматизируемости, полноты, модельной полноты, можно провести параллель, то, что касается стабильности, то здесь есть существенные отличия, например, любая полная теория модулей стабильна [34, 42], тогда как существу-
ют полигоны с нестабильной теорией [8, 30, 31, 44]. В связи с этим естественно поставить вопрос: какими свойствами должен обладать моноид 5, чтобы теория Th(sA) была стабильна (суперстабильна, w-стабильна) для любого полигона s-A- Для стабильных и суперстабильных теорий этот вопрос был решен Т.Г.Мустафиным в [8]. Будем называть полигон стабильным (суперстабильным, w-стабильным), если его теория стабильна (суперстабильна, w-стабильна соответственно). В этой же работе [8] Т.Г.Мустафин ввел термины стабилизатора, суперстабилизатора и w-стабилизатора - моноида, над которым все полигоны стабильны, суперстабильны и о;-стабильны соответственно, и доказал, что стабилизаторы - это в точности линейно упорядоченные моноиды; суперстабилизаторы - это в точности вполне упорядоченные моноиды. Здесь же доказано, что группа является и-стабилизатором тогда и только тогда, когда число ее подгрупп не более, чем счетно. Коммутативные w-стабилизаторы были описаны В.С.Богомоловым и Т.Г.Мустафиным в [1], конечные w-стабилизаторы были описаны Т.Г.Мустафиным в [9]. Кроме того, в [9] доказано, что в cj-стабилизаторе существует не более одного собственного левого идеала. В этой же работе был поставлен вопрос об описании ы-стабилизаторов. Поскольку моноид, не содержащий собственных левых идеалов, является группой, то для полного решения этого вопроса оставалось решить вопрос об описании моноидов, имеющих ровно один собственный левый идеал и являющийся td-стабилизатором. Для случая регулярного полигона такое описание было получено Т.Г.Мустафиным и
Б.Пуаза в [59]. Здесь же была выдвинута гипотеза о том, что не существует нерегулярного w-стабилизатора. В работе [33] эту гипотезу автору удалось подтвердить (теорема 6.1). Таким образом, вопрос об описании td-стабилизаторов решен полностью.
Классы свободных, проективных, плоских, регулярных полигонов, рассматриваемые выше, а также классы полигонов без кручения, содержащие класс проективных полигонов, естественно, как и класс всех полигонов, изучать с точки зрения стабильности. Вопросам стабильности этих классов посвящены работы автора [25, 30-32], где, в частности, описаны моноиды, удовлетворяющие условию обрыва возрастающих цепей подполигонов для всех плоских полигонов, аксиоматизируемые классы плоских полигонов над которыми суперстабилены (w-стабилены при условии не более, чем счетности моноидов) (теорема 2.8, следствие 2.3); доказано, что аксиоматизируемые классы проективных и свободных полигонов суперстабильны (ш-стабильны при условии не более, чем счетности моноидов) (следствия 2.4, 2.5, 2.8, 2.9); найдены необходимые и достаточные условия, которые нужно наложить на моноид, чтобы все полигоны без кручения над ним были стабильны (теорема 3.1); при условии представимости регулярной части R моноидов в виде объединения конечного числа правых идеалов І?, - чтобы все регулярные полигоны над ними были стабильны (суперстабильны) (теоремы 4.3, 4.4), для счетных коммутативных моноидов найден критерий ^-стабильности всех регулярных полигонов над ними (теорема 4.6).
В книге М.Преста [61] приводится ряд результатов, касающихся вопроса: над какими кольцами теория всех модулей разрешима? Аналогичный вопрос можно сформулировать для полигонов. Этому вопросу посвящена работа автора [26]. Класс полигонов будем называть разрешимым (неразрешимым, наследственно неразрешимым), если теория этого класса разрешима (неразрешима, наследственно неразрешима соответственно). Характеризация конечных моноидов, для которых класс всех полигонов разрешим (утверждение 6.1) легко получается из результатов Р.Маккензи и М.Валериота [58]. Получены некоторые достаточные условия наследственной неразрешимости класса всех полигонов (теоремы 6.2-6.4), а также необходимые и достаточные условия разрешимости класса всех полигонов над группой (теорема 6.5).
Результаты диссертации являются новыми и имеют теоре-тический характер. Они используются и могут быть использованы в теоретико-модельной алгебре, в теории полигонов, при чтении спецкурсов по теории моделей, написании учебных пособий и монографий.
Результаты диссертации излагались автором на семинарах Института математики СО РАН (г. Новосибирск), Института прикладной математики ДВО РАН (г. Владивосток), Дальневосточного госуниверситета, а также на следующих международных конференциях, коллоквиумах и школах-семинарах: Международная конференция по алгебре памяти А.И.Ширшова (Барнаул, 1991), XI Международная конференция по математической логике (Казань, 1992), Третья Международная кон-
ференция по алгебре памяти М.И.Каргаполова (Красноярск, 1993), Третья Суслинская конференция (Саратов, 1994), Международная конференция по математической логике, посвященная 85-летию со дня рождения А.И.Мальцева (Новосибирск, 1994), Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения А.И.Мальцева (Новосибирск, 1999), Международная конференция, посвященная 60-летию академика Ю.Л.Ершова (Новосибирск, 2000), Международная конференция "Мальцевские чтения"(Новосибирск, 2001).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [16-33].
Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, 6-ти глав и библиографии.
В первой главе приводятся необходимые для дальнейшего сведения из теории моделей, теории полигонов, а также результаты по теории моделей полигонов, полученные В.Гоулд и Т.Г.Мустафиным.
Вторая глава посвящена классам плоских, проективных и свободных полигонов. Теорема 2.1 показывает, что любой связный плоский 5-полигон является прямым спектром факторов полигона sS по некоторым конгруэнциям. Для произвольного моноида S введем следующие обозначения:
Тт - класс всех свободных /^-полигонов,
V - класс всех проективных полигонов,
J7 - класс всех плоских полигонов.
Ясно, что
Основным результатом параграфа 2.2 является следующая теорема, которая вместе с характеризацией моноида, класс Т плоских полигонов над которым аксиоматизируем, полученной В.Гоулд, дает описание моноида, класс V проективных полигонов над которым аксиоматизирум.
Теорема 2.2. Для моноида S следующие условия эквивалентны:
класс V аксиоматизируем;
любое ультрапроизведение проективных полигонов является проективным полигоном;
3) класс Т аксиоматизируем и S - совершенный моноид.
Локальным моноидом, по аналогии с локальным кольцом,
называется моноид, множество всех необратимых элементов которого является двустороннми идеалом. Множество всех обратимых элементов моноида S обозначим через U. Ясно, что U - группа. Следующая теорема вместе с теоремой 2.2 дает ха-рактеризацию моноида с конечным числом различных правых идеалов, класс Fr свободных полигонов над которым аксиоматизируем.
Теорема 2.3. Пусть S - моноид с конечным числом различных правых идеалов. Для моноида S следующие условия эквивалентны:
класс Тт аксиоматизируем;
любое ультрапроизведение свободных полигонов являет-
ся свободным полигоном;
3) класс V аксиоматизируем, S - локальный моноид и U -группа конечного правого индекса в моноиде S.
(Коммутативные) моноиды с полным, модельно полным, категоричным классами всех плоских (проективных) полигонов над ними рассмотрены в теоремах 2.4, 2.5 параграфа 2.3.
Теорема 2.4. Пусть S - коммутативный моноид. Для аксиоматизируемого класса Т следующие условия эквивалентны:
класс Т полон;
класс J7 модельно полон;
класс Т категоричен; 4)jF = jFr;
5) S - абелева группа.
Теорема 2.5. Для аксиоматизируемого класса V следующие условия эквивалентны:
класс V полон;
класс V модельно полон;
класс V категоричен;
V = Тг;
S - группа.
Что касается аксиоматизируемого класса всех свободных полигонов над моноидом S, то он, очевидно, категоричен, полон и модельно полон для любого S (утверждение 2.2).
Пусть К - класс полигонов. Моноид S назовем ^-стабилизатором (К-суперстабилизатором, і^-с^-стабилизатором), если теория любого полигона из К стабильна (суперстабильна, а;-стабильна соответственно). Будем говорить, что моноид
удовлетворяет условию конечности правых решений (УКПР), если
Vs Є S Зп Є ш V Є S \{х Є S \ sx = t}\ < п.
Теорема 2.6. Если класс Т аксиоматизируем, моноид S удовлетворяет УКПР, то S является ^"-суперстабилизатором.
Заметим, что поскольку для аксиоматизируемого класса' J7, из того, что моноид S удовлетворяет условию А^ обрыва возрастающих цепей циклических подполигонов для произвольного плоского полигона, следует, что S удовлетворяет УКПР (лемма 2.7), то теорема 2.6 остается в силе при замене УКПР на условие Ат. Из теоремы 2.6 следует, что для аксиоматизируемых классов V и Тг моноид S является V- и Ті— суперстабилизатором соответственно (следствия 2.4, 2.5). Для моноида с левым сокращением условие аксиоматизируемости класса Т в теореме 2.6 можно снять:
Теорема 2.7 . Если S - моноид с левым сокращением, то S - ^-суперстабилизатор.
Через S^ обозначим множество всех сильно реверсивных слева, унитарных справа в S подмоноидов моноида S.
Теорема 2.8. Пусть класс Т аксиоматизируем, |5| < ш и S удовлетворяет условию А? обрыва возрастающих цепей циклических подполигонов для любого плоского полигона. Моноид S является .^-^-стабилизатором тогда и только тогда , когда 1*5^1 < oj.
Поскольку для любого конечного моноида и моноида, являющегося счетной группой, класс Т аксиоматизируем и кроме
того, такой, моноид удовлетворяет условию Л , то из теоремы 2.8 получаем следствия 2.6 и 2.7.
Следствие 2.6. Если S - конечный моноид, то 5 - Т-іо-стабилизатор.
Следствие 2.7. Если S - счетная группа, то S - Т-ьз-стабилизатор.
Из теоремы 2.8 следует также для аксиоматизируемых классов V и Тг, что не более чем счетный моноид S является V-и «ЯУ-с^-стабилизатором соответственно (следствия 2.8, 2.9). Пример счетной полугруппы левых нулей с присоединенной единицей, являющейся ^-с^-стабилизатором, суперстабилизатором, не являющейся а;-стабилизатором, с аксиоматизируемым классом Т (теорема 2.9, замечание 2.4), вместе с примерами параграфа 2.6 показывают всю сложность проблемы описания іГ-стабилизаторов и if-w-стабилизаторов для таких классов К как У7, V и Тт.
В главе 3 изучается класс ТТ полигонов без кручения. Ясно, что класс ТТ является расширением класса класса V. Непосредственно из определения полигона без кручения следует аксиоматизируемость класса ТТ. Вопросы полноты и модельной полноты этого класса решены в следующем утверждении.
Утверждение 3.1. Следующие условия эквивалентны:
класс TF полон;
класс TjF модельно полон;
\S\ = 1.
Центральным результатом главы 3 является теорема 3.1,
дающая необходимые и достаточные условия стабильности класса ТТ. Для ее формулировки понадобится ряд обозначений. Пусть new, t = (*!,..., *п> Є 5n, f = (r0,...,r„> Є 5n+1, 5 Л Є ТТ. Через 6jrf(sA) обозначим следующее отношение на множестве А:
a9UsA)b *=>
. .. , .„.Л
г'=1
п—1 п—1
Л Д ПХі = U+iXi+i Л Д пуі = U+іуі+і —> rnxn = rnyn)\
i=0 i=0
через Aff(sA) - множество
<=> SA (= Vz0 ... хпуо ... Уп(а = x0Ab = y0A/\ Uxi ф Uyit
n-1
{x Є A I sA f= 3x0... Bxn(x = xq А Д г{Хі = ti+ixi+i)}m
Если n — О, то вместо 6^(5^) и Af (5Л) будем писать 0%{sA) и у1(5-у1) соответственно. На множестве {0ff(sA) | t Є 5n, f Є 5n+1, nGw} введем отношение <'
OUsA) < BfJsA) «=*
Va,bE AUsA)^AfP{sA){a9UsA)b =* ав?Р{3А)Ъ).
Теорема 3.1. Моноид S является ТТ-'-стабилизатором тогда и только тогда, когда любой полигон sA Є ТТ удовлетворяет условию PsA:
для любых п,пгЄси, teSn, f Є Sn+1, s Є Sm, p Є 5m+1 либо 0?f(sA) < e%(sA), либо 6?P{SA) < e?f(sA).
Из теоремы 3.1 следует, в частности, что моноид, все элементы которого сократимы слева, является Т^-стабилизатором (следствие 3.2).
Предметом исследования в главе 4 является класс 7Z регулярных полигонов. Регулярной частью моноида 5 назовем множество R такое, что sR - максимальный по включению регулярный подполигон полигона $-5. Следующая теорема описывает структуру моноида с аксиоматизируемым классом регулярных полигонов.
Теорема 4.1. Класс 7 регулярных полигонов аксиоматизируем тогда и только тогда, когда
1) полугруппа R удовлетворяет условию минимальности
для главных правых идеалов, порожденных идемпотентами ;
2) множество {х Є R \ Д six = Ux} пусто или конечно-
го порождено как правый идеал полугруппы R для любых п >
1, Si, U Є 5(1 <і <п).
Моноид 5 назовем регулярно линейно упорядоченным, если для любого а Є R множество {56 | 56 С Sa} линейно упорядочение относительно включения. Характеризацию моноида с аксиоматизируемым модельно полным классом регулярных полигонов дает теорема 4.2.
Теорема 4.2. Пусть класс 1Z регулярных полигонов аксиоматизируем. Класс 71 модельно полон тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
5 - регулярно линейно упорядоченный моноид;
для любого идемпотента е Л, если Sa С 5е, е ^ и{аг-5 |
1 < г < ^}j где а,а,і Є S, 1 < г < m, то найдутся идемпотенты ej Є R (j Є и>) такие, что
ej ф Єк, Sa = Sej, ej Є eS\ U{a{S J 1 < і < m}
для любых j, к Є си, з фк;
3) |е5/| > <*> для любых идемпотентов є, / Є і?.
Параграфы 4.3-4.6 посвящены вопросам стабильности класса регулярных полигонов. В теоремах 4.3 и 4.4 приводятся описания ^-стабилизатора и 7-суперстабилизатора соответственно, регулярная часть R которых представима в виде объединения конечного числа правых идеалов R.
Теорема 4.3. Если
R = (J a{R
t=0
для некоторых п > 0 и сц Є R (О < і < п), то S является ^-стабилизатором тогда и только тогда, когда S - регулярно линейно упорядоченный моноид. Теорема 4.4. Если
Я = (J a{R
г'=0
для некоторых п > 0 и а{ Є R (О < і < п), то S является 71-су-перстабилизатором тогда и только тогда, когда S - регулярно линейно упорядоченный моноид и любой главный левый идеал Sa, а Є R, удовлетворяет условию максимальности для левых идеалов.
Из этих теорем следует характеризация ^-стабилизаторов и 7-суперстабилизаторов при условии аксиоматизируемости класса регулярных полигонов.
Следствие 4.2. Если класс TZ аксиоматизируем, то S является 7^-стабилизатором тогда и только тогда, когда S - регулярно линейно упорядоченный моноид.
Следствие 4.5. Если класс TZ аксиоматизируем, то S является 7^-суперстабилизатором тогда и только тогда, когда S - регулярно линейно упорядоченный моноид и любой главный левый идеал Sa, а Є R, удовлетворяет условию максимальности для левых идеалов.
Поскольку моноид S с аксиоматизируемым модельно полным классом регулярных полигонов регулярно линейно упорядочен, то из следствий 4.2 и 4.5 следует, что такой моноид является 7^-стабилизатором и является 7-суперстабилизатором тогда и только тогда, когда любой главный левый идеал Sa, а Є R, удовлетворяет условию максимальности для левых идеалов. Для моноида S, совпадающего со своей регулярной частью R, понятия ^-стабилизатора и 7-суперстабилизатора совпадают с понятиями стабилизатора и суперстабилизатора соответственно (следствия 4.4 и 4.7). Группа является 7-су-перстабилизатором (следствие 4.8).
Вопрос об описании 7-о;-стабилизаторов решен менее полно, чем для ^-стабилизаторов и 7^-суперстабилизаторов. Следующая теорема характеризует "/^.-^-стабилизаторы при условии аксиоматизируемости и модельной полноты класса регулярных полигонов.
Теорема 4.5. Пусть класс 7Z всех регулярных полигонов является аксиоматизируемым. Тогда R = У{егЛ|1 < г < п} для некоторых п Є и, еі,..., еп Є R, ef — ег- (1 < г < п). Если класс 7Z модельно полон, то
если l^l < и, то S - 71 — аьстабилизатор тогда и только тогда, когда для любого г, 1 < г < п, полугруппа
siSei/в) Є 71; для конечной полугруппы R моноид S -71 — а>стабили-затор.
Из теоремы 4.5 следует, что любая счетная группа является 7-о;-стабилизатором (следствие 4.9).
Полное описание 7-чи-стабилизаторов удалось получить в случае коммутативности моноида. Для формулировки данного результата введем ряд обозначений. Пусть е, /,#, h Є Е, Sg С Sf С Se, sSc ^ sSh, SA Є 7г, СЄ A; Ge = {х Є R | Sx = Se}; х ~s У <=> sx = sy, где x, у Є Ge, s Є S; ( = {x Є Ge | x ~/ e}; Ish - максимальная длина убывающей цепи одно-порожденных подполигонов полигона sSh, если она существует и конечна, и оо в противном случае. Если существует наибольший по включению собственный подполигон полигона sSe, порожденный идемпотентом, то этот идемпотент будем обозначать через ё.
Теорема 4.6. Счетный коммутативный моноид является 71- w-стабилизатором тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
S - регулярно линейно упорядоченный моноид;
R - регулярная полугруппа с конечным числом идем-потентов;
Щ : Gef] = и для любых e,f,g Є Е, Sg С Se С
Sf, ISe > 3;
(4) [G/ : fGe) < w для любых є, / E, Sf С Se.
Пусть Ті - квазимногообразие полигонов, удовлетворяющих свойству амальгамируемости и свойству расширения конгруэнции. В главе 5 изучаются вопросы аксиоматизируемости класса Abs{%) абсолютно чистых в Ті полигонов и существования модельного компаньона для Ті. Напомним ряд определений. Будем говорить, что класс К алгебраических систем обладает свойством расширения конгруэнции, если для любых алгебраических систем An В и любой конгруэнции в алгебраической системы А из того, что А «-> В, В Є К и А/9 Є К сле-дует существование конгруэнции г] алгебраической системы В такой, что В/г) Є К и ограничение г) на алгебраическую систему А совпадает с в. Квазимногообразие К алгебраических систем называется когерентным, если любая конечно порожденная подсистема любой /^-конечно представимой системы К— конечно представима. Следующая теорема дает необходимое и достаточное условие аксиоматизируемости класса Abs(Ti).
Теорема 5.1. Для квазимногообразия Ті полигонов, удовлетворяющего свойству амальгамируемости и свойству расширения конгруэнции, следующие условия эквивалентны:
Abs(TC) - аксиоматизируемый класс;
Ті - когерентный класс;
3) ультрапраизведение алгебраически замкнутых в % полигонов является, абсолютно чистым в % полигоном.
Теорема 5.2 является аналогом теоремы В.Х.Вилера для модулей, а вместе с теоремой 5.1 - это аналог теоремы М.Преста для модулей.
Теорема 5.2. Пусть % - квазимногообразие полигонов, обладающее свойством амальгамируемости и свойством расширения конгруэнции. Класс % когерентен тогда и только тогда, когда % имеет модельный компаньон.
Поскольку многообразие полигонов обладает свойством расширения конгруэнции, то из теоремы 5.2 получается
Следствие 5.1. Пусть % - многообразие полигонов со свойством амальгамируемости. Класс % когерентен тогда и только тогда, когда % имеет модельный компаньон.
Через S—Act обозначим класс всех 5-полигонов. Моноид S называется сильно когерентным, если любой конечно порожденный подполигон любого S—Лсі-конечно представимого полигона S — Лсі-конечно представим. Следующее утверждение доказано В.Гоулд.
Следствие 5.2. Класс S — Act всех 5-полигонов имеет модельный компаньон тогда и только тогда, когда моноид S сильно когерентен.
В главе б рассматриваются вопросы w-стабильности и разрешимости класса S — Act всех 5-полигонов. В параграфе 6.1 излагается один из основных результатов работы, подтверждающий гипотезу, выдвинутую Т.Г.Мустафиным и Б.Пуаза, о регулярности любого w-стабилизатора. Напомним, что моноид
S называется регулярным, если для любого а Є S существует b Є S такой, что а = ЪаЬ.
Теорема 6.1. Любой w-стабилизатор является регулярным моноидом.
Эта теорема вместе с характеризацией регулярных ы-ста-билизаторов, полученной Т.Г.Мустафиным и Б.Пуаза, дает полное описание ш-стабилизаторов.
Необходимое и достаточное условие разрешимости класса всех полигонов над группой дает теорема 6.2. В теоремах 6.3-6.4 приводятся некоторые достаточные условия наследственной неразрешимости класса всех полигонов.
Теорема 6.3. Пусть моноид S удовлетворяет следующим условиям:
максимальный правый идеал S конечно порожден, т.е. существуют ao,...,afc Є S такие, что clqS U ... U akS - максимальный правый идеал 5;
множество {SaG | а S} не является линейно упорядоченным отношением С;
3) любой обратимый справа элемент S обратим слева.
Тогда класс S — Act всех полигонов наследственно нераз
решим.
Теорема 6.4. Пусть моноид S удовлетворяет условиям:
максимальный правый идеал S конечно порожден, т.е. существуют aoi—jaA Є S такие, что ciqS U ... U a^S - максимальный правый идеал S;
множество {SaS \ а Є S} не является линейно упорядоченным отношением С.
Тогда класс S — Act всех /^-полигонов наследственно неразрешим.
В заключении автор выражает искреннюю признательность Е.А.Палютину за внимание к работе и полезные обсуждения.
Сведения из теории полигонов
Теория Т сигнатуры Е называется а-категоричной, если она имеет модель мощности а и все модели теории Т мощности а изоморфны между собой. Теория Т сигнатуры S называется категоричной, если Т - ос- категорична для некоторого ос. Теорема 1.5.(Теорема Линдстрема) Пусть Т - теория счетной сигнатуры, удовлетворяющая следующим условиям: 1) все модели теории Т бесконечны; 2) объединение всякой цепи моделей теории Т является мо-делью теории Т; 3) Т является а- категоричной для некоторого бесконечного кардинала а. Тогда теория Т модельно полна. Пусть Л - алгебраическая система сигнатуры Е, X С А, сигнатура Ех получается из сигнатуры Е добавлением новых констант для всех элементов множества X, Ах - обогащение системы А до сигнатуры Ех с естественной интерпретацией новых констант. Множество D{A) атомных предложений сигнатуры Ед, истинных в системе А А, называется диаграммой системы А. Непротиворечивая теория Т сигнатуры Е называется подмодельно полной, если теория Т U D(B) сигнатуры Ев полна для любой подсистемы В любой модели А теории Т. Заметим, что всякая подмодельно полная теория является модельно полной. Если К - класс алгебраических систем сигнитуры Е, то через К обозначим класс бесконечных систем из К. Класс К называется полным (модельно полным), если теория Th{K) класса К полна (модельно полна). Класс К называется категоричным, если теория Th{K) категорична. Пусть Т — непротиворечивая теория сигнитуры Е, X = {х{ 1 г п], Еп = Ех- Любое множество предложений р сигнатуры Еп называется п-типом сигнатуры Е. Если теория р U Т непротиворечива, то р называется п-типом над Т. Если р является полной теорией, то р называется полным п-типом сигнатуры Е. Если к тому же Г С р, то р называется полным п- ипом над Т. Множество всех полных n-типов над Т . обозначается 5„(Т). Пусть Л - алгебраическая система сигнатуры Е, X С Л, а Є А. Типом элемента а над множеством X "называется множество tp{a,X) = {Ф(х) Лх И Ф(а)}- Нетрудно понять, что tp(a, X) - полный 1-тип над Th(Ax)- Через Sn(X) обозначим Sn(Th(Ax))- Часто вместо S±(X) будем писать S(X). Теория Т называется стабильной в мощности к или к-ста-бильной, если 5(Х) к для любой модели А теории Т и любого X С А мощности к. Если теория Т к-стабильна для некоторого бесконечного к, то Т называется стабильной. Если теория Т «-стабильна для всех к 2 т , то Т называется суперстабильной.
Если теория Т не является стабильной, то Т называется нестабильной. Теорема 1.6. Полная теория нестабильна тогда и только тогда, когда существует формула Ф(ж,у) от 2п переменных, модель Л теории Т и di Є Ап, і Є и, такие, что для любых Теорема 1.7. Пусть T - полная теория счетной сигнатуры Е. Тогда теория Г w-стабильна в том и только том случае, когда Т - /с-стабильна для любого бесконечного к. Класс К алгебраических систем сигнитуры Е называется стабильным (суперстабильным, о;-стабильным) , если теория Th{K) класса К стабильна (суперстабильна, w-стабильна соответственно). Класс К алгебраических систем сигнитуры Е обладает свойством расширения конгруэнции, если для любых алгебраических систем Ли В и любой конгруэнции в алгебраической системы Л из того, что Л -ь В, В Є К и Л/в Є К следует существование конгруэнции 7] алгебраической системы В такой, что В/г] Є К и 7]\А = В. Элементарная теория Т называется разрешимой, если существует алгоритм, устанавливающий по любому предложению ср, принадлежит ли (р данной теории. Элементарная теория Т называется наследственно неразрешимой, если любая ее подтеория То С Т является неразрешимой. Пусть KQ - класс алгебраических систем (чисто предикатной конечной) сигнатуры EQ = (PQ, . , Р ), К\ - класс ал гебраических систем сигнатуры Si. Будем говорить, что класс KQ относительно элементарно определим в классе К\, если существуют такие формулы Ф(х]у), Ф(х;у1; у2), Ч о{х\у1\.. .\уп),.. .,Ък{х]ух-,.. .\уПк) сигнатуры Ех (х = (xi,... ,„), уг = (у\,... ,угт)), что для любой алгебраической системы Л Є KQ найдутся алгебраическая система В Є К\ и о Є Вп, удовлетворяющие условиям: 1) множество L = {Ь Ъ Є f?m, # [= Ф(а,6)} непусто; 2) формула Ф(а; у1] у2) задает конгруэнтность ц на алгебраической системе С сигнатуры So, основное множество которой есть L, а предикаты определены формулами (а;?/1;... ;уПк)\ 3) факторсистема С/г/ изоморфна А. Теорема 1.8. Если элементарная теория Th(Ko) класса Ко наследственно неразрешима и класс Ко относительно элементарно определим в классе К\, то и теория Th{K\) также наследственно неразрешима. Всюду S будет обозначать моноид, 1 - единица S. Алгебраическая система (A; s)ses сигнатуры Ls = {s \ s Є 5} называется (левым) 5-полигоном (или полигоном), если si{s2d) = (siS2)a и la = а для любых si,S2 G S, а Є А. Полигон {A] s)ses будем обозначать через s-A. Все рассматриваемые в работе полигоны, если не оговаривается противное, являются левыми 5-полигонами. Аналогично определяется понятие правого S-полигона. Через sO будем обозначать одноэлементный полигон.
Подсистема sB полигона sA называется подполигоном полигона sA. Полигон sA называется конечно-порожденным, если су п ществуют ai,...,an Є А такие, что sA = J sSa i Полигон г =1 sA называется циклическим, если sA одно-порожденный полигон, т.е sA = sSa для некоторого а Є 5. В [10] доказана следующая Теорема 1.9. Если полигон s(S х S) конечно-порожден, то S — конечный моноид. Конгруэнцией полигона sA, порожденной множеством ХС Л2, называется наименьшая конгруэнция г) полигона sA такая, что ХС г]. Теорема 1.10. [60] Пусть т] - конгруэнция полигона sA, порожденная множеством X. Тогда а, Ь Є т] в том и только в том случае, когда a = b или существуют натуральное число п и последовательность где ti,...,tn S, такие что для любого г, 1 г п, либо Ci,d{ ЄХ, либо di,C{ ЄХ. Если г] - конгруэнция полигона sA, то фактор-полигон полигона sA по конгруэнции 7] обозначается через SA/TJ, элементы полигона sA/r/ - через а/77, гДе а Є А. Копроизведением полигонов 5 А І, і Є I, называется их дизъюнктное объединение; копроизведение полигонов sAi, і Є /, обозначается через Ц sA{. Полигон sA назовем связным, если для любых а, Ъ Є А
Полнота классов V и Т
Доказательство. 1)—У2) следует из теоремы 1.1. 2)— 3). По следствию 2.1, класс V аксиоматизируем. По лемме 2.2, моноид S локален. Покажем, что U - группа конечного правого индекса в моноиде S. Предположим, что это не так, т.е. существуют ог- Є S, і Є со, для которых a,iU DcijU = 0, і ф j. Пусть f Є Su такой, что /(г) = а;, Ф - однородный ультрафильтр на со. Так как полигон З /Ф свободен, то //Ф Є S - д/Ф, где д Є Sw такой, что существует изоморфизм Ф sS д/Ф — s& ФІ9/Ф) = 1- Поскольку в моноиде S су-ществует только конечное число различных правых идеалов и моноид S локален, то либо д/Ф а 5 4,/Ф, где а $ U, либо {г Є со д(г) Є U} Є Ф. В силу равенства ф{д/Ф) = 1 первое невозможно. Следовательно, {г Є со \ д{г) Є U} Є Ф. Так как //Ф Є S д/Ф, то существует к Є S такой, что {г Є со /(г) = к д(і)} Є Ф. Таким образом, для некоторых i,j Є со, і ф j, что противоречит равенству aiUDdjU = 0. 3)—)-1). Пусть Y - система аксиом, определяющих класс V\ Ф - следующее предложение: Рассмотрим систему аксиом Y U {Ф} = Z . Из локальности моноида S следует, что А \= Ф для любого свободного полигона sA- Если s 4 = Z, то sA = У и s 4 = Ц sSW, где ег-, і Є I, ІЄІ идемпотенты 5. Так как sA f= Ф, то для любого ег-, г Є /, най п дутся j, 0 j п, а Є Sei такие, что е = aja и а [J аг-А г=1 Последнее в силу локальности S влечет а Є U. Следовательно, Se{ — S, т.е. s-А - свободный полигон. Теорема доказана. Замечание 2.3. При доказательстве импликации 3)—)-1) в теореме 2.3 не использовалось предположение о конечности числа правых идеалов S. Следствие 2.2. Для коммутативного регулярного моноида S условия 1), 2), 3) теоремы 2.3 эквивалентны. Доказательство. 1)—)-2) следует из теоремы 1.1. 3)— 1) следует из замечания 2.3. 2)— 3). Пусть aS - минимальный идеал. В силу регулярности моноида S, aS — eS, где е - идемпотент из S. Если / - идемпотент из S, то е/ - также идемпотент, причем из минимальности идеала eS следует, что efS = eS. Тогда е = efa для некоторого а Є S. Значит, е/ = е/а, т.е. е — ef. По лемме 2.1 множество {х Є S \ ex = е} конечно. Следовательно, множество идемпотентов S конечно. Поскольку в регулярном моноиде каждый идеал порождается идемпотентом, то в S число различных идеалов конечно. Применение теоремы 2.3 заканчивает доказательство импликации 2)— 3). Следствие доказано. Утверждение 2.1. Пусть S - моноид с левым нулем. Для моноида S следующие условия эквивалентны: 1) класс Т аксиоматизируем; 2) класс V аксиоматизируем; 3) класс Тг аксиоматизируем; 4) моноид S конечен. Доказательство. Пусть и - левый нуль S. Покажем 1)—И) 2)— 4), 3)— 4). Из аксиоматизируемости классов J7, "Р, Тг следует, что любая ультрастепень полигона sS - плоский полигон. Следовательно, в силу теоремы 1.15 правый полигон sR(u,u) = s{(x,y) Є S х S \ их = uy} = s(S x S) конечно-порожден. Тогда, по теореме 1.9, S конечен. 4)—Л) следует из теоремы 1.15; 4)— 2) следует из теоремы 2.2; 4)—)-3) следует из теоремы 2.3. В данном параграфе рассматриваются вопросы, связанные с полнотой классов проективных и плоских полигонов, а именно, доказывается, что только для моноидов, являющихся груп пой, аксиоматизируемый класс проективных полигонов полон (теорема 2.5), а в случае коммутативности моноида, аксиоматизируемый класс плоских полигонов полон (теорема 2.4).
Следующая лемма, помимо того, что понадобится при доказательстве теоремы 2.5, представляет самостоятельный интерес. Лемма 2.3. Пусть S - совершенный моноид. Тогда 1) если Sb (bS) - минимальный левый (правый) идеал, то bS (Sb) - минимальный правый (левый) идеал S, где b Є S; 2) если Sbi С Sb0 и sSb0 = sSblt то Sb0 = Sbi, где b0, h Є S; 3) любой минимальный левый (правый) идеал порождается идемпотентом. Доказательство. Покажем, что если Sb - минимальный левый идеал S, то 65 - минимальный правый идеал S, b Є S. Поскольку S - совершенный моноид, то по теореме 1.12 существует минимальный правый идеал cS такой, что cS С bS. Заметим, что из равенства cbx = cby следует равенство bx = by для любых ху у Є S. Действительно, Scb = Sb в силу минимальности идеала Sb, т.е. b = acb для некоторого а Є S. Если cbx = cby, то acbx = acby, следовательно, bx — by. Предположим, что cS Ф bS, т.е. существует d Є S такой, что d Є bS\ cS. Так как cd Є cS и ccS = cS в силу минимальности cS, то cd = ccd для некоторого d! Є S. Поскольку d, cd Є bS, то из последнего равенства следует, что d = cd , т.е. d Є cS, что противоречит выбору d. Докажем п.2. Предположим, что Sbo С Sbi и Sbo = Sbi. Пусть Ьі = tbo. Тогда существует убывающая цепь левых иде алов: причем 6г-+і = tb{. Пусть sSi - копия 55, і Є со, Щ - копия элемента bj в полигоне s i, Ф - однородный ультрафильтр на ші fj е (II $і)/Ф такой, что fj(i) = Щ_ . Так .как tfj+i = fj, то Sfj С Sfj+i. Если Sfj = Sfj+i, то fj+i = rfj, где r Є 5, т.е. b\_j_1 = rb\_j для некоторого і, і j + 1, что противоречит (2.4). Следовательно, Sfj 5//+1 Для любого j Є to, что невозможно в силу теоремы 1.12 и совершенности моноида S. Покажем, что если bS - минимальный правый идеал, то 56 - минимальный левый идеал, 6 Є 5. Пусть Sc С 56. В силу минимальности идеала 65 имеем 65 = 6с5. Тогда из равенства xbc = ybc получаем равенство xb = yb для любых х,у Є 5. Следовательно, 56с = 56, кроме того, 56с С 5с С 56. По п.2, 56с = 56, т.е. Sc = 56, и п.1 доказан. Докажем п.З. Пусть 56 - минамальный левый идеал, 6 Є 5. По п.1, идеал 65 минимален. Следовательно, 65 = 665, т.е. 6 = 66с для некоторого с Є 5. Из равенства 66 = ббсб и 56 = 566 получаем b = бсб. Ясно, что е = сб - идемпотент 5 и 5е = 56. Для правого минимального идеала п.З доказывается аналогично. Теорема 2.4. Пусть 5 - коммутатичный моноид. Для аксиоматизируемого класса Т следующие условия эквивалентны: 1) класс Т полон;
Стабильность класса ТТ
В этом параграфе формулируются необходимые и достаточные условия полноты (модельной полноты) класса полигонов без кручения (утверждение 3.1). Утверждение 3.2 дает большой класс моноидов, для которых класс полигонов без кручения совпадает с классом всех полигонов, а следовательно, вопросы стабильности такого класса сводятся к вопросам стабильности класса всех полигонов. Следующие замечания следуют непосредственно из определения полигона без кручения. Замечание 3.1. Класс ТТ аксиоматизируем. Замечание 3.2. Класс ТТ замкнут относительно подпо-лигонов, декартовых произведений и копроизведений. Утверждение 3.1. Следующие условия эквивалентны: 1) класс ТТ полон; 2) класс ТТ модельно полон; 3) \S\ = 1. Доказательство. 2)= 1). Если класс ТТ модельно полон, то в силу замкнутости ТТ относительно копроизведений ТТ полон. 3)== 2). Пусть моноид S одноэлементен, т.е. S = {1}. Тогда любой полигон является полигоном без кручения и представим в виде копроизведения одноэлементных полигонов. Следовательно, класс ТТ категоричен во всех бесконечных мощностях. По теореме Лсократимый слева элемент S. Тогда отображение ср : S — S такое, что cp(t) = st, t Є S, является инъективным. Следовательно, в силу конечности S, (р - биекция. Откуда sS = S. Отображение ф : S — S определим следующим образом: ф{) — is, t Є S. Если ts = rs, t,r Є S, то поскольку sS = S и ss = 1 для некоторого s Є «9, tss = rss , т.е. і = ги отображение V инъективно. Следовательно, в силу конечности S, ф - биекция и Ss = S. Таким образом, выполнено условие 2 и TJ7 =S—Act. Из утверждения 3.2 получаем Следствие 3.1. Если моноид S удовлетворяет одному из условий 1-3 утверждения 3.2, то S является Т- -стабилиза-тором (Т -суперстабилизатором, Т 7—w-стабилизатором) то-гда и только тогда, когда S является стабилизатором (суперстабилизатором, cj-стабилизатором). В данном параграфе приводится некоторая алгебраическая характеризация полигонов без кручения, которой все они должны удовлетворять, чтобы класс всех полигонов без кручения был стабилен. Будем говорить, что полигон sA удовлетворяет условию ( ), если существуют п Є ш, U, г І Є 5, х\,у\ Є А (0 j 1,0 і п) такие, что Лемма 3.1. Пусть зЛ sC, new, ti, гг- Є 5 и х,г/ Є С \ Л (0 t п) такие, что о = оУо - Л, rnxQn Є Л, ГгЖ? 7 пу? (О г п), па А, пх? = Ч-І Й-І» ПУгР = ti+іУі+і (0 г п).
Тогда полигон sC удовлетворяет условию ( ) Доказательство. Пусть условия леммы выполнены. Так как sЛ - sC, то существуют х\ Є Л (0 г п) такие, что г„гс = гпж , ТІХ\ — ti+ix}+1 (0 г п). Поскольку io o е Л, о О І А ТО 0 0 7 0 0 ПОСКОЛЬКУ Х„, ТІХ\ Є Л И Х„, Г;Ж Л, то ж 7 жп и гіч Ф ггх1 (0 г п)- Следовательно, полигон sC удовлетворяет условию ( ). Лемма доказана. Пусть зЛ - полигон, В С Л. Элементы а, 6 Є Л \ В называются связанными (вне В), если существуют пбш, CLQиндстрема класс ТТ модельно полон. 1)= 3). Пусть класс ТТ полон, Ц sA{ - копроизведение одноэлементных полигонов, JJ sSi - копроизведение копий по-лигона sS. Поскольку sM є ТТ и sS Є ТТ, то в силу замкнутости ТТ относительно копроизведений Ц s-Ai Є ТТ и Ц sSi Є ТТ. Тогда Ц &Л,- = Ц sSi. Следовательно, Ц sSi \=F Vx(sx = х) для любых s Є 5, т.е. 5 = 1. Утверждение 3.2. Пусть моноид S удовлетворяет одному из следующих условий: 1) {s Є s — сократимый слева элемент 5} = {1}; 2) Ss = S для любого сократимого слева элемента s Є S; 3) S - конечный моноид. Тогда TT=S - Act. Доказательство. Если моноид S удовлетворяет условию 1, то утверждение очевидно. Пусть моноид S удовлетворяет условию 2, sA - ПОЛИГОН, S - сократимый слева элемент S, а,Ь Є A, sa = sb. По условию Ss — S, т.е. ts = 1 для некоторого t Є S. Тогда tsa — tsb, т.е. а = Ьи sAe TT. Пусть моноид S удовлетворяет условию 3, s - сократимый слева элемент S. Тогда отображение ср : S — S такое, что cp(t) = st, t Є S, является инъективным. Следовательно, в силу конечности S, (р - биекция. Откуда sS = S. Отображение ф : S — S определим следующим образом: ф{) — is, t Є S. Если ts = rs, t,r Є S, то поскольку sS = S и ss = 1 для некоторого s Є «9, tss = rss , т.е. і = ги отображение V инъективно. Следовательно, в силу конечности S, ф - биекция и Ss = S. Таким образом, выполнено условие 2 и TJ7 =S—Act. Из утверждения 3.2 получаем Следствие 3.1. Если моноид S удовлетворяет одному из условий 1-3 утверждения 3.2, то S является Т- -стабилиза-тором (Т -суперстабилизатором, Т 7—w-стабилизатором) то-гда и только тогда, когда S является стабилизатором (суперстабилизатором, cj-стабилизатором). В данном параграфе приводится некоторая алгебраическая характеризация полигонов без кручения, которой все они должны удовлетворять, чтобы класс всех полигонов без кручения был стабилен. Будем говорить, что полигон sA удовлетворяет условию ( ), если существуют п Є ш, U, г І Є 5, х\,у\ Є А (0 j 1,0 і п) такие, что Лемма 3.1. Пусть зЛ sC, new, ti, гг- Є 5 и х,г/ Є С \ Л (0 t п) такие, что о = оУо - Л, rnxQn Є Л, ГгЖ? 7 пу? (О г п), па А, пх? = Ч-І Й-І» ПУгР = ti+іУі+і (0 г п). Тогда полигон sC удовлетворяет условию ( ) Доказательство. Пусть условия леммы выполнены. Так как sЛ - sC, то существуют х\ Є Л (0 г п) такие, что г„гс = гпж , ТІХ\ — ti+ix}+1 (0 г п). Поскольку io o е Л, о О І А ТО 0 0 7 0 0 ПОСКОЛЬКУ Х„, ТІХ\ Є Л И Х„, Г;Ж Л, то ж 7 жп и гіч Ф ггх1 (0 г п)- Следовательно, полигон sC удовлетворяет условию ( ). Лемма доказана. Пусть зЛ - полигон, В С Л. Элементы а, 6 Є Л \ В называются связанными (вне В), если существуют пбш, CLQ,... ,ап Є Л (оо,... ,ап Є Л \ В) такие, что ао = а, ап = Ь, «Sa С 5аг +і или 5аг-+і С Sa,i для всех г п. В этом случае (ао,..., ап) называется путем между а и b (вне І?) длины п, а элементы а и 6 называются связанными (вне В) путем длины п. Определим (7(a) = [j{Sb I b Є Л, а и & связаны вне Б}, Св(а) = С(а) Г) Л. Лемма 3.2. Пусть полигон sC не удовлетворяет условию ( ), sЛ - s 7, а,6бС\А Следующие условия эквивалентны: l)tp{a,A) = tp(b,A)] 2) «Р(О,С7А(О)) = tp(b,CA(b)) и Сл(а) = СЛ(Ц. Доказательство. Необходимость. Достаточно показать, что CU(a) = СА{Ь). Пусть d С7л(а), d = sc, s Є S, а = ао, с =
Аксиоматизируемость класса Abs{7i)
Напомним, что теории ТиТ называются взаимно модельно совместными, если любая модель теории Т вкладывается в модель теории Т и наоборот. Теория Т называется модельным компаньоном теории Т, если ТиТ - взаимно модель но совместные теории и теория Т модельно полна. Класс К алгебраических систем сигнатуры Е имеет модельный компаньон, если теория Th(K) класса К имеет модельный компаньон. Класс К обладает свойством амальгамируемости, если любая диаграмма вида: где Л, В, С Є К, a, j3 - вложения, может быть дополнена до коммутативной диаграммы вида: где V Є К, р,ф - вложения. Всюду в данной главе ТС будет обозначать квазимногообразие полигонов со свойством амальгамируемости. Утверждение 1. Любой полигон класса Ті вложим в полигон, алгебраически замкнутый в Ті. Доказательство. Заметим, что полигон $А Є Ті является алгебраически замкнутым в Ті, если для любого полигона sB Ті, s-A Я sB, и любого 3-предложения расширенной сигнатуры Кроме того, заметим, что поскольку квазимногообразие Ті является V-классом, в частности, VB-классом, то по теореме 1.2 класс Ті содержит объединение любой возрастающей цепи подполигонов из Ті. По теореме 1.3 квазимногообразие замкнуто относительно фильтрованных произведений, поэтому любой полигон из 7І содержится в некотором бесконечном полигоне, и утверждение достаточно доказать только для бесконечного полигона класса П. Пусть sA - бесконечный полигон квазимногообразия %, \А\ = а, и пусть Г = {Фр \ /3 а} - множество всех 3-предложений расширенной сигнатуры {s \ s Є S}A- Образуем такую цепь полигонов из Ті каждый из которых имеет мощность а, что если предложение Фр истинно в некотором полигоне (SB)A, где S& Є 7 J sA/з С sB, то оно истинно в (SA/3+I)A- МЫ можем продолжить процесс построения цепи полигонов и через предельные ординалы, т.к. объединение цепи полигонов квазимногообразия Ті - полигон квазимногообразия %. Положим sA = (J sAp. Тогда всякое 3-предложение Ф Є /3 а Г, истинное в некотором полигоне {SB)AI где sB Є Ті, sA С sB, истинно в (SA )A- Повторяя это построение со раз, получим такую цепь что всякое 3-предложение Ф, истинное в некотором полигоне (SB)A, где SB Є П, sAm+1 С SB, истинно в (sAm+1)Am. Отсюда следует, что sAw = [J sAm - алгебраически замкнутый в % полигон мощности а, содержащий полигон $А. Лемма 5.1. Если sA - полигон, 9 І - конгруэнции полигона SA такие, что sA/9i ЄТі, і Є 1,7)= f) 9t, то sA/rj Є"И. ІЄІ Доказательство. Определим отображение ір : А/т] П А/в{ следующим образом: p{a/rj) = (а/0г)г-е/. По опреде ІЄІ лению отношения 7] где a, b Є A, т.е. определение отображения у? корректно и отображение (р разнозначно. Ясно, что ср - гомоморфизм. Следовательно, в силу замкнутости класса Ті относительно подполигонов и декартовых произведений и условия sA/ві Є Ті, і Є І, имеем sA/г) Є Ті, что доказывает лемму.
Пусть sA Є Ті, 9 - отношение на множестве А. Через CIH(6ISA) обозначим наименьшую конгруэнцию rj полигона sA такую, что 9 С ц и gA/r/ ЄТі. Существование и единственность конгруэнции т] следует из леммы 5.1 и условия (9Є ТІ. Лемма 5.2. Пусть sA, sB - полигоны, sB Є Ті, 9 - конгруэнция полигона sA, отображение ф : sA/9 — sB является го-моморфизмом, 9 =с1-н(9, sA). Тогда равенство ip(a/9) = ф(а/9) определяет гомоморфизм (р : sA/9 —У sB. Доказательство. Для доказательства леммы достаточно показать, что (р - отображение. Пусть 7г : sA — sA/9 -канонический гомоморфизм. Тогда фп : sA — sB и 9 С Кегфтг. В силу замкнутости класса Ті относительно подполигонов и условия sB Є Ті, имеем sA/Кегфт: Є Ті. Следовательно, 9 = CIK(9,SA) С Кегфіг. Та ким образом, для любых a,b Є А, что доказывает корректность определения отображения р, т.е. - гомоморфизм. Лемма 5.3. Пусть sB,sD Є Ті, sA «- s#, sC «- si), or : sA — s-C - изоморфизм, $F - склейка полигонов sB и sD по подполигонам sA и С относительно изоморфизма а. Тогда sFen. Доказательство. По условию имеет место следующая диаграмма: где y?i - естественное вложение. По свойству амальгамируемо-сти существует полигон sF ЄЯи вложения @}(р такие, что следующая диаграмма коммутативна: Тогда существует вложение х sF — sF . В силу замкнутости класса Н относительно подполигонов, sF Є ТС. Конгруэнция в полигона sA называется -конечно порожденной, если существует конечно порожденная конгруэнция 77 полигона s-А такая, что в = du(r], 5 А). Полигон s А называется %-конечно представимым, если sA = sF/9, где sF - некоторый конечно порожденный свободный полигон, в - "Н-конечно
